Examen de la PAP d'Educació 2023 · convocatòria ordinària

La informació necessària és a l'apartat «Etimologia i història» del segon text (Vikipèdia).

• a) Correcta. El text diu que Horace Walpole «va emprar per primera vegada el terme serendipity en una carta» i que el va extreure d'un conte persa sobre «uns prínceps de l'illa de Serendib», l'antic nom àrab de Sri Lanka. Per tant, és un concepte que va utilitzar Walpole i el mot prové del nom d'una illa (Serendib → serendipity).
• b) Incorrecta. És cert que àrabs i perses ja empraven la paraula «per a designar una troballa inesperada», però no per anomenar els habitants de l'illa. L'opció barreja dades del text i en canvia el sentit.
• c) Incorrecta. El conte persa narra casualitats i descobriments accidentals, però no «explica» el concepte; i Walpole no el «redefineix a les seves cartes»: va usar el terme per primera vegada en una carta, i per designar el mateix tipus de troballa fortuïta.

Estratègia: en preguntes de definició, contrasteu cada mot de l'opció (qui, què, on, per a què) amb el passatge concret; les opcions incorrectes solen canviar un sol detall (habitants en lloc de troballa, redefinir en lloc d'emprar).

Cal integrar informació dels dos textos:

• a) Correcta. La casualitat apareix a tots dos textos («una de les formes de l'atzar, de la casualitat, de la xamba»; «descobriment casual o imprevist»). La curiositat la destaca la cita de Proust: «la serendipitat neix de la curiositat». La sagacitat (estar atent per saber aprofitar el que es troba) es dedueix dels exemples: l'enginyer de 3M relaciona la cola fallida amb els paperets que li queien; Fleming s'adona que al voltant del fong no hi creixen bacteris. Sense aquesta capacitat d'observació, la casualitat no es converteix en descoberta.
• b) Incorrecta. La serendipitat no és conformisme ni resignació («acontentar-se amb el que la sort t'ofereixi»), sinó saber veure el valor d'una troballa imprevista.
• c) Incorrecta. No es tracta de «presentar» com a èxits uns contratemps (una qüestió d'imatge o de retòrica), sinó de fer descobertes reals i útils a partir d'un atzar.

Estratègia: la pregunta demana una inferència; l'opció correcta és la que es pot justificar amb fragments concrets dels textos (la cita de Proust, els exemples).

• c) Correcta. Pagès Jordà defineix el terme («hem fet una troballa inesperada i involuntària mentre cercàvem alguna altra cosa») i després explica, en primera persona, la seva experiència: «Durant una vintena d'anys, el llibre que vaig consultar més va ser el Diccionari de Pompeu Fabra. Cada vegada que l'obria, hi descobria paraules...».
• a) Incorrecta. Pompeu Fabra no hi apareix com algú que hagi fet una descoberta per serendipitat: és l'autor del diccionari que consultava Pagès. A més, Arquimedes i Fleming surten al segon text, no al de Pagès.
• b) Incorrecta. Pagès sí que esmenta Colom, però no Arquimedes (que és un exemple de la Vikipèdia) i, de nou, Fabra no hi és presentat com a descobridor.

Estratègia: atribuïu bé cada informació al text d'on prové (text 1 o text 2) i distingiu el paper de cada personatge (autor d'una obra consultada ≠ descobridor).

• c) Correcta. El segon text defineix la serendipitat com un «descobriment casual o imprevist fet [...] durant una recerca orientada a altres objectius» (no es buscava allò que es troba) i la pseudoserendipitat com el cas en què un investigador, després d'haver estudiat una cosa sense resultats, «aconsegueix finalment l'objectiu desitjat a causa d'un accident fortuït o d'una revelació» (sí que es buscava, però s'hi arriba per atzar).
• a) Incorrecta. La diferència no rau en el valor científic: el prefix pseudo- aquí no vol dir «fals» en el sentit de troballa sense valor.
• b) Incorrecta. Contradiu el text: la serendipitat és precisament una descoberta no buscada, i la pseudoserendipitat no depèn de la negligència del científic, sinó d'un accident fortuït després d'un estudi rigorós.

Estratègia: el criteri clau és si l'objectiu final coincideix o no amb el que es buscava.

• a) Correcta. El text de Pagès Jordà és un article d'opinió: hi ha primera persona, vivències pròpies i valoracions. L'últim paràgraf reflexiona sobre com aprenem: compara la formació amb «manuals polsegosos» amb la «freda eficàcia del Google» i els recursos virtuals de les generacions joves. El segon text prové de la Vikipèdia, una enciclopèdia: és expositiu, objectiu i està organitzat en apartats (definició, «Etimologia i història», «Exemples»).
• b) Incorrecta. El segon text no és una entrada de diccionari: no es limita a definir el mot, sinó que n'explica la història i en dona exemples desenvolupats, com fa un article enciclopèdic. A més, el final del primer text tracta més aviat de formes d'aprenentatge que no pas de la importància de la serendipitat en general.
• c) Incorrecta. El primer text no és cap entrada d'enciclopèdia, sinó un article d'opinió publicat al web personal de l'autor.

Estratègia: per identificar la tipologia, observeu la font (web personal / Vikipèdia), la presència o absència de la primera persona i de valoracions, i l'estructura (apartats temàtics propis d'una enciclopèdia).

1. Localitzeu la metàfora al text i llegiu-ne el context. «Replec del cervell» apareix quan l'autor explica que les paraules llegides al diccionari «acabaven fixant-se» a la memòria i «ressorgien» quan les necessitava. «Cap ben moblat» apareix al final, quan parla de les generacions formades amb recursos virtuals.
2. Identifiqueu els dos termes de la comparació: el replec és un plec amagat del cervell (una part de la memòria a la qual no accedim conscientment), i el cap és com una casa que es pot omplir de mobles (els coneixements).
3. Traduïu-ho a llenguatge literal: aprenentatge involuntari que es manté latent i reapareix quan cal, o bé posseir una cultura àmplia i saber-la aplicar.
4. Redacteu la resposta amb paraules pròpies, sense copiar el text, i relacioneu-la amb la idea de serendipitat. Trieu només UNA metàfora, tal com demana l'enunciat.

1. Rellegiu el primer i el tercer paràgraf de l'article i subratlleu-hi les idees clau: el comprador del supermercat «acaba enduent-se a casa coses que no havia previst»; amb el diccionari i l'enciclopèdia «buscàvem una entrada i ens entreteníem» amb altres continguts.
2. Busqueu el denominador comú: en tots dos casos, en recórrer un espai físic (passadissos, pàgines) trobem per atzar coses que no buscàvem, i això pot ser útil. És a dir, totes dues situacions són exemples de serendipitat.
3. Si voleu reforçar la resposta, afegiu-hi el contrast que fa l'autor amb la compra per Internet i els cercadors virtuals, que limiten aquestes troballes.
4. Redacteu-ho de manera sintètica i amb paraules pròpies.

1. Identifiqueu la tesi de l'autor (darrer paràgraf): els recursos virtuals afinen la cerca i estalvien temps, però redueixen les troballes casuals.
2. Decidiu la vostra posició (a favor, en contra o matisada); totes són vàlides si estan ben argumentades.
3. Formuleu almenys un argument clar (per exemple, la rapidesa i la precisió de la cerca digital, els algoritmes comercials, o bé, en sentit contrari, els hipervincles i els suggeriments).
4. Aporteu un exemple concret, tal com demana l'enunciat: és un requisit explícit i la seva absència resta punts.
5. Tanqueu amb una conclusió breu que respongui directament la pregunta. Vigileu l'extensió (espai limitat) i la correcció lingüística.

1. Anàlisi de l'encàrrec. Gènere: narració o anècdota (text narratiu). Contingut: un fet casual, extraordinari però versemblant (que es pugui creure), de bona o mala sort. Requisits formals: situar-lo en un lloc i un temps concrets, to amè, títol adient, 250–300 paraules i recompte final.
2. Pluja d'idees i tria. Penseu en coincidències creïbles (retrobar un objecte perdut, coincidir amb algú en un lloc improbable, perdre un tren i evitar un problema...). Trieu la que permeti un desenllaç sorprenent.
3. Esquema (estructura narrativa clàssica):
   • Plantejament: personatges, lloc i data (Lisboa, 2019; l'àvia i el bitllet escrit).
   • Nus: el fet que sembla tancat i el salt temporal fins a la casualitat (Barcelona, 2022, el canvi a la pastisseria).
   • Desenllaç: reacció dels personatges i tancament amb una frase que resumeixi el sentit de la història.
4. Recursos d'amenitat i cohesió. Marcadors temporals («L'estiu de 2019», «Tres anys més tard», «Avui»), connectors («en canvi», «efectivament»), diàleg o cita breu, detalls concrets que donin versemblança, un temps verbal de base coherent (passat perifràstic) i variació sintàctica.
5. Revisió. Comproveu que el text s'entén sense l'enunciat, que hi ha títol, que el registre és adequat (estàndard, sense col·loquialismes incorrectes), la puntuació i la normativa (apòstrofs, combinacions pronominals com ensenyar-los-el, accents). Compteu les paraules i anoteu-ne el nombre al final.

Nota: el recompte de 267 paraules no inclou el títol (amb el títol en serien 274).

Com detectar els errors. Llegiu el text dues o tres vegades, cada vegada amb un «filtre» diferent:

1. Coherència i cultura general: dates, xifres, èpoques i fets que no lliguen amb el context (una necrològica d'un autor nascut el 1963).
2. Ortografia: accents (paraules agudes, planes, esdrixoles), h, guionets dels numerals, majúscules dels noms propis, apostrofació.
3. Morfologia: concordança de gènere i nombre (determinants, adjectius que es refereixen a diversos substantius).
4. Sintaxi: règim verbal (complement directe sense preposició), negació (no... mai), comes entre subjecte i verb.
5. Lèxic i adequació: verbs que no admeten el complement que porten, mots pejoratius o col·loquials impropis del registre, ús de l'article davant de cognoms.
6. Pronoms i homòfons: ho/o, quan/quant, la/l'.

Classificació dels errors de la pauta per categories:

Nota: diversos errors de la pauta es concentren en el mateix fragment de la línia 3 («En pagès era»: article, majúscula i temps verbal); a l'hora de triar-ne deu, convé escollir errors clarament diferenciats.

1. Com que la tanca comença i acaba amb un pal i entre cada dos pals consecutius hi ha un plafó, el nombre de plafons és una unitat menor que el de pals: $7 - 1 = 6$ plafons.
2. Passem tot a metres: cada pal fa $25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m}$ d'ample.
3. Longitud ocupada pels pals: $7 \times 0{,}25 = 1{,}75\ \text{m}$.
4. Longitud ocupada pels plafons: $6 \times 1{,}5 = 9\ \text{m}$.
5. Longitud total: $9 + 1{,}75 = 10{,}75\ \text{m}$.

Esquema: P – plafó – P – plafó – P – plafó – P – plafó – P – plafó – P – plafó – P (7 pals, 6 plafons).

1. Si el 63 % té el cabell negre, el percentatge que no el té és el complementari: $100\,\% - 63\,\% = 37\,\%$.
2. Calculem el 37 % de 6.000: $6.000 \times 0{,}37 = 2.220$.
3. Comprovació: el 63 % de 6.000 és $3.780$, i $6.000 - 3.780 = 2.220$.

Càlcul mental possible: l'1 % de 6.000 és 60, i $37 \times 60 = 2.220$.

1. Llegim punts clarament marcats a la gràfica: $(0\ \text{s},\ 100\ \text{g})$, $(5\ \text{s},\ 600\ \text{g})$ i $(10\ \text{s},\ 1.100\ \text{g})$. El pes inicial de 100 g correspon a la garrafa buida; no cal tenir-lo en compte per al ritme d'omplerta.
2. La gràfica és una recta, per tant el pes augmenta a ritme constant. En 5 segons el pes augmenta $600 - 100 = 500\ \text{g}$, és a dir, $\frac{500}{5} = 100\ \text{g}$ cada segon (el mateix entre 5 s i 10 s: $\frac{1.100 - 600}{5} = 100$).
3. Si 1 L d'aigua pesa 1 kg, aleshores 1 ml d'aigua pesa 1 g. Per tant, 100 g d'aigua cada segon són 100 ml cada segon.

1. A la figura, la base del triangle ratllat és tot el costat inferior del rectangle i el vèrtex oposat és sobre el costat superior.
2. Per tant, la base del triangle és igual a la base $b$ del rectangle i l'altura del triangle és igual a l'altura $h$ del rectangle.
3. Àrea del triangle: $\frac{b \cdot h}{2} = \frac{\text{àrea del rectangle}}{2} = \frac{24}{2} = 12\ \text{cm}^2$.

Observació: no importa on sigui exactament el vèrtex superior; qualsevol triangle amb aquesta base i el vèrtex al costat oposat ocupa la meitat del rectangle.

1. La mitjana de llibres venuts per llibreria és el total de llibres venuts dividit pel nombre de llibreries. La dada dels 40.000 infants no intervé (és un distractor).
2. $\frac{6.000}{460} = \frac{600}{46} = \frac{300}{23} \approx 13{,}04$.
3. Estimació sense calculadora: $460 \times 13 = 5.980$, i queden $20$ llibres, que és molt menys que 460; per tant la mitjana és una mica més de 13.
4. De mitjana, cada llibreria va vendre uns 13 llibres.

1. Escrivim la resta com una suma: $6{,}0\square = 5{,}\square 8 + 0{,}92$.
2. El sumand $5{,}\square 8$ és com a mínim $5{,}08$ (si la xifra esborrada és 0). Sumant-hi $0{,}92$: $5{,}08 + 0{,}92 = 6{,}00$.
3. Si la xifra de la dreta fos 1 o més, el resultat seria com a mínim $5{,}18 + 0{,}92 = 6{,}10$, que ja no té la forma $6{,}0\square$. Per tant, la xifra de la dreta ha de ser 0.
4. Aleshores $6{,}0\square = 6{,}00$, i la xifra de l'esquerra és 0.
5. Comprovació: $6{,}00 - 5{,}08 = 0{,}92$.

1. Volum d'aigua a la posició A (base de $4 \times 8$ i altura de l'aigua 0,5 m): $V = 4 \times 8 \times 0{,}5 = 16\ \text{m}^3$.
2. A la posició B la base és de $4 \times 2 = 8\ \text{m}^2$. El volum d'aigua no canvia, per tant l'altura $h$ compleix $8 \cdot h = 16$, d'on $h = 2\ \text{m}$.
3. Raonament alternatiu: l'àrea de la base passa de $32\ \text{m}^2$ a $8\ \text{m}^2$ (4 vegades més petita), de manera que l'altura de l'aigua es multiplica per 4: $0{,}5 \times 4 = 2\ \text{m}$ (que és $\frac{1}{4}$ de l'altura total de 8 m).

1. Pes de l'elefant en kg: $3.035 \times 2{,}8$.
2. Sense calculadora: $3.035 \times 2{,}8 = 3.035 \times 3 - 3.035 \times 0{,}2 = 9.105 - 607 = 8.498\ \text{kg}$.
3. Passem a tones ($1\ \text{t} = 1.000\ \text{kg}$): $8.498\ \text{kg} = 8{,}498\ \text{t} \approx 8{,}5\ \text{t}$.

1. La freqüència relativa és la freqüència absoluta dividida pel total: $f_r = \frac{n_i}{N}$.
2. Per tant, $0{,}4 = \frac{12.300}{N}$, d'on $N = \frac{12.300}{0{,}4} = 30.750$.
3. Raonament alternatiu: 0,4 equival a $\frac{2}{5}$. Si 2 cinquenes parts són 12.300, una cinquena part és 6.150 i el total és $5 \times 6.150 = 30.750$ persones.

1. Localitzem la Laura al gràfic: va néixer el mes 7 (juliol) i fa uns 123 cm.
2. "Fan els anys després que ella" vol dir els punts situats a la dreta de la Laura (mesos 8 a 12): Jan (mes 9, 127 cm), Pau (mes 11, 115 cm), Inés (mes 11, 127 cm), Joana (mes 12, 119 cm) i Joan (mes 12, 132 cm).
3. "Són més alts que la Laura" vol dir, d'aquests, els que estan per sobre de 123 cm: Jan, Inés i Joan. El Pau i la Joana queden per sota.
4. Gràficament: són els punts del quadrant superior dret si tracem una recta vertical i una d'horitzontal que passin pel punt de la Laura.

1. Espai mostral. Com que els dos daus no estan trucats, tots els parells (dau 1, dau 2) són equiprobables. N'hi ha $4 \times 6 = 24$. Fem la taula de sumes:

2. Aposta de la Marina (múltiple de 3). Les sumes possibles van de 2 a 10; els múltiples de 3 són 3, 6 i 9.
   • Suma 3: (1+2), (2+1) → 2 casos.
   • Suma 6: (1+5), (2+4), (3+3), (4+2) → 4 casos.
   • Suma 9: (3+6), (4+5) → 2 casos.
   • Total: 8 casos favorables, $P = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
3. Aposta d'en Pere (nombre primer). Els primers entre 2 i 10 són 2, 3, 5 i 7.
   • Suma 2: (1+1) → 1 cas.
   • Suma 3: (1+2), (2+1) → 2 casos.
   • Suma 5: (1+4), (2+3), (3+2), (4+1) → 4 casos.
   • Suma 7: (1+6), (2+5), (3+4), (4+3) → 4 casos.
   • Total: 11 casos favorables, $P = \frac{11}{24}$.
4. Conclusió. Com que $\frac{11}{24} > \frac{8}{24}$, en Pere té més probabilitat de guanyar.

Errors habituals: oblidar que el 2 és primer, o comptar la suma 3 només a una de les dues apostes (el 3 és alhora múltiple de 3 i primer, i compta per a totes dues).

1. Recuperem els 24 resultats equiprobables de la taula de la qüestió Q11.
2. Comptem els resultats amb suma 5, 6 o 7:
   • Suma 5: (1+4), (2+3), (3+2), (4+1) → 4 casos.
   • Suma 6: (1+5), (2+4), (3+3), (4+2) → 4 casos.
   • Suma 7: (1+6), (2+5), (3+4), (4+3) → 4 casos.
   • Total: 12 casos favorables, $P(\text{Jordi}) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
3. Comparem amb Q11: en Pere té 11 casos ($\frac{11}{24}$) i la Marina 8 ($\frac{8}{24}$).
4. Com que $12 > 11 > 8$, l'aposta d'en Jordi és la que té més probabilitat de guanyar. El seu raonament és correcte.

Observació: a la taula de sumes, els valors 5, 6 i 7 són a les diagonals centrals, que són les més llargues (4 caselles cadascuna), per això són les sumes més probables.

1. Llegim la proporció a la barra: de 15 caselles iguals, 10 són d'oli, 4 de vinagre i 1 de suc de llimona. La proporció és $10 : 4 : 1$, amb un total de $10 + 4 + 1 = 15$ parts.
2. Valor d'una part: $3\ \text{L} : 15 = 0{,}2\ \text{L}$.
3. Quantitats:
   • Oli d'oliva: $10 \times 0{,}2 = 2\ \text{L}$ (és a dir, $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ de 3 L).
   • Vinagre: $4 \times 0{,}2 = 0{,}8\ \text{L}$.
   • Suc de llimona: $1 \times 0{,}2 = 0{,}2\ \text{L}$.
4. Comprovació: $2 + 0{,}8 + 0{,}2 = 3\ \text{L}$ i $2 : 0{,}8 : 0{,}2 = 10 : 4 : 1$.

1. La proporció 4 : 1 vol dir que cada "lot" de vinagreta té $4 + 1 = 5$ parts: 4 d'oli i 1 de vinagre.
2. El diagrama té 15 caselles, per tant hi caben $15 : 5 = 3$ lots; cada part de la proporció equival a 3 caselles.
3. Oli d'oliva: $4 \times 3 = 12$ caselles. Vinagre: $1 \times 3 = 3$ caselles.
4. Comprovació: $12 + 3 = 15$ i $12 : 3 = 4 : 1$. Equivalentment, l'oli és $\frac{4}{5} = 80\,\%$ i el vinagre $\frac{1}{5} = 20\,\%$ del total: $0{,}8 \times 15 = 12$ i $0{,}2 \times 15 = 3$.

1. Analitzem el patró. Numerem les columnes $c = 1, 2, \dots, 200$ d'esquerra a dreta (llargària) i les files $f = 1, 2, \dots, 165$ de baix a dalt (amplària). Observant la figura del patró 1:
   • A la fila 1 (inferior), les rajoles de les columnes senars tenen el triangle fosc a dalt a l'esquerra (com la rajola inicial) i les de les columnes parells el tenen a dalt a la dreta. Així es formen les "puntes" del zig-zag.
   • La fila 2 és la fila 1 girada mig volt (triangle fosc a baix a la dreta a les columnes senars i a baix a l'esquerra a les parells), i a partir d'aquí les files es repeteixen de dues en dues: totes les files senars són iguals a la fila 1 i totes les parells iguals a la fila 2.
   • Per tant, l'orientació d'una rajola depèn només de la paritat de la seva columna i de la seva fila.
2. Cantó superior esquerre: posició $(c, f) = (1, 165)$. La columna 1 és senar i la fila 165 és senar, com la rajola inicial $(1, 1)$: mateixa orientació que la inicial (fosc a dalt a l'esquerra).
3. Cantó inferior dret: posició $(200, 1)$. Fila senar (com la fila 1) i columna parell: fosc a dalt a la dreta (la rajola inicial girada 90° en sentit horari).
4. Cantó superior dret: posició $(200, 165)$. Fila senar i columna parell: igual que el cantó inferior dret, fosc a dalt a la dreta.
5. Conclusió: els dos cantons de l'esquerra tenen la mateixa orientació que la rajola inicial i els dos de la dreta, l'orientació simètrica (fosc a dalt a la dreta).

1. Total de rajoles: $200 \times 165 = 33.000$ rajoles.
2. Patró 2. Amb la mateixa numeració que a Q15 (columnes d'esquerra a dreta, files de baix a dalt), tots els triangles foscos formen franges diagonals. A la fila 1, les columnes senars tenen el triangle fosc a baix a l'esquerra i les parells a dalt a la dreta; a cada fila següent l'orientació s'intercanvia (com un tauler d'escacs): a les columnes parells, fosc a dalt a la dreta a les files senars i a baix a l'esquerra a les files parells; a les columnes senars, a l'inrevés.
3. Comparació amb el patró 1 (vegeu Q15):

4. Per tant, coincideixen exactament les rajoles de les columnes parells i no coincideix cap rajola de les columnes senars.
5. Hi ha 200 columnes: 100 de senars i 100 de parells. Les rajoles que mantenen l'orientació són $100 \times 165 = 16.500$, és a dir, la meitat de les 33.000 rajoles (el 50 %).

1. Entre dos punts consecutius, el Camí de la Serp és una mitja circumferència de diàmetre 10 m (la distància en línia recta entre els dos punts).
2. De A a F hi ha 5 trams: A–B, B–C, C–D, D–E i E–F, és a dir, 5 mitges circumferències.
3. Longitud d'una mitja circumferència: $\frac{\pi \cdot d}{2} = \frac{3{,}14 \times 10}{2} = 15{,}7\ \text{m}$.
4. Longitud total: $5 \times 15{,}7 = 78{,}5\ \text{m}$. (Equivalentment, 5 mitges circumferències són 2,5 circumferències: $2{,}5 \times 31{,}4 = 78{,}5$ m.)

1. Pel Camí del Rierol (recte), cada tram entre punts consecutius fa 10 m. Pel Camí de la Serp, cada tram és una mitja circumferència de diàmetre 10 m: $\frac{3{,}14 \times 10}{2} = 15{,}7$ m.
2. Calculem cada recorregut:
   • Recorregut 1 (B → G pel Rierol): 5 trams rectes, $5 \times 10 = 50$ m.
   • Recorregut 2 (C → E per la Serp): 2 mitges circumferències = 1 circumferència, $2 \times 15{,}7 = 31{,}4$ m.
   • Recorregut 3 (A → D pel Rierol): 3 trams rectes, $3 \times 10 = 30$ m.
   • Recorregut 4 (B → F per la Serp): 4 mitges circumferències = 2 circumferències, $4 \times 15{,}7 = 62{,}8$ m.
3. Ordenem: $30 < 31{,}4 < 50 < 62{,}8$, és a dir, Recorregut 3 < Recorregut 2 < Recorregut 1 < Recorregut 4.
4. Raonament en diàmetres ($d = 10$ m): R3 = $3d$; R2 = $\pi d \approx 3{,}14\,d$; R1 = $5d$; R4 = $2\pi d \approx 6{,}28\,d$. Com que $3 < \pi < 5 < 2\pi$, l'ordre és el mateix. La desigualtat més ajustada és R3 < R2, que es justifica perquè $\pi > 3$.

1. Lectura de les gràfiques. Per a cada segon enter llegim la distància recorreguda per cada vehicle (taula de la resposta). El cotxe surt 10 m per davant i avança 10 m cada segon (recta). La moto surt de 0 i accelera (corba) fins a $t = 5$ s, on atrapa el cotxe (tots dos a 60 m); a partir d'aquí avança 18 m cada segon (recta).
2. Distància entre vehicles en cada instant: és la diferència, en valor absolut, entre les dues posicions: $d(t) = |\text{cotxe}(t) - \text{moto}(t)|$. Per exemple, $d(2) = 30 - 12 = 18$ m i $d(7) = 96 - 80 = 16$ m.
3. Interpretació:
   • De 0 a 2 s la distància creix (10 → 16 → 18 m): el cotxe va més de pressa que la moto.
   • De 2 a 5 s la distància decreix fins a 0: la moto va més de pressa i atrapa el cotxe a $t = 5$ s.
   • De 5 a 8 s la moto passa al davant i la distància torna a créixer (0 → 8 → 16 → 24 m), a raó de $18 - 10 = 8$ m cada segon.
4. Dibuix: es marquen els punts $(0,10), (1,16), (2,18), (3,16), (4,10), (5,0), (6,8), (7,16), (8,24)$ als eixos i s'uneixen (el temps és continu). La gràfica té forma de "muntanya" fins a 5 s, toca l'eix en $t = 5$ i després és una recta creixent.

Nota: la pauta uneix els punts amb segments. Estrictament, entre 0 i 5 s la moto segueix una corba (les dades són compatibles amb $2t^2 + 2t$), de manera que la distància real en aquest tram és la corba $d(t) = 10 + 8t - 2t^2$, que passa pels mateixos punts; totes dues representacions es consideren correctes.

1. Partim de la gràfica i la taula de Q19:

2. La recomanació és mantenir una distància de més de 16 m (desigualtat estricta: exactament 16 m no compleix).
3. Tracem la recta horitzontal $y = 16$ sobre la gràfica de la distància. La gràfica la talla en $t = 1$, $t = 3$ i $t = 7$ s.
4. La distància és superior a 16 m:
   • entre 1 s i 3 s (la gràfica puja fins a 18 m en $t = 2$ i torna a baixar a 16 m): $1 < t < 3$;
   • a partir de 7 s, on la distància creix 8 m cada segon fins a 24 m en $t = 8$: $7 < t \le 8$ (l'últim instant representat).
5. Comprovació algebraica (opcional): de 0 a 5 s, $d(t) = (10 + 10t) - (2t^2 + 2t) = 10 + 8t - 2t^2 > 16 \iff t^2 - 4t + 3 < 0 \iff (t-1)(t-3) < 0 \iff 1 < t < 3$. A partir de 5 s, $d(t) = 8(t - 5) > 16 \iff t > 7$.
6. Resposta: entre els segons 1 i 3 i a partir del segon 7 (fins als 8 s representats).