Examen de la PAP d'Educació 2022 · convocatòria ordinària

Cal tornar al primer paràgraf i fixar-se en qui confon què. L’autora diu: «Ho sabré dies després, que es tracta d’un conte; en aquell moment, el jo narratiu m’arriba amb una presència tan sòlida, tan incontestable, que se’m confon amb la biografia d’aquesta dona». És a dir, Asmaa Aouattah llegeix un relat de ficció («Interfuneralitats», del llibre L’etern retorn) i l’autora de l’article (el pronom ella de l’opció a) el confon amb fets viscuts per l’escriptora. Per això la correcta és la a.

• b) és incorrecta perquè inverteix la relació: no llegeix parts de la seva biografia que semblen un conte, sinó un conte que sembla biografia.
• c) és incorrecta perquè la imatge de la «rotllana expectant de criatures que anhela la màgia d’un conte» és una comparació (com si...): el públic és adult i el relat no és un conte infantil.

La pregunta demana el que sabem del cert, és a dir, el que el text afirma explícitament:

• Dins del conte, la Lwiza és «la nostra mestra de català» de les dues protagonistes: és un personatge del conte i és mestra.
• L’autora de l’article diu que es dedica a ensenyar català a adults («tots els qui ens dediquem a ensenyar català a les persones adultes»; «em pregunta per què vaig decidir dedicar-me a ensenyar català a adults»).

Per tant, la resposta correcta és la b.

• a) és incorrecta perquè el text no diu enlloc que Asmaa Aouattah, l’autora del conte, sigui mestra.
• c) és incorrecta per la mateixa raó i, a més, perquè les protagonistes del conte són les dues dones marroquines, que són alumnes de la Lwiza, no mestres.

L’anècdota és la resposta que l’autora dona quan una alumna li pregunta «per què vaig decidir dedicar-me a ensenyar català a adults». Per tant, tot el relat explica l’origen de la seva vocació. Just abans de la frase, l’autora descriu l’aula com «un entramat de vides que s’acompanyaven, aprenien, es feien lloc i s’estimaven». El pronom hi de quedar-m’hi remet a aquest espai d’afecte (l’aula de català, i per extensió aquest ofici): vol quedar-se en aquell món, és a dir, vol dedicar-s’hi. La resposta correcta és la c.

• a) fa una lectura literal i anecdòtica: el text no parla de diversió ni de no voler tornar a casa; el sentit és figurat.
• b) canvia el subjecte (la frase diu «jo», l’autora, no la mare) i, a més, la mare ja vivia «definitivament» a Barcelona.

La idea central de l’article apareix sobretot al final: «Que trist seria fer aquesta feina sense trobar-nos amb l’altre, sense crear conjuntament un espai de vida que aculli [...] el que som i d’on venim [...]; un lloc a recer que ens sigui per sempre casa». També en l’anècdota d’infància l’aula té «una textura de llar». Per tant, per a l’autora ensenyar català a adults nouvinguts vol dir crear un espai d’acollida, una llar: opció b.

• a) és incorrecta: el text no parla en cap moment d’imposar el català com a llengua familiar; al contrari, valora els orígens i les llengües i cultures de cadascú.
• c) pren al peu de la lletra unes imatges figurades («taula parada els vespres d’hivern», «estufa de llenya»), que són metàfores de l’ambient càlid de l’aula, no coses materials que s’hagin d’oferir.

El segon paràgraf resumeix el relat «Interfuneralitats» («La resta del relat llisca com un torrent...») i, entre parèntesis i cometes, reprodueix literalment frases dites per les dues dones marroquines protagonistes del conte: «estic trista per la Lwiza...», «Tothom a casa coneix la Lwiza», «el maleït dol migratori...», «Era una musulmana sense ser-ne, la Lwiza...». Les cometes indiquen que són citacions textuals del conte, i la primera persona remet a les protagonistes. Resposta c.

• a) és incorrecta: no són alumnes de l’autora de l’article, sinó personatges de ficció, alumnes de la Lwiza.
• b) és incorrecta: no són opinions de persones reals de l’entorn de l’escriptora, i no parlen de les professores de català en general sinó de la Lwiza.

1. Localitzar al text l’expressió: apareix a l’anècdota d’infància, quan la mare diu «No puc, m’he deixat les orelles a casa!» en lloc de les ulleres. Això ens dona la pista del tipus de fenomen: dues paraules de forma semblant que es confonen.
2. Definir amb paraules pròpies: un equívoc és una confusió involuntària entre paraules (per semblança fònica o gràfica, o per interferència d’una altra llengua) que provoca un malentès.
3. Buscar un exemple nou, tal com demana la pregunta (no es pot repetir orelles/ulleres). Els falsos amics entre català i castellà o anglès són una font fàcil d’exemples: cama/cama, constipat/constipado, embarassada/embarrassed.
4. Redactar amb dues parts clares: definició + exemple explicat. Cal vigilar la correcció, perquè cada errada descompta un punt.

1. Separar el conte de l’article. L’article parla de moltes coses (la vocació de l’autora, la Vero...), però la pregunta només demana el relat d’Asmaa Aouattah. La informació és sobretot al segon paràgraf i al principi del tercer.
2. Ordenar els fets cronològicament: notícia de la mort → trucada durant el dinar de cuscús → record de la mestra i del seu paper en la vida de les protagonistes i les famílies → el dol migratori → el funeral i el contrast de costums → la conclusió (la mort i el dol són universals).
3. Reformular sense copiar les citacions; es poden esmentar algunes idees clau entre cometes si cal, però l’argument s’ha d’explicar amb paraules pròpies i en tercera persona.
4. Revisar que no hi falti el nucli (mort de la mestra i comparació de funerals) ni hi sobri informació de l’article que no pertany al conte.

1. Rastrejar el camp semàntic del menjar al text: «taula parada els vespres d’hivern», «gust de cuscús» (tercer paràgraf de la segona pàgina) i «olor de cuscús, de biryani, de sopa de chuchuca, de porotos con riendas» (frase final). També hi ha el «dinar de cuscús» del conte, però aquest no és una comparació amb les classes.
2. Citar literalment les comparacions, entre cometes, com demana la pregunta.
3. Interpretar el sentit figurat: la taula parada evoca la llar, la família i la calidesa (acollida, afecte, humor); els plats de diferents cultures simbolitzen la diversitat d’orígens dels alumnes i la idea que l’aula ha de ser casa per a tothom.
4. Redactar relacionant cada cita amb el seu significat; amb una de les dues ben explicada n’hi ha prou segons la pauta, però és millor comentar-les totes dues.

1. Anàlisi de l’encàrrec. Gènere: carta formal de motivació. Destinatari: la direcció d’una escola que busca un mestre substitut. Finalitat: convèncer que ets el candidat idoni. Continguts obligatoris: (a) motius pels quals has triat la professió; (b) arguments que et fan adequat per a la feina. Requisits formals: nom i cognoms inventats, 250-300 paraules i nombre de paraules al final.
2. Esquema previ.
   • Capçalera: dades del remitent, dades del destinatari, lloc i data.
   • Salutació formal («Benvolguda directora,» / «Benvolgut senyor,»).
   • Paràgraf 1: presentació i motiu de la carta (la plaça concreta).
   • Paràgraf 2: motivació personal per la professió (una experiència concreta dona valor afegit).
   • Paràgraf 3: arguments d’idoneïtat (formació, experiència, competències), ordenats amb connectors.
   • Paràgraf 4: tancament (disponibilitat per a una entrevista, document adjunt).
   • Comiat («Atentament,») i signatura.
3. Registre i cohesió. Registre formal i tractament coherent (vós o vostè, però sempre el mateix). Connectors d’ordre i de conclusió (en primer lloc, en segon lloc, finalment, per tot això), frases ben puntuades i paràgrafs amb una idea cadascun.
4. Revisió. Comptar les paraules i anotar-les, comprovar que hi ha els dos continguts demanats i repassar l’ortografia (cada errada resta un punt): apostrofacions, accents (soc sense accent segons la normativa vigent), pronoms febles (poder-hi, trencar-ne).

Com abordar l’exercici. Llegiu el text sencer una primera vegada per entendre’n el sentit (detecció d’errors de coherència i de registre) i, després, feu una lectura lenta línia per línia repassant les categories una per una:

1. Ortografia: majúscules i minúscules (gentilicis, sigles, noms comuns), accents (esdrúixoles), apostrofació, guionet dels pronoms febles, homòfons (potser/pot ser, a/ha), separació a final de línia.
2. Morfologia: formes verbals (du/duu i no l’infinitiu dur), concordances de gènere i nombre.
3. Sintaxi: caiguda de preposicions davant de que, puntuació entre verb i atribut o entre subjecte i predicat.
4. Lèxic: paraules inexistents o mal formades (optimístic), mots que no tenen sentit en el context (desconcentració).
5. Adequació (registre): expressions col·loquials o vulgars en un text formal.
6. Coherència i cultura general: noms propis canviats dins del text, dades impossibles (un home nascut el 1917 que parla dels reptes del segle XIX com a futurs).

Classificació dels errors de la taula:

Nota: a la taula oficial l’error de la línia 5 apareix com «Pot ser va ser aquest», però al text diu «Pot ser aquest va ser»; la correcció és la mateixa (Potser).

1. La diferència més gran és la que hi ha entre la temperatura màxima i la mínima: es calcula restant la mínima de la màxima.
2. Restar un nombre negatiu equival a sumar-ne el valor absolut: $123 - (-233) = 123 + 233 = 356$.
3. Interpretació a la recta numèrica: de –233 °C a 0 °C hi ha 233 graus, i de 0 °C a 123 °C, 123 graus més; en total, $233 + 123 = 356$ °C.

La diferència més gran de temperatura és de 356 °C.

1. Un cub de 15 cm d'aresta, fet amb cubs de 5 cm d'aresta, té $15 : 5 = 3$ cubets per aresta. En total necessita $3 \times 3 \times 3 = 27$ cubs petits.
2. Comptem els cubs de l'estructura: és una «creu» en tres dimensions formada per un cub central i un cub enganxat a cadascuna de les seves 6 cares (a dalt, a baix, a l'esquerra, a la dreta, al davant i al darrere, aquest darrer amagat però necessari perquè l'estructura sigui simètrica, com es veu pel cub que sobresurt per darrere). Total: $1 + 6 = 7$ cubs.
3. Cubs que cal afegir: $27 - 7 = 20$.

Cal afegir-hi 20 cubs.

Les tres sèries són progressions aritmètiques; n'analitzem el terme general.

• Sèrie A: nombres senars ($a_n = 2n - 1$). El 500 és parell: no hi és.
• Sèrie B: comença en 4 i augmenta de 8 en 8: $b_n = 4 + 8(n-1)$, és a dir, són els nombres que donen residu 4 en dividir-los entre 8. Com que $500 = 8 \times 62 + 4$, el 500 sí que hi és (és el terme 63: $4 + 8 \times 62 = 500$).
• Sèrie C: comença en 3 i augmenta de 5 en 5; tots els termes acaben en 3 o en 8. El 500 acaba en 0: no hi és.

La sèrie que conté el 500 és la sèrie B.

1. Visitants amb invitació (una quarta part): $29.860 : 4 = 7.465$.
2. Visitants que paguen (les tres quartes parts restants): $29.860 - 7.465 = 22.395$ (o bé $\frac{3}{4} \times 29.860 = 22.395$).
3. Recaptació: $22.395 \times 8 = 179.160$ €.

Es recaptaran 179.160 €.

1. Orientació del mapa: el nord (N) és a dalt i l'est (E) a la dreta. Per tant, «més al nord-est» vol dir el punt que és alhora més a la dreta (abscissa $x$ més gran) i més amunt (ordenada $y$ més gran).
2. Els estels amb l'abscissa més gran ($x = 6$) són Merak, a (6, 1), i Dubhe, a (6, 2).
3. D'aquests dos, Dubhe és més al nord ($y = 2 > 1$). A més, cap altre estel té una ordenada superior a 2.
4. Les coordenades s'escriuen en l'ordre (abscissa, ordenada).

L'estel més al nord-est és Dubhe, a les coordenades (6, 2).

1. Els segments AC i BD se superposen en el tram BC: si sumem les seves longituds, cobrim tota la cinta AD i comptem BC dues vegades: $AC + BD = AD + BC$.
2. Substituïm: $13 + 9 = 20 + BC \Rightarrow BC = 22 - 20 = 2$ cm.
3. Comprovació: $CD = AD - AC = 20 - 13 = 7$ cm, i $BC = BD - CD = 9 - 7 = 2$ cm.

BC = 2 cm.

1. Llegim les fletxes (A → B vol dir «A és més gran que B»):
   • Pere → Sònia i Pere → Raül.
   • Sònia → Dani i Sònia → Berta.
   • Berta → Raül.
   • Raül → Dani.
2. La persona més jove no pot ser més gran que ningú, és a dir, no en pot sortir cap fletxa.
3. De totes les persones en surt alguna fletxa excepte d'en Dani, que només en rep. A més, la cadena Pere > Sònia > Berta > Raül > Dani ordena tota la família.

La persona més jove és en Dani.

1. A la primera cruïlla el ratolí pot anar per dos camins, cadascun amb probabilitat $\frac{1}{2}$.
2. Camí superior: arriba a una segona cruïlla de la qual surten tres camins, i tots tres porten a emmental. Si va per dalt, troba emmental segur (probabilitat 1).
3. Camí inferior: arriba a una cruïlla amb dos camins, tots dos cap a gruyère. Si va per baix, la probabilitat de trobar emmental és 0.
4. Pel diagrama d'arbre (regla del producte i de la suma): $P(\text{emmental}) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}$.

Observeu que no és $\frac{3}{5}$: els 5 formatges no són equiprobables, perquè les cruïlles tenen un nombre diferent de sortides.

La probabilitat és $\frac{1}{2}$ (50 %).

1. Mirall horitzontal (a sota de la L): una simetria respecte d'una recta horitzontal inverteix dalt i baix, però manté esquerra i dreta. El braç de la L, que és a baix a la dreta, passa a ser a dalt a la dreta: la imatge té forma de «Γ» (pal vertical amb el braç a dalt cap a la dreta).
2. Mirall vertical (a l'esquerra de la L): una simetria respecte d'una recta vertical inverteix esquerra i dreta, però manté dalt i baix. El braç passa a ser a baix a l'esquerra: la imatge té forma de L girada, «⅃».
3. Comparem amb les opcions:
   • A: a sota hi ha una L sense invertir (incorrecte: això seria una translació, no una reflexió).
   • B: totes dues imatges són L sense invertir (incorrecte).
   • C: a l'esquerra «⅃» i a sota «Γ» (correcte).
   • D: a l'esquerra hi ha una L sense invertir (incorrecte).

La resposta és la figura C.

1. Una setmana són 7 dies i una parella són 2 persones.
2. Despesa d'una persona en una setmana: $159 \times 7 = 1.113$ €.
3. Despesa de la parella: $1.113 \times 2 = 2.226$ €.

S'hauran gastat de mitjana 2.226 € (1.113 € cadascun).

1. Any de l'arribada de l'ésser humà a la Lluna. Si el 2019 es va celebrar el 50è aniversari, l'arribada va ser: $2019 - 50 = 1969$.
2. Anys transcorreguts des de l'observació de Galileu (1609): $1969 - 1609 = 360$ anys.

Van haver de passar 360 anys.

1. Any de l'arribada de l'ésser humà a la Lluna: $2019 - 50 = 1969$ (dada ja obtinguda a la qüestió anterior).
2. Any en què Tintín trepitja la Lluna: el text diu que hi arriba el 1952 (l'any 1950 és quan comença el viatge, no quan arriba).
3. Avançament: $1969 - 1952 = 17$ anys.

Tintín es va avançar 17 anys.

1. Apliquem la regla de Laplace (casos favorables / casos possibles), ja que tots els caramels d'una bossa tenen la mateixa probabilitat de sortir.
2. Marta: 10 de menta d'un total de $10 + 6 = 16$: $P_M(\text{menta}) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} = 0{,}625$.
3. Joan: 6 de menta d'un total de $6 + 2 = 8$: $P_J(\text{menta}) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.
4. Comparació: amb el mateix denominador, $\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$ (75 % > 62,5 %).

Té una probabilitat més alta en Joan.

1. Idea clau. En total hi ha $10 + 6 = 16$ caramels de menta i $6 + 2 = 8$ de taronja, és a dir, 24 caramels, dels quals $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ són de menta. Si les dues bosses han de tenir la mateixa proporció de menta, aquesta proporció ha de ser la mateixa que la del conjunt: $\frac{2}{3}$ de menta (2 de menta per cada 1 de taronja). (Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, llavors també $\frac{a+c}{b+d}$ val el mateix.)
2. Plantejament. Si la Marta passa $m$ caramels de menta i $t$ de taronja, es queda amb $10 - m$ de menta i $6 - t$ de taronja, i ha de tenir el doble de menta que de taronja: $10 - m = 2(6 - t) \Rightarrow m = 2t - 2$.
3. Solucions possibles ($0 \le m \le 10$, $0 \le t \le 6$, i la Marta s'ha de quedar algun caramel):
   • $t = 1 \Rightarrow m = 0$; $t = 2 \Rightarrow m = 2$; $t = 3 \Rightarrow m = 4$; $t = 4 \Rightarrow m = 6$; $t = 5 \Rightarrow m = 8$.
   • ($t = 6,\ m = 10$ deixaria la bossa de la Marta buida: no té sentit.)
4. Comprovació de la solució 8 de menta i 5 de taronja:
   • Marta: $10 - 8 = 2$ de menta i $6 - 5 = 1$ de taronja: $P = \frac{2}{3}$.
   • Joan: $6 + 8 = 14$ de menta i $2 + 5 = 7$ de taronja: $P = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$. Les probabilitats són iguals.

Una solució: s'haurien de passar 8 caramels de menta i 5 de taronja (també valen 6 i 4, 4 i 3, 2 i 2, o 0 i 1).

1. Observem els dibuixos.
   • Pas 1: cada pal vertical té 3 gomets i el travesser central, 1. Total: $3 + 3 + 1 = 7$.
   • Pas 2: cada pal vertical té 5 gomets i el travesser, 2. Total: $5 + 5 + 2 = 12$.
2. Detectem el patró. En el pas $n$:
   • el travesser té $n$ gomets;
   • cada pal vertical té $2n + 1$ gomets (el travesser al mig, $n$ gomets per sobre i $n$ per sota). Total: $H(n) = 2(2n + 1) + n = 5n + 2$. Cada pas afegeix 5 gomets (2 a cada pal i 1 al travesser).
3. Calculem:

Calen 17 gomets en el pas 3, 22 en el pas 4 i 27 en el pas 5.

1. Patró de la H (qüestió anterior): $H(n) = 5n + 2$.
2. Patró de la F. Observem els dibuixos:
   • Pas 1: pal vertical de 5 gomets i dos braços d'1 gomet: $5 + 2 = 7$.
   • Pas 2: pal vertical de 6 gomets i dos braços de 2 gomets: $6 + 4 = 10$. En el pas $n$: pal vertical de $n + 4$ gomets i dos braços de $n$ gomets: $F(n) = (n + 4) + 2n = 3n + 4 = 3(n + 1) + 1$. Cada pas afegeix 3 gomets.
3. Comparació algebraica: $5n + 2 = 3n + 4 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$. L'única solució és el pas 1.
4. Comparació amb una taula:

A partir del pas 1, la H augmenta 5 gomets per pas i la F només 3, de manera que la diferència $H(n) - F(n) = 2n - 2$ creix sempre i no torna a ser zero.

No: només necessiten el mateix nombre de gomets en el pas 1 (7 gomets).

1. Cada got ocupa un quadrat de 9 cm × 9 cm a la base: el cercle de 9 cm de diàmetre queda inscrit en aquest quadrat. Com que la base ha de ser rectangular i els gots no s'apilen, els col·loquem en files i columnes.
2. Distribucions possibles (files × columnes amb producte 12, sense comptar les girades com a diferents):
   • 1 × 12 → base de $9 \times 108$ cm.
   • 2 × 6 → base de $18 \times 54$ cm.
   • 3 × 4 → base de $27 \times 36$ cm.
3. Àrea de la base:
   • 1 × 12: $9 \times 108 = 972\ \text{cm}^2$.
   • 2 × 6: $18 \times 54 = 972\ \text{cm}^2$.
   • 3 × 4: $27 \times 36 = 972\ \text{cm}^2$. En tots els casos és $12 \times 9 \times 9 = 972\ \text{cm}^2$, perquè la base sempre conté 12 quadrats de $81\ \text{cm}^2$.
4. Quina utilitza menys material? L'alçària de la caixa és sempre 12 cm, però el perímetre de la base canvia: $2(9+108) = 234$ cm, $2(18+54) = 144$ cm i $2(27+36) = 126$ cm. La distribució 3 × 4 (la base més «quadrada») té el perímetre més petit i, per tant, menys cartró a les parets.
5. Comentari: si els gots es col·loquen encaixats en files alternes (4-4-4 o 6-6), la base rectangular que els conté és més gran (995,83 cm² i 982,45 cm²), de manera que no millora les distribucions anteriors.

Distribucions 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, totes amb una base de 972 cm²; la 3 × 4 és la que fa servir menys material.

1. Volum. Totes les caixes tenen la mateixa base ($972\ \text{cm}^2$, vegeu Q17) i la mateixa alçària (12 cm, l'alçària dels gots). Per tant, totes tenen el mateix volum: $V = 972 \times 12 = 11.664\ \text{cm}^3$. El volum no permet triar: cal comparar la superfície de cartró.
2. Superfície lateral (alçària 12 cm; costats de la base $9a$ i $9b$ cm):
   • 1 × 12: $2(9 \times 12) + 2(108 \times 12) = 216 + 2.592 = 2.808\ \text{cm}^2$.
   • 2 × 6: $2(18 \times 12) + 2(54 \times 12) = 432 + 1.296 = 1.728\ \text{cm}^2$.
   • 3 × 4: $2(27 \times 12) + 2(36 \times 12) = 648 + 864 = 1.512\ \text{cm}^2$.
3. Superfície total (base i tapa iguals en tots els casos, $2 \times 972 = 1.944\ \text{cm}^2$):
   • 1 × 12: $4.752\ \text{cm}^2$; 2 × 6: $3.672\ \text{cm}^2$; 3 × 4: $3.456\ \text{cm}^2$.
4. Conclusió. Amb la mateixa àrea de base, el perímetre (i, per tant, la superfície lateral) és mínim quan el rectangle és el més semblant possible a un quadrat, que és el cas 3 × 4.

Nota: la pregunta parla de «volum de caixa més petit», però tots els volums són iguals (11.664 cm³); el que realment es minimitza és el cartró, i la pauta respon en aquest sentit.

La distribució que fa servir menys cartró és la 3 × 4 (caixa de 27 cm × 36 cm × 12 cm).

1. Bitllet senzill: cada viatge costa 11,25 €, de manera que $n$ viatges costen $11{,}25\,n$ €. És una relació de proporcionalitat directa: punts alineats sobre una recta que passa per l'origen. Per a 50 viatges, $11{,}25 \times 50 = 562{,}50$ €, que coincideix amb el darrer punt de la gràfica A (prop de 560 €).
2. Abonament exprés de 10 viatges: un abonament (68,35 €) serveix per a 10 viatges; per a l'11è cal comprar-ne un segon, etc. El cost és $68{,}35 \times \lceil n/10 \rceil$: és constant en trams de 10 viatges i fa un salt cada 10 viatges (68,35; 136,70; 205,05; 273,40; 341,75 €). És la funció «en esglaons» de la gràfica B.
3. Abonament mensual: costa 181 € facin els viatges que facin (il·limitats en 30 dies): és una funció constant, una línia horitzontal a l'altura de 181 €, que és la gràfica C.

Bitllet senzill → A; Abonament exprés de 10 viatges → B; Abonament mensual → C.

1. Costos de cada opció per a $n$ viatges en un mes:
   • Bitllets senzills: $11{,}25\,n$ €.
   • Abonaments exprés: 68,35 € per cada bloc de 10 viatges (els viatges que sobrin es poden fer amb bitllets senzills).
   • Abonament mensual: 181 €, fixos.
2. Bitllet senzill o un abonament exprés (fins a 10 viatges): $11{,}25 \times 6 = 67{,}50 < 68{,}35$, però $11{,}25 \times 7 = 78{,}75 > 68{,}35$. Fins a 6 viatges, millor bitllets senzills; de 7 a 10, millor un abonament exprés (68,35 €).
3. De 11 a 20 viatges: comparem un abonament exprés + bitllets senzills amb dos abonaments exprés (136,70 €): $68{,}35 + 11{,}25\,k \le 136{,}70 \iff 11{,}25\,k \le 68{,}35 \iff k \le 6$. De 11 a 16 viatges, millor un abonament exprés i de 1 a 6 bitllets senzills (per exemple, 16 viatges: $68{,}35 + 67{,}50 = 135{,}85$ €); de 17 a 20, millor dos abonaments exprés (136,70 €).
4. A partir de 21 viatges: comparem dos abonaments exprés + bitllets amb l'abonament mensual (181 €): $136{,}70 + 11{,}25\,k \le 181 \iff 11{,}25\,k \le 44{,}30 \iff k \le 3$ (perquè $11{,}25 \times 3 = 33{,}75$ i $11{,}25 \times 4 = 45 > 44{,}30$). De 21 a 23 viatges, dos abonaments exprés i 1, 2 o 3 bitllets (23 viatges: 170,45 €); a partir de 24 viatges, l'abonament mensual (24 viatges amb l'altra combinació costarien 181,70 €). Un tercer abonament exprés (205,05 €) ja supera els 181 €.
5. Resum (R2 de la pauta):

Nota: la pauta també accepta la resposta simplificada R1 (que no considera totes les combinacions de bitllets i abonaments); la distribució exacta de franges és la de R2.