Examen de la PAP d'Educació 2026 · convocatòria extraordinària

Cal identificar les persones que apareixen al text i que van viure en la mateixa època que Antoni de Montserrat (1536-1600): el rei Sebastià I (de qui va ser preceptor), l’emperador Akbar, el seu fill Murâd, el germanastre Mirzâ Hakim i el rei Felip II de Castella i I de Portugal. Totes cinc figures són a l’opció a.

• b) és incorrecta perquè Goa és un territori (una colònia portuguesa), no un personatge, i Marco Polo no s’esmenta en aquest text (i va viure tres segles abans).
• c) és incorrecta perquè Fatehpur Sîkri és una ciutat (la capital construïda per Akbar), no un personatge.

(Ignasi de Loiola també s’esmenta, però no apareix a cap opció.)

Reconstruïm el recorregut seguint el text: neix a Vic, estudia a Barcelona i a Coïmbra, treballa a Lisboa, és enviat a Goa (1574), és cridat per Akbar a Fatehpur Sîkri (1579), acompanya l’emperador en la campanya contra Mirzâ Hakim, que volia conquerir Bengala, torna «a casa» (Fatehpur Sîkri) el 1581, se’n va a Goa un any més tard, de camí cap a Etiòpia és capturat al Iemen i mor a Salsette. Aquest és exactament l’ordre de l’opció b.

• a) és incorrecta: Loiola no és un lloc on anés (només el va fascinar la figura d’Ignasi de Loiola) i Akbar és una persona, no un lloc.
• c) és incorrecta: no arriba mai a Etiòpia (és capturat abans d’arribar-hi), Armènia no és un destí (només es disfressa de mercader armeni) i l’Everest és una metàfora de la mort («el seu Everest particular»). A més, posa Bengala abans de Fatehpur Sîkri.

El text diu que Akbar «volia saber què predicaven les diferents confessions», que va convocar «teòlegs cristians, budistes, islamistes i hinduistes» i que «no es tractava tant de determinar quina era la millor religió, sinó de conèixer-les, comparar-les i entendre-les amb respecte». És exactament el que diu l’opció c.

• a) és incorrecta: el text no atribueix a Akbar cap intenció d’atacar territoris cristians; volia conèixer «de primera mà el cristianisme» per curiositat i respecte.
• b) és incorrecta: el text afirma explícitament que «no tenia intenció de convertir-se al cristianisme» i que no es tractava de determinar quina era la millor religió.

El text destaca que «ens ha llegat un tresor cartogràfic» i que va escriure el Mongolicae legationis commentarius, «una de les grans publicacions de la literatura de viatges de tota la història», amb un mapa de l’Himàlaia «que ha esdevingut mític» i que va estar vigent fins ben entrat el segle XIX. El llegat, doncs, és la seva obra escrita de viatges i la cartografia de l’Himàlaia: opció a.

• b) és incorrecta: el text no diu que fos dels primers europeus a viatjar a Orient (abans hi havien anat altres viatgers, com Marco Polo) ni que «descobrís» l’Himàlaia; el que va fer va ser cartografiar-la.
• c) és incorrecta: anar en elefant és una anècdota, no un llegat, i Akbar no es va convertir al cristianisme («no tenia intenció de convertir-se»).

El primer paràgraf és una introducció que presenta el personatge i en destaca l’esperit viatger i el llegat cartogràfic. A partir del segon paràgraf, la biografia segueix l’ordre dels fets: formació (Barcelona, Coïmbra), entrada als jesuïtes (1558, 1561), Lisboa, Goa (1574), la cort d’Akbar (1579), la campanya militar (1581), el retorn a Goa, l’escriptura del diari, el viatge cap a Etiòpia (1588), el captiveri (fins al 1596) i la mort. L’ordre és «sobretot» cronològic perquè hi ha algunes digressions (la descripció de l’imperi d’Akbar, els relats sobre elefants, bhutanesos i bramans). Opció c.

• a) és incorrecta: l’ordre no va dels fets més recents als més antics (seria cronologia inversa), i el text tampoc no és estrictament objectiu: conté valoracions («Impressiona l’esperit viatger», «relats [...] impagables», «perla»).
• b) és incorrecta: el text no ordena els fets per importància ni separa les «missions fallides» al final; segueix la vida del personatge en el temps.

1. Rellegir el text fixant-se en totes les paraules que comencen amb majúscula i agrupar-les per tipus: persones, llocs, institucions, títols d’obres, inici d’oració.
2. Triar-ne almenys tres (el criteri específic exigeix tres usos correctes per obtenir els 5 punts) i anomenar cada funció amb la terminologia adequada (nom propi de persona, topònim, nom d’institució, títol d’obra, inici d’oració).
3. Donar un exemple del text per a cada funció, sense confondre categories (per exemple, Goa és topònim, no persona).
4. Redactar la resposta amb connectors d’ordre i amb paraules pròpies.

1. Identificar que els dos títols (en cursiva al text) corresponen a obres escrites pel protagonista: el text diu que són «dos únics escrits que es conserven».
2. Localitzar la informació de cadascuna: el Relaçam apareix al quart paràgraf (descripció d’Akbar); el Commentarius, al paràgraf que comença «De Goa estant» i als següents (diari de viatge, mapa, relats).
3. Seleccionar les dades essencials de cada obra (contingut, importància, mapa) i ometre detalls anecdòtics innecessaris.
4. Redactar amb paraules pròpies, diferenciant clarament les dues obres.

1. Localitzar el paràgraf on es parla del «periple»: «El germanastre de l’emperador, Mirzâ Hakim —virrei de Kabul—, es va rebel·lar i va intentar conquerir la regió de Bengala. Davant d’això, Akbar va haver d’emprendre una campanya militar, per tal de sufocar la revolta».
2. Identificar la causa (la rebel·lió de Mirzâ Hakim i l’intent de conquerir Bengala) i la finalitat (sufocar la revolta).
3. Explicar qui era Mirzâ Hakim (germanastre i virrei de Kabul) i, si es vol, per què hi anaven Murâd i Montserrat (el jesuïta n’era el guia o tutor).
4. Reformular-ho amb paraules pròpies, sense copiar literalment el fragment.

1. Anàlisi de l’encàrrec. Gènere: entrada de dietari o de blog de viatges, escrita en primera persona. Contingut: una anècdota o un fet que hagi meravellat o irritat, i una justificació de per què és destacable (part argumentativa). Requisits formals: títol, data i lloc, 250-300 paraules i recompte final. Registre: personal i proper, però correcte.
2. Tria de l’anècdota. Millor una experiència concreta i viscuda (o versemblant) que permeti una reflexió amb valor afegit: turisme massiu, xoc cultural, un costum sorprenent, etc. Es pot connectar amb el text de lectura (l’esperit viatger, la sorpresa davant d’altres cultures).
3. Esquema:
   • Capçalera: títol, lloc i data.
   • Introducció: context del viatge i impressió general.
   • Narració: l’anècdota, amb detalls sensorials i, si escau, un diàleg breu.
   • Argumentació: per què és destacable (dades, coneixement del món, comparació amb altres llocs o èpoques).
   • Conclusió: aprenentatge personal o reflexió crítica.
4. Cohesió: connectors temporals (a primera hora, al migdia) i argumentatius (però, per això, alhora); temps verbals coherents (perfet per al que ha passat «avui»).
5. Revisió: comptar les paraules, comprovar que hi hagi títol, data i lloc, i repassar l’ortografia i la puntuació (cada error resta 1 punt).

Com abordar l’exercici. Fer diverses lectures del text, cadascuna centrada en una categoria d’errors:

1. Ortografia: accents (néixer), essa sonora (precisió), dígrafs (conèixer), g/j (viatge), guionet en els numerals, mots separats o units incorrectament (s’havia, és clar), tan/tant.
2. Morfologia: contracció i apostrofació de l’article (de l’època).
3. Sintaxi: caiguda de la preposició davant de que, règim preposicional (respectuós amb), concordança subjecte-verb.
4. Puntuació i tipografia: espais abans de la coma.
5. Cohesió: connectors que no lliguen amb el que precedeix (Per tant).
6. Coherència i cultura general: dates i segles (1254 és segle XIII), gentilicis (venecià, no veneçolà), convencions (segles en xifres romanes).

Després, triar els deu errors més segurs i justificar-los amb terminologia gramatical (0,75 punts) i no només amb una explicació intuïtiva (0,5 punts).

Classificació dels errors de la pauta:

1. La proporció homes : dones és $5 : 3$. Cada "grup" complet té $5 + 3 = 8$ persones.
2. Nombre de grups: $240 : 8 = 30$.
3. Dones: $3 \times 30 = 90$. Homes: $5 \times 30 = 150$.
4. Comprovació: $90 + 150 = 240$ i $\frac{150}{90} = \frac{5}{3}$.

Equivalentment, les dones són $\frac{3}{8}$ del total: $\frac{3}{8} \times 240 = 90$, i els homes $\frac{5}{8} \times 240 = 150$.

1. Preu sense oferta de dues pizzes: $2 \times 15 = 30$ €.
2. Estalvi amb l'oferta: $30 - 24 = 6$ €.
3. Percentatge de descompte respecte del preu inicial: $\frac{6}{30} \times 100 = 20\ \%$.

Alternativament: es paga $\frac{24}{30} = 0{,}8 = 80\ \%$ del preu, de manera que el descompte és del $100\ \% - 80\ \% = 20\ \%$.

1. Figura A. La zona grisa és un quart de cercle de radi $r = 1$ cm (centre al vèrtex inferior esquerre del quadrat): $A_A = \frac{1}{4}\pi \cdot 1^2 = \frac{\pi}{4}\ \text{cm}^2$.
2. Figura B. La zona grisa està formada per quatre quarts de cercle, un a cada vèrtex del quadrat, de radi $r = \frac{1}{2}$ cm (els arcs es toquen als punts mitjos dels costats). Quatre quarts de cercle formen un cercle sencer: $A_B = \pi \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}\ \text{cm}^2$.
3. Com que $A_A = A_B = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\ \text{cm}^2$, les àrees grises són iguals.

Es comprova cada afirmació amb les dades de la taula:

• A. Falsa. El 2022 l'edat d'emancipació a Espanya va ser de 30,3 anys, que és superior a 30. Per tant, no s'ha mantingut sempre per sota dels 30 anys.
• B. Falsa. El 2022 la diferència va ser $30{,}3 - 26{,}4 = 3{,}9$ anys, que és inferior a 4 anys.
• C. Certa. A la UE l'edat va passar de 26,2 (2012) a 26,3 (2017) i a 26,4 (2022): ha crescut, però només 0,2 anys en total, és a dir, lleugerament.

1. Conversió sense comissió: $300 \times 165 = 49.500$ JPY.
2. Es resta la comissió fixa de l'operació: $49.500 - 1.000 = 48.500$ JPY.

Per tant, la Júlia rebria 48.500 iens.

1. Observem que la figura (un quadrat dividit en quatre quadrats petits amb un triangle negre) gira 45° en sentit horari d'una posició a la següent: per això alterna entre la posició "recta" (posicions 1 i 3) i la posició "de rombe" (posicions 2 i 4), i el triangle negre va avançant al voltant del centre.
2. De la posició 1 a la 3 hi ha un gir de 90°: el triangle passa del quadrat petit inferior esquerre al superior esquerre. De la posició 3 a la 5 hi haurà un altre gir de 90°: el triangle passarà al quadrat petit superior dret.
3. Equivalentment, la posició 5 és la posició 1 girada 180°: el triangle negre, que a la posició 1 ocupa la meitat superior esquerra del quadrat petit inferior esquerre, passa a ocupar la meitat inferior dreta del quadrat petit superior dret, amb el quadrat en posició recta.
4. Això és exactament la figura D.
   • A coincideix amb la posició 1 (no hi ha gir).
   • B i C estan en posició de rombe, que correspon a les posicions parells (2, 4, 6…), no a la 5.

La figura 1 és un quadrat al qual s'ha tallat una cantonada (la superior dreta) amb un segment oblic.

• A. Falsa. Té tres angles rectes (90°), però els dos angles dels vèrtexs del tall són obtusos: cadascun mesura $180° - 45° = 135°$. (Comprovació: la suma dels angles interiors d'un pentàgon és $(5-2) \times 180° = 540°$ i $3 \times 90° + 2 \times 135° = 540°$.)
• B. Falsa. El tall és simètric respecte de la diagonal que va del vèrtex inferior esquerre a la cantonada tallada, de manera que la figura té un eix de simetria.
• C. Certa. Té 5 costats, per tant és un pentàgon; no és regular perquè ni els costats ni els angles són tots iguals (hi ha angles de 90° i de 135°).
• D. Falsa, perquè la C és correcta.

Fem servir la regla de Laplace: $P(\text{negra}) = \frac{\text{boles negres}}{\text{boles totals}}$. Comptem les boles de cada pot a la imatge:

Els únics pots amb la mateixa probabilitat són B i D, tots dos amb $P = \frac{1}{2}$.

1. Suposem que la piscina té parets verticals, de manera que el volum d'aigua és proporcional a l'alçària del nivell.
2. Si $\frac{2}{5}$ de la capacitat són 400 L, aleshores $\frac{1}{5}$ són $400 : 2 = 200$ L.
3. La capacitat total ($\frac{5}{5}$) és $5 \times 200 = 1.000$ L.

Equivalentment: $400 : \frac{2}{5} = 400 \times \frac{5}{2} = 1.000$ L.

1. Llegim el gràfic: 2 cooperatives venen la garrafa a 39 €, 4 cooperatives a 40 € i 2 cooperatives a 41 €. En total hi ha $2 + 4 + 2 = 8$ cooperatives.
2. Mitjana ponderada: $\bar{x} = \frac{2 \cdot 39 + 4 \cdot 40 + 2 \cdot 41}{8} = \frac{78 + 160 + 82}{8} = \frac{320}{8} = 40$ €.
3. Raonament ràpid: la distribució és simètrica respecte de 40 € (tantes cooperatives a 39 € com a 41 €), per tant la mitjana és 40 €.

1. Velocitat d'escalfament. Comprovem que l'augment és constant:

   • Entre les 2 h i les 4 h (2 h): la temperatura puja $10 - 8{,}5 = 1{,}5$ °C, és a dir, $\frac{1{,}5}{2} = 0{,}75$ °C/h.
   • Entre les 4 h i les 10 h (6 h): puja $14{,}5 - 10 = 4{,}5$ °C, és a dir, $\frac{4{,}5}{6} = 0{,}75$ °C/h.
   • També des de l'arribada: de 7 °C a 8,5 °C en 2 h, $\frac{1{,}5}{2} = 0{,}75$ °C/h.

   Per tant, cada hora la temperatura augmenta 0,75 °C. La relació és $T = 7 + 0{,}75\,t$ ($t$ en hores).

2. Augment necessari. De 7 °C a 19 °C: $19 - 7 = 12$ °C.

3. Temps. $t = \frac{12}{0{,}75} = 16$ h.

Alternativa (a partir d'una dada de la taula): a les 10 h hi ha 14,5 °C; falten $19 - 14{,}5 = 4{,}5$ °C, que requereixen $\frac{4{,}5}{0{,}75} = 6$ h més. Total: $10 + 6 = 16$ h.

També es pot continuar la taula: 12 h → 16 °C; 14 h → 17,5 °C; 16 h → 19 °C.

1. Velocitat actual d'escalfament (vegeu Q11): $0{,}75$ °C/h.
2. "El doble de ràpid" vol dir que la temperatura puja el doble cada hora: $2 \times 0{,}75 = 1{,}5$ °C/h.
3. Augment necessari: $25 - 7 = 18$ °C.
4. Temps: $t = \frac{18}{1{,}5} = 12$ h.

Alternativa: amb el sistema actual caldrien $\frac{18}{0{,}75} = 24$ h; si s'escalfa el doble de ràpid, cal la meitat del temps: $\frac{24}{2} = 12$ h.

Com que 12 h < 24 h, la Caterina aconseguiria tenir la casa a 25 °C en menys d'un dia.

1. Consum diari de les descàrregues curtes: $80 \times 4 = 320$ L/dia.
2. Consum diari de les descàrregues llargues: $20 \times 9 = 180$ L/dia.
3. Consum total diari del vàter: $320 + 180 = 500$ L/dia.
4. Percentatge de les curtes: $\frac{320}{500} \times 100 = 64\ \%$.

Nota: no s'ha de confondre amb el percentatge de nombre de descàrregues curtes ($\frac{80}{100} = 80\ \%$); la pregunta demana el percentatge del consum d'aigua.

1. Estalvi diari d'un vàter: totes les descàrregues curtes es fan amb aigua reutilitzada, per tant s'estalvia el seu consum: $80 \times 4 = 320$ L/dia.
2. Estalvi diari dels 12 vàters: $12 \times 320 = 3.840$ L/dia.
3. Una setmana lectiva (de dilluns a divendres) són 5 dies: $3.840 \times 5 = 19.200$ L.

S'estalviarien 19.200 L d'aigua potable a la setmana.

La superfície total d'un cilindre és la suma de les dues bases (cercles) i la superfície lateral (un rectangle de base la longitud de la circumferència i altura $h$): $$A_{\text{total}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h.$$

1. Envàs actual: diàmetre 6 cm, per tant $r = 3$ cm; $h = 4$ cm.
   • Bases: $2\pi \cdot 3^2 = 18\pi\ \text{cm}^2$.
   • Lateral: $2\pi \cdot 3 \cdot 4 = 24\pi\ \text{cm}^2$.
   • Total: $18\pi + 24\pi = 42\pi\ \text{cm}^2$.
2. Nou envàs: diàmetre 4 cm, per tant $r = 2$ cm; $h = 6$ cm.
   • Bases: $2\pi \cdot 2^2 = 8\pi\ \text{cm}^2$.
   • Lateral: $2\pi \cdot 2 \cdot 6 = 24\pi\ \text{cm}^2$.
   • Total: $8\pi + 24\pi = 32\pi\ \text{cm}^2$.

Observeu que la superfície lateral és la mateixa en tots dos ($24\pi$); la diferència ve de les tapes. El nou envàs necessita menys llauna ($32\pi < 42\pi$).

El volum (capacitat) d'un cilindre és l'àrea de la base per l'altura: $V = \pi r^2 h$.

1. Envàs actual: $r = 3$ cm, $h = 4$ cm: $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi\ \text{cm}^3$.
2. Nou envàs: $r = 2$ cm, $h = 6$ cm: $V = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi\ \text{cm}^3$.
3. Les capacitats són diferents ($36\pi \neq 24\pi$): el nou envàs té $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ de la capacitat de l'actual. Per tant, la gerenta té raó: no té sentit comparar només la llauna utilitzada, perquè el nou envàs conté menys tonyina.

Comentari: si es compara la llauna per unitat de capacitat, l'envàs actual gasta $\frac{42\pi}{36\pi} \approx 1{,}17\ \text{cm}^2$ per cm³ i el nou $\frac{32\pi}{24\pi} \approx 1{,}33\ \text{cm}^2$ per cm³; és a dir, per envasar la mateixa quantitat de tonyina, el nou envàs gastaria més llauna.

Tots tres han corregut durant el mateix temps, 12 minuts. Apliquem $v = \frac{d}{t}$:

• Laia: $v = \frac{2.400\ \text{m}}{12\ \text{min}} = 200\ \text{m/min}$.
• Pau: $v = \frac{1.800\ \text{m}}{12\ \text{min}} = 150\ \text{m/min}$.
• Joan: $v = \frac{1.500\ \text{m}}{12\ \text{min}} = 125\ \text{m/min}$.

1. Velocitats mitjanes (Q17): Laia 200 m/min, Pau 150 m/min, Joan 125 m/min.
2. El ritme és el temps per recórrer 1 km = 1.000 m: $\text{ritme} = \frac{1.000}{v}$ (min/km). També es pot llegir al gràfic, entrant per l'eix horitzontal amb la velocitat.
   • Laia: $\frac{1.000}{200} = 5$ min/km.
   • Pau: $\frac{1.000}{150} = \frac{20}{3} \approx 6{,}7$ min/km (6 min 40 s per km).
   • Joan: $\frac{1.000}{125} = 8$ min/km.
3. Un ritme és millor com menys temps es tarda a fer 1 km (el ritme i la velocitat són inversament proporcionals). Com que $5 < 6{,}7 < 8$, el millor ritme és el de la Laia, 5 min/km.

1. Una variable estadística és la característica que s'estudia en cada individu de la mostra; els seus valors (o modalitats) són els resultats possibles.
2. Al diagrama de sectors, la característica estudiada és el nivell d'estudis assolit. És una variable qualitativa ordinal, amb tres modalitats: educació primària o inferior (14 %), educació secundària (51 %) i educació superior (35 %).
3. Al diagrama de barres, a més del nivell d'estudis (que es representa amb el color de les barres), apareix l'opinió sobre si es prefereix viure a la ciutat. També és qualitativa, amb quatre modalitats: NS/NC, en desacord, ni d'acord ni en desacord, d'acord.
4. N'hi ha prou d'indicar-ne una i els seus valors.

1. Persones amb estudis superiors. Al diagrama de sectors, l'educació superior representa el 35 % dels enquestats: $35\ \% \text{ de } 4.000 = \frac{35 \times 4.000}{100} = 1.400$ persones.
2. Persones amb estudis superiors que prefereixen viure a la ciutat. Al diagrama de barres, els percentatges es calculen per nivell d'estudis (cada color suma el 100 %). Per a les persones amb educació superior (barres blanques), el 40 % estan d'acord a preferir viure a la ciutat: $40\ \% \text{ de } 1.400 = \frac{40 \times 1.400}{100} = 560$ persones.
3. Atenció: el 40 % s'aplica a les 1.400 persones amb estudis superiors, no al total de 4.000 (no serien $0{,}40 \times 4.000 = 1.600$).

Comprovació de la lectura del gràfic: per a educació superior, $33\ \% + 27\ \% + 40\ \% = 100\ \%$ (no hi ha barra de NS/NC).