Perímetres i àrees · Competència logicomatemàtica · PAP 2022 ordinària · Exercici 17

Prova d'aptitud personal (PAP) dels graus d'Educació Infantil i Primària · Competència logicomatemàtica · convocatòria ordinària de 2022 · exercici 17

També hi surt: Mesura, Raonament logicomatemàtic i resolució de problemes.

Marca el teu progrés a la Sala d'estudi Obre l'examen complet de 2022

Enunciat

Problema 4. En Bernat té 12 gots cilíndrics. Cada got mesura 12 cm d'alçària i 9 cm de diàmetre. El seu pare li proposa construir una caixa de cartró per a empaquetar els 12 gots utilitzant el mínim material possible. Li demana també:

que la base de la caixa sigui rectangular;
que els gots no s'apilin un sobre l'altre, i
que els gots recolzin sobre la seva base.

Descriviu les diferents distribucions dels gots a la caixa que en Bernat podria proposar i calculeu l'àrea de la base de la caixa on recolzen els gots. Justifiqueu la resposta.

Enunciat oficial (PDF, pàg. 8) · Pauta oficial de correcció (PDF)

Sobre aquest exercici

Tema: Perímetres i àrees: Perímetres i àrees de figures planes (polígons, cercles, figures compostes, figures sobre quadrícula), longitud de la circumferència, àrees de superfícies de cossos.
Què es treballa: distribucions de 12 gots en una caixa i àrea de la base. També hi surt: Mesura, Raonament logicomatemàtic i resolució de problemes.
Examen: PAP d'Educació 2022, convocatòria ordinària, prova Competència logicomatemàtica (CLOM, 25 punts, 120 minuts): l'examen sencer.
Nivell: Prova d'aptitud personal (PAP) per als graus d'Educació Infantil i Primària.

Perímetres i àrees en altres convocatòries

PAP 2022 extraordinària · Exercici 1perímetre d'una figura en forma de L ampliada
PAP 2023 extraordinària · Exercici 4comparar àrees de dues figures sobre quadrícula
PAP 2023 ordinària · Exercici 4àrea d'un triangle inscrit en un rectangle d'àrea 24
PAP 2021 ordinària · Exercici 17rectangle d'àrea màxima amb perímetre 14 m i costats enters
PAP 2024 extraordinària · Exercici 4àrea d'un quadrat quan el costat es redueix a un terç

Mira la solucióAmaga la solució

Resposta: la de la pauta oficial de la prova. Procediment: elaboració de L'Acadèmia de Vic.

Resposta oficial

Es consideren vàlides dues respostes:

R1: es descriuen les distribucions de gots 1x12, 2x6 i 3x4, amb $A(\text{base de la caixa}) = 972\ \text{cm}^2$ .
R2: es dona la distribució de gots 3x4, amb $A(\text{base de la caixa}) = 972\ \text{cm}^2$ , com el cas que utilitza el mínim material possible.

Càlcul oficial: en els tres casos, $12 \times 9\ \text{cm} \times 9\ \text{cm} = 972\ \text{cm}^2$ .

Observació de la pauta: també es poden considerar vàlides distribucions alternatives amb gots encaixats (files alternes) i base rectangular, que donen bases més grans:

Cas 4-4-4: $40{,}5\ \text{cm} \times 9(1+\sqrt{3})\ \text{cm}$ , àrea $\approx 995{,}83\ \text{cm}^2$ .
Cas 6-6: $58{,}5\ \text{cm} \times 9(1+\frac{\sqrt{3}}{2})\ \text{cm}$ , àrea $\approx 982{,}45\ \text{cm}^2$ .

Criteris de la pauta: 1,5 punts si es donen les distribucions (gràficament o numèricament) i l'àrea de la base en tots els casos (R1), o es justifica que 3x4 és la de mínim material (R2); 1 punt si només es treballen dos dels casos amb l'àrea correctament calculada.

Procediment

Cada got ocupa un quadrat de 9 cm × 9 cm a la base: el cercle de 9 cm de diàmetre queda inscrit en aquest quadrat. Com que la base ha de ser rectangular i els gots no s'apilen, els col·loquem en files i columnes.
Distribucions possibles (files × columnes amb producte 12, sense comptar les girades com a diferents):
- 1 × 12 → base de $9 \times 108$ cm.
- 2 × 6 → base de $18 \times 54$ cm.
- 3 × 4 → base de $27 \times 36$ cm.
Àrea de la base:
- 1 × 12: $9 \times 108 = 972\ \text{cm}^2$ .
- 2 × 6: $18 \times 54 = 972\ \text{cm}^2$ .
- 3 × 4: $27 \times 36 = 972\ \text{cm}^2$ . En tots els casos és $12 \times 9 \times 9 = 972\ \text{cm}^2$ , perquè la base sempre conté 12 quadrats de $81\ \text{cm}^2$ .
Quina utilitza menys material? L'alçària de la caixa és sempre 12 cm, però el perímetre de la base canvia: $2(9+108) = 234$ cm, $2(18+54) = 144$ cm i $2(27+36) = 126$ cm. La distribució 3 × 4 (la base més «quadrada») té el perímetre més petit i, per tant, menys cartró a les parets.
Comentari: si els gots es col·loquen encaixats en files alternes (4-4-4 o 6-6), la base rectangular que els conté és més gran (995,83 cm² i 982,45 cm²), de manera que no millora les distribucions anteriors.

Distribucions 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, totes amb una base de 972 cm²; la 3 × 4 és la que fa servir menys material.

Font: enunciats i pautes de correcció oficials de les proves d'aptitud personal (PAP) dels graus d'Educació Infantil i Primària, publicats per la Generalitat de Catalunya (universitats.gencat.cat). PDF oficials de CLOM 2022 (ordinària): enunciat i pauta de correcció. Els procediments i les respostes model són elaboració de L'Acadèmia de Vic.

Altres exercicis d'aquest examen

Exercici 1 Nombres i càlcul
Exercici 2 Volums i capacitats
Exercici 3 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 4 Fraccions, decimals i percentatges
Exercici 5 Geometria: formes, transformacions i visió espacial
Exercici 6 Raonament logicomatemàtic i resolució de problemes
Exercici 7 Raonament logicomatemàtic i resolució de problemes
Exercici 8 Probabilitat
Exercici 9 Geometria: formes, transformacions i visió espacial
Exercici 10 Nombres i càlcul
Exercici 11 Nombres i càlcul
Exercici 12 Nombres i càlcul
Exercici 13 Probabilitat
Exercici 14 Probabilitat
Exercici 15 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 16 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 18 Perímetres i àrees
Exercici 19 Funcions i gràfiques
Exercici 20 Funcions i gràfiques

Tots els exercicis PAP del tema «Perímetres i àrees» · PAP de CLOM per temes · Exàmens PAP d'Educació