Probabilitat · Competència logicomatemàtica · PAP 2022 ordinària · Exercici 14

1. Idea clau. En total hi ha $10 + 6 = 16$ caramels de menta i $6 + 2 = 8$ de taronja, és a dir, 24 caramels, dels quals $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$ són de menta. Si les dues bosses han de tenir la mateixa proporció de menta, aquesta proporció ha de ser la mateixa que la del conjunt: $\frac{2}{3}$ de menta (2 de menta per cada 1 de taronja). (Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, llavors també $\frac{a+c}{b+d}$ val el mateix.)
2. Plantejament. Si la Marta passa $m$ caramels de menta i $t$ de taronja, es queda amb $10 - m$ de menta i $6 - t$ de taronja, i ha de tenir el doble de menta que de taronja: $10 - m = 2(6 - t) \Rightarrow m = 2t - 2$.
3. Solucions possibles ($0 \le m \le 10$, $0 \le t \le 6$, i la Marta s'ha de quedar algun caramel):
   • $t = 1 \Rightarrow m = 0$; $t = 2 \Rightarrow m = 2$; $t = 3 \Rightarrow m = 4$; $t = 4 \Rightarrow m = 6$; $t = 5 \Rightarrow m = 8$.
   • ($t = 6,\ m = 10$ deixaria la bossa de la Marta buida: no té sentit.)
4. Comprovació de la solució 8 de menta i 5 de taronja:
   • Marta: $10 - 8 = 2$ de menta i $6 - 5 = 1$ de taronja: $P = \frac{2}{3}$.
   • Joan: $6 + 8 = 14$ de menta i $2 + 5 = 7$ de taronja: $P = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$. Les probabilitats són iguals.

Una solució: s'haurien de passar 8 caramels de menta i 5 de taronja (també valen 6 i 4, 4 i 3, 2 i 2, o 0 i 1).