Perímetres i àrees · Competència logicomatemàtica · PAP 2022 ordinària · Exercici 18

1. Volum. Totes les caixes tenen la mateixa base ($972\ \text{cm}^2$, vegeu Q17) i la mateixa alçària (12 cm, l'alçària dels gots). Per tant, totes tenen el mateix volum: $V = 972 \times 12 = 11.664\ \text{cm}^3$. El volum no permet triar: cal comparar la superfície de cartró.
2. Superfície lateral (alçària 12 cm; costats de la base $9a$ i $9b$ cm):
   • 1 × 12: $2(9 \times 12) + 2(108 \times 12) = 216 + 2.592 = 2.808\ \text{cm}^2$.
   • 2 × 6: $2(18 \times 12) + 2(54 \times 12) = 432 + 1.296 = 1.728\ \text{cm}^2$.
   • 3 × 4: $2(27 \times 12) + 2(36 \times 12) = 648 + 864 = 1.512\ \text{cm}^2$.
3. Superfície total (base i tapa iguals en tots els casos, $2 \times 972 = 1.944\ \text{cm}^2$):
   • 1 × 12: $4.752\ \text{cm}^2$; 2 × 6: $3.672\ \text{cm}^2$; 3 × 4: $3.456\ \text{cm}^2$.
4. Conclusió. Amb la mateixa àrea de base, el perímetre (i, per tant, la superfície lateral) és mínim quan el rectangle és el més semblant possible a un quadrat, que és el cas 3 × 4.

Nota: la pregunta parla de «volum de caixa més petit», però tots els volums són iguals (11.664 cm³); el que realment es minimitza és el cartró, i la pauta respon en aquest sentit.

La distribució que fa servir menys cartró és la 3 × 4 (caixa de 27 cm × 36 cm × 12 cm).