Perímetres i àrees · Competència logicomatemàtica · PAP 2022 extraordinària · Exercici 17

Prova d'aptitud personal (PAP) dels graus d'Educació Infantil i Primària · Competència logicomatemàtica · convocatòria extraordinària de 2022 · exercici 17

També hi surt: Mesura.

Marca el teu progrés a la Sala d'estudi Obre l'examen complet de 2022

Enunciat

Problema 4. Els catets d’un triangle rectangle fan 3 cm i 4 cm de longitud, tal com es mostra en la imatge següent:

Figura de l'exercici 17 de la PAP CLOM 2022 (extraordinària): triangle rectangle d'igual àrea i diferent perímetre que un de 3×4

Dibuixeu a la quadrícula de sota un altre triangle rectangle que tingui la mateixa superfície que l’original, però una forma i un perímetre diferents. Els vèrtexs del triangle han de coincidir amb un punt d’intersecció de les línies de la quadrícula. Justifiqueu la resposta.

Enunciat oficial (PDF, pàg. 8) · Pauta oficial de correcció (PDF)

Sobre aquest exercici

Tema: Perímetres i àrees: Perímetres i àrees de figures planes (polígons, cercles, figures compostes, figures sobre quadrícula), longitud de la circumferència, àrees de superfícies de cossos.
Què es treballa: triangle rectangle d'igual àrea i diferent perímetre que un de 3×4. També hi surt: Mesura.
Examen: PAP d'Educació 2022, convocatòria extraordinària, prova Competència logicomatemàtica (CLOM, 25 punts, 120 minuts): l'examen sencer.
Nivell: Prova d'aptitud personal (PAP) per als graus d'Educació Infantil i Primària.

Perímetres i àrees en altres convocatòries

PAP 2022 ordinària · Exercici 17distribucions de 12 gots en una caixa i àrea de la base
PAP 2023 extraordinària · Exercici 4comparar àrees de dues figures sobre quadrícula
PAP 2023 ordinària · Exercici 4àrea d'un triangle inscrit en un rectangle d'àrea 24
PAP 2021 ordinària · Exercici 17rectangle d'àrea màxima amb perímetre 14 m i costats enters
PAP 2024 extraordinària · Exercici 4àrea d'un quadrat quan el costat es redueix a un terç

Mira la solucióAmaga la solució

Resposta: la de la pauta oficial de la prova. Procediment: elaboració de L'Acadèmia de Vic.

Resposta oficial

Triangle de costats (catets): 1 cm i 12 cm (o 1 i 12) o bé 2 cm i 6 cm (o 2 i 6).

Criteris de puntuació (resum): 1,5 punts si es dibuixa un triangle rectangle vàlid (forma i perímetre diferents) i es justifica que té la mateixa àrea, ja sigui gràficament, comptant quadrets o amb la fórmula: original $\frac{3 \times 4}{2} = 6\ \text{cm}^2$ ; possibles respostes $\frac{1 \times 12}{2} = 6\ \text{cm}^2$ o $\frac{2 \times 6}{2} = 6\ \text{cm}^2$ ; 0 punts en la resta de casos.

Procediment

Àrea del triangle original: $A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6\ \text{cm}^2$ .
Busquem catets enters $a$ i $b$ (sobre les línies de la quadrícula) amb $\frac{a \cdot b}{2} = 6$ , és a dir, $a \cdot b = 12$ : les parelles són $1 \times 12$ , $2 \times 6$ i $3 \times 4$ . La de $3 \times 4$ és l’original (mateixa forma), així que queden $2 \times 6$ i $1 \times 12$ .
Comprovem que el perímetre és diferent:
- Original: hipotenusa $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , perímetre $3 + 4 + 5 = 12\ \text{cm}$ .
- Catets 2 i 6: hipotenusa $\sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} \approx 6{,}32$ , perímetre $\approx 14{,}32\ \text{cm}$ .
- Catets 1 i 12: hipotenusa $\sqrt{1 + 144} = \sqrt{145} \approx 12{,}04$ , perímetre $\approx 25{,}04\ \text{cm}$ .
La forma també és diferent, perquè la proporció entre els catets canvia ( $\frac{3}{4}$ davant de $\frac{2}{6}$ o $\frac{1}{12}$ ).
Dibuix: per exemple, un catet horitzontal de 6 quadrets i un de vertical de 2 quadrets que surtin del mateix punt de la quadrícula, i s’uneixen els extrems amb la hipotenusa. (El triangle de catets 1 i 12 no cap a la quadrícula de l’examen, que fa uns 10 × 8 quadrets; per això la de $2 \times 6$ és la més pràctica.)

Font: enunciats i pautes de correcció oficials de les proves d'aptitud personal (PAP) dels graus d'Educació Infantil i Primària, publicats per la Generalitat de Catalunya (universitats.gencat.cat). PDF oficials de CLOM 2022 (extraordinària): enunciat i pauta de correcció. Els procediments i les respostes model són elaboració de L'Acadèmia de Vic.

Altres exercicis d'aquest examen

Exercici 1 Perímetres i àrees
Exercici 2 Probabilitat
Exercici 3 Magnituds, unitats i temps
Exercici 4 Geometria: formes, transformacions i visió espacial
Exercici 5 Estadística
Exercici 6 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 7 Proporcionalitat
Exercici 8 Geometria: formes, transformacions i visió espacial
Exercici 9 Raonament logicomatemàtic i resolució de problemes
Exercici 10 Funcions i gràfiques
Exercici 11 Fraccions, decimals i percentatges
Exercici 12 Fraccions, decimals i percentatges
Exercici 13 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 14 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 15 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 16 Àlgebra, patrons i successions
Exercici 18 Perímetres i àrees
Exercici 19 Magnituds, unitats i temps
Exercici 20 Proporcionalitat

Tots els exercicis PAP del tema «Perímetres i àrees» · PAP de CLOM per temes · Exàmens PAP d'Educació