Perímetres i àrees · Competència logicomatemàtica · PAP 2023 extraordinària · Exercici 4

Prenem com a unitat d'àrea un quadret de la quadrícula i descomponem cada figura en peces senzilles (rectangles i triangles).

Figura A.

• La primera columna de quadrets (1 quadret d'amplada i 3 d'altura) queda tota dins de la figura: 3 quadrets.
• A la dreta d'aquesta columna hi ha un triangle superior de catets 1 (horitzontal) i 2 (vertical): $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ quadret.
• I un triangle inferior de base 2 (sobre la línia de baix) i altura 1: $\frac{2 \cdot 1}{2} = 1$ quadret.
• Total A: $3 + 1 + 1 = 5$ quadrets.

Figura B. La dividim per la línia horitzontal que passa pel vèrtex de l'esquerra:

• Part de dalt: triangle de base 4 i altura 1: $\frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ quadrets.
• Part de baix: es pot descompondre en tres triangles: un de base 3 i altura 1 ($1{,}5$), un amb un costat vertical d'1 quadret i altura horitzontal 2 ($1$) i un de base 3 i altura 1 ($1{,}5$): $1{,}5 + 1 + 1{,}5 = 4$ quadrets.
• Total B: $2 + 4 = 6$ quadrets.

Una manera sistemàtica de comprovar-ho és la fórmula del cordó (Gauss) amb les coordenades dels vèrtexs a la quadrícula (columna, fila):

• A: (1,1), (3,1), (2,3), (4,4), (1,4) → $\frac{|{-2}+7-4+12-3|}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
• B: (4,2), (7,1), (8,2), (7,2), (6,3), (9,3), (6,4) → $\frac{|{-10}+6+2+9-9+18-4|}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Com que $6 > 5$, la figura B té l'àrea més gran.