Perímetres i àrees · Competència logicomatemàtica · PAP 2024 ordinària · Exercici 13

Mètode 1 (equivalència d'àrees, pauta). La zona grisa està formada per un semicercle superior de radi 4 m i, a sota del diàmetre, la zona que queda entre els dos quarts de cercle blancs. Els dos "trossos" del semicercle gris que sobresurten per sobre de la línia mitjana encaixen exactament en els dos espais blancs del costat de baix (cada quart de cercle té el mateix radi, 4 m), de manera que la zona grisa ocupa exactament la meitat del quadrat:

1. Àrea del quadrat: $8 \times 8 = 64\ \text{m}^2$.
2. Àrea blanca: $64 : 2 = 32\ \text{m}^2$.
3. Cost: $32\ \text{m}^2 \times 10\ \text{€/m}^2 = 320$ €.

Mètode 2 (càlcul per meitats, pauta).

1. Meitat superior (rectangle de $8 \times 4 = 32\ \text{m}^2$): la zona gris és el semicercle de radi 4 m, d'àrea $\frac{\pi \cdot 4^2}{2} = \frac{3{,}14 \times 16}{2} = 25{,}12\ \text{m}^2$. La part blanca superior (els dos racons) és $32 - 25{,}12 = 6{,}88\ \text{m}^2$.
2. Meitat inferior: les zones blanques són dos quarts de cercle de radi 4 m: $2 \times \frac{\pi \cdot 4^2}{4} = \frac{3{,}14 \times 16}{2} = 25{,}12\ \text{m}^2$.
3. Àrea blanca total: $6{,}88 + 25{,}12 = 32\ \text{m}^2$.
4. Cost: $32 \times 10 = 320$ €.

Observeu que en el resultat final el valor de π es cancel·la: l'àrea blanca és exactament $32\ \text{m}^2$, sigui quina sigui l'aproximació de π.