Fraccions, decimals i percentatges · Competència logicomatemàtica · PAP 2025 extraordinària · Exercici 20

1. Model. Amb $n$ amics, la quota és $Q(n) = 100 \cdot 0{,}9^n$ €. Valors: 100; 90; 81; 72,90; 65,61; 59,05; … ; amb 10 amics, $100 \cdot 0{,}9^{10} \approx 34{,}87$ €; amb 20 amics, $\approx 12{,}16$ €; amb 50 amics, $\approx 0{,}52$ €.
2. Pot ser exactament 0? Cada amic fa que es pagui el 90 % de la quota anterior. Si la quota és positiva, el seu 90 % també és positiu: sempre queda un 10 % menys, però mai no s’arriba a 0. Matemàticament, $0{,}9^n > 0$ per a qualsevol $n$; la quota tendeix a 0 ($\lim_{n \to \infty} 100 \cdot 0{,}9^n = 0$), però només hi arribaria amb infinits amics. Per tant, en sentit estricte, l’afirmació és falsa.
3. I si arrodonim als cèntims? Una quota inferior a 0,005 € s’arrodoneix a 0,00 €. Com que la quota disminueix sense parar, n’hi ha prou amb portar molts amics: $100 \cdot 0{,}9^n < 0{,}005$ es compleix a partir de $n = 94$ amics. Amb aquest criteri d’arrodoniment, l’afirmació es podria considerar certa (tot i que a la pràctica és poc realista portar 94 amics).

Conclusió: la quota mai no arriba a ser exactament 0 (afirmació falsa); només si s’arrodoneix als cèntims es pot dir que surt gratis, a partir d’un nombre molt gran d’amics.