Salta al contingut
Classes de reforç
Menú

Exercicis d'estructures i resistència de materials — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

Aquests exercicis apliquen la física a les estructures que dissenyen els enginyers. Comences per identificar esforços en elements reals, com les barres d'un pont de bigues triangulades quan hi passa un camió, i continues amb el moment d'una força i les dues condicions d'equilibri d'un cos. Després calcules la tensió que suporta una barra a partir de la força i la secció, i expliques per què no es dissenya mai una estructura per treballar just al límit del material. Les solucions vigilen sempre les unitats. Errors típics: barrejar mm i m sense convertir abans de calcular i comparar la tensió calculada amb la de ruptura en lloc de la de treball.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Escriu la fórmula del moment d'una força i digues les seves unitats.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

M=F⋅dM = F\cdot d; es mesura en newton metre, N⋅m\text{N}\cdot\text{m}.

Resolució

  1. Què és. El moment d'una força mesura la capacitat que té aquesta força de fer girar un cos al voltant d'un punt o d'un eix.
  2. Fórmula. M=F⋅dM = F\cdot d on FF és la força i dd la distància (braç) des del punt de gir fins a la línia d'acció de la força, mesurada perpendicularment.
  3. Unitats. Al SI la força va en newtons i la distància en metres, de manera que el moment es mesura en N⋅m\text{N}\cdot\text{m} (newton per metre, en el sentit de producte, o newton metre). Fixa't que no és N/m\text{N/m}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Escriu la fórmula de la tensió i digues què és cada símbol.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S}: σ\sigma és la tensió, FF la força i SS la secció (àrea); es mesura en Pa o en N/mm2\text{N/mm}^{2} (= MPa).

Resolució

  1. Fórmula. La tensió és la força que suporta cada unitat de superfície de la secció: σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S}
  2. Símbols. σ\sigma (sigma) és la tensió; FF és la força aplicada, en N; SS és la secció o àrea perpendicular a la força.
  3. Unitats. En el SI, N/m2=Pa\text{N/m}^{2} = \text{Pa}. En tecnologia és molt pràctic fer servir N/mm2\text{N/mm}^{2}, que equival a 1 MPa1\ \text{MPa}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Una barra de 100 mm2 de secció suporta una força de 4.000 N. Quina tensió té?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

σ=40 N/mm2=40 MPa\sigma = 40\ \text{N/mm}^{2} = 40\ \text{MPa}

Resolució

  1. Dades. F=4000 NF = 4000\ \text{N}, S=100 mm2S = 100\ \text{mm}^{2}. Es demana la tensió.
  2. Definició de tensió. σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S}.
  3. Càlcul. σ=4000 N100 mm2=40 N/mm2\sigma = \dfrac{4000\ \text{N}}{100\ \text{mm}^{2}} = 40\ \text{N/mm}^{2}
  4. Conclusió. Com que 1 N/mm2=1 MPa1\ \text{N/mm}^{2} = 1\ \text{MPa}, la tensió és de 40 MPa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Indica quin és l'esforç principal en cada cas: (a) la corda d'un penjador de roba plena, (b) la columna d'un edifici, (c) un trampolí quan hi salta algú, (d) un tornavís quan cargola, (e) unes tisores en tallar paper.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

Tracció.

Resolució

  1. Situació. La roba penja de la corda i el seu pes tira de la corda cap avall des dels dos extrems fixats.
  2. Conclusió. Les forces tendeixen a estirar la corda: treballa a tracció.

Apartat b)

Resultat

Compressió.

Resolució

  1. Situació. La columna rep el pes de les plantes de dalt i es recolza a terra.
  2. Conclusió. Les forces tendeixen a aixafar-la (escurçar-la): treballa a compressió.

Apartat c)

Resultat

Flexió.

Resolució

  1. Situació. El trampolí està fixat per un extrem i la persona hi fa força a l'altre, perpendicularment a la placa.
  2. Conclusió. El trampolí es doblega (es corba): treballa a flexió.

Apartat d)

Resultat

Torsió.

Resolució

  1. Situació. El mànec gira amb la mà i la punta troba la resistència del cargol.
  2. Conclusió. Es fa girar el tornavís al voltant del seu eix i tendeix a retorçar-se: treballa a torsió.

Apartat e)

Resultat

Tall o cisallament.

Resolució

  1. Situació. Les dues fulles apliquen sobre el paper dues forces molt properes i de sentit contrari.
  2. Conclusió. Aquestes forces fan lliscar una part del paper respecte de l'altra i el tallen: és un esforç de tall o cisallament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Per cargolar una femella s'aplica una força de 50 N perpendicular a una clau, a 0,4 m de la femella. Calcula el moment aplicat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

M=20 N⋅mM = 20\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

  1. Dades. F=50 NF = 50\ \text{N}, perpendicular a la clau, a d=0,4 md = 0{,}4\ \text{m} de la femella (el punt de gir).
  2. Moment d'una força. M=F⋅dM = F\cdot d, on la distància s'ha de mesurar perpendicularment a la força i des del punt de gir.
  3. Càlcul. M=50 N⋅0,4 m=20 N⋅mM = 50\ \text{N}\cdot 0{,}4\ \text{m} = 20\ \text{N}\cdot\text{m}
  4. Conclusió. Com que la força és perpendicular a la clau, el braç és directament els 0,4 m i el moment aplicat és de 20 N·m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Associa cada element estructural amb la seva descripció: (1) pilar, (2) biga, (3) tirant, (4) arc; i (a) element vertical que treballa sobretot a compressió, (b) element horitzontal que suporta càrregues i treballa a flexió, (c) element que treballa a tracció, (d) element corbat que transmet les càrregues als suports mitjançant compressió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

(1) pilar → (a); (2) biga → (b); (3) tirant → (c); (4) arc → (d).

Resolució

  1. Pilar → (a). És un element vertical que rep el pes de damunt i el baixa als fonaments: treballa sobretot a compressió.
  2. Biga → (b). És un element horitzontal que suporta càrregues perpendiculars al seu eix i es corba: treballa a flexió.
  3. Tirant → (c). És un cable o una barra que s'estira, com els del pont penjat: treballa a tracció.
  4. Arc → (d). És un element corbat que, gràcies a la seva forma, transmet les càrregues als suports mitjançant compressió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una barra de 20 cm2 de secció suporta una compressió de 50 kN. Calcula la tensió en MPa i expressa-la també en Pa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

σ=25 MPa=25⋅106 Pa=2,5⋅107 Pa\sigma = 25\ \text{MPa} = 25\cdot10^{6}\ \text{Pa} = 2{,}5\cdot10^{7}\ \text{Pa}

Resolució

  1. Dades. S=20 cm2S = 20\ \text{cm}^{2}, F=50 kN=50 000 NF = 50\ \text{kN} = 50\,000\ \text{N}.
  2. Canvi d'unitats. 1 cm=10 mm1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}, per tant 1 cm2=100 mm21\ \text{cm}^{2} = 100\ \text{mm}^{2} (i no 10): S=20⋅100=2000 mm2S = 20\cdot100 = 2000\ \text{mm}^{2}.
  3. Tensió. σ=FS=50 000 N2000 mm2=25 N/mm2=25 MPa\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{50\,000\ \text{N}}{2000\ \text{mm}^{2}} = 25\ \text{N/mm}^{2} = 25\ \text{MPa}
  4. En pascals. 1 MPa=106 Pa1\ \text{MPa} = 10^{6}\ \text{Pa}, així que σ=25⋅106 Pa=2,5⋅107 Pa\sigma = 25\cdot10^{6}\ \text{Pa} = 2{,}5\cdot10^{7}\ \text{Pa}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un balancí de braços diferents està en equilibri. A un costat hi ha un pes de 300 N a 1,2 m del punt de gir. A l'altre costat s'hi vol posar un pes a 1,8 m del punt de gir. Quin pes cal?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

F2=200 NF_{2} = 200\ \text{N}

Resolució

  1. Dades. F1=300 NF_{1} = 300\ \text{N} a d1=1,2 md_{1} = 1{,}2\ \text{m}; el segon pes va a d2=1,8 md_{2} = 1{,}8\ \text{m}.
  2. Equilibri de moments. Perquè el balancí no giri, els moments respecte al punt de gir s'han de compensar: F1⋅d1=F2⋅d2F_{1}\cdot d_{1} = F_{2}\cdot d_{2}
  3. Càlcul. 300⋅1,2=F2⋅1,8⇒360=1,8⋅F2⇒F2=3601,8=200 N300\cdot1{,}2 = F_{2}\cdot1{,}8\Rightarrow 360 = 1{,}8\cdot F_{2}\Rightarrow F_{2} = \dfrac{360}{1{,}8} = 200\ \text{N}.
  4. Conclusió. El pes que és més lluny del punt de gir pot ser més petit: 200 N.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Una barra d'acer es trenca amb una tensió de 240 MPa. En servei, treballa a 60 MPa. Calcula el coeficient de seguretat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

n=4n = 4

Resolució

  1. Dades. Tensió de ruptura σr=240 MPa\sigma_{r} = 240\ \text{MPa}; tensió de treball σt=60 MPa\sigma_{t} = 60\ \text{MPa}.
  2. Coeficient de seguretat. n=σrσtn = \dfrac{\sigma_{r}}{\sigma_{t}} (tensió de ruptura entre tensió de treball).
  3. Càlcul. n=24060=4n = \dfrac{240}{60} = 4
  4. Interpretació. La barra podria aguantar quatre vegades la càrrega actual abans de trencar-se.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Per què les torres i les piràmides tenen la base ampla i són més estretes al capdamunt? Relaciona-ho amb l'estabilitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Una base ampla i el pes concentrat a baix fan que la vertical del centre de gravetat caigui dins de la base encara que l'estructura s'inclini, i calgui un moment bolcador molt gran per fer-la bolcar.

Resolució

  1. Condició d'estabilitat. Una estructura és estable si la vertical que passa pel seu centre de gravetat cau dins de la base de suport.
  2. Base ampla. Com més ampla és la base, més s'ha d'inclinar l'estructura perquè aquesta vertical en surti; per tant, una petita inclinació no la fa bolcar.
  3. Pes a baix. Si la part de dalt és estreta, la major part del pes és a baix i el centre de gravetat queda baix, cosa que també afavoreix l'estabilitat.
  4. Conclusió. Amb el moment estabilitzador del pes tan gran, cal un moment bolcador molt gran (per exemple, el de la força del vent) per fer bolcar la torre o la piràmide.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Per què el triangle és la forma bàsica de les estructures de barres?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Perquè el triangle és indeformable: no pot canviar de forma sense canviar la longitud dels costats, i això dona rigidesa a l'estructura.

Resolució

  1. Propietat del triangle. Si fixes la longitud dels tres costats, el triangle queda totalment determinat: els angles no poden canviar.
  2. Comparació. En canvi, un quadrilàter articulat es pot deformar (per exemple, un quadrat passa a ser un rombe) sense que cap barra canviï de longitud.
  3. Conclusió. Per això les estructures de barres es formen amb triangles (triangulació): són indeformables i donen rigidesa a l'estructura.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Quines dues condicions ha de complir un cos per estar en equilibri?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

∑F⃗=0\sum \vec F = 0 (no es desplaça) i ∑M=0\sum M = 0 (no gira).

Resolució

  1. Equilibri de translació. La suma de totes les forces que actuen sobre el cos ha de ser zero: ∑F⃗=0\sum \vec F = 0. Així el cos no es desplaça.
  2. Equilibri de rotació. La suma dels moments respecte a qualsevol punt ha de ser zero: ∑M=0\sum M = 0. Així el cos no gira.
  3. Conclusió. Cal que es compleixin totes dues alhora: amb forces equilibrades però moments descompensats, el cos giraria.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Per què una força trenca abans una barra prima que una de gruixuda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Perquè amb menys secció la mateixa força produeix més tensió (σ=FS\sigma = \tfrac{F}{S}), i aquesta pot superar la resistència del material.

Resolució

  1. Tensió. La tensió que pateix el material és σ=FS\sigma = \dfrac{F}{S}: la força repartida per la secció.
  2. Comparació. Amb la mateixa força FF, si la secció SS és petita, σ\sigma és gran; la barra gruixuda reparteix la força en més superfície.
  3. Conclusió. La barra es trenca quan la tensió supera la resistència del material, i en la barra prima això passa amb una força més petita.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Per què no es dissenya una estructura per treballar just al límit de ruptura del material?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Perquè hi ha imprevistos (sobrecàrregues, defectes, corrosió, fatiga); el coeficient de seguretat fa treballar el material per sota del límit perquè la peça no es trenqui.

Resolució

  1. Incerteses. A la realitat poden aparèixer sobrecàrregues no previstes, defectes del material, corrosió, fatiga per càrregues repetides o errors de càlcul i de construcció.
  2. Coeficient de seguretat. Per això es fa treballar el material a una tensió admissible més petita que la de ruptura: σadm=σr/n\sigma_{adm} = \sigma_{r}/n, amb n>1n > 1.
  3. Conclusió. Aquest marge fa que la peça no es trenqui davant d'aquests imprevistos.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una biga horitzontal de 6 m està recolzada en els seus dos extrems, A i B. A 2 m de l'extrem A hi ha una càrrega puntual de 1200 N. Calcula les reaccions en els suports. Menysprea el pes de la biga.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

RA=800 NR_{A} = 800\ \text{N}; RB=400 NR_{B} = 400\ \text{N}

Resolució

  1. Dades. Biga de L=6 mL = 6\ \text{m} recolzada a A i B; càrrega P=1200 NP = 1200\ \text{N} a 2 m de A (i, per tant, a 4 m de B).
  2. Equilibri de moments respecte a A. Agafant A com a punt de gir, RAR_{A} no fa moment (sentit antihorari positiu per a RBR_{B}): RB⋅6−1200⋅2=0⇒RB=24006=400 NR_{B}\cdot6 - 1200\cdot2 = 0\Rightarrow R_{B} = \dfrac{2400}{6} = 400\ \text{N}
  3. Equilibri de forces. RA+RB=1200⇒RA=1200−400=800 NR_{A} + R_{B} = 1200\Rightarrow R_{A} = 1200 - 400 = 800\ \text{N}.
  4. Comprovació. El suport més proper a la càrrega (A) en suporta la major part, 800 N, com era d'esperar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una biga de 4 m recolzada als extrems suporta una càrrega repartida uniformement de 500 N per metre. Calcula (a) la càrrega total, (b) la reacció de cada suport, (c) el moment flector màxim, que val w · L28\tfrac{L^{2}}{8} i es dona al centre.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

P=2000 NP = 2000\ \text{N}

Resolució

  1. Dades. Càrrega repartida w=500 N/mw = 500\ \text{N/m} al llarg de L=4 mL = 4\ \text{m}.
  2. Càlcul. P=w⋅L=500 N/m⋅4 m=2000 NP = w\cdot L = 500\ \text{N/m}\cdot4\ \text{m} = 2000\ \text{N}.
  3. Interpretació. Equival a una força única de 2000 N que actua al centre de la biga.

Apartat b)

Resultat

RA=RB=1000 NR_{A} = R_{B} = 1000\ \text{N}

Resolució

  1. Simetria. La càrrega és uniforme i els suports són als extrems, de manera que cada suport n'aguanta la meitat.
  2. Càlcul. R=20002=1000 NR = \dfrac{2000}{2} = 1000\ \text{N}.

Apartat c)

Resultat

Mmaˋx=1000 N⋅mM_{\text{màx}} = 1000\ \text{N}\cdot\text{m}, al centre de la biga.

Resolució

  1. Fórmula. Per a una biga recolzada amb càrrega uniforme: Mmaˋx=w⋅L28M_{\text{màx}} = \dfrac{w\cdot L^{2}}{8}, al centre.
  2. Càlcul. Mmaˋx=500⋅428=1000 N⋅mM_{\text{màx}} = \dfrac{500\cdot4^{2}}{8} = 1000\ \text{N}\cdot\text{m}
  3. Comprovació. Al centre (2 m), la reacció fa 1000 N⋅2 m1000\ \text{N}\cdot2\ \text{m} i la càrrega de la meitat esquerra (500⋅2=1000 N500\cdot2 = 1000\ \text{N}, amb braç d'1 m) resta: 2000−1000=1000 N⋅m2000 - 1000 = 1000\ \text{N}\cdot\text{m}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un cable té una càrrega de ruptura de 24 kN. S'ha de treballar amb un coeficient de seguretat de 4. (a) Quina és la càrrega màxima admissible? (b) Quantes caixes de 150 kg es poden penjar com a màxim? Pren g = 9,8 m/s2\text{m/s}^{2}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

Fadm=6 kNF_{adm} = 6\ \text{kN}

Resolució

  1. Dades. Càrrega de ruptura Fr=24 kNF_{r} = 24\ \text{kN}; coeficient de seguretat n=4n = 4.
  2. Càrrega admissible. Fadm=Frn=244=6 kN=6000 NF_{adm} = \dfrac{F_{r}}{n} = \dfrac{24}{4} = 6\ \text{kN} = 6000\ \text{N}

Apartat b)

Resultat

Com a màxim 4 caixes (5880 N).

Resolució

  1. Pes d'una caixa. P=m⋅g=150⋅9,8=1470 NP = m\cdot g = 150\cdot9{,}8 = 1470\ \text{N}.
  2. Nombre de caixes. 60001470=4,08\dfrac{6000}{1470} = 4{,}08; com que han de ser caixes senceres, com a màxim 4.
  3. Comprovació. 4 caixes pesen 5880 N<6000 N5880\ \text{N} < 6000\ \text{N}; 5 caixes pesarien 7350 N>6000 N7350\ \text{N} > 6000\ \text{N} i superarien la càrrega admissible.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un pilar de formigó de secció quadrada de 30 cm × 30 cm suporta una càrrega de 360 kN. La resistència del formigó a compressió és de 25 MPa. Calcula la tensió en el pilar i el coeficient de seguretat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

σ=4 MPa\sigma = 4\ \text{MPa}; n=6,25n = 6{,}25

Resolució

  1. Dades. Secció 300 mm×300 mm=90 000 mm2300\ \text{mm}\times300\ \text{mm} = 90\,000\ \text{mm}^{2}; F=360 kN=360 000 NF = 360\ \text{kN} = 360\,000\ \text{N}; resistència σr=25 MPa\sigma_{r} = 25\ \text{MPa}.
  2. Tensió. σ=FS=360 00090 000=4 N/mm2=4 MPa\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{360\,000}{90\,000} = 4\ \text{N/mm}^{2} = 4\ \text{MPa}
  3. Coeficient de seguretat. n=σrσ=254=6,25n = \dfrac{\sigma_{r}}{\sigma} = \dfrac{25}{4} = 6{,}25.
  4. Conclusió. La tensió és molt inferior a la resistència: el pilar treballa amb un marge ampli.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Què és el vinclament? Explica per què una barra llarga i prima, sotmesa a compressió, es pot vinclar abans d'arribar a la tensió de ruptura i digues dues maneres d'evitar-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

El vinclament és la corbada lateral brusca d'una barra llarga i esvelta comprimida, que passa amb menys càrrega que la de ruptura; s'evita escurçant la longitud lliure (arriostraments) o augmentant la secció / fent servir perfils tubulars o de més inèrcia.

Resolució

  1. Definició. El vinclament és una deformació brusca i lateral (la barra es corba) d'una barra llarga i esvelta sotmesa a compressió.
  2. Per què passa abans de la ruptura. Com més llarga i prima és la barra, menys rígida és davant d'un petit desviament lateral; aquest desviament fa que la compressió la doblegui encara més, i la barra cedeix amb una càrrega més petita que la que trencaria el material per aixafament.
  3. Manera 1. Escurçar la longitud lliure de la barra amb arriostraments o travessers intermedis.
  4. Manera 2. Augmentar la secció o fer servir perfils tubulars o amb més moment d'inèrcia, que són més rígids davant la flexió lateral.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una estructura articulada plana de barres és rígida i isostàtica quan el nombre de barres és b = 2 · j - 3, on j és el nombre de nusos. Un pont reticulat té 7 nusos i 12 barres. Digues si és rígid i isostàtic, hiperestàtic o un mecanisme.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

És hiperestàtica: té 12 barres i només en calen 11 (una barra redundant).

Resolució

  1. Dades. j=7j = 7 nusos i b=12b = 12 barres. Condició de rígida i isostàtica: b=2j−3b = 2j - 3.
  2. Càlcul. Barres necessàries: b=2⋅7−3=11b = 2\cdot7 - 3 = 11.
  3. Comparació. L'estructura en té 12, una més del necessari: és hiperestàtica. La rigidesa està assegurada, però hi ha una barra redundant (de més).
  4. Altres casos. Si en tingués exactament 11 seria isostàtica, i si en tingués menys de 11 seria un mecanisme (es deformaria sense variar la longitud de les barres).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una regla de plàstic rectangular és molt més estreta que ampla (secció 30 mm × 3 mm). Si la recolzes pels extrems i hi poses un pes al mig, quan flexa menys: posada de pla o de cantell? Explica'n el motiu.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Flexa menys de cantell (amb els 30 mm en vertical): el moment d'inèrcia és 100 vegades més gran.

Resolució

  1. Plantejament. La rigidesa a flexió depèn del moment d'inèrcia de la secció, I=b⋅h312I = \dfrac{b\cdot h^{3}}{12}, on hh és l'alçada en la direcció de la càrrega.
  2. De pla. b=30 mmb = 30\ \text{mm}, h=3 mmh = 3\ \text{mm}: I=30⋅3312=67,5 mm4I = \dfrac{30\cdot3^{3}}{12} = 67{,}5\ \text{mm}^{4}.
  3. De cantell. b=3 mmb = 3\ \text{mm}, h=30 mmh = 30\ \text{mm}: I=3⋅30312=6750 mm4I = \dfrac{3\cdot30^{3}}{12} = 6750\ \text{mm}^{4}, 100 vegades més.
  4. Motiu. La resistència a la flexió depèn sobretot de l'alçada del perfil: com més material hi ha allunyat de la línia neutra, més gran és el moment d'inèrcia i menys es doblega.
  5. Conclusió. Per això les bigues i les prestatgeries es col·loquen amb la cara llarga en vertical.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un prestatge de fusta es penja a la paret amb dos escaires metàl·lics cargolats. Quins esforços pateixen el prestatge, l'escaire i els cargols quan s'hi posen llibres?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

Prestatge: flexió. Escaire: flexió a la part horitzontal, i la vertical tendeix a separar-se de la paret per dalt. Cargols: els de dalt a tracció i tots a tallant.

Resolució

  1. Prestatge. Treballa a flexió: es corba entre els suports, amb la cara de dalt comprimida i la de baix estirada.
  2. Escaire. La part horitzontal treballa a flexió (és com un voladís que aguanta el prestatge); la part vertical tendeix a girar i separar-se de la paret per dalt, mentre que per baix s'hi recolza.
  3. Cargols de dalt. El pes tendeix a arrencar-los de la paret: treballen a tracció.
  4. Tots els cargols. El pes vertical tendeix a tallar-los arran de la paret: treballen a tallant (cisallament).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

En un pont de bigues triangulades, quan hi passa un camió, les barres de dalt treballen a compressió i les de baix, a tracció. Explica-ho, i digues per què les de dalt solen ser més gruixudes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

El pont es corba cap avall com una biga: la part de dalt s'escurça (compressió) i la de baix s'estira (tracció). Les de dalt són més gruixudes perquè, comprimides, poden vinclar.

Resolució

  1. Comportament global. El pont es comporta com una biga recolzada que, amb el pes del camió, es corba cap avall.
  2. Barres de dalt i de baix. En corbar-se, la part de dalt s'escurça (les barres treballen a compressió) i la de baix s'estira (treballen a tracció).
  3. Vinclament. Una barra comprimida pot vinclar (doblegar-se de cop) molt abans d'arribar a trencar-se per compressió; per evitar-ho, es fa més gruixuda o amb perfil.
  4. Conclusió. Una barra a tracció no té aquest problema i pot ser més prima, fins i tot un cable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una barra rodona de radi 5 mm ha de suportar una força de 5.000 N, i el material té una resistència admissible de 60 MPa. Comprova si la secció és suficient.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

σ≈63,7 MPa>60 MPa\sigma \approx 63{,}7\ \text{MPa} > 60\ \text{MPa}: la secció no és suficient.

Resolució

  1. Dades. r=5 mm=0,005 mr = 5\ \text{mm} = 0{,}005\ \text{m}; F=5000 NF = 5000\ \text{N}; σadm=60 MPa\sigma_{adm} = 60\ \text{MPa}.
  2. Secció. S=πr2=π⋅(0,005 m)2≈7,85⋅10−5 m2 (=78,5 mm2)S = \pi r^{2} = \pi\cdot(0{,}005\ \text{m})^{2} \approx 7{,}85\cdot10^{-5}\ \text{m}^{2}\ (= 78{,}5\ \text{mm}^{2})
  3. Tensió real. σ=FS=50007,85⋅10−5≈63,7⋅106 Pa≈63,7 MPa\sigma = \dfrac{F}{S} = \dfrac{5000}{7{,}85\cdot10^{-5}} \approx 63{,}7\cdot10^{6}\ \text{Pa} \approx 63{,}7\ \text{MPa}
  4. Conclusió. Com que 63,7 MPa>60 MPa63{,}7\ \text{MPa} > 60\ \text{MPa}, la barra treballa per sobre del límit admissible: la secció NO és suficient i caldria una secció més gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una biga de 8 m recolzada en els extrems A i B suporta una càrrega de 2 kN a 2 m de A i una altra de 3 kN a 6 m de A. Menysprea el pes de la biga. (a) Calcula les reaccions RAR_{A} i RBR_{B}. (b) Calcula el moment flector sota cada càrrega. (c) Quin és el moment flector màxim i on es produeix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

RA=2,25 kNR_{A} = 2{,}25\ \text{kN}; RB=2,75 kNR_{B} = 2{,}75\ \text{kN}

Resolució

  1. Dades. L=8 mL = 8\ \text{m}; P1=2 kNP_{1} = 2\ \text{kN} a 2 m de A; P2=3 kNP_{2} = 3\ \text{kN} a 6 m de A (2 m de B).
  2. Moments respecte a A. RB⋅8=2⋅2+3⋅6=22⇒RB=2,75 kNR_{B}\cdot8 = 2\cdot2 + 3\cdot6 = 22\Rightarrow R_{B} = 2{,}75\ \text{kN}
  3. Equilibri de forces. RA=5−2,75=2,25 kNR_{A} = 5 - 2{,}75 = 2{,}25\ \text{kN}.

Apartat b)

Resultat

Sota la de 2 kN: M=4,5 kN⋅mM = 4{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}; sota la de 3 kN: M=5,5 kN⋅mM = 5{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}

Resolució

  1. Sota la càrrega de 2 kN (x = 2 m). Des de A només hi ha RAR_{A}: M=RA⋅2=2,25⋅2=4,5 kN⋅mM = R_{A}\cdot2 = 2{,}25\cdot2 = 4{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  2. Sota la càrrega de 3 kN (x = 6 m). Mirant des de B només hi ha RBR_{B}: M=RB⋅2=2,75⋅2=5,5 kN⋅mM = R_{B}\cdot2 = 2{,}75\cdot2 = 5{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}.
  3. Comprovació des de A. M(6)=2,25⋅6−2⋅4=13,5−8=5,5 kN⋅mM(6) = 2{,}25\cdot6 - 2\cdot4 = 13{,}5 - 8 = 5{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Apartat c)

Resultat

Mmaˋx=5,5 kN⋅mM_{\text{màx}} = 5{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}, sota la càrrega de 3 kN (a 6 m de A).

Resolució

  1. Propietat. Amb càrregues puntuals, el moment flector varia linealment entre càrregues i el màxim és sota una de les càrregues.
  2. Conclusió. Comparant 4,54{,}5 i 5,5 kN⋅m5{,}5\ \text{kN}\cdot\text{m}, el màxim és de 5,5 kN·m i es produeix sota la càrrega de 3 kN, a 6 m de A.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un llum de 200 N penja del sostre de dos cables simètrics que formen un angle de 30° amb l'horitzontal. (a) Calcula la tensió en cada cable. (b) Si cada cable té 2 mm2 de secció i una resistència de ruptura de 400 MPa, quin és el coeficient de seguretat? (c) Què passa amb la tensió si els cables es tensen més i l'angle baixa a 10°?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

T=200 NT = 200\ \text{N} a cada cable

Resolució

  1. Dades. Pes P=200 NP = 200\ \text{N}; dos cables simètrics a 30° amb l'horitzontal.
  2. Equilibri vertical. Les components horitzontals s'anul·len per simetria i les verticals sostenen el pes: 2Tsin⁡30∘=2002T\sin30^\circ = 200.
  3. Càlcul. T=2002⋅0,5=200 NT = \dfrac{200}{2\cdot0{,}5} = 200\ \text{N}

Apartat b)

Resultat

σ=100 MPa\sigma = 100\ \text{MPa}; n=4n = 4

Resolució

  1. Tensió al cable. σ=TS=200 N2 mm2=100 N/mm2=100 MPa\sigma = \dfrac{T}{S} = \dfrac{200\ \text{N}}{2\ \text{mm}^{2}} = 100\ \text{N/mm}^{2} = 100\ \text{MPa}.
  2. Coeficient de seguretat. n=400100=4n = \dfrac{400}{100} = 4.

Apartat c)

Resultat

T=576 NT = 576\ \text{N}: la tensió es multiplica per gairebé 3.

Resolució

  1. Mateix equilibri amb 10°. T=2002sin⁡10∘=2000,347≈576 NT = \dfrac{200}{2\sin10^\circ} = \dfrac{200}{0{,}347} \approx 576\ \text{N}
  2. Comparació. 576/200≈2,9576/200 \approx 2{,}9: la tensió es multiplica per prop de 3 (i el coeficient de seguretat baixaria a ≈1,4\approx1{,}4).
  3. Conclusió. Com més horitzontal és el cable, més gran és la tensió que cal suportar; per això un cable molt tibat està molt més exigit que un de penjant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una grua mural té un braç horitzontal articulat a la paret i un tirant que va de l'extrem del braç fins a un punt de la paret situat més amunt, formant 30° amb el braç. A l'extrem del braç penja una càrrega de 5 kN. Menysprea el pes de l'estructura. (a) Calcula la força al tirant. (b) Calcula la força de compressió al braç. (c) Si el tirant és una barra de 10 mm de diàmetre, quina tensió té?

Grua mural: braç horitzontal articulat a la paret i tirant de 10 mm de diàmetre que forma 30° amb el braç; a l'extrem penja una càrrega de 5 kN
Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

T=10 kNT = 10\ \text{kN} (tracció)

Resolució

  1. Dades. Càrrega P=5 kNP = 5\ \text{kN} a l'extrem del braç; tirant a 30° amb el braç horitzontal.
  2. Equilibri al nus de l'extrem. El braç (articulat) només fa força horitzontal, així que la component vertical del tirant ha de sostenir la càrrega: Tsin⁡30∘=5T\sin30^\circ = 5.
  3. Càlcul. T=50,5=10 kNT = \dfrac{5}{0{,}5} = 10\ \text{kN}, i el tirant treballa a tracció.

Apartat b)

Resultat

C≈8,66 kNC \approx 8{,}66\ \text{kN} (compressió)

Resolució

  1. Equilibri horitzontal. La component horitzontal del tirant estira el nus cap a la paret i el braç l'equilibra empenyent cap enfora.
  2. Càlcul. C=Tcos⁡30∘=10⋅0,866=8,66 kNC = T\cos30^\circ = 10\cdot0{,}866 = 8{,}66\ \text{kN}: el braç treballa a compressió.

Apartat c)

Resultat

σ≈127 MPa\sigma \approx 127\ \text{MPa}

Resolució

  1. Secció. S=πr2=π⋅52≈78,5 mm2S = \pi r^{2} = \pi\cdot5^{2} \approx 78{,}5\ \text{mm}^{2}.
  2. Tensió. σ=TS=10 000 N78,5 mm2≈127 MPa\sigma = \dfrac{T}{S} = \dfrac{10\,000\ \text{N}}{78{,}5\ \text{mm}^{2}} \approx 127\ \text{MPa}
  3. Conclusió. El tirant està molt més carregat que la càrrega penjada (10 kN davant 5 kN), perquè treballa de forma inclinada.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un armari d'1,8 m d'alçada pesa 600 N i té una base de 0,5 m d'ample, amb el centre de gravetat al mig. Algú l'empeny horitzontalment amb 150 N a 1,6 m del terra, sense lliscament. (a) Calcula el moment bolcador respecte a l'aresta del terra i el moment estabilitzador. (b) Bolca? (c) Quina força mínima aplicada a aquesta alçada el faria bolcar? (d) A quina alçada màxima s'hauria d'empènyer amb 150 N perquè no bolqués?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

Mb=240 N⋅mM_{b} = 240\ \text{N}\cdot\text{m}; Me=150 N⋅mM_{e} = 150\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

  1. Dades. P=600 NP = 600\ \text{N}, base de 0,5 m (CG a 0,25 m de l'aresta); F=150 NF = 150\ \text{N} a h=1,6 mh = 1{,}6\ \text{m}. L'armari bolcaria girant sobre l'aresta del terra.
  2. Moment bolcador. Mb=F⋅h=150⋅1,6=240 N⋅mM_{b} = F\cdot h = 150\cdot1{,}6 = 240\ \text{N}\cdot\text{m}.
  3. Moment estabilitzador. El pes actua a la meitat de la base: Me=600⋅0,25=150 N⋅mM_{e} = 600\cdot0{,}25 = 150\ \text{N}\cdot\text{m}.

Apartat b)

Resultat

Sí, bolca.

Resolució

  1. Criteri. Bolca si el moment bolcador supera l'estabilitzador.
  2. Conclusió. 240>150 N⋅m240 > 150\ \text{N}\cdot\text{m}, per tant bolca.

Apartat c)

Resultat

Fmıˊn=93,75 N≈94 NF_{\text{mín}} = 93{,}75\ \text{N} \approx 94\ \text{N}

Resolució

  1. Condició límit. Comença a bolcar quan F⋅1,6=150F\cdot1{,}6 = 150.
  2. Càlcul. F=1501,6=93,75 NF = \dfrac{150}{1{,}6} = 93{,}75\ \text{N}.

Apartat d)

Resultat

h=1,0 mh = 1{,}0\ \text{m}

Resolució

  1. Condició límit. 150⋅h=150⇒h=1,0 m150\cdot h = 150\Rightarrow h = 1{,}0\ \text{m}.
  2. Conclusió. Empenyent per sota d'1 m no bolcaria. Per això els armaris alts i estrets s'han de fixar a la paret.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un pilar de fusta ha de suportar una compressió de 20 kN. La resistència a compressió de la fusta és de 24 MPa i es vol un coeficient de seguretat de 3. (a) Calcula la tensió admissible. (b) Calcula la secció mínima. (c) Quin diàmetre tindria si fos rodó? (d) Quin costat tindria si fos quadrat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

σadm=8 MPa\sigma_{adm} = 8\ \text{MPa}

Resolució

  1. Dades. F=20 kNF = 20\ \text{kN}; σr=24 MPa\sigma_{r} = 24\ \text{MPa}; n=3n = 3.
  2. Tensió admissible. σadm=σrn=243=8 MPa\sigma_{adm} = \dfrac{\sigma_{r}}{n} = \dfrac{24}{3} = 8\ \text{MPa}.

Apartat b)

Resultat

Smıˊn=2500 mm2S_{\text{mín}} = 2500\ \text{mm}^{2}

Resolució

  1. Condició. La tensió no ha de superar l'admissible: S≥FσadmS \ge \dfrac{F}{\sigma_{adm}}.
  2. Càlcul. Smıˊn=20 000 N8 N/mm2=2500 mm2S_{\text{mín}} = \dfrac{20\,000\ \text{N}}{8\ \text{N/mm}^{2}} = 2500\ \text{mm}^{2}

Apartat c)

Resultat

d≈56,4 mmd \approx 56{,}4\ \text{mm} (a la pràctica, 60 mm)

Resolució

  1. Secció circular. πd24=2500\dfrac{\pi d^{2}}{4} = 2500.
  2. Càlcul. d=4⋅2500π≈56,4 mmd = \sqrt{\dfrac{4\cdot2500}{\pi}} \approx 56{,}4\ \text{mm} i, a la pràctica, s'arrodoniria cap amunt, per exemple a 60 mm.

Apartat d)

Resultat

a=50 mma = 50\ \text{mm}

Resolució

  1. Secció quadrada. a2=2500⇒a=50 mma^{2} = 2500\Rightarrow a = 50\ \text{mm}.
  2. Observació. A la pràctica, si el pilar és llarg, també s'hauria de comprovar que no vincla.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Compara un pont penjat i un pont d'arc: indica per a cada tipus quins elements treballen a tracció i quins a compressió, i explica en 3 o 4 línies per què cadascun és adequat per a la seva llum.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

Pont penjat: cables i pèndols a tracció, torres (i tauler) a compressió; ideal per a llums molt grans. Pont d'arc: l'arc a compressió; ideal en pedra o formigó per a llums mitjanes.

Resolució

  1. Pont penjat. Els cables principals i els tirants verticals (pèndols) treballen a tracció; les torres i el tauler treballen a compressió (i el tauler, una mica a flexió).
  2. Per què serveix per a llums grans. Els cables d'acer suporten molta tracció amb poc pes propi, de manera que es poden salvar llums molt grans.
  3. Pont d'arc. L'arc transmet les càrregues als estreps treballant sobretot a compressió.
  4. Per què serveix per a llums mitjanes. Si és de pedra o formigó, materials que resisteixen bé la compressió i malament la tracció, l'arc és molt adequat per a llums mitjanes.
  5. Conclusió. Els tirants i els cables s'aprofiten més amb acer, i els arcs amb pedra o formigó: la forma de l'estructura s'adapta al que resisteix cada material.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es calcula la tensió d'una barra?

Dividint la força entre la secció: σ = FS\tfrac{F}{S}. Una força de 4.000 N sobre una secció de 100 mm quadrats fa una tensió de 40 N/mm quadrat, és a dir, 40 MPa.

Per què s'aplica un coeficient de seguretat?

Perquè les càrregues reals i les propietats dels materials tenen incerteses. Es dissenya perquè la tensió de treball quedi força per sota del límit del material.

Tornar a Tecnologia i Enginyeria

Altres temes de Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat