Exercicis de sistemes automàtics de control — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

Q: Què és la consigna en un sistema de control?

El valor que vols aconseguir, com els 21 °C d'un termòstat. El sistema compara la consigna amb el valor mesurat i actua per reduir la diferència.

Q: Què és l'error en un sistema de control?

La diferència entre la consigna i el valor que mesura el sensor. El controlador fa servir aquest error per decidir com ha d'actuar.

Aquests exercicis estudien com un sistema automàtic decideix què ha de fer. Comences per la diferència entre el control en llaç obert i el control en llaç tancat, amb exemples com una rentadora que renta un temps fix sense comprovar si la roba està neta. Després treballes la realimentació: calcules l'error entre la consigna i el valor mesurat, per exemple en un termòstat a 21 °C, i raones què passaria si la realimentació fallés. Al final classifiques components com una LDR en sensors o actuadors i n'expliques el funcionament. Errors típics: confondre sensor amb actuador i creure que qualsevol sistema automàtic és de llaç tancat.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Quina diferència fonamental hi ha entre llaç obert i llaç tancat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

El llaç tancat mesura la sortida i la compara amb la consigna per corregir-la (té realimentació); el llaç obert actua sense comprovar el resultat.

Resolució

Què es compara. Tots dos sistemes reben una consigna (què volem aconseguir) i actuen sobre un procés; la diferència és què passa amb el resultat.
Llaç obert. El sistema executa l'ordre (per exemple, durant un temps fix) i no mesura la sortida: si alguna cosa l'altera, no ho detecta ni ho corregeix.
Llaç tancat. Un sensor mesura la sortida, el comparador la resta de la consigna i el controlador corregeix l'acció segons l'error. Aquesta tornada de la informació és la realimentació.
Conclusió. La clau és la realimentació: el llaç tancat es corregeix sol davant de pertorbacions; el llaç obert, no.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Posa un exemple de sistema en llaç obert de la vida quotidiana.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Per exemple, una rentadora o una torradora per temps, o un reg amb temporitzador: actuen un temps fix sense comprovar el resultat.

Resolució

Què busquem. Un sistema de llaç obert actua segons una ordre prefixada i no mesura el resultat que obté.
Exemples. Una torradora amb temporitzador torra el pa un temps fix tant si ja és torrat com si no; una rentadora fa el programa sencer sense saber si la roba ja és neta; un reg amb temporitzador rega a l'hora programada encara que plogui.
Conclusió. En tots aquests casos no hi ha cap sensor que realimenti la sortida, per això són de llaç obert.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Una rentadora renta durant un temps fix programat, sense comprovar si la roba ja està neta. És un sistema en llaç obert o en llaç tancat? Per què?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

És un sistema en llaç obert: actua segons el temps programat però no mesura si la roba ja és neta.

Resolució

Dades. La rentadora renta durant un temps fix (la consigna és el temps programat) i no comprova l'estat de la roba.
Criteri. Un sistema és de llaç tancat només si mesura la sortida (aquí, com de neta és la roba) i la compara amb la consigna per corregir l'acció.
Conclusió. Com que no mesura ni comprova el resultat real, no hi ha realimentació i no es pot corregir sola: és de llaç obert.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Explica la funció de cadascun dels blocs d'un sistema de control en llaç tancat: comparador, controlador, actuador, procés i sensor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

El comparador calcula l'error, el controlador decideix l'ordre, l'actuador l'executa sobre el procés, i el sensor mesura la sortida i la torna al comparador.

Resolució

Comparador. Resta la mesura de la consigna i dona l'error: $e = \text{consigna} - \text{mesura}$ .
Controlador. A partir de l'error decideix quina ordre s'ha d'enviar (per exemple, tot-o-res o proporcional).
Actuador. Executa l'ordre i actua físicament sobre el procés: un motor, una vàlvula, una resistència…
Procés (o planta). És el sistema físic que es vol controlar i del qual surt la variable controlada (la temperatura d'una habitació, la velocitat d'un motor…).
Sensor. Mesura la variable de sortida i la torna cap al comparador: aquesta tornada és la realimentació que tanca el llaç.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Classifica aquests sistemes en llaç obert o llaç tancat: torradora de pa amb temporitzador, termòstat d'una calefacció, semàfor amb temps fixos, pilot automàtic d'un avió i assecador de roba que s'atura quan la roba és seca.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Llaç obert: torradora amb temporitzador i semàfor amb temps fixos. Llaç tancat: termòstat de calefacció, pilot automàtic i assecador que s'atura quan la roba és seca.

Resolució

Criteri. És de llaç tancat si té un sensor que mesura el resultat i el realimenta per corregir l'acció; si actua sense mesurar-lo, és de llaç obert.
Llaç obert. La torradora amb temporitzador actua un temps fix sense mesurar si el pa és torrat; el semàfor amb temps fixos canvia de color sense mirar el trànsit.
Llaç tancat. El termòstat mesura la temperatura i es corregeix; el pilot automàtic mesura rumb i altitud i corregeix; l'assecador té un sensor d'humitat que realimenta el sistema i l'atura quan la roba és seca.
Conclusió. Fixa't que la diferència no és si és «automàtic», sinó si mesura la sortida.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Associa cada magnitud amb un sensor adequat: (a) temperatura; (b) il·luminació; (c) distància a un obstacle; (d) presència de persones; (e) posició angular d'un eix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

Temperatura: NTC, PTC o termoparell.

Resolució

Magnitud. Cal convertir la temperatura en un senyal elèctric.
Sensor. Una NTC o una PTC canvien de resistència amb la temperatura; un termoparell genera una petita tensió que depèn de la temperatura. Cada sensor transforma la magnitud física en un senyal elèctric que el controlador pot llegir.

Apartat b)

Resultat

Il·luminació: LDR o fotodíode.

Resolució

Magnitud. Cal mesurar la quantitat de llum.
Sensor. Una LDR baixa de resistència com més llum rep; un fotodíode dona un corrent proporcional a la llum.

Apartat c)

Resultat

Distància a un obstacle: sensor d'ultrasons o d'infraroig.

Resolució

Magnitud. Cal saber a quina distància hi ha un objecte.
Sensor. El d'ultrasons emet un so i mesura el temps que triga l'eco a tornar; el d'infraroig mesura la llum infraroja reflectida.

Apartat d)

Resultat

Presència de persones: sensor PIR (infraroig passiu).

Resolució

Magnitud. Cal detectar si hi ha algú (senyal de sí/no).
Sensor. El PIR detecta els canvis de radiació infraroja que emet el cos humà quan es mou.

Apartat e)

Resultat

Posició angular d'un eix: potenciòmetre o encòder.

Resolució

Magnitud. Cal saber l'angle girat per l'eix.
Sensor. Un potenciòmetre acoblat a l'eix dona una tensió proporcional a l'angle; un encòder dona polsos digitals que indiquen la posició.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Posa un exemple d'actuador elèctric, un de pneumàtic i un d'hidràulic, i digues quin tipus de moviment o acció produeix cadascun.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Elèctric: motor de corrent continu (gir) o electroimant (moviment lineal curt). Pneumàtic: cilindre d'aire comprimit (lineal, ràpid i amb poca força). Hidràulic: cilindre d'oli a pressió (lineal i amb molta força).

Resolució

Actuador elèctric. Un motor de corrent continu produeix un moviment de gir; un electroimant produeix un moviment lineal curt (per exemple, el pestell d'un pany elèctric).
Actuador pneumàtic. Un cilindre d'aire comprimit produeix un moviment lineal ràpid i amb poca força, com els que obren les portes d'un autobús.
Actuador hidràulic. Un cilindre d'oli a pressió produeix un moviment lineal amb molta força, com el braç d'una excavadora.
Conclusió. L'aire és compressible i lleuger (rapidesa), mentre que l'oli és gairebé incompressible i permet pressions molt altes (força).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Explica la diferència entre un senyal analògic i un de digital, i posa un exemple de sensor de cada tipus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Un senyal analògic pot prendre qualsevol valor dins d'un interval (p. ex. la tensió d'un LM35); un de digital només pren dos valors, 0 i 1 (p. ex. un polsador o un detector de porta oberta).

Resolució

Senyal analògic. És continu: pot prendre qualsevol valor dins d'un interval. Exemple: la tensió de sortida d'un sensor de temperatura LM35, que varia de manera contínua amb la temperatura.
Senyal digital. Només pren dos valors, 0 i 1 (nivell baix o alt). Exemple: un polsador, o un detector de porta oberta/tancada.
Lectura amb un microcontrolador. Per llegir un senyal analògic cal un convertidor analògic-digital (ADC), que el transforma en un nombre; un senyal digital es llegeix directament en una entrada digital.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

En una habitació amb calefacció controlada per termòstat, identifica: la consigna, la variable controlada, el sensor, l'actuador i una possible pertorbació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Consigna: la temperatura fixada (p. ex. 21 °C); variable controlada: la temperatura real de l'habitació; sensor: la sonda del termòstat; actuador: la caldera o el radiador (o la seva vàlvula); pertorbació: obrir una finestra o l'entrada de sol.

Resolució

Consigna i variable controlada. La consigna és la temperatura que fixa l'usuari (per exemple, 21 °C); la variable controlada és la temperatura real de l'habitació.
Sensor. El termòmetre o sonda de temperatura del termòstat, que mesura la temperatura real i la realimenta.
Actuador. La caldera o el radiador (o la vàlvula que hi dona accés), que és el que escalfa realment l'habitació.
Pertorbació. Tot allò que altera la temperatura sense que ho decideixi el control: obrir una finestra, l'entrada de sol, moltes persones a la sala…

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Calcula l'error e = consigna - mesura i digues si és positiu, negatiu o zero en aquests casos: (a) consigna 50 i mesura 60; (b) consigna 50 i mesura 50; (c) consigna 50 i mesura 35.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

e = -10

: error negatiu.

Resolució

Fórmula. $e = \text{consigna} - \text{mesura} = 50 - 60 = -10$ .
Interpretació. La sortida és per sobre de la consigna: cal reduir l'acció. El signe de l'error indica en quin sentit ha de corregir el controlador.

Apartat b)

Resultat

e = 0

: error nul.

Resolució

Fórmula. $e = 50 - 50 = 0$ .
Interpretació. El sistema és just a la consigna: no cal corregir res.

Apartat c)

Resultat

e = +15

: error positiu.

Resolució

Fórmula. $e = 50 - 35 = +15$ .
Interpretació. La sortida és per sota de la consigna: cal augmentar l'acció.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Per què la realimentació dels sistemes de control acostuma a ser negativa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Perquè la realimentació negativa s'oposa a l'error i el redueix, i així estabilitza el sistema; la positiva l'amplificaria i el faria inestable.

Resolució

Què vol dir negativa. El comparador resta la mesura de la consigna: $e = \text{consigna} - \text{mesura}$ . Si la sortida puja massa, l'error baixa (o es fa negatiu) i l'acció disminueix.
Efecte. Qualsevol desviació provoca una correcció en sentit contrari, que tendeix a reduir l'error i portar la sortida cap a la consigna: el sistema és estable.
Comparació. Amb realimentació positiva, una desviació augmentaria encara més l'acció en el mateix sentit, l'error creixeria i el sistema seria inestable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En un sistema de control, la consigna és 21 °C i el sensor mesura 18 °C. Calcula l'error i digues si el controlador ha d'augmentar o disminuir l'acció de calefacció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

e = 3\ ^{\circ}\text{C}

(positiu): el controlador ha d'augmentar l'acció de calefacció.

Resolució

Dades. Consigna 21 °C; mesura 18 °C.
Càlcul de l'error. $e = \text{consigna} - \text{mesura} = 21 - 18 = 3\ ^{\circ}\text{C}$ .
Conclusió. Com que l'error és positiu (encara no s'ha arribat a la consigna), el controlador ha d'augmentar l'acció, és a dir, continuar escalfant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Per què un sistema automàtic necessita alhora sensors i actuadors?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Perquè els sensors li permeten percebre (mesurar) l'estat i els actuadors li permeten actuar sobre el sistema; sense sensors seria cec i sense actuadors no podria fer res.

Resolució

Funció dels sensors. Mesuren les magnituds físiques (temperatura, llum, posició…) i les converteixen en senyals que el controlador entén: són la «percepció» del sistema.
Funció dels actuadors. Converteixen les ordres del controlador en una acció física (moure, escalfar, obrir una vàlvula…).
Conclusió. Sense sensors el sistema seria cec (no sabria si ha de corregir res); sense actuadors, encara que ho sabés, no podria fer res. Calen tots dos per tancar el llaç.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Digues si un LDR és un sensor o un actuador, i explica breument què fa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

És un sensor: una resistència que canvia de valor segons la llum que rep.

Resolució

Què és una LDR. És una resistència dependent de la llum (Light Dependent Resistor): com més llum rep, menor és la seva resistència.
Sensor o actuador. No actua sobre res: converteix la magnitud física «llum» en un senyal elèctric (un canvi de resistència, i per tant de tensió en un divisor) que el sistema pot interpretar.
Conclusió. Per tant, és un sensor (per exemple, el d'un llum de carrer que s'encén quan es fa fosc).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un termòstat tot-o-res governa una calefacció amb consigna de 22 °C i histèresi de ±1 °C: s'engega quan la temperatura baixa a 21 °C o menys i s'apaga quan puja a 23 °C o més (entre 21 i 23 °C manté l'estat anterior). Si al principi la calefacció està apagada i la temperatura va prenent els valors 20; 21,5; 23,5; 22,5; 20,8; 22 °C, indica l'estat després de cada lectura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

20 °C → engegada; 21,5 °C → engegada; 23,5 °C → apagada; 22,5 °C → apagada; 20,8 °C → engegada; 22 °C → engegada.

Resolució

Regla. Si $T \le 21\ ^{\circ}\text{C}$ , s'engega; si $T \ge 23\ ^{\circ}\text{C}$ , s'apaga; entre 21 i 23 °C manté l'estat anterior. Al principi està apagada.
Primeres lectures. 20 °C és ≤ 21 → s'engega. 21,5 °C és dins la banda → es manté engegada. 23,5 °C és ≥ 23 → s'apaga.
Lectures finals. 22,5 °C és dins la banda → es manté apagada. 20,8 °C és ≤ 21 → s'engega. 22 °C és dins la banda → continua engegada.
Conclusió. Fixa't que amb 22 °C pot estar engegada o apagada segons d'on vingui. La histèresi evita que la calefacció s'engegui i s'apagui contínuament al voltant dels 22 °C.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una estufa té un control proporcional P = $K_{p}$ ·e amb $K_{p}$ = 50 W/°C, una potència màxima de 1000 W i una consigna de 25 °C. Calcula la potència que subministra quan la temperatura és de 22 °C, 10 °C i 0 °C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

A 22 °C:

P = 150\ \text{W}

; a 10 °C:

P = 750\ \text{W}

; a 0 °C:

P = 1000\ \text{W}

(saturada).

Resolució

Plantejament. L'error és $e = 25 - T$ i la potència és $P = K_{p}\cdot e = 50\cdot e$ , limitada a 1000 W.
T = 22 °C. $e = 3\ ^{\circ}\text{C} \Rightarrow P = 50\cdot 3 = 150\ \text{W}$ .
T = 10 °C. $e = 15\ ^{\circ}\text{C} \Rightarrow P = 50\cdot 15 = 750\ \text{W}$ (per sota del límit).
T = 0 °C. $e = 25\ ^{\circ}\text{C} \Rightarrow 50\cdot 25 = 1250\ \text{W}$ , però l'estufa només pot donar 1000 W: hi ha saturació i $P = 1000\ \text{W}$ .
Conclusió. La potència baixa a mesura que la temperatura s'acosta a la consigna.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un forn té una consigna de 180 °C. Algú obre la porta una estona i la temperatura baixa. Explica què passa en un forn de llaç obert (potència fixa) i en un de llaç tancat, i digues quin és el nom de la causa que ha alterat la temperatura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

La causa és una pertorbació. En llaç obert la temperatura queda per sota de 180 °C; en llaç tancat el controlador augmenta la potència fins a recuperar els 180 °C.

Resolució

Causa. Obrir la porta és una pertorbació: una influència externa que altera la variable controlada i que el sistema no controla.
Llaç obert (potència fixa). La resistència dona la mateixa potència de sempre; el forn no detecta la baixada i la temperatura queda per sota de 180 °C fins que alguna cosa ho compensi.
Llaç tancat. El sensor mesura la baixada, l'error $e = 180 - T$ augmenta i el controlador incrementa la potència fins que la temperatura torna als 180 °C.
Conclusió. Per això el llaç tancat és més robust davant les pertorbacions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un sensor de temperatura dona 10 mV per cada °C. (a) Quina temperatura indica si la seva sortida és de 0,235 V? (b) Un microcontrolador amb un ADC de 10 bits i referència de 5 V (1024 nivells) llegeix aquesta tensió: quin és el valor aproximat que obté i quina és la resolució en °C?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

T = 23{,}5\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Dades. Sensibilitat 10 mV/°C = 0,010 V/°C; sortida 0,235 V.
Càlcul. $T = \dfrac{V}{0{,}010\ \text{V}/^{\circ}\text{C}} = \dfrac{0{,}235}{0{,}010} = 23{,}5\ ^{\circ}\text{C}$

Apartat b)

Resultat

Lectura

\approx 48

; resolució

\approx 0{,}49\ ^{\circ}\text{C}

(uns 0,5 °C).

Resolució

Pas de l'ADC. Un nivell correspon a $\dfrac{5\ \text{V}}{1024} = 4{,}88\ \text{mV}$ .
Lectura. $N = \dfrac{0{,}235}{5/1024} = 48{,}1 \approx 48$
Resolució en temperatura. $\dfrac{4{,}88\ \text{mV}}{10\ \text{mV}/^{\circ}\text{C}} = 0{,}49\ ^{\circ}\text{C}$
Conclusió. El sistema no pot distingir canvis de temperatura menors d'uns 0,5 °C.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Tres blocs d'un sistema de control es connecten en cascada, amb guanys de 2, 5 i 0,5. Si el senyal d'entrada és 3 V, calcula el senyal a la sortida de cada bloc i el guany total del conjunt.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

Sortides:

6\ \text{V}

30\ \text{V}

15\ \text{V}

; guany total

G = 5

Resolució

Propietat. En blocs en cascada, la sortida d'un bloc és l'entrada del següent, i els guanys es multipliquen: $G = G_{1}\cdot G_{2}\cdot G_{3}$ .
Càlcul bloc a bloc. Primer: $3\cdot 2 = 6\ \text{V}$ . Segon: $6\cdot 5 = 30\ \text{V}$ . Tercer: $30\cdot 0{,}5 = 15\ \text{V}$ .
Guany total. $G = 2\cdot 5\cdot 0{,}5 = 5$ .
Comprovació. $3\ \text{V}\cdot 5 = 15\ \text{V}$ , igual que la sortida del tercer bloc.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

En un sistema que controla la velocitat d'un ventilador de manera que es mantingui a 1200 rpm, identifica la consigna, la variable controlada, el sensor, l'actuador i una pertorbació, i digues quin tipus de llaç és.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Consigna: 1200 rpm; variable controlada: la velocitat real; sensor: tacòmetre o encòder; actuador: el motor (o el seu driver); pertorbació: un canvi de càrrega o de tensió d'alimentació. És de llaç tancat.

Resolució

Consigna i variable controlada. La consigna és 1200 rpm; la variable controlada és la velocitat real del ventilador.
Sensor i actuador. El sensor és un tacòmetre o un encòder que mesura les revolucions; l'actuador és el motor (o el seu driver, que n'ajusta la tensió).
Pertorbació. Per exemple, un canvi de càrrega (un obstacle que frena les aspes) o una variació de la tensió d'alimentació.
Tipus de llaç. És de llaç tancat, perquè la mesura de la velocitat es realimenta al comparador per mantenir les 1200 rpm.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una vàlvula motoritzada s'ha de posar al 100 % d'obertura. Després d'una ordre, el seu posicionador arriba a un màxim del 112 % abans d'estabilitzar-se al 100 %. Calcula la sobreoscil·lació en percentatge i explica què indica sobre l'estabilitat del sistema.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Sobreoscil·lació

= 12\ \%

; el sistema és estable però poc amortit.

Resolució

Dades. Valor final 100 %; valor màxim 112 %.
Fórmula. $\text{SO} = \dfrac{\text{valor màxim} - \text{valor final}}{\text{valor final}}\cdot 100$
Càlcul. $\text{SO} = \dfrac{112 - 100}{100}\cdot 100 = 12\ \%$ .
Interpretació. El sistema se'n passa de la consigna però acaba estabilitzant-se: és estable, tot i que amb un comportament oscil·latori poc amortit.
Conseqüència. Una sobreoscil·lació gran pot ser perjudicial (per exemple, una vàlvula que s'obre massa); es redueix amb un controlador més suau (menor guany).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un dipòsit té una consigna de nivell de 2 m i el sensor marca 1,6 m. (a) Quin és l'error? (b) El controlador obre la vàlvula d'entrada un 25 % per cada 0,1 m d'error, fins a un màxim del 100 %. Quina obertura dona? (c) Què passa a mesura que el nivell s'acosta als 2 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

e = 0{,}4\ \text{m}

Resolució

Dades. Consigna 2 m; mesura 1,6 m.
Càlcul. $e = \text{consigna} - \text{mesura} = 2 - 1{,}6 = 0{,}4\ \text{m}$ (positiu: falta aigua).

Apartat b)

Resultat

Obertura del

100\ \%

(vàlvula totalment oberta).

Resolució

Regla del controlador. Obertura = 25 % per cada 0,1 m d'error, amb un màxim del 100 % (és un control proporcional).
Càlcul. $\dfrac{0{,}4}{0{,}1}\cdot 25\ \% = 100\ \%$ : just el màxim, obertura total.

Apartat c)

Resultat

L'error disminueix i la vàlvula es va tancant; als 2 m l'error és 0 i la vàlvula queda tancada.

Resolució

Raonament. A mesura que el nivell puja, l'error es redueix i, com que l'obertura és proporcional a l'error, la vàlvula es va tancant.
Exemple. Amb 1,9 m, l'error és 0,1 m i l'obertura seria del 25 %.
Conclusió. Als 2 m, l'error és 0 i la vàlvula es tanca: el dipòsit s'omple cada cop més a poc a poc en acostar-se a la consigna.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Què passaria en un control de temperatura si la realimentació fos positiva, és a dir, si el sistema escalfés més com més calent estigués?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

L'error creixeria en lloc de reduir-se: la temperatura s'allunyaria de la consigna sense aturador i el sistema seria inestable.

Resolució

Plantejament. Amb realimentació positiva, l'acció reforça la desviació: com més calent, més escalfaria.
Evolució. L'error, en lloc de reduir-se, creixeria: la temperatura s'aniria allunyant de la consigna sense aturador fins que algun límit físic (la potència màxima, o una avaria) ho parés.
Conclusió. El sistema seria inestable. Per això els controls fan servir la realimentació negativa, que s'oposa a l'error.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Dissenya l'automatisme d'un reg de jardí: ha de regar si la humitat del sòl és inferior al 30 % i no és de dia. Digues quins sensors i quin actuador calen, i escriu la condició lògica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Sensors: d'humitat del sòl i una LDR (o un rellotge); actuador: una electrovàlvula. Condició:

\text{regar} = (H \lt 30\ \%) \cdot \overline{\text{dia}}

Resolució

Sensors. Un sensor d'humitat del sòl, i una LDR (o un rellotge) per saber si és de dia.
Actuador. Una electrovàlvula a la canonada del reg, governada per un controlador (un microcontrolador o un programador).
Condició lògica. Regar = (humitat < 30 %) I (NO dia), és a dir, $R = A\cdot\overline{D}$ , amb $A = 1$ si la humitat és inferior al 30 % i $D = 1$ si és de dia.
Comprovació. Només es rega amb $A = 1$ i $D = 0$ (sòl sec i de nit); en els altres tres casos l'electrovàlvula queda tancada. El controlador l'obre quan es compleixen totes dues condicions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un dipòsit d'aigua es manté calent amb un control proporcional P = $K_{p}$ ·e. Per mantenir la temperatura de consigna, les pèrdues de calor exigeixen 300 W de forma permanent. (a) Quin error permanent queda amb $K_{p}$ = 100 W/°C? (b) I amb $K_{p}$ = 300 W/°C? (c) Per què no es pot eliminar l'error amb només un control proporcional, i com es pot reduir?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

e = 3\ ^{\circ}\text{C}

per sota de la consigna.

Resolució

Equilibri. En règim permanent la potència ha d'igualar les pèrdues: $K_{p}\cdot e = 300\ \text{W}$ , per tant $e = \dfrac{300}{K_{p}}$ .
Càlcul. $e = \dfrac{300\ \text{W}}{100\ \text{W}/^{\circ}\text{C}} = 3\ ^{\circ}\text{C}$ .

Apartat b)

Resultat

e = 1\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Mateixa condició. $e = \dfrac{300}{K_{p}}$ .
Càlcul. $e = \dfrac{300\ \text{W}}{300\ \text{W}/^{\circ}\text{C}} = 1\ ^{\circ}\text{C}$ : triplicant $K_{p}$ , l'error es divideix per 3.

Apartat c)

Resultat

Amb error zero la potència proporcional seria 0 W i el dipòsit es refredaria; l'error es redueix augmentant

K_{p}

i s'elimina afegint una acció integral (PI).

Resolució

Per què queda error. Si l'error fos zero, $P = K_{p}\cdot 0 = 0\ \text{W}$ i el dipòsit es refredaria; per això sempre hi ha un error residual (error permanent) que dona els 300 W necessaris.
Com reduir-lo. Augmentant $K_{p}$ l'error es fa més petit, però amb el risc que el sistema esdevingui inestable (oscil·lacions).
Com eliminar-lo. Afegint una acció integral (control PI): acumula l'error al llarg del temps i pot mantenir els 300 W encara que l'error sigui zero.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un pou omple un dipòsit amb una bomba governada per dues boies: una de nivell mínim i una de nivell màxim. Descriu amb una taula d'estats com ha de funcionar un control tot-o-res amb histèresi (la bomba s'engega quan el nivell baixa de la boia mínima i s'atura quan arriba a la màxima). Quina és la utilitat de la histèresi aquí, i quin estat té la bomba si el nivell està entre les dues boies?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

Sota la boia mínima → bomba engegada; entre les dues boies → manté l'estat anterior; a la boia màxima → bomba aturada. La histèresi evita arrencades i parades contínues.

Resolució

Plantejament. Hi ha dues boies (mínima i màxima) i una bomba; la bomba s'engega quan el nivell baixa de la mínima i s'atura quan arriba a la màxima.
Taula d'estats.
Nivell Boia mínima Boia màxima Bomba
Sota la mínima no activada no activada engegada
Entre les dues activada no activada manté l'estat anterior
A la màxima activada activada aturada
Entre les dues boies. La bomba conserva l'estat que tenia: si estava omplint, segueix omplint fins a la màxima; si estava aturada, continua aturada fins que el nivell baixi de la mínima.
Utilitat de la histèresi. Evita arrencades i parades contínues de la bomba al voltant d'un únic nivell, que la farien malmetre i consumirien més energia.

Nivell	Boia mínima	Boia màxima	Bomba
Sota la mínima	no activada	no activada	engegada
Entre les dues	activada	no activada	manté l'estat anterior
A la màxima	activada	activada	aturada

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un llum de carrer té una LDR en sèrie amb una resistència de 10 kΩ a 5 V; la tensió de sortida es mesura als borns de la resistència de 10 kΩ i es llegeix amb un ADC de 10 bits (0-1023 per a 0-5 V). De dia la LDR val 2 kΩ i de nit 50 kΩ. (a) Calcula la lectura de l'ADC de dia i de nit. (b) El llum s'ha d'encendre si la lectura baixa de 410. A quina resistència de la LDR correspon aquest llindar?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

De dia:

V = 4{,}17\ \text{V}

, lectura

\approx 853

; de nit:

V = 0{,}83\ \text{V}

, lectura

\approx 171

Resolució

Divisor de tensió. La tensió als borns de la resistència fixa és $V_{\mathrm{out}} = 5\cdot\dfrac{10\ \text{k}\Omega}{R_{\mathrm{LDR}} + 10\ \text{k}\Omega}$
Lectura de l'ADC. $N = \dfrac{V_{\mathrm{out}}}{5\ \text{V}}\cdot 1023$ .
De dia (2 kΩ). $V = 5\cdot\tfrac{10}{12} = 4{,}17\ \text{V} \Rightarrow N \approx 853$ .
De nit (50 kΩ). $V = 5\cdot\tfrac{10}{60} = 0{,}83\ \text{V} \Rightarrow N \approx 171$ .
Interpretació. Compte: a més llum la LDR té menys resistència i la tensió de sortida és més alta; per això de dia la lectura és alta.

Apartat b)

Resultat

R_{\mathrm{LDR}} \approx 15\ \text{k}\Omega

Resolució

Tensió del llindar. $V = 5\cdot\dfrac{410}{1023} = 2{,}00\ \text{V}$ .
Aïllem la LDR. $R_{\mathrm{LDR}} = 10\ \text{k}\Omega\cdot\left(\dfrac{5}{2{,}00} - 1\right) = 15{,}0\ \text{k}\Omega$
Conclusió. Quan la resistència de la LDR supera uns 15 kΩ (hi ha poca llum), la lectura baixa de 410 i el llum s'encén.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un motor de corrent continu de 12 V gira a 3000 rpm quan se li apliquen 12 V. Es controla amb un senyal PWM. (a) Quina tensió mitjana rep amb un cicle de treball del 40 %? (b) Quina velocitat aproximada tindrà, suposant que és proporcional a la tensió mitjana? (c) Quin cicle de treball cal per a 1800 rpm? (d) Quin sensor i quin tipus de llaç permeten mantenir la velocitat malgrat canvis de càrrega?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

V_{\mathrm{mitjana}} = 4{,}8\ \text{V}

Resolució

PWM. La tensió mitjana és la tensió d'alimentació pel cicle de treball: $V_{\mathrm{mitjana}} = D\cdot V$ .
Càlcul. $V_{\mathrm{mitjana}} = 12\cdot 0{,}40 = 4{,}8\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

n \approx 1200\ \text{rpm}

Resolució

Proporcionalitat. Si la velocitat és proporcional a la tensió mitjana, $n = 3000\cdot\dfrac{4{,}8}{12}$ .
Càlcul. $n = 3000\cdot 0{,}40 = 1200\ \text{rpm}$ .

Apartat c)

Resultat

Cicle de treball del

60\ \%

Resolució

Plantejament. $D = \dfrac{n}{n_{\max}}$ .
Càlcul. $D = \dfrac{1800}{3000} = 0{,}6$ , és a dir, un 60 % (tensió mitjana de 7,2 V).

Apartat d)

Resultat

Un tacòmetre o encòder en un llaç tancat.

Resolució

Sensor. Un tacòmetre o un encòder que mesuri la velocitat real del motor.
Tipus de llaç. Un llaç tancat: el controlador compara la velocitat mesurada amb la consigna i ajusta el cicle de treball per mantenir-la encara que la càrrega canviï.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un sistema té una part directa de guany G = 20 i, quan es tanca el llaç amb una realimentació negativa de guany H = 0,1, el guany en llaç tancat és $\tfrac{G}{(1 + G\cdot H)}$ . (a) Calcula el guany en llaç tancat. (b) Si el guany G cau a 10 per envelliment, calcula el nou guany en llaç tancat. (c) Compara la variació percentual del guany en llaç obert i en llaç tancat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

G_{t} = 6{,}67

Resolució

Fórmula del llaç tancat. $G_{t} = \dfrac{G}{1 + G\cdot H}$ , amb $G = 20$ i $H = 0{,}1$ .
Càlcul. $G_{t} = \dfrac{20}{1 + 20\cdot 0{,}1} = \dfrac{20}{3} = 6{,}67$ .

Apartat b)

Resultat

G_{t} = 5{,}00

Resolució

Nou guany directe. $G = 10$ , $H = 0{,}1$ .
Càlcul. $G_{t} = \dfrac{10}{1 + 10\cdot 0{,}1} = \dfrac{10}{2} = 5{,}00$ .

Apartat c)

Resultat

Llaç obert:

-50\ \%

; llaç tancat:

-25\ \%

Resolució

Llaç obert. El guany passa de 20 a 10: $\dfrac{10 - 20}{20}\cdot 100 = -50\ \%$ .
Llaç tancat. Passa de 6,67 a 5,00: $\dfrac{5{,}00 - 6{,}67}{6{,}67}\cdot 100 = -25\ \%$ .
Conclusió. La realimentació redueix el guany, però el torna molt menys sensible als canvis dels components: la mateixa avaria afecta la meitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un hivernacle ha de tenir un ventilador que s'engega si la temperatura supera els 28 °C o si la humitat supera el 80 %, i un calefactor que s'engega si la temperatura baixa de 15 °C. Indica els sensors i actuadors necessaris, escriu les condicions lògiques i digues què fan ventilador i calefactor en els casos: (a) 30 °C i 60 %; (b) 20 °C i 85 %; (c) 12 °C i 70 %; (d) 20 °C i 50 %.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

30 °C i 60 %: ventilador engegat; calefactor apagat.

Resolució

Sensors i actuadors. Sensors: de temperatura i d'humitat. Actuadors: ventilador i calefactor.
Condicions lògiques. Ventilador = (T > 28) O (H > 80); calefactor = (T < 15).
Cas a. T = 30 > 28 → ventilador sí; T no és < 15 → calefactor no.

Apartat b)

Resultat

20 °C i 85 %: ventilador engegat; calefactor apagat.

Resolució

Ventilador. T = 20 no supera 28, però H = 85 > 80 → ventilador sí (n'hi ha prou amb una de les dues condicions de la O).
Calefactor. T = 20 no és < 15 → calefactor no.

Apartat c)

Resultat

12 °C i 70 %: ventilador apagat; calefactor engegat.

Resolució

Ventilador. T = 12 no supera 28 i H = 70 no supera 80 → ventilador no.
Calefactor. T = 12 < 15 → calefactor sí.

Apartat d)

Resultat

20 °C i 50 %: tots dos aturats.

Resolució

Ventilador. Ni T = 20 > 28 ni H = 50 > 80 → ventilador no.
Calefactor. T = 20 no és < 15 → calefactor no.
Observació. Cal evitar que tots dos funcionin alhora (per exemple, amb 12 °C i 90 %): caldria establir una prioritat al controlador.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què és la consigna en un sistema de control?

El valor que vols aconseguir, com els 21 °C d'un termòstat. El sistema compara la consigna amb el valor mesurat i actua per reduir la diferència.

Què és l'error en un sistema de control?

La diferència entre la consigna i el valor que mesura el sensor. El controlador fa servir aquest error per decidir com ha d'actuar.

Tornar a Tecnologia i Enginyeria

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Apartat e)

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 26

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 28

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 30

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Preguntes freqüents

Altres temes de Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat