Exercicis de màquines i mecanismes — Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat

Q: Què passa amb el parell en un reductor de velocitat?

Si la velocitat es redueix, el parell augmenta en la mateixa proporció, perquè en un reductor ideal la potència d'entrada i de sortida és la mateixa.

Q: Com es calcula la potència d'un eix que gira?

Multiplicant el parell per la velocitat angular en radians per segon: P = M · ω.

Aquests exercicis estudien com les màquines transmeten i transformen el moviment i l'energia. Calcules la relació de transmissió d'engranatges i de politges, com un engranatge motriu de 10 dents que mou un de 30, i la velocitat de sortida en rpm. Després identifiques mecanismes que transformen la rotació en desplaçament rectilini. La part més tècnica relaciona el parell, la velocitat angular i la potència d'un eix, per exemple en un reductor ideal on la potència es conserva. Les solucions mostren totes les unitats. Errors típics: pensar que la roda gran és la que gira més de pressa i confondre el pinyó-cremallera amb la biela-manovella.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Un engranatge motriu de 10 dents mou un conduït de 30. Calcula la relació de transmissió i digues si és reductor o multiplicador.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

i = \dfrac{1}{3}

; és un mecanisme reductor.

Resolució

Dades. Engranatge motriu: $z_1 = 10$ dents; conduït: $z_2 = 30$ dents.
Relació de transmissió. En engranatges, $i = \dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{z_1}{z_2}$ .
Càlcul. $i = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$ .
Conclusió. Com que $i < 1$ , el conduït gira tres vegades més a poc a poc que el motriu: és un reductor de velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Quin mecanisme regula l'obertura de les vàlvules d'un motor a partir d'un eix que gira?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

El mecanisme de lleva i seguidor (l'arbre de lleves).

Resolució

Què es demana. Un mecanisme que, a partir d'un eix que gira, faci obrir i tancar les vàlvules, és a dir, que generi un moviment rectilini alternatiu.
Lleva i seguidor. La lleva és una peça de perfil no circular solidària a l'eix; en girar, empeny el seguidor (la vàlvula o el seu balancí) amunt i avall.
Conclusió. Al motor, les lleves van muntades sobre l'arbre de lleves, i el perfil de cada lleva determina quan i quant s'obre cada vàlvula.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Escriu la fórmula de la potència d'un eix que gira.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

P = M\cdot\omega

(potència = parell · velocitat angular), en watts.

Resolució

Magnituds. En un eix que gira, la força es manifesta com un parell motor $M$ (en N·m) i la rapidesa del gir és la velocitat angular $\omega$ (en rad/s).
Fórmula. La potència transmesa és el producte de totes dues: $P = M\cdot\omega$
Unitats. Amb $M$ en N·m i $\omega$ en rad/s, la potència surt en watts: $1\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot1\ \text{rad/s} = 1\ \text{W}$ . Fixa't que si tens la velocitat en rpm, primer l'has de passar a rad/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Classifica aquests mecanismes en transmissió de moviment (el moviment d'entrada i de sortida són del mateix tipus) o transformació de moviment (canvien de tipus): engranatges, biela-manovella, politges amb corretja, cremallera-pinyó, lleva amb seguidor i cadena amb pinyons.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Transmissió: engranatges, politges amb corretja i cadena amb pinyons. Transformació: biela-manovella, cremallera-pinyó i lleva amb seguidor.

Resolució

Criteri. Mira el tipus de moviment d'entrada i de sortida: si és el mateix (circular → circular), el mecanisme és de transmissió; si canvia (circular ↔ rectilini), és de transformació.
Transmissió (circular → circular). Engranatges, politges amb corretja i cadena amb pinyons: tots reben un gir i en donen un altre gir, potser amb una altra velocitat.
Transformació (circular ↔ rectilini). Biela-manovella (gir ↔ rectilini alternatiu), cremallera-pinyó (gir ↔ rectilini) i lleva amb seguidor (gir → rectilini alternatiu).
Conclusió. Tres mecanismes de cada grup.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Classifica en palanques de primer, segon o tercer gènere: unes alicates, un carretó d'una roda i una pinça de cella. Recorda que el gènere depèn de la posició relativa del punt de suport (fulcre), la força i la resistència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Alicates: primer gènere; carretó d'una roda: segon gènere; pinça de cella: tercer gènere.

Resolució

Criteri. El gènere el decideix quin element queda al mig: el fulcre (1r gènere), la resistència (2n gènere) o la força (3r gènere).
Alicates (primer gènere). El fulcre és el passador, entre la força (la mà als mànecs) i la resistència (l'objecte que s'agafa). Un altre exemple és un balancí.
Carretó (segon gènere). El fulcre és la roda, la càrrega és al mig i la força s'aplica als mànecs. Com que el braç de la força és més llarg que el de la resistència, sempre guanya força.
Pinça de cella (tercer gènere). El fulcre és la unió de les dues branques, la força (els dits) s'aplica al mig i la resistència (el pèl) és a la punta. Guanya velocitat i precisió, però no força.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Amb una palanca s'aplica una força de 80 N a 1,5 m del punt de suport. La resistència es troba a 0,3 m del punt de suport. Quina resistència es pot vèncer?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

R = 400\ \text{N}

Resolució

Dades. $F = 80\ \text{N}$ , braç de la força $b_F = 1{,}5\ \text{m}$ , braç de la resistència $b_R = 0{,}3\ \text{m}$ .
Llei de la palanca. En equilibri, els moments respecte al fulcre són iguals: $F\cdot b_F = R\cdot b_R$ .
Càlcul. $R = \dfrac{F\cdot b_F}{b_R} = \dfrac{80\cdot1{,}5}{0{,}3} = \dfrac{120}{0{,}3} = 400\ \text{N}$
Conclusió. La palanca multiplica la força per 5 ( $1{,}5/0{,}3$ ), però a canvi la resistència es desplaça 5 vegades menys que la mà.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un pinyó motriu de 12 dents ha d'engranar amb una roda conduïda de manera que la relació de transmissió sigui i = 1/4. Quantes dents ha de tenir la roda conduïda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

z_{\text{conduïda}} = 48

dents

Resolució

Dades. Pinyó motriu: $z_1 = 12$ dents; relació de transmissió $i = \tfrac{1}{4}$ .
Relació de transmissió. $i = \dfrac{z_{\text{motriu}}}{z_{\text{conduïda}}}$ , per tant $z_{\text{conduïda}} = \dfrac{z_{\text{motriu}}}{i} = 4\cdot z_{\text{motriu}}$ .
Càlcul. $z_{\text{conduïda}} = 4\cdot12 = 48$ dents.
Conclusió. És un reductor: la roda conduïda gira 4 vegades més a poc a poc que el pinyó.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un motor dona una potència de 100 W i gira a una velocitat angular de 50 rad/s. Quin parell proporciona?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

M = 2\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. $P = 100\ \text{W}$ , $\omega = 50\ \text{rad/s}$ .
Potència en la rotació. $P = M\cdot\omega$ , per tant $M = \dfrac{P}{\omega}$ .
Càlcul. $M = \dfrac{100\ \text{W}}{50\ \text{rad/s}} = 2\ \text{N}\cdot\text{m}$
Conclusió. Fixa't que la velocitat ja és en rad/s, així que no cal cap conversió prèvia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Passa 300 rpm a rad/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

\omega = 10\pi\ \text{rad/s} \approx 31{,}4\ \text{rad/s}

Resolució

Equivalències. Una volta són $2\pi$ rad i un minut són 60 s.
Càlcul. $\omega = 300\ \dfrac{\text{volta}}{\text{min}}\cdot\dfrac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \text{volta}}\cdot\dfrac{1\ \text{min}}{60\ \text{s}} = 10\pi\ \text{rad/s} \approx 31{,}4\ \text{rad/s}$
Regla útil. Per passar de rpm a rad/s, multiplica per $\tfrac{\pi}{30}$ : $300\cdot\tfrac{\pi}{30} = 10\pi$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Què fa el mecanisme de biela-manovella? Posa'n un exemple i digues en quin sentit es pot fer servir.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Transforma un moviment circular continu (manovella) en un moviment rectilini alternatiu (pistó o èmbol), i també al revés. Exemple: el motor de combustió.

Resolució

Funció. La manovella gira i, a través de la biela, empeny un element (pistó o èmbol) que va i ve en línia recta: transforma circular continu en rectilini alternatiu.
Reversible. També funciona al revés: si s'empeny el pistó, la biela fa girar la manovella i el moviment rectilini alternatiu es converteix en rotació.
Exemple. En un motor de combustió, la combustió empeny el pistó amb moviment rectilini, i la biela i el cigonyal (la manovella) el converteixen en la rotació que mou el cotxe (sentit rectilini → circular).
Altres exemples. Les màquines de cosir i les locomotores de vapor; en un compressor o una bomba de pistó s'usa en el sentit circular → rectilini.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un pinyó de 15 dents a 600 rpm mou una corona de 45 dents. Calcula la velocitat de la corona.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

n_2 = 200\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Pinyó: $z_1 = 15$ , $n_1 = 600\ \text{rpm}$ ; corona: $z_2 = 45$ .
Relació de transmissió. En engranatges, $n_1\cdot z_1 = n_2\cdot z_2$ .
Càlcul. $n_2 = \dfrac{n_1\cdot z_1}{z_2} = \dfrac{600\cdot15}{45} = \dfrac{9000}{45} = 200\ \text{rpm}$
Conclusió. La corona té el triple de dents i, per tant, gira tres vegades més a poc a poc: és un reductor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una politja motriu de diàmetre 10 cm a 400 rpm mou una de 25 cm amb corretja. A quina velocitat gira la conduïda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

n_2 = 160\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Politja motriu: $D_1 = 10\ \text{cm}$ , $n_1 = 400\ \text{rpm}$ ; politja conduïda: $D_2 = 25\ \text{cm}$ .
Transmissió per corretja. Si la corretja no rellisca, la velocitat lineal és la mateixa a les dues politges: $n_1\cdot D_1 = n_2\cdot D_2$ .
Càlcul. $n_2 = \dfrac{n_1\cdot D_1}{D_2} = \dfrac{400\cdot10}{25} = \dfrac{4000}{25} = 160\ \text{rpm}$
Conclusió. La conduïda és més gran, així que gira més a poc a poc que la motriu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Un engranatge motriu de 20 dents gira a 300 rpm i engrana amb un conduït de 60 dents. Calcula la velocitat de gir del conduït.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

n_2 = 100\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Motriu: $z_1 = 20$ , $n_1 = 300\ \text{rpm}$ ; conduït: $z_2 = 60$ .
Relació de transmissió. $n_1\cdot z_1 = n_2\cdot z_2$ .
Càlcul. $n_2 = \dfrac{300\cdot20}{60} = \dfrac{6000}{60} = 100\ \text{rpm}$
Conclusió. $i = \tfrac{20}{60} = \tfrac{1}{3}$ : el conduït gira tres vegades més lent (reductor).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Digues un mecanisme que transformi rotació en desplaçament rectilini lent però amb molta força.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

El cargol-femella (mecanisme de rosca), com el del gat del cotxe o el del cargol de banc.

Resolució

Què es demana. Un mecanisme de transformació: entra un gir i surt un desplaçament rectilini, lent i amb molta força.
Cargol-femella. Per cada volta del cargol, la femella (o el cargol) avança només una distància igual al pas de rosca, que és molt petita. Com que el desplaçament és tan petit, la força que s'obté és molt gran.
Exemples. El gat del cotxe i el cargol de banc (o una premsa de cargol).
Compte. No el confonguis amb el cargol sense fi (vis sense fi), que fa girar una roda dentada: és rotació → rotació, no rotació → rectilini.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En un tren d'engranatges de dues etapes, el primer pinyó (12 dents) engrana amb una roda de 36 dents; sobre el mateix eix d'aquesta roda hi ha un altre pinyó de 15 dents que engrana amb una roda de 45 dents. L'eix d'entrada gira a 900 rpm. Calcula la relació de transmissió total i la velocitat de l'eix de sortida.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

i_{\text{total}} = \dfrac{1}{9}

;

n_{\text{sortida}} = 100\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Etapa 1: pinyó de 12 dents → roda de 36 dents. Etapa 2 (mateix eix que la roda de 36): pinyó de 15 dents → roda de 45 dents. $n_{\text{entrada}} = 900\ \text{rpm}$ .
Relació de cada etapa. $i_1 = \tfrac{12}{36} = \tfrac{1}{3}$ ; $i_2 = \tfrac{15}{45} = \tfrac{1}{3}$ . Les dues rodes que comparteixen eix (la de 36 dents i el pinyó de 15) giren a la mateixa velocitat.
Tren d'engranatges. La relació total és el producte de les relacions de cada etapa: $i = i_1\cdot i_2 = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9}$ .
Càlcul. $n_{\text{sortida}} = i\cdot n_{\text{entrada}} = \tfrac{1}{9}\cdot900 = 100\ \text{rpm}$ .
Conclusió. L'eix de sortida gira 9 vegades més a poc a poc que el d'entrada (l'eix intermedi gira a 300 rpm).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una bicicleta té un plat de 48 dents i un pinyó de 16 dents a la roda del darrere. El ciclista pedala a 60 rpm i la roda té 66 cm de diàmetre. Calcula la velocitat de la roda i la velocitat de la bicicleta, en km/h.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

n_{\text{roda}} = 180\ \text{rpm}

;

v \approx 22{,}4\ \text{km/h}

Resolució

Dades. Plat: $z_1 = 48$ ; pinyó: $z_2 = 16$ ; pedalada $n_1 = 60\ \text{rpm}$ ; diàmetre de la roda $D = 0{,}66\ \text{m}$ .
Transmissió per cadena. $n_1\cdot z_1 = n_2\cdot z_2$ , i la roda gira solidària amb el pinyó: $n_{\text{roda}} = 60\cdot\dfrac{48}{16} = 180\ \text{rpm}$
Distància per volta. Cada volta de roda, la bicicleta avança el perímetre: $\pi\cdot D = \pi\cdot0{,}66 = 2{,}07\ \text{m}$ . En un minut: $180\cdot2{,}07 \approx 373\ \text{m}$ .
Canvi d'unitats. $v = 373\ \dfrac{\text{m}}{\text{min}}\cdot\dfrac{60\ \text{min/h}}{1000\ \text{m/km}} \approx 22{,}4\ \text{km/h}$
Comprovació. 22 km/h és una velocitat raonable per a un ciclista de passeig.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un carretó d'una sola roda (palanca de segon gènere) porta una càrrega de 600 N, situada a 0,4 m de l'eix de la roda. L'operari aixeca els mànecs a 1,2 m de l'eix. Quina força ha de fer? Quin és l'avantatge mecànic?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

F = 200\ \text{N}

; avantatge mecànic

= 3

Resolució

Dades. Resistència $R = 600\ \text{N}$ a $b_R = 0{,}4\ \text{m}$ de l'eix; força als mànecs a $b_F = 1{,}2\ \text{m}$ de l'eix (fulcre = roda).
Llei de la palanca. Equilibri de moments respecte a l'eix de la roda: $F\cdot b_F = R\cdot b_R$ .
Càlcul de la força. $F = \dfrac{600\cdot0{,}4}{1{,}2} = \dfrac{240}{1{,}2} = 200\ \text{N}$
Avantatge mecànic. $AM = \dfrac{R}{F} = \dfrac{600}{200} = 3$ (també $= b_F/b_R = 1{,}2/0{,}4$ ).
Conclusió. L'operari només ha d'aguantar un terç del pes de la càrrega, com correspon a una palanca de segon gènere.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un polispast ideal reparteix el pes de la càrrega en 4 cordes. (a) Quina força cal per sostenir una càrrega de 800 N? (b) Quanta corda cal estirar per elevar la càrrega 0,5 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

F = 200\ \text{N}

Resolució

Dades. Polispast ideal amb 4 cordes que sostenen la càrrega; $P = 800\ \text{N}$ .
Polispast. El pes es reparteix entre les cordes que aguanten la politja mòbil: $F = \dfrac{P}{n}$ .
Càlcul. $F = \dfrac{800}{4} = 200\ \text{N}$ .

Apartat b)

Resultat

Cal estirar

2\ \text{m}

de corda.

Resolució

Recorregut. Perquè la càrrega pugi $h$ , cadascuna de les 4 cordes s'ha d'escurçar $h$ : cal estirar $n\cdot h$ de corda.
Càlcul. $L = 4\cdot0{,}5 = 2\ \text{m}$ .
Comprovació. El que es guanya en força es perd en recorregut: el treball és el mateix, $200\ \text{N}\cdot2\ \text{m} = 800\ \text{N}\cdot0{,}5\ \text{m} = 400\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un motor d'un reductor dona 750 W a l'eix d'entrada, que gira a 1500 rpm. El reductor té un rendiment del 80 % i l'eix de sortida gira a 20 rad/s. Calcula (a) la potència de sortida, (b) el parell a la sortida, (c) el parell a l'entrada.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

P_{\text{sortida}} = 600\ \text{W}

Resolució

Dades. $P_{\text{entrada}} = 750\ \text{W}$ , $n_{\text{entrada}} = 1500\ \text{rpm}$ , $\eta = 0{,}80$ , $\omega_{\text{sortida}} = 20\ \text{rad/s}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{\text{sortida}}}{P_{\text{entrada}}}$ , per tant $P_{\text{sortida}} = \eta\cdot P_{\text{entrada}}$ .
Càlcul. $P_{\text{sortida}} = 0{,}80\cdot750 = 600\ \text{W}$ .

Apartat b)

Resultat

M_{\text{sortida}} = 30\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Potència en la rotació. $P = M\cdot\omega$ , per tant $M = \dfrac{P}{\omega}$ .
Càlcul. $M_{\text{sortida}} = \dfrac{600}{20} = 30\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

M_{\text{entrada}} \approx 4{,}77\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Velocitat angular d'entrada. $\omega_{\text{entrada}} = 1500\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 157{,}1\ \text{rad/s}$ .
Càlcul. $M_{\text{entrada}} = \dfrac{750}{157{,}1} \approx 4{,}77\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Interpretació. El parell de sortida és unes 6 vegades més gran que el d'entrada ( $30/4{,}77$ ), perquè el reductor disminueix la velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un pinyó de 12 dents engrana amb una cremallera la distància entre dents de la qual (pas) és de 6 mm. El pinyó gira a 50 rpm. Calcula quant avança la cremallera per cada volta del pinyó i a quina velocitat es mou, en mm/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Avança

72\ \text{mm}

per volta;

v = 60\ \text{mm/s}

Resolució

Dades. Pinyó de $z = 12$ dents, pas de la cremallera $p = 6\ \text{mm}$ , $n = 50\ \text{rpm}$ .
Cremallera-pinyó. En cada volta, el pinyó fa passar totes les seves dents per la cremallera: avança $z\cdot p$ .
Avanç per volta. $12\cdot6\ \text{mm} = 72\ \text{mm}$ .
Velocitat. En un minut: $50\cdot72 = 3600\ \text{mm}$ ; per tant $v = \dfrac{3600\ \text{mm}}{60\ \text{s}} = 60\ \text{mm/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

En un motor, la manovella té un radi de 5 cm i gira a 3000 rpm. Calcula la cursa del pistó i la velocitat mitjana del pistó, en m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Cursa

= 10\ \text{cm}

;

v_{\text{mitjana}} = 10\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Radi de la manovella $r = 5\ \text{cm}$ ; $n = 3000\ \text{rpm}$ .
Cursa. És la distància entre els dos punts extrems del pistó, igual al diàmetre del cercle de la manovella: $s = 2r = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}$ .
Camí per volta. En cada volta, el pistó fa una anada i una tornada: $2\cdot0{,}10 = 0{,}20\ \text{m}$ .
Velocitat mitjana. Voltes per segon: $3000/60 = 50$ . $v_{\text{m}} = 0{,}20\ \text{m}\cdot50\ \text{s}^{-1} = 10\ \text{m/s}$ .
Observació. La velocitat instantània del pistó no és constant: és nul·la als extrems de la cursa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un cargol de rosca amb un pas de 2 mm mou el carro d'una màquina. Quantes voltes cal donar per avançar-lo 5 cm? Si la maneta gira a 120 rpm, quant de temps triga?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

25

voltes;

t = 12{,}5\ \text{s}

Resolució

Dades. Pas $p = 2\ \text{mm}$ ; avanç $d = 5\ \text{cm} = 50\ \text{mm}$ ; $n = 120\ \text{rpm}$ .
Cargol de rosca. Per cada volta, el carro avança un pas: nombre de voltes $= \dfrac{d}{p}$ .
Voltes. $\dfrac{50}{2} = 25$ voltes.
Temps. $t = \dfrac{25}{120}\ \text{min} = 0{,}208\ \text{min} = 12{,}5\ \text{s}$ .
Conclusió. És un mecanisme lent i molt precís, i per això es fa servir en premses i torns.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

En un reductor ideal, l'entrada té parell 2 N·m a 100 rad/s i la sortida gira a 20 rad/s. Quin parell dona la sortida?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

M_2 = 10\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. Entrada: $M_1 = 2\ \text{N}\cdot\text{m}$ , $\omega_1 = 100\ \text{rad/s}$ ; sortida: $\omega_2 = 20\ \text{rad/s}$ . Reductor ideal (sense pèrdues).
Conservació de la potència. Si és ideal, $P_1 = P_2$ : $M_1\cdot\omega_1 = M_2\cdot\omega_2$ .
Càlcul. $M_2 = \dfrac{2\cdot100}{20} = \dfrac{200}{20} = 10\ \text{N}\cdot\text{m}$
Conclusió. En reduir la velocitat 5 vegades, el parell puja de 2 a 10 N·m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un eix gira a 1.500 rpm transmetent un parell de 8 N·m. Calcula la potència que transmet, en watts.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

P \approx 1257\ \text{W} \approx 1{,}26\ \text{kW}

Resolució

Dades. $n = 1500\ \text{rpm}$ , $M = 8\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Velocitat angular. $\omega = 2\pi\cdot\dfrac{n}{60} = 2\pi\cdot\dfrac{1500}{60} \approx 157{,}1\ \text{rad/s}$ .
Potència en la rotació. $P = M\cdot\omega$ .
Càlcul. $P = 8\cdot157{,}1 \approx 1256{,}6\ \text{W} \approx 1{,}26\ \text{kW}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un motor de 500 W gira a 1500 rpm i mou un reductor de dues etapes amb relacions de transmissió $\tfrac{1}{3}$ i $\tfrac{1}{4}$ . El rendiment global és del 90 %. Calcula (a) la relació total, (b) la velocitat de sortida en rpm i en rad/s, (c) la potència de sortida i (d) el parell a la sortida.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

i = \dfrac{1}{12}

Resolució

Dades. $P_{\text{motor}} = 500\ \text{W}$ , $n_{\text{motor}} = 1500\ \text{rpm}$ , $i_1 = \tfrac{1}{3}$ , $i_2 = \tfrac{1}{4}$ , $\eta = 0{,}90$ .
Tren de dues etapes. La relació total és el producte: $i = i_1\cdot i_2 = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12}$ .

Apartat b)

Resultat

n = 125\ \text{rpm}

;

\omega \approx 13{,}09\ \text{rad/s}

Resolució

Velocitat de sortida. $n = i\cdot n_{\text{motor}} = \dfrac{1500}{12} = 125\ \text{rpm}$ .
Pas a rad/s. $\omega = 125\cdot\dfrac{2\pi}{60} \approx 13{,}09\ \text{rad/s}$ .

Apartat c)

Resultat

P_{\text{sortida}} = 450\ \text{W}

Resolució

Rendiment. $P_{\text{sortida}} = \eta\cdot P_{\text{motor}}$ .
Càlcul. $P_{\text{sortida}} = 0{,}90\cdot500 = 450\ \text{W}$ .

Apartat d)

Resultat

M_{\text{sortida}} \approx 34{,}4\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Potència en la rotació. $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{450}{13{,}09} \approx 34{,}4\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Comprovació. El parell d'entrada és $\dfrac{500}{157{,}08} = 3{,}18\ \text{N}\cdot\text{m}$ ; multiplicat per 12 (reducció) i per 0,9 (rendiment): $3{,}18\cdot12\cdot0{,}9 \approx 34{,}4\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

El motor d'un cotxe gira a 3000 rpm i dona un parell de 100 N·m. La transmissió consta d'una caixa de canvis amb relació $\tfrac{1}{2}$ i un diferencial amb relació $\tfrac{1}{4}$ . Les rodes tenen 0,6 m de diàmetre. Menyspreant les pèrdues, calcula (a) la velocitat de les rodes en rpm, (b) la velocitat del cotxe en km/h, (c) el parell a les rodes i (d) la força d'empenta sobre el terra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

n_{\text{rodes}} = 375\ \text{rpm}

Resolució

Dades. $n_{\text{motor}} = 3000\ \text{rpm}$ , $M_{\text{motor}} = 100\ \text{N}\cdot\text{m}$ , caixa $i_1 = \tfrac{1}{2}$ , diferencial $i_2 = \tfrac{1}{4}$ , $D = 0{,}6\ \text{m}$ , sense pèrdues.
Relació total. $i = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$ .
Càlcul. $n_{\text{rodes}} = \dfrac{3000}{8} = 375\ \text{rpm}$ .

Apartat b)

Resultat

v \approx 42{,}4\ \text{km/h}

Resolució

Distància per volta. $\pi\cdot D = \pi\cdot0{,}6 = 1{,}885\ \text{m}$ .
En un minut. $375\cdot1{,}885 \approx 707\ \text{m}$ , és a dir, 707 m/min.
Canvi d'unitats. $v = 707\cdot\dfrac{60}{1000} \approx 42{,}4\ \text{km/h}$ ( $\approx 11{,}8\ \text{m/s}$ ).

Apartat c)

Resultat

M_{\text{rodes}} = 800\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Conservació de la potència. Sense pèrdues, el que es divideix en velocitat es multiplica en parell: $M_{\text{rodes}} = \dfrac{M_{\text{motor}}}{i}$ .
Càlcul. $M_{\text{rodes}} = 100\cdot8 = 800\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Comprovació. Potència a les rodes: $800\cdot\left(375\cdot\tfrac{2\pi}{60}\right) \approx 31\,416\ \text{W}$ , igual que la del motor, $100\cdot\left(3000\cdot\tfrac{2\pi}{60}\right)$ .

Apartat d)

Resultat

F \approx 2667\ \text{N}

Resolució

Parell i força. El parell a la roda és la força al terra pel radi: $M = F\cdot r$ , amb $r = 0{,}3\ \text{m}$ .
Càlcul. $F = \dfrac{800}{0{,}3} \approx 2667\ \text{N}$ (repartida entre les rodes motrius).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Per extreure aigua d'un pou s'usa un torn manual: la manovella té 40 cm de radi i el tambor on s'enrotlla la corda en té 10 cm. El cubell ple pesa 200 N. (a) Quina força mínima s'ha de fer a la manovella? (b) Quina longitud de corda s'enrotlla en 2 voltes de manovella? (c) Quin camí recorre la mà en aquestes 2 voltes? (d) Comprova que el treball es conserva.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

F = 50\ \text{N}

Resolució

Dades. Radi de la manovella $R_m = 0{,}40\ \text{m}$ ; radi del tambor $r_t = 0{,}10\ \text{m}$ ; pes del cubell $P = 200\ \text{N}$ .
Torn (equilibri de moments). $F\cdot R_m = P\cdot r_t$ .
Càlcul. $F = \dfrac{200\cdot0{,}10}{0{,}40} = \dfrac{20}{0{,}40} = 50\ \text{N}$ .

Apartat b)

Resultat

L_{\text{corda}} \approx 1{,}26\ \text{m}

Resolució

Perímetre del tambor. El tambor gira solidari a la manovella; cada volta enrotlla $2\pi\cdot r_t$ .
Càlcul. $L = 2\cdot2\pi\cdot0{,}10 \approx 1{,}26\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

s_{\text{mà}} \approx 5{,}03\ \text{m}

Resolució

Perímetre de la manovella. La mà descriu una circumferència de radi $R_m$ per volta.
Càlcul. $s = 2\cdot2\pi\cdot0{,}40 \approx 5{,}03\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

W_{\text{mà}} = W_{\text{cubell}} \approx 251\ \text{J}

: el treball es conserva.

Resolució

Treball de la mà. $W = F\cdot s = 50\cdot5{,}03 \approx 251\ \text{J}$ .
Treball per elevar el cubell. $W = P\cdot h = 200\cdot1{,}26 \approx 251\ \text{J}$ .
Conclusió. Són iguals (sense pèrdues). El torn és una palanca contínua: es guanya força a costa de recórrer més camí.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

En un motor de quatre temps, l'arbre de lleves gira a la meitat de velocitat que el cigonyal. Aquest gira a 3000 rpm i mou l'arbre de lleves mitjançant un engranatge. (a) Quantes dents ha de tenir la roda de l'arbre de lleves si el pinyó del cigonyal en té 20? (b) A quantes rpm gira l'arbre de lleves? (c) Quantes vegades per segon s'obre cada vàlvula (una obertura per volta de lleva)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

z = 40

dents

Resolució

Dades. $n_{\text{cigonyal}} = 3000\ \text{rpm}$ ; l'arbre de lleves gira a la meitat: $i = \tfrac{1}{2}$ ; pinyó del cigonyal $z_1 = 20$ .
Relació de transmissió. $i = \dfrac{z_1}{z_2}$ , per tant $\dfrac{1}{2} = \dfrac{20}{z_2}$ .
Càlcul. $z_2 = 2\cdot20 = 40$ dents.

Apartat b)

Resultat

n_{\text{lleves}} = 1500\ \text{rpm}

Resolució

Relació. $n_{\text{lleves}} = i\cdot n_{\text{cigonyal}}$ .
Càlcul. $n_{\text{lleves}} = \dfrac{3000}{2} = 1500\ \text{rpm}$ .

Apartat c)

Resultat

Cada vàlvula s'obre

25

vegades per segon.

Resolució

Pas a voltes per segon. $1500\ \text{voltes/min} = \dfrac{1500}{60} = 25\ \text{voltes/s}$ .
Conclusió. Amb una obertura per volta de lleva, cada vàlvula s'obre 25 vegades per segon. Això explica que les lleves i els seguidors estiguin sotmesos a un gran desgast i necessitin lubricació.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un trepant de columna té un motor de 600 W que gira a 1440 rpm i mou el broquet amb politges i corretja. (a) Calcula la velocitat del broquet si la politja motriu és de 6 cm i la conduïda de 18 cm. (b) I si les dues són de 12 cm? (c) Quin diàmetre ha de tenir la conduïda perquè giri a 720 rpm si la motriu és de 8 cm? (d) Amb la configuració de l'apartat (a) i un rendiment del 85 %, quin parell hi ha al broquet?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

n_{\text{broquet}} = 480\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Motor: $P = 600\ \text{W}$ , $n_1 = 1440\ \text{rpm}$ ; $D_1 = 6\ \text{cm}$ , $D_2 = 18\ \text{cm}$ .
Politges amb corretja. $n_1\cdot D_1 = n_2\cdot D_2$ .
Càlcul. $n_2 = 1440\cdot\dfrac{6}{18} = 480\ \text{rpm}$ .

Apartat b)

Resultat

n_{\text{broquet}} = 1440\ \text{rpm}

(no hi ha reducció)

Resolució

Politges iguals. $n_2 = 1440\cdot\dfrac{12}{12} = 1440\ \text{rpm}$ .
Conclusió. Amb dues politges iguals, $i = 1$ : el broquet gira com el motor.

Apartat c)

Resultat

D_{\text{conduïda}} = 16\ \text{cm}

Resolució

Plantejament. $n_1\cdot D_1 = n_2\cdot D_2$ , amb $D_1 = 8\ \text{cm}$ i $n_2 = 720\ \text{rpm}$ .
Càlcul. $D_2 = \dfrac{D_1\cdot n_1}{n_2} = \dfrac{8\cdot1440}{720} = 16\ \text{cm}$ .

Apartat d)

Resultat

M_{\text{broquet}} \approx 10{,}1\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Potència útil. $P = \eta\cdot P_{\text{motor}} = 0{,}85\cdot600 = 510\ \text{W}$ .
Velocitat angular. $\omega = 480\cdot\dfrac{2\pi}{60} \approx 50{,}3\ \text{rad/s}$ .
Càlcul. $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{510}{50{,}3} \approx 10{,}1\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Interpretació. Per això s'usen velocitats baixes (i parell gran) per foradar acer, i velocitats altes per foradar fusta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Una bicicleta té dos plats (28 i 48 dents) i dos pinyons al darrere (12 i 28 dents). La roda fa 0,7 m de diàmetre i el ciclista pedala a 70 rpm. (a) Quina és la combinació de màxima velocitat i quina la de mínima? (b) Calcula la velocitat de la bicicleta en cada cas, en km/h. (c) Per què se sol triar la combinació de mínima velocitat per pujar una costa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Màxima: plat de 48 i pinyó de 12; mínima: plat de 28 i pinyó de 28.

Resolució

Criteri. Les voltes de roda per pedalada són $\dfrac{z_{\text{plat}}}{z_{\text{pinyó}}}$ : com més gran el plat i més petit el pinyó, més ràpid.
Màxima. Plat gran i pinyó petit: $\tfrac{48}{12} = 4$ voltes de roda per pedalada.
Mínima. Plat petit i pinyó gran: $\tfrac{28}{28} = 1$ volta de roda per pedalada.

Apartat b)

Resultat

v_{\text{màx}} \approx 36{,}9\ \text{km/h}

;

v_{\text{mín}} \approx 9{,}2\ \text{km/h}

Resolució

Distància per volta de roda. $\pi\cdot D = \pi\cdot0{,}7 \approx 2{,}20\ \text{m}$ .
Màxima. $n_{\text{roda}} = 70\cdot4 = 280\ \text{rpm}$ ; $280\cdot\pi\cdot0{,}7 \approx 616\ \text{m/min}$ ; $v = 616\cdot\tfrac{60}{1000} \approx 36{,}9\ \text{km/h}$ .
Mínima. $n_{\text{roda}} = 70\ \text{rpm}$ ; $70\cdot\pi\cdot0{,}7 \approx 154\ \text{m/min}$ ; $v = 154\cdot\tfrac{60}{1000} \approx 9{,}2\ \text{km/h}$ .

Apartat c)

Resultat

Perquè amb la relació petita el parell a la roda és més gran i cal menys força als pedals per vèncer el pendent.

Resolució

Conservació de la potència. La potència que fa el ciclista és $P = M\cdot\omega$ ; si la velocitat de la roda es redueix, el parell que hi arriba augmenta.
Conclusió. Amb la combinació de mínima velocitat (relació 1), amb la mateixa força als pedals el parell a la roda és 4 vegades més gran que amb la de màxima velocitat: es necessita menys força als pedals per vèncer el pendent, encara que s'avanci més a poc a poc.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què passa amb el parell en un reductor de velocitat?

Si la velocitat es redueix, el parell augmenta en la mateixa proporció, perquè en un reductor ideal la potència d'entrada i de sortida és la mateixa.

Com es calcula la potència d'un eix que gira?

Multiplicant el parell per la velocitat angular en radians per segon: P = M · ω.

Tornar a Tecnologia i Enginyeria

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 19

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 26

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 28

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 30

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Preguntes freqüents

Altres temes de Tecnologia i Enginyeria 1r Batxillerat