Salta al contingut
Classes de reforç
Menú

Exercicis de trigonometria — Matemàtiques 1r Batxillerat

La trigonometria de batxillerat va molt més enllà dels triangles rectangles. Aquests exercicis et fan situar angles a la circumferència goniomètrica i reduir-los al primer quadrant, demostrar identitats com la que relaciona la tangent i el cosinus i aplicar les fórmules de l'angle doble, l'angle meitat i la suma d'angles. Després resols equacions trigonomètriques, amb totes les solucions entre 0 i 360 graus o la forma general amb k. Al final resols triangles qualssevol amb els teoremes del sinus i del cosinus, com la distància entre dos vaixells. Errors típics: confondre graus i radians a la calculadora i escriure el sinus al quadrat com si fos el sinus d'un angle al quadrat.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Digues a quin quadrant cau cadascun d'aquests angles i quin signe hi té el cosinus: 100, 200, 350 i 45 graus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

100°: 2n quadrant, cosinus negatiu; 200°: 3r quadrant, cosinus negatiu; 350°: 4t quadrant, cosinus positiu; 45°: 1r quadrant, cosinus positiu.

Resolució

  1. Quadrants. Els quadrants van de 0° a 90° (1r), de 90° a 180° (2n), de 180° a 270° (3r) i de 270° a 360° (4t).
  2. Signe del cosinus. El cosinus és l'abscissa (la coordenada xx) del punt de la circumferència goniomètrica: és positiu al 1r i al 4t quadrant i negatiu al 2n i al 3r.
  3. Classificació. 100° és entre 90° i 180°: 2n quadrant, cos⁡100°t0\cos 100° t 0. 200° és entre 180° i 270°: 3r quadrant, cos⁡200°t0\cos 200° t 0. 350° és entre 270° i 360°: 4t quadrant, cos⁡350°gt0\cos 350° gt 0. 45° és entre 0° i 90°: 1r quadrant, cos⁡45°gt0\cos 45° gt 0.
  4. Conclusió. Fixa't que el cosinus només és positiu als quadrants de la «dreta» (1r i 4t).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Quin angle del primer quadrant té el mateix sinus que 150 graus?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

30°30°, perquè sin⁡150°=sin⁡(180°−30°)=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \tfrac{1}{2}.

Resolució

  1. Dades. Busquem un angle α\alpha del primer quadrant amb sin⁡α=sin⁡150°\sin\alpha = \sin 150°.
  2. Angles suplementaris. Dos angles suplementaris (que sumen 180°) tenen el mateix sinus: sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha.
  3. Càlcul. Com que 150°=180°−30°150° = 180° - 30°, tenim sin⁡150°=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}.
  4. Conclusió. L'angle del primer quadrant és 30°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Quantes solucions sol tenir sin(x) = 0,3 entre 0 i 360 graus?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Dues solucions: una al 1r quadrant (x≈17,46°x \approx 17{,}46°) i una al 2n (x≈162,54°x \approx 162{,}54°).

Resolució

  1. Plantejament. Busquem quants angles entre 0° i 360° tenen sin⁡x=0,3\sin x = 0{,}3.
  2. Signe del sinus. El sinus és positiu al 1r i al 2n quadrant, i en una volta completa pren cada valor entre −1-1 i 11 (excepte ±1\pm 1) exactament dues vegades.
  3. Càlcul. Amb la calculadora, x1=arcsin⁡0,3≈17,46°x_1 = \arcsin 0{,}3 \approx 17{,}46°; el suplementari, x2=180°−17,46°≈162,54°x_2 = 180° - 17{,}46° \approx 162{,}54°, té el mateix sinus.
  4. Conclusió. Hi ha dues solucions, una al primer quadrant i una al segon, on el sinus també és positiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Passa a radiants els angles 45°, 120° i 300°, i passa a graus els angles π6\tfrac{\pi}{6}, 3π/4 i 7π/6 rad.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

45°=π445° = \tfrac{\pi}{4} rad; 120°=2π3120° = \tfrac{2\pi}{3} rad; 300°=5π3300° = \tfrac{5\pi}{3} rad; π6\tfrac{\pi}{6} rad = 30°; 3π4\tfrac{3\pi}{4} rad = 135°; 7π6\tfrac{7\pi}{6} rad = 210°.

Resolució

  1. Equivalència. La clau és que 180°=π180° = \pi rad. Per passar de graus a radiants multipliques per π180\tfrac{\pi}{180}; per passar de radiants a graus, per 180π\tfrac{180}{\pi}.
  2. Graus a radiants. 45⋅π180=π4;120⋅π180=2π3;300⋅π180=5π3 rad45\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4};\quad 120\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3};\quad 300\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{3}\ \text{rad}
  3. Radiants a graus. π6⋅180π=30°;3π4⋅180π=3⋅180°4=135°;7π6⋅180π=7⋅180°6=210°\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{180}{\pi} = 30°;\quad \dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{3\cdot 180°}{4} = 135°;\quad \dfrac{7\pi}{6}\cdot\dfrac{180}{\pi} = \dfrac{7\cdot 180°}{6} = 210°
  4. Comprovació. 7π6=π+π6\tfrac{7\pi}{6} = \pi + \tfrac{\pi}{6}, és a dir, 180°+30°=210°180° + 30° = 210°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

En un triangle rectangle els catets mesuren 5 cm i 12 cm. Calcula la hipotenusa, el sinus, el cosinus i la tangent de l'angle agut A oposat al catet de 5 cm, i el valor de l'angle A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Hipotenusa =13 cm= 13\ \text{cm}; sin⁡A=513≈0,3846\sin A = \tfrac{5}{13} \approx 0{,}3846; cos⁡A=1213≈0,9231\cos A = \tfrac{12}{13} \approx 0{,}9231; tan⁡A=512≈0,4167\tan A = \tfrac{5}{12} \approx 0{,}4167; A≈22,6°A \approx 22{,}6°.

Resolució

  1. Dades. Catets de 5 cm (oposat a A) i 12 cm (contigu a A).
  2. Teorema de Pitàgores. h=52+122=169=13 cmh = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = \sqrt{169} = 13\ \text{cm}
  3. Raons trigonomètriques. sin⁡A=catet oposathipotenusa=513≈0,3846\sin A = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846; cos⁡A=catet contiguhipotenusa=1213≈0,9231\cos A = \dfrac{\text{catet contigu}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{12}{13} \approx 0{,}9231; tan⁡A=catet oposatcatet contigu=512≈0,4167\tan A = \dfrac{\text{catet oposat}}{\text{catet contigu}} = \dfrac{5}{12} \approx 0{,}4167.
  4. Angle. Amb la funció inversa: A=arctan⁡512≈22,6°A = \arctan\tfrac{5}{12} \approx 22{,}6°.
  5. Comprovació. sin⁡2A+cos⁡2A=25169+144169=1\sin^{2}A + \cos^{2}A = \tfrac{25}{169} + \tfrac{144}{169} = 1, i sin⁡Acos⁡A=512=tan⁡A\tfrac{\sin A}{\cos A} = \tfrac{5}{12} = \tan A.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Calcula el valor exacte, sense calculadora, de E = tan 60°·sin 30° + cos 45°·sin 45°.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

E=3+12≈1,366E = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1{,}366

Resolució

  1. Valors exactes. Recorda: sin⁡30°=12\sin 30° = \tfrac{1}{2}, tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3} i cos⁡45°=sin⁡45°=22\cos 45° = \sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  2. Primer producte. tan⁡60°⋅sin⁡30°=3⋅12=32\tan 60°\cdot\sin 30° = \sqrt{3}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  3. Segon producte. cos⁡45°⋅sin⁡45°=22⋅22=24=12\cos 45°\cdot\sin 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}.
  4. Suma. E=32+12=3+12E = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}
  5. Comprovació. Amb calculadora: 1,732+12=1,366\tfrac{1{,}732 + 1}{2} = 1{,}366, i 1,732⋅0,5+0,707⋅0,707=0,866+0,5=1,3661{,}732\cdot 0{,}5 + 0{,}707\cdot 0{,}707 = 0{,}866 + 0{,}5 = 1{,}366.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula el valor exacte de sin 120°, cos 210°, tan 300° i sin 315°, reduint cada angle al primer quadrant i tenint en compte el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

sin⁡120°=32\sin 120° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}; cos⁡210°=−32\cos 210° = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}; tan⁡300°=−3\tan 300° = -\sqrt{3}; sin⁡315°=−22\sin 315° = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}

Resolució

  1. Mètode. Busques l'angle del primer quadrant que té les mateixes raons en valor absolut i tries el signe segons el quadrant.
  2. sin 120°. 2n quadrant, on el sinus és positiu; 180°−120°=60°180° - 120° = 60°, per tant sin⁡120°=sin⁡60°=32\sin 120° = \sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  3. cos 210°. 3r quadrant, on el cosinus és negatiu; 210°−180°=30°210° - 180° = 30°, per tant cos⁡210°=−cos⁡30°=−32\cos 210° = -\cos 30° = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  4. tan 300°. 4t quadrant, on la tangent és negativa; 360°−300°=60°360° - 300° = 60°, per tant tan⁡300°=−tan⁡60°=−3\tan 300° = -\tan 60° = -\sqrt{3}.
  5. sin 315°. 4t quadrant, on el sinus és negatiu; 360°−315°=45°360° - 315° = 45°, per tant sin⁡315°=−sin⁡45°=−22\sin 315° = -\sin 45° = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  6. Comprovació. Amb calculadora, sin⁡315°=−0,7071\sin 315° = -0{,}7071 i −22=−0,7071-\tfrac{\sqrt{2}}{2} = -0{,}7071.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un sector circular té un radi de 8 cm i un angle central de 3π/4 rad. Calcula la longitud de l'arc i l'àrea del sector.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

L=6π≈18,85 cmL = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{cm}; A=24π≈75,40 cm2A = 24\pi \approx 75{,}40\ \text{cm}^{2}

Resolució

  1. Dades. r=8 cmr = 8\ \text{cm} i θ=3π4\theta = \tfrac{3\pi}{4} rad.
  2. Fórmules del sector. Amb l'angle en radiants, la longitud de l'arc és L=r⋅θL = r\cdot\theta i l'àrea del sector és A=12 r2 θA = \tfrac{1}{2}\,r^{2}\,\theta.
  3. Càlcul. L=8⋅3π4=6π≈18,85 cm;A=12⋅82⋅3π4=32⋅3π4=24π≈75,40 cm2L = 8\cdot\dfrac{3\pi}{4} = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{cm};\qquad A = \dfrac{1}{2}\cdot 8^{2}\cdot\dfrac{3\pi}{4} = 32\cdot\dfrac{3\pi}{4} = 24\pi \approx 75{,}40\ \text{cm}^{2}
  4. Comprovació. 3π4\tfrac{3\pi}{4} rad són 135°, és a dir, 38\tfrac{3}{8} de volta. La circumferència fa 2π⋅8=16π2\pi\cdot 8 = 16\pi i 38⋅16π=6π\tfrac{3}{8}\cdot 16\pi = 6\pi; el cercle té àrea π⋅82=64π\pi\cdot 8^{2} = 64\pi i 38⋅64π=24π\tfrac{3}{8}\cdot 64\pi = 24\pi.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Resol l'equació cos x = -22\tfrac{\sqrt{2}}{2} per a x dins de l'interval [0, 2π) i expressa les solucions en radiants.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

x=3π4x = \dfrac{3\pi}{4} i x=5π4x = \dfrac{5\pi}{4} rad

Resolució

  1. Angle de referència. Sabem que cos⁡45°=22\cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}. Com que ara el cosinus és negatiu, l'angle és del 2n o del 3r quadrant, amb angle de referència 45°=π445° = \tfrac{\pi}{4}.
  2. 2n quadrant. x=π−π4=3π4x = \pi - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{3\pi}{4} (135°).
  3. 3r quadrant. x=π+π4=5π4x = \pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{4} (225°).
  4. Comprovació. cos⁡135°=−cos⁡45°=−22\cos 135° = -\cos 45° = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} i cos⁡225°=−cos⁡45°=−22\cos 225° = -\cos 45° = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Dins de [0,2π)[0, 2\pi) no n'hi ha cap més, perquè en una volta completa el cosinus pren cada valor com a màxim dues vegades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Calcula l'àrea d'un triangle en què dos costats mesuren 8 cm i 11 cm i formen un angle de 30°. Tindria la mateixa àrea si l'angle entre aquests dos costats fos de 150°? Per què?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

A=22 cm2A = 22\ \text{cm}^{2}. Sí: amb 150° l'àrea també és 22 cm222\ \text{cm}^{2}, perquè sin⁡150°=sin⁡30°\sin 150° = \sin 30°.

Resolució

  1. Fórmula de l'àrea. L'àrea d'un triangle amb dos costats aa i bb que formen un angle CC és A=12 a bsin⁡CA = \tfrac{1}{2}\,a\,b\sin C (prens un costat com a base i bsin⁡Cb\sin C com a altura).
  2. Càlcul amb 30°. A=12⋅8⋅11⋅sin⁡30°=44⋅12=22 cm2A = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 11\cdot\sin 30° = 44\cdot\dfrac{1}{2} = 22\ \text{cm}^{2}
  3. Angle de 150°. A=44⋅sin⁡150°A = 44\cdot\sin 150°, i com que 150°=180°−30°150° = 180° - 30°, sin⁡150°=sin⁡30°=12\sin 150° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}: l'àrea també seria 22 cm222\ \text{cm}^{2}. Dos angles suplementaris tenen el mateix sinus.
  4. Comprovació. L'altura sobre el costat d'11 cm és 8⋅sin⁡30°=4 cm8\cdot\sin 30° = 4\ \text{cm}, i 12⋅11⋅4=22 cm2\tfrac{1}{2}\cdot 11\cdot 4 = 22\ \text{cm}^{2}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Si sin(a) = 0,28 i a és del primer quadrant, calcula cos(a) i tan(a).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

cos⁡a=0,96\cos a = 0{,}96; tan⁡a≈0,2917\tan a \approx 0{,}2917 (exactament 724\tfrac{7}{24})

Resolució

  1. Dades. sin⁡a=0,28\sin a = 0{,}28 i aa és del primer quadrant, on totes les raons són positives.
  2. Identitat fonamental. sin⁡2a+cos⁡2a=1\sin^{2}a + \cos^{2}a = 1, d'on cos⁡a=1−sin⁡2a\cos a = \sqrt{1 - \sin^{2}a} (signe positiu, primer quadrant).
  3. Càlcul. cos⁡a=1−0,282=0,9216=0,96;tan⁡a=sin⁡acos⁡a=0,280,96≈0,2917\cos a = \sqrt{1 - 0{,}28^{2}} = \sqrt{0{,}9216} = 0{,}96;\qquad \tan a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{0{,}28}{0{,}96} \approx 0{,}2917
  4. Conclusió. Fixa't que 0,28=7250{,}28 = \tfrac{7}{25} i 0,96=24250{,}96 = \tfrac{24}{25}: és el triangle 7–24–25, i tan⁡a=724\tan a = \tfrac{7}{24}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Resol tan(x) = 1 i explica per què la forma general porta k·180 i no k·360.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

x=45°+k⋅180°x = 45° + k\cdot 180° (kk enter); entre 0° i 360°, x=45°x = 45° i x=225°x = 225°. Porta k⋅180°k\cdot 180° perquè el període de la tangent és 180°.

Resolució

  1. Angle de referència. tan⁡45°=1\tan 45° = 1, així que l'angle de referència és 45°.
  2. Signe de la tangent. La tangent és positiva al 1r i al 3r quadrant: entre 0° i 360°, x=45°x = 45° i x=180°+45°=225°x = 180° + 45° = 225°.
  3. Periodicitat. tan⁡(x+180°)=sin⁡(x+180°)cos⁡(x+180°)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x + 180°) = \dfrac{\sin(x + 180°)}{\cos(x + 180°)} = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x: el període de la tangent és mitja volta. Entre les dues solucions hi ha exactament 180°.
  4. Conclusió. Per això la forma general és x=45°+k⋅180°x = 45° + k\cdot 180° (en radiants, x=π4+kπx = \tfrac{\pi}{4} + k\pi): amb k⋅360°k\cdot 360° perdries la meitat de les solucions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Un excursionista surt d'un refugi i camina 4 km en línia recta fins a una font. Allà gira i camina 3 km més fins a un mirador. L'angle que formen els dos trams del recorregut és de 120 graus. Quina distància en línia recta separa el refugi del mirador?

Triangle del recorregut d'un excursionista: del refugi a la font 4 km, de la font al mirador 3 km, amb un angle de 120° a la font
Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

d=37≈6,08 kmd = \sqrt{37} \approx 6{,}08\ \text{km}

Resolució

  1. Plantejament. Refugi, font i mirador formen un triangle. Coneixes dos costats (4 km i 3 km) i l'angle que formen (120°), però no cap costat amb el seu angle oposat: aquí el teorema del sinus no serveix, cal el del cosinus.
  2. Teorema del cosinus. Si dd és la distància refugi–mirador (oposada a l'angle de 120°): d2=42+32−2⋅4⋅3⋅cos⁡120°d^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2\cdot 4\cdot 3\cdot\cos 120°
  3. Càlcul. Com que l'angle és obtús, cos⁡120°=−12\cos 120° = -\tfrac{1}{2} i el terme negatiu es torna positiu: d2=16+9−24⋅(−0,5)=25+12=37  ⇒  d=37≈6,08 kmd^{2} = 16 + 9 - 24\cdot(-0{,}5) = 25 + 12 = 37 \;\Rightarrow\; d = \sqrt{37} \approx 6{,}08\ \text{km}
  4. Conclusió. Té sentit: com que l'angle és obert (més gran que un recte), la distància directa és més gran que qualsevol dels dos trams.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Dos vaixells, A i B, es troben a 5 km l'un de l'altre i tots dos observen un mateix far. Des de A, la visual cap al far forma un angle de 70 graus amb la línia AB; des de B, l'angle és de 60 graus. A quina distància del vaixell A hi ha el far?

Triangle format per dos vaixells A i B separats 5 km i un far, amb angles de 70° a A i de 60° a B respecte de la línia AB
Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

El far és a ≈5,65 km\approx 5{,}65\ \text{km} del vaixell A.

Resolució

  1. Plantejament. El far F i els vaixells A i B formen un triangle. Coneixes el costat AB=5 kmAB = 5\ \text{km} i els dos angles adjacents (cas ALA): és el cas natural del teorema del sinus, però abans et cal l'angle oposat al costat conegut.
  2. Tercer angle. L'angle al far és F=180°−70°−60°=50°F = 180° - 70° - 60° = 50°.
  3. Teorema del sinus. La distància AFAF és oposada a l'angle de B (60°), i AB=5AB = 5 és oposat a l'angle del far (50°): AFsin⁡60°=5sin⁡50°\dfrac{AF}{\sin 60°} = \dfrac{5}{\sin 50°}
  4. Càlcul. AF=5⋅sin⁡60°sin⁡50°=5⋅0,8660,766≈5,65 kmAF = \dfrac{5\cdot\sin 60°}{\sin 50°} = \dfrac{5\cdot 0{,}866}{0{,}766} \approx 5{,}65\ \text{km}

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Calcula el valor exacte de sin 75° escrivint 75° = 45° + 30°, i el de cos 15° escrivint 15° = 45° - 30°. Explica per què els dos resultats coincideixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

sin⁡75°=cos⁡15°=6+24≈0,9659\sin 75° = \cos 15° = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659. Coincideixen perquè 75° i 15° són complementaris.

Resolució

  1. Fórmules. sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b i cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.
  2. sin 75°. sin⁡75°=sin⁡45°cos⁡30°+cos⁡45°sin⁡30°=22⋅32+22⋅12=6+24\sin 75° = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
  3. cos 15°. cos⁡15°=cos⁡45°cos⁡30°+sin⁡45°sin⁡30°=22⋅32+22⋅12=6+24\cos 15° = \cos 45°\cos 30° + \sin 45°\sin 30° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
  4. Per què coincideixen. 75° i 15° sumen 90° (són complementaris), i el sinus d'un angle és el cosinus del seu complementari: sin⁡75°=cos⁡(90°−75°)=cos⁡15°\sin 75° = \cos(90° - 75°) = \cos 15°.
  5. Comprovació. Amb calculadora: 2,4495+1,41424=3,86374=0,9659\tfrac{2{,}4495 + 1{,}4142}{4} = \tfrac{3{,}8637}{4} = 0{,}9659, que és el valor de sin⁡75°\sin 75° i també de cos⁡15°\cos 15°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Sabent que sin a = 3/5 i que a és un angle del primer quadrant, calcula sin 2a, cos 2a i tan 2a.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

sin⁡2a=2425\sin 2a = \tfrac{24}{25}; cos⁡2a=725\cos 2a = \tfrac{7}{25}; tan⁡2a=247\tan 2a = \tfrac{24}{7}

Resolució

  1. Cosinus de a. Per la identitat fonamental, cos⁡2a=1−sin⁡2a=1−925=1625\cos^{2}a = 1 - \sin^{2}a = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25}, i com que aa és del primer quadrant, cos⁡a=45\cos a = \tfrac{4}{5}.
  2. Fórmules de l'angle doble. sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a=2⋅35⋅45=2425;cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=1625−925=725\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25};\qquad \cos 2a = \cos^{2}a - \sin^{2}a = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}
  3. Tangent. tan⁡2a=sin⁡2acos⁡2a=24/257/25=247\tan 2a = \dfrac{\sin 2a}{\cos 2a} = \dfrac{24/25}{7/25} = \dfrac{24}{7}.
  4. Comprovació. sin⁡22a+cos⁡22a=576625+49625=1\sin^{2}2a + \cos^{2}2a = \tfrac{576}{625} + \tfrac{49}{625} = 1. Error típic: creure que sin⁡2a=2sin⁡a\sin 2a = 2\sin a; doblar l'angle no dobla el sinus.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Resol l'equació 2cos2x + 3 sin x = 3 per a x dins de l'interval [0°, 360°).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

x=30°x = 30°, x=90°x = 90° i x=150°x = 150°

Resolució

  1. Tot en sinus. Amb cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x: 2(1−sin⁡2x)+3sin⁡x=3  ⇒  2sin⁡2x−3sin⁡x+1=02(1 - \sin^{2}x) + 3\sin x = 3 \;\Rightarrow\; 2\sin^{2}x - 3\sin x + 1 = 0
  2. Equació de segon grau. Amb s=sin⁡xs = \sin x: 2s2−3s+1=0⇒s=3±9−84=3±142s^{2} - 3s + 1 = 0 \Rightarrow s = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \dfrac{3 \pm 1}{4}, és a dir, s=1s = 1 o s=12s = \tfrac{1}{2}.
  3. Angles. sin⁡x=1\sin x = 1 dona x=90°x = 90°. sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2} dona x=30°x = 30° (1r quadrant) i x=150°x = 150° (2n quadrant).
  4. Comprovació. x=30°x = 30°: 2⋅(32)2+3⋅12=32+32=32\cdot\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 3\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2} = 3; x=90°x = 90°: 0+3=30 + 3 = 3.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Els costats d'un triangle mesuren a = 7 cm, b = 8 cm i c = 9 cm. Calcula els tres angles amb el teorema del cosinus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

A≈48,19°A \approx 48{,}19°; B≈58,41°B \approx 58{,}41°; C≈73,40°C \approx 73{,}40°

Resolució

  1. Teorema del cosinus. a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A, d'on cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A = \dfrac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc} (i anàlogament per a B i C).
  2. Angle A. cos⁡A=64+81−492⋅8⋅9=96144=23\cos A = \dfrac{64 + 81 - 49}{2\cdot 8\cdot 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}, per tant A≈48,19°A \approx 48{,}19°.
  3. Angle B. cos⁡B=a2+c2−b22ac=49+81−642⋅7⋅9=66126=1121≈0,5238\cos B = \dfrac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2ac} = \dfrac{49 + 81 - 64}{2\cdot 7\cdot 9} = \dfrac{66}{126} = \dfrac{11}{21} \approx 0{,}5238, per tant B≈58,41°B \approx 58{,}41°.
  4. Angle C. C=180°−48,19°−58,41°=73,40°C = 180° - 48{,}19° - 58{,}41° = 73{,}40°. Comprovació: cos⁡C=49+64−812⋅7⋅8=32112=27≈0,2857\cos C = \dfrac{49 + 64 - 81}{2\cdot 7\cdot 8} = \dfrac{32}{112} = \dfrac{2}{7} \approx 0{,}2857, i arccos⁡0,2857≈73,40°\arccos 0{,}2857 \approx 73{,}40°.
  5. Conclusió. L'angle més gran és el que s'oposa al costat més llarg (C, oposat a c=9 cmc = 9\ \text{cm}).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Calcula l'apotema i l'àrea d'un pentàgon regular de 10 cm de costat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

Apotema ≈6,88 cm\approx 6{,}88\ \text{cm}; àrea ≈172 cm2\approx 172\ \text{cm}^{2}

Resolució

  1. Plantejament. Divideixes el pentàgon en 5 triangles isòsceles iguals amb vèrtex al centre. L'angle central de cada un és 360°5=72°\tfrac{360°}{5} = 72°, i l'apotema és l'altura d'aquest triangle, que el parteix en dos triangles rectangles amb un angle de 36° al centre i catet oposat de 5 cm (la meitat del costat).
  2. Apotema. tan⁡36°=5ap  ⇒  ap=5tan⁡36°=50,7265≈6,88 cm\tan 36° = \dfrac{5}{ap} \;\Rightarrow\; ap = \dfrac{5}{\tan 36°} = \dfrac{5}{0{,}7265} \approx 6{,}88\ \text{cm}
  3. Àrea. Perímetre: 5⋅10=50 cm5\cdot 10 = 50\ \text{cm}. A=P⋅ap2=50⋅6,882≈172 cm2A = \dfrac{P\cdot ap}{2} = \dfrac{50\cdot 6{,}88}{2} \approx 172\ \text{cm}^{2}
  4. Comprovació. Cada triangle central fa 12⋅10⋅6,88=34,4 cm2\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 6{,}88 = 34{,}4\ \text{cm}^{2}, i 5⋅34,4=172 cm25\cdot 34{,}4 = 172\ \text{cm}^{2}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Demostra la identitat (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x i fes-la servir per calcular sin 2x sabent que sin x + cos x = 4/3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

La identitat és certa; sin⁡2x=79\sin 2x = \tfrac{7}{9}.

Resolució

  1. Desenvolupament. Desenvolupes el quadrat del membre esquerre: (sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x(\sin x + \cos x)^{2} = \sin^{2}x + 2\sin x\cos x + \cos^{2}x.
  2. Identitat fonamental i angle doble. Agrupes sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 i 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x2\sin x\cos x = \sin 2x: (sin⁡x+cos⁡x)2=1+sin⁡2x(\sin x + \cos x)^{2} = 1 + \sin 2x, que és el membre dret.
  3. Càlcul. Si sin⁡x+cos⁡x=43\sin x + \cos x = \tfrac{4}{3}: (43)2=1+sin⁡2x  ⇒  sin⁡2x=169−1=79\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = 1 + \sin 2x \;\Rightarrow\; \sin 2x = \dfrac{16}{9} - 1 = \dfrac{7}{9}
  4. Comprovació. 79≈0,78\tfrac{7}{9} \approx 0{,}78 és entre −1-1 i 11, com ha de ser; i 43≈1,33\tfrac{4}{3} \approx 1{,}33 no supera el màxim possible de sin⁡x+cos⁡x\sin x + \cos x, que és 2≈1,41\sqrt{2} \approx 1{,}41: la dada és possible.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Raona si són certes o falses les afirmacions següents (si són falses, dona un contraexemple): a) sin 2x = 2 sin x per a tot x; b) sin2x + cos2x = 1 per a tot x; c) cos(a + b) = cos a + cos b per a tots els angles a i b; d) si sin x = 1/2, llavors x = 30°.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

Falsa: amb x=30°x = 30°, sin⁡60°≈0,866\sin 60° \approx 0{,}866 però 2sin⁡30°=12\sin 30° = 1.

Resolució

  1. Contraexemple. Amb x=30°x = 30°: sin⁡60°=32≈0,866\sin 60° = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866, però 2sin⁡30°=2⋅12=12\sin 30° = 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1.
  2. Fórmula correcta. Només coincideixen en alguns valors, com x=0°x = 0°. La fórmula correcta és sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.

Apartat b)

Resultat

Certa per a tot xx.

Resolució

  1. Identitat fonamental. És la identitat fonamental de la trigonometria: el punt (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x, \sin x) és sobre la circumferència de radi 1.
  2. Conclusió. Pel teorema de Pitàgores, cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^{2}x + \sin^{2}x = 1 per a qualsevol angle.

Apartat c)

Resultat

Falsa: amb a=b=60°a = b = 60°, cos⁡120°=−12\cos 120° = -\tfrac{1}{2} però cos⁡60°+cos⁡60°=1\cos 60° + \cos 60° = 1.

Resolució

  1. Contraexemple. Amb a=b=60°a = b = 60°: cos⁡120°=−12\cos 120° = -\tfrac{1}{2}, però cos⁡60°+cos⁡60°=12+12=1\cos 60° + \cos 60° = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.
  2. Fórmula correcta. cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b.

Apartat d)

Resultat

Falsa: x=150°x = 150° també compleix sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2}.

Resolució

  1. Contraexemple. x=30°x = 30° és una solució, però també ho és x=150°x = 150°, perquè sin⁡150°=sin⁡(180°−30°)=12\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \tfrac{1}{2}.
  2. Solució general. En general, sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2} té les solucions x=30°+360°⋅kx = 30° + 360°\cdot k i x=150°+360°⋅kx = 150° + 360°\cdot k, amb kk enter.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Des d'un punt situat a 50 m de la base d'un edifici, se'n veu el terrat sota un angle d'elevació de 32 graus. Si els ulls de l'observador són a 1,6 m del terra, quina altura té l'edifici?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

h≈32,8 mh \approx 32{,}8\ \text{m}

Resolució

  1. Plantejament. Des dels ulls de l'observador (a 1,6 m del terra) es forma un triangle rectangle: catet contigu de 50 m i angle d'elevació de 32°. La part de l'edifici per sobre dels ulls és el catet oposat.
  2. Tangent. tan⁡32°=h′50\tan 32° = \dfrac{h'}{50}, d'on h′=50⋅tan⁡32°h' = 50\cdot\tan 32°.
  3. Càlcul. h′=50⋅0,6249≈31,2 m;h=31,2+1,6≈32,8 mh' = 50\cdot 0{,}6249 \approx 31{,}2\ \text{m};\qquad h = 31{,}2 + 1{,}6 \approx 32{,}8\ \text{m}
  4. Conclusió. No t'oblidis de sumar l'altura dels ulls: l'angle es mesura des d'allà, no des del terra.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Demostra la identitat 1 + tan2(a) = 1/cos2(a) i fes-la servir per calcular cos(a) i sin(a) si tan(a) = 3/4 i a és del primer quadrant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

La identitat és certa; cos⁡a=45=0,8\cos a = \tfrac{4}{5} = 0{,}8 i sin⁡a=35=0,6\sin a = \tfrac{3}{5} = 0{,}6.

Resolució

  1. Demostració. Divideixes la relació fonamental sin⁡2a+cos⁡2a=1\sin^{2}a + \cos^{2}a = 1 entre cos⁡2a\cos^{2}a (amb cos⁡a≠0\cos a \neq 0): sin⁡2acos⁡2a+1=1cos⁡2a  ⇒  1+tan⁡2a=1cos⁡2a\dfrac{\sin^{2}a}{\cos^{2}a} + 1 = \dfrac{1}{\cos^{2}a} \;\Rightarrow\; 1 + \tan^{2}a = \dfrac{1}{\cos^{2}a}
  2. Cosinus. Amb tan⁡a=34\tan a = \tfrac{3}{4}: 1cos⁡2a=1+916=2516\dfrac{1}{\cos^{2}a} = 1 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{25}{16}, d'on cos⁡a=45=0,8\cos a = \tfrac{4}{5} = 0{,}8 (positiu, primer quadrant).
  3. Sinus. sin⁡a=tan⁡a⋅cos⁡a=34⋅45=35=0,6\sin a = \tan a\cdot\cos a = \tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{5} = \tfrac{3}{5} = 0{,}6.
  4. Comprovació. 0,62+0,82=0,36+0,64=10{,}6^{2} + 0{,}8^{2} = 0{,}36 + 0{,}64 = 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Resol cos(2x) = cos(x) per als angles x de l'interval [0, 360) graus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

x=0°x = 0°, x=120°x = 120° i x=240°x = 240°

Resolució

  1. Angle doble. Fas servir cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1, perquè tot quedi en cosinus: 2cos⁡2x−1=cos⁡x  ⇒  2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^{2}x - 1 = \cos x \;\Rightarrow\; 2\cos^{2}x - \cos x - 1 = 0
  2. Equació de segon grau. Amb c=cos⁡xc = \cos x: c=1±1+84=1±34c = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4}, és a dir, c=1c = 1 o c=−12c = -\tfrac{1}{2}.
  3. Angles. cos⁡x=1\cos x = 1: x=0°x = 0°. cos⁡x=−12\cos x = -\tfrac{1}{2}: x=120°x = 120° (2n quadrant) i x=240°x = 240° (3r quadrant).
  4. Comprovació. x=120°x = 120°: cos⁡240°=−12=cos⁡120°\cos 240° = -\tfrac{1}{2} = \cos 120°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Des d'un punt del terra, l'angle d'elevació del cim d'una torre és de 30°. Si ens apropem 40 m en línia recta cap a la base de la torre, l'angle d'elevació passa a ser de 45°. Calcula l'alçada de la torre.

Torre vista des de dos punts del terra alineats amb la base, separats 40 m, amb angles d'elevació de 30° i 45° fins al cim
Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

h=20(3+1)≈54,6 mh = 20(\sqrt{3} + 1) \approx 54{,}6\ \text{m}

Resolució

  1. Plantejament. Sigui hh l'alçada de la torre i xx la distància horitzontal des del segon punt (el més proper) fins a la base.
  2. Segon punt. tan⁡45°=hx\tan 45° = \tfrac{h}{x}, i com que tan⁡45°=1\tan 45° = 1, x=hx = h.
  3. Primer punt. És 40 m més lluny: tan⁡30°=hx+40=hh+40\tan 30° = \dfrac{h}{x + 40} = \dfrac{h}{h + 40}, amb tan⁡30°=13\tan 30° = \tfrac{1}{\sqrt{3}}.
  4. Càlcul. 3 h=h+40  ⇒  h(3−1)=40  ⇒  h=403−1=40(3+1)2=20(3+1)≈54,6 m\sqrt{3}\,h = h + 40 \;\Rightarrow\; h(\sqrt{3} - 1) = 40 \;\Rightarrow\; h = \dfrac{40}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{40(\sqrt{3} + 1)}{2} = 20(\sqrt{3} + 1) \approx 54{,}6\ \text{m}
  5. Comprovació. El primer punt és a h+40≈94,6 mh + 40 \approx 94{,}6\ \text{m} de la base, i 54,694,6≈0,577=tan⁡30°\tfrac{54{,}6}{94{,}6} \approx 0{,}577 = \tan 30°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

En un triangle ABC es coneixen el costat a = 7 cm, el costat b = 10 cm i l'angle A = 30° (a és el costat oposat a A, i b el costat oposat a B). Demostra que hi ha dos triangles possibles i calcula, per a cada un, els angles B i C i el costat c.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

Triangle 1: B1≈45,58°B_1 \approx 45{,}58°, C1≈104,42°C_1 \approx 104{,}42°, c1≈13,56 cmc_1 \approx 13{,}56\ \text{cm}; triangle 2: B2≈134,42°B_2 \approx 134{,}42°, C2≈15,58°C_2 \approx 15{,}58°, c2≈3,76 cmc_2 \approx 3{,}76\ \text{cm}.

Resolució

  1. Teorema del sinus. asin⁡A=bsin⁡B⇒sin⁡B=bsin⁡Aa=10⋅127=57≈0,7143\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{10\cdot\tfrac{1}{2}}{7} = \dfrac{5}{7} \approx 0{,}7143.
  2. Dues possibilitats. Un angle amb sinus 0,7143 pot ser B1≈45,58°B_1 \approx 45{,}58° (agut) o B2=180°−45,58°=134,42°B_2 = 180° - 45{,}58° = 134{,}42° (obtús). Tots dos valen perquè A+B2=30°+134,42°=164,42°t180°A + B_2 = 30° + 134{,}42° = 164{,}42° t 180°: hi ha dos triangles.
  3. Triangle 1. C1=180°−30°−45,58°=104,42°C_1 = 180° - 30° - 45{,}58° = 104{,}42°, i c1=asin⁡C1sin⁡A=7⋅0,96840,5≈13,56 cmc_1 = \dfrac{a\sin C_1}{\sin A} = \dfrac{7\cdot 0{,}9684}{0{,}5} \approx 13{,}56\ \text{cm}.
  4. Triangle 2. C2=180°−30°−134,42°=15,58°C_2 = 180° - 30° - 134{,}42° = 15{,}58°, i c2=7⋅sin⁡15,58°0,5=7⋅0,26870,5≈3,76 cmc_2 = \dfrac{7\cdot\sin 15{,}58°}{0{,}5} = \dfrac{7\cdot 0{,}2687}{0{,}5} \approx 3{,}76\ \text{cm}.
  5. Per què n'hi ha dos. bsin⁡A=5 cmta=7 cmtb=10 cmb\sin A = 5\ \text{cm} t a = 7\ \text{cm} t b = 10\ \text{cm}: el costat aa és prou llarg per arribar a la recta, però més curt que bb, així que la talla en dos punts. Comprovació: asin⁡A=70,5=14\tfrac{a}{\sin A} = \tfrac{7}{0{,}5} = 14 i bsin⁡B=105/7=14\tfrac{b}{\sin B} = \tfrac{10}{5/7} = 14, tant per a B1B_1 com per a B2B_2 (tenen el mateix sinus).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Resol l'equació sin 3x = 1/2 per a x dins de l'interval [0°, 360°).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

x=10°, 50°, 130°, 170°, 250°x = 10°,\ 50°,\ 130°,\ 170°,\ 250° i 290°290°

Resolució

  1. Canvi de variable. Anomenes u=3xu = 3x. Si x∈[0°,360°)x \in [0°, 360°), llavors u∈[0°,1080°)u \in [0°, 1080°): uu recorre tres voltes completes.
  2. Solucions en u. sin⁡u=12\sin u = \tfrac{1}{2} té les solucions bàsiques u=30°u = 30° i u=150°u = 150°, que es repeteixen cada 360°: u=30°,150°,390°,510°,750°,870°u = 30°, 150°, 390°, 510°, 750°, 870° (les següents, 1110° i 1230°, ja superen els 1080°).
  3. Desfer el canvi. x=u3x = \tfrac{u}{3}: x=10°,50°,130°,170°,250°,290°x = 10°, 50°, 130°, 170°, 250°, 290°.
  4. Comprovació. x=130°x = 130° dona sin⁡390°=sin⁡30°=12\sin 390° = \sin 30° = \tfrac{1}{2}; x=290°x = 290° dona sin⁡870°=sin⁡(870°−720°)=sin⁡150°=12\sin 870° = \sin(870° - 720°) = \sin 150° = \tfrac{1}{2}.
  5. Conclusió. Hi ha 6 solucions, el triple de les que té sin⁡u=12\sin u = \tfrac{1}{2} en una sola volta, perquè 3x3x recorre tres voltes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Fent servir les fórmules de l'angle meitat a partir de cos 45° = 22\tfrac{\sqrt{2}}{2}, calcula el valor exacte de cos 22,5° i de tan 22,5°. Comprova els resultats amb la calculadora.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

cos⁡22,5°=2+22≈0,9239\cos 22{,}5° = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \approx 0{,}9239; tan⁡22,5°=2−1≈0,4142\tan 22{,}5° = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}4142

Resolució

  1. Fórmules de l'angle meitat. cos⁡a2=1+cos⁡a2\cos\tfrac{a}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos a}{2}} i tan⁡a2=sin⁡a1+cos⁡a\tan\tfrac{a}{2} = \dfrac{\sin a}{1 + \cos a}. Amb a=45°a = 45°, l'angle a2=22,5°\tfrac{a}{2} = 22{,}5° és del primer quadrant i per això tries el signe positiu.
  2. Cosinus. cos⁡22,5°=1+222=2+24=2+22\cos 22{,}5° = \sqrt{\dfrac{1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}
  3. Tangent. tan⁡22,5°=221+22=22+2=2(2−2)(2+2)(2−2)=22−22=2−1\tan 22{,}5° = \dfrac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \tfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \dfrac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1Has racionalitzat multiplicant per 2−22 - \sqrt{2}.
  4. Comprovació amb calculadora. 2+1,41422=3,41422=1,84782=0,9239\tfrac{\sqrt{2 + 1{,}4142}}{2} = \tfrac{\sqrt{3{,}4142}}{2} = \tfrac{1{,}8478}{2} = 0{,}9239, igual que cos⁡22,5°\cos 22{,}5°; i 2−1=0,4142\sqrt{2} - 1 = 0{,}4142, igual que tan⁡22,5°\tan 22{,}5°.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Demostra la identitat tan x + 1/tan x = 2/sin 2x per als valors de x en què les dues expressions tenen sentit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

tan⁡x+1tan⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x\tan x + \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{1}{\sin x\cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x}, vàlida quan xx no és múltiple de 90°.

Resolució

  1. Tot en sinus i cosinus. Partint del membre esquerre: tan⁡x+1tan⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x\tan x + \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  2. Comú denominador. sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x\dfrac{\sin^{2}x + \cos^{2}x}{\sin x\cos x} = \dfrac{1}{\sin x\cos x} per la identitat fonamental.
  3. Angle doble. Multiplicant numerador i denominador per 2: 1sin⁡xcos⁡x=22sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x\dfrac{1}{\sin x\cos x} = \dfrac{2}{2\sin x\cos x} = \dfrac{2}{\sin 2x}, que és el membre dret.
  4. Domini. Les expressions tenen sentit quan sin⁡x≠0\sin x \neq 0 i cos⁡x≠0\cos x \neq 0, és a dir, quan xx no és múltiple de 90°.
  5. Comprovació. Amb x=30°x = 30°: tan⁡30°+1tan⁡30°=0,5774+1,7321=2,3095\tan 30° + \tfrac{1}{\tan 30°} = 0{,}5774 + 1{,}7321 = 2{,}3095, i 2sin⁡60°=20,8660=2,3095\tfrac{2}{\sin 60°} = \tfrac{2}{0{,}8660} = 2{,}3095.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

L'altura de l'aigua en un port, en metres, ve donada per h(t) = 2 + 1,5·sin(πt/6), amb t en hores des de la mitjanit (l'angle es mesura en radiants).
a) Quin és el període de la funció?
b) Quines són l'altura màxima i la mínima?
c) En quins instants entre t = 0 i t = 12 h l'altura és de 2,75 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

T=12 hT = 12\ \text{h}

Resolució

  1. Període del sinus. El període de sin⁡(kt)\sin(kt) és 2πk\tfrac{2\pi}{k}. Aquí k=π6k = \tfrac{\pi}{6}.
  2. Càlcul. T=2ππ/6=12 hT = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12\ \text{h}: el cicle de marees es repeteix cada 12 hores.

Apartat b)

Resultat

hmaˋx=3,5 mh_{\text{màx}} = 3{,}5\ \text{m}; hmıˊn=0,5 mh_{\text{mín}} = 0{,}5\ \text{m}

Resolució

  1. Rang del sinus. El sinus oscil·la entre −1-1 i 11.
  2. Càlcul. Màxim: 2+1,5⋅1=3,5 m2 + 1{,}5\cdot 1 = 3{,}5\ \text{m}. Mínim: 2+1,5⋅(−1)=0,5 m2 + 1{,}5\cdot(-1) = 0{,}5\ \text{m}.

Apartat c)

Resultat

t=1 ht = 1\ \text{h} i t=5 ht = 5\ \text{h}

Resolució

  1. Equació. 2+1,5sin⁡πt6=2,75⇒sin⁡πt6=0,751,5=0,52 + 1{,}5\sin\tfrac{\pi t}{6} = 2{,}75 \Rightarrow \sin\tfrac{\pi t}{6} = \tfrac{0{,}75}{1{,}5} = 0{,}5.
  2. Interval. Quan tt va de 0 a 12, l'angle πt6\tfrac{\pi t}{6} va de 0 a 2π2\pi, i en aquesta volta sin⁡=0,5\sin = 0{,}5 té dues solucions: πt6=π6\tfrac{\pi t}{6} = \tfrac{\pi}{6} i πt6=5π6\tfrac{\pi t}{6} = \tfrac{5\pi}{6}.
  3. Càlcul. πt6=π6\tfrac{\pi t}{6} = \tfrac{\pi}{6} dona t=1 ht = 1\ \text{h}; πt6=5π6\tfrac{\pi t}{6} = \tfrac{5\pi}{6} dona t=5 ht = 5\ \text{h}.
  4. Comprovació. h(1)=2+1,5⋅sin⁡π6=2+1,5⋅0,5=2,75 mh(1) = 2 + 1{,}5\cdot\sin\tfrac{\pi}{6} = 2 + 1{,}5\cdot 0{,}5 = 2{,}75\ \text{m} i h(5)=2+1,5⋅sin⁡5π6=2,75 mh(5) = 2 + 1{,}5\cdot\sin\tfrac{5\pi}{6} = 2{,}75\ \text{m}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quantes solucions té sin(x) = 0,3 entre 0 i 360 graus?

Dues: una al primer quadrant i una altra al segon, on el sinus també és positiu. La segona és 180 graus menys la primera.

Quan es fa servir el teorema del cosinus?

Quan coneixes dos costats i l'angle que formen, o els tres costats. El del sinus va bé quan coneixes un costat i el seu angle oposat.

Tornar a Matemàtiques

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat