Exercicis d'àlgebra — Matemàtiques 1r Batxillerat

Q: Per què s'han de comprovar les solucions d'una equació amb radicals?

Perquè en elevar al quadrat els dos membres poden aparèixer solucions que no compleixen l'equació original. Cal substituir-les i descartar les falses.

Q: Com es resol una inequació racional?

Es busquen els valors que anul·len el numerador i el denominador, es divideix la recta en intervals i s'estudia el signe a cadascun. Els zeros del denominador mai no entren a la solució.

L'àlgebra de 1r de Batxillerat no té conceptes gaire nous, però demana molta precisió. Els exercicis et fan resoldre equacions de segon grau i equacions amb radicals, on és imprescindible comprovar les solucions perquè en pot aparèixer alguna de falsa. Després resols inequacions, incloses les racionals, estudiant el signe a cada interval, i sistemes d'equacions lineals. Al final plantegis problemes reals, com preparar una mescla de dos cafès de preus diferents per obtenir-ne una d'un preu concret. Les solucions mostren la comprovació final. Errors típics: no comprovar les solucions en equacions amb radicals i no girar el signe de la desigualtat en dividir per un negatiu.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Resol $x^{2}$ - 7x + 12 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

x = 3

x = 4

Resolució

Dades. Equació de segon grau $x^{2} - 7x + 12 = 0$ , amb $a = 1$ , $b = -7$ , $c = 12$ .
Fórmula general. $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$
Càlcul. $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2} = \dfrac{7 \pm 1}{2}$ d'on $x = 4$ o $x = 3$ .
Conclusió. Fixa't que $x^{2} - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$ : les dues arrels són $x = 3$ i $x = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Què li passa al signe d'una inequació si divideixes per un nombre negatiu?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

El sentit de la desigualtat s'inverteix (gira): < passa a ser >, ≤ passa a ser ≥, i al revés.

Resolució

Propietat. Si multipliques o divideixes els dos membres d'una inequació per un nombre negatiu, has de girar el signe de la desigualtat.
Exemple. $2 < 5$ , però si divideixes per $-1$ obtens $-2 > -5$ : l'ordre s'ha invertit.
Conclusió. En canvi, si divideixes per un nombre positiu, el signe es manté igual.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Si x + y = 8 i x - y = 2, quant valen x i y?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

x = 5,\ y = 3

Resolució

Dades. Sistema $x + y = 8$ , $x - y = 2$ .
Mètode de reducció. Sumes les dues equacions i la $y$ desapareix: $2x = 10$ , d'on $x = 5$ .
Càlcul de y. De la primera, $y = 8 - 5 = 3$ .
Conclusió. La solució és el parell $(5, 3)$ . Comprovació: $5 + 3 = 8$ i $5 - 3 = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Resol sense fer servir la fórmula general: 5x² - 45 = 0 i 4x² + 8x = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

5x^{2} - 45 = 0

x = 3

x = -3

;

4x^{2} + 8x = 0

x = 0

x = -2

Resolució

Equació sense terme en x. A $5x^{2} - 45 = 0$ aïlles $x^{2}$ : $x^{2} = \tfrac{45}{5} = 9$ , per tant $x = 3$ o $x = -3$ (una solució positiva i una de negativa).
Equació sense terme independent. A $4x^{2} + 8x = 0$ treus factor comú: $4x(x + 2) = 0$ .
Producte igual a zero. Un producte val zero quan algun dels factors és zero: $4x = 0$ o $x + 2 = 0$ , és a dir, $x = 0$ i $x = -2$ .
Comprovació. $5\cdot3^{2} - 45 = 0$ i $4\cdot(-2)^{2} + 8\cdot(-2) = 16 - 16 = 0$ .
Compte. Un error típic és dividir $4x^{2} + 8x = 0$ entre $x$ : així es perd la solució $x = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Sense resoldre-les, calcula el discriminant de cada equació i digues quantes solucions reals té: a) $x^{2}$ - 6x + 9 = 0; b) 3x² + x - 2 = 0; c) 2x² - 3x + 5 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

\Delta = 0

: una solució doble (

x = 3

)

Resolució

Discriminant. $\Delta = b^{2} - 4ac$ : si $\Delta > 0$ hi ha dues solucions reals diferents, si $\Delta = 0$ n'hi ha una de doble i si $\Delta < 0$ no n'hi ha cap.
Càlcul. $\Delta = (-6)^{2} - 4\cdot1\cdot9 = 36 - 36 = 0$ .
Conclusió. Té una solució doble, $x = 3$ (de fet, $x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$ ).

Apartat b)

Resultat

\Delta = 25 > 0

: dues solucions reals (

x = \tfrac{2}{3}

x = -1

)

Resolució

Dades. $a = 3$ , $b = 1$ , $c = -2$ .
Càlcul. $\Delta = 1^{2} - 4\cdot3\cdot(-2) = 1 + 24 = 25 > 0$ . Fixa't que, com que $a$ i $c$ tenen signes diferents, el terme $-4ac$ és positiu.
Conclusió. Té dues solucions reals diferents, $x = \tfrac{2}{3}$ i $x = -1$ . Comprovació: $3\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} + \tfrac{2}{3} - 2 = \tfrac{4}{3} + \tfrac{2}{3} - 2 = 0$ .

Apartat c)

Resultat

\Delta = -31 < 0

: cap solució real

Resolució

Dades. $a = 2$ , $b = -3$ , $c = 5$ .
Càlcul. $\Delta = (-3)^{2} - 4\cdot2\cdot5 = 9 - 40 = -31 < 0$ .
Conclusió. L'arrel quadrada d'un nombre negatiu no és real: l'equació no té cap solució real.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Escriu una equació de segon grau que tingui per solucions x = -2 i x = 5, i comprova que la suma i el producte de les arrels es corresponen amb els coeficients.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

x^{2} - 3x - 10 = 0

(o qualsevol múltiple, com

2x^{2} - 6x - 20 = 0

); suma

= 3 = -b

, producte

= -10 = c

Resolució

Dades. Les arrels són $x_{1} = -2$ i $x_{2} = 5$ .
Forma factoritzada. L'equació es pot escriure com $(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$ , és a dir, $(x + 2)(x - 5) = 0$ .
Desenvolupament. $x^{2} - 5x + 2x - 10 = x^{2} - 3x - 10 = 0$
Relacions de Cardano–Vieta. En $x^{2} + bx + c = 0$ la suma de les arrels és $-b$ i el producte és $c$ . Aquí $-2 + 5 = 3 = -(-3)$ i $(-2)\cdot5 = -10 = c$ .
Conclusió. Qualsevol múltiple, com $2x^{2} - 6x - 20 = 0$ , té les mateixes arrels.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Resol les equacions (x - 3)(2x + 1)(x + 4) = 0 i $x^{3}$ - 9x = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Primera:

x = 3

x = -\tfrac{1}{2}

x = -4

; segona:

x = 0

x = 3

x = -3

Resolució

Propietat. Un producte val zero només si algun dels factors val zero.
Primera equació. $x - 3 = 0$ dona $x = 3$ ; $2x + 1 = 0$ dona $x = -\tfrac{1}{2}$ ; $x + 4 = 0$ dona $x = -4$ .
Segona equació: factoritzar. Treus factor comú, $x(x^{2} - 9) = 0$ , i factoritzes la diferència de quadrats: $x(x - 3)(x + 3) = 0$ .
Solucions. $x = 0$ , $x = 3$ i $x = -3$ .
Comprovació. $x = -3$ dona $(-3)^{3} - 9\cdot(-3) = -27 + 27 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Resol la inequació 3(x - 2) - 5 < 2x + 1 i escriu-ne la solució com a interval.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

x < 12

, és a dir,

(-\infty,\ 12)

Resolució

Treure parèntesis. $3x - 6 - 5 < 2x + 1$ , és a dir, $3x - 11 < 2x + 1$ .
Transposició. Passes les $x$ a l'esquerra i els nombres a la dreta: $3x - 2x < 1 + 11$ , d'on $x < 12$ .
Interval. Com que la desigualtat és estricta, el 12 no hi és inclòs: la solució és $(-\infty,\ 12)$ .
Comprovació. $x = 0$ dona $3\cdot(-2) - 5 = -11 < 1$ , correcte; en canvi $x = 12$ dona $25 < 25$ , que és fals.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Resol pel mètode de substitució el sistema 3x - 2y = 4, x + 4y = 6.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

x = 2,\ y = 1

Resolució

Aïllar. De la segona equació aïlles la $x$ : $x = 6 - 4y$ .
Substitució. A la primera: $3(6 - 4y) - 2y = 4 \Rightarrow 18 - 12y - 2y = 4 \Rightarrow 18 - 14y = 4 \Rightarrow y = \tfrac{14}{14} = 1$ .
Càlcul de x. Tornes a l'expressió aïllada: $x = 6 - 4\cdot1 = 2$ .
Comprovació. $3\cdot2 - 2\cdot1 = 4$ i $2 + 4\cdot1 = 6$ : es compleixen les dues equacions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Sense resoldre'ls, digues si cada sistema és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible, i raona-ho: a) x + 2y = 4, 3x + 6y = 12; b) x - y = 1, 2x - 2y = 5; c) 2x + y = 7, x - y = -1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

Compatible indeterminat (infinites solucions)

Resolució

Criteri. Compares els coeficients de les dues equacions: si tots (també el terme independent) són proporcionals, les equacions diuen el mateix.
Comparació. $3x + 6y = 12$ és la primera multiplicada per 3: $\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6} = \tfrac{4}{12}$ .
Conclusió. Expressen la mateixa condició (la mateixa recta): infinites solucions, per exemple $x = 4 - 2y$ per a qualsevol $y$ .

Apartat b)

Resultat

Incompatible (sense solució)

Resolució

Comparació. Els coeficients de les incògnites són proporcionals ( $2x - 2y$ és el doble de $x - y$ ), però el terme independent no: hauria de ser $2\cdot1 = 2$ i és 5.
Conclusió. Són dues rectes paral·leles: el sistema és incompatible, no té solució.

Apartat c)

Resultat

Compatible determinat (solució única:

x = 2,\ y = 3

)

Resolució

Comparació. Els coeficients de les incògnites no són proporcionals: $\tfrac{2}{1} \neq \tfrac{1}{-1}$ .
Conclusió. Les rectes es tallen en un sol punt: sistema compatible determinat. La solució és $x = 2$ , $y = 3$ .
Comprovació. $2\cdot2 + 3 = 7$ i $2 - 3 = -1$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Per què en una equació amb radicals cal comprovar sempre les solucions?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Perquè elevar al quadrat pot fer aparèixer solucions estranyes que no compleixen l'equació original; només valen les que la verifiquen.

Resolució

Què fas. Per eliminar una arrel, eleves els dos membres al quadrat.
Per què és un problema. Elevar al quadrat no és una transformació equivalent: si $a = b$ , llavors $a^{2} = b^{2}$ , però $a^{2} = b^{2}$ també es compleix quan $a = -b$ . L'equació nova pot tenir més solucions que l'original.
Exemple. $\sqrt{x} = -2$ no té solució, però en elevar al quadrat surt $x = 4$ , i $\sqrt{4} = 2 \neq -2$ .
Conclusió. Per això cal substituir cada solució a l'equació original i quedar-te només amb les que la compleixen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Resol l'equació amb radical $\sqrt{x + 6}$ = x i comprova les solucions (compte amb les solucions estranyes).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

x = 3

(la

x = -2

és una solució estranya)

Resolució

Elevar al quadrat. L'arrel ja està aïllada; eleves els dos costats al quadrat: $x + 6 = x^{2}$ , és a dir, $x^{2} - x - 6 = 0$ .
Fórmula general. $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}$ d'on $x = 3$ o $x = -2$ .
Comprovació de x = 3. $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$ , que coincideix amb el costat dret: és vàlida.
Comprovació de x = −2. $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2$ , però el costat dret és $-2$ i $2 \neq -2$ : és una solució estranya (apareix en elevar al quadrat) i es descarta.
Conclusió. L'única solució és $x = 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Resol -3x ≥ 9 i dona la solució en interval.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

x \leq -3

, és a dir,

(-\infty,\ -3]

Resolució

Dades. Inequació $-3x \geq 9$ .
Propietat. En dividir per un nombre negatiu, el sentit de la desigualtat s'inverteix.
Càlcul. Divideixes per $-3$ i gires el signe: $x \leq \tfrac{9}{-3} = -3$ .
Conclusió. La solució és $(-\infty,\ -3]$ ; el $-3$ s'inclou perquè la desigualtat és $\geq$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un botiguer vol preparar 20 kg de mescla de cafè barrejant cafè natural, que ven a 12 €/kg, amb cafè torrefacte, que ven a 8 €/kg. Vol que la mescla li surti a 9,5 €/kg. Planteja el sistema a partir de l'enunciat, resol-lo i comprova el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

7,5 kg de cafè natural i 12,5 kg de torrefacte (

x = 7{,}5\ \text{kg}

;

y = 12{,}5\ \text{kg}

)

Resolució

Incògnites. $x$ = kg de cafè natural i $y$ = kg de torrefacte.
Plantejament. Quantitat total: $x + y = 20$ . Valor: el natural aporta $12x$ €, el torrefacte $8y$ €, i la mescla ha de valer $9{,}5\cdot20 = 190$ €: $\begin{cases} x + y = 20 \\ 12x + 8y = 190 \end{cases}$
Substitució. Aïlles $x = 20 - y$ : $12(20 - y) + 8y = 190 \Rightarrow 240 - 12y + 8y = 190 \Rightarrow -4y = -50 \Rightarrow y = 12{,}5$ . Llavors $x = 20 - 12{,}5 = 7{,}5$ .
Comprovació. $7{,}5 + 12{,}5 = 20$ kg i $12\cdot7{,}5 + 8\cdot12{,}5 = 90 + 100 = 190$ €, que entre 20 kg són 9,5 €/kg.
Conclusió. Cal posar 7,5 kg de natural i 12,5 kg de torrefacte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Resol l'equació biquadrada $x^{4}$ - 5x² - 36 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

x = 3

x = -3

Resolució

Canvi de variable. Fas $t = x^{2}$ (amb $t \geq 0$ ), de manera que $x^{4} = t^{2}$ : $t^{2} - 5t - 36 = 0$ .
Fórmula general. $t = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \dfrac{5 \pm 13}{2}$ d'on $t = 9$ o $t = -4$ .
Desfer el canvi. $x^{2} = 9$ dona $x = 3$ o $x = -3$ . En canvi $x^{2} = -4$ no té solució real, perquè un quadrat mai no és negatiu.
Comprovació. $3^{4} - 5\cdot3^{2} - 36 = 81 - 45 - 36 = 0$ .
Compte. Un error típic és quedar-se amb $t = 9$ com a solució: la incògnita és $x$ , no $t$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Resol l'equació amb dos radicals $\sqrt{2x + 3}$ - $\sqrt{x - 2}$ = 2 i comprova les solucions.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

x = 3

x = 11

(totes dues vàlides)

Resolució

Aïllar un radical. $\sqrt{2x + 3} = 2 + \sqrt{x - 2}$ .
Primer quadrat. Recorda el doble producte, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ : $2x + 3 = 4 + 4\sqrt{x - 2} + (x - 2) \Rightarrow x + 1 = 4\sqrt{x - 2}$ Un error típic és elevar al quadrat sense aïllar abans un radical i oblidar el terme $2ab$ .
Segon quadrat. $x^{2} + 2x + 1 = 16(x - 2) \Rightarrow x^{2} - 14x + 33 = 0$ , i $x = \dfrac{14 \pm \sqrt{196 - 132}}{2} = \dfrac{14 \pm 8}{2}$ d'on $x = 11$ o $x = 3$ .
Comprovació. $x = 11$ : $\sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$ , correcte. $x = 3$ : $\sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$ , correcte.
Conclusió. Les dues solucions són vàlides: $x = 3$ i $x = 11$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Resol l'equació racional $\tfrac{3}{(x - 1)}$ + $\tfrac{2}{(x + 1)} = 2$ i indica quins valors de x no podrien ser mai solució.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

x = 3

x = -\tfrac{1}{2}

; els valors

x = 1

x = -1

no poden ser mai solució

Resolució

Valors exclosos. Els denominadors s'anul·len per a $x = 1$ i $x = -1$ , així que aquests dos valors queden exclosos d'entrada.
Denominador comú. Multipliques tota l'equació per $(x - 1)(x + 1)$ : $3(x + 1) + 2(x - 1) = 2(x - 1)(x + 1)$ .
Equació de segon grau. Desenvolupes: $5x + 1 = 2x^{2} - 2$ , i ho passes tot a un costat: $2x^{2} - 5x - 3 = 0$ . $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \dfrac{5 \pm 7}{4}$ d'on $x = 3$ o $x = -\tfrac{1}{2}$ .
Validesa. Cap dels dos és 1 ni $-1$ , així que tots dos són vàlids.
Comprovació. $x = 3$ : $\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{4} = 1{,}5 + 0{,}5 = 2$ . $x = -\tfrac{1}{2}$ : $\tfrac{3}{-1{,}5} + \tfrac{2}{0{,}5} = -2 + 4 = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Resol pel mètode de Gauss el sistema x + y + z = 4, 2x - y + z = 8, x + 2y - z = -3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

x = 2,\ y = -1,\ z = 3

(sistema compatible determinat)

Resolució

Mètode de Gauss. Anomenes E1, E2 i E3 les tres equacions i elimines la $x$ de E2 i E3: $E_2 - 2E_1$ dona $-3y - z = 0$ , i $E_3 - E_1$ dona $y - 2z = -7$ .
Sistema reduït. Ara tens dues equacions amb $y$ i $z$ . De la primera, $z = -3y$ .
Càlcul. Substitueixes a la segona: $y - 2(-3y) = -7 \Rightarrow 7y = -7 \Rightarrow y = -1$ , i llavors $z = -3\cdot(-1) = 3$ . Tornes a E1: $x = 4 - y - z = 4 + 1 - 3 = 2$ .
Comprovació. E2: $2\cdot2 - (-1) + 3 = 8$ ; E3: $2 + 2\cdot(-1) - 3 = -3$ .
Conclusió. Solució única $x = 2$ , $y = -1$ , $z = 3$ : sistema compatible determinat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

a) Resol la inequació $x^{2}$ - 2x - 8 > 0.
b) Resol el sistema d'inequacions format per aquesta i 2x - 1 < 9.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

(-\infty,\ -2) \cup (4,\ +\infty)

Resolució

Arrels. $x^{2} - 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}$ , és a dir, $x = 4$ i $x = -2$ .
Signe de la paràbola. El coeficient de $x^{2}$ és positiu, així que el polinomi és positiu fora de les arrels. Ho comproves amb un valor de cada tram: $x = -3$ dona $9 + 6 - 8 = 7 > 0$ ; $x = 0$ dona $-8 < 0$ ; $x = 5$ dona $25 - 10 - 8 = 7 > 0$ .
Conclusió. Solució: $(-\infty,\ -2) \cup (4,\ +\infty)$ , amb els extrems exclosos perquè la desigualtat és estricta.

Apartat b)

Resultat

(-\infty,\ -2) \cup (4,\ 5)

Resolució

Segona inequació. $2x - 1 < 9 \Rightarrow 2x < 10 \Rightarrow x < 5$ , o sigui $(-\infty,\ 5)$ .
Intersecció. La solució del sistema és la part comuna dels dos conjunts: $\big((-\infty,\ -2) \cup (4,\ +\infty)\big) \cap (-\infty,\ 5) = (-\infty,\ -2) \cup (4,\ 5)$
Comprovació. $x = 4{,}5$ compleix $4{,}5^{2} - 2\cdot4{,}5 - 8 = 3{,}25 > 0$ i $2\cdot4{,}5 - 1 = 8 < 9$ : és solució. En canvi, $x = 5{,}5$ dona $2\cdot5{,}5 - 1 = 10$ , que no és menor que 9.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un alumne resol (x - 2)(x + 3) = 14 dient «x - 2 = 14 o x + 3 = 14», i en treu x = 16 i x = 11. Explica per què és incorrecte i resol l'equació correctament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

La regla del producte nul només val quan el producte és 0; la solució correcta és

x = 4

x = -5

Resolució

On és l'error. La regla «un producte val zero si algun factor val zero» només serveix quan el producte és igual a 0. Aquí val 14, i molts parells de factors donen 14 ( $2\cdot7$ , $1\cdot14$ …), així que no pots igualar un factor a 14.
Comprovació de l'error. $x = 16$ dona $14\cdot19 = 266$ , que no és 14.
Igualar a zero. Primer desenvolupes i ho passes tot a un costat: $x^{2} + x - 6 = 14 \Rightarrow x^{2} + x - 20 = 0$ .
Fórmula general. $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \dfrac{-1 \pm 9}{2}$ d'on $x = 4$ o $x = -5$ .
Comprovació. $(4 - 2)(4 + 3) = 2\cdot7 = 14$ i $(-5 - 2)(-5 + 3) = (-7)\cdot(-2) = 14$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un pagès vol tancar un corral rectangular adossat a una paret, de manera que només cal posar tanca als altres tres costats. Disposa de 40 m de tanca i vol que el corral tingui 150 $\text{m}^{2}$ . Quines dimensions pot tenir?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Dues opcions: costats perpendiculars a la paret de 15 m i costat paral·lel de 10 m (15 m × 10 m), o bé 5 m i 30 m (5 m × 30 m)

Resolució

Incògnita. Anomenes $x$ la longitud dels dos costats perpendiculars a la paret. El costat paral·lel a la paret fa $40 - 2x$ .
Equació. L'àrea és $x(40 - 2x) = 150 \Rightarrow 40x - 2x^{2} = 150 \Rightarrow x^{2} - 20x + 75 = 0$ .
Fórmula general. $x = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 300}}{2} = \dfrac{20 \pm 10}{2}$ d'on $x = 15$ o $x = 5$ .
Dimensions. Si $x = 15$ m, el costat de la paret fa $40 - 30 = 10$ m. Si $x = 5$ m, fa $40 - 10 = 30$ m.
Conclusió. Les dues solucions són vàlides (totes les longituds són positives). Comprovació: $15\cdot10 = 150\ \text{m}^{2}$ i $5\cdot30 = 150\ \text{m}^{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Resol l'equació racional x²/(x - 2) = 4/(x - 2) i comprova quines solucions són vàlides.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

x = -2

(la

x = 2

es descarta perquè anul·la el denominador)

Resolució

Valor exclòs. Si $x = 2$ , el denominador val 0, així que aquest valor mai no podrà ser solució.
Simplificació. Com que els dos costats tenen el mateix denominador, multipliques per $x - 2$ : $x^{2} = 4$ , d'on $x = 2$ o $x = -2$ .
Comprovació. $x = 2$ anul·la el denominador: és una solució estranya i es descarta. $x = -2$ dona $\tfrac{(-2)^{2}}{-2 - 2} = \tfrac{4}{-4} = -1$ als dos costats: és vàlida.
Conclusió. L'única solució és $x = -2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Resol la inequació $\tfrac{(x - 1)}{(x + 2)} \leq 0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

(-2,\ 1]

Resolució

Punts crítics. El numerador s'anul·la a $x = 1$ i el denominador, a $x = -2$ .
Taula de signes. Per a $x < -2$ : $\tfrac{(-)}{(-)} > 0$ ; entre $-2$ i 1: $\tfrac{(-)}{(+)} < 0$ ; per a $x > 1$ : $\tfrac{(+)}{(+)} > 0$ .
Extrems. Vols $\leq 0$ : el tram del mig. $x = 1$ hi entra (el quocient val 0), però $x = -2$ no (el denominador s'anul·la).
Conclusió. La solució és $(-2,\ 1]$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una persona inverteix 10000 € repartint-los en dos productes: un que dona el 3 % anual i un altre el 5 % anual. Al cap d'un any ha cobrat 380 € d'interessos en total. Planteja el sistema des de l'enunciat, resol-lo i comprova'l per saber quant ha posat a cada producte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

6000 € al 3 % i 4000 € al 5 % (

x = 6000\ \text{€}

;

y = 4000\ \text{€}

)

Resolució

Incògnites. $x$ = € invertits al 3 % i $y$ = € invertits al 5 %.
Plantejament. Tot el capital: $x + y = 10000$ . Interessos d'un any: $0{,}03x + 0{,}05y = 380$ . $\begin{cases} x + y = 10000 \\ 0{,}03x + 0{,}05y = 380 \end{cases}$
Substitució. Aïlles $x = 10000 - y$ : $0{,}03(10000 - y) + 0{,}05y = 380 \Rightarrow 300 + 0{,}02y = 380 \Rightarrow 0{,}02y = 80 \Rightarrow y = 4000$ . Llavors $x = 10000 - 4000 = 6000$ .
Comprovació. $6000 + 4000 = 10000$ € i $0{,}03\cdot6000 + 0{,}05\cdot4000 = 180 + 200 = 380$ €.
Conclusió. Ha invertit 6000 € al 3 % i 4000 € al 5 %.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Resol la inequació $\tfrac{(x + 1)}{(x - 3)} \geq 2$ i explica per què no es poden multiplicar sense més els dos membres per x - 3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

(3,\ 7]

; no pots multiplicar per

x - 3

perquè no en saps el signe, i si és negatiu cal girar la desigualtat

Resolució

Per què no multiplicar. No saps si $x - 3$ és positiu o negatiu, i en el segon cas s'hauria de canviar el sentit de la desigualtat. Per això ho passes tot a un costat.
Comú denominador. $\dfrac{x + 1}{x - 3} - 2 \geq 0 \Rightarrow \dfrac{x + 1 - 2x + 6}{x - 3} \geq 0 \Rightarrow \dfrac{7 - x}{x - 3} \geq 0$
Taula de signes. El numerador s'anul·la en $x = 7$ i el denominador en $x = 3$ . Un valor de cada tram: $x = 0$ dona $\tfrac{7}{-3} < 0$ ; $x = 5$ dona $\tfrac{2}{2} > 0$ ; $x = 8$ dona $\tfrac{-1}{5} < 0$ .
Extrems. La fracció és positiva a $(3,\ 7)$ , val zero en $x = 7$ (s'inclou perquè la desigualtat és $\geq$ ) i $x = 3$ s'exclou perquè anul·la el denominador.
Comprovació. $x = 7$ dona $\tfrac{8}{4} = 2 \geq 2$ ; $x = 5$ dona $\tfrac{6}{2} = 3 \geq 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Considera el polinomi P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6.
a) Resol l'equació P(x) = 0.
b) Resol la inequació P(x) ≥ 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

x = -2

x = \tfrac{1}{2}

x = 3

Resolució

Arrels racionals candidates. Són de la forma $\tfrac{p}{q}$ , amb $p$ divisor de 6 i $q$ divisor de 2. Proves $x = 3$ : $54 - 27 - 33 + 6 = 0$ , així que $x = 3$ és arrel.
Regla de Ruffini. Divideixes entre $x - 3$ (coeficients 2, −3, −11, 6) i queda el quocient $2x^{2} + 3x - 2$ amb residu 0.
Equació de segon grau. $x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \dfrac{-3 \pm 5}{4}$ d'on $x = \tfrac{1}{2}$ o $x = -2$ .
Conclusió. Les arrels són $-2$ , $\tfrac{1}{2}$ i 3, i $P(x) = 2(x + 2)\left(x - \tfrac{1}{2}\right)(x - 3)$ .

Apartat b)

Resultat

[-2,\ \tfrac{1}{2}] \cup [3,\ +\infty)

Resolució

Trams. Les arrels divideixen la recta en quatre trams. Com que el coeficient de $x^{3}$ és positiu, $P(x)$ és positiu a la dreta de l'última arrel i el signe s'alterna en passar per cada arrel (totes són simples).
Signes. $x > 3$ : +; $\tfrac{1}{2} < x < 3$ : −; $-2 < x < \tfrac{1}{2}$ : +; $x < -2$ : −.
Extrems. Com que la desigualtat és $\geq$ , inclous les arrels: la solució és $[-2,\ \tfrac{1}{2}] \cup [3,\ +\infty)$ .
Comprovació. $P(0) = 6 > 0$ i 0 és dins de $[-2,\ \tfrac{1}{2}]$ ; $P(1) = 2 - 3 - 11 + 6 = -6 < 0$ i 1 és fora de la solució.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Considera el sistema x + my = 2, mx + 4y = 4, on m és un paràmetre.
a) Discuteix, segons els valors de m, si és compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible.
b) Resol-lo per a m = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

m \neq \pm2

: compatible determinat;

m = 2

: compatible indeterminat;

m = -2

: incompatible

Resolució

Substitució. Aïlles $x = 2 - my$ a la primera equació i ho substitueixes a la segona: $m(2 - my) + 4y = 4 \Rightarrow (4 - m^{2})\,y = 4 - 2m \Rightarrow (2 - m)(2 + m)\,y = 2(2 - m)$
Cas m ≠ ±2. Pots dividir per $(2 - m)(2 + m)$ : $y = \tfrac{2}{2 + m}$ i $x = 2 - my = \tfrac{4}{2 + m}$ . Sistema compatible determinat.
Cas m = 2. L'equació queda $0\cdot y = 0$ , que es compleix per a qualsevol $y$ : infinites solucions ( $x = 2 - 2y$ ). Sistema compatible indeterminat.
Cas m = −2. L'equació queda $0\cdot y = 8$ , que és impossible. Sistema incompatible.

Apartat b)

Resultat

x = \tfrac{4}{3},\ y = \tfrac{2}{3}

Resolució

Cas general. Per a $m = 1$ estàs en el cas $m \neq \pm2$ , compatible determinat.
Càlcul. $y = \tfrac{2}{2 + 1} = \tfrac{2}{3}$ i $x = \tfrac{4}{2 + 1} = \tfrac{4}{3}$ .
Comprovació. $\tfrac{4}{3} + \tfrac{2}{3} = 2$ i $\tfrac{4}{3} + 4\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3} + \tfrac{8}{3} = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Determina, segons els valors del paràmetre k, quantes solucions reals té l'equació $x^{2}$ + kx + 9 = 0. Per a quins valors de k té una arrel doble i quant val aquesta arrel en cada cas?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

Dues solucions si

k < -6

k > 6

; una doble si

k = \pm6

; cap si

-6 < k < 6

. Arrel doble:

x = -3

per a

k = 6

x = 3

per a

k = -6

Resolució

Discriminant. El nombre de solucions depèn de $\Delta = k^{2} - 4\cdot1\cdot9 = k^{2} - 36$ .
Casos. Dues solucions diferents: $\Delta > 0 \Rightarrow k^{2} > 36 \Rightarrow k < -6$ o $k > 6$ . Una solució doble: $\Delta = 0 \Rightarrow k = 6$ o $k = -6$ . Cap solució real: $\Delta < 0 \Rightarrow -6 < k < 6$ .
Arrel doble. Val $x = -\tfrac{k}{2}$ : per a $k = 6$ , $x = -3$ (l'equació és $x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2} = 0$ ); per a $k = -6$ , $x = 3$ (l'equació és $(x - 3)^{2} = 0$ ).
Comprovació. $k = 5$ és entre −6 i 6 i dona $x^{2} + 5x + 9 = 0$ , amb $\Delta = 25 - 36 = -11 < 0$ : sense solucions reals.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un tren fa un trajecte de 480 km a velocitat constant. Si anés 20 km/h més de pressa, trigaria 2 hores menys. Calcula la velocitat habitual del tren i el temps que triga.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

v = 60\ \text{km/h}

;

t = 8\ \text{h}

Resolució

Plantejament. Sigui $v$ la velocitat habitual (km/h). El temps habitual és $\tfrac{480}{v}$ i, amb 20 km/h més, $\tfrac{480}{v + 20}$ . La diferència és de 2 hores: $\dfrac{480}{v} - \dfrac{480}{v + 20} = 2$
Treure denominadors. Multipliques per $v(v + 20)$ : $480(v + 20) - 480v = 2v(v + 20) \Rightarrow 9600 = 2v^{2} + 40v \Rightarrow v^{2} + 20v - 4800 = 0$ .
Fórmula general. $v = \dfrac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} = \dfrac{-20 \pm 140}{2}$ d'on $v = 60$ o $v = -80$ . Descartes la velocitat negativa.
Temps. $t = \tfrac{480}{60} = 8$ h.
Comprovació. A 80 km/h trigaria $\tfrac{480}{80} = 6$ h, és a dir, 2 h menys.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Resol el sistema no lineal $x^{2}$ + $y^{2}$ = 34, xy = 15. (Pista: calcula $(x + y)^{2}$ i $(x - y)^{2}$ .)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

(5,\ 3)

(3,\ 5)

(-3,\ -5)

(-5,\ -3)

Resolució

Quadrat d'una suma i d'una diferència. $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 34 + 30 = 64$ i $(x - y)^{2} = x^{2} + y^{2} - 2xy = 34 - 30 = 4$ .
Arrels. Per tant $x + y = \pm8$ i $x - y = \pm2$ .
Quatre casos. Sumes i restes les dues equacions: $x + y = 8,\ x - y = 2 \Rightarrow (5,\ 3)$ ; $x + y = 8,\ x - y = -2 \Rightarrow (3,\ 5)$ ; $x + y = -8,\ x - y = 2 \Rightarrow (-3,\ -5)$ ; $x + y = -8,\ x - y = -2 \Rightarrow (-5,\ -3)$ .
Comprovació. $5^{2} + 3^{2} = 34$ i $5\cdot3 = 15$ ; $(-3)^{2} + (-5)^{2} = 34$ i $(-3)\cdot(-5) = 15$ .
Conclusió. El sistema té quatre solucions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per què s'han de comprovar les solucions d'una equació amb radicals?

Perquè en elevar al quadrat els dos membres poden aparèixer solucions que no compleixen l'equació original. Cal substituir-les i descartar les falses.

Com es resol una inequació racional?

Es busquen els valors que anul·len el numerador i el denominador, es divideix la recta en intervals i s'estudia el signe a cadascun. Els zeros del denominador mai no entren a la solució.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat