Exercicis d'estadística bidimensional: regressió i correlació — Matemàtiques 1r Batxillerat

En aquest tema aprendràs a estudiar la relació entre dues variables mesurades sobre els mateixos individus. Començaràs interpretant el núvol de punts i el signe de la covariància, i continuaràs amb el coeficient de correlació de Pearson, que et diu si la relació lineal és forta o feble i en quin sentit va. Després calcularàs les rectes de regressió, tant la de y sobre x com la de x sobre y, i les faràs servir per fer prediccions i valorar-ne la fiabilitat. Als exercicis intermedis i avançats treballaràs amb taules petites, sumes i estadístics resum, canvis d'unitats, residus i punts atípics, amb problemes complets d'examen. Vigila els errors típics: confondre correlació amb causalitat, extrapolar molt lluny de les dades i fer servir la recta equivocada per estimar x.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Sense fer cap càlcul, digues si esperes que cada parella de variables tingui correlació positiva, negativa o pràcticament nul·la, i justifica-ho breument:
a) l'alçada d'una persona adulta i el seu número de calçat;
b) el nombre de faltes d'assistència d'un alumne en un trimestre i la seva nota final;
c) el dia del mes en què va néixer un alumne i la seva nota de Matemàtiques;
d) l'altitud d'un poble d'Osona i la seva temperatura mitjana anual.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Apartat a)

Resultat

Correlació positiva: les persones més altes solen tenir el peu més gran.

Resolució

Plantejament. Pensa com varia una variable quan l'altra creix: si totes dues tendeixen a créixer juntes, la correlació és positiva.
Raonament. Les persones més altes solen tenir el peu més gran, de manera que el núvol de punts puja d'esquerra a dreta.
Conclusió. Correlació positiva (directa). Recorda: el signe de la correlació indica el sentit de la relació, i el seu valor absolut, la força.

Apartat b)

Resultat

Correlació negativa: com més faltes, notes més baixes.

Resolució

Plantejament. Mira si, quan augmenten les faltes, la nota tendeix a pujar o a baixar.
Raonament. Com més faltes d'assistència, tendeix a haver-hi notes més baixes, i el núvol de punts baixa d'esquerra a dreta.
Conclusió. Correlació negativa (inversa).

Apartat c)

Resultat

Correlació pràcticament nul·la (

r \approx 0

): el dia de naixement no influeix en la nota.

Resolució

Plantejament. Pregunta't si hi ha cap motiu perquè una variable depengui de l'altra.
Raonament. El dia del mes en què va néixer un alumne no té cap relació amb el seu rendiment, i el núvol de punts és una taca sense cap tendència.
Conclusió. Correlació pràcticament nul·la, $r \approx 0$ .

Apartat d)

Resultat

Correlació negativa: com més altitud, més baixa és la temperatura mitjana.

Resolució

Plantejament. Mira com canvia la temperatura quan pugem de cota.
Raonament. Com més amunt és el poble, més baixa és la temperatura mitjana anual: el núvol baixa d'esquerra a dreta.
Conclusió. Correlació negativa (inversa).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Quatre grups d'alumnes han calculat el coeficient de correlació d'un conjunt de dades i han obtingut 0,87; -1,2; 0 i -0,35. Un dels valors és impossible: digues quin i per què, i descriu la relació lineal que indica cadascun dels altres tres.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

r = -1{,}2

és impossible, perquè sempre

-1 \le r \le 1

r = 0{,}87

: relació lineal directa i forta;

r = 0

: sense relació lineal;

r = -0{,}35

: relació inversa i feble.

Resolució

Propietat del coeficient de correlació. El coeficient de correlació compleix sempre $-1 \le r \le 1.$ Per tant, $-1{,}2$ és impossible: hi ha algun error de càlcul (per exemple, en la covariància o en una desviació típica).
r = 0,87. Relació lineal directa i forta: si x creix, y tendeix a créixer, i el núvol de punts és força estret al voltant d'una recta.
r = 0. No hi ha relació lineal: el núvol no segueix cap recta (encara que podria haver-hi una relació d'un altre tipus, com una paràbola).
r = −0,35. Relació inversa i feble: si x creix, y tendeix a baixar una mica, però amb molta dispersió.
Conclusió. El signe de r indica el sentit de la relació, i el valor absolut $|r|$ , la força: com més a prop d'1, més estret és el núvol al voltant de la recta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Cinc amics han anotat la seva alçada en cm (x) i el seu pes en kg (y): (160, 52), (165, 58), (170, 62), (175, 68) i (180, 75). Calcula el punt mitjà ( $\bar{x}$ , ȳ) del núvol de punts i explica per què és un punt especial per a la recta de regressió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

(\bar{x}, \bar{y}) = (170\ \text{cm},\ 63\ \text{kg})

; les dues rectes de regressió hi passen sempre (és el «centre de gravetat» del núvol).

Resolució

Dades. Tenim 5 parelles (alçada, pes) i volem el punt mitjà $(\bar{x}, \bar{y})$ .
Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{160 + 165 + 170 + 175 + 180}{5} = \dfrac{850}{5} = 170\ \text{cm}, \qquad \bar{y} = \dfrac{52 + 58 + 62 + 68 + 75}{5} = \dfrac{315}{5} = 63\ \text{kg}.$
Punt mitjà. El centre del núvol de punts és $(170, 63)$ .
Per què és especial. Les dues rectes de regressió (la de y sobre x i la de x sobre y) passen sempre per aquest punt, que és com el «centre de gravetat» del núvol. Per això l'equació de la recta s'escriu $y - \bar{y} = b\,(x - \bar{x})$ .
Comprovació. Les desviacions respecte de la mitjana sumen zero: $(160 - 170) + (165 - 170) + (170 - 170) + (175 - 170) + (180 - 170) = -10 - 5 + 0 + 5 + 10 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Quatre alumnes han tingut 1, 2, 3 i 4 faltes d'assistència en un trimestre (x) i han obtingut aquestes notes finals (y): 6, 4, 3 i 1, respectivament. Calcula la covariància i explica què indica el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\sigma_{xy} = -2

; el signe negatiu indica una relació inversa: més faltes, notes més baixes.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = 2{,}5$ i $\bar{y} = \dfrac{6 + 4 + 3 + 1}{4} = 3{,}5$ .
Fórmula de la covariància. $\sigma_{xy} = \dfrac{\sum xy}{n} - \bar{x}\,\bar{y}$ amb $\sum xy = 1\cdot6 + 2\cdot4 + 3\cdot3 + 4\cdot1 = 6 + 8 + 9 + 4 = 27$ .
Càlcul. $\sigma_{xy} = \dfrac{27}{4} - 2{,}5\cdot3{,}5 = 6{,}75 - 8{,}75 = -2$ .
Comprovació amb desviacions. $\sigma_{xy} = \dfrac{(-1{,}5)(2{,}5) + (-0{,}5)(0{,}5) + (0{,}5)(-0{,}5) + (1{,}5)(-2{,}5)}{4} = \dfrac{-3{,}75 - 0{,}25 - 0{,}25 - 3{,}75}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2.$
Interpretació. El signe negatiu indica una relació inversa: els alumnes amb més faltes tendeixen a tenir notes més baixes. Fixa't que la covariància té unitats (faltes·punts) i, per si sola, no permet saber si la relació és forta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

En un grup d'alumnes de música s'han mesurat les hores setmanals de pràctica (x) i la nota de l'examen d'instrument (y). Se sap que $σ_{x}$ = 1,5 h, $σ_{y}$ = 2 punts i que la covariància val $σ_{xy}$ = 2,7. Calcula el coeficient de correlació i interpreta'l.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

r = 0{,}9

: correlació lineal directa i forta; qui practica més hores tendeix a treure millor nota.

Resolució

Dades. $\sigma_x = 1{,}5\ \text{h}$ , $\sigma_y = 2$ punts i $\sigma_{xy} = 2{,}7$ .
Coeficient de correlació de Pearson. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{2{,}7}{1{,}5\cdot2} = \dfrac{2{,}7}{3} = 0{,}9.$
Interpretació. r és positiu i molt proper a 1, així que hi ha una correlació lineal directa i forta: els alumnes que practiquen més hores tendeixen a treure millor nota.
Per què r i no la covariància. El coeficient r no té unitats i sempre és entre −1 i 1, i això permet valorar la força de la relació, cosa que la covariància sola no permet.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Una botiga de roba relaciona la inversió mensual en publicitat (x, en centenars d'euros) amb les vendes del mes (y, en milers d'euros). A partir de les dades d'un any s'ha obtingut $\bar{x}$ = 4, ȳ = 10, $σ_{x}$ ² = 5 i $σ_{xy}$ = 7,5. Escriu l'equació de la recta de regressió de y sobre x i estima les vendes per a una inversió de 600 €.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

y = 1{,}5x + 4

; per a 600 € (

x = 6

y = 13

: unes vendes estimades de 13 000 €.

Resolució

Dades. $\bar{x} = 4$ , $\bar{y} = 10$ , $\sigma_x^{2} = 5$ i $\sigma_{xy} = 7{,}5$ (x en centenars d'euros, y en milers d'euros).
Pendent de la recta de y sobre x. $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = \dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5.$
Equació. La recta passa pel punt mitjà $(4, 10)$ : $y - 10 = 1{,}5\,(x - 4)$ , és a dir, $y = 1{,}5x + 4$ .
Estimació. Una inversió de 600 € és $x = 6$ centenars: $y = 1{,}5\cdot6 + 4 = 13$ , és a dir, unes vendes estimades de 13 000 €. Error típic: oblidar passar els 600 € a centenars abans de substituir a la recta.
Interpretació del pendent. Cada 100 € més de publicitat s'associen, de mitjana, a 1500 € més de vendes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una parada de gelats a la platja ha trobat que, els dies d'estiu amb temperatures màximes entre 22 °C i 35 °C, el nombre de gelats venuts (y) depèn de la temperatura (x, en °C) segons la recta de regressió y = 8x - 90. Interpreta el pendent i l'ordenada a l'origen, i estima les vendes d'un dia de 30 °C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Pendent 8: cada grau més, 8 gelats més de mitjana; ordenada −90: sense sentit real (fora del rang). Per a 30 °C: 150 gelats.

Resolució

Dades. Recta de regressió $y = 8x - 90$ , vàlida per a temperatures entre 22 °C i 35 °C.
Pendent. $b = 8$ : per cada grau més de temperatura, la parada ven, de mitjana, 8 gelats més.
Ordenada a l'origen. −90 seria el valor de y per a x = 0 °C, però no té sentit real (vendes negatives) i queda molt fora del rang de dades (22–35 °C); és només el punt on la recta talla l'eix vertical.
Estimació. $y = 8\cdot30 - 90 = 240 - 90 = 150$ gelats.
Fiabilitat. És una interpolació (30 °C és dins del rang 22–35 °C) i, per tant, una estimació raonable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Si la covariància és negativa, el pendent de la recta de regressió de y sobre x també és negatiu.
b) Un coeficient de correlació r = 0,9 vol dir que el 90 % dels punts són sobre la recta de regressió.
c) Si l'alçada es passa de metres a centímetres, el coeficient de correlació entre alçada i pes no canvia.
d) La recta de regressió de y sobre x i la de x sobre y són sempre la mateixa recta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

Certa: el pendent té el mateix signe que la covariància.

Resolució

Pendent de la recta de y sobre x. $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}}$
Raonament. La variància $\sigma_x^{2}$ és sempre positiva, així que b té el mateix signe que la covariància $\sigma_{xy}$ .
Conclusió. Si la covariància és negativa, el pendent també ho és: l'afirmació és certa.

Apartat b)

Resultat

Falsa: r mesura la força de la relació lineal; el que val 81 % és

r^{2}

, la part de la variació de y explicada per la recta.

Resolució

Què mesura r. El coeficient de correlació mesura la força de la relació lineal, no el percentatge de punts que cauen sobre la recta (pot ser que cap punt hi caigui exactament).
Coeficient de determinació. El que té lectura de percentatge és $r^{2} = 0{,}9^{2} = 0{,}81$ : el 81 % de la variació de y queda explicada per la recta.
Conclusió. L'afirmació és falsa.

Apartat c)

Resultat

Certa: r no té unitats i no canvia en multiplicar una variable per un nombre positiu.

Resolució

Canvi d'unitats. Passar de metres a centímetres és multiplicar x per 100.
Efecte sobre r. La covariància i $\sigma_x$ es multipliquen per 100 i el factor es cancel·la a $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{100\,\sigma_{xy}}{100\,\sigma_x\,\sigma_y}.$
Conclusió. r no té unitats i no canvia: l'afirmació és certa.

Apartat d)

Resultat

Falsa: són dues rectes diferents que es tallen al punt mitjà i només coincideixen si

r = \pm 1

Resolució

Dues rectes. La recta de y sobre x minimitza els errors en y i la de x sobre y, els errors en x; en general són diferents.
Punt comú. Totes dues passen pel punt mitjà $(\bar{x}, \bar{y})$ , on es tallen.
Conclusió. Només coincideixen quan $r = 1$ o $r = -1$ , és a dir, quan tots els punts estan alineats: l'afirmació és falsa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

En un estudi sobre les poblacions d'una comarca s'obté una correlació r = 0,85 entre el nombre de bars i el nombre de robatoris anuals de cada població. Un regidor en conclou que tancar bars reduiria els robatoris. Explica breument l'error del raonament i proposa una tercera variable que pugui explicar la correlació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Correlació no implica causalitat: una tercera variable, el nombre d'habitants, fa créixer alhora els bars i els robatoris.

Resolució

L'error. Una correlació alta ( $r = 0{,}85$ ) només indica que les dues variables varien juntes; no demostra que una sigui la causa de l'altra.
Variable oculta. El nombre d'habitants: les poblacions grans tenen més bars i, alhora, més robatoris (més gent i més oportunitats), de manera que les dues quantitats creixen juntes sense que una causi l'altra.
Conclusió. Tancar bars no reduiria necessàriament els robatoris. Per estudiar-ho caldria comparar poblacions de mida semblant o fer servir taxes per habitant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

La recta de regressió del pes d'un nadó (y, en kg) sobre la seva edat (x, en mesos) és y = 0,5x + 3,5. Un nadó de 6 mesos pesa 7,1 kg. Calcula el pes que prediu la recta i el residu (valor real menys valor estimat), i interpreta'n el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Pes estimat:

6{,}5\ \text{kg}

; residu:

+0{,}6\ \text{kg}

(el nadó pesa més del que prediu la recta; el punt queda per sobre).

Resolució

Dades. Recta $y = 0{,}5x + 3{,}5$ ; nadó de $x = 6$ mesos amb un pes real de 7,1 kg.
Pes estimat. $\hat{y} = 0{,}5\cdot6 + 3{,}5 = 3 + 3{,}5 = 6{,}5\ \text{kg}$ .
Residu. $e = y - \hat{y} = 7{,}1 - 6{,}5 = 0{,}6\ \text{kg}.$
Interpretació. El residu és positiu: el nadó pesa 0,6 kg més del que prediu la recta per a la seva edat, i el punt queda per sobre de la recta. Un residu negatiu voldria dir que el punt queda per sota.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Cinc alumnes han anotat les hores setmanals d'esport que fan (x) i les pulsacions per minut que tenen en repòs (y): (0, 70), (2, 72), (4, 68), (6, 66) i (8, 64). Calcula les desviacions típiques de x i de y, la covariància i el coeficient de correlació, i interpreta'l.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\sigma_x = \sigma_y = \sqrt{8} \approx 2{,}83

;

\sigma_{xy} = -7{,}2

;

r = -0{,}9

: correlació inversa i forta.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{h}$ i $\bar{y} = \dfrac{340}{5} = 68$ pulsacions per minut.
Desviacions. $x - \bar{x} = -4, -2, 0, 2, 4$ i $y - \bar{y} = 2, 4, 0, -2, -4$ . Productes: $-8, -8, 0, -4, -16$ , que sumen $-36$ .
Covariància i variàncies. $\sigma_{xy} = \dfrac{-36}{5} = -7{,}2, \qquad \sigma_x^{2} = \dfrac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8, \qquad \sigma_y^{2} = \dfrac{4 + 16 + 0 + 4 + 16}{5} = 8,$ per tant $\sigma_x = \sigma_y = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{-7{,}2}{8} = -0{,}9.$
Interpretació. Correlació inversa i forta: els alumnes que fan més esport tendeixen a tenir menys pulsacions en repòs.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Un alumne s'entrena per fer flexions i anota quantes en fa seguides al final de cada setmana d'entrenament: 20, 30, 50, 40 i 60, després d'1, 2, 3, 4 i 5 setmanes (x). Calcula la recta de regressió del nombre de flexions (y) sobre les setmanes i estima quantes en farà després de 6 setmanes. Quina fiabilitat té aquesta estimació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

y = 9x + 13

; a les 6 setmanes, unes 67 flexions. Fiabilitat acceptable però amb precaució:

r = 0{,}9

, però és una extrapolació.

Resolució

Mitjanes i desviacions. $\bar{x} = \dfrac{15}{5} = 3$ i $\bar{y} = \dfrac{200}{5} = 40$ . Desviacions: $x - \bar{x} = -2, -1, 0, 1, 2$ i $y - \bar{y} = -20, -10, 10, 0, 20$ .
Pendent. $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 40 + 10 + 0 + 0 + 40 = 90$ i $\sum (x - \bar{x})^{2} = 10$ , així que $b = \dfrac{90}{10} = 9\ \text{flexions per setmana}.$
Recta. $y - 40 = 9\,(x - 3) \;\Rightarrow\; y = 9x + 13$ .
Estimació. Per a $x = 6$ : $y = 9\cdot6 + 13 = 67$ flexions.
Fiabilitat. $\sum (y - \bar{y})^{2} = 1000$ , de manera que $r = \dfrac{90}{\sqrt{10\cdot1000}} = 0{,}9$ , una correlació forta. Però $x = 6$ és fora del rang observat (1–5): és una extrapolació curta, acceptable amb precaució, perquè el nombre de flexions no pot créixer indefinidament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En un grup, les notes de Matemàtiques (x) tenen mitjana 6 i desviació típica 2, les de Física (y) tenen mitjana 5,5 i desviació típica 1,5, i el coeficient de correlació és r = 0,6. Escriu les dues rectes de regressió i estima la nota de Física d'un alumne amb un 8 en Matemàtiques i la nota de Matemàtiques d'un alumne amb un 8 en Física.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

y sobre x:

y = 0{,}45x + 2{,}8

; x sobre y:

x = 0{,}8y + 1{,}6

. Física amb un 8 en Matemàtiques:

6{,}4

; Matemàtiques amb un 8 en Física:

8{,}0

Resolució

Dades. $\bar{x} = 6$ , $\sigma_x = 2$ , $\bar{y} = 5{,}5$ , $\sigma_y = 1{,}5$ i $r = 0{,}6$ .
Recta de y sobre x. $b = r\,\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} = 0{,}6\cdot\dfrac{1{,}5}{2} = 0{,}45 \;\Rightarrow\; y - 5{,}5 = 0{,}45\,(x - 6) \;\Rightarrow\; y = 0{,}45x + 2{,}8.$
Recta de x sobre y. $b' = r\,\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y} = 0{,}6\cdot\dfrac{2}{1{,}5} = 0{,}8 \;\Rightarrow\; x - 6 = 0{,}8\,(y - 5{,}5) \;\Rightarrow\; x = 0{,}8y + 1{,}6.$
Estimacions. Física d'un alumne amb un 8 en Matemàtiques (recta de y sobre x): $y = 0{,}45\cdot8 + 2{,}8 = 6{,}4$ . Matemàtiques d'un alumne amb un 8 en Física (recta de x sobre y): $x = 0{,}8\cdot8 + 1{,}6 = 8{,}0$ .
Comprovació. $b\cdot b' = 0{,}45\cdot0{,}8 = 0{,}36 = r^{2}$ . Com que $|r| < 1$ , les dues rectes són diferents i cadascuna s'ha de fer servir en el seu sentit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

En una mostra de 5 petites empreses s'han anotat el nombre d'empleats (x) i la facturació mensual en milers d'euros (y), i s'han obtingut aquestes sumes: Σx = 30, Σy = 45, Σx² = 200, Σy² = 450 i Σxy = 297. Calcula el coeficient de correlació i la recta de regressió de y sobre x, i estima la facturació d'una empresa de 8 empleats.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

r = 0{,}9

;

y = 1{,}35x + 0{,}9

; per a 8 empleats,

y = 11{,}7

: uns 11 700 € de facturació mensual.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{30}{5} = 6$ i $\bar{y} = \dfrac{45}{5} = 9$ .
Variàncies i covariància. $\sigma_x^{2} = \dfrac{200}{5} - 6^{2} = 4, \qquad \sigma_y^{2} = \dfrac{450}{5} - 9^{2} = 9, \qquad \sigma_{xy} = \dfrac{297}{5} - 6\cdot9 = 59{,}4 - 54 = 5{,}4.$
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{5{,}4}{2\cdot3} = 0{,}9$ : relació directa i forta.
Recta de regressió. $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = \dfrac{5{,}4}{4} = 1{,}35$ i $a = \bar{y} - b\,\bar{x} = 9 - 1{,}35\cdot6 = 0{,}9$ . Així, $y = 1{,}35x + 0{,}9$ .
Estimació. Per a 8 empleats: $y = 1{,}35\cdot8 + 0{,}9 = 11{,}7$ , és a dir, uns 11 700 € de facturació mensual. Cada empleat més s'associa, de mitjana, a 1350 € més de facturació.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Durant una temporada de 10 partits, un jugador d'hoquei sobre patins ha anotat gols segons els dies que ha entrenat aquella setmana (x): amb 1 dia d'entrenament, 1 gol en 1 partit; amb 2 dies, 2 gols en cadascun de 2 partits; amb 3 dies, 2 gols en cadascun de 3 partits; i amb 4 dies, 4 gols en cadascun de 4 partits. Calcula el coeficient de correlació i la recta de regressió dels gols (y) sobre els dies d'entrenament (x).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

r = \dfrac{1}{1{,}1} \approx 0{,}91

; recta:

y = x - 0{,}3

Resolució

Dades amb freqüències. Cada parella (x, y) té una freqüència f: (1, 1) amb f = 1; (2, 2) amb f = 2; (3, 2) amb f = 3; (4, 4) amb f = 4. En total, $n = 10$ partits. Error típic: dividir per 4 (les files de la taula) en lloc de per $n = 10$ .
Mitjanes. $\sum f x = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 \Rightarrow \bar{x} = 3$ ; $\sum f y = 1 + 4 + 6 + 16 = 27 \Rightarrow \bar{y} = 2{,}7$ .
Variàncies i covariància. $\sigma_x^{2} = \dfrac{100}{10} - 9 = 1, \qquad \sigma_y^{2} = \dfrac{85}{10} - 2{,}7^{2} = 1{,}21, \qquad \sigma_{xy} = \dfrac{91}{10} - 3\cdot2{,}7 = 1,$ amb $\sum f x^{2} = 100$ , $\sum f y^{2} = 85$ i $\sum f xy = 91$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{1}{1\cdot1{,}1} \approx 0{,}91$ : relació directa i forta.
Recta de y sobre x. $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = 1$ i $a = 2{,}7 - 1\cdot3 = -0{,}3$ , així que $y = x - 0{,}3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

El preu de segona mà (y, en centenars d'euros) de cinc portàtils d'1, 2, 3, 4 i 5 anys (x) és 9, 7, 6, 4 i 3. Calcula la recta de regressió de y sobre x, el preu estimat per a cada portàtil i els residus (preu real menys preu estimat), i comprova que els residus sumen zero.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

y = -1{,}5x + 10{,}3

; preus estimats: 8,8; 7,3; 5,8; 4,3 i 2,8; residus: 0,2; −0,3; 0,2; −0,3 i 0,2, que sumen 0.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = 3$ i $\bar{y} = \dfrac{29}{5} = 5{,}8$ . Desviacions de x: $-2, -1, 0, 1, 2$ ; $\sum (x - \bar{x})^{2} = 10$ .
Covariància (truc). Com que $\sum (x - \bar{x}) = 0$ , $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = \sum (x - \bar{x})\,y = -18 - 7 + 0 + 4 + 6 = -15$ .
Recta. $b = \dfrac{-15}{10} = -1{,}5$ i $a = 5{,}8 + 1{,}5\cdot3 = 10{,}3$ : $y = -1{,}5x + 10{,}3$ .
Estimats i residus. Preus estimats: 8,8; 7,3; 5,8; 4,3 i 2,8. Residus (real − estimat): 0,2; −0,3; 0,2; −0,3 i 0,2.
Comprovació. $0{,}2 - 0{,}3 + 0{,}2 - 0{,}3 + 0{,}2 = 0$ , tal com ha de passar amb la recta de mínims quadrats.
Interpretació. Cada any més d'antiguitat fa baixar el preu, de mitjana, 150 €; els residus són petits, així que la recta s'ajusta molt bé.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Amb mesures fetes en pneumàtics que havien recorregut entre 5000 i 50000 km s'ha obtingut la recta de regressió y = 8 - 0,08x, on x són els milers de quilòmetres recorreguts i y els mil·límetres de dibuix que queden (r = -0,97). El pneumàtic s'ha de canviar quan el dibuix baixa de 1,6 mm. Estima el dibuix als 30000 km i els quilòmetres en què s'arribarà a 1,6 mm, i valora la fiabilitat de cada estimació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Als 30 000 km:

y = 5{,}6\ \text{mm}

(interpolació, molt fiable); 1,6 mm als 80 000 km (extrapolació, només orientativa).

Resolució

Dades. $y = 8 - 0{,}08x$ (x en milers de km, y en mm), amb dades entre 5 i 50 milers de km i $r = -0{,}97$ .
Dibuix als 30 000 km. $x = 30 \Rightarrow y = 8 - 0{,}08\cdot30 = 8 - 2{,}4 = 5{,}6\ \text{mm}$ . Com que 30 és dins del rang de dades (5–50) i $|r| = 0{,}97$ , és una interpolació molt fiable.
Quan s'arriba a 1,6 mm. $8 - 0{,}08x = 1{,}6 \Rightarrow 0{,}08x = 6{,}4 \Rightarrow x = 80$ , és a dir, 80 000 km.
Fiabilitat. Aquest valor és una extrapolació, perquè 80 queda fora del rang observat (5–50): suposem que el desgast continuarà sent lineal, cosa que no tenim assegurada (depèn de la conducció, de l'estat de la carretera…). Cal prendre'l només com a orientatiu.
Nota. Aïllar x de la recta de y sobre x només és acceptable perquè r és molt proper a −1 i les dues rectes de regressió gairebé coincideixen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Per a dos estudis s'han obtingut aquestes dades. A) Preu d'un producte (x) i unitats venudes (y): $σ_{x}$ = 2, $σ_{y}$ = 5 i $σ_{xy}$ = -9. B) Hores de formació (x) i productivitat dels treballadors (y): $σ_{x}$ = 1,5, $σ_{y}$ = 4 i $σ_{xy}$ = 5,1. Calcula el coeficient de correlació de cada estudi i digues en quin la relació lineal és més forta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

r_A = -0{,}9

;

r_B = 0{,}85

. La relació lineal és més forta a l'estudi A, perquè

|-0{,}9| > 0{,}85

Resolució

Fórmula. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y}$ .
Càlcul. $r_A = \dfrac{-9}{2\cdot5} = -0{,}9, \qquad r_B = \dfrac{5{,}1}{1{,}5\cdot4} = \dfrac{5{,}1}{6} = 0{,}85.$
Comparació. La força de la relació lineal depèn del valor absolut de r: $|-0{,}9| = 0{,}9 > 0{,}85$ .
Conclusió. La relació és més forta a l'estudi A, tot i que el seu r sigui «més petit» com a nombre: el signe només indica el sentit. A és inversa (a més preu, menys vendes) i B és directa (a més formació, més productivitat). Error típic: pensar que 0,85 és «millor» que −0,9 perquè és més gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

La recta de regressió de y sobre x d'una distribució bidimensional és y = 1,5x + 2. Sabem que $σ_{x}$ = 4 i que el coeficient de correlació és r = 0,6. Calcula la covariància $σ_{xy}$ i la desviació típica $σ_{y}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\sigma_{xy} = 24

;

\sigma_y = 10

Resolució

Dades. Pendent $b = 1{,}5$ , $\sigma_x = 4$ i $r = 0{,}6$ .
Covariància a partir del pendent. $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} \Rightarrow \sigma_{xy} = b\,\sigma_x^{2} = 1{,}5\cdot16 = 24$ .
Desviació típica de y. De $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y}$ aïllem $\sigma_y = \dfrac{\sigma_{xy}}{r\,\sigma_x} = \dfrac{24}{0{,}6\cdot4} = \dfrac{24}{2{,}4} = 10.$
Comprovació. També $b = r\,\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} = 0{,}6\cdot\dfrac{10}{4} = 1{,}5$ , que coincideix amb el pendent donat. Fixa't que l'ordenada a l'origen (2) no intervé: el pendent només depèn de $\sigma_{xy}$ i de $\sigma_x$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

La recta de regressió del pes (y, en kg) sobre l'alçada (x, en cm) d'un grup d'adolescents és y = 0,9x - 90, i el coeficient de correlació és r = 0,8. Si l'alçada s'expressa en metres, x' = $\tfrac{x}{100}$ , quina és la nova recta de regressió i quin és el nou coeficient de correlació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

y = 90x' - 90

; el coeficient de correlació no canvia:

r = 0{,}8

Resolució

Canvi de variable. Com que $x' = \dfrac{x}{100}$ , tenim $x = 100\,x'$ .
Nova recta. Substituïm: $y = 0{,}9\cdot(100\,x') - 90 = 90x' - 90$ . El pendent es multiplica per 100 (ara és el que augmenta el pes per cada metre més d'alçada: 90 kg/m) i l'ordenada a l'origen no canvia.
Coeficient de correlació. r no té unitats i no canvia quan es multiplica una variable per un nombre positiu: la covariància i $\sigma_x$ es divideixen pel mateix factor 100, que es cancel·la. Continua sent $r = 0{,}8$ .
Comprovació. Un adolescent de 170 cm = 1,7 m: la recta antiga dona $0{,}9\cdot170 - 90 = 63\ \text{kg}$ i la nova, $90\cdot1{,}7 - 90 = 63\ \text{kg}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un full de càlcul ajusta una recta de regressió al preu de segona mà d'un mòbil (y, en €) segons la seva antiguitat (x, en anys) i dona: pendent = -55, ordenada a l'origen = 420 i $R^{2}$ = 0,81. Calcula el coeficient de correlació, el preu estimat per a un mòbil de 3 anys i el percentatge de la variació del preu que no queda explicada per l'antiguitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

r = -0{,}9

; preu estimat per a 3 anys:

255\ \text{€}

; variació no explicada per l'antiguitat: 19 %.

Resolució

Coeficient de determinació. $R^{2}$ és el quadrat del coeficient de correlació, $r^{2}$ . Per tant, $|r| = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ .
Signe de r. Com que el pendent és negatiu (−55), la relació és inversa i $r = -0{,}9$ . Error típic: donar $r = 0{,}9$ sense signe; el signe de r sempre és el del pendent de la recta.
Estimació. Per a $x = 3$ : $y = 420 - 55\cdot3 = 420 - 165 = 255\ \text{€}$ .
Variació no explicada. El 81 % de la variació del preu s'explica per l'antiguitat; el $100\ \% - 81\ \% = 19\ \%$ restant depèn d'altres factors (estat, model, capacitat…).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Les dues rectes de regressió d'una distribució bidimensional són 2x - 5y + 30 = 0 i 5x - 8y + 30 = 0.
a) Calcula les mitjanes $\bar{x}$ i ȳ.
b) Quina és la recta de y sobre x i quina la de x sobre y? Justifica-ho.
c) Calcula el coeficient de correlació i la relació entre $σ_{x}$ i $σ_{y}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

\bar{x} = 10

\bar{y} = 10

Resolució

Propietat. Les dues rectes de regressió passen pel punt mitjà, que és, per tant, el seu punt de tall.
Sistema. De la primera, $y = \dfrac{2x + 30}{5}$ . A la segona: $5x - \dfrac{8\,(2x + 30)}{5} + 30 = 0 \;\Rightarrow\; 25x - 16x - 240 + 150 = 0 \;\Rightarrow\; 9x = 90.$
Resultat. $\bar{x} = 10$ i $\bar{y} = \dfrac{20 + 30}{5} = 10$ .

Apartat b)

Resultat

La de y sobre x és

2x - 5y + 30 = 0

, i la de x sobre y,

5x - 8y + 30 = 0

(l'altra assignació donaria

r^{2} > 1

Resolució

Criteri. Si b és el pendent de y sobre x i b' el de x sobre y, es compleix $b\cdot b' = r^{2} \le 1$ .
Primera assignació. Si $2x - 5y + 30 = 0$ fos la de y sobre x: $y = 0{,}4x + 6$ , $b = 0{,}4$ ; l'altra seria la de x sobre y: $x = 1{,}6y - 6$ , $b' = 1{,}6$ . Llavors $b\cdot b' = 0{,}64 \le 1$ : és possible.
Assignació contrària. $y = 0{,}625x + 3{,}75$ ( $b = 0{,}625$ ) i $x = 2{,}5y - 15$ ( $b' = 2{,}5$ ): $b\cdot b' = 1{,}5625 > 1$ , impossible perquè $r^{2} \le 1$ .
Conclusió. La recta de y sobre x és $2x - 5y + 30 = 0$ , i la de x sobre y, $5x - 8y + 30 = 0$ .

Apartat c)

Resultat

r = 0{,}8

;

\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} = 0{,}5

, és a dir,

\sigma_x = 2\,\sigma_y

Resolució

Coeficient de correlació. $r^{2} = b\cdot b' = 0{,}4\cdot1{,}6 = 0{,}64 \Rightarrow r = 0{,}8$ (positiu, perquè els pendents són positius).
Relació entre desviacions. Com que $b = r\,\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ : $0{,}4 = 0{,}8\cdot\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} \;\Rightarrow\; \dfrac{\sigma_y}{\sigma_x} = 0{,}5.$
Conclusió. $\sigma_x = 2\,\sigma_y$ . Comprovació: $b' = r\,\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y} = 0{,}8\cdot2 = 1{,}6$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Cinc botigues d'un carrer tenen aquest nombre d'empleats (x) i aquests clients per hora, en desenes (y): (1, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4) i (5, 2).
a) Calcula el coeficient de correlació.
b) S'afegeix a l'estudi una gran botiga amb 12 empleats i 12 desenes de clients per hora. Calcula el nou coeficient de correlació.
c) Què ens ensenya aquest exemple sobre el coeficient de correlació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

r = 0

: no hi ha cap relació lineal.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = 3$ i $\bar{y} = 3$ .
Desviacions. $x - \bar{x} = -2, -1, 0, 1, 2$ i $y - \bar{y} = -1, 1, 0, 1, -1$ .
Covariància. $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 2 - 1 + 0 + 1 - 2 = 0$ , així que $\sigma_{xy} = 0$ i $r = 0$ : no hi ha cap relació lineal (la recta de regressió és horitzontal, $y = 3$ ).

Apartat b)

Resultat

r \approx 0{,}91

Resolució

Mitjanes amb sis punts. $\bar{x} = \dfrac{27}{6} = 4{,}5$ i $\bar{y} = \dfrac{27}{6} = 4{,}5$ .
Sumes. $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 67{,}5$ ; $\sum (x - \bar{x})^{2} = 77{,}5$ ; $\sum (y - \bar{y})^{2} = 71{,}5$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{67{,}5}{\sqrt{77{,}5\cdot71{,}5}} = \dfrac{67{,}5}{74{,}4} \approx 0{,}91.$

Apartat c)

Resultat

r és molt sensible als valors atípics: un sol punt extrem pot crear (o amagar) una correlació; cal mirar sempre el núvol de punts.

Resolució

Què ha passat. Un sol punt llunyà de la resta ha fet passar r de 0 a 0,91 i ha convertit una recta horitzontal ( $y = 3$ ) en una de pendent positiu ( $b = \dfrac{67{,}5}{77{,}5} \approx 0{,}87$ ).
Conclusió. El coeficient de correlació és molt sensible als valors atípics: abans d'interpretar-lo cal mirar el núvol de punts i revisar si hi ha punts extrems que el condicionen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Sis alumnes de dos grups de reforç anoten les hores setmanals d'estudi (x) i la nota de l'examen (y). Grup A, que va començar el curs amb un nivell alt: (1, 5), (2, 6) i (3, 7). Grup B, que va començar amb un nivell baix: (4, 2), (5, 3) i (6, 4).
a) Calcula el coeficient de correlació dins de cada grup.
b) Calcula'l per als sis alumnes junts.
c) Com és possible que el signe sigui diferent? Què ens ensenya?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

r_A = 1

r_B = 1

Resolució

Observació. Dins de cada grup els tres punts estan alineats.
Rectes. Els del grup A són sobre la recta $y = x + 4$ , i els del grup B, sobre $y = x - 2$ , totes dues amb pendent positiu.
Conclusió. Correlació lineal perfecta i directa a cada grup: $r_A = 1$ i $r_B = 1$ .

Apartat b)

Resultat

r \approx -0{,}54

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{21}{6} = 3{,}5$ i $\bar{y} = \dfrac{27}{6} = 4{,}5$ .
Desviacions. De x: −2,5; −1,5; −0,5; 0,5; 1,5; 2,5. De y: 0,5; 1,5; 2,5; −2,5; −1,5; −0,5.
Sumes. $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = -1{,}25 - 2{,}25 - 1{,}25 - 1{,}25 - 2{,}25 - 1{,}25 = -9{,}5$ ; $\sum (x - \bar{x})^{2} = \sum (y - \bar{y})^{2} = 17{,}5$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{-9{,}5}{\sqrt{17{,}5\cdot17{,}5}} = \dfrac{-9{,}5}{17{,}5} \approx -0{,}54.$

Apartat c)

Resultat

És la paradoxa de Simpson: una variable oculta (el grup i el seu nivell inicial) pot invertir el signe de la correlació en ajuntar les dades.

Resolució

Dins de cada grup. Més hores d'estudi signifiquen millor nota.
En ajuntar-los. El grup que estudia menys (A) parteix d'un nivell més alt i el que estudia més (B), d'un nivell més baix; per això la tendència global es torna negativa.
Conclusió. És la paradoxa de Simpson: una variable oculta (el grup) pot invertir el signe de la correlació. Cal comprovar que les dades són homogènies abans d'interpretar r.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una empresa anota els mesos des de la seva obertura (x) i els ingressos mensuals en milers d'euros (y) de quatre mesos: (1, 2), (2, 3), (3, 5) i (4, a), on el valor a s'ha esborrat. Se sap que el pendent de la recta de regressió de y sobre x és 1,4. Troba a, escriu l'equació de la recta i calcula el coeficient de correlació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

a = 6

;

y = 1{,}4x + 0{,}5

;

r = \dfrac{7}{\sqrt{50}} \approx 0{,}99

(relació directa gairebé perfecta).

Resolució

Dades. $\bar{x} = 2{,}5$ i $\sum (x - \bar{x})^{2} = 2{,}25 + 0{,}25 + 0{,}25 + 2{,}25 = 5$ .
Covariància en funció de a. Com que $\sum (x - \bar{x}) = 0$ , $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = \sum (x - \bar{x})\,y = (-1{,}5)\cdot2 + (-0{,}5)\cdot3 + 0{,}5\cdot5 + 1{,}5\,a = -2 + 1{,}5a.$
Condició del pendent. $b = \dfrac{-2 + 1{,}5a}{5} = 1{,}4 \Rightarrow -2 + 1{,}5a = 7 \Rightarrow a = 6$ .
Recta. $\bar{y} = \dfrac{2 + 3 + 5 + 6}{4} = 4$ i l'ordenada és $4 - 1{,}4\cdot2{,}5 = 0{,}5$ : $y = 1{,}4x + 0{,}5$ .
Coeficient de correlació. $\sum (y - \bar{y})^{2} = 4 + 1 + 1 + 4 = 10$ , així que $r = \dfrac{7}{\sqrt{5\cdot10}} = \dfrac{7}{\sqrt{50}} \approx 0{,}99.$ Comprovació: $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = (-1{,}5)(-2) + (-0{,}5)(-1) + (0{,}5)(1) + (1{,}5)(2) = 3 + 0{,}5 + 0{,}5 + 3 = 7$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un viver mesura l'alçada d'un arbre jove (y, en dm) cada dos anys: 3, 4, 6, 9, 10 i 10 dm quan té 2, 4, 6, 8, 10 i 12 anys (x), respectivament.
a) Calcula el coeficient de correlació i interpreta'l.
b) Troba la recta de regressió de y sobre x.
c) Estima l'alçada als 7 anys i als 30 anys, i valora la fiabilitat de cada estimació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

r \approx 0{,}97

: relació directa molt forta (

r^{2} \approx 0{,}93

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \dfrac{42}{6} = 7$ i $\bar{y} = \dfrac{42}{6} = 7$ .
Desviacions i productes. Desviacions de x: −5, −3, −1, 1, 3, 5; de y: −4, −3, −1, 2, 3, 3. Productes: 20, 9, 1, 2, 9, 15, que sumen 56. A més, $\sum (x - \bar{x})^{2} = 70$ i $\sum (y - \bar{y})^{2} = 48$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{56}{\sqrt{70\cdot48}} = \dfrac{56}{\sqrt{3360}} = \dfrac{56}{57{,}97} \approx 0{,}97.$
Interpretació. Relació lineal directa molt forta: l'arbre creix amb l'edat i el 93 % de la variació de l'alçada queda explicada per la recta.

Apartat b)

Resultat

y = 0{,}8x + 1{,}4

Resolució

Pendent. $b = \dfrac{56}{70} = 0{,}8\ \text{dm per any}$ .
Ordenada. $a = \bar{y} - b\,\bar{x} = 7 - 0{,}8\cdot7 = 1{,}4$ .
Recta. $y = 0{,}8x + 1{,}4$ .

Apartat c)

Resultat

Als 7 anys:

7{,}0\ \text{dm}

(interpolació, fiable); als 30 anys:

25{,}4\ \text{dm}

(extrapolació, poc fiable).

Resolució

Als 7 anys. $y = 0{,}8\cdot7 + 1{,}4 = 7{,}0\ \text{dm}$ . És una interpolació (7 és dins de 2–12) i, amb $r \approx 0{,}97$ , una estimació fiable.
Als 30 anys. $y = 0{,}8\cdot30 + 1{,}4 = 25{,}4\ \text{dm}$ , uns 2,5 m.
Fiabilitat. És una extrapolació molt allunyada del rang observat (2–12 anys) i poc fiable: un arbre no creix a ritme constant, i els últims valors (10 i 10) ja suggereixen que el creixement s'alenteix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

La recta de regressió de la despesa mensual en electricitat (y, en €) sobre la potència contractada (x, en kW) de les llars d'una comarca és y = 12x + 20, amb coeficient de correlació r = 0,85. Una nova taula expressa la potència en watts (x' = 1000x) i la despesa en cèntims (y' = 100y).
a) Troba la recta de regressió de y' sobre x' i el nou coeficient de correlació.
b) Per quin factor es multipliquen la covariància i la variància de x?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

y' = 1{,}2x' + 2000

; el coeficient de correlació no canvia:

r = 0{,}85

Resolució

Canvi de variables. $x = \dfrac{x'}{1000}$ i $y = \dfrac{y'}{100}$ .
Substitució. $\dfrac{y'}{100} = 12\cdot\dfrac{x'}{1000} + 20 \;\Rightarrow\; y' = 1{,}2x' + 2000.$ El pendent s'ha dividit per 10 i l'ordenada s'ha multiplicat per 100.
Coeficient de correlació. r no té unitats i no canvia quan es multiplica cada variable per un nombre positiu: continua sent $r = 0{,}85$ .

Apartat b)

Resultat

La covariància es multiplica per

10^{5}

, i la variància de x, per

10^{6}

Resolució

Covariància. Es multiplica per tots dos factors: $\sigma'_{xy} = 1000\cdot100\cdot\sigma_{xy} = 10^{5}\,\sigma_{xy}$ .
Variància de x. Es multiplica pel quadrat del factor: $\sigma'^{2}_{x} = 1000^{2}\,\sigma_x^{2} = 10^{6}\,\sigma_x^{2}$ .
Comprovació. El pendent nou és $\dfrac{\sigma'_{xy}}{\sigma'^{2}_{x}} = \dfrac{10^{5}\,\sigma_{xy}}{10^{6}\,\sigma_x^{2}} = \dfrac{1}{10}\cdot12 = 1{,}2,$ que coincideix amb el pendent trobat a l'apartat a.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Es deixa caure una bola des d'una torre i s'anota l'espai h (en m) recorregut després de cada segon t: (1, 5), (2, 20), (3, 45), (4, 80) i (5, 125).
a) Calcula el coeficient de correlació entre t i h i la recta de regressió de h sobre t.
b) Repeteix-ho prenent com a variable independent u = $t^{2}$ .
c) Quin dels dos models és millor? Compara'ls estimant h per a t = 6 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

r \approx 0{,}98

;

h = 30t - 35

Resolució

Mitjanes. $\bar{t} = 3$ i $\bar{h} = 55$ .
Sumes. $\sum (t - 3)(h - 55) = 100 + 35 + 0 + 25 + 140 = 300$ ; $\sum (t - 3)^{2} = 10$ ; $\sum (h - 55)^{2} = 9350$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{300}{\sqrt{10\cdot9350}} = \dfrac{300}{305{,}8} \approx 0{,}98.$
Recta de h sobre t. Pendent $\dfrac{300}{10} = 30$ i ordenada $55 - 30\cdot3 = -35$ : $h = 30t - 35$ .

Apartat b)

Resultat

r = 1

;

h = 5u = 5t^{2}

Resolució

Nova variable. $u = t^{2} = 1, 4, 9, 16, 25$ , amb $\bar{u} = 11$ .
Sumes. $\sum (u - 11)(h - 55) = 1870$ ; $\sum (u - 11)^{2} = 374$ ; $\sum (h - 55)^{2} = 9350$ .
Coeficient de correlació. $r = \dfrac{1870}{\sqrt{374\cdot9350}} = \dfrac{1870}{1870} = 1.$
Recta de h sobre u. Pendent $\dfrac{1870}{374} = 5$ i ordenada $55 - 5\cdot11 = 0$ : $h = 5u = 5t^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

El model

h = 5t^{2}

és millor: per a

t = 6\ \text{s}

dona

180\ \text{m}

(el valor correcte), mentre que la recta dona

145\ \text{m}

Resolució

Estimacions per a t = 6 s. El model lineal dona $h = 30\cdot6 - 35 = 145\ \text{m}$ i el model $h = 5t^{2}$ dona $5\cdot36 = 180\ \text{m}$ , el valor correcte de la caiguda lliure.
Comparació. El model lineal té un $r = 0{,}98$ que sembla excel·lent, però en extrapolar es queda 35 m curt, perquè la relació real no és lineal.
Conclusió. Un r alt no garanteix que la recta sigui el model adequat: cal mirar la forma del núvol i, si cal, canviar de variable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

En cinc parcel·les s'han provat aquestes dosis de fertilitzant (x, en kg/ha) i s'han obtingut aquestes collites (y, en t/ha): (2, 3), (4, 7), (6, 4), (8, 9) i (10, 7). Un pagès vol una collita de 9 t/ha i vol saber quina dosi li cal.
a) Calcula les dues rectes de regressió.
b) Estima la dosi de dues maneres: amb la recta de x sobre y i aïllant x de la recta de y sobre x. Quina és la correcta i per què?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

y sobre x:

y = 0{,}5x + 3

; x sobre y:

x = \tfrac{5}{6}\,y + 1

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = 6$ i $\bar{y} = 6$ .
Sumes. $\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = 12 - 2 + 0 + 6 + 4 = 20$ ; $\sum (x - \bar{x})^{2} = 40$ ; $\sum (y - \bar{y})^{2} = 24$ .
Recta de y sobre x. $b = \dfrac{20}{40} = 0{,}5 \Rightarrow y - 6 = 0{,}5\,(x - 6) \Rightarrow y = 0{,}5x + 3$ .
Recta de x sobre y. $b' = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow x - 6 = \dfrac{5}{6}\,(y - 6) \Rightarrow x = \dfrac{5}{6}\,y + 1$ .

Apartat b)

Resultat

Amb la recta de x sobre y: 8,5 kg/ha (la correcta); aïllant de la de y sobre x: 12 kg/ha.

Resolució

Recta de x sobre y. $x = \dfrac{5}{6}\cdot9 + 1 = 8{,}5\ \text{kg/ha}$ .
Aïllant x de la recta de y sobre x. $9 = 0{,}5x + 3 \Rightarrow x = 12\ \text{kg/ha}$ .
Quina és la correcta. La primera: per estimar x a partir de y cal la recta de x sobre y, que minimitza els errors en x. La segona està pensada per estimar y, i aquí dona 12 kg/ha, una dosi fora del rang provat (2–10), perquè la correlació és moderada: $r = \dfrac{20}{\sqrt{960}} \approx 0{,}65$ .
Comprovació. Les dues rectes només coincidirien si $r = \pm 1$ ; fixa't que $b\cdot b' = 0{,}5\cdot\dfrac{5}{6} \approx 0{,}42 = r^{2}$ , lluny d'1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un model de regressió de la collita d'un hort (y, en kg) sobre les hores de reg setmanals (x) estima y = 32 per a x = 10 i y = 47 per a x = 20. Se sap, a més, que ȳ = 41, que $σ_{x}$ = 4 i que el coeficient de correlació és r = 0,75.
a) Escriu l'equació de la recta.
b) Calcula $\bar{x}$ .
c) Calcula la covariància $σ_{xy}$ i la desviació típica $σ_{y}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

y = 1{,}5x + 17

Resolució

Dades. La recta passa pels punts $(10, 32)$ i $(20, 47)$ .
Pendent. $b = \dfrac{47 - 32}{20 - 10} = 1{,}5$ .
Equació. $y - 32 = 1{,}5\,(x - 10) \Rightarrow y = 1{,}5x + 17$ .

Apartat b)

Resultat

\bar{x} = 16\ \text{h}

Resolució

Propietat. La recta de regressió passa pel punt mitjà $(\bar{x}, \bar{y})$ .
Càlcul. $41 = 1{,}5\,\bar{x} + 17 \Rightarrow \bar{x} = \dfrac{24}{1{,}5} = 16$ hores.

Apartat c)

Resultat

\sigma_{xy} = 24

;

\sigma_y = 8\ \text{kg}

Resolució

Covariància. El pendent és $b = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}}$ , d'on $\sigma_{xy} = b\,\sigma_x^{2} = 1{,}5\cdot16 = 24$ .
Desviació típica de y. A més, $b = r\,\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ , d'on $\sigma_y = \dfrac{b\,\sigma_x}{r} = \dfrac{1{,}5\cdot4}{0{,}75} = 8\ \text{kg}.$
Comprovació. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{24}{4\cdot8} = 0{,}75$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com s'interpreta el coeficient de correlació r?

El coeficient de correlació és sempre un nombre entre -1 i 1. El signe indica el sentit de la relació (positiu: si x creix, y tendeix a créixer; negatiu: y tendeix a baixar) i el valor absolut en dona la força: a prop de 1 la relació lineal és forta, i a prop de 0 és feble o inexistent. Un valor r = 0 només vol dir que no hi ha relació lineal; podria haver-hi una relació d'un altre tipus.

Quina diferència hi ha entre la recta de regressió de y sobre x i la de x sobre y?

La de y sobre x serveix per estimar y a partir de x, i la de x sobre y per estimar x a partir de y. Totes dues passen pel punt mitjà (x̄, ȳ) i només coincideixen quan r és 1 o -1. El producte dels seus pendents és $r^{2}$ , i per això no es pot aïllar x de la recta de y sobre x per estimar x.

Quan és fiable una predicció feta amb la recta de regressió?

Quan el valor absolut de r és proper a 1 i el valor de x és dins del rang de les dades observades (interpolació). Fer prediccions molt fora d'aquest rang (extrapolació) és arriscat, perquè no sabem si la relació continua sent lineal.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 23

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 24

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 25

Exercici 26

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 28

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 30

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat