Flashcards: Trigonometria

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Quina és l'equivalència entre graus i radians?

   $180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}$. De graus a radians, multiplica per $\pi/180$; de radians a graus, per $180/\pi$. Mira sempre si la calculadora és en mode DEG o RAD.

2. 2. Què és la circumferència goniomètrica i com s'hi llegeixen el sinus i el cosinus?

   Una circumferència de radi 1 centrada a l'origen. El radi d'angle $\alpha$ la talla al punt $(\cos\alpha, \sin\alpha)$: el cosinus és l'abscissa i el sinus, l'ordenada.

3. 3. Entre quins valors poden estar el sinus i el cosinus d'un angle?

   Entre $-1$ i $1$, perquè són coordenades d'un punt d'una circumferència de radi 1. Si et surt $\cos x = 1{,}3$, t'has equivocat abans.

4. 4. Quines raons trigonomètriques són positives a cada quadrant?

   1r: totes. 2n: només el sinus. 3r: només la tangent. 4t: només el cosinus.

5. 5. Error típic: quin signe té la tangent al tercer quadrant?

   Positiu: el sinus i el cosinus hi són tots dos negatius, i el quocient de dos negatius és positiu.

6. 6. Valors del sinus a $0^\circ$, $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$? I els del cosinus?

   Sinus: $0$, $1/2$, $\sqrt{2}/2$, $\sqrt{3}/2$, $1$. El cosinus és la mateixa llista llegida al revés.

7. 7. Com redueixes al primer quadrant un angle del segon, de la forma $180^\circ - \alpha$?

   $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ i $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan\alpha$.

8. 8. Quin és l'angle de referència de $210^\circ$ i quant val $\cos 210^\circ$ en funció d'ell?

   Escriu-lo com $180^\circ + 30^\circ$: la referència és $30^\circ$, no $210^\circ$ ni $150^\circ$. Al 3r quadrant el cosinus és negatiu: $\cos 210^\circ = -\cos 30^\circ$.

9. 9. Quant valen $\sin(-\alpha)$ i $\cos(-\alpha)$?

   $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ i $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$: el sinus canvia de signe i el cosinus no.

10. 10. Quina és la relació fonamental de la trigonometria?

    $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, per a qualsevol angle. És Pitàgores a la circumferència goniomètrica i permet treure una raó a partir de l'altra.

11. 11. Si coneixes $\sin\alpha$, com decideixes el signe de $\cos\alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}$?

    Pel quadrant on cau $\alpha$: l'arrel dona dues opcions i el quadrant diu quina és la bona.

12. 12. Error típic: què vol dir $\sin^2 a$?

    $(\sin a)^2$: primer el sinus i després el quadrat. No és $\sin(a^2)$.

13. 13. Fórmula del sinus de la suma i de la diferència de dos angles?

    $\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b$: el signe del mig és el mateix que el de dins del parèntesi.

14. 14. Error típic: quin signe porta al mig la fórmula de $\cos(a + b)$?

    Un menys: $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$. Al cosinus els signes van al revés, i $\cos(a - b)$ porta un més.

15. 15. Fórmula del sinus de l'angle doble?

    $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. No és $2\sin\alpha$: amb $\alpha = 30^\circ$, $\sin 60^\circ \approx 0{,}866$, però $2\sin 30^\circ = 1$.

16. 16. Quines tres versions té la fórmula de $\cos 2\alpha$?

    $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, $1 - 2\sin^2\alpha$ i $2\cos^2\alpha - 1$. Tria la que tingui la mateixa raó que la resta de l'equació.

17. 17. Fórmules del sinus i del cosinus de l'angle meitat? Com en tries el signe?

    $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$ i $\cos\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$. El signe el decideix el quadrant on cau $\alpha/2$.

18. 18. Primer pas per resoldre una equació trigonomètrica?

    Deixar-hi una sola raó i un sol angle, amb identitats si cal. Després aïlles la raó i trobes l'angle de referència del primer quadrant.

19. 19. Amb $0 < m < 1$ i angle de referència $\alpha$, quines són les dues solucions d'una volta de $\sin x = m$ i de $\cos x = m$?

    Sinus: $\alpha$ i $180^\circ - \alpha$ (1r i 2n quadrant). Cosinus: $\alpha$ i $360^\circ - \alpha$ (1r i 4t quadrant).

20. 20. Forma general de les solucions d'una equació trigonomètrica amb sinus o cosinus? I amb tangent?

    Sinus i cosinus: $x = x_0 + k\cdot 360^\circ$ (o $x_0 + 2k\pi$). Tangent: $x = x_0 + k\cdot 180^\circ$ (o $x_0 + k\pi$). En tots dos casos, $k$ sencer.

21. 21. Error típic: dividir els dos costats d'una equació trigonomètrica entre $\sin x$. Què és el correcte?

    Així perds les solucions on $\sin x = 0$. Passa-ho tot a un costat i treu factor comú.

22. 22. Què diu el teorema del sinus?

    En qualsevol triangle, $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$, on cada costat és l'oposat a l'angle de la mateixa lletra.

23. 23. Enuncia el teorema del cosinus per al costat $a$ d'un triangle qualsevol.

    $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$, on $A$ és l'angle que formen $b$ i $c$. Si $A = 90^\circ$, queda el teorema de Pitàgores.

24. 24. Quan fas servir el teorema del sinus i quan el del cosinus?

    Sinus: si coneixes un costat i el seu angle oposat, més una altra dada. Cosinus: si coneixes dos costats i l'angle que formen, o els tres costats.

25. 25. Per què el teorema del sinus pot donar dues solucions (cas ambigu)?

    Perquè un angle i el seu suplementari tenen el mateix sinus. Cal comprovar si el suplementari també dona un triangle possible, amb angles que sumin $180^\circ$.