Exercicis de distribucions de probabilitat: binomial i normal — Matemàtiques 1r Batxillerat

Q: Quan es pot aproximar una binomial per una normal i què és la correcció de continuïtat?

Es pot aproximar B(n; p) per N(n·p; √(n·p·q)) quan n·p ≥ 5 i n·q ≥ 5. Com que la binomial és discreta i la normal és contínua, el valor enter k es representa per l'interval (k - 0,5; k + 0,5): per exemple, P(X ≥ 7) es calcula com P(X' ≥ 6,5).

En aquest tema aprendràs a modelar situacions d'atzar amb dues de les distribucions més importants de l'estadística. Començaràs amb les variables aleatòries discretes i contínues, i calcularàs la seva esperança, la variància i la desviació típica. Després treballaràs la distribució binomial B(n; p): quan es pot aplicar, com es calculen les probabilitats i quina és la mitjana. A continuació passaràs a la distribució normal N(μ; σ): la tipificació, l'ús de la taula i el càlcul de valors desconeguts. Als exercicis avançats aproximaràs una binomial per una normal amb la correcció de continuïtat i resoldràs problemes complets d'examen. Vigila els errors típics: oblidar el nombre combinatori, no tipificar abans de mirar la taula i confondre «almenys» amb «com a màxim».

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

El nombre de llibres X que llegeix un alumne en un mes té aquesta distribució de probabilitat: P(X = 0) = 0,1; P(X = 1) = 0,4; P(X = 2) = k; P(X = 3) = 0,2. Troba el valor de k i calcula P(X ≥ 2).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

k = 0{,}3

;

P(X \ge 2) = 0{,}5

Resolució

Dades. Tens les probabilitats dels valors 0, 1, 2 i 3, i la de X = 2 és desconeguda (k).
Propietat de les distribucions. Totes les probabilitats són positives i sumen 1: $0{,}1 + 0{,}4 + k + 0{,}2 = 1 \;\Rightarrow\; 0{,}7 + k = 1 \;\Rightarrow\; k = 0{,}3$
Càlcul de P(X ≥ 2). $P(X \ge 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}3 + 0{,}2 = 0{,}5$
Comprovació. $0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1$ , i totes les probabilitats són entre 0 i 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

El nombre de mòbils X que hi ha en una llar té aquesta distribució: P(X = 1) = 0,15; P(X = 2) = 0,35; P(X = 3) = 0,30; P(X = 4) = 0,20. Calcula l'esperança de X i interpreta-la.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

E(X) = 2{,}55

mòbils: és el nombre mitjà de mòbils per llar si n'observes moltes.

Resolució

Dades. X pren els valors 1, 2, 3 i 4 amb probabilitats 0,15; 0,35; 0,30 i 0,20. Comprova que sumen 1: $0{,}15 + 0{,}35 + 0{,}30 + 0{,}20 = 1$ .
Esperança. És la suma de cada valor multiplicat per la seva probabilitat: $E(X) = \sum x_i\cdot p_i$ .
Càlcul. $E(X) = 1\cdot 0{,}15 + 2\cdot 0{,}35 + 3\cdot 0{,}30 + 4\cdot 0{,}20 = 0{,}15 + 0{,}70 + 0{,}90 + 0{,}80 = 2{,}55$
Interpretació. Si observes moltes llars, el nombre mitjà de mòbils per llar s'acosta a 2,55. Fixa't que l'esperança no ha de ser un valor possible de X: cap llar no té 2,55 mòbils.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Els punts X que s'obtenen en un joc tenen esperança E(X) = 5 i desviació típica σ = 2. El joc paga Y = 3X - 4 euros. Calcula l'esperança i la desviació típica del pagament Y.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

E(Y) = 11

€;

\sigma_Y = 6

€

Resolució

Dades. $E(X) = 5$ , $\sigma_X = 2$ i el pagament és $Y = 3X - 4$ , una transformació lineal $Y = aX + b$ amb $a = 3$ i $b = -4$ .
Propietats de la transformació lineal. $E(Y) = a\cdot E(X) + b, \qquad \sigma_Y = |a|\cdot \sigma_X$ El terme constant b desplaça la distribució però no en canvia la dispersió.
Esperança. $E(Y) = 3\cdot 5 - 4 = 11$ €.
Desviació típica. $\sigma_Y = 3\cdot 2 = 6$ € (la variància és $3^{2}\cdot 2^{2} = 36$ ).
Compte! Un error típic és aplicar també el −4 a la desviació típica, o multiplicar la variància per 3 en lloc de per $3^{2} = 9$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Un autobús passa per una parada cada 15 minuts. Si arribes a la parada en un moment qualsevol, el temps d'espera X (en minuts) té una distribució uniforme entre 0 i 15, és a dir, una funció de densitat constant f(x) = k per a 0 ≤ x ≤ 15. Troba k, calcula la probabilitat d'esperar més de 10 minuts i l'esperança de X.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

k = \tfrac{1}{15}

;

P(X > 10) = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}333

;

E(X) = 7{,}5\ \text{min}

Resolució

Dades. La densitat és constant, $f(x) = k$ , a l'interval [0, 15] (distribució uniforme).
Àrea total igual a 1. L'àrea sota la densitat és un rectangle de base 15 i alçada k: $15k = 1 \Rightarrow k = \tfrac{1}{15}$ .
Probabilitat d'esperar més de 10 minuts. És l'àrea del rectangle entre 10 i 15: $P(X > 10) = (15 - 10)\cdot \dfrac{1}{15} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$
Esperança. En una distribució uniforme és el punt mig de l'interval: $E(X) = \tfrac{0 + 15}{2} = 7{,}5\ \text{min}$ .
Interpretació. Un terç dels cops esperaràs més de 10 minuts i, de mitjana, n'esperaràs 7,5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Classifica cada variable aleatòria com a discreta o contínua: a) el nombre de cares en 10 llançaments d'una moneda; b) el temps que triga un alumne a arribar a l'institut; c) el pes d'un paquet de farina; d) el nombre de cotxes que passen per un peatge en una hora. Després explica per què, en una variable contínua, P(X = 3) = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

a) discreta; b) contínua; c) contínua; d) discreta. En una variable contínua,

P(X = 3) = 0

perquè un sol punt té amplada zero i, per tant, àrea zero sota la densitat.

Resolució

Criteri. Una variable és discreta si pren valors aïllats que es poden comptar, i contínua si pot prendre qualsevol valor d'un interval.
a) i d) Discretes. El nombre de cares només pot ser 0, 1, …, 10; el nombre de cotxes es compta: 0, 1, 2, …
b) i c) Contínues. El temps pot ser qualsevol valor d'un interval, i el pes pot prendre qualsevol valor real dins d'un interval.
Per què P(X = 3) = 0. En una variable contínua, la probabilitat és l'àrea sota la funció de densitat sobre un interval. Un sol punt com x = 3 té amplada zero i, per tant, àrea zero: $P(X = 3) = 0$ .
Conseqüència. Per això $P(X \le 3) = P(X < 3)$ , cosa que no passa en una variable discreta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Digues en quins casos la variable X segueix una distribució binomial i, si és així, escriu-ne els paràmetres B(n; p):
a) X és el nombre de sisos en 8 llançaments d'un dau equilibrat.
b) X és el nombre de boles vermelles quan s'extreuen, sense reposició, 3 boles d'una urna amb 4 boles vermelles i 6 de blanques.
c) En una classe de 25 alumnes, cadascun arriba tard el 10 % dels dies, de manera independent dels altres; X és el nombre d'alumnes que arriben tard un dia concret.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

Sí:

X \sim B\!\left(8;\ \tfrac{1}{6}\right)

Resolució

Condicions de la binomial. Cal tenir n proves idèntiques i independents, amb dos resultats possibles (èxit o fracàs) i la mateixa probabilitat d'èxit p a cada prova.
Aplicació. Hi ha 8 llançaments independents; èxit = «surt un sis», amb $p = \tfrac{1}{6}$ a cada llançament.
Conclusió. $X \sim B\!\left(8;\ \tfrac{1}{6}\right)$ .

Apartat b)

Resultat

No és binomial: sense reposició, les proves no són independents.

Resolució

Condicions de la binomial. La probabilitat d'èxit ha de ser la mateixa a cada prova i les proves, independents.
Aplicació. Sense reposició, la probabilitat de treure una bola vermella canvia després de cada extracció (al principi és $\tfrac{4}{10}$ , però després depèn del que hagi sortit).
Conclusió. Les proves no són independents, així que X no segueix una binomial.

Apartat c)

Resultat

Sí:

X \sim B(25;\ 0{,}1)

Resolució

Condicions de la binomial. Proves idèntiques i independents amb dos resultats i la mateixa p.
Aplicació. Hi ha 25 alumnes que es comporten de manera independent; èxit = «arriba tard», amb $p = 0{,}1$ .
Conclusió. $X \sim B(25;\ 0{,}1)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una jugadora de bàsquet encerta el 70 % dels tirs lliures. Si en llança 5, calcula la probabilitat que n'encerti exactament 4.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

P(X = 4) \approx 0{,}360

(un 36 %)

Resolució

Dades. X = nombre d'encerts en 5 tirs independents, amb $p = 0{,}7$ i $q = 0{,}3$ : $X \sim B(5;\ 0{,}7)$ .
Fórmula de la binomial. $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}$
Càlcul. $P(X = 4) = \binom{5}{4}\cdot 0{,}7^{4}\cdot 0{,}3^{1} = 5\cdot 0{,}2401\cdot 0{,}3 = 0{,}360$
Conclusió. Hi ha un 36 % de probabilitat d'encertar-ne exactament 4. Error típic: oblidar el nombre combinatori $\binom{5}{4} = 5$ , que compta en quin dels cinc tirs es falla.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

El 20 % de les peces que fabrica una màquina presenten algun defecte. En una remesa de 100 peces, X és el nombre de peces defectuoses. Indica la distribució de X i calcula'n la mitjana i la desviació típica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

X \sim B(100;\ 0{,}2)

;

\mu = 20

peces;

\sigma = 4

peces

Resolució

Distribució. Cada peça és una prova amb dos resultats (defectuosa o no), amb $p = 0{,}2$ i $q = 0{,}8$ , i les 100 peces són independents: $X \sim B(100;\ 0{,}2)$ .
Mitjana. $\mu = n\cdot p = 100\cdot 0{,}2 = 20$ peces defectuoses.
Desviació típica. Variància: $\sigma^{2} = n\cdot p\cdot q = 100\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8 = 16$ ; per tant $\sigma = \sqrt{16} = 4$ peces.
Interpretació. En una remesa típica hi haurà unes 20 peces defectuoses, amb una variació d'unes 4 peces amunt o avall.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

L'alçada dels alumnes d'un institut segueix una distribució normal de mitjana 170 cm i desviació típica 8 cm. Fent servir la regla 68-95-99,7, indica aproximadament quin percentatge d'alumnes té una alçada entre 162 i 178 cm, entre 154 i 186 cm, i quin percentatge supera els 186 cm.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Entre 162 i 178 cm: ≈ 68 %; entre 154 i 186 cm: ≈ 95 %; més de 186 cm: ≈ 2,5 %

Resolució

Regla 68-95-99,7. En una normal hi ha aproximadament un 68 % de les dades a $\mu \pm \sigma$ , un 95 % a $\mu \pm 2\sigma$ i un 99,7 % a $\mu \pm 3\sigma$ . Aquí $\mu = 170$ cm i $\sigma = 8$ cm.
Entre 162 i 178 cm. $162 = 170 - 8 = \mu - \sigma$ i $178 = 170 + 8 = \mu + \sigma$ : aproximadament el 68 % dels alumnes.
Entre 154 i 186 cm. $154 = 170 - 16 = \mu - 2\sigma$ i $186 = \mu + 2\sigma$ : aproximadament el 95 %.
Més de 186 cm. Fora de $\mu \pm 2\sigma$ queda el 5 %, i per simetria la meitat és per sobre: aproximadament el 2,5 %.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Sigui Z una variable normal estàndard N(0; 1). Fent servir que P(Z ≤ 1) = 0,8413, P(Z ≤ 1,5) = 0,9332 i P(Z ≤ 0,5) = 0,6915, calcula: P(Z > 1), P(Z ≤ -1,5), P(0,5 ≤ Z ≤ 1,5) i P(-1 ≤ Z ≤ 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

P(Z > 1) = 0{,}1587

;

P(Z \le -1{,}5) = 0{,}0668

;

P(0{,}5 \le Z \le 1{,}5) = 0{,}2417

;

P(-1 \le Z \le 1) = 0{,}6826

Resolució

Complementari. L'àrea total sota la corba val 1: $P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
Simetria respecte de 0. $P(Z \le -1{,}5) = P(Z \ge 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
Interval. $P(0{,}5 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z \le 0{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}6915 = 0{,}2417$ .
Interval simètric. $P(-1 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826$ : és la regla del 68 %.
Compte! Un error típic és escriure $P(Z \le -1{,}5) = -0{,}9332$ ; una probabilitat mai no és negativa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

El nombre X de reparacions que necessita una màquina en un any té aquesta distribució: P(X = 0) = 0,3; P(X = 1) = 0,4; P(X = 2) = 0,2; P(X = 3) = 0,1. Calcula l'esperança, la variància i la desviació típica de X.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

E(X) = 1{,}1

reparacions;

\sigma^{2} = 0{,}89

;

\sigma \approx 0{,}94

reparacions

Resolució

Esperança. $E(X) = 0\cdot 0{,}3 + 1\cdot 0{,}4 + 2\cdot 0{,}2 + 3\cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}4 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1{,}1$
Fórmula de la variància. $\sigma^{2} = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ . Primer calcula $E(X^{2}) = 0\cdot 0{,}3 + 1\cdot 0{,}4 + 4\cdot 0{,}2 + 9\cdot 0{,}1 = 0 + 0{,}4 + 0{,}8 + 0{,}9 = 2{,}1$
Variància. $\sigma^{2} = 2{,}1 - 1{,}1^{2} = 2{,}1 - 1{,}21 = 0{,}89$ .
Desviació típica. $\sigma = \sqrt{0{,}89} \approx 0{,}94$ reparacions.
Compte! Un error típic és oblidar restar el quadrat de l'esperança i donar $E(X^{2}) = 2{,}1$ com si fos la variància.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En un joc de fira es llança un dau equilibrat: si surt un 6 es guanyen 12 €, si surt un 4 o un 5 es guanyen 3 € i, altrament, no es guanya res. Calcula l'esperança del guany i el preu de la partida que faria el joc equitatiu.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

E(G) = 3

€; el joc és equitatiu si la partida costa 3 €.

Resolució

Distribució del guany. Sigui G el guany: $P(G = 12) = \tfrac{1}{6}$ (surt un 6), $P(G = 3) = \tfrac{2}{6}$ (surt un 4 o un 5) i $P(G = 0) = \tfrac{3}{6}$ .
Esperança. $E(G) = 12\cdot \dfrac{1}{6} + 3\cdot \dfrac{2}{6} + 0\cdot \dfrac{3}{6} = 2 + 1 + 0 = 3\ \text{€}$
Joc equitatiu. Un joc és equitatiu quan el guany esperat és igual al preu que es paga per jugar: el preu just és 3 € per partida.
Interpretació. Si l'organitzador cobrés 4 € per partida, el jugador perdria de mitjana $4 - 3 = 1$ € per partida i l'organitzador en guanyaria 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

El 5 % de les bombetes d'un fabricant són defectuoses. Una caixa en conté 12. Calcula la probabilitat que hi hagi almenys una bombeta defectuosa a la caixa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

P(X \ge 1) \approx 0{,}460

(un 46 %)

Resolució

Distribució. X = nombre de bombetes defectuoses a la caixa segueix una $B(12;\ 0{,}05)$ .
Esdeveniment contrari. «Almenys una» és el contrari de «cap»: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ .
Càlcul. $P(X = 0) = 0{,}95^{12} = 0{,}540$ , per tant $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}540 = 0{,}460$ .
Conclusió. Hi ha un 46 % de probabilitat que la caixa en tingui alguna. Error típic: calcular $12\cdot 0{,}05 = 0{,}6$ ; això és l'esperança (nombre mitjà de bombetes defectuoses), no una probabilitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

El 25 % de l'alumnat d'un institut hi va en bicicleta. Es tria a l'atzar un grup de 8 alumnes. Calcula la probabilitat que com a màxim 2 hi vagin en bicicleta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

P(X \le 2) \approx 0{,}679

(un 68 %)

Resolució

Distribució. X = alumnes que hi van en bicicleta segueix una $B(8;\ 0{,}25)$ , amb $q = 0{,}75$ . «Com a màxim 2» vol dir X = 0, 1 o 2.
Fórmula de la binomial. $P(X = k) = \binom{8}{k}\, 0{,}25^{k}\, 0{,}75^{\,8-k}$ .
Càlcul de cada terme. $P(X = 0) = 0{,}75^{8} = 0{,}1001$ $P(X = 1) = \binom{8}{1}\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75^{7} = 8\cdot 0{,}25\cdot 0{,}1335 = 0{,}2670$ $P(X = 2) = \binom{8}{2}\cdot 0{,}25^{2}\cdot 0{,}75^{6} = 28\cdot 0{,}0625\cdot 0{,}1780 = 0{,}3115$
Suma. $P(X \le 2) = 0{,}1001 + 0{,}2670 + 0{,}3115 \approx 0{,}679$ .
Conclusió. Hi ha un 68 % de probabilitat que, com a màxim, 2 d'aquests 8 alumnes hi vagin en bicicleta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En una campanya de telefonades, cada trucada acaba en una venda amb probabilitat 0,2, de manera independent de les altres. Quantes trucades cal fer, com a mínim, perquè la probabilitat d'aconseguir almenys una venda superi el 90 %?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Cal fer com a mínim 11 trucades.

Resolució

Plantejament. Si es fan n trucades, X = nombre de vendes segueix una $B(n;\ 0{,}2)$ , i $P(\text{almenys una venda}) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}8^{n}$ .
Inequació. Volem $1 - 0{,}8^{n} > 0{,}9$ , és a dir, $0{,}8^{n} < 0{,}1$ .
Logaritmes. $n\cdot \ln 0{,}8 < \ln 0{,}1$ . Com que $\ln 0{,}8$ és negatiu, la desigualtat canvia de sentit: $n > \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} = 10{,}32$
Conclusió. n ha de ser enter, així que cal fer com a mínim 11 trucades.
Comprovació. Amb 10 trucades, $1 - 0{,}8^{10} = 0{,}893$ (no arriba al 90 %); amb 11, $1 - 0{,}8^{11} = 0{,}914$ (sí).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

El temps que triga una persona a fer un recorregut de senderisme segueix una distribució normal de mitjana 60 minuts i desviació típica 8 minuts. Calcula el percentatge de persones que triguen entre 56 i 72 minuts. Dades: P(Z ≤ 0,5) = 0,6915 i P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

Un 62,5 % (

P = 0{,}6247

)

Resolució

Dades. $X \sim N(60;\ 8)$ en minuts; es demana $P(56 \le X \le 72)$ .
Tipificació. $z = \tfrac{x - \mu}{\sigma}$ : $z_{1} = \dfrac{56 - 60}{8} = -0{,}5, \qquad z_{2} = \dfrac{72 - 60}{8} = 1{,}5$ i $P(56 \le X \le 72) = P(-0{,}5 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z \le -0{,}5)$ .
Simetria. $P(Z \le -0{,}5) = 1 - P(Z \le 0{,}5) = 1 - 0{,}6915 = 0{,}3085$ .
Càlcul. $P = 0{,}9332 - 0{,}3085 = 0{,}6247$ .
Conclusió. Un 62,5 % de les persones triguen entre 56 i 72 minuts. Error típic: restar directament $0{,}9332 - 0{,}6915$ , oblidant que el primer extrem és negatiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

El pes dels tomàquets d'una collita segueix una distribució normal de mitjana 180 g i desviació típica 20 g. En una caixa hi ha 500 tomàquets: quants se n'espera que pesin més de 210 g? Dada: P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Uns 33 tomàquets (

500\cdot 0{,}0668 = 33{,}4

)

Resolució

Dades. $X \sim N(180;\ 20)$ en grams; es demana quants dels 500 superen 210 g.
Tipificació. $z = \tfrac{210 - 180}{20} = 1{,}5$ .
Probabilitat. $P(X > 210) = P(Z > 1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
Nombre esperat. $500\cdot 0{,}0668 = 33{,}4$ , és a dir, uns 33 tomàquets.
Comprovació. 210 g és 1,5 desviacions típiques per sobre de la mitjana, així que és raonable que només un 6-7 % de la collita el superi.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Les notes d'una prova segueixen una distribució normal de mitjana 6,4 i desviació típica 1,5. Només el 10 % de les millors notes obté menció d'honor. Quina és la nota mínima per obtenir-la? Dada: el valor de Z que deixa a l'esquerra una probabilitat de 0,90 és z = 1,28.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Nota mínima:

x = 8{,}32

Resolució

Plantejament. Busques la nota x tal que $P(X \ge x) = 0{,}10$ , és a dir, $P(X \le x) = 0{,}90$ , amb $X \sim N(6{,}4;\ 1{,}5)$ .
Normal estàndard. $P(Z \le z) = 0{,}90$ correspon a $z = 1{,}28$ .
Desfem la tipificació. $x = \mu + z\cdot \sigma = 6{,}4 + 1{,}28\cdot 1{,}5 = 6{,}4 + 1{,}92 = 8{,}32$
Conclusió. Cal una nota de 8,32 o més. Comprovació: $\tfrac{8{,}32 - 6{,}4}{1{,}5} = 1{,}28$ , que deixa un 10 % per damunt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

El pes dels paquets d'una empresa de missatgeria segueix una distribució normal de mitjana desconeguda μ i desviació típica 4 kg. Se sap que el 6,68 % dels paquets pesen menys de 20 kg. Calcula μ. Dada: P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\mu = 26\ \text{kg}

Resolució

Dades. $X \sim N(\mu;\ 4)$ i $P(X < 20) = 0{,}0668$ .
Valor tipificat. Com que 0,0668 és menor que 0,5, el valor tipificat és negatiu. Per simetria, $P(Z \le -1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ , així que $z = -1{,}5$ .
Tipificació. $\dfrac{20 - \mu}{4} = -1{,}5 \;\Rightarrow\; 20 - \mu = -6 \;\Rightarrow\; \mu = 26\ \text{kg}$
Comprovació. Amb $\mu = 26$ i $\sigma = 4$ , $z = \tfrac{20 - 26}{4} = -1{,}5$ i $P(Z \le -1{,}5) = 0{,}0668$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

En una gran empresa, el 20 % dels treballadors van a la feina amb bicicleta. S'escullen 225 treballadors a l'atzar. Aproxima amb una distribució normal la probabilitat que n'hi hagi 53 o més que hi vagin amb bicicleta. Dada: P(Z ≤ 1,25) = 0,8944.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

P(X \ge 53) \approx 0{,}1056

(un 10,6 %)

Resolució

Distribució. X = treballadors que van en bicicleta segueix una $B(225;\ 0{,}2)$ .
Aproximació normal. Com que $n\cdot p = 45 \ge 5$ i $n\cdot q = 180 \ge 5$ , $X \approx N(\mu;\ \sigma)$ amb $\mu = n\cdot p = 45, \qquad \sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot q} = \sqrt{225\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8} = \sqrt{36} = 6$
Correcció de continuïtat. «53 o més» passa a ser $X' \ge 52{,}5$ : $z = \tfrac{52{,}5 - 45}{6} = 1{,}25$ .
Càlcul. $P(X \ge 53) \approx P(Z \ge 1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ .
Conclusió. Hi ha un 10,6 % de probabilitat que n'hi hagi 53 o més.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Per a cadascuna d'aquestes distribucions binomials, digues si es pot aproximar per una distribució normal (criteri: n·p ≥ 5 i n·q ≥ 5) i, si es pot, escriu la normal N(μ; σ) corresponent:
a) B(30; 0,5);
b) B(200; 0,01);
c) B(60; 0,9);
d) B(150; 0,4).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

Sí:

N(15;\ 2{,}74)

Resolució

Criteri. L'aproximació $N\!\left(n\cdot p;\ \sqrt{n\cdot p\cdot q}\right)$ és vàlida quan $n\cdot p \ge 5$ i $n\cdot q \ge 5$ .
Càlcul. $n\cdot p = 30\cdot 0{,}5 = 15$ i $n\cdot q = 15$ : es compleix.
Normal. $\sigma = \sqrt{30\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{7{,}5} = 2{,}74$ : $N(15;\ 2{,}74)$ .

Apartat b)

Resultat

No:

n\cdot p = 2 < 5

Resolució

Criteri. Cal $n\cdot p \ge 5$ i $n\cdot q \ge 5$ .
Càlcul. $n\cdot p = 200\cdot 0{,}01 = 2 < 5$ (encara que $n\cdot q = 198$ ).
Conclusió. No es pot aproximar: és una binomial amb p molt petita, molt asimètrica, que no s'assembla a una campana.

Apartat c)

Resultat

Sí:

N(54;\ 2{,}32)

Resolució

Criteri. Cal $n\cdot p \ge 5$ i $n\cdot q \ge 5$ .
Càlcul. $n\cdot p = 60\cdot 0{,}9 = 54$ i $n\cdot q = 60\cdot 0{,}1 = 6 \ge 5$ : es compleix, tot i que l'aproximació és menys bona perquè $n\cdot q$ és a prop del límit.
Normal. $\sigma = \sqrt{60\cdot 0{,}9\cdot 0{,}1} = \sqrt{5{,}4} = 2{,}32$ : $N(54;\ 2{,}32)$ .

Apartat d)

Resultat

Sí:

N(60;\ 6)

Resolució

Criteri. Cal $n\cdot p \ge 5$ i $n\cdot q \ge 5$ .
Càlcul. $n\cdot p = 150\cdot 0{,}4 = 60$ i $n\cdot q = 150\cdot 0{,}6 = 90$ : es compleix.
Normal. $\sigma = \sqrt{150\cdot 0{,}4\cdot 0{,}6} = \sqrt{36} = 6$ : $N(60;\ 6)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Una variable aleatòria contínua X té funció de densitat f(x) = $\tfrac{x}{8}$ si 0 ≤ x ≤ 4 i f(x) = 0 altrament (la seva gràfica és un triangle).
a) Comprova que és una funció de densitat.
b) Calcula P(1 < X < 3).
c) Calcula la mediana, és a dir, el valor m tal que P(X ≤ m) = 0,5.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

f(x) \ge 0

i l'àrea total val 1: és una funció de densitat.

Resolució

Condicions. Una funció de densitat ha de ser $f(x) \ge 0$ i l'àrea total sota la gràfica ha de valer 1.
Signe. $f(x) = \tfrac{x}{8} \ge 0$ a [0, 4] (i val 0 fora).
Àrea. És un triangle de base 4 i alçada $f(4) = \tfrac{4}{8} = 0{,}5$ : $\text{àrea} = \dfrac{4\cdot 0{,}5}{2} = 1 \qquad \left(\text{o bé } \int_0^4 \dfrac{x}{8}\,dx = \dfrac{16}{16} = 1\right)$ Per tant, és una funció de densitat.

Apartat b)

Resultat

P(1 < X < 3) = \tfrac{8}{16} = 0{,}5

Resolució

Funció de distribució. $P(X \le x)$ és l'àrea del triangle de base x i alçada $\tfrac{x}{8}$ : $P(X \le x) = \dfrac{x\cdot \tfrac{x}{8}}{2} = \dfrac{x^{2}}{16}$
Càlcul. $P(1 < X < 3) = \dfrac{3^{2}}{16} - \dfrac{1^{2}}{16} = \dfrac{9}{16} - \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{16} = 0{,}5$

Apartat c)

Resultat

m = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83

Resolució

Condició de la mediana. $P(X \le m) = \tfrac{m^{2}}{16} = 0{,}5$ .
Càlcul. $m^{2} = 8 \Rightarrow m = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ (la solució positiva dins de [0, 4]).
Observació. La mediana (2,83) és més gran que el punt mig de l'interval (2), perquè la densitat creix cap a la dreta i hi ha més probabilitat a prop de 4.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Una variable aleatòria X pren els valors 1, 2 i 3. Se sap que P(X = 1) = 0,2 i que l'esperança és E(X) = 2,1.
a) Calcula P(X = 2) i P(X = 3).
b) Calcula la variància i la desviació típica de X.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

P(X = 2) = 0{,}5

;

P(X = 3) = 0{,}3

Resolució

Incògnites. Siguin $p_2 = P(X = 2)$ i $p_3 = P(X = 3)$ .
Equacions. Les probabilitats sumen 1 i l'esperança val 2,1: $0{,}2 + p_2 + p_3 = 1 \Rightarrow p_2 + p_3 = 0{,}8$ $1\cdot 0{,}2 + 2p_2 + 3p_3 = 2{,}1 \Rightarrow 2p_2 + 3p_3 = 1{,}9$
Resolució. De la primera, $p_2 = 0{,}8 - p_3$ ; substitueix: $2(0{,}8 - p_3) + 3p_3 = 1{,}9 \Rightarrow 1{,}6 + p_3 = 1{,}9 \Rightarrow p_3 = 0{,}3$ i $p_2 = 0{,}5$ .
Comprovació. $0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1$ i $1\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}5 + 3\cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1$ .

Apartat b)

Resultat

\sigma^{2} = 0{,}49

;

\sigma = 0{,}7

Resolució

Fórmula de la variància. $\sigma^{2} = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}$ .
Càlcul de E(X²). $E(X^{2}) = 1\cdot 0{,}2 + 4\cdot 0{,}5 + 9\cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 2 + 2{,}7 = 4{,}9$ .
Resultat. $\sigma^{2} = 4{,}9 - 2{,}1^{2} = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ , i $\sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Determina el valor més probable de X, que segueix una distribució binomial B(20; 0,35), comparant les probabilitats de valors consecutius: P(X = k + 1)/P(X = k).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

El valor més probable és

X = 7

, amb

P(X = 7) \approx 0{,}184

Resolució

Quocient de probabilitats consecutives. En una binomial, $\dfrac{P(X = k + 1)}{P(X = k)} = \dfrac{n - k}{k + 1}\cdot \dfrac{p}{q}$ i aquí $\tfrac{p}{q} = \tfrac{0{,}35}{0{,}65}$ . La probabilitat creix de k a k + 1 mentre el quocient sigui més gran que 1.
Inequació. $(20 - k)\cdot 0{,}35 > (k + 1)\cdot 0{,}65 \;\Rightarrow\; 7 - 0{,}35k > 0{,}65k + 0{,}65 \;\Rightarrow\; 6{,}35 > k$
Interpretació. $P(k + 1) > P(k)$ per a $k \le 6$ (per exemple, $\tfrac{P(7)}{P(6)} = \tfrac{14}{7}\cdot \tfrac{0{,}35}{0{,}65} = 1{,}08 > 1$ ) i $P(k + 1) < P(k)$ per a $k \ge 7$ (per exemple, $\tfrac{P(8)}{P(7)} = \tfrac{13}{8}\cdot \tfrac{0{,}35}{0{,}65} = 0{,}875 < 1$ ).
Conclusió. El valor més probable és X = 7, amb $P(X = 7) \approx 0{,}184$ ( $P(6) \approx 0{,}171$ i $P(8) \approx 0{,}161$ ).
Regla ràpida. El valor més probable és la part entera de $(n + 1)\cdot p = 21\cdot 0{,}35 = 7{,}35$ , és a dir 7; coincideix amb la mitjana $n\cdot p = 7$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un arquer llança 4 fletxes a la diana, de manera independent, i la probabilitat que les falli totes és 0,0256. Troba la probabilitat d'encert de cada llançament i calcula la probabilitat que n'encerti almenys 3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

p = 0{,}6

;

P(X \ge 3) = 0{,}4752

(un 47,5 %)

Resolució

Plantejament. Sigui p la probabilitat d'encert i $q = 1 - p$ la de fallada. X = nombre d'encerts en 4 llançaments segueix una $B(4;\ p)$ .
Probabilitat d'encert. $P(X = 0) = q^{4} = 0{,}0256$ . Com que $0{,}4^{2} = 0{,}16$ i $0{,}16^{2} = 0{,}0256$ , $q = 0{,}4$ i $p = 0{,}6$ .
Almenys 3. $P(X \ge 3) = \binom{4}{3}\cdot 0{,}6^{3}\cdot 0{,}4 + 0{,}6^{4} = 4\cdot 0{,}216\cdot 0{,}4 + 0{,}1296 = 0{,}3456 + 0{,}1296 = 0{,}4752$
Conclusió. L'arquer n'encerta almenys 3 amb una probabilitat del 47,5 %. Comprovació: $4\cdot 0{,}6 = 2{,}4$ encerts de mitjana, així que encertar-ne 3 o més amb una probabilitat propera al 50 % és raonable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

La durada d'una bateria d'ordinador segueix una distribució normal N(μ; σ), en hores. Se sap que el 15,87 % de les bateries duren menys de 10 h i que el 93,32 % duren menys de 20 h. Calcula μ i σ. Dades: P(Z ≤ 1) = 0,8413 i P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

\mu = 14\ \text{h}

;

\sigma = 4\ \text{h}

Resolució

Condició 1. $P(X < 10) = 0{,}1587 = 1 - 0{,}8413 = P(Z \le -1)$ , així que $\tfrac{10 - \mu}{\sigma} = -1$ .
Condició 2. $P(X < 20) = 0{,}9332 = P(Z \le 1{,}5)$ , així que $\tfrac{20 - \mu}{\sigma} = 1{,}5$ .
Sistema. $10 - \mu = -\sigma, \qquad 20 - \mu = 1{,}5\sigma$ Restant la primera equació de la segona: $10 = 2{,}5\sigma \Rightarrow \sigma = 4$ h. Llavors $\mu = 10 + \sigma = 14$ h.
Comprovació. $\tfrac{10 - 14}{4} = -1$ i $\tfrac{20 - 14}{4} = 1{,}5$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Sigui X una variable binomial B(10; 0,5).
a) Calcula exactament P(X ≥ 7).
b) Aproxima aquesta probabilitat per una normal amb la correcció de continuïtat.
c) Repeteix l'aproximació sense la correcció de continuïtat i compara els tres resultats.
Dades: P(Z ≤ 0,95) = 0,8289 i P(Z ≤ 1,26) = 0,8962.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

P(X \ge 7) = \tfrac{176}{1024} \approx 0{,}1719

Resolució

Binomial amb p = 0,5. $P(X = k) = \binom{10}{k}\cdot 0{,}5^{10} = \tfrac{\binom{10}{k}}{2^{10}}$ .
Càlcul. $P(X \ge 7) = \dfrac{\binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10}}{2^{10}} = \dfrac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \dfrac{176}{1024} = 0{,}1719$

Apartat b)

Resultat

P(X \ge 7) \approx 0{,}1711

Resolució

Paràmetres. $\mu = 10\cdot 0{,}5 = 5$ i $\sigma = \sqrt{10\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}5} = 1{,}58$ .
Correcció de continuïtat. $X \ge 7$ passa a $X' \ge 6{,}5$ : $z = \tfrac{6{,}5 - 5}{1{,}58} = 0{,}95$ .
Càlcul. $P \approx 1 - P(Z \le 0{,}95) = 1 - 0{,}8289 = 0{,}1711$ .

Apartat c)

Resultat

P(X \ge 7) \approx 0{,}1038

; amb correcció l'error és de 0,0008 i sense, de 0,068.

Resolució

Sense correcció. $X' \ge 7$ : $z = \tfrac{7 - 5}{1{,}58} = 1{,}26$ i $P \approx 1 - 0{,}8962 = 0{,}1038$ .
Comparació. Exacta: 0,1719; amb correcció: 0,1711 (error de 0,0008); sense correcció: 0,1038 (error de 0,068, gairebé el 40 % del valor correcte).
Per què. La binomial és discreta: el valor 7 correspon a l'interval (6,5; 7,5) de la normal, i cal començar a comptar a 6,5, no a 7.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

L'alçada dels alumnes d'un institut segueix una distribució normal N(168; 9), en cm. Dada: P(Z ≤ 1,33) = 0,9082.
a) Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar mesuri més de 180 cm.
b) Es trien 10 alumnes a l'atzar. Calcula la probabilitat que n'hi hagi almenys 2 que mesurin més de 180 cm.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

P(X > 180) = 0{,}0918

Resolució

Tipificació. Amb $X \sim N(168;\ 9)$ : $z = \tfrac{180 - 168}{9} = 1{,}33$ .
Càlcul. $P(X > 180) = 1 - P(Z \le 1{,}33) = 1 - 0{,}9082 = 0{,}0918$ .

Apartat b)

Resultat

P(Y \ge 2) \approx 0{,}2323

(un 23 %)

Resolució

Binomial. Cada alumne és una prova independent amb probabilitat d'èxit $p = 0{,}0918$ . Y = nombre d'alumnes de més de 180 cm entre 10 segueix una $B(10;\ 0{,}0918)$ , amb $q = 0{,}9082$ .
Esdeveniment contrari. «Almenys 2» és el contrari de «0 o 1»: $P(Y \ge 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)$ .
Càlcul. $P(Y = 0) = 0{,}9082^{10} = 0{,}3818, \qquad P(Y = 1) = 10\cdot 0{,}0918\cdot 0{,}9082^{9} = 0{,}3859$ $P(Y \ge 2) = 1 - 0{,}3818 - 0{,}3859 = 0{,}2323$
Conclusió. Hi ha un 23 % de probabilitat que, en un grup de 10, almenys 2 superin els 180 cm. Fixa't que la normal ha donat la probabilitat p i la binomial n'ha fet el recompte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

El 20 % dels visitants d'un museu compren alguna cosa a la botiga. Un dia entren 625 visitants i X és el nombre de compradors.
a) Justifica que X es pot aproximar per una normal i escriu-ne els paràmetres.
b) Calcula la probabilitat que els compradors siguin entre 115 i 140, tots dos inclosos.
c) Troba el nombre de compradors que només se supera en un 5 % dels dies.
Dades: P(Z ≤ 1,05) = 0,8531, P(Z ≤ 1,55) = 0,9394 i P(Z ≤ 1,645) = 0,95.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

n\cdot p = 125 \ge 5

n\cdot q = 500 \ge 5

X \approx N(125;\ 10)

Resolució

Distribució. $X \sim B(625;\ 0{,}2)$ .
Criteri. $n\cdot p = 125 \ge 5$ i $n\cdot q = 500 \ge 5$ , així que es pot aproximar per una normal.
Paràmetres. $\mu = 125$ i $\sigma = \sqrt{625\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8} = \sqrt{100} = 10$ : $X \approx N(125;\ 10)$ .

Apartat b)

Resultat

P(115 \le X \le 140) \approx 0{,}7925

Resolució

Correcció de continuïtat. $115 \le X \le 140$ passa a $114{,}5 \le X' \le 140{,}5$ .
Tipificació. $z_1 = \tfrac{114{,}5 - 125}{10} = -1{,}05$ i $z_2 = \tfrac{140{,}5 - 125}{10} = 1{,}55$ .
Càlcul. $P = P(Z \le 1{,}55) - P(Z \le -1{,}05) = 0{,}9394 - (1 - 0{,}8531) = 0{,}9394 - 0{,}1469 = 0{,}7925$

Apartat c)

Resultat

Uns 141 compradors (

k = 141{,}45

)

Resolució

Plantejament. Busques k amb $P(X > k) = 0{,}05$ , és a dir, $P(Z \le z) = 0{,}95$ , d'on $z = 1{,}645$ .
Desfem la tipificació. $k = \mu + z\cdot \sigma = 125 + 1{,}645\cdot 10 = 141{,}45$ .
Conclusió. Només en un 5 % dels dies el nombre de compradors supera uns 141 (restant la mitja unitat de la correcció de continuïtat, el llindar queda a prop de 141).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un test té 20 preguntes amb quatre opcions cada una. Cada encert suma 1 punt i cada error resta 0,25 punts. Un alumne contesta totes les preguntes a l'atzar. Sigui X el nombre d'encerts.
a) Escriu la nota N en funció de X.
b) Calcula l'esperança i la desviació típica de N.
c) Quin descompte per error faria que l'esperança de la nota fos 0?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

N = 1{,}25X - 5

Resolució

Plantejament. Hi ha X encerts (que sumen 1 punt cadascun) i $20 - X$ errors (que resten 0,25 cadascun).
Nota. $N = X - 0{,}25\cdot (20 - X) = 1{,}25X - 5$ .

Apartat b)

Resultat

E(N) = 1{,}25

punts;

\sigma_N \approx 2{,}42

punts

Resolució

Binomial. $X \sim B(20;\ 0{,}25)$ : $E(X) = 20\cdot 0{,}25 = 5$ i $\sigma_X^{2} = 20\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75 = 3{,}75$ .
Transformació lineal. Com que $N = 1{,}25X - 5$ : $E(N) = 1{,}25\cdot E(X) - 5$ i $\sigma_N = 1{,}25\cdot \sigma_X$ .
Càlcul. $E(N) = 1{,}25\cdot 5 - 5 = 1{,}25$ punts i $\sigma_N = 1{,}25\cdot \sqrt{3{,}75} = 1{,}25\cdot 1{,}94 \approx 2{,}42$ punts.

Apartat c)

Resultat

Un descompte de

\tfrac{1}{3} \approx 0{,}33

punts per error.

Resolució

Plantejament. Si cada error resta c punts, de mitjana hi ha 5 encerts i 15 errors, i l'esperança de la nota és $5\cdot 1 - 15\cdot c$ .
Càlcul. $5 - 15c = 0 \Rightarrow c = \tfrac{5}{15} = \tfrac{1}{3}$ .
Interpretació. Amb la penalització de 0,25, respondre a l'atzar encara dona de mitjana 1,25 punts positius; per desincentivar-ho caldria descomptar 1/3 per error.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quan puc dir que una variable segueix una distribució binomial?

Quan es repeteix n vegades una mateixa prova amb només dos resultats possibles (èxit o fracàs), la probabilitat d'èxit p és la mateixa a cada prova i les proves són independents. Llavors X, el nombre d'èxits, segueix una B(n; p), amb mitjana n·p i variància n·p·q. Si les extraccions es fan sense reposició, les proves no són independents i el model no s'aplica exactament.

Com s'utilitza la taula de la normal estàndard?

Primer es tipifica: z = (x - μ)/σ. La taula dona P(Z ≤ z) per a valors positius de z. Per a un z negatiu s'utilitza la simetria, P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z), i per a «més gran que» s'utilitza el contrari, P(Z > z) = 1 - P(Z ≤ z). Per a un interval, es resten dues probabilitats.

Quan es pot aproximar una binomial per una normal i què és la correcció de continuïtat?

Es pot aproximar B(n; p) per N(n·p; $\sqrt{n\cdot p\cdot q}$ ) quan n·p ≥ 5 i n·q ≥ 5. Com que la binomial és discreta i la normal és contínua, el valor enter k es representa per l'interval (k - 0,5; k + 0,5): per exemple, P(X ≥ 7) es calcula com P(X' ≥ 6,5).

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Nivell avançat

Exercici 22

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 23

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 28

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 30

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat