Salta al contingut
Classes de reforç
Menú

Exercicis de derivades — Matemàtiques 1r Batxillerat

La derivada mesura com canvia una funció, i aquests exercicis t'ensenyen a calcular-la i a fer-la servir. Comences per la definició i el significat geomètric, el pendent de la recta tangent. Després derives funcions amb les regles del producte i del quocient i amb la regla de la cadena, com e elevat a 5x, l'arrel de 2x + 7 o (2x − 5) a la quarta. Al final apliques la derivada a la recta tangent i a l'estudi del creixement i els extrems relatius, decidint si un extrem és màxim o mínim. Les solucions mostren cada regla aplicada. Errors típics: pensar que la derivada és el valor de la funció i derivar una potència sense abaixar l'exponent.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Deriva f(x) = e5xe^{5x}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

f′(x)=5 e5xf'(x) = 5\,e^{5x}

Resolució

  1. Dades. És una exponencial composta: la funció de dins és u=5xu = 5x, amb u′=5u' = 5.
  2. Regla de la cadena. La fila de la taula diu (eu)′=eu⋅u′(e^{u})' = e^{u}\cdot u'.
  3. Càlcul. f′(x)=e5x⋅5=5 e5xf'(x) = e^{5x}\cdot 5 = 5\,e^{5x}
  4. Conclusió. L'exponencial es manté igual i només cal multiplicar-la per la derivada de l'exponent, 5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Deriva f(x) = cos x + ln x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

f′(x)=−sin⁡x+1xf'(x) = -\sin x + \dfrac{1}{x}

Resolució

  1. Dades. És una suma de dues funcions elementals: derivem terme a terme amb les derivades de referència.
  2. Derivada del cosinus. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x. Compte amb el signe: la del cosinus porta el menys, la del sinus no.
  3. Derivada del logaritme. (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \dfrac{1}{x}.
  4. Conclusió. f′(x)=−sin⁡x+1xf'(x) = -\sin x + \dfrac{1}{x} (definida per a x>0x > 0, on existeix ln⁡x\ln x).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Deriva f(x) = (2x−5)4(2x - 5)^{4}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

f′(x)=8 (2x−5)3f'(x) = 8\,(2x - 5)^{3}

Resolució

  1. Dades. La funció de fora és la potència quarta i la de dins, u=2x−5u = 2x - 5, amb u′=2u' = 2.
  2. Regla de la cadena. (un)′=n un−1⋅u′(u^{n})' = n\,u^{n-1}\cdot u'.
  3. Càlcul. f′(x)=4 (2x−5)3⋅2=8 (2x−5)3f'(x) = 4\,(2x - 5)^{3}\cdot 2 = 8\,(2x - 5)^{3}
  4. Conclusió. No cal desenvolupar el binomi: el resultat factoritzat és més net. L'error habitual és oblidar el factor 2 de la derivada de dins.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Aplicant la definició de derivada com a límit, calcula f'(2) per a la funció f(x) = x2x^{2} - 3x i digues què representa aquest valor sobre la gràfica de f.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

f′(2)=1f'(2) = 1: és el pendent de la recta tangent a la gràfica de ff al punt (2,−2)(2, -2).

Resolució

  1. Definició de derivada. f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}
  2. Valors de la funció. f(2)=4−6=−2f(2) = 4 - 6 = -2 i f(2+h)=(2+h)2−3(2+h)=4+4h+h2−6−3h=−2+h+h2f(2 + h) = (2 + h)^{2} - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^{2} - 6 - 3h = -2 + h + h^{2}
  3. Quocient incremental. f(2+h)−f(2)h=h+h2h=1+h(h≠0)\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \dfrac{h + h^{2}}{h} = 1 + h \quad (h \neq 0)
  4. Límit. f′(2)=lim⁡h→0(1+h)=1f'(2) = \lim_{h\to 0}(1 + h) = 1.
  5. Significat. El valor 1 és el pendent de la recta tangent a la gràfica de ff al punt (2,−2)(2, -2).
  6. Comprovació. Amb les regles de derivació, f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3, de manera que f′(2)=4−3=1f'(2) = 4 - 3 = 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Si f és derivable a x = a, aleshores f és contínua a x = a.
b) Si f és contínua a x = a, aleshores f és derivable a x = a.
c) Si f'(a) = 0, aleshores f té un màxim o un mínim relatiu a x = a.
d) La derivada del producte f·g és f'·g'.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

Certa: la derivabilitat implica la continuïtat.

Resolució

  1. Idea. Escrivim l'increment de la funció multiplicant i dividint per hh: f(a+h)−f(a)=h⋅f(a+h)−f(a)hf(a + h) - f(a) = h\cdot\dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}
  2. Límit. Quan h→0h \to 0, el primer factor tendeix a 0 i el segon a f′(a)f'(a), així que el producte tendeix a 0⋅f′(a)=00\cdot f'(a) = 0.
  3. Conclusió. Per tant f(a+h)→f(a)f(a + h) \to f(a): ff és contínua a x=ax = a.

Apartat b)

Resultat

Falsa: f(x)=∣x∣f(x) = |x| és contínua a x=0x = 0 però no hi és derivable.

Resolució

  1. Contraexemple. Prenem f(x)=∣x∣f(x) = |x|, que és contínua a x=0x = 0.
  2. Derivades laterals. f′(0−)=−1f'(0^{-}) = -1 i f′(0+)=1f'(0^{+}) = 1: són diferents.
  3. Conclusió. ff no és derivable a x=0x = 0; la gràfica hi té un punt angulós. La continuïtat és necessària però no suficient.

Apartat c)

Resultat

Falsa: f(x)=x3f(x) = x^{3} té f′(0)=0f'(0) = 0 però no té cap extrem a x=0x = 0.

Resolució

  1. Contraexemple. Per a f(x)=x3f(x) = x^{3}, f′(x)=3x2f'(x) = 3x^{2} i f′(0)=0f'(0) = 0.
  2. Comportament. ff és estrictament creixent, així que a x=0x = 0 no hi ha ni màxim ni mínim (és un punt d'inflexió amb tangent horitzontal).
  3. Conclusió. f′(a)=0f'(a) = 0 és només una condició necessària: perquè hi hagi extrem cal que f′f' canviï de signe.

Apartat d)

Resultat

Falsa: la regla correcta és (f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'.

Resolució

  1. Regla del producte. (f⋅g)′=f′⋅g+f⋅g′(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g'.
  2. Contraexemple. Amb f=g=xf = g = x: (x⋅x)′=(x2)′=2x(x\cdot x)' = (x^{2})' = 2x, mentre que x′⋅x′=1⋅1=1x'\cdot x' = 1\cdot 1 = 1.
  3. Conclusió. Com que 2x≠12x \neq 1 en general, la derivada del producte no és el producte de les derivades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Deriva f(x) = 5x4 - 3x2 + 2x\sqrt{x} - 8x\tfrac{8}{x} i escriu el resultat sense exponents negatius ni fraccionaris.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

f′(x)=20x3−6x+1x+8x2f'(x) = 20x^{3} - 6x + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{8}{x^{2}}

Resolució

  1. Reescriptura en potències. f(x)=5x4−3x2+2x1/2−8x−1f(x) = 5x^{4} - 3x^{2} + 2x^{1/2} - 8x^{-1}
  2. Regla de la potència. Apliquem (xn)′=n xn−1(x^{n})' = n\,x^{n-1} terme a terme.
  3. Càlcul. f′(x)=20x3−6x+2⋅12 x−1/2−8⋅(−1) x−2=20x3−6x+x−1/2+8x−2f'(x) = 20x^{3} - 6x + 2\cdot\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2} - 8\cdot(-1)\,x^{-2} = 20x^{3} - 6x + x^{-1/2} + 8x^{-2}
  4. Sense exponents negatius ni fraccionaris. f′(x)=20x3−6x+1x+8x2f'(x) = 20x^{3} - 6x + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{8}{x^{2}}
  5. Error típic. Derivar numerador i denominador per separat a 8x\tfrac{8}{x}; per això convé passar-lo a 8x−18x^{-1} abans de derivar. Fixa't que −8x-\tfrac{8}{x} té derivada +8x2+\tfrac{8}{x^{2}}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una alumna deriva f(x) = x2x^{2}·exe^{x} i obté f'(x) = 2x·exe^{x}. Explica quin error ha comès i calcula correctament la derivada, factoritzant el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Ha derivat el producte factor a factor. La correcta és f′(x)=x(x+2) exf'(x) = x(x + 2)\,e^{x}.

Resolució

  1. L'error. L'alumna ha fet (u⋅v)′=u′⋅v′(u\cdot v)' = u'\cdot v': 2x⋅ex2x\cdot e^{x}. Però la derivada d'un producte no és el producte de les derivades.
  2. Regla del producte. (u⋅v)′=u′⋅v+u⋅v′(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v', amb u=x2u = x^{2}, u′=2xu' = 2x, v=exv = e^{x}, v′=exv' = e^{x}.
  3. Càlcul. f′(x)=2x ex+x2 ex=ex(2x+x2)=x(x+2) exf'(x) = 2x\,e^{x} + x^{2}\,e^{x} = e^{x}(2x + x^{2}) = x(x + 2)\,e^{x}
  4. Comprovació a x = 1. La derivada correcta val 3e≈8,153e \approx 8{,}15 i la fórmula errònia donaria 2e≈5,442e \approx 5{,}44. El quocient incremental amb h=0,001h = 0{,}001, f(1,001)−f(1)0,001≈8,16\dfrac{f(1{,}001) - f(1)}{0{,}001} \approx 8{,}16, dona la raó a la correcta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Deriva f(x) = 5x5^{x} + log3 x + tan x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

f′(x)=5xln⁡5+1xln⁡3+1cos⁡2xf'(x) = 5^{x}\ln 5 + \dfrac{1}{x\ln 3} + \dfrac{1}{\cos^{2}x}

Resolució

  1. Dades. És una suma: fem servir la taula de derivades terme a terme.
  2. Exponencial de base a. (ax)′=axln⁡a(a^{x})' = a^{x}\ln a, per tant (5x)′=5xln⁡5(5^{x})' = 5^{x}\ln 5.
  3. Logaritme de base a. (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_{a}x)' = \dfrac{1}{x\ln a}, per tant (log⁡3x)′=1xln⁡3(\log_{3}x)' = \dfrac{1}{x\ln 3}.
  4. Tangent. (tan⁡x)′=1cos⁡2x=1+tan⁡2x(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^{2}x} = 1 + \tan^{2}x.
  5. Conclusió. f′(x)=5xln⁡5+1xln⁡3+1cos⁡2xf'(x) = 5^{x}\ln 5 + \dfrac{1}{x\ln 3} + \dfrac{1}{\cos^{2}x}
  6. Error típic. Escriure (5x)′=x⋅5x−1(5^{x})' = x\cdot 5^{x-1}. Aquesta és la regla de la potència i només val quan la base és la variable i l'exponent és constant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Troba l'equació de la recta tangent a la paràbola f(x) = x2x^{2} - 4x + 3 en el punt d'abscissa x = 3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

y=2x−6y = 2x - 6

Resolució

  1. Dades. Per a la recta tangent cal un punt i un pendent.
  2. Punt. f(3)=9−12+3=0f(3) = 9 - 12 + 3 = 0, és a dir, (3,0)(3, 0).
  3. Pendent. f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4, així que m=f′(3)=2m = f'(3) = 2.
  4. Equació punt-pendent. y−0=2(x−3)y - 0 = 2(x - 3), és a dir, y=2x−6y = 2x - 6.
  5. Comprovació. Igualant paràbola i tangent, x2−4x+3=2x−6⇒x2−6x+9=(x−3)2=0x^{2} - 4x + 3 = 2x - 6 \Rightarrow x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} = 0. L'arrel doble x=3x = 3 indica que la recta toca la paràbola només en aquest punt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

De la funció f només sabem que la seva derivada és f'(x) = (x - 2)(x + 3). Estudia el signe de f', digues en quins intervals creix i en quins decreix f, i classifica els punts on f' s'anul·la.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

ff creix a (−∞,−3)∪(2,+∞)(-\infty, -3) \cup (2, +\infty) i decreix a (−3,2)(-3, 2); a x=−3x = -3 hi ha un màxim relatiu i a x=2x = 2 un mínim relatiu.

Resolució

  1. Zeros de f'. f′(x)=(x−2)(x+3)=0f'(x) = (x - 2)(x + 3) = 0 quan x=2x = 2 o x=−3x = -3. Aquests dos valors divideixen la recta en tres intervals.
  2. Signe de f'. Provem un valor de cada interval: f′(−4)=(−6)(−1)=6>0f'(-4) = (-6)(-1) = 6 > 0; f′(0)=(−2)(3)=−6<0f'(0) = (-2)(3) = -6 < 0; f′(3)=(1)(6)=6>0f'(3) = (1)(6) = 6 > 0.
  3. Monotonia. Si f′>0f' > 0, ff creix; si f′<0f' < 0, decreix. Per tant ff creix a (−∞,−3)∪(2,+∞)(-\infty, -3) \cup (2, +\infty) i decreix a (−3,2)(-3, 2).
  4. Classificació. A x=−3x = -3, ff passa de créixer a decréixer: màxim relatiu. A x=2x = 2, passa de decréixer a créixer: mínim relatiu.
  5. Observació. Sense l'expressió de ff no podem donar el valor dels extrems, només en quins punts hi són.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

La posició d'un mòbil, en metres, ve donada per s(t) = t3t^{3} - 6t2 + 9t, amb t en segons. Troba la velocitat i l'acceleració a t = 2 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

v(2)=−3 m/sv(2) = -3\ \text{m/s}; a(2)=0 m/s2a(2) = 0\ \text{m/s}^{2}

Resolució

  1. Dades. s(t)=t3−6t2+9ts(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t (m, s). La velocitat és el ritme de canvi de la posició i l'acceleració, el de la velocitat.
  2. Velocitat. v(t)=s′(t)=3t2−12t+9v(t) = s'(t) = 3t^{2} - 12t + 9. A t=2t = 2: v(2)=3⋅4−12⋅2+9=12−24+9=−3 m/sv(2) = 3\cdot 4 - 12\cdot 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3\ \text{m/s}.
  3. Acceleració. a(t)=v′(t)=6t−12a(t) = v'(t) = 6t - 12. A t=2t = 2: a(2)=6⋅2−12=0 m/s2a(2) = 6\cdot 2 - 12 = 0\ \text{m/s}^{2}.
  4. Interpretació. La velocitat és negativa: en aquest instant el mòbil retrocedeix. El parany és confondre posició, velocitat i acceleració: cada magnitud és la derivada de l'anterior, no el seu valor directe.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Deriva f(x) = 2x+7\sqrt{2x + 7}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

f′(x)=12x+7f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 7}}

Resolució

  1. Dades. La funció de fora és l'arrel quadrada i la de dins, u=2x+7u = 2x + 7, amb u′=2u' = 2.
  2. Regla de la cadena. (u)′=u′2u(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}.
  3. Càlcul. f′(x)=222x+7=12x+7f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x + 7}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 7}}
  4. Conclusió. El 2 de la derivada de dins se simplifica amb el 2 del denominador (vàlid per a x>−72x > -\tfrac{7}{2}).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Deriva f(x) = cos(5x + 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

f′(x)=−5sin⁡(5x+1)f'(x) = -5\sin(5x + 1)

Resolució

  1. Dades. La funció de fora és el cosinus i la de dins, u=5x+1u = 5x + 1, amb u′=5u' = 5.
  2. Regla de la cadena. (cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)' = -\sin u\cdot u'.
  3. Càlcul. f′(x)=−sin⁡(5x+1)⋅5=−5sin⁡(5x+1)f'(x) = -\sin(5x + 1)\cdot 5 = -5\sin(5x + 1)
  4. Conclusió. No t'oblidis ni del signe menys ni del factor 5 de la derivada de dins.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

La funció f(x) = x2x^{2} - 6x té un extrem. On és, i és màxim o mínim?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Té un mínim a x=3x = 3, al punt (3,−9)(3, -9).

Resolució

  1. Dades. Els extrems d'una funció derivable s'han de buscar on f′(x)=0f'(x) = 0.
  2. Derivada. f′(x)=2x−6=0⇒x=3f'(x) = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3.
  3. Classificació. f′(x)<0f'(x) < 0 per a x<3x < 3 i f′(x)>0f'(x) > 0 per a x>3x > 3: la funció passa de decreixent a creixent, és un mínim (també f′′(x)=2>0f''(x) = 2 > 0).
  4. Conclusió. f(3)=9−18=−9f(3) = 9 - 18 = -9: el mínim és al punt (3,−9)(3, -9), el vèrtex de la paràbola.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Deriva f(x) = ln(x2x^{2} + 4x + 5) i troba el punt de la gràfica on la recta tangent és horitzontal.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

f′(x)=2x+4x2+4x+5f'(x) = \dfrac{2x + 4}{x^{2} + 4x + 5}; la tangent és horitzontal al punt (−2,0)(-2, 0).

Resolució

  1. Regla de la cadena amb el logaritme. (ln⁡u)′=u′u(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}, amb u=x2+4x+5u = x^{2} + 4x + 5 i u′=2x+4u' = 2x + 4.
  2. Derivada. f′(x)=2x+4x2+4x+5f'(x) = \dfrac{2x + 4}{x^{2} + 4x + 5} Com que x2+4x+5=(x+2)2+1>0x^{2} + 4x + 5 = (x + 2)^{2} + 1 > 0, el denominador no s'anul·la mai.
  3. Tangent horitzontal. Cal f′(x)=0f'(x) = 0: 2x+4=0⇒x=−22x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2.
  4. Punt. f(−2)=ln⁡(4−8+5)=ln⁡1=0f(-2) = \ln(4 - 8 + 5) = \ln 1 = 0. El punt és (−2,0)(-2, 0).
  5. Comprovació. (x+2)2+1≥1(x + 2)^{2} + 1 \geq 1, així que f(x)≥ln⁡1=0f(x) \geq \ln 1 = 0 i (−2,0)(-2, 0) és el mínim de la funció, on la tangent ha de ser horitzontal.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Deriva f(x) = ex(x+1)\tfrac{e^{x}}{(x + 1)} i estudia'n el creixement i el decreixement.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

f′(x)=x ex(x+1)2f'(x) = \dfrac{x\,e^{x}}{(x + 1)^{2}}; ff decreix a (−∞,−1)(-\infty, -1) i a (−1,0)(-1, 0), creix a (0,+∞)(0, +\infty) i té un mínim relatiu a (0,1)(0, 1).

Resolució

  1. Domini. R−{−1}\mathbb{R} - \{-1\}, perquè el denominador s'anul·la a x=−1x = -1.
  2. Regla del quocient. (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}, amb u=exu = e^{x} i v=x+1v = x + 1: f′(x)=ex(x+1)−ex⋅1(x+1)2=x ex(x+1)2f'(x) = \dfrac{e^{x}(x + 1) - e^{x}\cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \dfrac{x\,e^{x}}{(x + 1)^{2}}
  3. Signe de f'. ex>0e^{x} > 0 i (x+1)2>0(x + 1)^{2} > 0 sempre, així que el signe de f′f' és el de xx, i f′=0f' = 0 només a x=0x = 0.
  4. Monotonia. ff decreix a (−∞,−1)(-\infty, -1) i a (−1,0)(-1, 0), i creix a (0,+∞)(0, +\infty). Hi ha un mínim relatiu a (0,f(0))=(0,1)(0, f(0)) = (0, 1).
  5. Atenció. No es pot dir que decreix a (−∞,0)(-\infty, 0) d'una tirada, perquè x=−1x = -1 no és del domini (hi ha una asímptota vertical).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Deriva f(x) = x·x2+1\sqrt{x^{2} + 1} i simplifica el resultat en una sola fracció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

f′(x)=2x2+1x2+1f'(x) = \dfrac{2x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Resolució

  1. Regla del producte. (u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)' = u'v + uv', amb u=xu = x i v=x2+1v = \sqrt{x^{2} + 1}.
  2. Regla de la cadena per a v. v′=2x2x2+1=xx2+1v' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}
  3. Càlcul. f′(x)=1⋅x2+1+x⋅xx2+1=x2+1+x2x2+1f'(x) = 1\cdot\sqrt{x^{2} + 1} + x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt{x^{2} + 1} + \dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}}
  4. Denominador comú. f′(x)=(x2+1)+x2x2+1=2x2+1x2+1f'(x) = \dfrac{(x^{2} + 1) + x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{2x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1}}
  5. Comprovació. f′(0)=11=1f'(0) = \tfrac{1}{1} = 1. De fet, prop de x=0x = 0 la funció es comporta com x⋅1=xx\cdot 1 = x, que té pendent 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

En quins punts de la corba y = x3x^{3} - 3x2 + 2 la recta tangent és paral·lela a la recta y = 9x + 1? Escriu l'equació d'aquestes tangents.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Als punts (3,2)(3, 2) i (−1,−2)(-1, -2); tangents y=9x−25y = 9x - 25 i y=9x+7y = 9x + 7.

Resolució

  1. Condició de paral·lelisme. Dues rectes són paral·leles quan tenen el mateix pendent, aquí 9. Cal resoldre y′=9y' = 9.
  2. Equació. y′=3x2−6x=9⇒x2−2x−3=0⇒x=3y' = 3x^{2} - 6x = 9 \Rightarrow x^{2} - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 o x=−1x = -1.
  3. Punts. y(3)=27−27+2=2y(3) = 27 - 27 + 2 = 2, és a dir, (3,2)(3, 2); y(−1)=−1−3+2=−2y(-1) = -1 - 3 + 2 = -2, és a dir, (−1,−2)(-1, -2).
  4. Tangents. y−2=9(x−3)⇒y=9x−25y - 2 = 9(x - 3) \Rightarrow y = 9x - 25; y+2=9(x+1)⇒y=9x+7y + 2 = 9(x + 1) \Rightarrow y = 9x + 7.
  5. Comprovació. Totes dues tenen pendent 9 i cap no coincideix amb y=9x+1y = 9x + 1 (les ordenades a l'origen són −25, 7 i 1), així que són paral·leles i diferents.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Calcula l'equació de la recta normal (la perpendicular a la tangent pel punt de tangència) a la corba f(x) = x2+9\sqrt{x^{2} + 9} en el punt d'abscissa x = 4.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

y=−54x+10y = -\dfrac{5}{4}x + 10 (o bé 5x+4y−40=05x + 4y - 40 = 0)

Resolució

  1. Punt. f(4)=16+9=5f(4) = \sqrt{16 + 9} = 5, és a dir, (4,5)(4, 5).
  2. Pendent de la tangent (regla de la cadena). f′(x)=2x2x2+9=xx2+9⇒f′(4)=45f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2} + 9}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} \Rightarrow f'(4) = \dfrac{4}{5}
  3. Pendent de la normal. La normal és perpendicular a la tangent: el seu pendent és l'invers canviat de signe, mn=−1f′(4)=−54m_{n} = -\dfrac{1}{f'(4)} = -\dfrac{5}{4}.
  4. Equació. y−5=−54(x−4)⇒y=−54x+5+5=−54x+10y - 5 = -\dfrac{5}{4}(x - 4) \Rightarrow y = -\dfrac{5}{4}x + 5 + 5 = -\dfrac{5}{4}x + 10
  5. Comprovació. mt⋅mn=45⋅(−54)=−1m_{t}\cdot m_{n} = \tfrac{4}{5}\cdot\left(-\tfrac{5}{4}\right) = -1, i la recta passa per (4,5)(4, 5): −54⋅4+10=5-\tfrac{5}{4}\cdot 4 + 10 = 5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de f(x) = x3x^{3} - 6x2 + 9x + 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

ff creix a (−∞,1)∪(3,+∞)(-\infty, 1) \cup (3, +\infty) i decreix a (1,3)(1, 3); màxim relatiu a (1,5)(1, 5) i mínim relatiu a (3,1)(3, 1).

Resolució

  1. Derivada. f′(x)=3x2−12x+9=3(x2−4x+3)=3(x−1)(x−3)f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3), que s'anul·la a x=1x = 1 i x=3x = 3.
  2. Signe de f'. f′(0)=9>0f'(0) = 9 > 0; f′(2)=3⋅1⋅(−1)=−3<0f'(2) = 3\cdot 1\cdot(-1) = -3 < 0; f′(4)=3⋅3⋅1=9>0f'(4) = 3\cdot 3\cdot 1 = 9 > 0.
  3. Monotonia. ff creix a (−∞,1)∪(3,+∞)(-\infty, 1) \cup (3, +\infty) i decreix a (1,3)(1, 3).
  4. Extrems. A x=1x = 1 hi ha un màxim relatiu: f(1)=1−6+9+1=5f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, punt (1,5)(1, 5). A x=3x = 3 hi ha un mínim relatiu: f(3)=27−54+27+1=1f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1, punt (3,1)(3, 1).
  5. Comprovació amb la segona derivada. f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12: f′′(1)=−6<0f''(1) = -6 < 0 (màxim) i f′′(3)=6>0f''(3) = 6 > 0 (mínim).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un pagès d'Osona vol tancar un prat rectangular amb 120 m de reixa, aprofitant que un dels costats limita amb un riu i no necessita reixa. Quines dimensions ha de tenir el prat perquè l'àrea sigui màxima? Quina és aquesta àrea?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Costats perpendiculars al riu de 30 m30\ \text{m} i costat paral·lel de 60 m60\ \text{m}; àrea màxima 1800 m21800\ \text{m}^{2}.

Resolució

  1. Variables. Sigui xx la longitud de cada costat perpendicular al riu i yy la del costat paral·lel al riu. La reixa és 2x+y=1202x + y = 120, d'on y=120−2xy = 120 - 2x.
  2. Funció a optimitzar. A(x)=x(120−2x)=120x−2x2A(x) = x(120 - 2x) = 120x - 2x^{2}, amb 0<x<600 < x < 60.
  3. Derivada. A′(x)=120−4x=0⇒x=30A'(x) = 120 - 4x = 0 \Rightarrow x = 30. Com que A′′(x)=−4<0A''(x) = -4 < 0, és un màxim.
  4. Dimensions i àrea. x=30 mx = 30\ \text{m} i y=120−60=60 my = 120 - 60 = 60\ \text{m}. Àrea màxima: 30⋅60=1800 m230\cdot 60 = 1800\ \text{m}^{2}.
  5. Comprovació. Amb x=29 mx = 29\ \text{m} l'àrea és 29⋅62=1798 m229\cdot 62 = 1798\ \text{m}^{2} i amb x=31 mx = 31\ \text{m} és 31⋅58=1798 m231\cdot 58 = 1798\ \text{m}^{2}, totes dues menors que 1800 m21800\ \text{m}^{2}.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula la taxa de variació mitjana de f(x) = x2x^{2} a l'interval [1, 3] i compara-la amb la derivada a x = 2. Què hi observes?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

TVM[1,3]=4\text{TVM}[1, 3] = 4 i f′(2)=4f'(2) = 4: coincideixen (la secant és paral·lela a la tangent al punt mitjà).

Resolució

  1. Taxa de variació mitjana. TVM[1,3]=f(3)−f(1)3−1=9−12=4\text{TVM}[1, 3] = \dfrac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \dfrac{9 - 1}{2} = 4
  2. Derivada. f′(x)=2xf'(x) = 2x, i f′(2)=4f'(2) = 4.
  3. Observació. Coincideixen: en una paràbola, la taxa mitjana en un interval és igual a la derivada al punt mitjà de l'interval (aquí x=2x = 2).
  4. Interpretació geomètrica. La recta secant que passa per (1,1)(1, 1) i (3,9)(3, 9) és paral·lela a la tangent al punt (2,4)(2, 4).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Deriva el quocient f(x) = (x)(x2+1)\tfrac{(x)}{(x^{2} + 1)} i vigila el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x) = \dfrac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}

Resolució

  1. Regla del quocient. Si f=uvf = \dfrac{u}{v}, aleshores f′=u′⋅v−u⋅v′v2f' = \dfrac{u'\cdot v - u\cdot v'}{v^{2}}: derivada de dalt pel de baix, menys dalt per la derivada de baix, tot dividit pel de baix al quadrat.
  2. Dades. u=xu = x (amb u′=1u' = 1) i v=x2+1v = x^{2} + 1 (amb v′=2xv' = 2x).
  3. Numerador. 1⋅(x2+1)−x⋅2x=x2+1−2x2=1−x21\cdot(x^{2} + 1) - x\cdot 2x = x^{2} + 1 - 2x^{2} = 1 - x^{2}. El parany és el signe i l'ordre del numerador: va una resta i primer la derivada de dalt.
  4. Conclusió. El denominador és (x2+1)2(x^{2} + 1)^{2}: f′(x)=1−x2(x2+1)2f'(x) = \dfrac{1 - x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}}

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Escriu l'equació de la recta tangent a f(x) = ln(x2x^{2} + 1) al punt d'abscissa 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

y=x−1+ln⁡2y = x - 1 + \ln 2

Resolució

  1. Dades. Necessites el pendent f′(1)f'(1) i el punt (1,f(1))(1, f(1)).
  2. Regla de la cadena. La de fora és ln⁡\ln (la seva derivada és 1 dividit per la de dins) i la de dins és x2+1x^{2} + 1 (derivada 2x2x): f′(x)=1x2+1⋅2x=2xx2+1f'(x) = \dfrac{1}{x^{2} + 1}\cdot 2x = \dfrac{2x}{x^{2} + 1} El parany és oblidar el 2x2x de la derivada de dins.
  3. Pendent i punt. f′(1)=21+1=1f'(1) = \dfrac{2}{1 + 1} = 1 i f(1)=ln⁡(1+1)=ln⁡2f(1) = \ln(1 + 1) = \ln 2.
  4. Recta punt-pendent. y−ln⁡2=1⋅(x−1)y - \ln 2 = 1\cdot(x - 1), és a dir, y=x−1+ln⁡2y = x - 1 + \ln 2 (≈x−0,31\approx x - 0{,}31).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Determina els valors de a i b perquè la funció f(x) = x2x^{2} + ax + b si x ≤ 2, i f(x) = 3x - 2 si x > 2, sigui derivable a x = 2. Escriu després f'(x).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

a=−1a = -1, b=2b = 2; f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 si x≤2x \leq 2 i f′(x)=3f'(x) = 3 si x>2x > 2.

Resolució

  1. Condicions. Perquè ff sigui derivable a x=2x = 2 ha de ser contínua i les derivades laterals han de coincidir.
  2. Continuïtat. Pel tram esquerre f(2)=4+2a+bf(2) = 4 + 2a + b i pel dret lim⁡x→2+f(x)=3⋅2−2=4\lim_{x\to 2^{+}} f(x) = 3\cdot 2 - 2 = 4. Condició: 4+2a+b=4⇒2a+b=04 + 2a + b = 4 \Rightarrow 2a + b = 0.
  3. Derivades laterals. Pel tram esquerre f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a, que a x=2x = 2 val 4+a4 + a; pel dret f′(x)=3f'(x) = 3. Condició: 4+a=3⇒a=−14 + a = 3 \Rightarrow a = -1. Llavors b=−2a=2b = -2a = 2.
  4. Derivada. f′(x)=2x−1f'(x) = 2x - 1 si x≤2x \leq 2 i f′(x)=3f'(x) = 3 si x>2x > 2 (a x=2x = 2 totes dues expressions valen 3).
  5. Error típic. Imposar només la igualtat de derivades i oblidar la continuïtat, o a l'inrevés; calen les dues condicions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Troba les equacions de les rectes tangents a la paràbola y = x2x^{2} que passen pel punt P(1, -3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

y=6x−9y = 6x - 9 i y=−2x−1y = -2x - 1

Resolució

  1. Plantejament. El punt PP no és de la paràbola (12≠−31^{2} \neq -3), així que no podem derivar «al punt PP»: cal trobar els punts de tangència (t,t2)(t, t^{2}).
  2. Tangent genèrica. En (t,t2)(t, t^{2}) el pendent és y′=2ty' = 2t: y−t2=2t(x−t)y - t^{2} = 2t(x - t), és a dir, y=2t x−t2y = 2t\,x - t^{2}.
  3. Condició de pas per P(1, −3). −3=2t−t2⇒t2−2t−3=0⇒t=3-3 = 2t - t^{2} \Rightarrow t^{2} - 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3 o t=−1t = -1.
  4. Tangents. Per a t=3t = 3: y=6x−9y = 6x - 9 (tangent a (3,9)(3, 9)). Per a t=−1t = -1: y=−2x−1y = -2x - 1 (tangent a (−1,1)(-1, 1)).
  5. Comprovació. 6⋅1−9=−36\cdot 1 - 9 = -3 i −2⋅1−1=−3-2\cdot 1 - 1 = -3, així que totes dues passen per PP. (PP queda per sota de la paràbola, per això n'hi ha dues.)

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Es vol inscriure un rectangle en la regió limitada per la paràbola y = 12 - x2x^{2} i l'eix OX, amb un costat sobre l'eix OX i els dos vèrtexs superiors sobre la paràbola, simètrics respecte de l'eix OY. Calcula'n les dimensions perquè l'àrea sigui màxima i quina és aquesta àrea.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

Base 44 i alçada 88; àrea màxima 3232 unitats quadrades.

Resolució

  1. Variables. Sigui (x,12−x2)(x, 12 - x^{2}) el vèrtex superior de la dreta, amb 0<x<120 < x < \sqrt{12}. Llavors la base del rectangle és 2x2x i l'alçada 12−x212 - x^{2}.
  2. Funció a optimitzar. A(x)=2x(12−x2)=24x−2x3A(x) = 2x(12 - x^{2}) = 24x - 2x^{3}.
  3. Derivada. A′(x)=24−6x2=0⇒x2=4⇒x=2A'(x) = 24 - 6x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2 (només val la positiva). A′′(x)=−12xA''(x) = -12x, que a x=2x = 2 val −24<0-24 < 0: màxim.
  4. Dimensions i àrea. Base 2x=42x = 4 i alçada 12−4=812 - 4 = 8. Àrea màxima: 4⋅8=324\cdot 8 = 32 unitats quadrades.
  5. Comprovació. x=1,9x = 1{,}9 dona una àrea de 31,8831{,}88 i x=2,1x = 2{,}1 també dona 31,8831{,}88; totes dues són menors que 32.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Estudia la funció f(x) = x·e−xe^{-x}: intervals de creixement i decreixement, extrems relatius, intervals de curvatura i punts d'inflexió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

Creix a (−∞,1)(-\infty, 1) i decreix a (1,+∞)(1, +\infty); màxim relatiu a (1,1e)\left(1, \tfrac{1}{e}\right); còncava (∩) a (−∞,2)(-\infty, 2) i convexa (∪) a (2,+∞)(2, +\infty); punt d'inflexió a (2,2e2)\left(2, \tfrac{2}{e^{2}}\right).

Resolució

  1. Primera derivada (producte i cadena). f′(x)=e−x+x⋅(−e−x)=e−x(1−x)f'(x) = e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)
  2. Monotonia i extrems. Com que e−x>0e^{-x} > 0, el signe de f′f' és el de 1−x1 - x: ff creix a (−∞,1)(-\infty, 1) i decreix a (1,+∞)(1, +\infty). Màxim relatiu a (1,1e)≈(1; 0,37)\left(1, \tfrac{1}{e}\right) \approx (1;\ 0{,}37).
  3. Segona derivada. f′′(x)=−e−x(1−x)+e−x⋅(−1)=e−x(x−2)f''(x) = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}\cdot(-1) = e^{-x}(x - 2)
  4. Curvatura. f′′<0f'' < 0 si x<2x < 2 (còncava, forma ∩) i f′′>0f'' > 0 si x>2x > 2 (convexa, forma ∪).
  5. Punt d'inflexió. Com que f′′f'' canvia de signe a x=2x = 2, hi ha un punt d'inflexió a (2,2e2)≈(2; 0,27)\left(2, \tfrac{2}{e^{2}}\right) \approx (2;\ 0{,}27).
  6. Comprovació. f′′(1)=e−1(1−2)=−1e<0f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -\tfrac{1}{e} < 0 confirma que x=1x = 1 és un màxim.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Sabem que f és una funció derivable amb f(2) = 3 i f'(2) = -1. Calcula:
a) l'equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2;
b) g'(2), on g(x) = x2x^{2}·f(x);
c) h'(2), on h(x) = f(x2x^{2} - 2).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

y=−x+5y = -x + 5

Resolució

  1. Dades. La tangent passa per (2,f(2))=(2,3)(2, f(2)) = (2, 3) i té pendent f′(2)=−1f'(2) = -1.
  2. Equació punt-pendent. y−3=−(x−2)y - 3 = -(x - 2).
  3. Conclusió. y=−x+5y = -x + 5.

Apartat b)

Resultat

g′(2)=8g'(2) = 8

Resolució

  1. Regla del producte. g′(x)=2x⋅f(x)+x2⋅f′(x)g'(x) = 2x\cdot f(x) + x^{2}\cdot f'(x).
  2. Càlcul. Per a x=2x = 2: g′(2)=4⋅3+4⋅(−1)=12−4=8g'(2) = 4\cdot 3 + 4\cdot(-1) = 12 - 4 = 8.
  3. Conclusió. Només calen f(2)f(2) i f′(2)f'(2): no necessites conèixer l'expressió de ff.

Apartat c)

Resultat

h′(2)=−4h'(2) = -4

Resolució

  1. Regla de la cadena. h′(x)=f′(x2−2)⋅2xh'(x) = f'(x^{2} - 2)\cdot 2x.
  2. Càlcul. Per a x=2x = 2 l'interior val 22−2=22^{2} - 2 = 2, així que h′(2)=f′(2)⋅4=(−1)⋅4=−4h'(2) = f'(2)\cdot 4 = (-1)\cdot 4 = -4.
  3. Error típic. Oblidar el factor 2x2x, la derivada de l'interior x2−2x^{2} - 2; sense ell obtindríem −1 en comptes de −4.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Estudia la derivabilitat de f(x) = |x2x^{2} - 4x + 3|. Troba els punts on no és derivable (amb les derivades laterals) i escriu f'(x) allà on existeixi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

ff no és derivable a x=1x = 1 (f′(1−)=−2f'(1^{-}) = -2, f′(1+)=2f'(1^{+}) = 2) ni a x=3x = 3 (f′(3−)=−2f'(3^{-}) = -2, f′(3+)=2f'(3^{+}) = 2); f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 si x<1x < 1 o x>3x > 3, i f′(x)=−2x+4f'(x) = -2x + 4 si 1<x<31 < x < 3.

Resolució

  1. Funció a trossos. x2−4x+3=(x−1)(x−3)x^{2} - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) és positiu fora de [1,3][1, 3] i negatiu a l'interior (1,3)(1, 3). Així, f(x)=x2−4x+3f(x) = x^{2} - 4x + 3 si x≤1x \leq 1 o x≥3x \geq 3, i f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^{2} + 4x - 3 si 1<x<31 < x < 3.
  2. Derivada fora dels punts de canvi. Fora de x=1x = 1 i x=3x = 3, ff és polinòmica a trossos i derivable: f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 si x<1x < 1 o x>3x > 3, i f′(x)=−2x+4f'(x) = -2x + 4 si 1<x<31 < x < 3.
  3. A x = 1. ff hi és contínua i val 0, però f′(1−)=2−4=−2f'(1^{-}) = 2 - 4 = -2 i f′(1+)=−2+4=2f'(1^{+}) = -2 + 4 = 2. Són diferents: no és derivable.
  4. A x = 3. f′(3−)=−6+4=−2f'(3^{-}) = -6 + 4 = -2 i f′(3+)=6−4=2f'(3^{+}) = 6 - 4 = 2. Diferents: no és derivable.
  5. Conclusió. ff és derivable a R−{1,3}\mathbb{R} - \{1, 3\}; als punts (1,0)(1, 0) i (3,0)(3, 0) la gràfica té punts angulosos.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què és la regla de la cadena?

La regla per derivar funcions compostes: es deriva la funció de fora, deixant igual el que hi ha dins, i es multiplica per la derivada de la de dins.

Com sé si un extrem és un màxim o un mínim?

Mirant el signe de la derivada a banda i banda: si passa de positiva a negativa és un màxim, i si passa de negativa a positiva, un mínim. També es pot fer amb la segona derivada.

Tornar a Matemàtiques

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat