Exercicis de successions i límits — Matemàtiques 1r Batxillerat

Q: Com es calcula el límit d'un quocient de polinomis en n?

Comparant els graus: si el numerador té més grau, el límit és infinit; si tenen el mateix grau, és el quocient dels coeficients principals; si en té menys, és 0.

Q: Què vol dir que una successió és convergent?

Que els seus termes s'acosten tant com vulguis a un nombre concret, el límit, a mesura que n creix.

En aquest tema les successions es miren cap a l'infinit. Els exercicis comencen escrivint termes de successions definides pel terme general o per recurrència, com a partir del terme anterior. Després resols problemes de progressions aritmètiques i geomètriques, com l'estalvi que creix cada mes una quantitat fixa. La part nova és el límit d'una successió: decideixes si convergeix o divergeix i calcules límits de quocients de polinomis, com el de $\tfrac{(2n + 3)}{n}$ , comparant els graus. Les solucions expliquen la regla dels graus. Errors típics: confondre la posició d'un terme amb el seu valor i barrejar progressions aritmètiques amb geomètriques.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

La successió 1, 2, 3, 4, ... convergeix o divergeix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

La successió divergeix cap a

+\infty

\lim a_n = +\infty

Resolució

Terme general. Els termes 1, 2, 3, 4, … són els nombres naturals: $a_n = n$ .
Comportament. Cada terme és 1 més gran que l'anterior, així que els termes creixen sense aturador: per gran que sigui un nombre $K$ , a partir de $n > K$ tots els termes el superen.
Conclusió. No s'acosta a cap nombre finit: $\lim n = +\infty$ i, per tant, la successió és divergent.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Escriu els cinc primers termes de la successió $a_{n}$ = $(-1)^{n}$ · $\tfrac{(n + 1)}{n}$ i calcula'n el terme $a_{10}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

a_1 = -2,\ a_2 = \tfrac{3}{2},\ a_3 = -\tfrac{4}{3},\ a_4 = \tfrac{5}{4},\ a_5 = -\tfrac{6}{5}

;

a_{10} = \tfrac{11}{10} = 1{,}1

Resolució

Plantejament. Substitueixes $n = 1, 2, 3, 4, 5$ a $a_n = (-1)^{n}\cdot\tfrac{n+1}{n}$ . Fixa't que el factor $(-1)^{n}$ val $-1$ quan $n$ és senar i $+1$ quan $n$ és parell: els signes s'alternen.
Cinc primers termes. $a_1 = (-1)\cdot\tfrac{2}{1} = -2,\quad a_2 = (+1)\cdot\tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{2},\quad a_3 = (-1)\cdot\tfrac{4}{3} = -\tfrac{4}{3},\quad a_4 = \tfrac{5}{4},\quad a_5 = -\tfrac{6}{5}$
Terme a₁₀. Com que 10 és parell, el signe és positiu: $a_{10} = (+1)\cdot\tfrac{11}{10} = \tfrac{11}{10} = 1{,}1$ .
Observació. El valor absolut dels termes s'acosta a 1, però com que els signes alternen, els termes no s'aproximen a cap valor concret.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Considera la successió $a_{n}$ = 4n - 7. Raona si 93 és un terme de la successió i si ho és 50. En cas afirmatiu, digues quin lloc ocupa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

93 sí que és terme: ocupa el lloc 25 (

a_{25} = 93

); 50 no és terme de la successió.

Resolució

Criteri. Un nombre és terme de la successió si existeix un nombre natural $n$ ( $n = 1, 2, 3, \ldots$ ) tal que $a_n$ val aquest nombre. Per tant, iguales $4n - 7$ al nombre i resols.
El 93. $4n - 7 = 93 \Rightarrow 4n = 100 \Rightarrow n = 25$ . És un nombre natural, així que 93 és el terme que ocupa el lloc 25.
El 50. $4n - 7 = 50 \Rightarrow 4n = 57 \Rightarrow n = \tfrac{57}{4} = 14{,}25$ . No és un nombre natural, així que 50 no és terme de la successió.
Comprovació. $a_{25} = 4\cdot25 - 7 = 93$ ; i els termes que envolten el 50 són $a_{14} = 49$ i $a_{15} = 53$ : el 50 queda entre dos termes consecutius.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una successió està definida per recurrència: $a_{1}$ = 1, $a_{2}$ = 3 i $a_{n}$ = $a_{n-1}$ + $a_{n-2}$ per a n ≥ 3. Escriu-ne els vuit primers termes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47

Resolució

Regla. Cada terme, a partir del tercer, és la suma dels dos anteriors: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ . Els dos primers, $a_1 = 1$ i $a_2 = 3$ , són dades.
Càlcul. $a_3 = 3 + 1 = 4$ ; $a_4 = 4 + 3 = 7$ ; $a_5 = 7 + 4 = 11$ ; $a_6 = 11 + 7 = 18$ ; $a_7 = 18 + 11 = 29$ ; $a_8 = 29 + 18 = 47$ .
Conclusió. Els vuit primers termes són 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47.
Observació. En una recurrència, per calcular un terme concret com $a_8$ cal haver calculat abans tots els anteriors; per això de vegades és útil trobar una fórmula del terme general.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Comprova que la successió 7, 11, 15, 19, ... és una progressió aritmètica, troba'n el terme general i calcula $a_{30}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

És aritmètica amb

d = 4

;

a_n = 4n + 3

;

a_{30} = 123

Resolució

Diferències. Restes termes consecutius: $11 - 7 = 4$ , $15 - 11 = 4$ , $19 - 15 = 4$ . Són totes iguals, per tant és una progressió aritmètica de diferència $d = 4$ i primer terme $a_1 = 7$ .
Terme general d'una progressió aritmètica. $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d = 7 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 3$
Terme 30. $a_{30} = 4\cdot30 + 3 = 123$ .
Comprovació. $a_4 = 4\cdot4 + 3 = 19$ , que coincideix amb el quart terme de la llista.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un cultiu comença amb 500 bacteris i la població es duplica cada 3 hores. Escriu la fórmula que dona el nombre de bacteris al cap de n períodes de 3 hores i calcula quants bacteris hi haurà al cap de 24 hores.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

b_n = 500\cdot 2^{n}

; al cap de 24 h hi haurà

b_8 = 128\,000

bacteris.

Resolució

Plantejament. Cada període de 3 hores el nombre de bacteris es multiplica per 2: és una progressió geomètrica de raó $r = 2$ . Si $b_n$ és el nombre de bacteris al cap de $n$ períodes, $b_0 = 500$ .
Fórmula. Després de $n$ duplicacions: $b_n = 500\cdot 2^{n}$ .
Càlcul. 24 hores són $\tfrac{24}{3} = 8$ períodes, així que $b_8 = 500\cdot 2^{8} = 500\cdot 256 = 128\,000 \text{ bacteris}$
Comprovació. Al cap de 3 hores n'hi ha 1000, de 6 hores 2000, de 9 hores 4000, … i cada vegada el doble; després de 8 duplicacions, $500\cdot256 = 128\,000$ . Compte: no és $500\cdot2\cdot8 = 8000$ ; duplicar vuit vegades vol dir multiplicar per $2^{8}$ , no per $2\cdot8$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula la suma de tots els termes de la progressió geomètrica 1, $\tfrac{1}{3}$ , $\tfrac{1}{9}$ , $\tfrac{1}{27}$ , ... (infinits termes) i explica per què es pot calcular.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

S = \tfrac{3}{2} = 1{,}5

; es pot calcular perquè la raó compleix

|r| = \tfrac{1}{3} < 1

Resolució

Identificació. És una progressió geomètrica de primer terme $a_1 = 1$ i raó $r = \tfrac{1/3}{1} = \tfrac{1}{3}$ .
Per què es pot sumar. Com que $|r| = \tfrac{1}{3} < 1$ , els termes s'acosten a 0 i la suma dels infinits termes té un valor finit, donat per $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$ .
Càlcul. $S = \dfrac{1}{1 - \tfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{\tfrac{2}{3}} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$
Comprovació. Les sumes parcials s'hi acosten: $1 + \tfrac{1}{3} = 1{,}333\ldots$ ; $1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{9} = 1{,}444\ldots$ ; amb quatre termes, $1{,}481\ldots$ ; i tendeixen a 1,5.
Conclusió. Si $|r| \geq 1$ , la suma dels infinits termes no es pot calcular amb aquesta fórmula, perquè els termes no tendeixen a 0.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Calcula els límits de les successions $(\tfrac{2}{3})^{n}$ , $(\tfrac{3}{2})^{n}$ i $(-\tfrac{1}{2})^{n}$ , i explica què passa amb la successió $(-2)^{n}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

\lim (\tfrac{2}{3})^{n} = 0

;

\lim (\tfrac{3}{2})^{n} = +\infty

;

\lim (-\tfrac{1}{2})^{n} = 0

;

(-2)^{n}

és oscil·lant i no té límit.

Resolució

Propietat. El límit d'una potència $r^{n}$ depèn de la base: si $|r| < 1$ tendeix a 0, i si $r > 1$ tendeix a $+\infty$ .
Base 2/3. $\lim (\tfrac{2}{3})^{n} = 0$ , perquè $\tfrac{2}{3} < 1$ : cada terme és $\tfrac{2}{3}$ de l'anterior (0,667; 0,444; 0,296; …).
Base 3/2. $\lim (\tfrac{3}{2})^{n} = +\infty$ , perquè $\tfrac{3}{2} > 1$ : els termes (1,5; 2,25; 3,375; …) creixen sense límit.
Base −1/2. $\lim (-\tfrac{1}{2})^{n} = 0$ , perquè $|-\tfrac{1}{2}| < 1$ : els termes alternen de signe (−0,5; 0,25; −0,125; …), però el seu valor absolut s'acosta a 0.
Base −2. $(-2)^{n}$ dona $-2, 4, -8, 16, \ldots$ : el valor absolut creix sense límit i el signe alterna, per tant no s'acosta a cap nombre, ni a $+\infty$ ni a $-\infty$ . El límit no existeix: la successió és oscil·lant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Calcula els límits lim $\tfrac{(4n + 1)}{(n^{2} - 3)}$ i lim $\tfrac{(n^{3} - 2)}{(5n + 1)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

\lim \dfrac{4n+1}{n^{2}-3} = 0

;

\lim \dfrac{n^{3}-2}{5n+1} = +\infty

Resolució

Plantejament. En les dues fraccions el numerador i el denominador tendeixen a infinit (indeterminació $\tfrac{\infty}{\infty}$ ); per decidir quin dels dos domina, compares els graus dels polinomis o divideixes pel terme de grau més alt del denominador.
Primer límit. El grau del numerador (1) és menor que el del denominador (2). Dividint per $n^{2}$ : $\dfrac{\tfrac{4}{n} + \tfrac{1}{n^{2}}}{1 - \tfrac{3}{n^{2}}} \rightarrow \dfrac{0 + 0}{1 - 0} = 0$
Segon límit. El grau del numerador (3) és més gran que el del denominador (1). Dividint per $n$ : $\dfrac{n^{2} - \tfrac{2}{n}}{5 + \tfrac{1}{n}}$ El numerador tendeix a $+\infty$ i el denominador a 5, per tant el límit és $+\infty$ .
Regla dels graus. Grau del numerador menor → límit 0; grau més gran → $\pm\infty$ (el signe el donen els coeficients principals); grau igual → quocient dels coeficients principals.
Comprovació. Amb $n = 100$ : $\tfrac{401}{9997} \approx 0{,}04$ (ja és molt petit) i $\tfrac{999\,998}{501} \approx 1996$ (gran, i seguiria creixent).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Escriu els sis primers termes de la successió $a_{n}$ = $n^{2}$ - 6n i digues si és creixent, decreixent o cap de les dues coses. A partir de quin terme és creixent?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

-5, -8, -9, -8, -5, 0

; no és ni creixent ni decreixent (no és monòtona); és creixent a partir del terme

a_3

Resolució

Termes. $a_1 = 1 - 6 = -5$ ; $a_2 = 4 - 12 = -8$ ; $a_3 = 9 - 18 = -9$ ; $a_4 = 16 - 24 = -8$ ; $a_5 = 25 - 30 = -5$ ; $a_6 = 36 - 36 = 0$ .
Observació. Els termes baixen de −5 a −9 ( $a_1 > a_2 > a_3$ ) i després pugen ( $a_3 < a_4 < a_5 < a_6$ ). Com que no sempre pugen ni sempre baixen, la successió no és ni creixent ni decreixent (no és monòtona).
Estudi de la diferència. $a_{n+1} - a_n = (n+1)^{2} - 6(n+1) - (n^{2} - 6n) = 2n - 5$ que és negativa per a $n = 1$ i $n = 2$ , i positiva per a $n \geq 3$ .
Conclusió. És decreixent fins al terme $a_3$ (el mínim, −9) i creixent a partir d' $a_3$ : $a_3 < a_4 < a_5 < \ldots$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

La successió a_n = 1/n és creixent o decreixent?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

És decreixent:

a_{n+1} < a_n

per a tot

n

Resolució

Termes. $a_n = \tfrac{1}{n}$ dona $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots$ : cada terme és més petit que l'anterior.
Justificació. Com que $n + 1 > n > 0$ , en invertir s'inverteix la desigualtat: $\tfrac{1}{n+1} < \tfrac{1}{n}$ , és a dir, $a_{n+1} < a_n$ .
Conclusió. La successió és estrictament decreixent (i s'acosta a 0).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una successió té $a_{1}$ = 1 i $a_{n+1}$ = $a_{n}$ + n. Escriu-ne els quatre primers termes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 4,\ a_4 = 7

Resolució

Regla. Cada terme s'obté sumant a l'anterior el seu índex: $a_{n+1} = a_n + n$ .
Càlcul. $a_1 = 1$ ; $a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2$ ; $a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4$ ; $a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7$ .
Conclusió. Els quatre primers termes són 1, 2, 4 i 7 (les diferències 1, 2, 3 van augmentant d'una en una).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

La primera fila d'un teatre té 18 butaques, i cada fila que puges en té 2 més que l'anterior. Si hi ha 15 files, quantes butaques té la sala en total?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

La sala té 480 butaques.

Resolució

Dades. El nombre de butaques per fila forma una progressió aritmètica amb $a_1 = 18$ (primera fila), $d = 2$ (cada fila en suma 2) i $n = 15$ files. Compte a no confondre $d$ amb el nombre de files.
Última fila. $a_{15} = a_1 + (15 - 1)\cdot d = 18 + 14\cdot2 = 18 + 28 = 46$ butaques.
Suma d'una progressió aritmètica. $S_n = \dfrac{n\,(a_1 + a_n)}{2} \Rightarrow S_{15} = \dfrac{15\cdot(18 + 46)}{2} = \dfrac{15\cdot64}{2} = 15\cdot32 = 480$
Conclusió. En total, la sala té 480 butaques.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Al gener la Marta estalvia 10 euros, i cada mes estalvia 5 euros més que el mes anterior. Quant haurà estalviat en total al cap de 12 mesos?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Haurà estalviat 450 euros.

Resolució

Dades. L'estalvi mensual és una progressió aritmètica: $a_1 = 10$ (gener) i $d = 5$ (cada mes 5 més), amb $n = 12$ mesos. Compte a no sumar 12 vegades 10 ni confondre l'estalvi d'un mes amb el total acumulat.
Últim mes. Desembre: $a_{12} = 10 + (12 - 1)\cdot5 = 10 + 55 = 65$ euros.
Suma d'una progressió aritmètica. $S_{12} = \dfrac{12\cdot(10 + 65)}{2} = \dfrac{12\cdot75}{2} = 6\cdot75 = 450$
Conclusió. Al cap de 12 mesos haurà estalviat 450 euros en total.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En una cadena solidària, la primera persona envia el missatge a 3 persones; cada una d'elles l'envia a 3 més, i així successivament. Quantes persones han rebut el missatge en total al llarg de 6 rondes d'enviament?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

En total han rebut el missatge 1092 persones.

Resolució

Dades. Les persones que reben el missatge a cada ronda formen una progressió geomètrica: $a_1 = 3$ (primera ronda) i raó $r = 3$ (cada ronda es multiplica per 3). No és aritmètica: cada ronda no suma 3, sinó que multiplica per 3.
Suma d'una progressió geomètrica. Sumes des de la ronda 1 fins a la 6 amb $S_n = a_1\cdot\dfrac{r^{n} - 1}{r - 1}$
Càlcul. $S_6 = 3\cdot\dfrac{3^{6} - 1}{3 - 1} = 3\cdot\dfrac{729 - 1}{2} = 3\cdot\dfrac{728}{2} = 3\cdot364 = 1092$
Conclusió. En total han rebut el missatge 1092 persones ( $3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula lim( $\tfrac{(2n + 3)}{n}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\lim \dfrac{2n+3}{n} = 2

Resolució

Plantejament. Numerador i denominador tendeixen a infinit (indeterminació $\tfrac{\infty}{\infty}$ ) i tenen el mateix grau, 1.
Càlcul. Divideixes cada terme per $n$ : $\dfrac{2n + 3}{n} = 2 + \dfrac{3}{n} \rightarrow 2 + 0 = 2$
Conclusió. Mana el terme de grau més alt: $\tfrac{2n}{n} = 2$ . El límit és 2.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

En una progressió aritmètica el tercer terme és 11 i el vuitè és 31. Troba la diferència, el primer terme, el terme general i la suma dels 20 primers termes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

d = 4

;

a_1 = 3

;

a_n = 4n - 1

;

S_{20} = 820

Resolució

Diferència. Del tercer al vuitè terme hi ha 5 salts: $a_8 = a_3 + 5d$ , és a dir, $31 = 11 + 5d$ , d'on $d = \tfrac{20}{5} = 4$ .
Primer terme. $a_3 = a_1 + 2d \Rightarrow 11 = a_1 + 8$ , d'on $a_1 = 3$ .
Terme general. $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d = 3 + (n-1)\cdot4 = 4n - 1$ .
Suma dels 20 primers. $a_{20} = 4\cdot20 - 1 = 79$ i $S_{20} = \dfrac{20\cdot(a_1 + a_{20})}{2} = 10\cdot(3 + 79) = 820$
Comprovació. $a_3 = 4\cdot3 - 1 = 11$ i $a_8 = 4\cdot8 - 1 = 31$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Interpola tres mitjans geomètrics entre 4 i 324, és a dir, troba tres nombres que, col·locats entre 4 i 324, formin una progressió geomètrica de cinc termes. Quantes solucions hi ha?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Hi ha dues solucions: 12, 36, 108 (

r = 3

) o bé −12, 36, −108 (

r = -3

Resolució

Plantejament. Has de tenir una progressió geomètrica de 5 termes amb $a_1 = 4$ i $a_5 = 324$ .
Terme general d'una progressió geomètrica. $a_5 = a_1\cdot r^{4}$ : $324 = 4\cdot r^{4}$ , d'on $r^{4} = 81$ . Les solucions reals són $r = 3$ i $r = -3$ .
Progressions. Amb $r = 3$ : 4, 12, 36, 108, 324. Amb $r = -3$ : 4, −12, 36, −108, 324.
Conclusió. Els tres mitjans són 12, 36 i 108, o bé −12, 36 i −108. Comprovació: $4\cdot3^{4} = 4\cdot81 = 324$ , i també $4\cdot(-3)^{4} = 324$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un cotxe nou val 18000 € i cada any perd un 12 % del valor que tenia l'any anterior. Calcula el valor del cotxe al cap de 5 anys i el nombre mínim d'anys que han de passar perquè valgui menys de la meitat del preu inicial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

V_5 \approx 9499\ \text{€}

; calen 6 anys perquè valgui menys de 9000 €.

Resolució

Plantejament. Perdre un 12 % vol dir que cada any el valor es multiplica per $1 - 0{,}12 = 0{,}88$ . És una progressió geomètrica de raó 0,88: el valor al cap de $n$ anys és $V_n = 18\,000\cdot0{,}88^{n}$ .
Valor al cap de 5 anys. $V_5 = 18\,000\cdot0{,}88^{5} = 18\,000\cdot0{,}5277 \approx 9499\ \text{€}$ .
Inequació. Vols $V_n < 9000$ , és a dir, $0{,}88^{n} < 0{,}5$ . Prenent logaritmes, $n\cdot\ln 0{,}88 < \ln 0{,}5$ ; com que $\ln 0{,}88$ és negatiu, en dividir canvia el sentit de la desigualtat: $n > \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}88} = \dfrac{-0{,}6931}{-0{,}1278} \approx 5{,}42$
Conclusió. Com que $n$ ha de ser enter, calen 6 anys. Comprovació: $V_5 \approx 9499\ \text{€}$ encara supera 9000 €, i $V_6 = 18\,000\cdot0{,}88^{6} \approx 8359\ \text{€}$ ja és menor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Quants múltiples de 7 hi ha entre 100 i 500? Calcula'n la suma.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Hi ha 57 múltiples de 7 i sumen 17 157.

Resolució

Plantejament. Els múltiples de 7 formen una progressió aritmètica de diferència 7. El primer múltiple més gran que 100 és $105 = 7\cdot15$ i l'últim més petit que 500 és $497 = 7\cdot71$ .
Nombre de termes. $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$ : $497 = 105 + (n-1)\cdot7 \Rightarrow (n-1)\cdot7 = 392 \Rightarrow n - 1 = 56 \Rightarrow n = 57$ . (També: de $7\cdot15$ a $7\cdot71$ hi ha $71 - 15 + 1 = 57$ múltiples.)
Suma d'una progressió aritmètica. $S = \dfrac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{57\cdot(105 + 497)}{2} = 57\cdot301 = 17\,157$
Comprovació. El terme del mig ocupa el lloc 29, $a_{29} = 105 + 28\cdot7 = 301$ , i la suma és 57 termes de mitjana 301: $57\cdot301 = 17\,157$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Estudia la monotonia i si està fitada la successió $a_{n}$ = $\tfrac{(2n - 1)}{(n + 2)}$ , i calcula'n el límit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

És estrictament creixent; està fitada,

\tfrac{1}{3} \leq a_n < 2

;

\lim a_n = 2

Resolució

Primers termes. $a_1 = \tfrac{1}{3},\ a_2 = \tfrac{3}{4},\ a_3 = 1,\ a_4 = \tfrac{7}{6}, \ldots$ Semblen créixer.
Monotonia. Estudies la diferència entre termes consecutius: $a_{n+1} - a_n = \dfrac{2n+1}{n+3} - \dfrac{2n-1}{n+2} = \dfrac{(2n^{2} + 5n + 2) - (2n^{2} + 5n - 3)}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{5}{(n+2)(n+3)} > 0$ Per tant, la successió és estrictament creixent.
Fites. Com que $\dfrac{2n-1}{n+2} = 2 - \dfrac{5}{n+2}$ , sempre és menor que 2; i com que és creixent, el seu mínim és $a_1 = \tfrac{1}{3}$ . Està fitada: $\tfrac{1}{3} \leq a_n < 2$ .
Límit. Divideixes per $n$ : $\dfrac{2 - \tfrac{1}{n}}{1 + \tfrac{2}{n}} \rightarrow \dfrac{2}{1} = 2$ . Coincideix amb la fita superior, que no s'arriba a assolir mai.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Troba el terme general de la successió 2, 5, 10, 17, 26, ... i calcula'n el terme 20.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

a_n = n^{2} + 1

;

a_{20} = 401

Resolució

Diferències. Les diferències entre termes consecutius són 3, 5, 7, 9: no són constants, així que no és una progressió aritmètica.
Patró. Si restes 1 a cada terme surten 1, 4, 9, 16, 25: són els quadrats $n^{2}$ .
Terme general. $a_n = n^{2} + 1$ . Comprovació: $a_3 = 9 + 1 = 10$ i $a_5 = 25 + 1 = 26$ .
Terme 20. $a_{20} = 20^{2} + 1 = 401$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Calcula lim(( $n^{2}$ + 1) / (2n² - n)).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\lim \dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}-n} = \dfrac{1}{2}

Resolució

Plantejament. Numerador i denominador tendeixen a infinit (indeterminació $\tfrac{\infty}{\infty}$ ) i tots dos tenen grau 2.
Càlcul. Divideixes per $n^{2}$ : $\dfrac{1 + \tfrac{1}{n^{2}}}{2 - \tfrac{1}{n}} \rightarrow \dfrac{1 + 0}{2 - 0} = \dfrac{1}{2}$
Conclusió. Mana el terme de grau 2: coeficients 1 a dalt i 2 a baix. El límit és $\tfrac{1}{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Calcula lim( $\sqrt{n^{2} + 3n}$ - n).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

\lim \left(\sqrt{n^{2}+3n} - n\right) = \dfrac{3}{2}

Resolució

Tipus d'indeterminació. Tots dos termes tendeixen a infinit: és una indeterminació $\infty - \infty$ . Es resol multiplicant i dividint pel conjugat, $\sqrt{n^{2}+3n} + n$ .
Conjugat. $\sqrt{n^{2}+3n} - n = \dfrac{(n^{2}+3n) - n^{2}}{\sqrt{n^{2}+3n} + n} = \dfrac{3n}{\sqrt{n^{2}+3n} + n}$
Càlcul. Divideixes numerador i denominador per $n$ : $\dfrac{3}{\sqrt{1 + \tfrac{3}{n}} + 1} \rightarrow \dfrac{3}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}$
Conclusió. El límit és $\tfrac{3}{2}$ : les dues expressions creixen a l'infinit, però la seva diferència s'estabilitza en 1,5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un alumne calcula lim $(1 + \tfrac{1}{n})^{n}$ raonant així: «la base 1 + $\tfrac{1}{n}$ tendeix a 1, i 1 elevat a qualsevol nombre val 1, per tant el límit és 1». Explica l'error i calcula lim $(\tfrac{(n + 3)}{(n + 1)})^{n}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

L'error és tractar la indeterminació

1^{\infty}

com si valgués 1 (de fet,

\lim (1 + \tfrac{1}{n})^{n} = e

);

\lim \left(\tfrac{n+3}{n+1}\right)^{n} = e^{2} \approx 7{,}389

Resolució

L'error. La base $1 + \tfrac{1}{n}$ tendeix a 1, però mai no val exactament 1 (és una mica més gran), i l'exponent $n$ tendeix a infinit. És una indeterminació del tipus $1^{\infty}$ : no es pot dir que val 1. En aquest cas el límit és el nombre $e \approx 2{,}718$ (per exemple, per a $n = 100$ : $1{,}01^{100} \approx 2{,}705$ ).
Plantejament. A $\left(\tfrac{n+3}{n+1}\right)^{n}$ la base tendeix a 1 i l'exponent a infinit: torna a ser $1^{\infty}$ . Escrius la base com 1 més una fracció: $\tfrac{n+3}{n+1} = 1 + \tfrac{2}{n+1}$ .
Nombre e. Fas que l'exponent sigui l'invers de la fracció: $\left(1 + \dfrac{2}{n+1}\right)^{n} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{\tfrac{n+1}{2}}\right)^{\frac{n+1}{2}}\right]^{\frac{2n}{n+1}}$
Càlcul. El claudàtor tendeix a $e$ , i l'exponent $\tfrac{2n}{n+1}$ tendeix a 2. Per tant, el límit és $e^{2} \approx 7{,}389$ .
Comprovació. Per a $n = 1000$ , $\left(\tfrac{1003}{1001}\right)^{1000} \approx 7{,}36$ , ja molt a prop de $e^{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Una pilota es deixa caure des de 2 m d'altura. Cada vegada que toca el terra rebota fins al 60 % de l'altura de la qual ha caigut. Quina distància total recorre la pilota fins que s'atura?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

Recorre una distància total de 8 m.

Resolució

Plantejament. Primer cau 2 m. Després de cada bot, la pilota puja i torna a baixar la mateixa altura, i aquesta altura es multiplica per 0,6 cada cop.
Progressió geomètrica. Altures dels bots: $2\cdot0{,}6 = 1{,}2\ \text{m}$ ; $1{,}2\cdot0{,}6 = 0{,}72\ \text{m}$ ; $0{,}72\cdot0{,}6 = 0{,}432\ \text{m}$ ; … Cada bot vol dir pujar i baixar, és a dir, recórrer el doble de cada altura: 2,4 m; 1,44 m; 0,864 m; … És una progressió geomètrica de primer terme 2,4 i raó 0,6.
Suma infinita. Com que $|r| = 0{,}6 < 1$ , la suma dels infinits termes és finita: $S = \dfrac{2{,}4}{1 - 0{,}6} = \dfrac{2{,}4}{0{,}4} = 6\ \text{m}$
Distància total. 2 m de la primera caiguda més 6 m dels bots: $2 + 6 = 8\ \text{m}$ .
Comprovació. Després de tres bots, $2 + 2{,}4 + 1{,}44 + 0{,}864 = 6{,}704\ \text{m}$ , i les sumes parcials tendeixen a 8 m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Calcula lim $\tfrac{(1 + 2 + 3 + ... + n)}{n^{2}}$ . (Pista: recorda la suma dels n primers termes d'una progressió aritmètica.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

\lim \dfrac{1 + 2 + \cdots + n}{n^{2}} = \dfrac{1}{2}

Resolució

Suma d'una progressió aritmètica. El numerador és la suma dels $n$ primers termes de la progressió aritmètica 1, 2, 3, …, $n$ , amb $a_1 = 1$ i $a_n = n$ : $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n\,(1 + n)}{2} = \dfrac{n^{2} + n}{2}$
Substitució. $\dfrac{\tfrac{n^{2}+n}{2}}{n^{2}} = \dfrac{n^{2} + n}{2n^{2}}$
Càlcul. Numerador i denominador tenen grau 2, així que el límit és el quocient dels coeficients principals: $\tfrac{1}{2}$ . (O bé, dividint per $n^{2}$ : $\tfrac{1 + 1/n}{2} \rightarrow \tfrac{1}{2}$ .)
Comprovació. Per a $n = 100$ , la suma val 5050 i $\tfrac{5050}{10\,000} = 0{,}505$ , molt a prop de $\tfrac{1}{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Calcula lim $\tfrac{(3^{n+1} + 2^{n})}{(3^{n} - 2^{n+1})}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

\lim \dfrac{3^{n+1} + 2^{n}}{3^{n} - 2^{n+1}} = 3

Resolució

Plantejament. Totes les potències tendeixen a infinit; domina la que té la base més gran, $3^{n}$ . Divideixes numerador i denominador per $3^{n}$ , tenint en compte que $3^{n+1} = 3\cdot3^{n}$ i $2^{n+1} = 2\cdot2^{n}$ .
Divisió per 3ⁿ. $\dfrac{3^{n+1} + 2^{n}}{3^{n} - 2^{n+1}} = \dfrac{3 + \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}}{1 - 2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}}$
Càlcul. Com que $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} \rightarrow 0$ (base menor que 1), el límit és $\tfrac{3 + 0}{1 - 0} = 3$ .
Comprovació. Per a $n = 10$ : $\tfrac{3^{11} + 2^{10}}{3^{10} - 2^{11}} = \tfrac{177\,147 + 1024}{59\,049 - 2048} = \tfrac{178\,171}{57\,001} \approx 3{,}13$ , i va baixant cap a 3.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Una esportista corre 5 km el primer dia d'entrenament i cada dia següent corre 0,5 km més que el dia anterior. Quants dies necessita perquè la distància total acumulada sigui de 195 km?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

Necessita 20 dies.

Resolució

Dades. Les distàncies diàries formen una progressió aritmètica amb $a_1 = 5$ km i $d = 0{,}5$ km. La suma dels $n$ primers termes és $S_n = \dfrac{n\,(2a_1 + (n-1)\,d)}{2}$ .
Equació. Imposes $S_n = 195$ : $\dfrac{n\,(10 + 0{,}5(n-1))}{2} = 195 \Rightarrow n\,(9{,}5 + 0{,}5n) = 390 \Rightarrow 0{,}5n^{2} + 9{,}5n - 390 = 0 \Rightarrow n^{2} + 19n - 780 = 0$
Resolució. $n = \dfrac{-19 \pm \sqrt{361 + 3120}}{2} = \dfrac{-19 \pm \sqrt{3481}}{2} = \dfrac{-19 \pm 59}{2}$ d'on $n = 20$ o $n = -39$ . El nombre de dies ha de ser positiu: $n = 20$ .
Comprovació. El dia 20 corre $a_{20} = 5 + 19\cdot0{,}5 = 14{,}5\ \text{km}$ , i $S_{20} = \tfrac{20\cdot(5 + 14{,}5)}{2} = 195\ \text{km}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Tres nombres positius estan en progressió geomètrica, sumen 21 i el seu producte és 216. Troba'ls.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

Els nombres són 3, 6 i 12.

Resolució

Plantejament. Escrius els tres termes com $\tfrac{a}{r}$ , $a$ i $a\cdot r$ , amb $a$ el terme del mig i $r$ la raó.
Producte. $\tfrac{a}{r}\cdot a\cdot(a\cdot r) = a^{3} = 216$ , d'on $a = 6$ .
Suma. $\tfrac{6}{r} + 6 + 6r = 21 \Rightarrow \tfrac{6}{r} + 6r = 15$ . Multiplicant per $r$ : $6 + 6r^{2} = 15r \Rightarrow 6r^{2} - 15r + 6 = 0 \Rightarrow 2r^{2} - 5r + 2 = 0$ .
Resolució. $r = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \dfrac{5 \pm 3}{4}$ d'on $r = 2$ o $r = \tfrac{1}{2}$ . Amb $r = 2$ : 3, 6, 12. Amb $r = \tfrac{1}{2}$ : 12, 6, 3. Són els mateixos tres nombres, en ordre creixent o decreixent.
Comprovació. $3 + 6 + 12 = 21$ i $3\cdot6\cdot12 = 216$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es calcula el límit d'un quocient de polinomis en n?

Comparant els graus: si el numerador té més grau, el límit és infinit; si tenen el mateix grau, és el quocient dels coeficients principals; si en té menys, és 0.

Què vol dir que una successió és convergent?

Que els seus termes s'acosten tant com vulguis a un nombre concret, el límit, a mesura que n creix.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat