Exercicis de funcions — Matemàtiques 1r Batxillerat

Aquest tema fa un repàs complet de les funcions que faràs servir a tot el batxillerat. Els exercicis et fan calcular dominis aplicant la regla pràctica (denominadors, arrels i logaritmes), estudiar el creixement i les simetries i reconèixer les funcions elementals. Després treballes funcions polinòmiques de grau superior, racionals i amb radicals, funcions a trossos i amb valor absolut, i funcions exponencials i logarítmiques, com per quin punt passa sempre y = a elevat a x. Hi ha models reals, com la quota d'un impost per trams. Les solucions justifiquen cada propietat. Errors típics: oblidar alguna condició del domini i confondre funció parella amb senar.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Troba el domini de f(x) = 3x² - 5x + 2 i explica per què no cal fer cap càlcul.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R}

Resolució

Dades. Volem el domini de $f(x) = 3x^{2} - 5x + 2$ , és a dir, els valors de $x$ per als quals es pot calcular.
Què pot restringir el domini. Només hi ha problemes si hi ha un denominador amb $x$ (no es pot dividir per zero), una arrel d'índex parell (radicand negatiu) o un logaritme (argument no positiu).
Funció polinòmica. $f$ és un polinomi: només fa sumes, restes i productes de $x$ , que sempre es poden calcular. No té cap denominador amb $x$ , cap arrel ni cap logaritme.
Conclusió. No hi ha res que prohibeixi cap valor, per això no cal fer cap càlcul: $\text{Dom}\, f = \mathbb{R}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Troba el domini de y = 1/(x + 3) i digues on té l'asímptota vertical.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R} - \{-3\}

; asímptota vertical

x = -3

(i horitzontal

y = 0

Resolució

Dades. Tenim $y = \dfrac{1}{x + 3}$ . L'única restricció és que el denominador no pot valer zero.
Domini. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$ . Per tant, $\text{Dom} = \mathbb{R} - \{-3\}$ .
Asímptota vertical. A $x = -3$ el denominador s'anul·la però el numerador (1) no: la funció es dispara cap a $\pm\infty$ . L'asímptota vertical és la recta $x = -3$ .
Conclusió. A més, quan $|x|$ es fa molt gran, $\tfrac{1}{x+3}$ s'acosta a 0: l'asímptota horitzontal és $y = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Per quin punt passa sempre la funció y = $a^{x}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Pel punt

(0,\ 1)

, perquè

a^{0} = 1

Resolució

Dades. Considerem $y = a^{x}$ , amb $a > 0$ i $a \neq 1$ , i busquem un punt comú a totes aquestes gràfiques, sigui quin sigui $a$ .
Propietat de les potències. Qualsevol base no nul·la elevada a 0 val 1: $a^{0} = 1$ .
Conclusió. Per a $x = 0$ sempre surt $y = 1$ : totes les exponencials passen pel punt $(0,\ 1)$ , el tall amb l'eix OY.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Troba el domini de cada funció: a) f(x) = 5/(x² - 9); b) g(x) = √(2x - 6); c) h(x) = log(x + 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-3,\ 3\}

Resolució

Condició. El domini és el conjunt de valors de $x$ per als quals es pot calcular la funció. Com que no es pot dividir per zero, cal $x^{2} - 9 \neq 0$ .
Càlcul. $x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ . Per tant, $x \neq 3$ i $x \neq -3$ .
Conclusió. $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-3,\ 3\}$ .

Apartat b)

Resultat

\text{Dom}\, g = [3,\ +\infty)

Resolució

Condició. L'arrel quadrada només existeix si el radicand no és negatiu: $2x - 6 \geq 0$ .
Càlcul. $2x \geq 6 \Rightarrow x \geq 3$ .
Comprovació. $g(3) = \sqrt{0} = 0$ existeix, però $g(2) = \sqrt{-2}$ no. Per tant, $\text{Dom}\, g = [3,\ +\infty)$ .

Apartat c)

Resultat

\text{Dom}\, h = (-1,\ +\infty)

Resolució

Condició. El logaritme només existeix si l'argument és positiu: $x + 1 > 0$ .
Càlcul. $x > -1$ .
Comprovació. $h(0) = \log 1 = 0$ existeix, però $h(-1) = \log 0$ no. Per tant, $\text{Dom}\, h = (-1,\ +\infty)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Donades les funcions f(x) = 2x - 1 i g(x) = $x^{2}$ + 3, calcula (f + g)(3), (f·g)(2), (f∘g)(2) i (g∘f)(2). Coincideixen f∘g i g∘f?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

(f+g)(3) = 17

;

(f\cdot g)(2) = 21

;

(f\circ g)(2) = 13

;

(g\circ f)(2) = 12

. No coincideixen.

Resolució

Valors previs. Amb $f(x) = 2x - 1$ i $g(x) = x^{2} + 3$ : $f(2) = 3$ , $g(2) = 7$ , $f(3) = 5$ i $g(3) = 12$ .
Suma i producte. $(f + g)(3) = f(3) + g(3) = 5 + 12 = 17$ ; $(f\cdot g)(2) = f(2)\cdot g(2) = 3\cdot 7 = 21$ .
Composicions. $(f\circ g)(2) = f(g(2)) = f(7) = 2\cdot 7 - 1 = 13$ (primer s'aplica $g$ i després $f$ ); $(g\circ f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 3^{2} + 3 = 12$ (primer $f$ i després $g$ ).
En general. $(f\circ g)(x) = 2(x^{2} + 3) - 1 = 2x^{2} + 5,\qquad (g\circ f)(x) = (2x - 1)^{2} + 3 = 4x^{2} - 4x + 4$ Comprovació amb $x = 2$ : $2\cdot 4 + 5 = 13$ i $4\cdot 4 - 8 + 4 = 12$ .
Conclusió. $f\circ g$ i $g\circ f$ no coincideixen: la composició de funcions no és commutativa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Digues si cada funció és parella, senar o cap de les dues coses, comparant el seu valor en -x amb el valor en x: f(x) = $x^{4}$ - 3x² + 5, g(x) = $x^{3}$ - 2x i h(x) = $x^{2}$ + x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

f

és parella;

g

és senar;

h

no és ni parella ni senar.

Resolució

Criteri. Una funció és parella si $f(-x) = f(x)$ (simètrica respecte de l'eix OY) i senar si $f(-x) = -f(x)$ (simètrica respecte de l'origen).
Funció f. $f(-x) = (-x)^{4} - 3(-x)^{2} + 5 = x^{4} - 3x^{2} + 5 = f(x)$ : és parella.
Funció g. $g(-x) = (-x)^{3} - 2(-x) = -x^{3} + 2x = -(x^{3} - 2x) = -g(x)$ : és senar.
Funció h. $h(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x$ , que no és ni $h(x)$ ni $-h(x)$ . Contraexemple: $h(1) = 2$ , però $h(-1) = 0$ (ni 2 ni −2). No és ni parella ni senar.
Regla ràpida. En un polinomi, si només hi ha potències parelles ( $x^{4}$ , $x^{2}$ i el terme independent) és parell; si només n'hi ha de senars, és senar; si n'hi ha de les dues classes, no és cap de les dues.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un servei de taxi cobra 3 € de baixada de bandera més 1,50 € per cada quilòmetre recorregut. Escriu la funció que dona el cost C(x) segons els quilòmetres x, calcula el cost d'un trajecte de 10 km i digues quants quilòmetres es poden fer amb 36 €.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

C(x) = 3 + 1{,}5x

;

C(10) = 18\ \text{€}

; amb 36 € es poden fer

22\ \text{km}

Resolució

Dades. El cost té una part fixa (3 €) i una part proporcional als quilòmetres (1,50 € per km).
Funció afí. $C(x) = 3 + 1{,}5x$ : la gràfica és una recta de pendent 1,5 i ordenada a l'origen 3.
Trajecte de 10 km. $C(10) = 3 + 1{,}5\cdot 10 = 18\ \text{€}$ .
Amb 36 €. $3 + 1{,}5x = 36 \Rightarrow 1{,}5x = 33 \Rightarrow x = 22\ \text{km}$ .
Comprovació. $C(22) = 3 + 1{,}5\cdot 22 = 3 + 33 = 36\ \text{€}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Partint de la paràbola y = $x^{2}$ , escriu l'equació de la funció que s'obté en desplaçar-la 3 unitats cap a la dreta i 2 unitats cap avall. Digues-ne el vèrtex i el recorregut.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

y = (x - 3)^{2} - 2

; vèrtex

(3,\ -2)

; recorregut

[-2,\ +\infty)

Resolució

Translacions. Desplaçar una gràfica $c$ unitats cap a la dreta és substituir $x$ per $x - c$ , i desplaçar-la $d$ unitats cap avall és restar $d$ al resultat.
Equació. Amb $c = 3$ i $d = 2$ : $g(x) = (x - 3)^{2} - 2$ .
Vèrtex. El vèrtex de $y = x^{2}$ era $(0,\ 0)$ ; després del desplaçament és $(0 + 3,\ 0 - 2) = (3,\ -2)$ .
Recorregut. La paràbola s'obre cap amunt, així que el seu valor mínim és −2: el recorregut és $[-2,\ +\infty)$ .
Comprovació. $g(3) = 0^{2} - 2 = -2$ , el vèrtex; i el punt $(2,\ 4)$ de $y = x^{2}$ passa a ser $(5,\ 2)$ , que compleix $g(5) = 2^{2} - 2 = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

La funció f és periòdica de període 4 i coneixem f(0) = 2, f(1) = 5, f(2) = -1 i f(3) = 0. Calcula f(13), f(-1), f(22) i f(100).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

f(13) = 5

;

f(-1) = 0

;

f(22) = -1

;

f(100) = 2

Resolució

Periodicitat. Període 4 vol dir que $f(x + 4) = f(x)$ : el valor es repeteix cada 4 unitats. Pots sumar o restar múltiples de 4 fins que el nombre caigui entre 0 i 3.
f(13) i f(−1). $13 = 3\cdot 4 + 1$ , així que $f(13) = f(1) = 5$ . $-1 + 4 = 3$ , així que $f(-1) = f(3) = 0$ .
f(22) i f(100). $22 = 5\cdot 4 + 2$ , així que $f(22) = f(2) = -1$ . $100 = 25\cdot 4 + 0$ , així que $f(100) = f(0) = 2$ .
Comprovació. Les diferències 13 − 1 = 12, 3 − (−1) = 4, 22 − 2 = 20 i 100 − 0 = 100 són totes múltiples de 4.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Per a la funció f(x) = log₂ x, calcula f(8) i f( $\tfrac{1}{4}$ ), digues quin és el domini, per quin punt talla l'eix OX i si és creixent o decreixent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

f(8) = 3

;

f\left(\tfrac{1}{4}\right) = -2

;

\text{Dom}\, f = (0,\ +\infty)

; talla OX a

(1,\ 0)

; és creixent.

Resolució

Definició. $\log_{2} x$ és l'exponent al qual cal elevar 2 per obtenir $x$ .
Valors. $f(8) = \log_{2} 8 = 3$ , perquè $2^{3} = 8$ . $f\left(\tfrac{1}{4}\right) = \log_{2}\tfrac{1}{4} = -2$ , perquè $2^{-2} = \tfrac{1}{4}$ .
Domini. Només es poden fer logaritmes de nombres positius: $\text{Dom}\, f = (0,\ +\infty)$ . La recta $x = 0$ és una asímptota vertical. Fixa't que $f(-4)$ o $f(0)$ no existeixen.
Tall amb OX. $f(x) = 0 \Rightarrow x = 2^{0} = 1$ : el punt $(1,\ 0)$ .
Monotonia. Com que la base 2 és més gran que 1, la funció és creixent: quan $x$ augmenta, $\log_{2} x$ també ( $f(2) = 1$ , $f(4) = 2$ , $f(8) = 3$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Una màquina transforma cada preu d'entrada x aplicant la funció f(x) = 2x + 6. Troba la funció inversa f⁻¹, que desfà la transformació, i comprova-la amb un valor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

f^{-1}(x) = \dfrac{x - 6}{2}

Resolució

Idea. La inversa és la funció que, donat el resultat, recupera l'entrada original.
Aïllar x. Escrius $y = 2x + 6$ i aïlles $x$ : $y - 6 = 2x \Rightarrow x = \dfrac{y - 6}{2}$ .
Intercanviar variables. La $x$ passa a ser l'entrada de la inversa: $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 6}{2}$
Comprovació. Amb $x = 1$ : $f(1) = 2\cdot 1 + 6 = 8$ , i $f^{-1}(8) = \tfrac{8 - 6}{2} = 1$ . Recuperes l'entrada, així que la inversa és correcta.
Parany. Cal aïllar $x$ i després intercanviar les variables. La inversa desfà pas a pas el que fa $f$ , en ordre invers: primer resta el 6 i després divideix per 2.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En quins trams creix i en quins decreix la funció f(x) = $x^{2}$ - 4x? On té el mínim?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Decreix a

(-\infty,\ 2)

, creix a

(2,\ +\infty)

; mínim al punt

(2,\ -4)

Resolució

Dades. $f(x) = x^{2} - 4x$ és una paràbola amb $a = 1 > 0$ : s'obre cap amunt.
Vèrtex. $x_{v} = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2$ , i $f(2) = 4 - 8 = -4$ .
Monotonia. A l'esquerra del vèrtex la paràbola baixa i a la dreta puja: decreix a $(-\infty,\ 2)$ i creix a $(2,\ +\infty)$ .
Conclusió. El mínim és al vèrtex, el punt $(2,\ -4)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Considera la funció a trossos f(x) = x + 1 si x < 0; f(x) = $x^{2}$ si 0 ≤ x ≤ 2; f(x) = 4 si x > 2. a) Calcula f(-3), f(0), f(1) i f(5). b) Troba el domini i el recorregut. c) Descriu com és la gràfica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Apartat a)

Resultat

f(-3) = -2

;

f(0) = 0

;

f(1) = 1

;

f(5) = 4

Resolució

Tram de cada valor. Primer mira quin tram li toca a cada $x$ .
Càlcul. $-3 < 0$ : primer tram, $f(-3) = -3 + 1 = -2$ . $0 \leq 0 \leq 2$ : segon tram, $f(0) = 0^{2} = 0$ . $0 \leq 1 \leq 2$ : segon tram, $f(1) = 1^{2} = 1$ . $5 > 2$ : tercer tram, $f(5) = 4$ .

Apartat b)

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R}

; recorregut

(-\infty,\ 4]

Resolució

Domini. Els tres trams ( $x < 0$ , $0 \leq x \leq 2$ i $x > 2$ ) enganxen i cobreixen tots els reals sense deixar cap buit: $\text{Dom}\, f = \mathbb{R}$ .
Recorregut de cada tram. Per a $x < 0$ , la recta $x + 1$ pren els valors $(-\infty,\ 1)$ ; per a $0 \leq x \leq 2$ , la paràbola $x^{2}$ va de 0 a 4, és a dir $[0,\ 4]$ ; per a $x > 2$ val sempre 4.
Unió. $(-\infty,\ 1) \cup [0,\ 4] \cup \{4\} = (-\infty,\ 4]$ .
Parany. El domini es mira comprovant que els trams no deixin forats; el recorregut s'obté ajuntant els valors de $y$ de tots els trams, no d'un sol.

Apartat c)

Resultat

Recta fins a

(0,\ 1)

(obert), salt a

x = 0

, arc de paràbola de

(0,\ 0)

(2,\ 4)

i recta horitzontal

y = 4

; contínua a

x = 2

Resolució

Tram x < 0. Una recta de pendent 1 que ve de baix i s'acosta a l'alçada 1 quan $x$ s'apropa a 0, amb un punt obert a $(0,\ 1)$ .
Salt a x = 0. Com que $f(0) = 0$ i no 1, a $x = 0$ hi ha un salt: la funció no és contínua en aquest punt.
Tram 0 ≤ x ≤ 2. Un tros de paràbola que arrenca a $(0,\ 0)$ i puja fins a $(2,\ 4)$ .
Tram x > 2. Una recta horitzontal a l'alçada 4. A $x = 2$ enganxa sense salt, perquè la paràbola també hi val 4.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Per què la funció y = 1/x no arriba mai a valer 0?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Perquè una fracció només val 0 si el numerador és 0, i el numerador de

\tfrac{1}{x}

és sempre 1.

Resolució

Plantejament. Ens preguntem si l'equació $\tfrac{1}{x} = 0$ té solució.
Propietat de les fraccions. Una fracció val zero només si el numerador val zero. Aquí el numerador és 1 i no canvia mai: $\tfrac{1}{x} = 0$ exigiria $1 = 0\cdot x = 0$ , que és impossible.
Comportament. Per molt gran que sigui $|x|$ , el quocient s'acosta a 0 però no hi arriba: per això $y = 0$ és una asímptota horitzontal.
Conclusió. El valor 0 no s'assoleix mai: el recorregut de $y = \tfrac{1}{x}$ és $\mathbb{R} - \{0\}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Troba el domini de les funcions f(x) = $\tfrac{\sqrt{x - 2}}{(x - 5)}$ i g(x) = ln(4 - $x^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

\text{Dom}\, f = [2,\ 5) \cup (5,\ +\infty)

;

\text{Dom}\, g = (-2,\ 2)

Resolució

Condicions de f. L'arrel exigeix $x - 2 \geq 0$ , és a dir, $x \geq 2$ ; i el denominador no pot ser zero: $x - 5 \neq 0$ , és a dir, $x \neq 5$ .
Domini de f. S'han de complir les dues alhora: $\text{Dom}\, f = [2,\ 5) \cup (5,\ +\infty)$ .
Condició de g. L'argument del logaritme ha de ser positiu: $4 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 4 \Rightarrow -2 < x < 2$ . $\text{Dom}\, g = (-2,\ 2)$ .
Comprovació. $f(2) = \tfrac{0}{-3} = 0$ existeix i $f(5)$ no; $g(0) = \ln 4$ existeix, però $g(2) = \ln 0$ i $g(3) = \ln(-5)$ no.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Donada f(x) = $\sqrt{x - 1}$ + 2, troba'n el domini i el recorregut, calcula la funció inversa $f^{-1}$ i indica'n el domini.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\text{Dom}\, f = [1,\ +\infty)

; recorregut

[2,\ +\infty)

;

f^{-1}(x) = (x - 2)^{2} + 1

amb

\text{Dom}\, f^{-1} = [2,\ +\infty)

Resolució

Domini i recorregut de f. $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$ : $\text{Dom}\, f = [1,\ +\infty)$ . Com que $\sqrt{x - 1} \geq 0$ , $f(x) \geq 2$ : el recorregut és $[2,\ +\infty)$ .
Inversa. Escrius $y = \sqrt{x - 1} + 2$ i intercanvies $x$ i $y$ : $x = \sqrt{y - 1} + 2 \Rightarrow x - 2 = \sqrt{y - 1} \Rightarrow (x - 2)^{2} = y - 1 \Rightarrow y = (x - 2)^{2} + 1$
Domini de la inversa. $f^{-1}(x) = (x - 2)^{2} + 1$ té com a domini el recorregut de $f$ , $[2,\ +\infty)$ , i no tots els reals: si no, seria una paràbola sencera i no la inversa de $f$ . El seu recorregut és $[1,\ +\infty)$ .
Comprovació. $f(5) = \sqrt{4} + 2 = 4$ i $f^{-1}(4) = (4 - 2)^{2} + 1 = 5$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Troba els punts de tall amb els eixos de la funció f(x) = $x^{2}$ - 2x i els punts en què es tallen les gràfiques de f(x) = $x^{2}$ - 2x i g(x) = x + 4.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Talls de

f

amb els eixos:

(0,\ 0)

(2,\ 0)

; les gràfiques es tallen a

(-1,\ 3)

(4,\ 8)

Resolució

Tall amb OY. $x = 0 \Rightarrow f(0) = 0$ : el punt $(0,\ 0)$ .
Talls amb OX. $x^{2} - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$ : els punts $(0,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ .
Igualar f i g. $x^{2} - 2x = x + 4 \Rightarrow x^{2} - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}$ d'on $x = 4$ o $x = -1$ .
Ordenades. $g(4) = 8$ i $g(-1) = 3$ : els punts de tall són $(4,\ 8)$ i $(-1,\ 3)$ .
Comprovació. Amb $f$ : $f(4) = 16 - 8 = 8$ i $f(-1) = 1 + 2 = 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Una pilota es llança cap amunt des d'un balcó. L'altura (en metres) al cap de t segons és h(t) = -5t² + 10t + 15. Calcula l'altura des de la qual es llança, l'altura màxima i en quin instant l'assoleix, i quan arriba a terra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Es llança des de

15\ \text{m}

; altura màxima

20\ \text{m}

t = 1\ \text{s}

; arriba a terra a

t = 3\ \text{s}

Resolució

Altura inicial. $h(0) = 15\ \text{m}$ .
Vèrtex de la paràbola. Com que $a = -5 < 0$ , la paràbola s'obre cap avall i el màxim és al vèrtex: $t_{v} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{10}{2\cdot(-5)} = 1\ \text{s},\qquad h(1) = -5 + 10 + 15 = 20\ \text{m}$
Arribada a terra. $h(t) = 0 \Rightarrow -5t^{2} + 10t + 15 = 0 \Rightarrow t^{2} - 2t - 3 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \dfrac{2 \pm 4}{2}$ , d'on $t = 3$ o $t = -1$ .
Conclusió. El temps negatiu no té sentit en aquest context: arriba a terra als 3 s. Comprovació: $h(3) = -45 + 30 + 15 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Escriu com a funció a trossos f(x) = |x - 3| + 1, calcula f(-2), f(3) i f(7), i digues quin és el recorregut de la funció i en quin punt assoleix el mínim.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

f(x) = 4 - x

x < 3

f(x) = x - 2

x \geq 3

;

f(-2) = 6

f(3) = 1

f(7) = 5

; recorregut

[1,\ +\infty)

, mínim a

(3,\ 1)

Resolució

Definició de valor absolut. $|x - 3| = x - 3$ si $x \geq 3$ , i $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ si $x < 3$ .
Funció a trossos. Sumant 1: $f(x) = 4 - x$ si $x < 3$ ; $f(x) = x - 2$ si $x \geq 3$ .
Valors. $f(-2) = 4 - (-2) = 6$ (perquè $-2 < 3$ ); $f(3) = 3 - 2 = 1$ ; $f(7) = 7 - 2 = 5$ . Comprovació amb la fórmula original: $|-2 - 3| + 1 = 6$ i $|7 - 3| + 1 = 5$ .
Recorregut i mínim. $|x - 3|$ val com a mínim 0 (quan $x = 3$ ), així que $f(x) \geq 1$ , i la funció pren tots els valors a partir d'1: el recorregut és $[1,\ +\infty)$ i el mínim és el punt $(3,\ 1)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un isòtop radioactiu té un període de semidesintegració de 5 dies, és a dir, cada 5 dies la seva massa es redueix a la meitat. Si al principi n'hi ha 80 g, la massa que en queda al cap de t dies és m(t) = 80·( $\tfrac{1}{2}$ )^{$\tfrac{t}{5}$}. Calcula la massa que en queda al cap de 15 dies, en quin moment en queden 5 g i raona si la massa arriba a ser zero.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

m(15) = 10\ \text{g}

; en queden 5 g al cap de

t = 20

dies; la massa no arriba mai a zero.

Resolució

Al cap de 15 dies. $m(15) = 80\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{15/5} = 80\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{80}{8} = 10\ \text{g}$ .
Quan en queden 5 g. $80\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5} = 5 \Rightarrow \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5} = \dfrac{5}{80} = \dfrac{1}{16} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}$ Igualant exponents (mateixa base): $\tfrac{t}{5} = 4$ , d'on $t = 20$ dies.
Arriba a zero?. No: una potència de base positiva, com $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5}$ , és sempre positiva. La massa decreix cada cop més a poc a poc i s'acosta a 0 sense arribar-hi (l'eix OX, $y = 0$ , és una asímptota horitzontal).
Comprovació. $m(5) = 40$ , $m(10) = 20$ , $m(15) = 10$ i $m(20) = 5$ : cada 5 dies la massa es redueix a la meitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Considera la funció f(x) = (2x + 1)/(x - 3). Troba'n el domini, els punts de tall amb els eixos i les asímptotes vertical i horitzontal. (Pista: fent la divisió, f(x) = 2 + 7/(x - 3).)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{3\}

; talls

\left(-\tfrac{1}{2},\ 0\right)

\left(0,\ -\tfrac{1}{3}\right)

; asímptota vertical

x = 3

; horitzontal

y = 2

Resolució

Domini. El denominador no pot ser zero: $x - 3 \neq 0$ , així que $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{3\}$ .
Talls amb els eixos. OY: $f(0) = \tfrac{1}{-3} = -\tfrac{1}{3}$ , el punt $\left(0,\ -\tfrac{1}{3}\right)$ . OX: $f(x) = 0 \Rightarrow 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2}$ , el punt $\left(-\tfrac{1}{2},\ 0\right)$ .
Asímptota vertical. $x = 3$ , on s'anul·la el denominador però no el numerador ( $2\cdot 3 + 1 = 7 \neq 0$ ).
Asímptota horitzontal. Amb la pista, $f(x) = 2 + \tfrac{7}{x - 3}$ : quan $|x|$ és molt gran, $\tfrac{7}{x - 3}$ s'acosta a 0 i $f(x)$ s'acosta a 2. L'asímptota horitzontal és $y = 2$ .
Comprovació de la pista. $2 + \dfrac{7}{x - 3} = \dfrac{2(x - 3) + 7}{x - 3} = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Donades les funcions f(x) = $\sqrt{x}$ i g(x) = x - 4, calcula la composició (f∘g)(x) = f(g(x)) i el seu domini. Calcula també (g∘f)(x) i digues si les dues composicions coincideixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

(f\circ g)(x) = \sqrt{x - 4}

, domini

[4,\ +\infty)

;

(g\circ f)(x) = \sqrt{x} - 4

, domini

[0,\ +\infty)

. No coincideixen.

Resolució

Composició f∘g. Vol dir aplicar primer $g$ i després $f$ al resultat: $(f\circ g)(x) = f(g(x)) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}$ .
Domini de f∘g. El radicand no pot ser negatiu: $x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 4$ . Domini $[4,\ +\infty)$ .
Composició g∘f. Ara s'aplica primer $f$ i després $g$ : $(g\circ f)(x) = g(\sqrt{x}) = \sqrt{x} - 4$ . Cal que existeixi $\sqrt{x}$ : domini $[0,\ +\infty)$ .
Comparació. $\sqrt{x - 4}$ i $\sqrt{x} - 4$ són funcions diferents i tenen dominis diferents (per exemple, amb $x = 9$ donen $\sqrt{5}$ i $-1$ ). Per tant, $f\circ g \neq g\circ f$ .
Parany. La composició no és commutativa (l'ordre importa), i el domini de la composició el marca la funció que fa d'interior; aquí és l'arrel la que restringeix els valors de $x$ permesos.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

La quota d'un impost depèn de la base imposable x (en milers d'euros) segons aquests trams: T(x) = 0,1·x si 0 ≤ x ≤ 12; T(x) = 1,2 + 0,15·(x - 12) si 12 < x ≤ 20; T(x) = 2,4 + 0,3·(x - 20) si x > 20. Calcula l'impost per a bases de 12, 18 i 30 milers d'euros i comprova que la funció és contínua als punts de canvi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

T(12) = 1{,}2

(1.200 €);

T(18) = 2{,}1

(2.100 €);

T(30) = 5{,}4

(5.400 €). És contínua a

x = 12

i a

x = 20

Resolució

Base 12. Entra al primer tram ( $0 \leq x \leq 12$ , el 12 hi és pel $\leq$ ): $T(12) = 0{,}1\cdot 12 = 1{,}2$ , és a dir 1.200 €.
Base 18. Compleix $12 < x \leq 20$ , segon tram: $T(18) = 1{,}2 + 0{,}15\cdot(18 - 12) = 1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1$ , és a dir 2.100 €.
Base 30. Compleix $x > 20$ , tercer tram: $T(30) = 2{,}4 + 0{,}3\cdot(30 - 20) = 2{,}4 + 3 = 5{,}4$ , és a dir 5.400 €.
Continuïtat a x = 12. Pel primer tram, $T(12) = 1{,}2$ ; el segon tram, quan $x$ s'acosta a 12, dona $1{,}2 + 0{,}15\cdot 0 = 1{,}2$ . Coincideixen: no hi ha salt.
Continuïtat a x = 20. Pel segon tram, $1{,}2 + 0{,}15\cdot 8 = 2{,}4$ ; el tercer, quan $x$ s'acosta a 20, dona $2{,}4 + 0{,}3\cdot 0 = 2{,}4$ . Coincideixen: no hi ha salt.
Conclusió. La funció és contínua. Està pensada perquè els trams enganxin, com passa amb els impostos reals: cada tram comença amb la quota acumulada del tram anterior.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una missatgeria cobra 5 € pels paquets de fins a 2 kg; de 2 a 10 kg, 5 € més 1,50 € per cada kg que passi de 2; i per sobre de 10 kg, 20 € fixos. Escriu la funció a trossos i estudia'n la continuïtat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

P(x) = 5

0 < x \leq 2

;

P(x) = 5 + 1{,}5(x - 2)

2 < x \leq 10

;

P(x) = 20

x > 10

. Contínua a

x = 2

; discontinuïtat de salt (3 €) a

x = 10

Resolució

Funció a trossos. $P(x) = \begin{cases} 5 & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ 5 + 1{,}5\,(x - 2) & \text{si } 2 < x \leq 10 \\ 20 & \text{si } x > 10 \end{cases}$
Continuïtat a x = 2. El primer tros val 5 i el segon, quan $x$ s'acosta a 2, dona $5 + 1{,}5\cdot 0 = 5$ . Coincideixen: és contínua.
Continuïtat a x = 10. El segon tros dona $5 + 1{,}5\cdot 8 = 17\ \text{€}$ , i el tercer, 20 €. No coincideixen.
Conclusió. A $x = 10$ hi ha un salt de $20 - 17 = 3\ \text{€}$ : és una discontinuïtat de salt. A la resta de punts la funció és contínua, perquè cada tros és una funció afí o constant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un rectangle té un perímetre de 20 m.
a) Expressa'n l'àrea A en funció de la longitud x d'un dels costats i indica el domini de la funció.
b) Troba les dimensions del rectangle d'àrea màxima i quant val aquesta àrea.
c) Per a quins valors de x l'àrea és de 21 $\text{m}^{2}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

A(x) = x(10 - x) = -x^{2} + 10x

, amb

\text{Dom}\, A = (0,\ 10)

Resolució

Dades. Si un costat fa $x$ , l'altre fa $\tfrac{20 - 2x}{2} = 10 - x$ : la suma de dos costats consecutius és la meitat del perímetre.
Àrea. $A(x) = x(10 - x) = -x^{2} + 10x$ .
Domini. Els costats han de ser positius: $x > 0$ i $10 - x > 0$ , per tant $\text{Dom}\, A = (0,\ 10)$ .

Apartat b)

Resultat

Quadrat de

5\ \text{m}

de costat;

A_{\max} = 25\ \text{m}^{2}

Resolució

Vèrtex de la paràbola. $A(x)$ és una paràbola que s'obre cap avall: el màxim és al vèrtex, $x = -\dfrac{10}{2\cdot(-1)} = 5$ .
Dimensions. L'altre costat és $10 - 5 = 5$ : el rectangle d'àrea màxima és un quadrat de 5 m de costat.
Àrea màxima. $A(5) = 5\cdot 5 = 25\ \text{m}^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

x = 3\ \text{m}

x = 7\ \text{m}

(el mateix rectangle de 3 m × 7 m).

Resolució

Equació. $-x^{2} + 10x = 21 \Rightarrow x^{2} - 10x + 21 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2} = \dfrac{10 \pm 4}{2}$
Solucions. $x = 7$ o $x = 3$ . Totes dues pertanyen al domini i corresponen al mateix rectangle de 3 m × 7 m, girat.
Comprovació. $A(3) = 3\cdot 7 = 21$ i $A(7) = 7\cdot 3 = 21$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Donada la funció f(x) = $\tfrac{(x + 1)}{(x - 2)}$ :
a) Troba'n el domini i el recorregut.
b) Calcula la funció inversa $f^{-1}$ .
c) Comprova que f( $f^{-1}$ (x)) = x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{2\}

; recorregut

\mathbb{R} - \{1\}

Resolució

Domini. $x - 2 \neq 0$ , així que $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{2\}$ .
Reescriptura. $f(x) = \dfrac{x - 2 + 3}{x - 2} = 1 + \dfrac{3}{x - 2}$ .
Recorregut. Com que $\tfrac{3}{x - 2}$ no val mai 0, $f(x)$ no val mai 1 (i pren tots els altres valors). El recorregut és $\mathbb{R} - \{1\}$ .

Apartat b)

Resultat

f^{-1}(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}

, amb domini

\mathbb{R} - \{1\}

i recorregut

\mathbb{R} - \{2\}

Resolució

Intercanvi de variables. Escrius $y = \tfrac{x + 1}{x - 2}$ i intercanvies $x$ i $y$ : $x = \tfrac{y + 1}{y - 2}$ .
Aïllar y. $x(y - 2) = y + 1 \Rightarrow xy - 2x = y + 1 \Rightarrow xy - y = 2x + 1 \Rightarrow y(x - 1) = 2x + 1 \Rightarrow y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$
Conclusió. $f^{-1}(x) = \tfrac{2x + 1}{x - 1}$ , amb domini $\mathbb{R} - \{1\}$ (el recorregut de $f$ ) i recorregut $\mathbb{R} - \{2\}$ (el domini de $f$ ).

Apartat c)

Resultat

f(f^{-1}(x)) = x

, com havia de sortir.

Resolució

Substitució. $f(f^{-1}(x)) = \dfrac{\tfrac{2x + 1}{x - 1} + 1}{\tfrac{2x + 1}{x - 1} - 2} = \dfrac{\tfrac{2x + 1 + x - 1}{x - 1}}{\tfrac{2x + 1 - 2x + 2}{x - 1}} = \dfrac{3x}{3} = x$
Comprovació amb un valor. $f(3) = \tfrac{4}{1} = 4$ i $f^{-1}(4) = \tfrac{9}{3} = 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Siguin f(x) = $\tfrac{x}{(x - 1)}$ i g(x) = $\sqrt{x}$ . Calcula (f·g)(x) i (f/g)(x), i troba el domini de cada una.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

(f\cdot g)(x) = \dfrac{x\sqrt{x}}{x - 1}

, domini

[0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)

;

(f/g)(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}

, domini

(0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)

Resolució

Dominis de partida. $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{1\}$ i $\text{Dom}\, g = [0,\ +\infty)$ .
Producte. $(f\cdot g)(x) = \dfrac{x\sqrt{x}}{x - 1}$ . Cal que existeixin $f$ i $g$ alhora: $x \geq 0$ i $x \neq 1$ . $\text{Dom}(f\cdot g) = [0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)$ .
Quocient. $(f/g)(x) = \dfrac{x/(x - 1)}{\sqrt{x}} = \dfrac{x}{(x - 1)\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 1}\quad (x > 0)$ A les condicions anteriors cal afegir que el divisor no sigui zero: $g(x) = \sqrt{x} \neq 0$ , és a dir, $x \neq 0$ . $\text{Dom}(f/g) = (0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)$ .
Compte. L'expressió simplificada $\tfrac{\sqrt{x}}{x - 1}$ semblaria permetre $x = 0$ , però la funció quocient no hi està definida perquè $g(0) = 0$ : el domini es determina abans de simplificar.
Comprovació. $(f\cdot g)(4) = \tfrac{4\cdot 2}{3} = \tfrac{8}{3}$ i $(f/g)(4) = \tfrac{4/3}{2} = \tfrac{2}{3}$ , que coincideix amb $\tfrac{\sqrt{4}}{4 - 1} = \tfrac{2}{3}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Sabem que g(x) = x + 2 i que (f∘g)(x) = $x^{2}$ + 4x + 7. Troba l'expressió de f(x) i calcula (g∘f)(1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

f(x) = x^{2} + 3

;

(g\circ f)(1) = 6

Resolució

Plantejament. La condició diu que $f(g(x)) = f(x + 2) = x^{2} + 4x + 7$ . Has d'escriure el membre dret en funció de $x + 2$ .
Completar el quadrat. Com que $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4$ , tens $x^{2} + 4x + 7 = (x + 2)^{2} + 3$ .
Expressió de f. $f(x + 2) = (x + 2)^{2} + 3$ : $f$ eleva al quadrat el que rep i hi suma 3. Per tant, $f(x) = x^{2} + 3$ .
Càlcul. $(g\circ f)(1) = g(f(1)) = g(1^{2} + 3) = g(4) = 4 + 2 = 6$ .
Comprovació. $(f\circ g)(1) = f(3) = 9 + 3 = 12$ , i la fórmula de l'enunciat dona $1 + 4 + 7 = 12$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

a) Determina els valors de a i b perquè la funció f(x) = ax² + (b - 3)x + 1 sigui parella i passi pel punt (2, 9).
b) Determina el valor de m perquè la funció g(x) = $x^{3}$ + (m - 2) $x^{2}$ - 5x sigui senar.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

a = 2,\ b = 3

f(x) = 2x^{2} + 1

Resolució

Condició de parella. Una funció parella compleix $f(-x) = f(x)$ . Aquí $f(-x) = ax^{2} - (b - 3)x + 1$ .
Igualació. Perquè sigui igual a $f(x) = ax^{2} + (b - 3)x + 1$ , el terme en $x$ s'ha d'anul·lar: $b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3$ . Així, $f(x) = ax^{2} + 1$ .
Punt (2, 9). $f(2) = 4a + 1 = 9 \Rightarrow a = 2$ . Per tant, $f(x) = 2x^{2} + 1$ .
Comprovació. $f(-2) = 2\cdot 4 + 1 = 9 = f(2)$ .

Apartat b)

Resultat

m = 2

g(x) = x^{3} - 5x

Resolució

Condició de senar. Una funció senar compleix $g(-x) = -g(x)$ . Aquí $g(-x) = -x^{3} + (m - 2)x^{2} + 5x$ i $-g(x) = -x^{3} - (m - 2)x^{2} + 5x$ .
Igualació. Cal $(m - 2)x^{2} = -(m - 2)x^{2}$ per a tot $x$ , és a dir, $m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$ . Així, $g(x) = x^{3} - 5x$ .
Comprovació. $g(-1) = -1 + 5 = 4$ i $g(1) = 1 - 5 = -4$ : són oposats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Cada taula dona valors d'una funció. Digues si és afí, quadràtica o exponencial, i troba'n la fórmula:
A) x = 0, 1, 2, 3 → y = 5, 3, 1, -1.
B) x = 0, 1, 2, 3 → y = 3, 6, 12, 24.
C) x = 0, 1, 2, 3 → y = 1, 3, 7, 13.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat A)

Resultat

Afí:

y = -2x + 5

Resolució

Diferències. Les diferències entre valors consecutius són −2, −2, −2: constants, per tant és afí, $y = mx + n$ .
Fórmula. $n = f(0) = 5$ i $m = -2$ : $y = -2x + 5$ . Comprovació: $f(3) = -6 + 5 = -1$ .

Apartat B)

Resultat

Exponencial:

y = 3\cdot 2^{x}

Resolució

Diferències i quocients. Les diferències (3, 6, 12) no són constants, però els quocients sí: $\tfrac{6}{3} = \tfrac{12}{6} = \tfrac{24}{12} = 2$ . És exponencial, $y = k\cdot a^{x}$ .
Fórmula. $k = f(0) = 3$ i $a = 2$ : $y = 3\cdot 2^{x}$ . Comprovació: $f(3) = 3\cdot 8 = 24$ .

Apartat C)

Resultat

Quadràtica:

y = x^{2} + x + 1

Resolució

Diferències i quocients. Ni les diferències (2, 4, 6) ni els quocients ( $3,\ \tfrac{7}{3},\ \tfrac{13}{7}$ ) són constants. Fixa't que les segones diferències sí que ho són (2, 2): és quadràtica, $y = ax^{2} + bx + c$ .
Sistema. $f(0) = 1 \Rightarrow c = 1$ ; $f(1) = 3 \Rightarrow a + b = 2$ ; $f(2) = 7 \Rightarrow 4a + 2b = 6$ , és a dir, $2a + b = 3$ . Restant, $a = 1$ i $b = 1$ .
Fórmula i comprovació. $y = x^{2} + x + 1$ . Amb $x = 3$ : $9 + 3 + 1 = 13$ , que coincideix amb la taula (i aquest valor no s'havia fet servir per trobar-la).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es calcula el domini d'una funció?

Partint de tots els reals i traient-ne els valors que anul·len un denominador, els que fan negatiu el radicand d'una arrel parella i els que fan que l'argument d'un logaritme no sigui positiu.

Quina diferència hi ha entre una funció parella i una de senar?

La parella és simètrica respecte de l'eix vertical: f(−x) = f(x). La senar és simètrica respecte de l'origen: f(−x) = −f(x).

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 26

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 30

Apartat A)

Apartat B)

Apartat C)

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat