Exercicis de geometria analítica i còniques — Matemàtiques 1r Batxillerat

Q: Com es calcula la distància d'un punt a una recta?

Substituint el punt a l'equació general de la recta, prenent-ne el valor absolut i dividint-lo per l'arrel de A al quadrat més B al quadrat.

Q: Com trobo el radi d'una circumferència tangent a una recta?

El radi és la distància del centre a la recta, perquè la recta toca la circumferència en un sol punt, perpendicular al radi.

Aquests exercicis estudien el pla amb coordenades, de les rectes fins a les còniques. Comences amb operacions amb vectors i les diferents equacions de la recta, i calcules angles entre rectes i la distància d'un punt a una recta amb la fórmula corresponent. Després entres a les còniques: trobes el centre i el radi d'una circumferència, com una de tangent a una recta donada, i el vèrtex, el focus i la directriu d'una paràbola a partir de la seva equació reduïda. Les solucions dibuixen mentalment cada situació. Errors típics: calcular el mòdul sumant les components sense elevar-les al quadrat i confondre el pendent amb l'ordenada a l'origen.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Suma els vectors (1, 2) i (4, 3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

(1, 2) + (4, 3) = (5, 5)

Resolució

Dades. Has de sumar els vectors $\vec{u} = (1, 2)$ i $\vec{v} = (4, 3)$ .
Suma de vectors. Dos vectors se sumen coordenada a coordenada: la primera amb la primera i la segona amb la segona.
Càlcul. $(1, 2) + (4, 3) = (1 + 4,\ 2 + 3) = (5, 5)$
Conclusió. El vector suma és $(5, 5)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Calcula el mòdul de (6, 8).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

|(6, 8)| = 10

Resolució

Dades. Volem el mòdul (la longitud) del vector $\vec{v} = (6, 8)$ .
Mòdul d'un vector. Pel teorema de Pitàgores, $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^{2} + v_2^{2}}$ .
Càlcul. $|\vec{v}| = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
Conclusió. El vector mesura 10 unitats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

On talla l'eix vertical la recta y = 2x + 5?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Al punt

(0, 5)

: a l'altura

y = 5

(l'ordenada a l'origen).

Resolució

Dades. La recta és $y = 2x + 5$ i volem saber on talla l'eix vertical (l'eix OY).
Condició. Tots els punts de l'eix OY tenen $x = 0$ , així que substitueixes $x = 0$ a l'equació.
Càlcul. $y = 2\cdot 0 + 5 = 5$ .
Conclusió. La recta talla l'eix vertical a $(0, 5)$ . Fixa't que és justament el terme independent $n$ de la forma explícita $y = mx + n$ : l'ordenada a l'origen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Donats els punts A(-2, 5) i B(6, 1), calcula el punt mitjà M del segment AB i el simètric A' del punt A respecte del punt B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

M = (2, 3)

;

A' = (14, -3)

Resolució

Dades. $A(-2, 5)$ i $B(6, 1)$ . Volem el punt mitjà $M$ de $AB$ i el simètric $A'$ de $A$ respecte de $B$ .
Punt mitjà. Les coordenades del punt mitjà són la mitjana de les coordenades dels extrems: $M = \left(\dfrac{-2 + 6}{2},\ \dfrac{5 + 1}{2}\right) = (2, 3)$
Simètric respecte d'un punt. $A'$ és el punt tal que $B$ és el punt mitjà del segment $AA'$ . Si $A' = (x, y)$ , cal $\tfrac{-2 + x}{2} = 6$ i $\tfrac{5 + y}{2} = 1$ , d'on $x = 14$ i $y = -3$ . Equivalentment, $A' = 2B - A = (12 + 2,\ 2 - 5) = (14, -3)$ .
Comprovació. El punt mitjà de $A(-2, 5)$ i $A'(14, -3)$ és $\left(\tfrac{-2 + 14}{2}, \tfrac{5 - 3}{2}\right) = (6, 1) = B$ . Per tant, $M = (2, 3)$ i $A' = (14, -3)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Donats els vectors u = (2, 1) i v = (1, 3), calcula el producte escalar u·v, els mòduls |u| i |v|, i l'angle que formen els dos vectors.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\vec{u}\cdot\vec{v} = 5

;

|\vec{u}| = \sqrt{5}

;

|\vec{v}| = \sqrt{10}

;

\theta = 45^{\circ}

Resolució

Dades. $\vec{u} = (2, 1)$ i $\vec{v} = (1, 3)$ . Volem el producte escalar, els mòduls i l'angle que formen.
Producte escalar i mòduls. En coordenades, $\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = 2\cdot 1 + 1\cdot 3 = 5$ . Els mòduls: $|\vec{u}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}$ i $|\vec{v}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ .
Angle entre vectors. De $\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ s'obté: $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071$
Càlcul de l'angle. $\theta = \arccos(0{,}7071) = 45^{\circ}$ .
Comprovació. Si $\vec{u}\cdot\vec{v}$ fos 0, els vectors serien perpendiculars; com que $\vec{u}\cdot\vec{v} > 0$ , l'angle és agut, cosa que concorda amb $45^{\circ}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Escriu en forma general l'equació de la recta y - 3 = -2(x + 1) i digues-ne el pendent, un vector director i un vector normal.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

2x + y - 1 = 0

;

m = -2

;

\vec{d} = (1, -2)

;

\vec{n} = (2, 1)

Resolució

Dades. La recta ve en forma punt-pendent, $y - 3 = -2(x + 1)$ : passa per $(-1, 3)$ .
Forma general. Desenvolupes: $y - 3 = -2x - 2$ , i passant-ho tot a un costat queda $2x + y - 1 = 0$ (forma $Ax + By + C = 0$ ).
Pendent. A l'equació punt-pendent $y - y_0 = m(x - x_0)$ el pendent és el coeficient: $m = -2$ .
Vectors director i normal. Un vector director segueix la direcció de la recta: $\vec{d} = (1, m) = (1, -2)$ (també serveix $(-1, 2)$ o qualsevol múltiple). Els coeficients $(A, B)$ de la forma general donen un vector perpendicular a la recta: $\vec{n} = (2, 1)$ .
Comprovació. $\vec{d}\cdot\vec{n} = 1\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 0$ , així que són perpendiculars; i el punt $(-1, 3)$ compleix $2\cdot(-1) + 3 - 1 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

La recta r té per equacions paramètriques x = 2 + 3t, y = -1 + 2t. Troba-ne un vector director, el pendent, l'equació contínua i l'equació general.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

\vec{v} = (3, 2)

;

m = \tfrac{2}{3}

;

\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{2}

;

2x - 3y - 7 = 0

Resolució

Dades. Les paramètriques tenen la forma $(x, y) = (x_0, y_0) + t\cdot(v_1, v_2)$ : el punt és $(2, -1)$ i el vector director és $\vec{v} = (3, 2)$ .
Pendent. $m = \dfrac{v_2}{v_1} = \dfrac{2}{3}$ .
Equació contínua. Aïlles $t$ a les dues equacions i les iguales: $\dfrac{x - 2}{3} = \dfrac{y + 1}{2}$
Equació general. Multipliques en creu: $2(x - 2) = 3(y + 1)\ \Rightarrow\ 2x - 4 = 3y + 3\ \Rightarrow\ 2x - 3y - 7 = 0$ .
Comprovació. Per a $t = 1$ obtens el punt $(5, 1)$ , i $2\cdot 5 - 3\cdot 1 - 7 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Escriu l'equació de la circumferència de centre C(-1, 3) i radi 4, i digues si els punts P(3, 3) i Q(0, 0) pertanyen a la circumferència, són a l'interior o són a l'exterior.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 16

; P és de la circumferència; Q és a l'interior.

Resolució

Equació de la circumferència. Amb centre $(a, b)$ i radi $r$ , l'equació és $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ . Aquí: $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 16$
Criteri. Per a cada punt calcules $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2}$ i el compares amb 16: si dona 16, el punt és de la circumferència; si dona menys, és a l'interior; si dona més, és a l'exterior.
Punt P(3, 3). $4^{2} + 0^{2} = 16$ : P és de la circumferència. Comprovació: la seva distància al centre és $\sqrt{4^{2} + 0^{2}} = 4 = r$ .
Punt Q(0, 0). $1^{2} + (-3)^{2} = 10 < 16$ : Q és a l'interior (la seva distància al centre és $\sqrt{10} \approx 3{,}16 < 4$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Troba el centre i el radi de la circumferència $x^{2}$ + $y^{2}$ - 6x + 4y - 12 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Centre

C(3, -2)

; radi

r = 5

Resolució

Plantejament. Completes quadrats. Agrupes les $x$ i les $y$ : $(x^{2} - 6x) + (y^{2} + 4y) = 12$ .
Completar quadrats. $x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9$ i $y^{2} + 4y = (y + 2)^{2} - 4$ . Substitueixes: $(x - 3)^{2} - 9 + (y + 2)^{2} - 4 = 12\ \Rightarrow\ (x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$
Centre i radi. El centre és $C(3, -2)$ i el radi és $r = \sqrt{25} = 5$ .
Comprovació amb la fórmula. En $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ el centre és $\left(-\tfrac{D}{2}, -\tfrac{E}{2}\right) = (3, -2)$ i $r = \sqrt{3^{2} + (-2)^{2} - F} = \sqrt{9 + 4 + 12} = 5$ .
Compte. Error típic: oblidar canviar el signe; el centre és $(3, -2)$ , no $(-3, 2)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Escriu l'equació de la paràbola de vèrtex a l'origen i focus F(0, -3), i troba'n la directriu.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

x^{2} = -12y

; directriu

y = 3

Resolució

Dades. Vèrtex $V(0, 0)$ i focus $F(0, -3)$ . El focus és sobre l'eix OY, per sota del vèrtex: la paràbola té l'eix vertical i s'obre cap avall. La distància del vèrtex al focus és $p = 3$ .
Equació reduïda. Per a una paràbola de vèrtex $(0, 0)$ i eix vertical, l'equació és $x^{2} = 4py$ si s'obre cap amunt i $x^{2} = -4py$ si s'obre cap avall. Aquí: $x^{2} = -12y$ .
Directriu. És la recta horitzontal a la mateixa distància $p$ del vèrtex, però de l'altre costat: $y = 3$ .
Comprovació. El punt $(6, -3)$ compleix $36 = -12\cdot(-3)$ ; la seva distància al focus és $\sqrt{6^{2} + 0^{2}} = 6$ i la seva distància a la directriu $y = 3$ és $|-3 - 3| = 6$ : són iguals, com ha de passar a tota paràbola.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Escriu l'equació de la recta r que passa pels punts A(0, 1) i B(2, 5), i troba el punt on talla la recta s: y = -x + 4.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

r:\ y = 2x + 1

; punt de tall amb s:

(1, 3)

Resolució

Pendent. Amb els dos punts: $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{5 - 1}{2 - 0} = \dfrac{4}{2} = 2$
Equació punt-pendent. Amb el pendent i el punt $A(0, 1)$ : $y - 1 = 2\cdot(x - 0)$ , que simplificada és $y = 2x + 1$ .
Intersecció. El punt de tall compleix les DUES equacions alhora. Iguales les $y$ : $2x + 1 = -x + 4\ \Rightarrow\ 3x = 3\ \Rightarrow\ x = 1$ .
Càlcul de y. Substitueixes a qualsevol de les dues rectes: $y = 2\cdot 1 + 1 = 3$ (i a s: $-1 + 4 = 3$ , coincideix).
Conclusió. La recta és $r:\ y = 2x + 1$ i talla s al punt $(1, 3)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Calcula la distància del punt P(1, 1) a la recta r: 3x - 4y - 2 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

d(P, r) = \tfrac{3}{5} = 0{,}6

unitats

Resolució

Distància d'un punt a una recta. Si la recta és $ax + by + c = 0$ i el punt és $(x_0, y_0)$ : $d = \dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
Dades. Coeficients de la recta: $a = 3$ , $b = -4$ , $c = -2$ ; punt: $x_0 = 1$ , $y_0 = 1$ .
Numerador. Sense valor absolut: $3\cdot 1 - 4\cdot 1 - 2 = -3$ . Parany: surt negatiu, però la distància és una longitud i sempre és positiva; per això la fórmula porta valor absolut: $|-3| = 3$ .
Denominador. $\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Conclusió. $d = \tfrac{3}{5} = 0{,}6$ unitats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Donada l'el·lipse d'equació reduïda $\tfrac{x^{2}}{25}$ + $\tfrac{y^{2}}{9} = 1$ , digues què és, i troba els semieixos, els vèrtexs, els focus i l'excentricitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

És una el·lipse centrada a l'origen;

a = 5

b = 3

; vèrtexs

(\pm 5, 0)

(0, \pm 3)

; focus

(\pm 4, 0)

;

e = 0{,}8

Resolució

Què és. L'equació té la forma reduïda de l'el·lipse centrada a l'origen, $\tfrac{x^{2}}{a^{2}} + \tfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Comparant, $a^{2} = 25$ i $b^{2} = 9$ .
Semieixos. Parany: a l'el·lipse, $a$ és sempre el semieix MÉS GRAN. Com que $25 > 9$ , l'eix major és horitzontal (sobre l'eix X): $a = 5$ (semieix major) i $b = 3$ (semieix menor).
Vèrtexs. Als extrems dels eixos: sobre l'eix X, $(5, 0)$ i $(-5, 0)$ ; sobre l'eix Y, $(0, 3)$ i $(0, -3)$ .
Focus. A l'el·lipse la distància focal surt d'una RESTA: $c^{2} = a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16$ , $c = 4$ . Els focus són sobre l'eix major: $(4, 0)$ i $(-4, 0)$ .
Excentricitat. $e = \tfrac{c}{a} = \tfrac{4}{5} = 0{,}8$ . En una el·lipse sempre queda entre 0 i 1 (com més a prop de 1, més aixafada).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Donada la paràbola d'equació reduïda $y^{2}$ = 8x, troba el vèrtex, el focus i la directriu, i digues cap on s'obre.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Vèrtex

(0, 0)

; focus

(2, 0)

; directriu

x = -2

; s'obre cap a la dreta.

Resolució

Forma reduïda. És la paràbola de vèrtex a l'origen i eix horitzontal $y^{2} = 2px$ . Comparant amb $y^{2} = 8x$ : $2p = 8$ , per tant el paràmetre és $p = 4$ .
Vèrtex i orientació. El vèrtex és l'origen, $(0, 0)$ . Com que és $y^{2} = 2px$ amb $p > 0$ , la paràbola s'obre cap a la dreta (cap a les $x$ positives).
Focus. És sobre l'eix, a distància $\tfrac{p}{2}$ del vèrtex. Parany: no confonguis $p$ (el paràmetre, la meitat del coeficient de $x$ ) amb $\tfrac{p}{2}$ (la distància del vèrtex al focus). $\tfrac{p}{2} = 2$ , així que el focus és $(2, 0)$ .
Directriu. És la recta perpendicular a l'eix, a la mateixa distància $\tfrac{p}{2}$ del vèrtex però a l'altre costat: $x = -2$ .
Comprovació. Qualsevol punt de la paràbola equidista del focus i de la directriu: el vèrtex $(0, 0)$ és a distància 2 del focus $(2, 0)$ i a distància 2 de la recta $x = -2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Estudia la posició relativa de les rectes r: 3x - 4y + 5 = 0 i s: 6x - 8y - 10 = 0 i, si són paral·leles, calcula la distància entre elles.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Són paral·leles (i diferents);

d(r, s) = 2

unitats

Resolució

Comparació de coeficients. $\tfrac{3}{6} = \tfrac{-4}{-8} = \tfrac{1}{2}$ , però amb els termes independents dona $\tfrac{5}{-10} = -\tfrac{1}{2} \ne \tfrac{1}{2}$ . Els coeficients de $x$ i de $y$ són proporcionals i els termes independents no: les rectes són paral·leles i diferents (no es tallen ni coincideixen).
Un punt de r. Per a $x = 1$ : $3 - 4y + 5 = 0\ \Rightarrow\ y = 2$ , així que $P(1, 2)$ és de r.
Distància de P a s. $d = \dfrac{|6\cdot 1 - 8\cdot 2 - 10|}{\sqrt{6^{2} + (-8)^{2}}} = \dfrac{|6 - 16 - 10|}{10} = \dfrac{20}{10} = 2$
Comprovació. Si divideixes s entre 2 queda $3x - 4y - 5 = 0$ , i la distància entre $3x - 4y + 5 = 0$ i $3x - 4y - 5 = 0$ és $\dfrac{|5 - (-5)|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{10}{5} = 2$ . La distància entre les rectes és de 2 unitats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula l'angle agut que formen les rectes r: x - y + 2 = 0 i s: 2x - y - 1 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\theta = \arctan\tfrac{1}{3} \approx 18{,}4^{\circ}

Resolució

Pendents. Aïlles la $y$ : $r:\ y = x + 2$ , amb $m_1 = 1$ ; $s:\ y = 2x - 1$ , amb $m_2 = 2$ .
Angle entre dues rectes. L'angle agut $\theta$ compleix $\tan\theta = \left|\dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\dfrac{2 - 1}{1 + 1\cdot 2}\right| = \dfrac{1}{3}$
Càlcul. $\theta = \arctan\tfrac{1}{3} \approx 18{,}4^{\circ}$ .
Comprovació amb vectors directors. Amb $\vec{d}_1 = (1, 1)$ i $\vec{d}_2 = (1, 2)$ : $\cos\theta = \dfrac{|\vec{d}_1\cdot\vec{d}_2|}{|\vec{d}_1|\,|\vec{d}_2|} = \dfrac{3}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \approx 0{,}9487$ , i $\arccos(0{,}9487) \approx 18{,}4^{\circ}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Calcula l'àrea del triangle de vèrtexs A(1, 2), B(7, 4) i C(3, 8), prenent AB com a base.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Àrea

= 16

unitats quadrades

Resolució

Base. $\vec{AB} = (6, 2)$ , per tant $|\vec{AB}| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32$ .
Recta AB. Té vector director $(6, 2)$ , proporcional a $(3, 1)$ ; un vector normal és $(1, -3)$ i la recta és $x - 3y + c = 0$ . Passa per $A(1, 2)$ : $1 - 6 + c = 0$ , $c = 5$ . Queda $x - 3y + 5 = 0$ .
Altura. És la distància de $C(3, 8)$ a la recta AB: $h = \dfrac{|3 - 3\cdot 8 + 5|}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{16}{\sqrt{10}} \approx 5{,}06$
Àrea. $S = \dfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura} = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot\dfrac{16}{\sqrt{10}} = 16\ \text{u}^{2}$
Comprovació amb el determinant. $\vec{AB} = (6, 2)$ i $\vec{AC} = (2, 6)$ : $\tfrac{1}{2}\,|6\cdot 6 - 2\cdot 2| = \tfrac{1}{2}\cdot 32 = 16$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Troba l'equació de la circumferència que passa pels punts A(1, 1), B(7, 1) i C(1, 9).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

x^{2} + y^{2} - 8x - 10y + 16 = 0

, és a dir,

(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

: centre

(4, 5)

, radi 5

Resolució

Plantejament. Escrius la circumferència com $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ i obligues que passi pels tres punts.
Sistema. $A(1, 1)$ : $D + E + F = -2$ . $B(7, 1)$ : $7D + E + F = -50$ . $C(1, 9)$ : $D + 9E + F = -82$ .
Resolució. Restant la primera equació de les altres dues: $6D = -48$ , $D = -8$ , i $8E = -80$ , $E = -10$ . Llavors $F = -2 - D - E = -2 + 8 + 10 = 16$ .
Equació. $x^{2} + y^{2} - 8x - 10y + 16 = 0\ \Leftrightarrow\ (x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ Centre $(4, 5)$ i radi 5.
Comprovació. La distància del centre a cada punt és 5; per exemple, a A: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ , i a C: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ . Fixa't, a més, que AB és horitzontal i AC vertical: l'angle en A és recte, i per això el centre és el punt mitjà de BC.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Troba l'equació de la mediatriu del segment d'extrems A(-1, 3) i B(5, 1) de dues maneres: com a recta perpendicular al segment pel seu punt mitjà i com a lloc geomètric dels punts que equidisten de A i de B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

Mediatriu:

3x - y - 4 = 0

(les dues maneres donen la mateixa recta)

Resolució

Primera manera: punt mitjà. $M = \left(\tfrac{-1 + 5}{2}, \tfrac{3 + 1}{2}\right) = (2, 2)$ .
Vector normal. $\vec{AB} = (6, -2)$ , proporcional a $(3, -1)$ , és perpendicular a la mediatriu: és un vector normal, i la recta és $3x - y + c = 0$ . Passa per M: $6 - 2 + c = 0$ , $c = -4$ . Queda $3x - y - 4 = 0$ .
Segona manera: lloc geomètric. $P(x, y)$ és de la mediatriu si $d(P, A) = d(P, B)$ , és a dir, $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = (x - 5)^{2} + (y - 1)^{2}$
Càlcul. Desenvolupes: $x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 = x^{2} - 10x + 25 + y^{2} - 2y + 1\ \Rightarrow\ 12x - 4y - 16 = 0\ \Rightarrow\ 3x - y - 4 = 0$ .
Conclusió. Les dues maneres donen la mateixa recta. Comprovació: $M(2, 2)$ compleix $3\cdot 2 - 2 - 4 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Estudia la posició relativa de la recta r: x + y = 1 i la circumferència $x^{2}$ + $y^{2}$ = 25, i troba'n els punts de tall.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

La recta és secant; punts de tall

(4, -3)

(-3, 4)

Resolució

Dades. La circumferència té centre $O(0, 0)$ i radi 5; la recta és $x + y - 1 = 0$ .
Posició relativa. Compares la distància del centre a la recta amb el radi: $d = \dfrac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ . Com que $d < 5 = r$ , la recta és secant: talla la circumferència en dos punts.
Punts de tall. Aïlles $y = 1 - x$ i substitueixes: $x^{2} + (1 - x)^{2} = 25\ \Rightarrow\ 2x^{2} - 2x - 24 = 0\ \Rightarrow\ x^{2} - x - 12 = 0$ $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \dfrac{1 \pm 7}{2}$ , d'on $x = 4$ o $x = -3$ .
Conclusió. Amb $y = 1 - x$ : els punts són $(4, -3)$ i $(-3, 4)$ . Comprovació: $4^{2} + (-3)^{2} = 25$ i $4 + (-3) = 1$ ; $(-3)^{2} + 4^{2} = 25$ i $-3 + 4 = 1$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Determina el valor de k perquè els vectors u = (k, 6) i v = (2, -3) siguin: a) paral·lels; b) perpendiculars.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

k = -4

Resolució

Condició de paral·lelisme. Dos vectors són paral·lels quan les seves coordenades són proporcionals: $\dfrac{k}{2} = \dfrac{6}{-3}$ .
Càlcul. $\dfrac{k}{2} = -2\ \Rightarrow\ k = -4$ .
Comprovació. Llavors $\vec{u} = (-4, 6) = -2\cdot\vec{v}$ : són paral·lels (de sentit contrari).

Apartat b)

Resultat

k = 9

Resolució

Condició de perpendicularitat. Dos vectors són perpendiculars quan el producte escalar és zero: $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2k + 6\cdot(-3) = 2k - 18$ .
Càlcul. $2k - 18 = 0\ \Rightarrow\ k = 9$ , i llavors $\vec{u} = (9, 6)$ .
Comprovació. $(9, 6)\cdot(2, -3) = 18 - 18 = 0$ . Error típic: confondre les dues condicions; per a vectors paral·lels s'iguala la proporció de les coordenades, i per a perpendiculars s'anul·la el producte escalar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Troba l'equació de la recta paral·lela a 3x - y + 2 = 0 que passa pel punt (2, -1), i la de la perpendicular a aquesta mateixa recta pel mateix punt.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

Paral·lela:

3x - y - 7 = 0

; perpendicular:

x + 3y + 1 = 0

Resolució

Dades. Recta $3x - y + 2 = 0$ (pendent 3, vector normal $(3, -1)$ ) i punt $(2, -1)$ .
Paral·lela. Té els mateixos coeficients A i B: $3x - y + C = 0$ . Pel punt: $6 + 1 + C = 0$ , $C = -7$ . Queda $3x - y - 7 = 0$ .
Perpendicular. El pendent de la recta és 3, i el de la perpendicular, $-\tfrac{1}{3}$ : $y + 1 = -\tfrac{1}{3}(x - 2)$ , que en forma general és $x + 3y + 1 = 0$ .
Comprovació. El punt compleix les dues: $3\cdot 2 - (-1) - 7 = 0$ i $2 + 3\cdot(-1) + 1 = 0$ ; i els vectors normals $(3, -1)$ i $(1, 3)$ tenen producte escalar 0.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Una circumferència té el centre a C(3, 2) i és tangent a la recta r: 4x + 3y - 1 = 0. Troba'n el radi i escriu-ne l'equació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

r = \tfrac{17}{5} = 3{,}4

;

(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = \tfrac{289}{25}

Resolució

Idea clau. Si una recta és tangent a una circumferència, la toca en un sol punt, i la distància del centre a la recta és exactament el radi: $r = d(C, r)$ .
Distància punt-recta. Amb $a = 4$ , $b = 3$ , $c = -1$ i el centre $(3, 2)$ : $d = \dfrac{|4\cdot 3 + 3\cdot 2 - 1|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}}$
Càlcul. Numerador: $12 + 6 - 1 = 17$ , $|17| = 17$ (aquí ja era positiu, però sempre s'ha de posar el valor absolut). Denominador: $\sqrt{16 + 9} = 5$ . Per tant $r = \tfrac{17}{5} = 3{,}4$ unitats.
Equació. Amb centre $(x_0, y_0)$ i radi $r$ (compte: el centre NO és a l'origen): $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = r^{2}$ , amb $r^{2} = \left(\tfrac{17}{5}\right)^{2} = \tfrac{289}{25}$ : $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = \dfrac{289}{25}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Donada la hipèrbola d'equació reduïda $\tfrac{x^{2}}{16}$ - $\tfrac{y^{2}}{9} = 1$ , troba els vèrtexs, els focus, l'excentricitat i les equacions de les asímptotes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Vèrtexs

(\pm 4, 0)

; focus

(\pm 5, 0)

;

e = \tfrac{5}{4} = 1{,}25

; asímptotes

y = \pm\tfrac{3}{4}x

Resolució

Forma reduïda. És la hipèrbola centrada a l'origen $\tfrac{x^{2}}{a^{2}} - \tfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (el signe menys la distingeix de l'el·lipse): $a^{2} = 16$ , $b^{2} = 9$ , per tant $a = 4$ i $b = 3$ . Com que el terme POSITIU és el de $x$ , l'eix real (on hi ha els vèrtexs i els focus) és horitzontal.
Vèrtexs. Als extrems de l'eix real, a distància $a$ del centre: $(4, 0)$ i $(-4, 0)$ .
Focus. Parany: a la hipèrbola, $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ (una SUMA, al contrari de l'el·lipse, que era una resta): $c^{2} = 16 + 9 = 25$ , $c = 5$ . Focus: $(5, 0)$ i $(-5, 0)$ .
Excentricitat. $e = \tfrac{c}{a} = \tfrac{5}{4} = 1{,}25$ . En una hipèrbola sempre és més gran que 1.
Asímptotes. Són $y = \pm\tfrac{b}{a}x$ . Amb $\tfrac{b}{a} = \tfrac{3}{4}$ : $y = \tfrac{3}{4}x$ i $y = -\tfrac{3}{4}x$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Troba el lloc geomètric dels punts P(x, y) la distància dels quals al punt A(2, 0) és el doble que la seva distància al punt B(-1, 0). Identifica quina figura és i digues-ne el centre i el radi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

(x + 2)^{2} + y^{2} = 4

: circumferència de centre

(-2, 0)

i radi 2

Resolució

Condició. $d(P, A) = 2\cdot d(P, B)$ . Per treure els radicals elevem al quadrat: $d(P, A)^{2} = 4\,d(P, B)^{2}$ , és a dir, $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4\left[(x + 1)^{2} + y^{2}\right]$
Desenvolupament. $x^{2} - 4x + 4 + y^{2} = 4x^{2} + 8x + 4 + 4y^{2}\ \Rightarrow\ 0 = 3x^{2} + 12x + 3y^{2}\ \Rightarrow\ x^{2} + y^{2} + 4x = 0$ .
Completar quadrats. $(x + 2)^{2} - 4 + y^{2} = 0\ \Rightarrow\ (x + 2)^{2} + y^{2} = 4$ .
Conclusió. És una circumferència de centre $(-2, 0)$ i radi 2. Comprovació: el punt $(0, 0)$ hi és, perquè $d(P, A) = 2$ i $d(P, B) = 1$ ; el punt $(-4, 0)$ també, perquè $d(P, A) = 6$ i $d(P, B) = 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Comprova que el punt P(4, 2) pertany a la circumferència $(x - 1)^{2}$ + $(y + 2)^{2}$ = 25 i troba l'equació de la recta tangent a la circumferència en P.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

P hi pertany; tangent:

3x + 4y - 20 = 0

Resolució

P és de la circumferència. $(4 - 1)^{2} + (2 + 2)^{2} = 9 + 16 = 25$ : sí que hi pertany.
Propietat de la tangent. El centre és $C(1, -2)$ . La tangent en P és perpendicular al radi CP, així que $\vec{CP} = (4 - 1,\ 2 + 2) = (3, 4)$ és un vector normal de la tangent.
Equació. La recta per $P(4, 2)$ amb vector normal $(3, 4)$ : $3(x - 4) + 4(y - 2) = 0\ \Rightarrow\ 3x + 4y - 20 = 0$ .
Comprovació. La distància del centre a la tangent ha de ser el radi: $\dfrac{|3\cdot 1 + 4\cdot(-2) - 20|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{25}{5} = 5 = r$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una el·lipse amb centre a l'origen té un focus a F(5, 0) i l'eix menor de 24 unitats de longitud. Troba'n l'equació, els vèrtexs i l'excentricitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

\dfrac{x^{2}}{169} + \dfrac{y^{2}}{144} = 1

; vèrtexs

(\pm 13, 0)

(0, \pm 12)

;

e = \tfrac{5}{13} \approx 0{,}38

Resolució

Dades. Com que un focus és sobre l'eix OX, l'eix major és horitzontal i l'equació és $\tfrac{x^{2}}{a^{2}} + \tfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Tenim $c = 5$ (distància del centre al focus) i l'eix menor $2b = 24$ , per tant $b = 12$ .
Relació a l'el·lipse. $a^{2} = b^{2} + c^{2} = 144 + 25 = 169$ , d'on $a = 13$ .
Resultat. Equació: $\dfrac{x^{2}}{169} + \dfrac{y^{2}}{144} = 1$ . Vèrtexs: $(\pm 13, 0)$ i $(0, \pm 12)$ . Excentricitat: $e = \tfrac{c}{a} = \tfrac{5}{13} \approx 0{,}38$ .
Comprovació. El vèrtex $(0, 12)$ és de l'el·lipse i la suma de les seves distàncies als focus $(5, 0)$ i $(-5, 0)$ és $13 + 13 = 26 = 2a$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Troba els vèrtexs, els focus, l'excentricitat i les asímptotes de la hipèrbola $\tfrac{y^{2}}{25}$ - $\tfrac{x^{2}}{144} = 1$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

Vèrtexs

(0, \pm 5)

; focus

(0, \pm 13)

;

e = \tfrac{13}{5} = 2{,}6

; asímptotes

y = \pm\tfrac{5}{12}x

Resolució

Identificació. El terme positiu és el de $y^{2}$ : la hipèrbola és «vertical», talla l'eix OY i els focus també hi són. $a^{2} = 25$ (sota $y^{2}$ ) i $b^{2} = 144$ , és a dir, $a = 5$ i $b = 12$ .
Distància focal. En una hipèrbola $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 25 + 144 = 169$ , d'on $c = 13$ .
Elements. Vèrtexs: $(0, \pm 5)$ . Focus: $(0, \pm 13)$ . Excentricitat: $e = \tfrac{c}{a} = \tfrac{13}{5} = 2{,}6$ .
Asímptotes. Per a la hipèrbola vertical, $y = \pm\tfrac{a}{b}x = \pm\tfrac{5}{12}x$ .
Comprovació. El vèrtex $(0, 5)$ hi pertany ( $\tfrac{25}{25} = 1$ ) i la diferència de les seves distàncies als focus $(0, 13)$ i $(0, -13)$ és $18 - 8 = 10 = 2a$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Considera el triangle de vèrtexs A(-2, 1), B(6, 3) i C(2, 8).
a) Calcula el baricentre G (el punt de tall de les medianes).
b) Escriu l'equació de l'altura que surt del vèrtex C.
c) Calcula l'àrea del triangle.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

G = (2, 4)

Resolució

Baricentre. Les seves coordenades són la mitjana de les coordenades dels tres vèrtexs.
Càlcul. $G = \left(\dfrac{-2 + 6 + 2}{3},\ \dfrac{1 + 3 + 8}{3}\right) = (2, 4)$
Conclusió. El baricentre és $G(2, 4)$ .

Apartat b)

Resultat

4x + y - 16 = 0

Resolució

Plantejament. L'altura des de C és la recta que passa per $C(2, 8)$ i és perpendicular al costat AB.
Vector normal. $\vec{AB} = (8, 2)$ , proporcional a $(4, 1)$ : aquest vector és normal a l'altura.
Equació. $4(x - 2) + 1\cdot(y - 8) = 0\ \Rightarrow\ 4x + y - 16 = 0$ .

Apartat c)

Resultat

Àrea

= 24

unitats quadrades

Resolució

Recta AB. Té vector director $(4, 1)$ i passa per $A(-2, 1)$ : $x - 4y + 6 = 0$ (comprovem B: $6 - 12 + 6 = 0$ ).
Base i altura. Base: $|\vec{AB}| = \sqrt{8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ . Altura: distància de C a AB, $h = \dfrac{|2 - 4\cdot 8 + 6|}{\sqrt{1 + 16}} = \dfrac{24}{\sqrt{17}}$ .
Àrea. $S = \dfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot\dfrac{24}{\sqrt{17}} = 24\ \text{u}^{2}$
Comprovació amb el determinant. $\vec{AB} = (8, 2)$ i $\vec{AC} = (4, 7)$ : $\tfrac{1}{2}\,|8\cdot 7 - 2\cdot 4| = \tfrac{1}{2}\cdot 48 = 24$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Troba l'equació de totes les circumferències tangents als dos eixos de coordenades que passen pel punt (2, 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

Resolució

Plantejament. Una circumferència tangent als dos eixos té el centre a distància $r$ de cada eix: el centre és $(\pm r, \pm r)$ . Com que ha de passar per $(2, 1)$ , del primer quadrant, i una circumferència tangent als eixos queda dins d'un únic quadrant, el centre és $(r, r)$ .
Condició. La circumferència és $(x - r)^{2} + (y - r)^{2} = r^{2}$ . Imposes que passi per $(2, 1)$ : $(2 - r)^{2} + (1 - r)^{2} = r^{2}\ \Rightarrow\ 4 - 4r + r^{2} + 1 - 2r + r^{2} = r^{2}\ \Rightarrow\ r^{2} - 6r + 5 = 0$
Càlcul. $r = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \dfrac{6 \pm 4}{2}$ , d'on $r = 5$ o $r = 1$ .
Conclusió. Hi ha dues circumferències: $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ i $(x - 5)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ . Comprovació: $(2 - 1)^{2} + (1 - 1)^{2} = 1$ i $(2 - 5)^{2} + (1 - 5)^{2} = 9 + 16 = 25$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es calcula la distància d'un punt a una recta?

Substituint el punt a l'equació general de la recta, prenent-ne el valor absolut i dividint-lo per l'arrel de A al quadrat més B al quadrat.

Com trobo el radi d'una circumferència tangent a una recta?

El radi és la distància del centre a la recta, perquè la recta toca la circumferència en un sol punt, perpendicular al radi.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Apartat a)

Apartat b)

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat