Exercicis de matrius (introducció) — Matemàtiques 1r Batxillerat

Aquest tema és una primera presa de contacte amb les matrius, una eina per organitzar dades i descriure transformacions. Començaràs amb la dimensió, els elements, la igualtat de matrius, la suma i el producte per un nombre. Després treballaràs el producte de matrius, que és el més important: quan es pot fer, quina dimensió té el resultat i per què no és commutatiu. Més endavant aplicaràs les matrius a taules de dades i costos, grafs, cadenes de transició i girs del pla, i faràs potències de matrius. Els exercicis avançats combinen propietats i demostracions curtes: matrius amb quadrat zero, idempotents, la successió de Fibonacci amb una matriu o la descomposició simètrica i antisimètrica. No hi ha inversa ni rang, que es veuen a Matemàtiques II. Errors típics: multiplicar element a element, oblidar que AB i BA poden ser diferents i no comprovar les dimensions abans de multiplicar.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Considera la matriu $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Quina és la dimensió de $A$ ?
b) Quant valen $a_{23}$ i $a_{14}$ ?
c) Quants elements té?
d) Quina dimensió té la matriu transposada $A^{\mathrm{t}}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Apartat a)

Resultat

A

és de dimensió

2 \times 4

Resolució

Dades. $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ .
Dimensió. La dimensió d'una matriu és «files × columnes». Aquí hi ha 2 files i 4 columnes.
Conclusió. La dimensió és $2 \times 4$ .

Apartat b)

Resultat

a_{23} = -2

;

a_{14} = 5

Resolució

Notació. A $a_{ij}$ , el primer índex $i$ és la fila i el segon $j$ és la columna.
Element $a_{23}$ . És el de la fila 2 i la columna 3: $a_{23} = -2$ .
Element $a_{14}$ . És el de la fila 1 i la columna 4: $a_{14} = 5$ .

Apartat c)

Resultat

8 elements.

Resolució

Plantejament. Una matriu $m \times n$ té $m$ files amb $n$ elements cadascuna.
Càlcul. $2 \cdot 4 = 8$ elements.

Apartat d)

Resultat

A^{\mathrm{t}}

és de dimensió

4 \times 2

Resolució

Transposada. La transposada intercanvia files i columnes: la fila $i$ de $A$ passa a ser la columna $i$ de $A^{\mathrm{t}}$ .
Conclusió. Si $A$ és $2 \times 4$ , $A^{\mathrm{t}}$ és de dimensió $4 \times 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

a) Escriu la matriu $A$ de dimensió $2 \times 3$ definida per $a_{ij} = 2i - j$ .
b) Escriu la matriu $B$ de dimensió $3 \times 3$ definida per $b_{ij} = 1$ si $i = j$ i $b_{ij} = 0$ si $i \neq j$ . Quin nom rep?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Apartat a)

Resultat

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Resolució

Dades. $A$ té 2 files ( $i = 1, 2$ ) i 3 columnes ( $j = 1, 2, 3$ ), i cada element val $a_{ij} = 2i - j$ .
Fila 1 ( $i = 1$ ). $a_{11} = 2 - 1 = 1$ , $a_{12} = 2 - 2 = 0$ , $a_{13} = 2 - 3 = -1$ .
Fila 2 ( $i = 2$ ). $a_{21} = 4 - 1 = 3$ , $a_{22} = 4 - 2 = 2$ , $a_{23} = 4 - 3 = 1$ .
Conclusió. $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

: és la matriu identitat d'ordre 3,

I_3

Resolució

Dades. $B$ és $3 \times 3$ , amb 1 quan $i = j$ (la diagonal principal) i 0 a la resta.
Construcció. $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Conclusió. És la matriu identitat d'ordre 3, que es denota $I_3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Donades $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & -5 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix}$ , calcula $A + B$ i $A - B$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

A + B = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & -5 \end{pmatrix}

;

A - B = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ -6 & 8 & -5 \end{pmatrix}

Resolució

Dades. $A$ i $B$ són totes dues de dimensió $2 \times 3$ . Només es poden sumar matrius de la mateixa dimensió, així que l'operació és possible.
Suma i resta de matrius. Se sumen (o es resten) els elements que ocupen la mateixa posició: $(A \pm B)_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$ .
Suma. $A + B = \begin{pmatrix} 3+1 & -1+2 & 2-3 \\ 0+6 & 4-4 & -5+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 6 & 0 & -5 \end{pmatrix}$
Resta. $A - B = \begin{pmatrix} 3-1 & -1-2 & 2+3 \\ 0-6 & 4+4 & -5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ -6 & 8 & -5 \end{pmatrix}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Calcula $3A$ , $-2B$ i $3A - 2B$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}

;

-2B = \begin{pmatrix} -8 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}

;

3A - 2B = \begin{pmatrix} -5 & -8 \\ 11 & -4 \end{pmatrix}

Resolució

Producte per un escalar. Multiplicar una matriu per un nombre és multiplicar-ne tots els elements per aquest nombre.
Càlcul de $3A$ . $3A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}$ .
Càlcul de $-2B$ . $-2B = \begin{pmatrix} -8 & -2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix}$ .
Combinació. $3A - 2B = 3A + (-2B)$ : sumem element a element. $3A - 2B = \begin{pmatrix} 3-8 & -6-2 \\ 9+2 & 0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -8 \\ 11 & -4 \end{pmatrix}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

a) Calcula la transposada de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .
b) Una matriu quadrada és simètrica si coincideix amb la seva transposada. Digues quines d'aquestes ho són:
$P = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$ , $Q = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ , $R = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 7 \\ 4 & 3 & -2 \\ 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

, de dimensió

3 \times 2

Resolució

Transposada. Les files de $A$ passen a ser les columnes de $A^{\mathrm{t}}$ : $(A^{\mathrm{t}})_{ij} = a_{ji}$ .
Càlcul. La fila $(1\;\;2\;\;3)$ passa a ser la primera columna i $(4\;\;5\;\;6)$ , la segona: $A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .
Conclusió. $A$ és $2 \times 3$ i la seva transposada és $3 \times 2$ .

Apartat b)

Resultat

P

R

són simètriques;

Q

no ho és.

Resolució

Criteri. Una matriu és simètrica si $M^{\mathrm{t}} = M$ , és a dir, si $m_{ij} = m_{ji}$ : els elements simètrics respecte de la diagonal principal són iguals.
Matriu $P$ . $p_{12} = -1$ és igual que $p_{21} = -1$ , per tant $P^{\mathrm{t}} = P$ : és simètrica.
Matriu $Q$ . $q_{12} = 2$ però $q_{21} = 3$ : no és simètrica.
Matriu $R$ . $r_{12} = r_{21} = 4$ , $r_{13} = r_{31} = 7$ i $r_{23} = r_{32} = -2$ : és simètrica.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Troba els valors de $x$ , $y$ i $z$ perquè es compleixi la igualtat de matrius
$\begin{pmatrix} x+1 & 3 \\ 2y & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & z-2 \\ -6 & 5 \end{pmatrix}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

x = 3,\ y = -3,\ z = 5

Resolució

Igualtat de matrius. Dues matrius són iguals si tenen la mateixa dimensió i els elements de la mateixa posició coincideixen. Totes dues són $2 \times 2$ .
Posició (1,1). $x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$ .
Posició (1,2). $3 = z - 2 \Rightarrow z = 5$ .
Posició (2,1). $2y = -6 \Rightarrow y = -3$ .
Conclusió. L'element de la posició (2,2) és 5 en els dos costats i no dona cap condició. Per tant, $x = 3$ , $y = -3$ , $z = 5$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Tres botigues d'una cooperativa venen dos productes, mel i melmelada (unitats venudes). Les files són les botigues (1, 2 i 3) i les columnes són els productes (mel, melmelada).
Gener: $G = \begin{pmatrix} 120 & 80 \\ 95 & 60 \\ 150 & 110 \end{pmatrix}$ . Febrer: $F = \begin{pmatrix} 130 & 70 \\ 100 & 65 \\ 140 & 120 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $G + F$ i digues què representa l'element de la fila 3 i la columna 2.
b) Calcula $F - G$ i interpreta els elements negatius.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Apartat a)

Resultat

G + F = \begin{pmatrix} 250 & 150 \\ 195 & 125 \\ 290 & 230 \end{pmatrix}

; l'element 230 són les melmelades venudes per la botiga 3 entre gener i febrer.

Resolució

Dades. $G$ i $F$ són $3 \times 2$ (files: botigues; columnes: mel, melmelada), així que es poden sumar.
Suma element a element. $G + F = \begin{pmatrix} 120+130 & 80+70 \\ 95+100 & 60+65 \\ 150+140 & 110+120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 250 & 150 \\ 195 & 125 \\ 290 & 230 \end{pmatrix}$
Interpretació. L'element de la fila 3 i la columna 2 és $110 + 120 = 230$ : el total de melmelades venudes a la botiga 3 entre gener i febrer.

Apartat b)

Resultat

F - G = \begin{pmatrix} 10 & -10 \\ 5 & 5 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}

; els negatius indiquen que al febrer es va vendre menys que al gener.

Resolució

Resta element a element. $F - G = \begin{pmatrix} 130-120 & 70-80 \\ 100-95 & 65-60 \\ 140-150 & 120-110 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & -10 \\ 5 & 5 \\ -10 & 10 \end{pmatrix}$
Significat. Cada element és la variació de les vendes de febrer respecte de gener: positiu si s'ha venut més, negatiu si s'ha venut menys.
Conclusió. Els negatius: la botiga 1 va vendre 10 melmelades menys i la botiga 3 va vendre 10 mels menys.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Considera les matrius $A$ de dimensió $2 \times 3$ , $B$ de dimensió $3 \times 4$ i $C$ de dimensió $4 \times 2$ .
Per a cadascun dels productes $AB$ , $BC$ , $CA$ , $AC$ i $BA$ , digues si es pot fer i, en cas afirmatiu, quina dimensió té el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

AB

2 \times 4

;

BC

3 \times 2

;

CA

4 \times 3

;

AC

BA

no es poden fer.

Resolució

Condició del producte. $XY$ existeix si el nombre de columnes de $X$ és igual al nombre de files de $Y$ ; el resultat té les files de $X$ i les columnes de $Y$ : $(m \times n)(n \times p) = m \times p$ .
Productes possibles. $AB$ : $(2\times 3)(3 \times 4)$ , sí, resultat $2 \times 4$ . $BC$ : $(3\times 4)(4 \times 2)$ , sí, resultat $3 \times 2$ . $CA$ : $(4\times 2)(2 \times 3)$ , sí, resultat $4 \times 3$ .
Productes impossibles. $AC$ : $(2\times 3)(4 \times 2)$ , no, perquè 3 ≠ 4. $BA$ : $(3\times 4)(2 \times 3)$ , no, perquè 4 ≠ 2.
Conclusió. Fixa't que $AB$ existeix però $BA$ no: l'ordre dels factors importa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Calcula $A \cdot B$ amb $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

A \cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{pmatrix}

Resolució

Dades. $A$ i $B$ són $2 \times 2$ , de manera que $A \cdot B$ existeix i és $2 \times 2$ .
Regla fila per columna. Cada element $c_{ij}$ és la suma dels productes de la fila $i$ de $A$ per la columna $j$ de $B$ .
Fila 1. $c_{11} = 2\cdot 1 + 1\cdot 4 = 6$ , $c_{12} = 2\cdot(-1) + 1\cdot 2 = 0$ .
Fila 2. $c_{21} = 0\cdot 1 + 3\cdot 4 = 12$ , $c_{22} = 0\cdot(-1) + 3\cdot 2 = 6$ .
Conclusió. $A\cdot B = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{pmatrix}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ , $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $I_2 \cdot A$ i $A \cdot I_3$ .
b) Què observes? Per què és lògic que la identitat es digui així?
c) Calcula $A - A$ . Quina matriu obtens?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

I_2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

;

A \cdot I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}

Resolució

Dimensions. $I_2 \cdot A$ és $(2\times 2)(2\times 3) = 2 \times 3$ i $A \cdot I_3$ és $(2\times 3)(3\times 3) = 2\times 3$ : tots dos productes existeixen.
Càlcul de $I_2 \cdot A$ . Per exemple, $c_{11} = 1\cdot1 + 0\cdot4 = 1$ , $c_{21} = 0\cdot1 + 1\cdot4 = 4$ … Resulta $I_2 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .
Càlcul de $A \cdot I_3$ . Per exemple, $c_{12} = 1\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot0 = 2$ … Resulta $A \cdot I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

En els dos casos s'obté

A

: la identitat fa el paper del nombre 1 en el producte.

Resolució

Observació. $I_2 \cdot A = A$ i $A \cdot I_3 = A$ .
Element neutre. Igual que $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ amb nombres, $I \cdot A = A \cdot I = A$ . Per això s'anomena «identitat».
Compte amb les dimensions. La identitat ha de tenir l'ordre adequat: a l'esquerra, $I_2$ (tantes files com $A$ ); a la dreta, $I_3$ (tantes columnes com $A$ ).

Apartat c)

Resultat

A - A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

, la matriu nul·la

2 \times 3

Resolució

Càlcul. Restant element a element, cada element dona $a_{ij} - a_{ij} = 0$ .
Conclusió. S'obté la matriu nul·la $2 \times 3$ , que fa el paper del 0 en la suma: $A + O = A$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $A\cdot B$ i digues quina dimensió té.
b) Calcula $B \cdot A$ i digues quina dimensió té.
c) Per què no té sentit preguntar si $AB = BA$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Apartat a)

Resultat

A\cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}

, de dimensió

2 \times 2

Resolució

Dimensió. $(2\times3)(3\times2) = 2\times 2$ .
Fila 1 de $A$ . $c_{11} = 1\cdot2 + 2\cdot0 + 0\cdot3 = 2$ , $c_{12} = 1\cdot1 + 2\cdot(-1) + 0\cdot2 = -1$ .
Fila 2 de $A$ . $c_{21} = -1\cdot2 + 3\cdot0 + 4\cdot3 = 10$ , $c_{22} = -1\cdot1 + 3\cdot(-1) + 4\cdot2 = 4$ .
Conclusió. $A\cdot B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \\ 1 & 12 & 8 \end{pmatrix}

, de dimensió

3 \times 3

Resolució

Dimensió. $(3\times2)(2\times3) = 3\times 3$ .
Fila 1 de $B$ , $(2\;\;1)$ . $2\cdot1 + 1\cdot(-1) = 1$ , $2\cdot2 + 1\cdot3 = 7$ , $2\cdot0 + 1\cdot4 = 4$ .
Fila 2 de $B$ , $(0\;\;-1)$ . $0\cdot1 + (-1)\cdot(-1) = 1$ , $0\cdot2 + (-1)\cdot3 = -3$ , $0\cdot0 + (-1)\cdot4 = -4$ .
Fila 3 de $B$ , $(3\;\;2)$ . $3\cdot1 + 2\cdot(-1) = 1$ , $3\cdot2 + 2\cdot3 = 12$ , $3\cdot0 + 2\cdot4 = 8$ .
Conclusió. $B\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\ 1 & -3 & -4 \\ 1 & 12 & 8 \end{pmatrix}$ .

Apartat c)

Resultat

Perquè

AB

és

2 \times 2

BA

és

3 \times 3

: no tenen la mateixa dimensió i no poden ser iguals.

Resolució

Igualtat de matrius. Perquè dues matrius siguin iguals, primer han de tenir la mateixa dimensió.
Conclusió. $AB$ és de dimensió $2 \times 2$ i $BA$ de $3\times 3$ : ni tan sols tenen la mateixa dimensió, de manera que no té sentit comparar-les element a element.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $AB$ i $BA$ .
b) Són iguals? Què en deduïm sobre el producte de matrius?
c) Pensa en nombres reals: $3\cdot 5 = 5\cdot 3$ . Quina propietat del producte de nombres es perd amb les matrius?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Apartat a)

Resultat

AB = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

;

BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}

Resolució

Producte $AB$ . Fila 1: $1\cdot1 + 2\cdot3 = 7$ , $1\cdot0 + 2\cdot1 = 2$ . Fila 2: $0\cdot1 + 1\cdot3 = 3$ , $0\cdot0 + 1\cdot1 = 1$ .
Producte $BA$ . Fila 1: $1\cdot1 + 0\cdot0 = 1$ , $1\cdot2 + 0\cdot1 = 2$ . Fila 2: $3\cdot1 + 1\cdot0 = 3$ , $3\cdot2 + 1\cdot1 = 7$ .
Resultat. $AB = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ i $BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

No són iguals: el producte de matrius no és commutatiu en general.

Resolució

Comparació. L'element de la posició (1,1) és 7 en $AB$ i 1 en $BA$ , per tant $AB \neq BA$ .
Conclusió. El producte de matrius no és commutatiu en general: l'ordre dels factors importa.

Apartat c)

Resultat

Es perd la propietat commutativa.

Resolució

Nombres reals. Amb nombres, $ab = ba$ sempre ( $3\cdot5 = 5\cdot3$ ).
Matrius. L'apartat b) mostra que $AB \neq BA$ : la commutativa es perd.
Què es conserva. Es conserven, en canvi, l'associativa $(AB)C = A(BC)$ i la distributiva $A(B+C) = AB + AC$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Un forn artesà fa dos productes, el pa de pagès (P1) i la coca de sucre (P2). La matriu $Q$ dona la quantitat de cada ingredient que necessita una tanda de cada producte: les files són els productes i les columnes són farina (kg), sucre (kg) i llevat (paquets).
$Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}$
El cost de cada ingredient, en euros per kg o per paquet, és $C = \begin{pmatrix} 1{,}2 \\ 0{,}9 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $Q\cdot C$ i explica què representa cada element.
b) S'encarreguen 10 tandes de P1 i 6 de P2. Escriu la comanda com a matriu fila $E$ i calcula $E\cdot Q\cdot C$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Apartat a)

Resultat

Q\cdot C = \begin{pmatrix} 5{,}3 \\ 8{,}4 \end{pmatrix}

: una tanda de P1 costa 5,30 € d'ingredients i una de P2, 8,40 €.

Resolució

Dimensions. $Q$ és $2\times 3$ (productes × ingredients) i $C$ és $3 \times 1$ (cost per ingredient): $Q\cdot C$ és $2 \times 1$ .
Primera fila (P1). $2\cdot1{,}2 + 1\cdot0{,}9 + 4\cdot0{,}5 = 2{,}4+0{,}9+2 = 5{,}3$ .
Segona fila (P2). $3\cdot1{,}2 + 2\cdot0{,}9 + 6\cdot0{,}5 = 3{,}6+1{,}8+3 = 8{,}4$ .
Interpretació. Cada element és la quantitat de cada ingredient pel seu preu, tot sumat: el cost d'ingredients d'una tanda del producte, 5,30 € per al P1 i 8,40 € per al P2.

Apartat b)

Resultat

E = (10 \;\; 6)

;

E\cdot Q\cdot C = 103{,}4

: la comanda costa 103,40 € d'ingredients.

Resolució

Matriu de la comanda. $E = (10 \;\; 6)$ , de dimensió $1\times 2$ (tandes de P1 i de P2).
Càlcul. Aprofitant l'apartat a): $E\cdot(Q\cdot C) = 10\cdot5{,}3 + 6\cdot8{,}4 = 53 + 50{,}4 = 103{,}4$ .
Conclusió. El resultat és una matriu $1\times 1$ : el cost total d'ingredients de la comanda és de 103,40 €.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Troba la matriu $X$ que compleix $2X + A = B$ , amb $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix}$ . Comprova el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

X = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. Aïllem $X$ com en una equació normal: $2X = B - A$ , i d'aquí $X = \tfrac{1}{2}(B - A)$ .
Càlcul de $B - A$ . $B - A = \begin{pmatrix} 7-1 & 9-3 \\ 1+5 & -4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix}$ .
Càlcul de $X$ . Dividint entre 2 tots els elements: $X = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}$ .
Comprovació. $2X + A = \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 9 \\ 1 & -4 \end{pmatrix} = B$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Troba les matrius $X$ i $Y$ que verifiquen el sistema
$X + Y = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$ , $X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

X = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

;

Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. Es resol igual que un sistema numèric, per reducció.
Sumant les equacions. $2X = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$ , per tant $X = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ .
Restant-les. $2Y = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ -2 & 8 \end{pmatrix}$ , per tant $Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ .
Comprovació. $X + Y = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 10 \end{pmatrix}$ i $X - Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ , com volíem.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

a) Calcula $D^2$ , $D^3$ i $D^{10}$ per a $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ . Dedueix una fórmula per a $D^n$ .
b) Calcula $C^2$ i $C^3$ per a $C = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

D^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

;

D^3 = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

;

D^{10} = \begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

;

D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}

Resolució

Càlcul de $D^2$ . $D^2 = D\cdot D = \begin{pmatrix} 2\cdot2 & 0 \\ 0 & (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Càlcul de $D^3$ . $D^3 = D^2\cdot D = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .
Matriu diagonal. En una matriu diagonal el producte es fa element a element sobre la diagonal, per tant $D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix}$ .
Conclusió. $D^{10} = \begin{pmatrix} 2^{10} & 0 \\ 0 & (-1)^{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

C^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

;

C^3 = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}

Resolució

Càlcul de $C^2$ . $C^2 = C\cdot C = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ : per exemple, $2\cdot 2 + 1\cdot 0 = 4$ i $2\cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4$ .
Càlcul de $C^3$ . $C^3 = C^2\cdot C = \begin{pmatrix} 8 & 12 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$ : l'element (1,2) és $4\cdot 1 + 4 \cdot 2 = 12$ .
Observació. En una matriu triangular que no és diagonal, la potència no es calcula element a element: ha aparegut un 12, que no és cap potència de 2.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Una xarxa de quatre estacions (1, 2, 3 i 4) té enllaços d'un sentit: de l'1 al 2 i al 3, del 2 al 3 i al 4, del 3 al 4, i del 4 a l'1. La matriu d'adjacència $M$ té $m_{ij} = 1$ si hi ha un enllaç directe de l'estació $i$ a la $j$ i $0$ si no n'hi ha.
a) Escriu $M$ .
b) Calcula $M^2$ . L'element $(M^2)_{ij}$ dona el nombre de camins de 2 enllaços de $i$ a $j$ . Quants n'hi ha de l'estació 1 a la 4? Quins són?
c) Quantes estacions es poden assolir amb exactament 2 enllaços des de l'estació 4?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Resolució

Dades. Enllaços: 1 → 2, 1 → 3, 2 → 3, 2 → 4, 3 → 4 i 4 → 1. Posem un 1 a la posició $(i, j)$ per a cada enllaç $i \to j$ i 0 a la resta.
Matriu d'adjacència. $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Fixa't que no és simètrica, perquè els enllaços són d'un sentit.

Apartat b)

Resultat

M^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

; de l'1 al 4 hi ha 2 camins: 1 → 2 → 4 i 1 → 3 → 4.

Resolució

Significat del producte. $(M^2)_{ij} = \sum_k m_{ik}m_{kj}$ : cada terme val 1 només si hi ha enllaç $i \to k$ i enllaç $k \to j$ , és a dir, un camí $i \to k \to j$ .
Càlcul. $M^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
De l'1 al 4. $(M^2)_{14} = 2$ : hi ha dos camins de dos enllaços, que són 1 → 2 → 4 i 1 → 3 → 4.

Apartat c)

Resultat

2 estacions: la 2 i la 3.

Resolució

Fila 4 de $M^2$ . És $(0 \;\; 1 \;\; 1 \;\; 0)$ .
Interpretació. Des de la 4 hi ha un camí de 2 enllaços cap a la 2 (4 → 1 → 2) i un altre cap a la 3 (4 → 1 → 3).
Conclusió. Es poden assolir 2 estacions diferents.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $AB$ i la seva transposada $(AB)^{\mathrm{t}}$ .
b) Calcula $B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}}$ . Què observes?
c) Per què no coincideix amb $A^{\mathrm{t}}B^{\mathrm{t}}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

AB = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 7 \\ 10 & -4 & 15 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}

;

(AB)^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ 7 & 15 & -3 \end{pmatrix}

Resolució

Dimensió. $A$ és $3\times 2$ i $B$ és $2 \times 3$ : $AB$ és $3\times 3$ .
Càlcul (fila per columna). Fila 1, $(1\;\;2)$ : $2+2 = 4$ , $0-2 = -2$ , $1+6 = 7$ . Fila 2, $(3\;\;4)$ : $6+4 = 10$ , $0-4 = -4$ , $3+12 = 15$ . Fila 3, $(0\;\;-1)$ : $-1$ , $1$ , $-3$ .
Resultat. $AB = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 7 \\ 10 & -4 & 15 \\ -1 & 1 & -3 \end{pmatrix}$ i, intercanviant files i columnes, $(AB)^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ 7 & 15 & -3 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ 7 & 15 & -3 \end{pmatrix}

, igual que

(AB)^{\mathrm{t}}

Resolució

Transposades. $B^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ és $3\times 2$ i $A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}$ és $2\times 3$ ; el producte és $3 \times 3$ .
Càlcul. $B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 4 & 10 & -1 \\ -2 & -4 & 1 \\ 7 & 15 & -3 \end{pmatrix}$ .
Observació. És idèntica a $(AB)^{\mathrm{t}}$ . Això es compleix sempre: $(AB)^{\mathrm{t}} = B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}}$ (la transposada inverteix l'ordre dels factors).

Apartat c)

Resultat

Perquè

A^{\mathrm{t}}B^{\mathrm{t}}

és

2 \times 2

(AB)^{\mathrm{t}}

és

3 \times 3

: ni tan sols tenen la mateixa dimensió.

Resolució

Dimensions. $A^{\mathrm{t}}B^{\mathrm{t}}$ seria un producte $(2\times 3)(3\times 2)$ , de dimensió $2\times 2$ .
Conclusió. $(AB)^{\mathrm{t}}$ és $3 \times 3$ , així que no poden coincidir: cal invertir l'ordre, $B^{\mathrm{t}}A^{\mathrm{t}}$ , no mantenir-lo.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

En una ciutat hi ha 2.000 persones que fan servir una de dues companyies d'autobusos, A o B. Cada any, el 80 % dels usuaris d'A es queden a A i la resta passa a B; el 70 % dels de B es queden a B i la resta passa a A. La matriu de transició és $P = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ (primera columna: origen A; segona columna: origen B) i l'estat inicial és $x_0 = \begin{pmatrix} 1000 \\ 1000 \end{pmatrix}$ , amb 1.000 usuaris a cada companyia.
a) Comprova que cada columna de $P$ suma 1 i explica per què.
b) Calcula $x_1 = P x_0$ i $x_2 = P x_1$ .
c) Calcula $P^2$ i comprova que $P^2 x_0$ dona el mateix que $x_2$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

0{,}8 + 0{,}2 = 1

0{,}3 + 0{,}7 = 1

: cada usuari acaba l'any següent en alguna de les dues companyies.

Resolució

Columnes. Primera columna (origen A): $0{,}8 + 0{,}2 = 1$ . Segona columna (origen B): $0{,}3 + 0{,}7 = 1$ .
Per què. Cada columna reparteix els usuaris d'una companyia entre les dues possibles destinacions. Com que cada usuari ha d'estar l'any següent en alguna de les dues, els percentatges d'una columna sumen el 100 %.

Apartat b)

Resultat

x_1 = \begin{pmatrix} 1100 \\ 900 \end{pmatrix}

;

x_2 = \begin{pmatrix} 1150 \\ 850 \end{pmatrix}

Resolució

Primer any. $x_1 = P x_0$ : a A, $0{,}8\cdot 1000 + 0{,}3\cdot 1000 = 1100$ ; a B, $0{,}2\cdot 1000 + 0{,}7\cdot 1000 = 900$ .
Segon any. $x_2 = P x_1$ : a A, $0{,}8\cdot 1100 + 0{,}3\cdot 900 = 880 + 270 = 1150$ ; a B, $0{,}2 \cdot 1100 + 0{,}7\cdot 900 = 220 + 630 = 850$ .
Comprovació. El total es manté: $1100 + 900 = 1150 + 850 = 2000$ persones.

Apartat c)

Resultat

P^2 = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}45 \\ 0{,}3 & 0{,}55 \end{pmatrix}

;

P^2 x_0 = \begin{pmatrix} 1150 \\ 850 \end{pmatrix} = x_2

Resolució

Càlcul de $P^2$ . $P^2 = \begin{pmatrix} 0{,}64+0{,}06 & 0{,}24+0{,}21 \\ 0{,}16+0{,}14 & 0{,}06+0{,}49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}45 \\ 0{,}3 & 0{,}55 \end{pmatrix}$
Càlcul de $P^2 x_0$ . $0{,}7\cdot1000 + 0{,}45\cdot1000 = 1150$ i $0{,}3\cdot1000 + 0{,}55\cdot1000 = 850$ .
Conclusió. Coincideix amb $x_2$ , perquè $x_2 = P(Px_0) = P^2x_0$ (associativa). Així, $x_n = P^n x_0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un triangle del pla té per vèrtexs $(1,0)$ , $(3,0)$ i $(1,2)$ . Els seus vèrtexs, escrits com a columnes, formen la matriu $V = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
Considera $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ i $S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $RV$ i $SV$ i escriu els vèrtexs dels triangles transformats.
b) Observa on van els punts $(1,0)$ i $(0,1)$ amb $R$ i digues quina transformació del pla representa $R$ .
c) Calcula $R\cdot R$ i interpreta el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

RV = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

: vèrtexs

(0,1)

(0,3)

(-2,1)

SV = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}

: vèrtexs

(1,0)

(3,0)

(1,-2)

Resolució

Plantejament. $R$ i $S$ són $2\times 2$ i $V$ és $2 \times 3$ : cada producte és $2 \times 3$ i cada columna és la imatge d'un vèrtex.
Càlcul de $RV$ . $R\binom{x}{y} = \binom{-y}{x}$ , per tant $RV = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ : vèrtexs $(0,1)$ , $(0,3)$ i $(-2,1)$ .
Càlcul de $SV$ . $S\binom{x}{y} = \binom{x}{-y}$ , per tant $SV = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ : vèrtexs $(1,0)$ , $(3,0)$ i $(1,-2)$ .

Apartat b)

Resultat

R

és un gir de 90° en sentit antihorari al voltant de l'origen.

Resolució

Imatges. $R\binom{1}{0} = \binom{0}{1}$ i $R\binom{0}{1} = \binom{-1}{0}$ .
Interpretació. El vector de l'eix horitzontal va a l'eix vertical positiu, i el vertical va a l'horitzontal negatiu: cada punt gira 90° en sentit antihorari al voltant de l'origen.
Comparació amb $S$ . $S$ canvia el signe de la segona coordenada: és una simetria respecte de l'eix horitzontal.

Apartat c)

Resultat

R\cdot R = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

: un gir de 180°.

Resolució

Càlcul. $R\cdot R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$ .
Interpretació. Fer dos girs de 90° és girar 180°, que envia cada punt $(x,y)$ a $(-x,-y)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 21

Troba els valors de $a$ i $b$ tals que $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ . Comprova que la resta d'elements també s'ajusta i explica per què el sistema que surt de comparar els elements és compatible.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

a = 3,\ b = 3

Resolució

Producte. $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & 1+2a \\ 2b & 2+6 \end{pmatrix}$
Igualtat element a element amb $\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ : $b = 3$ (posició 1,1); $1 + 2a = 7 \Rightarrow a = 3$ (posició 1,2).
Resta d'elements. Posició (2,1): $2b = 6 \Rightarrow b = 3$ , que coincideix. Posició (2,2): $8 = 8$ , sempre cert.
Per què és compatible. Hi ha quatre equacions i només dues incògnites, però les de les posicions (2,1) i (2,2) no aporten res de nou. Si el segon membre hagués tingut, per exemple, un 5 a la posició (2,1), el sistema hauria estat incompatible.
Conclusió. $a = 3$ , $b = 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 22

Siguin $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $(A+B)^2$ directament.
b) Calcula $A^2 + 2AB + B^2$ . Coincideix amb l'apartat a)?
c) Desenvolupa $(A+B)^2$ correctament en funció de $A^2$ , $AB$ , $BA$ i $B^2$ , i digues quan sí que es compleix la identitat notable $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}

Resolució

Suma. $A + B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ .
Quadrat. $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+2 & 4+4 \\ 2+2 & 2+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

Apartat b)

Resultat

A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}

; no coincideix amb a).

Resolució

Productes. $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ , $B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ .
Suma. $A^2 + 2AB + B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 8 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$ .
Comparació. És diferent de $(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ .

Apartat c)

Resultat

(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2

; la identitat notable només és certa quan

AB = BA

Resolució

Desenvolupament. Per la propietat distributiva: $(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2$ .
On falla. Només es pot agrupar $AB + BA = 2AB$ si $AB = BA$ . Aquí $BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ és diferent de $AB = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Comprovació. La diferència dels dos resultats és $(A+B)^2 - (A^2 + 2AB + B^2) = BA - AB = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ .
Conclusió. La identitat notable $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ només és certa quan les dues matrius commuten.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Considera $A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $A^2$ . Hi ha cap nombre real $k \neq 0$ amb $k^2 = 0$ ? Què té de sorprenent el resultat?
b) Desenvolupa $(I + A)^2$ i $(I + A)^3$ aprofitant l'apartat a), i dedueix una fórmula per a $(I + A)^n$ .
c) Calcula $(I+A)^{10}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

: una matriu no nul·la amb quadrat nul, cosa impossible amb nombres reals.

Resolució

Càlcul. $A^2 = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-4)\cdot1 & 2\cdot(-4) + (-4)\cdot(-2) \\ 1\cdot2 + (-2)\cdot1 & 1\cdot(-4) + (-2)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
Nombres reals. No hi ha cap $k \neq 0$ amb $k^2 = 0$ : entre els nombres reals, $k^2 = 0$ obliga que $k = 0$ .
Sorpresa. Amb matrius, una matriu diferent de la nul·la pot tenir quadrat nul.

Apartat b)

Resultat

(I + A)^2 = I + 2A

;

(I + A)^3 = I + 3A

;

(I + A)^n = I + nA

Resolució

Propietat clau. $I$ commuta amb tot ( $IA = AI = A$ ), de manera que es pot fer servir la identitat notable, i $A^2 = O$ .
Quadrat. $(I + A)^2 = I + 2A + A^2 = I + 2A$ .
Cub. $(I+A)^3 = (I+2A)(I+A) = I + A + 2A + 2A^2 = I + 3A$ .
Fórmula general. Cada vegada que multipliquem per $I + A$ s'afegeix una $A$ (el terme amb $A^2$ s'anul·la): $(I + A)^n = I + nA$ .

Apartat c)

Resultat

(I+A)^{10} = \begin{pmatrix} 21 & -40 \\ 10 & -19 \end{pmatrix}

Resolució

Fórmula. Per l'apartat b), $(I+A)^{10} = I + 10A$ .
Càlcul. $I + 10A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 20 & -40 \\ 10 & -20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & -40 \\ 10 & -19 \end{pmatrix}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una matriu quadrada $A$ és idempotent si $A^2 = A$ . Considera $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .
a) Comprova que $A$ és idempotent.
b) Demostra que, aleshores, $A^n = A$ per a tot $n \geq 1$ i calcula $A^5$ .
c) Comprova que $I - A$ també és idempotent i que $A(I-A)$ és la matriu nul·la.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = A

: és idempotent.

Resolució

Càlcul. $A^2 = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + (-2)\cdot1 & 2\cdot(-2) + (-2)(-1) \\ 1\cdot2 + (-1)\cdot1 & 1\cdot(-2) + (-1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$
Conclusió. $A^2 = A$ , per tant $A$ és idempotent.

Apartat b)

Resultat

A^n = A

per a tot

n \geq 1

;

A^5 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

Resolució

Raonament per recurrència. Per a $n = 1$ és evident. Si $A^n = A$ , llavors $A^{n+1} = A^n \cdot A = A \cdot A = A^2 = A$ .
Conclusió. Per tant $A^n = A$ per a tot $n \geq 1$ i, en particular, $A^5 = A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ .

Apartat c)

Resultat

I - A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

compleix

(I-A)^2 = I - A

;

A(I-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Resolució

Matriu $I - A$ . $I - A = \begin{pmatrix} 1-2 & 0+2 \\ 0-1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ .
És idempotent. Com que $I$ commuta amb $A$ : $(I-A)^2 = I - 2A + A^2 = I - 2A + A = I - A$ .
Producte nul. $A(I - A) = A - A^2 = A - A = O$ , i amb nombres: $A(I-A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ . Fixa't que és un producte nul de dues matrius no nul·les.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Sigui $Q = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $Q^2$ , $Q^3$ i $Q^4$ . Quins nombres reconeixes?
b) Calcula $Q^{10}$ fent només quatre productes de matrius, mitjançant els quadrats successius $Q^2, Q^4, Q^8$ .
c) Si $F_n$ és la successió de Fibonacci ( $F_1 = F_2 = 1$ ), quin és el valor de $F_{10}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

Q^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Q^3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Q^4 = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

: apareixen els nombres de Fibonacci.

Resolució

Quadrat. $Q^2 = Q\cdot Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .
Cub i quarta potència. $Q^3 = Q^2\cdot Q = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ i $Q^4 = Q^3 \cdot Q = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ .
Patró. Apareixen els nombres de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5. En general, $Q^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

Q^{10} = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}

Resolució

Quadrats successius. Ja tenim $Q^2$ (1r producte) i $Q^4 = (Q^2)^2$ (2n producte).
Càlcul de $Q^8$ . $Q^8 = (Q^4)^2 = \begin{pmatrix} 34 & 21 \\ 21 & 13 \end{pmatrix}$ (3r producte).
Càlcul de $Q^{10}$ . $Q^{10} = Q^8 \cdot Q^2 = \begin{pmatrix} 89 & 55 \\ 55 & 34 \end{pmatrix}$ (4t producte).
Conclusió. Hem fet 4 productes: $Q^2$ , $Q^4$ , $Q^8$ i $Q^8Q^2$ , en lloc dels 9 que caldria multiplicant $Q$ una vegada i una altra.

Apartat c)

Resultat

F_{10} = 55

Resolució

Relació. $Q^{n} = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{pmatrix}$ , per tant l'element fora de la diagonal de $Q^{10}$ és $F_{10}$ .
Conclusió. $F_{10} = 55$ . Comprovació: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Sigui $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $A^2$ i $A^3$ i formula una conjectura per a $A^n$ .
b) Demostra la conjectura: suposant que és certa per a $n$ , comprova que ho és per a $n+1$ .
c) Calcula $A^{20}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

; conjectura:

A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Resolució

Càlcul. $A^2 = A\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $A^3 = A^2\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Conjectura. L'element (1,2) creix de 3 en 3 (3, 6, 9…) i la resta no canvia: $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

La fórmula és certa per a

n = 1

i, si ho és per a

n

, ho és per a

n+1

: val per a tot

n \geq 1

Resolució

Cas inicial. Per a $n = 1$ , la fórmula dona $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A$ .
Pas d'inducció. Si $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , llavors $A^{n+1} = A^n A = \begin{pmatrix} 1 & 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 + 3n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3(n+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Conclusió. La fórmula és certa per a $n = 1$ i, si ho és per a $n$ , ho és per a $n+1$ : per tant, ho és per a tot $n \geq 1$ .

Apartat c)

Resultat

A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 60 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Resolució

Aplicació. Amb $n = 20$ : $3\cdot 20 = 60$ .
Conclusió. $A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 60 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una empresa té dos clients, que fan comandes de tres productes. La matriu $O$ dona les unitats que demana cada client (files: clients; columnes: productes). La matriu $R$ dona les unitats de dues matèries primeres que necessita cada unitat de producte (files: productes; columnes: matèries primeres). La matriu $C$ dona el cost de cada matèria primera, en euros per unitat.
$O = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ , $R = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $O\cdot R$ i interpreta-la.
b) Calcula el cost total de la matèria primera de cada client de dues maneres: $(O R)C$ i $O(R C)$ . Comprova que coincideixen i explica quina propietat ho garanteix.
c) Quina de les dues maneres demana menys multiplicacions de nombres? Justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

O\cdot R = \begin{pmatrix} 12 & 11 \\ 14 & 17 \end{pmatrix}

: unitats de cada matèria primera que necessita la comanda de cada client.

Resolució

Dimensions. $O$ és $2\times 3$ (clients × productes) i $R$ és $3 \times 2$ (productes × matèries primeres): $O\cdot R$ és $2\times 2$ .
Càlcul. Fila 1: $3\cdot2 + 2\cdot1 + 1\cdot4 = 12$ , $3\cdot1 + 2\cdot3 + 1\cdot2 = 11$ . Fila 2: $1\cdot2 + 4\cdot1 + 2\cdot4 = 14$ , $1\cdot1 + 4\cdot3 + 2\cdot2 = 17$ .
Interpretació. Cada fila és un client i cada columna una matèria primera; l'element indica les unitats d'aquella matèria primera que necessita la comanda del client. Per exemple, el client 2 necessita 17 unitats de la segona.

Apartat b)

Resultat

(OR)C = O(RC) = \begin{pmatrix} 93 \\ 121 \end{pmatrix}

: 93 € el client 1 i 121 € el client 2. Ho garanteix la propietat associativa.

Resolució

Primera via. $(OR)C = \begin{pmatrix} 12 & 11 \\ 14 & 17 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60+33 \\ 70+51 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 93 \\ 121 \end{pmatrix}$ .
Segona via. $RC = \begin{pmatrix} 13 \\ 14 \\ 26 \end{pmatrix}$ (cost de les matèries primeres d'una unitat de cada producte) i $O(RC) = \begin{pmatrix} 39+28+26 \\ 13+56+52 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 93 \\ 121 \end{pmatrix}$ .
Conclusió. Coincideixen, perquè el producte de matrius és associatiu: $(OR)C = O(RC)$ . El client 1 té un cost de 93 € i el client 2, de 121 €.

Apartat c)

Resultat

O(RC)

: 12 multiplicacions, davant de les 16 de

(OR)C

Resolució

Recompte. Multiplicar una matriu $m \times n$ per una $n \times p$ demana $m \cdot n \cdot p$ multiplicacions ( $m \cdot p$ elements, $n$ productes cadascun).
Via $(OR)C$ . $OR$ necessita $2\cdot3\cdot2 = 12$ i després $(OR)C$ , $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ : en total 16.
Via $O(RC)$ . $RC$ necessita $3\cdot 2\cdot1 = 6$ i després $O(RC)$ , $2 \cdot 3 \cdot 1 = 6$ : en total 12.
Conclusió. $O(RC)$ és més econòmica, tot i que dona el mateix resultat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una plataforma de vídeo té dos serveis, A i B. Cada setmana, el 90 % dels abonats d'A es queden a A i la resta passa a B, i el 80 % dels de B es queden a B i la resta passa a A. Així, la matriu de transició és $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ . L'estat és el vector de proporcions $x = \binom{x_A}{x_B}$ , amb $x_A + x_B = 1$ . Inicialment $x_0 = \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}5 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $x_1$ , $x_2$ i $x_3$ amb quatre decimals.
b) Hi ha un estat $x$ que no canvia amb el temps, és a dir, que compleix $Px = x$ . Troba'l.
c) Interpreta el resultat: cap a on tendeix la quota de cada servei?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

x_1 = \begin{pmatrix} 0{,}5500 \\ 0{,}4500 \end{pmatrix}

;

x_2 = \begin{pmatrix} 0{,}5850 \\ 0{,}4150 \end{pmatrix}

;

x_3 = \begin{pmatrix} 0{,}6095 \\ 0{,}3905 \end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. Cada setmana l'estat es multiplica per la matriu de transició: $x_{n+1} = P x_n$ .
Primera setmana. $x_1 = Px_0$ : $0{,}9\cdot0{,}5 + 0{,}2\cdot0{,}5 = 0{,}55$ i $0{,}1\cdot0{,}5 + 0{,}8\cdot0{,}5 = 0{,}45$ .
Segona setmana. $x_2 = Px_1$ : $0{,}9\cdot0{,}55 + 0{,}2\cdot0{,}45 = 0{,}585$ i $0{,}1\cdot0{,}55 + 0{,}8\cdot0{,}45 = 0{,}415$ .
Tercera setmana. $x_3 = Px_2$ : $0{,}9\cdot0{,}585 + 0{,}2\cdot0{,}415 = 0{,}6095$ i $0{,}1\cdot0{,}585 + 0{,}8\cdot0{,}415 = 0{,}3905$ .
Conclusió. La proporció d'A passa de 0,5 a 0,55, 0,585 i 0,6095; a cada pas $x_A + x_B = 1$ .

Apartat b)

Resultat

x = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. Volem $Px = x$ amb $x_A + x_B = 1$ . Primera equació: $0{,}9x_A + 0{,}2x_B = x_A$ , és a dir, $-0{,}1x_A + 0{,}2x_B = 0$ , i per tant $x_A = 2x_B$ .
Segona equació. $0{,}1x_A + 0{,}8x_B = x_B$ dona $0{,}1x_A = 0{,}2x_B$ : la mateixa condició. Per això cal la condició $x_A + x_B = 1$ .
Càlcul. $2x_B + x_B = 1 \Rightarrow 3x_B = 1$ , $x_B = \tfrac13$ , $x_A = \tfrac23$ .
Comprovació. $P\begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}9\cdot 2/3 + 0{,}2\cdot 1/3 \\ 0{,}1\cdot2/3 + 0{,}8\cdot1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}$

Apartat c)

Resultat

A llarg termini, A tindrà aproximadament dos terços dels abonats i B, un terç.

Resolució

Tendència. Els valors de $x_n$ (0,55; 0,585; 0,6095…) s'acosten a $\begin{pmatrix} 0{,}667 \\ 0{,}333 \end{pmatrix}$ , l'estat estacionari de l'apartat b).
Conclusió. A llarg termini, A tindria aproximadament dos terços dels abonats i B un terç, independentment de com es repartissin els abonats al principi.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Una matriu quadrada $K$ és antisimètrica si $K^{\mathrm{t}} = -K$ . Sigui $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix}$ .
a) Calcula $S = \tfrac12(A + A^{\mathrm{t}})$ i $K = \tfrac12(A - A^{\mathrm{t}})$ .
b) Comprova que $S$ és simètrica, que $K$ és antisimètrica i que $A = S + K$ .
c) Demostra que això es pot fer amb qualsevol matriu quadrada, i digues què val la diagonal d'una matriu antisimètrica i per què.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

S = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}

;

K = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}

Resolució

Transposada. $A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ -3 & 4 & 7 \end{pmatrix}$ .
Part simètrica. $A + A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 0 \\ 6 & 4 & 4 \\ 0 & 4 & 14 \end{pmatrix}$ , per tant $S = \tfrac12(A + A^{\mathrm{t}}) = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ .
Part antisimètrica. $A - A^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -6 \\ -4 & 0 & 4 \\ 6 & -4 & 0 \end{pmatrix}$ , per tant $K = \tfrac12(A - A^{\mathrm{t}}) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ .

Apartat b)

Resultat

S^{\mathrm{t}} = S

K^{\mathrm{t}} = -K

S + K = A

Resolució

$S$ és simètrica. $S^{\mathrm{t}} = S$ ; es veu a simple vista: $s_{12} = s_{21} = 3$ , $s_{13} = s_{31} = 0$ , $s_{23} = s_{32} = 2$ .
$K$ és antisimètrica. $K^{\mathrm{t}} = -K$ : $k_{12} = 2$ i $k_{21} = -2$ ; $k_{13} = -3$ i $k_{31} = 3$ ; $k_{23} = 2$ i $k_{32} = -2$ ; i la diagonal és zero.
Suma. $S + K = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+2 & 0-3 \\ 3-2 & 2+0 & 2+2 \\ 0+3 & 2-2 & 7+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 0 & 7 \end{pmatrix} = A$ .

Apartat c)

Resultat

Tota matriu quadrada és suma d'una simètrica i una antisimètrica; la diagonal d'una antisimètrica és tota zero, perquè

k_{ii} = -k_{ii}

Resolució

Suma. Per a qualsevol matriu quadrada $A$ : $S + K = \tfrac12(A + A^{\mathrm{t}}) + \tfrac12(A - A^{\mathrm{t}}) = A$ .
Simetries. Com que $(A^{\mathrm{t}})^{\mathrm{t}} = A$ : $S^{\mathrm{t}} = \tfrac12(A^{\mathrm{t}} + A) = S$ i $K^{\mathrm{t}} = \tfrac12(A^{\mathrm{t}} - A) = -K$ .
Diagonal d'una antisimètrica. La transposada no mou els elements de la diagonal, de manera que $K^{\mathrm{t}} = -K$ obliga $k_{ii} = -k_{ii}$ , és a dir, $2k_{ii} = 0$ i $k_{ii} = 0$ .
Conclusió. Tots els elements de la diagonal d'una antisimètrica són zero, com es veu a $K$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quan es poden multiplicar dues matrius?

Quan el nombre de columnes de la primera és igual al nombre de files de la segona. Si A és de dimensió m×n i B és de dimensió n×p, el producte AB existeix i és de dimensió m×p.

Per què el producte de matrius no és commutatiu?

Perquè en general AB i BA no són iguals; de vegades ni tan sols tenen la mateixa dimensió, o un dels dos productes no existeix. Per això l'ordre dels factors importa sempre.

Com es calcula un element del producte AB?

L'element de la fila i i la columna j és la suma dels productes dels elements de la fila i de A pels elements corresponents de la columna j de B.

Per a què serveixen les matrius en problemes reals?

Per organitzar taules de dades (vendes, costos, recursos), descriure xarxes i canvis d'estat, i representar transformacions del pla. El producte de matrius combina aquestes taules en una sola operació.

Tornar a Matemàtiques