Exercicis de nombres reals i complexos — Matemàtiques 1r Batxillerat

Aquest primer tema de Matemàtiques I junta tres blocs. A la part de nombres reals racionalitzes denominadors amb arrels i resols equacions logarítmiques, comprovant que les solucions tinguin sentit. A la part de polinomis divideixes, factoritzes traient factor comú i fas servir la regla de Ruffini. La novetat del curs són els nombres complexos: operes en forma binòmica, representes nombres al pla complex i passes de forma binòmica a polar i a l'inrevés, com amb z = −3 + 3i. Les solucions detallen el quadrant de cada argument. Errors típics: escriure que el logaritme d'una suma és la suma de logaritmes i resoldre malament inequacions amb valor absolut.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Racionalitza $\tfrac{4}{\sqrt{3}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}

Resolució

Dades. Volem treure l'arrel del denominador de $\tfrac{4}{\sqrt{3}}$ .
Racionalització. Multipliques numerador i denominador per $\sqrt{3}$ , perquè $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$ : $\dfrac{4}{\sqrt{3}} = \dfrac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
Conclusió. El 4 i el 3 no tenen cap factor comú, per tant el resultat final és $\tfrac{4\sqrt{3}}{3}$ (també es pot escriure $4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{3}$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Sense fer la divisió, digues quin dels dos divisors, x - 2 o $x^{2}$ + 3, es pot fer servir amb Ruffini i per què.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Només

x - 2

: Ruffini serveix per a divisors de la forma

x - a

(grau 1 i coeficient de la

x

igual a 1).

Resolució

Condició de Ruffini. La regla de Ruffini només es pot fer servir quan el divisor és de la forma $x - a$ , és a dir, de grau 1 i amb el coeficient de la $x$ igual a 1.
Divisor x − 2. És exactament de la forma $x - a$ amb $a = 2$ : s'hi pot aplicar Ruffini.
Divisor x² + 3. Té grau 2, així que no és de la forma $x - a$ : aquesta divisió s'ha de fer per divisió llarga.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Treu factor comú a 10x⁴ - 15x³ + 5x².

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

10x^{4} - 15x^{3} + 5x^{2} = 5x^{2}\,(2x^{2} - 3x + 1)

Resolució

Coeficients. El màxim comú divisor de 10, 15 i 5 és 5.
Part literal. La potència de $x$ comuna a tots els termes és la d'exponent més petit, $x^{2}$ . Per tant, el factor comú és $5x^{2}$ .
Divisió de cada terme. $\tfrac{10x^{4}}{5x^{2}} = 2x^{2}$ , $\tfrac{-15x^{3}}{5x^{2}} = -3x$ , $\tfrac{5x^{2}}{5x^{2}} = 1$ : $10x^{4} - 15x^{3} + 5x^{2} = 5x^{2}\,(2x^{2} - 3x + 1)$
Comprovació. Si tornes a multiplicar, $5x^{2}\cdot 2x^{2} - 5x^{2}\cdot 3x + 5x^{2}\cdot 1$ retorna el polinomi inicial. Si vols anar més enllà, $2x^{2} - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Classifica cada un d'aquests nombres dient quin és el conjunt més petit al qual pertany (naturals N, enters Z, racionals Q o irracionals I): $\sqrt{16}$ , - $\tfrac{7}{2}$ , 0,333…, π, $\sqrt{5}$ i 2,101001000100001…

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N}

;

-\tfrac{7}{2} \in \mathbb{Q}

;

0{,}333\ldots \in \mathbb{Q}

;

\pi \in \mathbb{I}

;

\sqrt{5} \in \mathbb{I}

;

2{,}101001000100001\ldots \in \mathbb{I}

Resolució

Criteri. Un nombre és racional si es pot escriure com a fracció (decimal exacte o periòdic) i irracional si té infinites xifres decimals no periòdiques. Tots sis són reals: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ .
√16 i −7/2. $\sqrt{16} = 4$ és natural (i, per tant, també enter, racional i real). $-\tfrac{7}{2} = -3{,}5$ és racional (decimal exacte), però no enter.
0,333… És un decimal periòdic, $0{,}333\ldots = \tfrac{1}{3}$ : racional.
π i √5. $\pi = 3{,}14159\ldots$ és irracional: té infinites xifres decimals no periòdiques. $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots$ és irracional perquè 5 no és un quadrat perfecte.
2,101001000100001… Té infinites xifres que no es repeteixen periòdicament (cada vegada hi ha un zero més entre els uns): és irracional.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Escriu com a interval el conjunt A = {x ∈ R : |x - 5| < 3} i, a la inversa, expressa l'interval [-1, 7] com una desigualtat amb valor absolut.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

A = (2,\ 8)

;

[-1,\ 7] = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \le 4\}

Resolució

Significat del valor absolut. $|x - 5| < 3$ vol dir que la distància de $x$ a 5 és menor que 3: $-3 < x - 5 < 3$
Interval A. Sumant 5 a tots els membres, $2 < x < 8$ . Per tant $A = (2,\ 8)$ , interval obert perquè la desigualtat és estricta.
Centre i radi de [−1, 7]. Centre: $\tfrac{-1 + 7}{2} = 3$ . Radi: $\tfrac{7 - (-1)}{2} = 4$ . Són els nombres que disten de 3 com a màxim 4 unitats.
Desigualtat. $[-1,\ 7] = \{x \in \mathbb{R} : |x - 3| \le 4\}$ , amb $\le$ perquè els extrems hi són inclosos.
Comprovació. $x = 7$ dona $|7 - 3| = 4 \le 4$ (hi és), i $x = 8$ dona $|8 - 3| = 5 > 4$ (no hi és).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Simplifica $\sqrt{50}$ + $\sqrt{18}$ - $\sqrt{8}$ i calcula $\sqrt{12}$ · $\sqrt{27}$ , donant els resultats de la manera més senzilla possible.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} = 6\sqrt{2}

;

\sqrt{12}\cdot\sqrt{27} = 18

Resolució

Extreure factors. Descomponem cada radicand: $\sqrt{50} = \sqrt{25\cdot 2} = 5\sqrt{2}$ , $\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}$ , $\sqrt{8} = \sqrt{4\cdot 2} = 2\sqrt{2}$ .
Suma de radicals semblants. Ara tots tenen el mateix índex i el mateix radicand, i es poden sumar: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
Producte. Arrels del mateix índex es multipliquen sota una sola arrel: $\sqrt{12}\cdot\sqrt{27} = \sqrt{12\cdot 27} = \sqrt{324} = 18$
Comprovació. Amb calculadora, $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ i $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} \approx 7{,}07 + 4{,}24 - 2{,}83 = 8{,}48$ (la petita diferència és d'arrodoniment).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula sense calculadora, aplicant la definició de logaritme: log₂ 32, log₃ ( $\tfrac{1}{9}$ ), log 0,001 i ln $e^{5}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

\log_{2} 32 = 5

;

\log_{3}\tfrac{1}{9} = -2

;

\log 0{,}001 = -3

;

\ln e^{5} = 5

Resolució

Definició de logaritme. $\log_{a} N = x \iff a^{x} = N$ : busquem a quin exponent cal elevar la base per obtenir el nombre.
Base 2 i base 3. $\log_{2} 32 = 5$ , perquè $2^{5} = 32$ . $\log_{3}\tfrac{1}{9} = -2$ , perquè $3^{-2} = \tfrac{1}{9}$ .
Logaritme decimal. Quan no s'escriu la base, és 10: $\log 0{,}001 = -3$ , perquè $10^{-3} = 0{,}001$ .
Logaritme neperià. La base de $\ln$ és el nombre $e$ , per tant $\ln e^{5} = 5$ .
Fixa't. El logaritme d'un nombre entre 0 i 1 existeix, i és negatiu (no pensis que no existeix).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Sense fer la divisió, calcula el residu de dividir P(x) = $x^{4}$ - 3x² + 5x - 2 entre x + 2. És x + 2 un factor de P(x)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Residu

= P(-2) = -8

; com que no és 0,

x + 2

no és factor de

P(x)

Resolució

Teorema del residu. El residu de dividir $P(x)$ entre $x - a$ és $P(a)$ . Aquí $x + 2 = x - (-2)$ , així que $a = -2$ .
Càlcul. $P(-2) = (-2)^{4} - 3\cdot(-2)^{2} + 5\cdot(-2) - 2 = 16 - 12 - 10 - 2 = -8$
Teorema del factor. $x + 2$ seria factor de $P(x)$ només si $P(-2) = 0$ . Com que el residu és $-8 \neq 0$ , no ho és.
Fixa't. S'ha de substituir el valor que anul·la el divisor, $x = -2$ , no $x = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Donats $z_{1}$ = 3 - 2i i $z_{2}$ = -1 + 4i, calcula $z_{1}$ + $z_{2}$ , $z_{1}$ - $z_{2}$ i $z_{1}$ · $z_{2}$ en forma binòmica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

z_{1} + z_{2} = 2 + 2i

;

z_{1} - z_{2} = 4 - 6i

;

z_{1}\cdot z_{2} = 5 + 14i

Resolució

Suma. S'agrupen les parts reals i les imaginàries: $(3 - 1) + (-2 + 4)i = 2 + 2i$ .
Resta. $(3 - (-1)) + (-2 - 4)i = 4 - 6i$ .
Producte. Es multiplica com dos binomis i s'aplica $i^{2} = -1$ : $(3 - 2i)(-1 + 4i) = -3 + 12i + 2i - 8i^{2} = -3 + 14i + 8 = 5 + 14i$
Fixa't. $-8i^{2} = +8$ ; si t'oblides del canvi de signe obtens l'erroni $-11 + 14i$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Calcula $i^{14}$ , $i^{27}$ , $i^{101}$ i $\tfrac{1}{i}$ , i explica el mètode que fas servir.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

i^{14} = -1

;

i^{27} = -i

;

i^{101} = i

;

\tfrac{1}{i} = -i

Resolució

Mètode. Les potències de $i$ es repeteixen cada quatre: $i^{1} = i$ , $i^{2} = -1$ , $i^{3} = -i$ , $i^{4} = 1$ . Per tant $i^{n} = i^{r}$ , on $r$ és el residu de dividir $n$ entre 4.
Potències. $14 = 4\cdot 3 + 2 \Rightarrow i^{14} = i^{2} = -1$ . $27 = 4\cdot 6 + 3 \Rightarrow i^{27} = i^{3} = -i$ . $101 = 4\cdot 25 + 1 \Rightarrow i^{101} = i$ .
Invers de i. Multipliquem numerador i denominador per $i$ : $\dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^{2}} = \dfrac{i}{-1} = -i$
Comprovació. $i\cdot(-i) = -i^{2} = 1$ , així que $-i$ és realment l'invers de $i$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Divideix 2x³ - 3x² + 4 entre $x^{2}$ + x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Quocient

C(x) = 2x - 5

; residu

R(x) = 5x + 4

Resolució

Plantejament. El divisor $x^{2} + x$ és de grau 2: cal fer la divisió llarga (no Ruffini). Escriu el dividend complet: $2x^{3} - 3x^{2} + 0x + 4$ .
Primer terme. $\tfrac{2x^{3}}{x^{2}} = 2x$ . Restem $2x\,(x^{2} + x) = 2x^{3} + 2x^{2}$ : queda $-5x^{2} + 0x + 4$ .
Segon terme. $\tfrac{-5x^{2}}{x^{2}} = -5$ . Restem $-5\,(x^{2} + x) = -5x^{2} - 5x$ : queda $5x + 4$ , de grau menor que el divisor, i aquí s'acaba.
Comprovació. $(x^{2} + x)(2x - 5) + 5x + 4 = 2x^{3} - 3x^{2} - 5x + 5x + 4 = 2x^{3} - 3x^{2} + 4$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Passa a forma polar z = -1 - i i, per comprovar, torna'l a forma binòmica. Ves amb compte amb el quadrant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

z = \sqrt{2}_{\,225^\circ} = \sqrt{2}\,(\cos 225^\circ + i\sin 225^\circ)

(argument

\tfrac{5\pi}{4}

); en tornar a binòmica dona

-1 - i

Resolució

Mòdul. $r = \sqrt{(-1)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}$ .
Parany del quadrant. $\tan\theta = \tfrac{-1}{-1} = 1$ i la calculadora dona 45°, però aquest angle és del primer quadrant, i el nostre punt (part real i imaginària negatives) és al tercer quadrant. Cal sumar 180°: $\theta = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ$ (o $\tfrac{5\pi}{4}$ ).
Forma polar. $z = \sqrt{2}\,(\cos 225^\circ + i\sin 225^\circ) = \sqrt{2}_{\,225^\circ}$ .
Comprovació. $\cos 225^\circ = \sin 225^\circ = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ , per tant $z = \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} - i\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1 - i$ Coincideix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Calcula el mòdul i l'argument de z = -2 - 2i i digues a quin quadrant cau.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

|z| = 2\sqrt{2}

;

\arg z = 225^\circ

; és al tercer quadrant.

Resolució

Mòdul. $|z| = \sqrt{(-2)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ .
Quadrant. La part real i la part imaginària són negatives: el punt $(-2,\ -2)$ és al tercer quadrant.
Argument. $\tan\theta = \tfrac{-2}{-2} = 1$ i la calculadora dona 45°, però com que som al tercer quadrant hi sumes 180°: $\theta = 225^\circ$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Passa a forma polar z = -3 + 3i.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

z = (3\sqrt{2})_{135^\circ} = 3\sqrt{2}\,(\cos 135^\circ + i\sin 135^\circ)

Resolució

Mòdul. $|z| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ .
Argument. $\tan\theta = \tfrac{3}{-3} = -1$ i la calculadora dona −45°, però el punt $(-3,\ 3)$ és al segon quadrant, per tant hi sumes 180°: $\theta = 135^\circ$ .
Forma polar. $z = (3\sqrt{2})_{135^\circ}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En un càlcul es fa servir 1,73 com a aproximació de $\sqrt{3}$ = 1,7320508… Calcula l'error absolut i l'error relatiu (en %) que es cometen. Quantes xifres decimals caldria agafar, com a mínim, perquè l'error absolut fos més petit que 0,001?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

E_{a} \approx 0{,}0021

;

E_{r} \approx 0{,}12\ \%

; calen com a mínim 3 xifres decimals (1,732).

Resolució

Error absolut. $E_{a} = |\text{valor exacte} - \text{aproximació}| = |1{,}7320508 - 1{,}73| = 0{,}0020508 \approx 0{,}0021$ .
Error relatiu. Es divideix l'error absolut pel valor exacte i se sol expressar en tant per cent: $E_{r} = \dfrac{0{,}0020508}{1{,}7320508} = 0{,}001184 \approx 0{,}12\ \%$
Dues xifres decimals. Amb 1,73 l'error absolut (0,0021) supera 0,001.
Tres xifres decimals. Amb 1,732, $E_{a} = |1{,}7320508 - 1{,}732| = 0{,}0000508 < 0{,}001$ .
Conclusió. Calen com a mínim 3 xifres decimals (1,732).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Racionalitza i simplifica les expressions $\tfrac{3}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$ i $\tfrac{2}{(3 + \sqrt{7})}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\dfrac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}

;

\dfrac{2}{3 + \sqrt{7}} = 3 - \sqrt{7}

Resolució

Mètode del conjugat. Quan el denominador és un binomi amb arrels, multipliquem numerador i denominador pel seu conjugat (el mateix binomi amb el signe del mig canviat) i apliquem $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Primera expressió. $\dfrac{3}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \dfrac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$
Segona expressió. $\dfrac{2}{3 + \sqrt{7}} = \dfrac{2(3 - \sqrt{7})}{(3 + \sqrt{7})(3 - \sqrt{7})} = \dfrac{2(3 - \sqrt{7})}{9 - 7} = 3 - \sqrt{7}$
Comprovació. Amb calculadora, $\tfrac{3}{2{,}236 - 1{,}414} \approx 3{,}65$ i $\sqrt{5} + \sqrt{2} \approx 3{,}65$ ; $\tfrac{2}{3 + 2{,}646} \approx 0{,}354$ i $3 - \sqrt{7} \approx 0{,}354$ .
Fixa't. Si multipliques només pel radical (per exemple, per $\sqrt{5}$ ) en lloc de pel conjugat sencer, el denominador no queda racional.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Resol l'equació exponencial $3^{2x}$ - 4· $3^{x}$ + 3 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

x = 0

x = 1

Resolució

Canvi de variable. Escrivim $3^{2x} = (3^{x})^{2}$ i fem $t = 3^{x}$ (amb $t > 0$ ): $t^{2} - 4t + 3 = 0$ .
Equació de segon grau. $t = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \dfrac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow t = 3 \ \text{o}\ t = 1$ Tots dos són positius, per tant cap no es descarta (una potència de base positiva sempre és positiva).
Desfer el canvi. $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ ; $3^{x} = 1 = 3^{0} \Rightarrow x = 0$ .
Comprovació. Per a $x = 1$ : $9 - 12 + 3 = 0$ . Per a $x = 0$ : $1 - 4 + 3 = 0$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Sabent que log 2 ≈ 0,301 i log 3 ≈ 0,477, calcula sense calculadora log 6, log 1,5, log 8 i log $\sqrt{12}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\log 6 \approx 0{,}778

;

\log 1{,}5 \approx 0{,}176

;

\log 8 \approx 0{,}903

;

\log\sqrt{12} \approx 0{,}540

Resolució

Propietats. $\log(a\cdot b) = \log a + \log b$ , $\log\tfrac{a}{b} = \log a - \log b$ i $\log a^{n} = n\log a$ .
log 6 i log 1,5. $\log 6 = \log(2\cdot 3) = 0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778$ . $\log 1{,}5 = \log\tfrac{3}{2} = 0{,}477 - 0{,}301 = 0{,}176$ .
log 8. $\log 8 = \log 2^{3} = 3\cdot 0{,}301 = 0{,}903$ .
log √12. $\log\sqrt{12} = \tfrac{1}{2}\log(2^{2}\cdot 3) = \tfrac{1}{2}(2\cdot 0{,}301 + 0{,}477) = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}079 = 0{,}5395 \approx 0{,}540$
Fixa't. El logaritme d'una suma no es pot descompondre: $\log(2 + 3) \neq \log 2 + \log 3$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Factoritza completament el polinomi P(x) = $x^{4}$ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 i indica'n les arrels.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)

; arrels

x = -1,\ 1,\ 2,\ 3

(totes simples).

Resolució

Candidats. Les arrels enteres, si n'hi ha, són divisors del terme independent $-6$ : $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ .
x = 1. $P(1) = 1 - 5 + 5 + 5 - 6 = 0$ . Per Ruffini entre $x - 1$ queda $x^{3} - 4x^{2} + x + 6$ .
x = −1. En el quocient, $-1 - 4 - 1 + 6 = 0$ . Dividint entre $x + 1$ queda $x^{2} - 5x + 6$ .
Equació de segon grau. $x^{2} - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = 2 \ \text{o}\ x = 3$
Conclusió i comprovació. $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x - 3)$ . El producte dels termes independents dels factors és $(-1)\cdot 1\cdot(-2)\cdot(-3) = -6$ , que coincideix amb el de $P(x)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Simplifica la fracció algebraica $\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x^{2} + 4x + 4)}$ i calcula $\tfrac{2}{(x - 1)}$ - $\tfrac{x}{(x^{2} - 1)}$ , donant el resultat simplificat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

\dfrac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4x + 4} = \dfrac{x - 2}{x + 2}

(

x \neq -2

);

\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{x}{x^{2} - 1} = \dfrac{x + 2}{x^{2} - 1}

Resolució

Factoritzar. $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (diferència de quadrats) i $x^{2} + 4x + 4 = (x + 2)^{2}$ (quadrat d'un binomi).
Simplificar. $\dfrac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4x + 4} = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{(x + 2)^{2}} = \dfrac{x - 2}{x + 2},\quad x \neq -2$
Denominador comú. El mínim comú múltiple dels denominadors és $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$ , així que $\tfrac{2}{x - 1} = \tfrac{2(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$ .
Resta. $\dfrac{2}{x - 1} - \dfrac{x}{x^{2} - 1} = \dfrac{2x + 2 - x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{x + 2}{x^{2} - 1}$
Fixa't. Només es poden simplificar factors comuns, mai sumands: no pots «tatxar» $x^{2}$ a dalt i a baix de la primera fracció.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Calcula en forma binòmica el quocient (2 + 3i)/(1 - i) i l'invers del nombre complex z = 3 + 4i.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

\dfrac{2 + 3i}{1 - i} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i

;

\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i

Resolució

Mètode. Per dividir complexos, multipliquem numerador i denominador pel conjugat del denominador, que el converteix en un nombre real.
Quocient. $\dfrac{2 + 3i}{1 - i} = \dfrac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{2 + 5i + 3i^{2}}{1 - i^{2}} = \dfrac{-1 + 5i}{2} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2}i$
Invers. $\dfrac{1}{3 + 4i} = \dfrac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \dfrac{3 - 4i}{9 + 16} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i$ En general, $\tfrac{1}{z} = \tfrac{\bar{z}}{|z|^{2}}$ ; aquí $|z|^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ .
Comprovació. $(3 + 4i)\cdot\tfrac{3 - 4i}{25} = \tfrac{9 + 16}{25} = 1$ , com ha de ser.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Resol l'equació |x - 2| + |x + 1| = 5.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

x = -2

x = 3

Resolució

Trams. Els valors absoluts canvien de signe a $x = 2$ i a $x = -1$ : cal estudiar tres trams.
x ≥ 2. $(x - 2) + (x + 1) = 5 \Rightarrow 2x - 1 = 5 \Rightarrow x = 3$ . Està dins del tram: val.
−1 ≤ x < 2. $(2 - x) + (x + 1) = 3$ , i $3 \neq 5$ : cap solució en aquest tram.
x < −1. $(2 - x) - (x + 1) = 5 \Rightarrow 1 - 2x = 5 \Rightarrow x = -2$ . Està dins del tram: val.
Conclusió. Solucions: $x = -2$ i $x = 3$ . Comprovació: $|-4| + |-1| = 5$ i $|1| + |4| = 5$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Resol l'equació log(x) + log(x - 3) = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

x = 5

(la solució

x = -2

es descarta)

Resolució

Domini. Perquè existeixin $\log x$ i $\log(x - 3)$ cal $x > 3$ .
Logaritme d'un producte. $\log x + \log(x - 3) = \log\big(x(x - 3)\big) = 1 = \log 10$ , és a dir, $x(x - 3) = 10$ .
Equació de segon grau. $x^{2} - 3x - 10 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{3 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 5$ o $x = -2$ .
Comprovació. Amb $x = -2$ , $\log(-2)$ no existeix: es descarta. Amb $x = 5$ : $\log 5 + \log 2 = \log 10 = 1$ . L'única solució és $x = 5$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Troba les tres arrels cúbiques de 8 (és a dir, els complexos z amb $z^{3}$ = 8) i situa-les al pla complex.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

z_{0} = 2

;

z_{1} = 2_{120^\circ} = -1 + \sqrt{3}\,i

;

z_{2} = 2_{240^\circ} = -1 - \sqrt{3}\,i

. Són els vèrtexs d'un triangle equilàter inscrit a la circumferència de radi 2.

Resolució

8 en forma polar. Mòdul 8 i argument 0°: $8 = 8_{0^\circ} = 8\,(\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ)$ .
Arrels n-èsimes. Un complex $r_{\theta}$ té $n$ arrels n-èsimes, totes amb el mateix mòdul $\sqrt[n]{r}$ i arguments $\dfrac{\theta + k\cdot 360^\circ}{n},\quad k = 0, 1, \ldots, n - 1$
Mòdul i arguments. Aquí $n = 3$ : el mòdul és $\sqrt[3]{8} = 2$ i els arguments són $\tfrac{0^\circ + k\cdot 360^\circ}{3}$ : 0°, 120° i 240°.
Les tres arrels. $k = 0$ : $2\,(\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ) = 2$ . $k = 1$ : $2\,(\cos 120^\circ + i\sin 120^\circ) = -1 + \sqrt{3}\,i$ . $k = 2$ : $2\,(\cos 240^\circ + i\sin 240^\circ) = -1 - \sqrt{3}\,i$ .
Al pla complex. Les arrels no s'amunteguen: queden equiespaiades sobre la circumferència de radi 2 centrada a l'origen, separades $\tfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ , i formen un triangle equilàter.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

El polinomi P(x) = $x^{3}$ + ax² + bx + 6 és divisible per x - 1 i, en dividir-lo entre x - 2, dona residu -4.
a) Troba els valors de a i b.
b) Factoritza P(x) completament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

a = -2

b = -5

Resolució

Teorema del residu. Divisible per $x - 1$ vol dir $P(1) = 0$ : $1 + a + b + 6 = 0$ , és a dir, $a + b = -7$ .
Segona condició. Residu $-4$ entre $x - 2$ vol dir $P(2) = -4$ : $8 + 4a + 2b + 6 = -4$ , és a dir, $4a + 2b = -18$ , o bé $2a + b = -9$ .
Sistema. Restant les dues equacions: $(2a + b) - (a + b) = -9 - (-7) \Rightarrow a = -2$ , i llavors $b = -7 - a = -5$ .
Conclusió. $P(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ .

Apartat b)

Resultat

P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)

Resolució

Ruffini. Com que $x = 1$ és arrel, dividim entre $x - 1$ (coeficients 1, −2, −5, 6): quocient $x^{2} - x - 6$ i residu 0.
Equació de segon grau. $x^{2} - x - 6 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 3 \ \text{o}\ x = -2$
Factorització. $P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$ .
Comprovació. $P(2) = (2 - 1)(2 - 3)(2 + 2) = 1\cdot(-1)\cdot 4 = -4$ , tal com diu l'enunciat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Resol l'equació | $x^{2}$ - 4| = 3x, comprova les solucions i raona per què cal descartar-ne alguna.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

x = 1

x = 4

(es descarten

x = -1

x = -4

)

Resolució

Condició prèvia. Un valor absolut sempre és $\ge 0$ , així que cal $3x \ge 0$ , és a dir, $x \ge 0$ : qualsevol valor negatiu que surti s'haurà de descartar.
Cas 1 (dins positiu o zero). $x^{2} - 4 = 3x \Rightarrow x^{2} - 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{3 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 4$ o $x = -1$ . Descartem $x = -1$ .
Cas 2 (dins negatiu). $x^{2} - 4 = -3x \Rightarrow x^{2} + 3x - 4 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{-3 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 1$ o $x = -4$ . Descartem $x = -4$ .
Comprovació. $x = 4$ : $|16 - 4| = 12 = 3\cdot 4$ , correcte. $x = 1$ : $|1 - 4| = 3 = 3\cdot 1$ , correcte. Amb $x = -1$ tindríem $|1 - 4| = 3$ , però $3\cdot(-1) = -3$ : no és solució.
Per què cal descartar-ne. En treure el valor absolut per casos apareixen solucions de cada equació auxiliar que no compleixen l'equació original (el membre esquerre és positiu i el dret quedaria negatiu). Solucions: $x = 1$ i $x = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Resol el sistema format per les equacions log₂ x + log₂ y = 5 i x - y = 4, i justifica quines solucions són vàlides.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

x = 8,\ y = 4

(la parella

x = -4,\ y = -8

no és vàlida)

Resolució

Condició prèvia. Perquè els logaritmes existeixin cal $x > 0$ i $y > 0$ .
Logaritme d'un producte. $\log_{2} x + \log_{2} y = \log_{2}(xy) = 5$ , per tant $xy = 2^{5} = 32$ .
Substitució. De la segona equació, $x = y + 4$ : $(y + 4)\,y = 32 \Rightarrow y^{2} + 4y - 32 = 0 \Rightarrow y = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \dfrac{-4 \pm 12}{2}$ és a dir, $y = 4$ o $y = -8$ .
Validesa. $y = -8$ donaria $x = -4$ i logaritmes de nombres negatius, que no existeixen: es descarta. Amb $y = 4$ obtenim $x = 8$ .
Comprovació. $\log_{2} 8 + \log_{2} 4 = 3 + 2 = 5$ i $8 - 4 = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Siguin $z_{1}$ = 2_30° i $z_{2}$ = 3_45°, en forma polar.
a) Calcula $z_{1}$ · $z_{2}$ i $\tfrac{z_{1}}{z_{2}}$ en forma polar.
b) Calcula $(1 + \sqrt{3}\cdot i)^{6}$ passant primer el nombre a forma polar, i dona el resultat en forma binòmica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

z_{1}\cdot z_{2} = 6_{75^\circ}

;

\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \left(\tfrac{2}{3}\right)_{-15^\circ} = \left(\tfrac{2}{3}\right)_{345^\circ}

Resolució

Propietat. En forma polar, els mòduls es multipliquen (o es divideixen) i els arguments se sumen (o es resten).
Producte. $z_{1}\cdot z_{2} = (2\cdot 3)_{30^\circ + 45^\circ} = 6_{75^\circ}$ .
Quocient. $\tfrac{z_{1}}{z_{2}} = \left(\tfrac{2}{3}\right)_{30^\circ - 45^\circ} = \left(\tfrac{2}{3}\right)_{-15^\circ} = \left(\tfrac{2}{3}\right)_{345^\circ}$ , sumant 360° per donar l'argument entre 0° i 360°.

Apartat b)

Resultat

(1 + \sqrt{3}\,i)^{6} = 64_{0^\circ} = 64

Resolució

Mòdul. $w = 1 + \sqrt{3}\,i$ : $|w| = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{4} = 2$ .
Argument. $\tan\alpha = \tfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ i, com que $w$ és al primer quadrant, $\alpha = 60^\circ$ . Així $w = 2_{60^\circ}$ .
Fórmula de De Moivre. $w^{6} = (2^{6})_{6\cdot 60^\circ} = 64_{360^\circ} = 64_{0^\circ}$ .
Forma binòmica. $64\,(\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ) = 64$ .
Comprovació. $w^{3} = 8_{180^\circ} = -8$ , i $(w^{3})^{2} = (-8)^{2} = 64$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Determina el valor del nombre real k perquè el quocient $\tfrac{(k + 2i)}{(3 - i)}$ sigui:
a) un nombre real;
b) un nombre imaginari pur.
Dona el valor del quocient en cada cas.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

k = -6

; el quocient val

-2

Resolució

Divisió. Multipliquem pel conjugat del denominador: $\dfrac{k + 2i}{3 - i} = \dfrac{(k + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \dfrac{3k + ki + 6i + 2i^{2}}{9 + 1} = \dfrac{(3k - 2) + (k + 6)i}{10}$
Parts. Part real: $\tfrac{3k - 2}{10}$ ; part imaginària: $\tfrac{k + 6}{10}$ .
Condició de nombre real. La part imaginària ha de ser 0: $k + 6 = 0 \Rightarrow k = -6$ . Llavors el quocient val $\tfrac{3\cdot(-6) - 2}{10} = \tfrac{-20}{10} = -2$ .
Comprovació. $(-2)\cdot(3 - i) = -6 + 2i$ , que és exactament el numerador $k + 2i$ amb $k = -6$ .

Apartat b)

Resultat

k = \tfrac{2}{3}

; el quocient val

\tfrac{2}{3}i

Resolució

Condició d'imaginari pur. La part real ha de ser 0 (i la imaginària no): $3k - 2 = 0 \Rightarrow k = \tfrac{2}{3}$ .
Valor del quocient. $\dfrac{\tfrac{2}{3} + 6}{10}\,i = \dfrac{20/3}{10}\,i = \dfrac{2}{3}i$ La part imaginària no és zero, per tant és realment imaginari pur.
Comprovació. $\tfrac{2}{3}i\cdot(3 - i) = 2i - \tfrac{2}{3}i^{2} = \tfrac{2}{3} + 2i$ , que és el numerador amb $k = \tfrac{2}{3}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Troba tots els nombres complexos z = a + bi que compleixen |z|² + 2z = 12 + 4i, i comprova les solucions.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

z = 2 + 2i

z = -4 + 2i

Resolució

Plantejament. Si $z = a + bi$ (amb $a, b$ reals), $|z|^{2} = a^{2} + b^{2}$ , que és real, i $2z = 2a + 2bi$ . L'equació queda $(a^{2} + b^{2} + 2a) + 2bi = 12 + 4i$
Igualtat de complexos. Dos complexos són iguals quan coincideixen les parts reals i les imaginàries. Part imaginària: $2b = 4 \Rightarrow b = 2$ .
Part real. $a^{2} + 4 + 2a = 12 \Rightarrow a^{2} + 2a - 8 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$ és a dir, $a = 2$ o $a = -4$ .
Comprovació. $z = 2 + 2i$ : $|z|^{2} = 8$ , $2z = 4 + 4i$ , i $8 + 4 + 4i = 12 + 4i$ . $z = -4 + 2i$ : $|z|^{2} = 20$ , $2z = -8 + 4i$ , i $20 - 8 + 4i = 12 + 4i$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es passa un nombre complex a forma polar?

Calcules el mòdul, l'arrel de a al quadrat més b al quadrat, i l'argument amb l'arctangent de b/a, vigilant en quin quadrant és el nombre per corregir l'angle.

El logaritme d'una suma és la suma dels logaritmes?

No. El que es compleix és que el logaritme d'un producte és la suma dels logaritmes. log(a + c) no es pot descompondre.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 29

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat