Exercicis de límits i continuïtat — Matemàtiques 1r Batxillerat

Els límits són la porta d'entrada al càlcul, i aquests exercicis t'ensenyen a calcular-los amb seguretat. Comences amb límits en un punt i límits laterals, per exemple d'una funció racional a prop del zero del denominador, i passes als límits a l'infinit. Després resols indeterminacions de tota mena: 0/0 factoritzant, infinit entre infinit comparant graus i infinit menys infinit multiplicant pel conjugat. Al final estudies la continuïtat de funcions a trossos i en calcules les asímptotes. Les solucions identifiquen el tipus d'indeterminació abans de resoldre-la. Errors típics: confondre el límit amb el valor de la funció al punt i rendir-se davant d'un 0/0.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Calcula lim_{x → +∞} $\tfrac{(x^{2} + 1)}{(x^{3} - 4)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+1}{x^{3}-4} = 0

; la funció té l'asímptota horitzontal

y = 0

Resolució

Dades. És un quocient de polinomis i, substituint, surt $\tfrac{\infty}{\infty}$ : una indeterminació.
Comparació de graus. El grau del numerador (2) és més petit que el del denominador (3). Dividint tot per $x^{3}$ : $\dfrac{x^{2}+1}{x^{3}-4} = \dfrac{\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{3}}}{1-\tfrac{4}{x^{3}}}$
Càlcul. Quan $x\to+\infty$ , el numerador tendeix a 0 i el denominador a 1, per tant el límit val $\tfrac{0}{1} = 0$ .
Conclusió. Si el denominador creix més de pressa que el numerador, el quocient tendeix a 0: la recta $y = 0$ és una asímptota horitzontal de la funció.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Digues quines d'aquestes expressions són indeterminacions i quines no: ∞ - ∞, k/∞, $\tfrac{0}{0}$ , ∞ + ∞, 1^∞, $\tfrac{0}{k}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Són indeterminacions

\infty-\infty

\tfrac{0}{0}

1^{\infty}

. No ho són

\tfrac{k}{\infty} = 0

\infty+\infty = \infty

\tfrac{0}{k} = 0

(amb

k \neq 0

Resolució

Què és una indeterminació. És una expressió que, per si sola, no diu quant val el límit: segons la funció concreta pot donar qualsevol nombre, infinit o no existir.
Indeterminacions. $\infty-\infty$ (dues coses enormes que «competeixen»), $\tfrac{0}{0}$ (numerador i denominador es fan petits alhora) i $1^{\infty}$ (base que tendeix a 1 elevada a un exponent que creix). Per exemple, $(1+\tfrac{1}{x})^{x}\to e$ però $(1+\tfrac{2}{x})^{x}\to e^{2}$ .
No indeterminacions. $\tfrac{k}{\infty} = 0$ (un nombre fix dividit per una cosa enorme), $\infty+\infty = \infty$ i $\tfrac{0}{k} = 0$ : es resolen directament amb l'aritmètica de l'infinit.
Conclusió. Només les indeterminacions necessiten una transformació prèvia (factoritzar, conjugat, denominador comú, nombre $e$ …).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Calcula lim_{x → +∞} $\tfrac{5}{x}$ . És una indeterminació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x} = 0

. No és cap indeterminació (és del tipus

\tfrac{k}{\infty}

Resolució

Dades. El numerador és fix (5) i el denominador $x$ creix sense límit.
Aritmètica de l'infinit. Un nombre fix dividit per una cosa que es fa infinitament gran tendeix a 0: $\tfrac{k}{\infty} = 0$ .
Comprovació. Per a $x = 1000$ , $\tfrac{5}{1000} = 0{,}005$ ; per a $x = 10^{6}$ , $5\cdot10^{-6}$ : cada cop més a prop de 0.
Conclusió. El límit val 0 i no és una indeterminació, perquè el resultat queda determinat directament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Calcula lim_x→2 $\tfrac{(x^{2} + 3x)}{(x - 1)}$ i raona per què en aquest cas no cal fer cap transformació prèvia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}+3x}{x-1} = 10

; no cal transformar res perquè el denominador no s'anul·la a

x = 2

i la funció hi és contínua.

Resolució

Dades. És una funció racional; mirem què passa amb el denominador a $x = 2$ : $2-1 = 1 \neq 0$ .
Continuïtat de les funcions racionals. Una funció racional és contínua a tots els punts on el denominador no s'anul·la, i en un punt de continuïtat el límit s'obté substituint directament.
Càlcul. $\lim_{x\to2}\dfrac{x^{2}+3x}{x-1} = \dfrac{2^{2}+3\cdot2}{2-1} = \dfrac{4+6}{1} = 10$
Conclusió. Només cal recórrer a factoritzar, al conjugat o a altres tècniques quan la substitució dona una indeterminació com $\tfrac{0}{0}$ ; aquí no passa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Calcula el límit de (3x² - 5x + 1)/(2x² + 7) quan x tendeix a +∞ i explica la regla que has fet servir.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}-5x+1}{2x^{2}+7} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5

(mateix grau: quocient dels coeficients principals).

Resolució

Dades. Substituint surt $\tfrac{\infty}{\infty}$ , que és una indeterminació.
Regla dels graus. En un quocient de polinomis amb el mateix grau al numerador i al denominador, el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients dels termes de grau més alt.
Justificació. Si divideixes numerador i denominador per $x^{2}$ : $\dfrac{3-\tfrac{5}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}{2+\tfrac{7}{x^{2}}}$ i tots els termes amb $x$ al denominador tendeixen a 0.
Càlcul. El límit val $\tfrac{3}{2} = 1{,}5$ .
Conclusió. Com a conseqüència, la recta $y = 1{,}5$ és una asímptota horitzontal de la funció.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Calcula lim_x→3 $\tfrac{(x^{2} - 9)}{(x - 3)}$ . Indica primer quina indeterminació apareix en substituir i com la resols.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

Apareix

\tfrac{0}{0}

; es resol factoritzant i

\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3} = 6

Resolució

Substitució. Per a $x = 3$ : $\tfrac{9-9}{3-3} = \tfrac{0}{0}$ , una indeterminació.
Factorització. Com que 3 és arrel del numerador i del denominador, factoritzem amb la diferència de quadrats: $x^{2}-9 = (x-3)(x+3)$ . Per tant, $\dfrac{x^{2}-9}{x-3} = x+3 \quad (x\neq3)$
Càlcul. $\lim_{x\to3}(x+3) = 3+3 = 6$ .
Conclusió. El límit val 6. Fixa't que no és correcte dir que «no existeix» perquè la funció no està definida a $x = 3$ : el límit només mira què passa a prop del punt, no al punt mateix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

La funció f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 1)}{(x - 1)}$ no està definida a x = 1. Calcula el límit de f en aquest punt i classifica la discontinuïtat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to1}f(x) = 2

; com que

f(1)

no existeix, és una discontinuïtat evitable.

Resolució

Substitució. A $x = 1$ surt $\tfrac{0}{0}$ : cal transformar l'expressió.
Factorització. $x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$ , així que per a $x\neq1$ la funció coincideix amb $x+1$ .
Càlcul. $\lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 1+1 = 2$ .
Classificació. El límit existeix i és finit, però $f(1)$ no existeix: és una discontinuïtat evitable.
Conclusió. S'evitaria definint $f(1) = 2$ ; la gràfica és la recta $y = x+1$ amb un «forat» al punt $(1, 2)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Troba l'asímptota vertical i l'asímptota horitzontal de f(x) = $\tfrac{(2x + 1)}{(x - 4)}$ i escriu els límits que les justifiquen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Asímptota vertical

x = 4

(

\lim_{x\to4^{-}}f(x) = -\infty

\lim_{x\to4^{+}}f(x) = +\infty

); asímptota horitzontal

y = 2

(

\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = 2

Resolució

Asímptota vertical. La busquem on s'anul·la el denominador sense que s'anul·li el numerador: $x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$ , i el numerador hi val $2\cdot4+1 = 9$ .
Límits laterals a x = 4. Per l'esquerra, el numerador és positiu (≈ 9) i el denominador negatiu i molt petit: $f(x)\to-\infty$ . Per la dreta, el denominador és positiu i molt petit: $f(x)\to+\infty$ . Per tant, la recta $x = 4$ és asímptota vertical.
Asímptota horitzontal. Numerador i denominador tenen el mateix grau, així que el límit és el quocient de coeficients principals: $\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-4} = \dfrac{2}{1} = 2$ La recta $y = 2$ és asímptota horitzontal.
Comprovació. $f(1000) = \tfrac{2001}{996} \approx 2{,}01$ , molt a prop de 2.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Si f és contínua a x = a, aleshores existeix lim_x→a f(x).
b) Si existeix lim_x→a f(x), aleshores f és contínua a x = a.
c) Una funció polinòmica no pot tenir asímptotes verticals.
d) Si el límit de f quan x tendeix a a per la dreta és +∞, la recta x = a és una asímptota vertical de f.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Certa.

Resolució

Definició de continuïtat. Que $f$ sigui contínua a $x = a$ vol dir que el límit existeix, que $f(a)$ existeix i que tots dos coincideixen.
Conclusió. Per tant, si és contínua, el límit existeix segur.

Apartat b)

Resultat

Falsa.

Resolució

Idea. Pot existir el límit i la funció no estar definida al punt, o tenir-hi un valor diferent del límit.
Contraexemple. $f(x) = \tfrac{x^{2}-4}{x-2}$ té límit 4 a $x = 2$ (perquè és $x+2$ per a $x\neq2$ ), però no hi està definida.
Conclusió. Té una discontinuïtat evitable a $x = 2$ : el límit existeix però la funció no hi és contínua.

Apartat c)

Resultat

Certa.

Resolució

Propietat dels polinomis. Els polinomis són continus a tot $\mathbb{R}$ i el seu límit en qualsevol punt és finit (és el valor del polinomi).
Conclusió. Només una funció que «es dispara» a prop d'un punt té asímptota vertical, i un polinomi no ho fa mai.

Apartat d)

Resultat

Certa.

Resolució

Definició d'asímptota vertical. La recta $x = a$ és asímptota vertical si almenys un dels dos límits laterals a $x = a$ és infinit.
Conclusió. N'hi ha prou que $\lim_{x\to a^{+}}f(x) = +\infty$ perquè $x = a$ sigui asímptota vertical, encara que el límit per l'esquerra sigui finit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Calcula el límit de √(4x² + 1)/(x + 3) quan x tendeix a +∞.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{4x^{2}+1}}{x+3} = 2

Resolució

Dades. Substituint surt $\tfrac{\infty}{\infty}$ , una indeterminació.
Grau de l'arrel. Per a $x$ molt gran, $\sqrt{4x^{2}+1}$ es comporta com $\sqrt{4x^{2}} = 2x$ : numerador i denominador són «de grau 1».
Càlcul. Divideixes numerador i denominador per $x$ (dins de l'arrel, per $x^{2}$ ): $\dfrac{\sqrt{4+\tfrac{1}{x^{2}}}}{1+\tfrac{3}{x}} \to \dfrac{\sqrt{4}}{1} = 2$
Conclusió. El límit val 2. Compte: si $x\to-\infty$ , llavors $\sqrt{x^{2}} = |x| = -x$ i el límit valdria $-2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Els límits laterals d'una funció en un punt valen tots dos 4. Quant val el límit?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

El límit val 4.

Resolució

Dades. Els dos límits laterals valen 4: $\lim_{x\to a^{-}}f(x) = \lim_{x\to a^{+}}f(x) = 4$ .
Propietat. El límit en un punt existeix si i només si existeixen els dos límits laterals i coincideixen; en aquest cas, el límit és aquest valor comú.
Conclusió. Per tant, $\lim_{x\to a}f(x) = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Calcula els límits laterals de f(x) = 5/(x - 3) a x = 3 i digues si el límit existeix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\lim_{x\to3^{-}}f(x) = -\infty

;

\lim_{x\to3^{+}}f(x) = +\infty

. El límit no existeix (hi ha asímptota vertical

x = 3

Resolució

Substitució. En substituir surt $\tfrac{5}{0}$ , que no és cap indeterminació: el resultat serà infinit, i cal estudiar el signe per cada costat.
Per l'esquerra. Si $x<3$ , el denominador $x-3$ és negatiu i molt petit: $\tfrac{5}{\text{negatiu petit}}\to-\infty$ .
Per la dreta. Si $x>3$ , el denominador és positiu i molt petit: $f(x)\to+\infty$ .
Conclusió. Com que els dos laterals no coincideixen, el límit no existeix; la recta $x = 3$ és una asímptota vertical.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Calcula lim_{x → −∞} (2x³ - x)/( $x^{2}$ + 5) i explica el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^{3}-x}{x^{2}+5} = -\infty

Resolució

Comparació de graus. El numerador té grau 3 i el denominador grau 2: com que el numerador té grau més gran, el límit és infinit.
Termes principals. Quedant-te amb els termes de grau més alt: $\dfrac{2x^{3}-x}{x^{2}+5}\approx\dfrac{2x^{3}}{x^{2}} = 2x$
Signe. Com que $x\to-\infty$ , $2x\to-\infty$ : la potència que sobra ( $x^{1}$ ) és senar i conserva el signe negatiu de $x$ .
Conclusió. El límit val $-\infty$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Sigui f(x) la funció a trossos que val $x^{2}$ quan x ≤ 2 i val 2x quan x > 2. Estudia si la funció és contínua a x = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Sí, és contínua a

x = 2

\lim_{x\to2^{-}}f(x) = \lim_{x\to2^{+}}f(x) = f(2) = 4

Resolució

Condicions. Per decidir la continuïtat a $x = 2$ cal comprovar que el límit hi existeixi (els dos laterals coincideixin) i que valgui el mateix que $f(2)$ .
Límits laterals. Per l'esquerra (tros $x^{2}$ ): $\lim_{x\to2^{-}}f(x) = 2^{2} = 4$ . Per la dreta (tros $2x$ ): $\lim_{x\to2^{+}}f(x) = 2\cdot2 = 4$ . Coincideixen, així que $\lim_{x\to2}f(x) = 4$ .
Valor de la funció. Com que $x = 2$ compleix $x\le2$ , fas servir el tros $x^{2}$ : $f(2) = 2^{2} = 4$ .
Conclusió. El límit (4) coincideix amb $f(2)$ (4): la funció és contínua a $x = 2$ . Parany a evitar: no n'hi ha prou que el límit existeixi; ha de valer $f(a)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un company afirma que lim_x→+∞ [ $\tfrac{x^{2}}{(x - 1)}$ - x] = ∞ - ∞ = 0. Explica quin error comet i calcula el límit correctament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

L'error és tractar

\infty-\infty

com si fos 0 (és una indeterminació). El límit correcte val 1.

Resolució

L'error. $\infty-\infty$ és una indeterminació: el resultat pot ser qualsevol nombre, infinit o no existir. Cal transformar l'expressió abans de calcular.
Denominador comú. $\dfrac{x^{2}}{x-1}-x = \dfrac{x^{2}-x(x-1)}{x-1} = \dfrac{x^{2}-x^{2}+x}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$
Càlcul. Ara és un quocient de polinomis del mateix grau: $\lim_{x\to+\infty}\tfrac{x}{x-1} = \tfrac{1}{1} = 1$ .
Conclusió. El límit val 1, no 0. Interpretació: la gràfica de $\tfrac{x^{2}}{x-1}$ s'acosta a la recta $y = x+1$ , per això la diferència amb $x$ tendeix a 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula lim_x→4 $\tfrac{(\sqrt{x} - 2)}{(x - 4)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25

Resolució

Substitució. $\tfrac{2-2}{4-4} = \tfrac{0}{0}$ : indeterminació. Com que hi ha una arrel, multipliques numerador i denominador pel conjugat $\sqrt{x}+2$ .
Conjugat. $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2) = x-4$ , i l'expressió queda $\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\quad(x\neq4)$
Càlcul. $\lim_{x\to4}\tfrac{1}{\sqrt{x}+2} = \tfrac{1}{2+2} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25$ .
Comprovació. Amb $x = 4{,}01$ : $\tfrac{\sqrt{4{,}01}-2}{0{,}01}\approx0{,}2498$ , molt a prop de 0,25.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Calcula lim_x→+∞ $(1 + \tfrac{3}{x})^{2x}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{2x} = e^{6}\approx403{,}4

Resolució

Tipus. La base tendeix a 1 i l'exponent a $+\infty$ : indeterminació $1^{\infty}$ . Fem servir que $(1+\tfrac{1}{n})^{n}\to e$ quan $n\to\infty$ .
Transformació. Escrivim $\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1+\dfrac{1}{x/3}\right)^{x/3}\right]^{6}$ perquè $\tfrac{x}{3}\cdot6 = 2x$ .
Càlcul. Quan $x\to+\infty$ , també $\tfrac{x}{3}\to+\infty$ i el claudàtor tendeix a $e$ . El límit val $e^{6}\approx403{,}4$ .
Regla ràpida. $\lim_{x\to+\infty}(1+\tfrac{a}{x})^{bx} = e^{a\cdot b}$ ; aquí $e^{3\cdot2} = e^{6}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Troba totes les asímptotes (verticals, horitzontals i obliqües) de f(x) = $\tfrac{(x^{2} + 1)}{(x - 1)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Asímptota vertical

x = 1

; no té asímptota horitzontal; asímptota obliqua

y = x+1

(als dos costats).

Resolució

Vertical. El denominador s'anul·la a $x = 1$ i el numerador hi val $2\neq0$ . Per l'esquerra de 1 el límit és $-\infty$ i per la dreta $+\infty$ : $x = 1$ és asímptota vertical.
Horitzontal. El grau del numerador (2) supera el del denominador (1), així que $f$ tendeix a $\pm\infty$ quan $x\to\pm\infty$ : no n'hi ha.
Obliqua. Com que el grau del numerador és exactament un més, divideixes: $x^{2}+1 = (x-1)(x+1)+2$ , és a dir $f(x) = x+1+\dfrac{2}{x-1}$
Conclusió. El terme $\tfrac{2}{x-1}$ tendeix a 0 quan $x\to\pm\infty$ , per tant $y = x+1$ és asímptota obliqua (als dos costats). Fixa't que una funció racional no pot tenir asímptota horitzontal i obliqua alhora.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

La funció f està definida per f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x - 2)}$ si x ≠ 2 i f(2) = k. Quin valor ha de tenir k perquè f sigui contínua a x = 2? Què passa amb la resta de valors de k?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

k = 4

. Per a qualsevol altre valor de

k

f

té una discontinuïtat evitable a

x = 2

Resolució

Condició de continuïtat. Perquè $f$ sigui contínua a $x = 2$ cal que $\lim_{x\to2}f(x) = f(2) = k$ .
Càlcul del límit. Substituint surt $\tfrac{0}{0}$ . Factoritzes: $\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\quad(x\neq2)$ així que $\lim_{x\to2}f(x) = 4$ .
Valor de k. Igualant, $k = 4$ .
Conclusió. Per a qualsevol altre valor de $k$ el límit continua valent 4 però no coincideix amb $f(2)$ : $f$ tindria una discontinuïtat evitable a $x = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Estudia la continuïtat de f(x) = $\tfrac{(x + 2)}{(x^{2} - 4)}$ i classifica cada discontinuïtat que trobis.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

f

és contínua a

\mathbb{R}\setminus\{-2, 2\}

: a

x = -2

discontinuïtat evitable (límit

-\tfrac{1}{4}

); a

x = 2

discontinuïtat asimptòtica (de salt infinit), amb asímptota vertical

x = 2

Resolució

Domini. $f$ és racional: és contínua a tot arreu excepte on s'anul·la el denominador. $x^{2}-4 = 0 \Rightarrow x = -2$ i $x = 2$ .
A x = −2. Substituint surt $\tfrac{0}{0}$ . Simplifiques: $\dfrac{x+2}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{1}{x-2}$ i $\lim_{x\to-2}\tfrac{1}{x-2} = \tfrac{1}{-4} = -0{,}25$ . Límit finit i $f(-2)$ no existeix: discontinuïtat evitable.
A x = 2. $\tfrac{1}{x-2}$ tendeix a $-\infty$ per l'esquerra i a $+\infty$ per la dreta: discontinuïtat asimptòtica (de segona espècie, no evitable), amb asímptota vertical $x = 2$ .
Conclusió. $f$ és contínua a $\mathbb{R}\setminus\{-2, 2\}$ , amb una discontinuïtat evitable a $x = -2$ i una d'asimptòtica a $x = 2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Demostra que l'equació $x^{3}$ + x - 5 = 0 té almenys una solució a l'interval (1, 2) i troba un interval de longitud 0,1 que la contingui.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Per Bolzano hi ha una solució a

(1, 2)

perquè

g(1) = -3 < 0

g(2) = 5 > 0

; la solució és a l'interval

(1{,}5;\ 1{,}6)

(de fet,

c\approx1{,}516

Resolució

Plantejament. Defineixes $g(x) = x^{3}+x-5$ , que és polinòmica i, per tant, contínua a $[1, 2]$ .
Canvi de signe. $g(1) = 1+1-5 = -3 < 0$ i $g(2) = 8+2-5 = 5 > 0$ .
Teorema de Bolzano. Com que $g$ és contínua a $[1, 2]$ i canvia de signe, existeix almenys un $c\in(1, 2)$ amb $g(c) = 0$ , que és una solució de l'equació.
Afinem. $g(1{,}5) = 3{,}375+1{,}5-5 = -0{,}125 < 0$ i $g(1{,}6) = 4{,}096+1{,}6-5 = 0{,}696 > 0$ . Aplicant de nou Bolzano, la solució és a l'interval $(1{,}5;\ 1{,}6)$ , de longitud 0,1.
Conclusió. De fet, la solució és $c\approx1{,}516$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Estudia els límits laterals de f(x) = 1/(x - 1) a x = 1. Hi té límit?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\lim_{x\to1^{-}}f(x) = -\infty

;

\lim_{x\to1^{+}}f(x) = +\infty

. No hi té límit (hi ha asímptota vertical

x = 1

Resolució

Substitució. A $x = 1$ surt $\tfrac{1}{0}$ : el resultat és infinit i cal mirar el signe per cada costat.
Per l'esquerra. Si $x<1$ , el denominador és un negatiu molt petit: el límit és $-\infty$ .
Per la dreta. Si $x>1$ , el denominador és un positiu molt petit: el límit és $+\infty$ .
Conclusió. Els laterals no coincideixen: no hi ha límit a $x = 1$ . La recta $x = 1$ és una asímptota vertical.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Calcula lim_{x → +∞} ( $\sqrt{x^{2} + x}$ - x). Aquesta indeterminació és de la forma infinit menys infinit; racionalitza amb el conjugat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right) = \dfrac{1}{2}

Resolució

Tipus. Substituint dona $\sqrt{+\infty}-\infty$ , és a dir $\infty-\infty$ : una indeterminació que no diu el límit; cal transformar l'expressió.
Conjugat. Multipliques i divideixes per $\sqrt{x^{2}+x}+x$ per fer desaparèixer l'arrel del numerador. El numerador és una suma per diferència: $\left(\sqrt{x^{2}+x}\right)^{2}-x^{2} = (x^{2}+x)-x^{2} = x$
Nova expressió. Queda $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}$ , ara una indeterminació $\tfrac{\infty}{\infty}$ que sí pots resoldre.
Càlcul. Al denominador, $\sqrt{x^{2}+x}$ es comporta com $\sqrt{x^{2}} = x$ quan $x$ és molt gran, així que el denominador es comporta com $x+x = 2x$ : $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$
Conclusió. El límit val $\tfrac{1}{2}$ , un nombre finit: el parany de $\infty-\infty$ és pensar que dona 0 o infinit directament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Sigui f(x) la funció a trossos que val x + a quan x < 3 i val $x^{2}$ - 1 quan x ≥ 3, on a és un nombre. Troba el valor de a perquè la funció sigui contínua a x = 3 i digues quin tipus de discontinuïtat hi hauria si a valgués 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

a = 5

. Si

a = 0

, hi hauria una discontinuïtat de salt finit a

x = 3

(salt de

8-3 = 5

Resolució

Condició. Perquè $f$ sigui contínua a $x = 3$ cal que els dos límits laterals coincideixin i valguin $f(3)$ .
Límits laterals. Per la dreta (tros $x^{2}-1$ ), que a més és $f(3)$ : $\lim_{x\to3^{+}}f(x) = 3^{2}-1 = 8$ . Per l'esquerra (tros $x+a$ ): $\lim_{x\to3^{-}}f(x) = 3+a$ .
Càlcul. Imposes que coincideixin: $3+a = 8$ , d'on $a = 5$ . Comprovació: amb $a = 5$ el límit per l'esquerra val $3+5 = 8$ , igual que el de la dreta i que $f(3) = 8$ .
Cas a = 0. El límit per l'esquerra valdria $3+0 = 3$ i el de la dreta 8. Com que $3\neq8$ , els laterals no coincideixen: discontinuïtat de salt finit, amb un salt de $8-3 = 5$ (no evitable).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Troba els valors de a i b perquè la funció definida per f(x) = ax + b si x < -1, f(x) = $x^{2}$ + 1 si -1 ≤ x ≤ 2 i f(x) = bx - a si x > 2 sigui contínua a tot ℝ.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

a = 1,\ b = 3

Resolució

Plantejament. Cada tros és un polinomi, continu al seu interval; només cal imposar la continuïtat als punts d'enganxament $x = -1$ i $x = 2$ .
A x = −1. Límit per l'esquerra: $-a+b$ ; límit per la dreta i valor de la funció: $(-1)^{2}+1 = 2$ . Condició: $-a+b = 2$ .
A x = 2. Límit per l'esquerra i valor de la funció: $2^{2}+1 = 5$ ; límit per la dreta: $2b-a$ . Condició: $2b-a = 5$ .
Sistema. De la primera equació, $b = a+2$ ; substituint a la segona, $2(a+2)-a = 5 \Rightarrow a = 1$ , i $b = 3$ .
Comprovació. A $x = -1$ : $1\cdot(-1)+3 = 2$ , coincideix amb 2. A $x = 2$ : $3\cdot2-1 = 5$ , coincideix amb 5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Troba els valors de a i b perquè lim_x→2 $\tfrac{(x^{2} + ax + b)}{(x - 2)} = 5$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

a = 1,\ b = -6

Resolució

Condició necessària. El denominador tendeix a 0. Perquè el límit sigui finit, el numerador també ha de tendir a 0 (si no, el límit seria infinit): $4+2a+b = 0$ .
Factorització. Llavors $x = 2$ és arrel del numerador i pots escriure $x^{2}+ax+b = (x-2)(x-c)$ . Simplificant, el límit val $\lim_{x\to2}(x-c) = 2-c$ .
Càlcul. Imposes $2-c = 5$ , d'on $c = -3$ . Així $x^{2}+ax+b = (x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$ és a dir, $a = 1$ i $b = -6$ .
Comprovació. $4+2\cdot1-6 = 0$ , i $\tfrac{x^{2}+x-6}{x-2} = x+3\to5$ quan $x\to2$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Calcula lim_x→+∞ ( $\tfrac{(2x + 3)}{(2x - 1)}$ )^{x + 1}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x-1}\right)^{x+1} = e^{2}\approx7{,}39

Resolució

Tipus. La base tendeix a $\tfrac{2}{2} = 1$ i l'exponent a $+\infty$ : indeterminació $1^{\infty}$ .
Base com 1 + petit. $\dfrac{2x+3}{2x-1} = 1+\dfrac{4}{2x-1}$ . Fent servir que $(1+\tfrac{1}{g})^{g}\to e$ quan $g\to\infty$ : $\left(1+\dfrac{4}{2x-1}\right)^{x+1} = \left[\left(1+\dfrac{1}{\frac{2x-1}{4}}\right)^{\frac{2x-1}{4}}\right]^{\frac{4(x+1)}{2x-1}}$
Càlcul. El claudàtor tendeix a $e$ i l'exponent $\tfrac{4(x+1)}{2x-1}$ tendeix a $\tfrac{4}{2} = 2$ . El límit és $e^{2}\approx7{,}39$ .
Drecera. $\lim f^{g} = e^{\lim g\cdot(f-1)} = e^{\lim (x+1)\cdot\frac{4}{2x-1}} = e^{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Estudia la continuïtat de f(x) = | $x^{2}$ - 4|/(x - 2) a x = 2 i classifica'n la discontinuïtat. (Recorda que | $x^{2}$ - 4| val $x^{2}$ - 4 si $x^{2}$ - 4 ≥ 0 i val -( $x^{2}$ - 4) si $x^{2}$ - 4 < 0.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

\lim_{x\to2^{-}}f(x) = -4

\lim_{x\to2^{+}}f(x) = 4

: discontinuïtat de salt finit (salt de 8), no evitable.

Resolució

Plantejament. $f$ no està definida a $x = 2$ (denominador 0). Mires els límits laterals traient el valor absolut segons el signe de $x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$ .
Per la dreta. Si $x$ és una mica més gran que 2, $x^{2}-4>0$ : $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2\to4$
Per l'esquerra. Si $x$ és una mica més petit que 2 (però més gran que $-2$ ), $x^{2}-4<0$ : $f(x) = \dfrac{-(x-2)(x+2)}{x-2} = -(x+2)\to-4$
Classificació. Els límits laterals són finits però diferents ( $-4$ i 4): discontinuïtat de salt, amb un salt de 8 unitats. No es pot evitar donant cap valor a $f(2)$ .
Compte. Un error habitual és simplificar $\tfrac{|x^{2}-4|}{x-2} = x+2$ sense mirar el signe i concloure que la discontinuïtat és evitable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Demostra que l'equació $e^{x}$ = 3 - x té alguna solució a l'interval (0, 1) i raona si en pot tenir més d'una.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

Té una solució a

(0, 1)

per Bolzano (

h(0) = -2 < 0

h(1) = e-2 > 0

) i és única, perquè

h(x) = e^{x}+x-3

és estrictament creixent (

c\approx0{,}79

Resolució

Plantejament. Passes tot a un costat: $h(x) = e^{x}+x-3$ , contínua a tot $\mathbb{R}$ perquè és suma de funcions contínues.
Canvi de signe. $h(0) = 1+0-3 = -2 < 0$ i $h(1) = e+1-3 = e-2\approx0{,}72 > 0$ .
Teorema de Bolzano. Hi ha almenys un $c\in(0, 1)$ amb $h(c) = 0$ , és a dir $e^{c} = 3-c$ .
Unicitat. $e^{x}$ és estrictament creixent i $3-x$ estrictament decreixent, de manera que les dues gràfiques només es poden tallar un cop. Equivalentment, $h$ és estrictament creixent i només pot anul·lar-se una vegada.
Conclusió. L'equació té exactament una solució, $c\approx0{,}79$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Calcula lim_x→0 [ $\tfrac{1}{x}$ - $\tfrac{2}{(x^{2} + 2x)}$ ].

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to0}\left[\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{2}+2x}\right] = \dfrac{1}{2} = 0{,}5

Resolució

Tipus. Quan $x\to0$ els dos termes tendeixen a infinit: indeterminació $\infty-\infty$ .
Denominador comú. Factoritzes el segon denominador, $x^{2}+2x = x(x+2)$ , i fas denominador comú: $\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x(x+2)} = \dfrac{(x+2)-2}{x(x+2)} = \dfrac{x}{x(x+2)} = \dfrac{1}{x+2}\quad(x\neq0)$
Càlcul. $\lim_{x\to0}\tfrac{1}{x+2} = \tfrac{1}{2} = 0{,}5$ .
Comprovació. Amb $x = 0{,}01$ : $\tfrac{1}{0{,}01}-\tfrac{2}{0{,}0001+0{,}02} = 100-99{,}5025 = 0{,}4975\approx0{,}5$ .
Observació. Cada terme per separat té límits laterals $\pm\infty$ , però la diferència és una funció «ben educada» a prop de 0.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què es fa amb una indeterminació 0/0?

Normalment, factoritzar el numerador i el denominador i simplificar el factor comú. Si hi ha arrels, multiplicar pel conjugat.

Quan és contínua una funció en un punt?

Quan existeix el límit en aquell punt (els laterals coincideixen), la funció hi està definida i el límit és igual al valor de la funció.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Exercici 10

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat