Exercicis d'estadística i probabilitat — Matemàtiques 1r Batxillerat

Q: Quan es pot fer servir la distribució binomial?

Quan es repeteix n vegades un experiment amb només dos resultats possibles (èxit o fracàs), les proves són independents i la probabilitat d'èxit és sempre la mateixa.

Q: Què diu el teorema de Bayes?

Permet calcular la probabilitat d'una causa sabent el resultat, com la probabilitat d'estar malalt si la prova ha donat positiu, a partir de les probabilitats en sentit contrari.

Aquest tema junta l'estadística bidimensional amb la probabilitat i les distribucions. Els exercicis et fan calcular la covariància, el coeficient de correlació i la recta de regressió d'unes dades reals, com el preu i les vendes d'un producte. Després resols problemes de probabilitat amb recompte, probabilitat condicionada i el teorema de Bayes, com el clàssic d'una prova mèdica que dona positiu. Al final treballes la distribució binomial, amb un test de preguntes de vertader o fals respostes a l'atzar, i la normal, tipificant i fent servir la taula. Errors típics: confondre correlació amb causalitat i aplicar la binomial quan les proves no són independents.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Treus una carta d'una baralla espanyola de 40. Quina probabilitat hi ha que sigui un or o una figura (sota, cavall o rei)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

P = \dfrac{19}{40} = 0{,}475

Resolució

Dades. La baralla espanyola té 40 cartes: 4 pals (ors, copes, espases i bastos) de 10 cartes, i cada pal té 3 figures (sota, cavall i rei). Siguin O = «or» i F = «figura».
Recompte. Ors: 10. Figures: $4\cdot 3 = 12$ . Ors que són figures: 3 (sota, cavall i rei d'ors).
Probabilitat de la unió. Els dos esdeveniments no són incompatibles, així que cal restar la intersecció: $P(O\cup F) = P(O) + P(F) - P(O\cap F) = \dfrac{10}{40} + \dfrac{12}{40} - \dfrac{3}{40} = \dfrac{19}{40}$
Conclusió. $P = 0{,}475$ . Fixa't que si no restes les 3 figures d'ors, les compten dues vegades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Quantes possibilitats de resultat té cada prova en una distribució binomial?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Dues: èxit o fracàs.

Resolució

Definició de prova binomial. Una distribució binomial $B(n, p)$ compta els èxits en $n$ proves independents i idèntiques.
Resultats de cada prova. Cada prova només té dos resultats possibles: èxit (amb probabilitat $p$ ) o fracàs (amb probabilitat $q = 1 - p$ ).
Conclusió. Per tant, hi ha dues possibilitats a cada prova, i $p$ es manté igual en totes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Quina forma té la gràfica de la distribució normal?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Una campana simètrica: la campana de Gauss.

Resolució

Forma. La gràfica de la funció de densitat de la normal $N(\mu, \sigma)$ té forma de campana: la campana de Gauss.
Simetria i màxim. És simètrica respecte de la recta $x = \mu$ , on té el màxim (allà coincideixen mitjana, mediana i moda).
Conclusió. A mesura que t'allunyes de la mitjana, la corba baixa i s'acosta a l'eix d'abscisses sense tocar-lo; com més gran és $\sigma$ , més ampla i baixa és la campana.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Els minuts de retard d'un autobús escolar al llarg de sis dies han estat 6, 8, 9, 11, 12 i 14. Calcula'n la mitjana, la variància i la desviació típica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\bar{x} = 10\ \text{min}

;

\sigma^{2} = 7\ \text{min}^{2}

;

\sigma = \sqrt{7} \approx 2{,}65\ \text{min}

Resolució

Mitjana. $\bar{x} = \dfrac{6 + 8 + 9 + 11 + 12 + 14}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\ \text{min}$
Variància. $\sigma^{2} = \tfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n}$ . Les desviacions respecte de 10 són −4, −2, −1, 1, 2 i 4; els seus quadrats, 16, 4, 1, 1, 4 i 16, sumen 42: $\sigma^{2} = \dfrac{42}{6} = 7\ \text{min}^{2}$
Desviació típica. $\sigma = \sqrt{7} \approx 2{,}65\ \text{min}$ .
Comprovació. Amb l'altra fórmula: $\tfrac{\sum x_i^{2}}{n} - \bar{x}^{2} = \tfrac{642}{6} - 10^{2} = 107 - 100 = 7$ . Compte a no oblidar l'arrel i donar la variància (7) com a desviació típica: la variància s'expressa en min², no en min.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

En un taller es mesuren dos tipus de vareta. Les llargues tenen una longitud mitjana de 50 cm amb una desviació típica de 2 cm; les curtes, una longitud mitjana de 8 cm amb una desviació típica de 0,6 cm. Calcula el coeficient de variació de cada tipus i digues quin té una dispersió relativa més gran.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Llargues:

CV = 0{,}04 = 4\ \%

; curtes:

CV = 0{,}075 = 7{,}5\ \%

. Les curtes tenen més dispersió relativa.

Resolució

Coeficient de variació. $CV = \tfrac{\sigma}{\bar{x}}$ (sovint en percentatge). No té unitats, i per això serveix per comparar dispersions de dades de mides diferents.
Varetes llargues. $CV = \tfrac{2}{50} = 0{,}04 = 4\ \%$ .
Varetes curtes. $CV = \tfrac{0{,}6}{8} = 0{,}075 = 7{,}5\ \%$ .
Conclusió. Les curtes tenen una dispersió relativa més gran (7,5 % davant de 4 %), tot i que la seva desviació típica en centímetres és més petita. Per això no pots comparar directament 2 cm i 0,6 cm: la desviació típica depèn de la mida de les dades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Quantes ordenacions diferents de les lletres de la paraula CATALUNYA es poden fer, tinguin sentit o no, utilitzant-les totes?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\dfrac{9!}{3!} = 60\,480

ordenacions

Resolució

Dades. CATALUNYA té 9 lletres, però la A hi surt 3 vegades; les altres sis (C, T, L, U, N i Y) són totes diferents.
Permutacions amb repetició. $PR_{9}^{3} = \dfrac{9!}{3!} = \dfrac{362\,880}{6} = 60\,480$
Per què dividim per 3!. Si les 9 lletres fossin diferents hi hauria 9! ordenacions, però en intercanviar entre elles les tres A no apareix cap ordenació nova: cada ordenació real surt comptada $3! = 6$ vegades.
Conclusió. Hi ha 60 480 ordenacions diferents.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

En una cursa hi participen 12 atletes. De quantes maneres diferents es poden repartir l'or, la plata i el bronze? I quants grups diferents de tres atletes poden arribar al podi si no tenim en compte l'ordre?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Medalles:

V_{12,3} = 1320

maneres; podis sense ordre:

C_{12,3} = 220

grups

Resolució

Medalles. Importa l'ordre (qui guanya l'or, la plata o el bronze) i ningú no es pot repetir: són variacions de 12 elements agafats de 3 en 3. $V_{12,3} = 12\cdot 11\cdot 10 = 1320$
Grups al podi. Ara només importa quins tres atletes hi pugen, no l'ordre: són combinacions. $C_{12,3} = \binom{12}{3} = \dfrac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1} = \dfrac{1320}{6} = 220$
Relació. Cada grup de 3 atletes es pot ordenar de $3! = 6$ maneres, i $220\cdot 6 = 1320$ .
Criteri. Si canviar l'ordre dels elements dona un resultat diferent, són variacions; si no, són combinacions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Es llancen dos daus equilibrats de sis cares. Calcula la probabilitat que la suma dels punts obtinguts sigui un múltiple de 3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

P = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333

Resolució

Regla de Laplace. Hi ha $6\cdot 6 = 36$ resultats equiprobables, així que $P = \tfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}}$ .
Sumes múltiples de 3. Les sumes van de 2 a 12; les múltiples de 3 són 3, 6, 9 i 12.
Recompte. Suma 3: (1,2), (2,1) → 2 casos. Suma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 casos. Suma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 casos. Suma 12: (6,6) → 1 cas. Total: $2 + 5 + 4 + 1 = 12$ .
Conclusió. $P = \tfrac{12}{36} = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ . Compte a no comptar (1,2) i (2,1) com un sol resultat: els dos daus es distingeixen i són resultats diferents.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

En un col·legi, el 60 % dels alumnes fa anglès extraescolar, el 30 % fa música i el 20 % fa les dues activitats. Es tria un alumne a l'atzar. Calcula la probabilitat que faci almenys una de les dues activitats, que no en faci cap i que només faci anglès.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Almenys una:

0{,}7

; cap:

0{,}3

; només anglès:

0{,}4

Resolució

Dades. A = «fa anglès», B = «fa música»: $P(A) = 0{,}6$ , $P(B) = 0{,}3$ i $P(A\cap B) = 0{,}2$ .
Almenys una. Probabilitat de la unió: $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}7$ Si sumes 0,6 + 0,3 = 0,9 sense restar la intersecció, compten dues vegades els alumnes que fan les dues activitats.
Cap de les dues. És el contrari d'«almenys una»: $1 - P(A\cup B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
Només anglès. $P(A) - P(A\cap B) = 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4$ .
Comprovació. Només anglès 0,4 + només música 0,1 + les dues 0,2 + cap 0,3 = 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) La desviació típica d'un conjunt de dades pot ser negativa.
b) Si sumem 5 a totes les dades, la mitjana augmenta 5 unitats i la desviació típica no canvia.
c) Si A i B són esdeveniments incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
d) Per a dos esdeveniments qualssevol de probabilitat no nul·la, P(A|B) = P(B|A).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

Falsa: la desviació típica sempre és

\sigma \ge 0

Resolució

Definició. $\sigma$ és l'arrel quadrada positiva de la variància, que és una mitjana de quadrats i, per tant, mai no és negativa.
Conclusió. Sempre $\sigma \ge 0$ , i només val 0 si totes les dades són iguals.

Apartat b)

Resultat

Certa: la mitjana passa a ser

\bar{x} + 5

\sigma

no canvia.

Resolució

Mitjana. Si a cada dada li sumes 5, la nova mitjana és $\bar{x} + 5$ .
Desviacions. Cada desviació $(x + 5) - (\bar{x} + 5) = x - \bar{x}$ no canvia, així que la variància i la desviació típica tampoc.

Apartat c)

Resultat

Certa: si són incompatibles,

P(A\cup B) = P(A) + P(B)

Resolució

Incompatibles. Vol dir que no poden passar alhora: $P(A\cap B) = 0$ .
Probabilitat de la unió. $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ es redueix a la suma $P(A) + P(B)$ .

Apartat d)

Resultat

Falsa:

P(A|B)

P(B|A)

només coincideixen si

P(A) = P(B)

Resolució

Probabilitat condicionada. $P(A|B) = \tfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ i $P(B|A) = \tfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ : tenen el mateix numerador però denominadors diferents.
Contraexemple. Amb la baralla de 40 cartes, A = «rei» i B = «figura»: $P(A|B) = \tfrac{4}{12} = \tfrac{1}{3}$ , però $P(B|A) = 1$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

En cinc setmanes, un alumne registra les hores d'estudi setmanals (x) i la nota obtinguda (y): (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6) i (5, 9). Calcula les mitjanes, la covariància, les desviacions típiques i el coeficient de correlació r. Escriu la recta de regressió de y sobre x i prediu la nota d'un alumne que estudia 3,5 hores. La predicció és fiable?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\bar{x} = 3

\bar{y} = 5

;

\sigma_{xy} = 3{,}4

;

\sigma_x = \sqrt{2} \approx 1{,}41

\sigma_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45

;

r \approx 0{,}98

;

y = 1{,}7x - 0{,}1

; per a 3,5 h,

y \approx 5{,}85

: predicció fiable.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \tfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3$ i $\bar{y} = \tfrac{2+3+5+6+9}{5} = 5$ .
Taula de desviacions. Amb $d_x = x - \bar{x}$ i $d_y = y - \bar{y}$ :
x y d_x d_y d_x·d_y d_x² d_y²
1 2 −2 −3 6 4 9
2 3 −1 −2 2 1 4
3 5 0 0 0 0 0
4 6 1 1 1 1 1
5 9 2 4 8 4 16
Σ 0 0 17 10 30
Covariància i desviacions típiques. Dividint cada suma per $n = 5$ : $\sigma_{xy} = \tfrac{17}{5} = 3{,}4$ ; $\sigma_x^{2} = \tfrac{10}{5} = 2$ , $\sigma_x = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ ; $\sigma_y^{2} = \tfrac{30}{5} = 6$ , $\sigma_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ .
Coeficient de correlació de Pearson. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}} \approx 0{,}98$
Recta de regressió de y sobre x. Pendent $b = \tfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = \tfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7$ ; la recta passa per $(\bar{x}, \bar{y}) = (3, 5)$ : $y - 5 = 1{,}7(x - 3)$ , és a dir, $y = 1{,}7x - 0{,}1$ .
Predicció. Per a $x = 3{,}5$ : $y = 1{,}7\cdot 3{,}5 - 0{,}1 = 5{,}85$ (nota ≈ 5,9).
Fiabilitat. $r \approx 0{,}98$ és positiu (les dues variables pugen juntes) i molt a prop d'1: correlació molt forta. Com que 3,5 h cau dins del rang de les dades [1, 5], la predicció és fiable.

x	y	d_x	d_y	d_x·d_y	d_x²	d_y²
1	2	−2	−3	6	4	9
2	3	−1	−2	2	1	4
3	5	0	0	0	0	0
4	6	1	1	1	1	1
5	9	2	4	8	4	16
Σ		0	0	17	10	30

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En cinc botigues s'ha mesurat el preu d'un mateix producte (x, en €) i les unitats venudes en una setmana (y, en centenars): (2, 9), (3, 7), (4, 6), (5, 4) i (6, 4). Calcula les mitjanes, la covariància, les desviacions típiques i el coeficient de correlació r. Escriu la recta de regressió de y sobre x i prediu les vendes si el preu fos 7 €. Interpreta el signe i la força de r.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\bar{x} = 4

\bar{y} = 6

;

\sigma_{xy} = -2{,}6

;

\sigma_x = \sqrt{2} \approx 1{,}41

\sigma_y = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90

;

r \approx -0{,}97

;

y = -1{,}3x + 11{,}2

; per a 7 €,

y = 2{,}1

(unes 210 unitats). Correlació negativa i molt forta.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \tfrac{2+3+4+5+6}{5} = 4$ i $\bar{y} = \tfrac{9+7+6+4+4}{5} = 6$ .
Taula de desviacions. Amb $d_x = x - \bar{x}$ i $d_y = y - \bar{y}$ :
x y d_x d_y d_x·d_y d_x² d_y²
2 9 −2 3 −6 4 9
3 7 −1 1 −1 1 1
4 6 0 0 0 0 0
5 4 1 −2 −2 1 4
6 4 2 −2 −4 4 4
Σ 0 0 −13 10 18
Covariància i desviacions típiques. Dividint per $n = 5$ : $\sigma_{xy} = \tfrac{-13}{5} = -2{,}6$ ; $\sigma_x^{2} = \tfrac{10}{5} = 2$ , $\sigma_x = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ ; $\sigma_y^{2} = \tfrac{18}{5} = 3{,}6$ , $\sigma_y = \sqrt{3{,}6} \approx 1{,}90$ .
Coeficient de correlació de Pearson. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{-2{,}6}{1{,}41\cdot 1{,}90} \approx -0{,}97$
Recta de regressió de y sobre x. Pendent $b = \tfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = \tfrac{-2{,}6}{2} = -1{,}3$ ; passa per (4, 6): $y - 6 = -1{,}3(x - 4)$ , és a dir, $y = -1{,}3x + 11{,}2$ .
Predicció. Per a $x = 7$ : $y = -1{,}3\cdot 7 + 11{,}2 = 2{,}1$ centenars, és a dir, unes 210 unitats.
Interpretació. El signe negatiu de $r$ indica una relació inversa (quan el preu puja, les vendes baixen), i $|r| = 0{,}97$ , molt a prop d'1, indica una correlació molt forta. El preu de 7 € queda just fora del rang [2, 6] (una petita extrapolació): com que $r$ és molt fort, la predicció és raonablement fiable, però cal prudència si t'allunyes més del rang.

x	y	d_x	d_y	d_x·d_y	d_x²	d_y²
2	9	−2	3	−6	4	9
3	7	−1	1	−1	1	1
4	6	0	0	0	0	0
5	4	1	−2	−2	1	4
6	4	2	−2	−4	4	4
Σ		0	0	−13	10	18

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En una enquesta a 200 joves, 120 fan servir la xarxa X i, d'aquests, 90 també la Y. En total 110 fan servir la Y. Calcula P(Y|X) i P(X|Y).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

P(Y|X) = 0{,}75

;

P(X|Y) = \dfrac{9}{11} \approx 0{,}82

Resolució

Dades. Usen X: 120; usen Y: 110; usen totes dues: 90 (dels 200 joves).
Probabilitat condicionada. $P(Y|X) = \tfrac{P(X\cap Y)}{P(X)}$ : el grup de referència són els que fan servir X. $P(Y|X) = \dfrac{90}{120} = 0{,}75$
Condicionada a Y. Ara el grup de referència són els 110 que fan servir Y: $P(X|Y) = \dfrac{90}{110} = \dfrac{9}{11} \approx 0{,}82$
Conclusió. Fixa't que no són iguals: la condició canvia el grup de referència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un test consta de 8 preguntes de veritable o fals i les respons totes a l'atzar. Quina és la probabilitat d'encertar-ne exactament 5? Fes servir la fórmula de la distribució binomial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

P(X = 5) = \dfrac{56}{256} = \dfrac{7}{32} \approx 0{,}219

(un 21,9 %)

Resolució

Model. El nombre d'encerts segueix una $B(8;\ 0{,}5)$ : hi ha 8 proves independents i cada pregunta té dos resultats (encert amb $p = 0{,}5$ , o error).
Fórmula binomial. $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n-k}$
Càlcul. Amb $n = 8$ , $k = 5$ i $p = 0{,}5$ : $P(X = 5) = \binom{8}{5}\cdot 0{,}5^{5}\cdot 0{,}5^{3} = \binom{8}{5}\cdot 0{,}5^{8}$ , amb $\binom{8}{5} = \tfrac{8!}{5!\cdot 3!} = 56$ i $0{,}5^{8} = \tfrac{1}{256} \approx 0{,}0039$ .
Resultat. $P(X = 5) = \tfrac{56}{256} \approx 0{,}219$ , és a dir, un 21,9 %.
Compte. Això és la probabilitat d'encertar-ne exactament 5, no la de «5 o més»; per a «5 o més» caldria sumar $P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Als 20 alumnes d'un grup se'ls ha preguntat quants llibres han llegit aquest estiu: 0 llibres, 1 alumne; 1 llibre, 5 alumnes; 2 llibres, 9 alumnes; 3 llibres, 3 alumnes; 4 llibres, 2 alumnes. Calcula la mitjana, la variància i la desviació típica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

\bar{x} = 2

llibres;

\sigma^{2} = 1

;

\sigma = 1

llibre

Resolució

Fórmules amb freqüències. $\bar{x} = \tfrac{\sum f\,x}{n}$ i $\sigma^{2} = \tfrac{\sum f\,x^{2}}{n} - \bar{x}^{2}$ , on $n = \sum f = 20$ .
Mitjana. $\sum f\,x = 0\cdot 1 + 1\cdot 5 + 2\cdot 9 + 3\cdot 3 + 4\cdot 2 = 40$ , així que $\bar{x} = \tfrac{40}{20} = 2$ llibres.
Variància i desviació típica. $\sum f\,x^{2} = 0\cdot 1 + 1\cdot 5 + 4\cdot 9 + 9\cdot 3 + 16\cdot 2 = 100$ : $\sigma^{2} = \dfrac{100}{20} - 2^{2} = 5 - 4 = 1,\qquad \sigma = 1\ \text{llibre}$
Comprovació. Amb desviacions: $\sum f\,(x - 2)^{2} = 1\cdot 4 + 5\cdot 1 + 9\cdot 0 + 3\cdot 1 + 2\cdot 4 = 20$ , i $\tfrac{20}{20} = 1$ . Compte a dividir per $n = 20$ (la suma de freqüències) i no per 5 (el nombre de files de la taula).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Els 40 alumnes d'una classe d'un institut d'Osona han anotat el temps (en minuts) que triguen a arribar-hi des de casa: [0, 10): 6 alumnes; [10, 20): 15; [20, 30): 14; [30, 40): 3; [40, 50): 2. Calcula'n la mitjana i la desviació típica i indica la classe modal.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\bar{x} = 20\ \text{min}

;

\sigma = 10\ \text{min}

; classe modal:

[10, 20)

Resolució

Marques de classe. Amb dades agrupades fem servir el punt mitjà de cada interval: 5, 15, 25, 35 i 45 min ( $n = 40$ ).
Mitjana. $\sum f\,x = 6\cdot 5 + 15\cdot 15 + 14\cdot 25 + 3\cdot 35 + 2\cdot 45 = 800$ , així que $\bar{x} = \tfrac{800}{40} = 20\ \text{min}$ .
Desviació típica. $\sum f\,x^{2} = 6\cdot 25 + 15\cdot 225 + 14\cdot 625 + 3\cdot 1225 + 2\cdot 2025 = 20\,000$ : $\sigma^{2} = \dfrac{20\,000}{40} - 20^{2} = 500 - 400 = 100,\qquad \sigma = 10\ \text{min}$
Classe modal. És la de més freqüència: $[10, 20)$ , amb 15 alumnes.
Conclusió. Són valors aproximats: suposem que dins de cada interval totes les dades valen la marca de classe.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Els temps (en minuts) que han trigat 12 alumnes a resoldre un problema són 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 15, 16, 18, 19 i 40. Calcula la mediana, els quartils $Q_{1}$ i $Q_{3}$ i el rang interquartílic (RIQ = $Q_{3}$ - $Q_{1}$ ), i digues si hi ha algun valor atípic, és a dir, fora de l'interval [ $Q_{1}$ - 1,5·RIQ; $Q_{3}$ + 1,5·RIQ]. Pren $Q_{1}$ i $Q_{3}$ com les medianes de la meitat inferior i de la meitat superior de les dades.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Mediana

= 13

min;

Q_1 = 10

Q_3 = 17

; RIQ

= 7

min; el 40 és un valor atípic.

Resolució

Dades. Ja estan ordenades i $n = 12$ . Meitat inferior: 7, 8, 9, 11, 12, 12. Meitat superior: 14, 15, 16, 18, 19, 40.
Mediana. Amb $n$ parell és la mitjana dels dos valors centrals: $\tfrac{12 + 14}{2} = 13$ min.
Quartils. $Q_1$ = mediana de la meitat inferior = $\tfrac{9 + 11}{2} = 10$ min; $Q_3$ = mediana de la meitat superior = $\tfrac{16 + 18}{2} = 17$ min. Rang interquartílic: RIQ = 17 − 10 = 7 min.
Límits per als atípics. $Q_1 - 1{,}5\cdot 7 = -0{,}5$ i $Q_3 + 1{,}5\cdot 7 = 27{,}5$ : els valors normals són els de l'interval $[-0{,}5;\ 27{,}5]$ .
Conclusió. El 40 queda fora d'aquest interval: és un valor atípic. Tots els altres hi són dins.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Els delegats d'un institut són 7 nois i 5 noies. Es vol formar una comissió de 4 persones amb almenys 2 noies. De quantes maneres es pot fer?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

285 comissions

Resolució

Plantejament. L'ordre dels membres no importa: són combinacions. «Almenys 2 noies» vol dir 2, 3 o 4 noies (hi ha 5 noies i 7 nois).
Casos. 2 noies i 2 nois: $\binom{5}{2}\binom{7}{2} = 10\cdot 21 = 210$ . 3 noies i 1 noi: $\binom{5}{3}\binom{7}{1} = 10\cdot 7 = 70$ . 4 noies: $\binom{5}{4} = 5$ .
Total. $210 + 70 + 5 = 285$ comissions.
Comprovació pel contrari. En total hi ha $\binom{12}{4} = 495$ comissions; en treus les de 0 noies, $\binom{7}{4} = 35$ , i les d'1 noia, $5\cdot\binom{7}{3} = 175$ : $495 - 35 - 175 = 285$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una bossa conté 5 boles vermelles i 3 de blaves. S'extreuen dues boles, una darrere l'altra i sense tornar la primera a la bossa. Calcula la probabilitat que les dues boles siguin del mateix color.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

P = \dfrac{13}{28} \approx 0{,}464

Resolució

Diagrama d'arbre. Hi ha 5 vermelles i 3 blaves (8 boles). Com que no hi ha reposició, després de la primera extracció les probabilitats de la segona canvien.
Regla del producte. Dues vermelles: $P(V_1)\cdot P(V_2|V_1) = \tfrac{5}{8}\cdot\tfrac{4}{7} = \tfrac{20}{56}$ . Dues blaves: $P(B_1)\cdot P(B_2|B_1) = \tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{2}{7} = \tfrac{6}{56}$ .
Suma. Els dos camins són incompatibles, així que se sumen: $P = \dfrac{20}{56} + \dfrac{6}{56} = \dfrac{26}{56} = \dfrac{13}{28} \approx 0{,}464$
Comprovació amb combinacions. Casos favorables $\binom{5}{2} + \binom{3}{2} = 10 + 3 = 13$ , sobre casos possibles $\binom{8}{2} = 28$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

De dos esdeveniments A i B sabem que P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 i P(A ∪ B) = 0,7. Calcula P(A ∩ B) i raona si A i B són independents i si són incompatibles.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

P(A\cap B) = 0{,}2

; A i B són independents i no són incompatibles.

Resolució

Intersecció. De $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ aïlles la intersecció: $P(A\cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}7 = 0{,}2$ .
Independència. Són independents si $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ . Aquí $P(A)\cdot P(B) = 0{,}4\cdot 0{,}5 = 0{,}2 = P(A\cap B)$ : sí que ho són.
Incompatibilitat. Ho serien si $P(A\cap B) = 0$ , però val 0,2: no són incompatibles.
Conclusió. Fixa't que són conceptes diferents: dos esdeveniments incompatibles amb probabilitat no nul·la mai no són independents, perquè saber que ha passat A fa impossible B.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

A una acadèmia hi ha dos grups de reforç de matemàtiques: el grup A, amb 12 alumnes, i el grup B, amb 18. Va aprovar l'últim examen el 75 % del grup A i els dos terços del grup B. Es tria a l'atzar un dels 30 alumnes. Quina és la probabilitat que hagi aprovat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

P(\text{aprovar}) = 0{,}70

Resolució

Dades. El grup fa de partició: $P(A) = \tfrac{12}{30} = 0{,}4$ i $P(B) = \tfrac{18}{30} = 0{,}6$ ; $P(\text{apr}|A) = 0{,}75$ i $P(\text{apr}|B) = \tfrac{2}{3}$ .
Teorema de la probabilitat total. $P(\text{apr}) = P(A)\,P(\text{apr}|A) + P(B)\,P(\text{apr}|B) = 0{,}4\cdot 0{,}75 + 0{,}6\cdot\tfrac{2}{3} = 0{,}30 + 0{,}40 = 0{,}70$
Comprovació amb els alumnes. El 75 % de 12 són 9 aprovats i els 2/3 de 18 són 12: $\tfrac{9 + 12}{30} = \tfrac{21}{30} = 0{,}70$ .
Compte. No facis la mitjana simple $\tfrac{0{,}75 + 0{,}667}{2} \approx 0{,}71$ : els grups tenen mides diferents i cal ponderar-los.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un entrenador recull, per a cinc jugadors, les hores d'entrenament setmanal (x) i els punts marcats de mitjana per partit (y): (2, 5), (4, 4), (6, 8), (8, 7) i (10, 11). Troba les mitjanes, la covariància, les desviacions típiques i el coeficient de correlació r, escriu la recta de regressió de y sobre x i fes servir la recta per predir els punts d'un jugador que entrenés 20 hores setmanals. Comenta la fiabilitat de la predicció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\bar{x} = 6

\bar{y} = 7

;

\sigma_{xy} = 6

;

\sigma_x = \sqrt{8} \approx 2{,}83

\sigma_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45

;

r \approx 0{,}87

;

y = 0{,}75x + 2{,}5

; per a 20 h,

y = 17{,}5

punts, però la predicció no és fiable.

Resolució

Mitjanes. $\bar{x} = \tfrac{2+4+6+8+10}{5} = 6$ i $\bar{y} = \tfrac{5+4+8+7+11}{5} = 7$ .
Taula de desviacions. Amb $d_x = x - \bar{x}$ i $d_y = y - \bar{y}$ :
x y d_x d_y d_x·d_y d_x² d_y²
2 5 −4 −2 8 16 4
4 4 −2 −3 6 4 9
6 8 0 1 0 0 1
8 7 2 0 0 4 0
10 11 4 4 16 16 16
Σ 0 0 30 40 30
Covariància i desviacions típiques. Dividint per $n = 5$ : $\sigma_{xy} = \tfrac{30}{5} = 6$ ; $\sigma_x^{2} = \tfrac{40}{5} = 8$ , $\sigma_x = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ ; $\sigma_y^{2} = \tfrac{30}{5} = 6$ , $\sigma_y = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ .
Coeficient de correlació de Pearson. $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} = \dfrac{6}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{6}} = \dfrac{6}{\sqrt{48}} \approx 0{,}87$
Recta de regressió de y sobre x. Pendent $b = \tfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^{2}} = \tfrac{6}{8} = 0{,}75$ ; passa per (6, 7): $y - 7 = 0{,}75(x - 6)$ , és a dir, $y = 0{,}75x + 2{,}5$ .
Predicció. Per a $x = 20$ : $y = 0{,}75\cdot 20 + 2{,}5 = 17{,}5$ punts.
Fiabilitat. $r \approx 0{,}87$ és positiu i força alt (correlació forta) i podria semblar que la predicció és bona. Però 20 h queda molt fora del rang observat [2, 10]: és una extrapolació llunyana. La recta només és fiable dins (o molt a prop) del rang de les dades, així que els 17,5 punts no són una predicció fiable, per bo que sigui $r$ .

x	y	d_x	d_y	d_x·d_y	d_x²	d_y²
2	5	−4	−2	8	16	4
4	4	−2	−3	6	4	9
6	8	0	1	0	0	1
8	7	2	0	0	4	0
10	11	4	4	16	16	16
Σ		0	0	30	40	30

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Una malaltia afecta el 2 % de la població. Una prova dona positiu en el 95 % dels malalts i, en els sans, dona un fals positiu el 10 % de les vegades. Una persona dona positiu: quina probabilitat té d'estar malalta?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

P(\text{malalt}|+) = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}162

(un 16 %)

Resolució

Dades. $P(M) = 0{,}02$ , $P(S) = 0{,}98$ ; $P(+|M) = 0{,}95$ i $P(+|S) = 0{,}10$ .
Probabilitat total. Positius de malalts: $0{,}02\cdot 0{,}95 = 0{,}019$ . Falsos positius: $0{,}98\cdot 0{,}10 = 0{,}098$ . $P(+) = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117$
Teorema de Bayes. $P(M|+) = \dfrac{P(M)\,P(+|M)}{P(+)} = \dfrac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}1624$
Conclusió. Només un 16 % aproximadament. És poc perquè la malaltia és rara i hi ha molts més sans que donen positiu per error que no pas malalts.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

El contingut de les ampolles d'una embotelladora segueix una distribució normal N(500, 5) (en ml). Quina proporció d'ampolles conté entre 495 i 510 ml? Tipifica i fes servir la taula de la normal estàndard.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

P(495 < X < 510) = 0{,}8185

: aproximadament el 81,85 % de les ampolles

Resolució

Tipificació. Amb $z = \tfrac{x - \mu}{\sigma}$ , $\mu = 500$ i $\sigma = 5$ : $z_1 = \dfrac{495 - 500}{5} = -1,\qquad z_2 = \dfrac{510 - 500}{5} = 2$
Interval. $P(495 < X < 510) = P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1)$ . Per a un interval cal restar les dues probabilitats acumulades, no sumar-les.
Taula i simetria. De la taula de la $N(0, 1)$ : $\Phi(2) = 0{,}9772$ i $\Phi(1) = 0{,}8413$ . La $z$ negativa no és a la taula directa: per simetria de la campana, $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 0{,}1587$ .
Resultat. $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$ , és a dir, aproximadament el 81,85 % de les ampolles.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Dos grups de 1r de Batxillerat fan el mateix examen. El grup A, de 10 alumnes, treu una nota mitjana de 8 amb una desviació típica de 2; el grup B, de 20 alumnes, treu una mitjana de 5 amb una desviació típica d'1. Calcula la mitjana i la desviació típica de les notes dels 30 alumnes junts.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

\bar{x} = 6

;

\sigma = 2

Resolució

Mitjana global. És la mitjana ponderada pel nombre d'alumnes: $\bar{x} = \dfrac{10\cdot 8 + 20\cdot 5}{30} = \dfrac{180}{30} = 6$
Suma de quadrats de cada grup. De $\sigma^{2} = \tfrac{\sum x^{2}}{n} - \bar{x}^{2}$ tens $\sum x^{2} = n\,(\sigma^{2} + \bar{x}^{2})$ . Grup A: $10\cdot(4 + 64) = 680$ . Grup B: $20\cdot(1 + 25) = 520$ .
Variància global. $\sigma^{2} = \dfrac{680 + 520}{30} - 6^{2} = 40 - 36 = 4,\qquad \sigma = 2$
Comprovació. Descomponent en variació dins dels grups i entre grups: $\tfrac{10\cdot 4 + 20\cdot 1 + 10\cdot(8 - 6)^{2} + 20\cdot(5 - 6)^{2}}{30} = \tfrac{60 + 60}{30} = 4$ .
Compte. Fer la mitjana ponderada de les desviacions, $\tfrac{10\cdot 2 + 20\cdot 1}{30} \approx 1{,}33$ , dona un valor massa petit: ignora que les mitjanes dels dos grups són diferents, i això afegeix dispersió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Les temperatures màximes diàries d'una ciutat al llarg d'un any tenen una mitjana de 18 °C i una desviació típica de 6 °C. Es converteixen a graus Fahrenheit amb F = 1,8·C + 32. Calcula la mitjana i la desviació típica en °F, compara el coeficient de variació en les dues escales i explica què en deduïm.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

\bar{F} = 64{,}4\ ^{\circ}\text{F}

;

\sigma_F = 10{,}8\ ^{\circ}\text{F}

;

CV_C \approx 0{,}333

CV_F \approx 0{,}168

: el CV canvia amb l'escala, i només té sentit en magnituds amb un zero natural.

Resolució

Mitjana. Un canvi lineal $F = a\,C + b$ transforma la mitjana de la mateixa manera: $\bar{F} = 1{,}8\cdot 18 + 32 = 64{,}4\ ^{\circ}\text{F}$ .
Desviació típica. Només queda multiplicada per $|a|$ : sumar 32 desplaça totes les dades igual i no en canvia la dispersió. $\sigma_F = 1{,}8\cdot 6 = 10{,}8\ ^{\circ}\text{F}$ .
Coeficients de variació. En °C: $CV = \tfrac{6}{18} \approx 0{,}333$ (33,3 %). En °F: $CV = \tfrac{10{,}8}{64{,}4} \approx 0{,}168$ (16,8 %).
Interpretació. Les dades són les mateixes i el CV s'ha reduït aproximadament a la meitat: el CV no és invariant davant d'un canvi d'escala amb desplaçament, perquè la mitjana depèn d'on es posa el zero (0 °C no és el mateix zero que 0 °F).
Conclusió. El CV només té sentit en magnituds amb un zero natural (longituds, masses, temps, temperatura en kèlvins); per a temperatures en °C o °F cal comparar desviacions típiques.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una fàbrica té tres màquines. La màquina A fa el 50 % de les peces, la B el 30 % i la C el 20 %. Són defectuoses l'1 % de les peces de A, el 2 % de les de B i el 4 % de les de C.
a) Quina és la probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa?
b) Si la peça és defectuosa, quina és la probabilitat que provingui de cada màquina? De quina és més probable?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

P(D) = 0{,}019

(l'1,9 % de les peces)

Resolució

Dades. $P(A) = 0{,}50$ , $P(B) = 0{,}30$ , $P(C) = 0{,}20$ ; $P(D|A) = 0{,}01$ , $P(D|B) = 0{,}02$ , $P(D|C) = 0{,}04$ .
Teorema de la probabilitat total. $P(D) = 0{,}50\cdot 0{,}01 + 0{,}30\cdot 0{,}02 + 0{,}20\cdot 0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019$
Conclusió. L'1,9 % de les peces són defectuoses.

Apartat b)

Resultat

P(A|D) \approx 0{,}263

;

P(B|D) \approx 0{,}316

;

P(C|D) \approx 0{,}421

: és més probable que vingui de la màquina C.

Resolució

Teorema de Bayes. $P(M|D) = \dfrac{P(M)\cdot P(D|M)}{P(D)}$
Càlcul. $P(A|D) = \tfrac{0{,}005}{0{,}019} \approx 0{,}263$ ; $P(B|D) = \tfrac{0{,}006}{0{,}019} \approx 0{,}316$ ; $P(C|D) = \tfrac{0{,}008}{0{,}019} \approx 0{,}421$ .
Comprovació. $0{,}263 + 0{,}316 + 0{,}421 = 1$ .
Conclusió. Una peça defectuosa és més probable que vingui de C (42,1 %), tot i que és la que en fabrica menys: el seu percentatge de defectuoses (4 %) és tan alt que compensa la quota baixa (20 %). La probabilitat inicial s'ha actualitzat amb la informació que la peça és defectuosa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una urna conté 30 boles numerades de l'1 al 30. S'extreuen 5 boles alhora, sense reposició. Calcula la probabilitat que exactament 2 de les boles extretes tinguin un número múltiple de 5.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

P = \dfrac{30\,360}{142\,506} \approx 0{,}213

Resolució

Dades. Entre 1 i 30 hi ha 6 múltiples de 5 (5, 10, 15, 20, 25 i 30) i 24 nombres que no ho són. L'extracció és simultània: l'ordre no importa, així que comptes combinacions.
Casos possibles. $\binom{30}{5} = 142\,506$ .
Casos favorables. Tries 2 de les 6 boles múltiples de 5 i 3 de les 24 que no ho són: $\binom{6}{2}\binom{24}{3} = 15\cdot 2024 = 30\,360$ . No n'hi ha prou amb $\binom{6}{2}$ : també cal triar les altres 3 boles.
Regla de Laplace. $P = \dfrac{30\,360}{142\,506} \approx 0{,}213$
Interpretació. En un 21 % aproximadament de les extraccions hi ha exactament dues boles amb un número múltiple de 5.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

En un concurs hi ha tres portes tancades; darrere d'una hi ha un premi i darrere de les altres dues no hi ha res. El concursant tria una porta. Llavors el presentador, que sap on és el premi, obre una de les altres dues portes que no tingui premi (si en té dues per triar, en tria una a l'atzar) i li proposa canviar de porta. Raona, calculant probabilitats, si li convé canviar.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

Sí, li convé canviar:

P(\text{guanyar canviant}) = \tfrac{2}{3}

davant de

P(\text{guanyar mantenint}) = \tfrac{1}{3}

Resolució

Plantejament. Suposa que el concursant tria la porta 1. Al començament, $P(\text{premi a la 1}) = \tfrac{1}{3}$ i $P(\text{premi a la 2 o la 3}) = \tfrac{2}{3}$ .
Casos. Si el premi és a la 1 (prob. 1/3), el presentador obre una de les altres dues i canviar fa perdre. Si el premi és a la 2 o a la 3 (prob. 2/3), el presentador no té opció: obre l'altra porta buida, i canviar fa guanyar.
Teorema de Bayes. Si el presentador obre la 3: $P(\text{obre 3}) = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 0 = \tfrac{1}{2}$ , i $P(\text{premi a la 2}\,|\,\text{obre 3}) = \dfrac{\tfrac{1}{3}\cdot 1}{\tfrac{1}{2}} = \dfrac{2}{3}$
Conclusió. Mantenir-se guanya amb probabilitat 1/3 i canviar, amb 2/3. Intuïció: obrir una porta buida no canvia la probabilitat de la porta triada (continua sent 1/3), però concentra en l'altra porta tancada tota la resta, 2/3.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

En una classe de 30 alumnes, quina és la probabilitat que almenys dos celebrin l'aniversari el mateix dia? Suposa que l'any té 365 dies, que tots són igualment probables i que ningú no ha nascut el 29 de febrer.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

P(\text{almenys dos coincideixen}) \approx 0{,}706

(un 70,6 %)

Resolució

Esdeveniment contrari. «Almenys dos coincideixen» és el contrari de «tots els aniversaris són diferents»: calcules aquest i el restes de 1.
Regla del producte. El primer alumne pot néixer qualsevol dia ( $\tfrac{365}{365}$ ); el segon n'ha d'evitar un ( $\tfrac{364}{365}$ ); el tercer, dos ( $\tfrac{363}{365}$ ); i així fins al trentè, que n'ha d'evitar 29 ( $\tfrac{336}{365}$ ).
Càlcul. $P(\text{tots diferents}) = \dfrac{365\cdot 364\cdot 363\cdots 336}{365^{30}} \approx 0{,}294$ (amb calculadora), i $P(\text{almenys dos}) = 1 - 0{,}294 = 0{,}706$ .
Interpretació. El resultat sorprèn, però és correcte: no es compara cada alumne amb un de concret, sinó que hi ha $\tfrac{30\cdot 29}{2} = 435$ parells possibles. Amb només 23 alumnes la probabilitat ja supera el 50 % (≈ 0,507).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quan es pot fer servir la distribució binomial?

Quan es repeteix n vegades un experiment amb només dos resultats possibles (èxit o fracàs), les proves són independents i la probabilitat d'èxit és sempre la mateixa.

Què diu el teorema de Bayes?

Permet calcular la probabilitat d'una causa sabent el resultat, com la probabilitat d'estar malalt si la prova ha donat positiu, a partir de les probabilitats en sentit contrari.

Tornar a Matemàtiques

Nivell bàsic

Exercici 1

Exercici 2

Exercici 3

Exercici 4

Exercici 5

Exercici 6

Exercici 7

Exercici 8

Exercici 9

Exercici 10

Apartat a)

Apartat b)

Apartat c)

Apartat d)

Nivell intermedi

Exercici 11

Exercici 12

Exercici 13

Exercici 14

Exercici 15

Exercici 16

Exercici 17

Exercici 18

Exercici 19

Exercici 20

Exercici 21

Nivell avançat

Exercici 22

Exercici 23

Exercici 24

Exercici 25

Exercici 26

Exercici 27

Apartat a)

Apartat b)

Exercici 28

Exercici 29

Exercici 30

Preguntes freqüents

Altres temes de Matemàtiques 1r Batxillerat