Flashcards: Successions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una successió i què és el seu terme general?

   Una llista ordenada i infinita de nombres. El terme general $a_n$ és el que ocupa la posició $n$, i sovint és una fórmula que el dona segons $n$.

2. 2. Què vol dir definir una successió per recurrència?

   Donar el primer terme i una regla per obtenir cada terme a partir de l'anterior. Per exemple, $a_1 = 3$ i $a_{n+1} = a_n + 2$.

3. 3. Error típic: a $a_n = 2n + 1$, quant val $a_3$?

   $a_3 = 2\cdot 3 + 1 = 7$. La $n$ és la posició, i $a_3$ és el valor del terme que ocupa la tercera posició, no 3.

4. 4. Com saps si una successió és una progressió aritmètica o geomètrica a partir dels seus termes?

   Si la diferència entre termes seguits és constant, és aritmètica (se suma); si el que és constant és el quocient, és geomètrica (es multiplica).

5. 5. Terme general d'una progressió aritmètica?

   $a_n = a_1 + (n-1)\cdot d$, on $a_1$ és el primer terme i $d$ la diferència que se suma cada vegada.

6. 6. Com s'escriu el terme $a_n$ d'una progressió geomètrica de raó $r$?

   $a_n = a_1\cdot r^{n-1}$, on $a_1$ és el primer terme i $r$ la raó per la qual es multiplica cada vegada.

7. 7. Per què a les fórmules del terme general de les progressions hi ha $n - 1$ i no $n$?

   Perquè del primer terme al terme $n$ hi ha $n - 1$ passos. És l'error de compte més freqüent del tema.

8. 8. Suma dels $n$ primers termes d'una progressió aritmètica?

   $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$: el nombre de termes per la mitjana del primer i l'últim.

9. 9. Quina fórmula dona $S_n$ en una progressió geomètrica?

   $S_n = a_1\cdot\dfrac{r^n - 1}{r - 1}$, vàlida sempre que $r \neq 1$.

10. 10. Quan té un valor finit la suma de tots els infinits termes d'una progressió geomètrica, i quant val?

    Quan $|r| < 1$, perquè els termes s'acosten a zero. Val $S = \dfrac{a_1}{1 - r}$.

11. 11. Quan és creixent una successió? I decreixent?

    Creixent si cada terme és més gran que l'anterior; decreixent si és més petit. En tots dos casos es diu que és monòtona.

12. 12. Què vol dir que una successió és fitada?

    Que els seus termes no passen d'un cert valor: per dalt, per baix o per totes dues bandes.

13. 13. Què és el límit d'una successió?

    El valor cap al qual s'acosten els termes quan $n$ es fa molt gran. Si és un nombre $L$, la successió és convergent i $\lim a_n = L$.

14. 14. Quan diem que una successió divergeix?

    Quan els termes creixen o decreixen sense aturador: tendeix a $+\infty$ o a $-\infty$. Si van botant sense acostar-se a res, no té límit.

15. 15. Quant val $\lim \dfrac{1}{n}$?

    0: dividir 1 entre un nombre cada vegada més gran dona un resultat cada vegada més petit. No és 1 ni infinit.

16. 16. Com calcules el límit d'un quocient de polinomis en $n$?

    Mana el grau més alt. Graus iguals: el quocient dels coeficients principals. Més grau a dalt: $+\infty$ o $-\infty$, segons el signe d'aquest quocient. Més grau a baix: 0.

17. 17. Error típic: tota successió creixent divergeix?

    No: si és creixent i fitada, convergeix. Per exemple, $\dfrac{n}{n+1}$ puja cap a 1 sense arribar-hi.

18. 18. Quina successió defineix el nombre $e$?

    $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$, que convergeix a $e \approx 2{,}718$, un nombre irracional que és la base dels logaritmes naturals.