Flashcards: Nombres reals, polinomis i nombres complexos

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. A què equival la inequació $|x| < k$, amb $k > 0$?

   A la desigualtat doble $-k < x < k$: és un sol interval, $(-k, k)$. Vol dir que la distància de $x$ a l'origen és menor que $k$.

2. 2. Error típic: resoldre $|x| > k$ com si fos un sol interval. Què és el correcte?

   Són dues branques: $x < -k$ o $x > k$. En intervals, $(-\infty, -k) \cup (k, +\infty)$.

3. 3. Què vol dir racionalitzar una fracció i per què no en canvia el valor?

   Treure les arrels del denominador multiplicant el numerador i el denominador pel mateix nombre. Multiplicar per $c/c$ és multiplicar per 1.

4. 4. Com racionalitzes $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$?

   Multiplica dalt i baix per $\sqrt{b}$: queda $\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$, perquè $\sqrt{b}\cdot\sqrt{b} = b$. Després, simplifica si hi ha factor comú.

5. 5. Com racionalitzes un denominador de la forma $\sqrt{b} + \sqrt{c}$?

   Multiplica dalt i baix pel conjugat, $\sqrt{b} - \sqrt{c}$. Per la diferència de quadrats, el denominador queda $b - c$, sense arrels. Del conjugat només canvia el signe del mig.

6. 6. Què vol dir $\log_b x = y$?

   Que $b^y = x$: el logaritme és l'exponent al qual cal elevar la base per obtenir el nombre. Per exemple, $\log_2 8 = 3$ perquè $2^3 = 8$.

7. 7. Per a quins nombres existeix el logaritme?

   Només per als positius: cap exponent fa que $b^y$ sigui negatiu o zero. $\log 0$ i $\log(-2)$ no existeixen.

8. 8. Propietats del logaritme d'un producte i d'un quocient?

   $\log(a\cdot c) = \log a + \log c$ i $\log(a/c) = \log a - \log c$, amb $a$ i $c$ positius.

9. 9. Quant val $\log(a^n)$?

   $n\cdot\log a$: l'exponent surt a multiplicar. És la propietat que permet aïllar una incògnita que és a l'exponent.

10. 10. Error típic: escriure $\log(a + c) = \log a + \log c$. Què és el correcte?

    El logaritme d'una suma no se simplifica. La suma de logaritmes correspon al producte: $\log a + \log c = \log(a\cdot c)$.

11. 11. Fórmula del canvi de base dels logaritmes?

    $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$. Serveix per calcular amb la calculadora un logaritme de qualsevol base.

12. 12. Primer pas per resoldre una equació exponencial com $3^x = 7$?

    Aplicar logaritmes als dos costats: l'exponent baixa a multiplicar, $x\log 3 = \log 7$, i queda $x = \dfrac{\log 7}{\log 3}$.

13. 13. Com resols una equació logarítmica i què no et pots oblidar al final?

    Reuneix-ho en un sol logaritme a cada costat i iguala els arguments. Al final, comprova les solucions i descarta les que fan negatiu o zero algun argument.

14. 14. Quina relació compleixen dividend, divisor, quocient i residu en una divisió de polinomis?

    $P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)$, amb el grau de $R$ més petit que el de $D$. Si $R = 0$, la divisió és exacta i $D$ és factor de $P$.

15. 15. Què has de fer abans de dividir un polinomi al qual falten graus, com $x^4 - 5x^2 + 4$?

    Omplir els forats amb zeros. A Ruffini, els coeficients són $1, 0, -5, 0, 4$, no $1, -5, 4$; si no, tot el quocient surt desplaçat.

16. 16. Quan es pot fer servir la regla de Ruffini?

    Només si el divisor és de la forma $x - a$: grau 1 i coeficient de la $x$ igual a 1. Compte amb el signe: per dividir entre $x + 2$, $a = -2$.

17. 17. Què diu el teorema del residu?

    El residu de dividir $P(x)$ entre $x - a$ val $P(a)$. Per saber-lo n'hi ha prou de substituir, sense fer la divisió.

18. 18. Què diu el teorema del factor?

    $x - a$ és factor de $P(x)$ si i només si $P(a) = 0$. Els valors $a$ que ho compleixen són les arrels del polinomi.

19. 19. On busques les arrels senceres d'un polinomi de coeficients sencers amb el coeficient principal igual a 1?

    Entre els divisors del terme independent. Si val $-6$, només cal provar $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

20. 20. Com factoritzes $ax^2 + bx + c$ si té arrels $x_1$ i $x_2$?

    $a(x - x_1)(x - x_2)$. No t'oblidis del coeficient $a$ de davant. Si el discriminant és negatiu, no es pot factoritzar dins dels reals.

21. 21. Què has de fer quan una arrel et funciona amb Ruffini?

    Tornar-la a provar al quocient abans de passar a la següent candidata: pot ser una arrel doble i sortir com $(x - a)^2$.

22. 22. Què és la unitat imaginària i com es calculen les seves potències?

    És $i$, amb $i^2 = -1$. Les potències es repeteixen cada 4 ($1, i, -1, -i$): $i^n = i^r$, on $r$ és el residu de dividir $n$ entre 4.

23. 23. Com calcules el mòdul i l'argument de $z = a + bi$?

    Mòdul: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, la distància a l'origen. Argument: l'angle $\alpha$ amb el semieix real positiu, amb $\tan\alpha = b/a$ i corregit segons el quadrant.

24. 24. Error típic: donar com a argument d'un complex l'angle que surt a la calculadora. Com el corregeixes?

    L'arc tangent dona angles entre $-90^\circ$ i $90^\circ$. Si la part real és negativa, suma-hi $180^\circ$: $-1 + i$ té argument $135^\circ$, no $-45^\circ$.

25. 25. Què diu la fórmula de De Moivre?

    $(r_\alpha)^n = (r^n)_{n\alpha}$: el mòdul s'eleva a $n$ i l'argument es multiplica per $n$.

26. 26. Quantes arrels n-èsimes té un complex diferent de zero i com són?

    Exactament $n$. Totes tenen mòdul $\sqrt[n]{r}$ i estan separades $360^\circ/n$: són els vèrtexs d'un polígon regular de $n$ costats centrat a l'origen.