Flashcards: Geometria analítica al pla

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Com calcules el mòdul d'un vector $\vec v = (a, b)$?

   $|\vec v| = \sqrt{a^2 + b^2}$, per Pitàgores. No és $a + b$: cal elevar les components al quadrat.

2. 2. Com trobes el vector que va del punt $A(a_1, a_2)$ al punt $B(b_1, b_2)$?

   Extrem menys origen: $\overrightarrow{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2)$. El seu mòdul és la distància entre $A$ i $B$.

3. 3. Com saps si dos vectors són paral·lels?

   Si les seves components són proporcionals: $(2, 3)$ i $(4, 6)$ ho són, perquè el segon és el doble del primer.

4. 4. Com es calcula el producte escalar de dos vectors en components?

   $\vec u\cdot\vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2$. El resultat és un nombre, no un vector.

5. 5. Quina relació hi ha entre el producte escalar i l'angle que formen dos vectors?

   $\vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$. Aïllant-ne el cosinus, $\cos\alpha = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$, en surt l'angle.

6. 6. Què vol dir que el producte escalar de dos vectors no nuls valgui zero?

   Que són perpendiculars, perquè $\cos 90^\circ = 0$.

7. 7. Què necessites per determinar una recta del pla?

   Un punt i una direcció, donada per un vector director. Amb aquestes dues dades la pots escriure en qualsevol de les seves formes.

8. 8. Què signifiquen $m$ i $n$ a l'equació explícita $y = mx + n$?

   $m$ és el pendent, el que varia $y$ per cada unitat de $x$. $n$ és l'ordenada a l'origen, on la recta talla l'eix vertical.

9. 9. Equació punt-pendent d'una recta?

   $y - y_0 = m(x - x_0)$, on $(x_0, y_0)$ és un punt de la recta i $m$, el pendent.

10. 10. Si una recta té vector director $(v_1, v_2)$, quin pendent té?

    $m = \dfrac{v_2}{v_1}$, sempre que $v_1 \neq 0$.

11. 11. De la recta $Ax + By + C = 0$, quin és un vector director i quin és el pendent?

    Un vector director és $(-B, A)$ i el pendent és $m = -\dfrac{A}{B}$, si $B \neq 0$.

12. 12. Com trobes el pendent de la recta que passa per $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$?

    $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, si $x_1 \neq x_2$: el que puja la recta dividit pel que avança.

13. 13. Com és la posició relativa de dues rectes segons els seus pendents?

    Pendents diferents: secants, es tallen en un punt (el trobes resolent el sistema). Mateix pendent i ordenada diferent: paral·leles. Mateixa recta: coincidents.

14. 14. Quina condició compleixen els pendents de dues rectes perpendiculars?

    $m_1\cdot m_2 = -1$. Equivalentment, els seus vectors directors tenen producte escalar zero.

15. 15. Fórmula de la distància entre dos punts $P(x_1, y_1)$ i $Q(x_2, y_2)$?

    $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$: és el mòdul del vector $\overrightarrow{PQ}$.

16. 16. Com calcules la distància del punt $P(x_0, y_0)$ a la recta $Ax + By + C = 0$?

    $d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. La recta ha d'estar en forma general.

17. 17. Com calcules l'angle que formen dues rectes?

    Amb els seus vectors directors: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}$. El valor absolut fa que surti l'angle agut, que és el que formen les rectes.

18. 18. Equació de la circumferència de centre $(a, b)$ i radi $r$?

    $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. A la dreta hi va el radi al quadrat. Amb centre a l'origen, queda $x^2 + y^2 = r^2$.

19. 19. Com trobes el centre i el radi d'una circumferència si l'equació et ve desenvolupada?

    Completant quadrats per tornar a la forma $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, on llegeixes directament el centre $(a, b)$ i el radi $r$.

20. 20. Què són les còniques i quines són?

    Les corbes que surten de tallar un con amb un pla: la circumferència, l'el·lipse, la paràbola i la hipèrbola.

21. 21. Equacions de l'el·lipse i de la hipèrbola centrades a l'origen?

    El·lipse: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Hipèrbola: $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Només canvia el signe del mig.

22. 22. Com es defineixen l'el·lipse i la hipèrbola a partir dels focus?

    L'el·lipse és el conjunt de punts amb la suma de distàncies als dos focus constant; la hipèrbola, amb la diferència (en valor absolut) constant.

23. 23. Com es defineix la paràbola com a lloc geomètric?

    És el conjunt de punts que estan a la mateixa distància d'un punt fix, el focus, i d'una recta, la directriu.