Flashcards: Funcions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una funció?

   Una relació que assigna a cada valor de la variable independent $x$ un únic valor de la variable dependent, $y = f(x)$. Si una $x$ en pogués donar dos, no seria una funció.

2. 2. Què és el domini d'una funció i què és el recorregut?

   Domini: els valors de $x$ per als quals la funció existeix. Recorregut (o imatge de la funció): els valors que arriba a prendre la $y$, que sovint es llegeixen a la gràfica.

3. 3. Què vol dir $(f \circ g)(x)$ i quina de les dues funcions actua primer?

   $(f \circ g)(x) = f(g(x))$: primer actua $g$, la de dins, i després $f$. L'ordre importa: normalment $f \circ g$ i $g \circ f$ no donen el mateix.

4. 4. Què fa la funció inversa $f^{-1}$?

   Desfà el que fa $f$: si $f$ transforma el 2 en un 7, $f^{-1}$ transforma el 7 en un 2.

5. 5. Regla pràctica per calcular el domini: d'on parteixes i què en treus?

   Parteixes de tot $\mathbb{R}$ i en treus els valors que anul·len un denominador, fan negatiu el radicand d'una arrel d'índex parell o fan no positiu l'argument d'un logaritme.

6. 6. Domini amb un denominador: com trobes els valors prohibits?

   Iguales el denominador a zero, resols l'equació i n'excloues les solucions. Si no té solució real, com $x^2 + 1 = 0$, no en treus cap i el domini és $\mathbb{R}$.

7. 7. Quina condició imposa al domini una arrel d'índex parell? I una d'índex senar?

   Índex parell: el radicand ha de ser $\ge 0$, i resols aquesta inequació. Índex senar: cap condició, perquè l'arrel cúbica d'un negatiu existeix ($\sqrt[3]{-8} = -2$).

8. 8. Error típic: quina condició ha de complir l'argument d'un logaritme?

   Ha de ser estrictament $> 0$, no $\ge 0$: $\log 0$ tampoc no existeix. Per això el domini de $\log(x - 5)$ és $(5, +\infty)$, amb parèntesi.

9. 9. Quines funcions tenen sempre domini $\mathbb{R}$ sense fer cap càlcul?

   Les polinòmiques, les exponencials com $2^x$ o $e^x$, el sinus i el cosinus. Cap d'elles no té denominadors, arrels d'índex parell ni logaritmes que prohibeixin valors.

10. 10. Si la funció té una arrel i un denominador alhora, com s'ajunten les dues condicions del domini?

    Per intersecció, no per unió: s'han de complir totes dues alhora, així que només valen els valors que són als dos conjunts.

11. 11. Error típic: es pot simplificar la funció abans de calcular-ne el domini?

    No. El domini es calcula sobre la funció tal com te la donen: si simplifiques $\dfrac{x}{x^2 - 4x}$ a $\dfrac{1}{x - 4}$, perds que el 0 també està prohibit.

12. 12. Com es troben els punts de tall d'una funció amb els eixos?

    Amb l'eix horitzontal, resolent $f(x) = 0$. Amb l'eix vertical, calculant $f(0)$: el punt és $(0, f(0))$.

13. 13. Quan és parella una funció i quan és senar?

    Parella si $f(-x) = f(x)$: simètrica respecte de l'eix vertical, com $x^2$. Senar si $f(-x) = -f(x)$: simètrica respecte de l'origen, com $x^3$.

14. 14. A la paràbola $y = ax^2 + bx + c$, què decideix cap on obre?

    El signe de $a$. Si $a > 0$ obre cap amunt i el vèrtex és un mínim; si $a < 0$ obre cap avall i el vèrtex és un màxim.

15. 15. Com es troba el vèrtex d'una paràbola?

    L'abscissa és $x_v = -\dfrac{b}{2a}$, i l'alçada $y_v$ surt substituint aquest valor a la funció.

16. 16. Quin és el recorregut d'una paràbola?

    Depèn del vèrtex: $[y_v, +\infty)$ si obre cap amunt i $(-\infty, y_v]$ si obre cap avall. El domini, en canvi, sempre és $\mathbb{R}$.

17. 17. Quantes vegades pot tallar l'eix horitzontal una funció polinòmica de grau $n$?

    Com a màxim $n$ vegades, i els punts de tall són les arrels reals del polinomi.

18. 18. Hipèrbola $y = \dfrac{1}{x}$: domini, recorregut i asímptotes?

    Domini i recorregut: $\mathbb{R} - \{0\}$. Asímptota vertical $x = 0$ i asímptota horitzontal $y = 0$.

19. 19. Funció arrel quadrada $y = \sqrt{x}$: quin domini i quin recorregut té?

    Tots dos són $[0, +\infty)$: el radicand no pot ser negatiu i l'arrel quadrada mai no dona negatiu. La gràfica és mitja paràbola tombada que surt de l'origen.

20. 20. Funció a trossos: què has de fer abans de substituir un valor?

    Mirar a quin tram cau. Vigila els punts de canvi: la condició $x \ge 2$ inclou el 2 i la condició $x < 2$ no.

21. 21. Escriu $|x|$ com a funció a trossos.

    $|x| = x$ si $x \ge 0$, i $|x| = -x$ si $x < 0$. És la distància al zero: mai no és negativa i la gràfica té forma de V.

22. 22. On té el vèrtex la V de $y = |x - 3|$?

    On s'anul·la l'interior, a $x = 3$. El tros que quedaria per sota de l'eix horitzontal es reflecteix cap amunt.

23. 23. Exponencial $y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$): quan creix i per quin punt passa sempre?

    Creix si $a > 1$ i decreix si $0 < a < 1$. Passa sempre per $(0, 1)$, perquè $a^0 = 1$ sigui quina sigui la base.

24. 24. Quins són el domini i el recorregut d'una exponencial, i quina asímptota té?

    Domini $\mathbb{R}$ i recorregut $(0, +\infty)$. L'eix horitzontal és asímptota horitzontal: la funció mai no val 0 ni és negativa.

25. 25. Logarítmica $y = \log_a x$: domini, recorregut, punt fix i asímptota?

    Domini $(0, +\infty)$ i recorregut $\mathbb{R}$. Passa per $(1, 0)$, perquè $\log_a 1 = 0$, i té l'eix vertical com a asímptota vertical.

26. 26. Quina relació hi ha entre $y = a^x$ i $y = \log_a x$?

    Són inverses: es desfan mútuament, tenen el domini i el recorregut intercanviats i les seves gràfiques són simètriques respecte de la recta $y = x$.