Flashcards: Estadística bidimensional: regressió i correlació

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una variable estadística bidimensional i què és el núvol de punts?

   Dues variables $(x, y)$ mesurades sobre els mateixos individus. Cada parella és un punt del pla, i el conjunt de punts és el núvol de punts.

2. 2. Què és el centre de gravetat del núvol de punts i quina propietat té?

   El punt $(\bar{x}, \bar{y})$, format per les dues mitjanes. Les dues rectes de regressió hi passen sempre.

3. 3. Fórmula pràctica de la covariància $\sigma_{xy}$.

   $\sigma_{xy} = \dfrac{\sum x_i y_i}{N} - \bar{x}\,\bar{y}$: la mitjana dels productes menys el producte de les mitjanes.

4. 4. Què indica el signe de la covariància?

   El sentit de la relació: positiva, relació directa (les dues variables creixen juntes); negativa, relació inversa (quan una creix, l'altra decreix).

5. 5. Per què la covariància no serveix per dir si una relació és forta?

   Perquè la seva magnitud depèn de les unitats: passar una variable de metres a centímetres multiplica la covariància per 100 sense canviar la relació.

6. 6. Fórmula del coeficient de correlació lineal $r$.

   $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y}$: la covariància dividida pel producte de les dues desviacions típiques.

7. 7. Entre quins valors està sempre $r$? Què vol dir si et surt fora?

   Sempre $-1 \le r \le 1$. Si et surt un valor fora d'aquest interval, has fet un error de càlcul.

8. 8. Com interpretes el valor de $r$?

   El signe diu si la relació és directa o inversa; $|r|$, la força: a prop d'1, forta; a prop de 0, dèbil. Per comparar forces, compares $|r|$.

9. 9. Què vol dir que $r = 1$ o $r = -1$?

   Que tots els punts del núvol són exactament sobre una recta: hi ha una dependència lineal perfecta, creixent si $r = 1$ i decreixent si $r = -1$.

10. 10. Error típic: si $r = 0$, les variables no tenen cap relació?

    No: només vol dir que no hi ha relació lineal. Hi pot haver una relació corba, i per això cal mirar sempre el núvol de punts.

11. 11. Què passa amb $r$ si canvies les unitats d'una variable (per exemple, de metres a centímetres)?

    No canvia: $r$ no té unitats i es manté si multipliques una variable per un nombre positiu o si hi sumes una constant.

12. 12. Equació de la recta de regressió de $y$ sobre $x$, la que estima la variable dependent.

    $y - \bar{y} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\,(x - \bar{x})$. El pendent és la covariància dividida per la variància de $x$.

13. 13. Què indica el pendent de la recta de $y$ sobre $x$ i quin signe té?

    Quant canvia $y$, de mitjana, per cada unitat que augmenta $x$. Té el mateix signe que la covariància i que $r$.

14. 14. Error típic: l'ordenada a l'origen de la recta sempre té sentit real?

    No: és el valor estimat de $y$ quan $x = 0$. Si $x = 0$ queda fora del rang de les dades, pot no tenir cap sentit.

15. 15. Equació de la recta de regressió de $x$ sobre $y$.

    $x - \bar{x} = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}\,(y - \bar{y})$. Ara la covariància es divideix per la variància de $y$.

16. 16. Quan coincideixen les dues rectes de regressió?

    Només si $r = \pm 1$. En els altres casos són dues rectes diferents que es tallen al punt $(\bar{x}, \bar{y})$.

17. 17. Error típic: per estimar $x$ a partir de $y$, pots aïllar $x$ de la recta de $y$ sobre $x$?

    No: cal fer servir la recta de $x$ sobre $y$. Aïllar de l'altra recta dona un valor diferent, que no és la millor estimació.

18. 18. Quina relació hi ha entre $r$ i els pendents de les dues rectes de regressió?

    $r^2$ és el producte dels dos pendents, $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2} \cdot \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}$. Com que $r^2 \le 1$, aquest producte no pot passar d'1.

19. 19. Què és el coeficient de determinació $r^2$?

    La part de la variació de $y$ que explica la recta. Amb $r = 0{,}9$, $r^2 = 0{,}81$: la recta n'explica el 81 %, i no vol dir que el 90 % dels punts siguin sobre la recta.

20. 20. Què és un residu i què indica el seu signe?

    El valor real menys el valor estimat per la recta. Si és positiu, el punt queda per sobre de la recta; si és negatiu, per sota. Els residus sumen zero.

21. 21. Quin criteri defineix la recta de regressió de $y$ sobre $x$?

    El de mínims quadrats: és la recta que fa mínima la suma dels quadrats dels residus, és a dir, de les distàncies verticals dels punts a la recta.

22. 22. Quan és fiable una estimació feta amb la recta de regressió?

    Quan $|r|$ és a prop d'1 i el valor de la variable independent és dins del rang de les dades observades.

23. 23. Diferència entre interpolar i extrapolar.

    Interpolar és estimar dins del rang de les dades, i sol ser fiable. Extrapolar és estimar fora del rang: només és orientatiu, encara que $r$ sigui molt alt.

24. 24. Error típic: una correlació alta demostra que una variable causa l'altra?

    No: correlació no implica causalitat. Hi pot haver una tercera variable que les mogui totes dues, com el nombre d'habitants amb els bars i els robatoris.

25. 25. Com afecta un valor atípic al coeficient de correlació?

    Molt: un sol punt extrem pot crear una correlació alta on no n'hi ha, o amagar-ne una. Per això cal mirar sempre el núvol de punts abans de calcular.

26. 26. Què és la paradoxa de Simpson en correlació?

    Quan ajuntes grups diferents, una variable oculta (el grup) pot fer que la correlació global tingui el signe contrari de la que hi ha dins de cada grup.