Flashcards: Derivades

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què mesura la derivada d'una funció en un punt?

   El ritme instantani de canvi de la funció en aquell punt: com de de pressa puja o baixa. Es representa $f'(a)$.

2. 2. Què és la taxa de variació mitjana entre $a$ i $b$?

   $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$: la variació de $y$ dividida per la de $x$, el pendent entre dos punts. Si els acostes indefinidament, s'obté la derivada.

3. 3. Definició de la derivada en un punt com a límit.

   $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}$: el límit de la taxa de variació mitjana quan l'interval es fa cada cop més petit.

4. 4. Interpretació geomètrica de $f'(a)$?

   És el pendent de la recta tangent a la gràfica al punt d'abscissa $a$.

5. 5. Si una funció dona la posició d'un cos segons el temps, què representa la seva derivada?

   La velocitat: el ritme al qual canvia la posició.

6. 6. Error típic: la derivada és el valor de la funció?

   No: diu com de de pressa canvia la funció, no quant val. Una funció pot valer molt i tenir derivada zero si en aquell punt és plana.

7. 7. Regla de la potència.

   $(x^n)' = n\,x^{n-1}$: l'exponent baixa a multiplicar i disminueix en 1. Per exemple, $(x^3)' = 3x^2$, no $3x^3$.

8. 8. Quant val la derivada d'una constant, i per què?

   Zero, perquè una constant no canvia. Per això, en derivar un polinomi, el terme independent desapareix.

9. 9. Com es deriven una suma i una constant per una funció?

   $(u + v)' = u' + v'$ i $(k\,u)' = k\,u'$: la suma es deriva terme a terme i la constant que multiplica es queda quieta.

10. 10. Com derives $\sqrt{x}$ i $\dfrac{1}{x}$ si no recordes la taula?

    Les reescrius com a $x^{1/2}$ i $x^{-1}$ i hi aplices la regla de la potència: surten $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ i $-\dfrac{1}{x^2}$.

11. 11. Derivades de l'exponencial $e^x$ i del logaritme neperià $\ln x$?

    $(e^x)' = e^x$: l'exponencial de base $e$ es deriva a ella mateixa. I $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.

12. 12. Derivades de les funcions trigonomètriques $\sin x$ i $\cos x$?

    $(\sin x)' = \cos x$ i $(\cos x)' = -\sin x$: compte amb el signe menys de la derivada del cosinus.

13. 13. Quina relació hi ha entre una derivada immediata i la quasi-immediata corresponent?

    La quasi-immediata, amb $u = u(x)$ a dins, és la immediata multiplicada per $u'$: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$.

14. 14. Derivada quasi-immediata d'un logaritme neperià, $(\ln u)'$?

    $\dfrac{u'}{u}$: una fracció amb l'interior a baix i la seva derivada a dalt. És la quasi-immediata que més surt.

15. 15. Com es deriva $e$ elevat a una funció, $(e^{u})'$?

    $e^{u} \cdot u'$: ella mateixa multiplicada per la derivada de l'exponent. Per exemple, $(e^{4x})' = 4e^{4x}$.

16. 16. Regla del producte.

    $(u\,v)' = u'\,v + u\,v'$. No és el producte de les derivades: són dos sumands, i a cadascun una funció derivada i l'altra sense derivar.

17. 17. Regla del quocient.

    $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'\,v - u\,v'}{v^2}$. A dalt hi ha una resta i l'ordre importa: primer la derivada del numerador pel denominador. El denominador va al quadrat.

18. 18. Regla de la cadena.

    $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$: derives la funció de fora deixant l'interior intacte i multipliques per la derivada de l'interior.

19. 19. Com saps quina és la funció de fora en una composició?

    Pregunta't què faries l'últim amb la calculadora. A $\sin(x^2)$ la de fora és el sinus; a $(\sin x)^2$, la potència.

20. 20. Quin és l'error número u de tot el tema de derivades?

    Oblidar multiplicar per la derivada de l'interior: $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, no $\cos 3x$. Si l'interior no és la $x$ sola, a la resposta hi ha d'aparèixer alguna cosa que en vingui.

21. 21. Derivada combinada: per on comences?

    Per l'estructura general: si és un quocient, la regla del quocient; si és un producte, la del producte. Les composicions de dins les resols pel camí.

22. 22. Equació de la recta tangent a $f$ al punt d'abscissa $a$.

    $y - f(a) = f'(a)\,(x - a)$: passa pel punt $(a, f(a))$ i té pendent $f'(a)$.

23. 23. Què et diu el signe de $f'(x)$ sobre la funció?

    Si $f'(x) > 0$, la funció és creixent; si $f'(x) < 0$, és decreixent.

24. 24. On busques els candidats a màxim o mínim d'una funció?

    On $f'(x) = 0$, perquè en un extrem la recta tangent és horitzontal. Primer derives i després iguales a zero.

25. 25. Com decideixes si un punt amb $f'(x) = 0$ és un màxim o un mínim?

    Pel canvi de signe de la derivada al voltant: si passa de positiva a negativa (de créixer a decréixer), és un màxim; si passa de negativa a positiva, un mínim.