Exercicis d'impuls i quantitat de moviment — Física i Química 1r Batxillerat

Aquí tens 30 exercicis resolts d'impuls i quantitat de moviment, el tema que enllaça la dinàmica de Newton amb els xocs i les explosions. Començaràs calculant la quantitat de moviment d'un cos i l'impuls d'una força, i aplicaràs el teorema de l'impuls per trobar forces mitjanes en xuts, rebots i accidents. Després treballaràs la conservació de la quantitat de moviment en retrocessos, explosions i xocs en una dimensió, elàstics i inelàstics, amb càlcul de l'energia que es perd. Els exercicis avançats són problemes d'examen amb apartats encadenats, com el pèndol balístic, d'un nivell proper a les PAU. Vigila els errors més habituals: oblidar el signe de la velocitat, aplicar la conservació de l'energia cinètica en un xoc inelàstic i confondre l'impuls amb la força.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Calcula la quantitat de moviment d'un motorista de 200 kg (moto inclosa) que va a 36 km/h i la d'una bala de 10 g que es mou a 800 m/s. Quina de les dues en té més?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

Motorista:

p = 2000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

; bala:

p = 8{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

. En té més el motorista (250 vegades més).

Resolució

Dades al SI. Motorista: $m = 200\ \text{kg}$ , $v = 36/3{,}6 = 10\ \text{m/s}$ . Bala: $m = 10\ \text{g} = 0{,}010\ \text{kg}$ , $v = 800\ \text{m/s}$ .
Quantitat de moviment. $p = m\cdot v$
Càlcul. Motorista: $p = 200\cdot 10 = 2000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Bala: $p = 0{,}010\cdot 800 = 8{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Conclusió. El motorista té una quantitat de moviment 250 vegades més gran, tot i que la bala va 80 vegades més de pressa: la massa del motorista és 20000 vegades més gran. Error típic: no passar els grams a kg o els km/h a m/s abans de multiplicar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Demostra que el newton per segon (N·s), unitat de l'impuls, és equivalent al kg·m/s, unitat de la quantitat de moviment, i explica per què ha de ser així.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

1\ \text{N}\cdot\text{s} = 1\ (\text{kg}\cdot\text{m/s}^{2})\cdot\text{s} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

; han de coincidir perquè l'impuls és igual a la variació de la quantitat de moviment.

Resolució

Definició del newton. A partir de la segona llei de Newton, $F = m\cdot a$ : $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^{2}$ .
Anàlisi dimensional. $1\ \text{N}\cdot\text{s} = 1\ \left(\text{kg}\cdot\dfrac{\text{m}}{\text{s}^{2}}\right)\cdot\text{s} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$
Teorema de l'impuls. L'impuls rebut és igual a la variació de la quantitat de moviment: $I = F\cdot\Delta t = \Delta p$ . Dues magnituds que s'igualen han de tenir la mateixa unitat.
Conclusió. Tots dos són vectors: la direcció i el sentit de l'impuls són els de la força.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Una força horitzontal constant de 40 N actua durant 0,50 s sobre un carretó de 5,0 kg, inicialment en repòs sobre un terra sense fregament. Calcula l'impuls que rep el carretó i la velocitat que adquireix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

I = 20\ \text{N}\cdot\text{s}

;

v = 4{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $F = 40\ \text{N}$ , $\Delta t = 0{,}50\ \text{s}$ , $m = 5{,}0\ \text{kg}$ , $v_0 = 0$ .
Impuls. $I = F\cdot\Delta t = 40\cdot 0{,}50 = 20\ \text{N}\cdot\text{s}$ .
Teorema de l'impuls. $I = \Delta p = m\cdot(v - v_0)$ → $20 = 5{,}0\cdot(v - 0)$ → $v = 4{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació amb la dinàmica. $a = F/m = 40/5{,}0 = 8{,}0\ \text{m/s}^{2}$ ; $v = a\cdot t = 8{,}0\cdot 0{,}50 = 4{,}0\ \text{m/s}$ . Coincideix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Dos carrets de laboratori, de 0,50 kg i 0,30 kg, es mouen l'un cap a l'altre sobre un carril recte, amb velocitats de 4,0 m/s i 2,0 m/s, respectivament. Calcula la quantitat de moviment total del sistema i indica'n el sentit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

p_{\mathrm{total}} = +1{,}4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

, en el sentit del carretó de 0,50 kg (el més pesat).

Resolució

Criteri de signes. La quantitat de moviment és un vector: prenem com a positiu el sentit del carretó de 0,50 kg; l'altre va en sentit contrari.
Quantitats de moviment. $p_1 = 0{,}50\cdot 4{,}0 = +2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $p_2 = 0{,}30\cdot(-2{,}0) = -0{,}60\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Suma vectorial. $p_{\mathrm{total}} = 2{,}0 - 0{,}60 = +1{,}4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Conclusió. El signe positiu indica el sentit del carretó més pesat. Error típic: sumar els mòduls (2,6 kg·m/s) sense tenir en compte que els sentits són oposats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un pal de golf colpeja una bola de 50 g que està en repòs i la llança a 60 m/s. El contacte entre el pal i la bola dura 1,0 ms. Calcula la força mitjana que el pal fa sobre la bola.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

F = 3000\ \text{N}

(força mitjana).

Resolució

Dades al SI. $m = 0{,}050\ \text{kg}$ ; $v_0 = 0$ , $v = 60\ \text{m/s}$ ; $\Delta t = 1{,}0\ \text{ms} = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{s}$ .
Variació de la quantitat de moviment. $\Delta p = m\cdot(v - v_0) = 0{,}050\cdot(60 - 0) = 3{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Teorema de l'impuls. $F\cdot\Delta t = \Delta p \;\Rightarrow\; F = \dfrac{3{,}0}{1{,}0\cdot10^{-3}} = 3000\ \text{N}$
Interpretació. És una força enorme (uns 6000 cops el pes de la bola, que és de 0,49 N), però actua durant molt poc temps.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Una persona de 80 kg, en repòs sobre una pista de gel (sense fregament), llança horitzontalment una pilota medicinal de 4,0 kg a 5,0 m/s. Calcula la velocitat de retrocés de la persona.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

v = 0{,}25\ \text{m/s}

, en sentit contrari al de la pilota (

v = -0{,}25\ \text{m/s}

Resolució

Plantejament. No hi ha forces externes horitzontals (el gel no frena), per tant es conserva la quantitat de moviment horitzontal del sistema persona + pilota. Abans: $p = 0$ .
Conservació de la quantitat de moviment. $0 = m_{\mathrm{pilota}}\cdot v_{\mathrm{pilota}} + m_{\mathrm{persona}}\cdot v_{\mathrm{persona}}$
Càlcul. $0 = 4{,}0\cdot 5{,}0 + 80\cdot v$ → $v = -\tfrac{20}{80} = -0{,}25\ \text{m/s}$ .
Conclusió. La persona retrocedeix a 0,25 m/s, en sentit contrari al de la pilota. Comprovació: $p_{\mathrm{pilota}} = +20\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ i $p_{\mathrm{persona}} = 80\cdot(-0{,}25) = -20\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ : sumen zero.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un vagó de 2000 kg que es mou a 3,0 m/s xoca amb un altre vagó de 1000 kg que està aturat, i queden acoblats. Calcula la velocitat del conjunt just després del xoc.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

v = 2{,}0\ \text{m/s}

, en el sentit del primer vagó.

Resolució

Plantejament. Durant el xoc, les forces entre els vagons són internes i molt més grans que el fregament: es conserva la quantitat de moviment. Queden acoblats (xoc perfectament inelàstic).
Conservació de la quantitat de moviment. $m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v$
Càlcul. $2000\cdot 3{,}0 + 1000\cdot 0 = 3000\cdot v$ → $v = 6000/3000 = 2{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació. La quantitat de moviment abans (6000 kg·m/s) és igual a la de després (3000 · 2,0). El conjunt va més lent perquè ara la mateixa quantitat de moviment s'ha de repartir entre més massa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) En un xoc inelàstic no es conserva la quantitat de moviment del sistema.
b) En un xoc elàstic es conserven la quantitat de moviment i l'energia cinètica.
c) En un xoc perfectament inelàstic els cossos queden units després de xocar.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

Falsa: la quantitat de moviment es conserva; el que no es conserva és l'energia cinètica.

Resolució

Principi. Si no hi ha forces externes importants durant el xoc, la quantitat de moviment del sistema sempre es conserva, sigui el xoc elàstic o no.
Conclusió. En un xoc inelàstic el que no es conserva és l'energia cinètica: una part es transforma en deformació, calor, so…

Apartat b)

Resultat

Certa: és la definició de xoc elàstic.

Resolució

Definició. Un xoc elàstic és aquell en què, a més de la quantitat de moviment, també es conserva l'energia cinètica.
Conclusió. Es conserven les dues magnituds.

Apartat c)

Resultat

Certa: després del xoc es mouen junts, amb la mateixa velocitat.

Resolució

Definició. El xoc perfectament inelàstic és el cas més extrem d'inelàstic: després del xoc tots dos cossos es mouen amb la mateixa velocitat, i la pèrdua d'energia cinètica és la màxima possible.
Recorda. La quantitat de moviment es conserva en tots els xocs d'un sistema aïllat; l'energia cinètica només en els elàstics.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Explica per què l'airbag i el cinturó de seguretat redueixen les lesions en un accident, utilitzant el concepte d'impuls.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Amb el mateix

\Delta p

, allarguen el temps d'aturada

\Delta t

(i reparteixen la força en més superfície): com que

F = \Delta p/\Delta t

, la força sobre el cos és molt més petita.

Resolució

Variació de la quantitat de moviment. Quan el cotxe s'atura bruscament, el cos del conductor passa de la velocitat del cotxe a zero: $\Delta p$ és la mateixa tant si hi ha airbag com si no.
Teorema de l'impuls. $F_{\mathrm{mitjana}} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ Si $\Delta p$ és fix, la força mitjana és inversament proporcional al temps d'aturada.
Efecte de l'airbag i el cinturó. Allarguen el temps durant el qual el cos es frena (d'uns pocs mil·lisegons a unes dècimes de segon) i, a més, reparteixen la força sobre una superfície més gran.
Conclusió. Un $\Delta t$ més gran vol dir una força més petita i, per tant, menys lesions. El mateix principi explica per què flexionem els genolls en caure d'un salt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Un cotxet de 2,0 kg que es mou en línia recta passa de 3,0 m/s a 8,0 m/s en 4,0 s sota l'acció d'una força constant. Calcula la força a partir de la variació de la quantitat de moviment i comprova que dona el mateix resultat que la segona llei de Newton en la forma F = m·a.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

F = 2{,}5\ \text{N}

amb tots dos mètodes.

Resolució

Dades. $m = 2{,}0\ \text{kg}$ , $v_0 = 3{,}0\ \text{m/s}$ , $v = 8{,}0\ \text{m/s}$ , $\Delta t = 4{,}0\ \text{s}$ .
Variació de la quantitat de moviment. $\Delta p = m\cdot(v - v_0) = 2{,}0\cdot(8{,}0 - 3{,}0) = 10\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $F = \Delta p/\Delta t = 10/4{,}0 = 2{,}5\ \text{N}$ .
Segona llei de Newton. $a = (8{,}0 - 3{,}0)/4{,}0 = 1{,}25\ \text{m/s}^{2}$ ; $F = m\cdot a = 2{,}0\cdot 1{,}25 = 2{,}5\ \text{N}$ .
Conclusió. Les dues formes són equivalents quan la massa és constant: $F = \dfrac{\Delta(m v)}{\Delta t} = m\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = m\cdot a$ . La forma amb la quantitat de moviment és la més general.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Una bala de 20 g es clava en un bloc de fusta de 2,0 kg que està en repòs sobre una superfície horitzontal sense fregament. Just després de l'impacte, el conjunt es mou a 5,0 m/s. Calcula la velocitat de la bala abans de l'impacte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

v_b = 505\ \text{m/s}

Resolució

Plantejament. Xoc perfectament inelàstic (la bala queda incrustada): es conserva la quantitat de moviment. $m_b = 0{,}020\ \text{kg}$ , $M = 2{,}0\ \text{kg}$ , $V = 5{,}0\ \text{m/s}$ .
Conservació de la quantitat de moviment. $m_b\cdot v_b + 0 = (m_b + M)\cdot V \;\Rightarrow\; 0{,}020\cdot v_b = 2{,}020\cdot 5{,}0$
Càlcul. $v_b = 10{,}1/0{,}020 = 505\ \text{m/s}$ .
Comprovació d'energia. Abans, $K = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020\cdot 505^{2} \approx 2550\ \text{J}$ ; després, $K = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}020\cdot 5{,}0^{2} \approx 25\ \text{J}$ . Es perd el 99 % de l'energia cinètica (deformació i calor): per això K no es conserva en un xoc inelàstic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Sobre un carretó de 2,0 kg, inicialment en repòs sobre un terra sense fregament, actua una força horitzontal que val +10 N durant els primers 0,50 s, és nul·la durant els 0,30 s següents i val -6,0 N durant 1,0 s més. Calcula la velocitat del carretó als 0,80 s, la seva velocitat final i l'instant en què s'atura momentàniament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

v(0{,}80\ \text{s}) = 2{,}5\ \text{m/s}

;

v_{\mathrm{final}} = -0{,}50\ \text{m/s}

; s'atura a

t \approx 1{,}63\ \text{s}

Resolució

Teorema de l'impuls per trams. $I = F\cdot\Delta t = m\cdot\Delta v$ , amb $m = 2{,}0\ \text{kg}$ i sentit positiu el de la força inicial.
Trams 1 i 2. De 0 a 0,50 s: $I_1 = 10\cdot 0{,}50 = 5{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ → $v = 5{,}0/2{,}0 = 2{,}5\ \text{m/s}$ . De 0,50 a 0,80 s, $F = 0$ : no hi ha impuls i la velocitat es manté; als 0,80 s, $v = 2{,}5\ \text{m/s}$ .
Tram 3 i velocitat final. De 0,80 a 1,80 s: $I_3 = -6{,}0\cdot 1{,}0 = -6{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ . Impuls total: $5{,}0 + 0 - 6{,}0 = -1{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ → $v_f = -1{,}0/2{,}0 = -0{,}50\ \text{m/s}$ : el carretó acaba movent-se en sentit contrari a l'inicial.
Instant d'aturada. Al tram 3, $a = F/m = -6{,}0/2{,}0 = -3{,}0\ \text{m/s}^{2}$ ; la velocitat passa de 2,5 a 0 en $2{,}5/3{,}0 = 0{,}83\ \text{s}$ , és a dir, als $0{,}80 + 0{,}83 = 1{,}63\ \text{s}$ .
Comprovació. $v(1{,}8\ \text{s}) = 2{,}5 - 3{,}0\cdot 1{,}0 = -0{,}5\ \text{m/s}$ , igual que amb l'impuls total.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una pedra de 2,0 kg es mou a 1,0 m/s i una bala de 20 g a 300 m/s. Calcula la quantitat de moviment i l'energia cinètica de cadascuna i raona quina en té més de cada magnitud. Què indica el resultat sobre la dependència de cada magnitud respecte de la velocitat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Pedra:

p = 2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

K = 1{,}0\ \text{J}

. Bala:

p = 6{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

K = 900\ \text{J}

. La bala en té més de totes dues (3 i 900 vegades);

p \propto v

K \propto v^{2}

Resolució

Fórmules. $p = m\cdot v$ i $K = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}$ .
Pedra. $p = 2{,}0\cdot 1{,}0 = 2{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $K = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 1{,}0^{2} = 1{,}0\ \text{J}$ .
Bala. $p = 0{,}020\cdot 300 = 6{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $K = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020\cdot 300^{2} = 900\ \text{J}$ .
Comparació. La bala té 3 vegades més quantitat de moviment i 900 vegades més energia cinètica.
Conclusió. La quantitat de moviment és proporcional a $v$ , mentre que l'energia cinètica ho és a $v^{2}$ : una velocitat gran fa créixer molt més l'energia que la quantitat de moviment. A més, p és un vector (pot ser positiu o negatiu) i K és un escalar sempre positiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un vagó de 20000 kg que va a 2,0 m/s alcança un altre vagó de 30000 kg que es mou en el mateix sentit a 1,0 m/s, i s'acoblen. Calcula la velocitat del conjunt i l'energia cinètica que es perd.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

V = 1{,}4\ \text{m/s}

; energia cinètica perduda:

6000\ \text{J}

(un 11 %).

Resolució

Plantejament. Es conserva la quantitat de moviment (el fregament amb els carrils és menyspreable durant el xoc) i els vagons queden acoblats.
Conservació de la quantitat de moviment. $20000\cdot 2{,}0 + 30000\cdot 1{,}0 = 50000\cdot V \;\Rightarrow\; V = \dfrac{70000}{50000} = 1{,}4\ \text{m/s}$
Energia cinètica. Abans: $\tfrac{1}{2}\cdot 20000\cdot 2{,}0^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 30000\cdot 1{,}0^{2} = 40000 + 15000 = 55000\ \text{J}$ . Després: $\tfrac{1}{2}\cdot 50000\cdot 1{,}4^{2} = 49000\ \text{J}$ .
Energia perduda. $55000 - 49000 = 6000\ \text{J}$ (un 11 %), transformada en deformació, calor i so.
Comprovació. La velocitat final és entre les dues velocitats inicials (1,0 < 1,4 < 2,0), com ha de ser.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una bola de billar de 0,16 kg es mou a 2,0 m/s i xoca frontalment i de manera elàstica amb una altra bola idèntica que està en repòs. Calcula les velocitats de les dues boles després del xoc plantejant la conservació de la quantitat de moviment i la de l'energia cinètica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

v_1' = 0

;

v_2' = 2{,}0\ \text{m/s}

: les boles s'intercanvien les velocitats.

Resolució

Dades. $m_1 = m_2 = m = 0{,}16\ \text{kg}$ ; $v_1 = 2{,}0\ \text{m/s}$ ; $v_2 = 0$ .
Conservació de p i de K. $m v_1 = m v_1' + m v_2'$ → $2{,}0 = v_1' + v_2'$ . $\tfrac{1}{2}m v_1^{2} = \tfrac{1}{2}m v_1'^{2} + \tfrac{1}{2}m v_2'^{2}$ → $4{,}0 = v_1'^{2} + v_2'^{2}$ .
Resolució. De la primera, $v_2' = 2{,}0 - v_1'$ . Substituint: $4{,}0 = v_1'^{2} + (2{,}0 - v_1')^{2} = 2v_1'^{2} - 4{,}0\,v_1' + 4{,}0 \;\Rightarrow\; 2v_1'(v_1' - 2{,}0) = 0$
Tria de la solució. $v_1' = 2{,}0\ \text{m/s}$ vol dir que la bola passa de llarg sense xocar, que no és el cas; per tant $v_1' = 0$ i $v_2' = 2{,}0\ \text{m/s}$ .
Conclusió. La primera bola s'atura i la segona surt amb la velocitat de la primera: amb masses iguals, en un xoc elàstic frontal les boles s'intercanvien les velocitats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Un fusell de 4,0 kg dispara una bala de 10 g amb una velocitat de 600 m/s. Calcula la velocitat de retrocés del fusell (suposa que es pot moure lliurement) i compara l'energia cinètica que adquireixen la bala i el fusell.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

V = -1{,}5\ \text{m/s}

(retrocés);

K_{\mathrm{bala}} = 1800\ \text{J}

K_{\mathrm{fusell}} = 4{,}5\ \text{J}

: la bala s'emporta gairebé tota l'energia.

Resolució

Plantejament. Es conserva la quantitat de moviment del sistema fusell + bala, inicialment en repòs ( $p = 0$ ).
Velocitat de retrocés. $0 = m_b v_b + M V \;\Rightarrow\; V = -\dfrac{0{,}010\cdot 600}{4{,}0} = -1{,}5\ \text{m/s}$ El fusell retrocedeix a 1,5 m/s.
Energies. $K_{\mathrm{bala}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}010\cdot 600^{2} = 1800\ \text{J}$ ; $K_{\mathrm{fusell}} = \tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\cdot 1{,}5^{2} = 4{,}5\ \text{J}$ .
Comparació. Les quantitats de moviment són iguals en mòdul (6,0 kg·m/s), però el fusell només té un 0,25 % de l'energia total ( $4{,}5/1804{,}5$ ): com que $K = \dfrac{p^{2}}{2m}$ , a igual p, el cos més lleuger s'emporta gairebé tota l'energia.
Conclusió. Un fusell més pesat retrocedeix més a poc a poc ( $V = m v/M$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un projectil de 6,0 kg es mou horitzontalment a 100 m/s quan explota en dos fragments de 2,0 kg i 4,0 kg. El fragment de 2,0 kg surt a 250 m/s en el mateix sentit que el projectil. Calcula la velocitat (mòdul i sentit) del fragment de 4,0 kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

v = 25\ \text{m/s}

, en el mateix sentit que el projectil.

Resolució

Plantejament. En l'explosió, les forces internes són enormes comparades amb les externes (el pes): es conserva la quantitat de moviment.
Abans. $p = 6{,}0\cdot 100 = 600\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Després. $600 = 2{,}0\cdot 250 + 4{,}0\cdot v \;\Rightarrow\; v = \dfrac{600 - 500}{4{,}0} = 25\ \text{m/s}$ Positiu: en el mateix sentit que el projectil.
Comprovació. $2{,}0\cdot 250 + 4{,}0\cdot 25 = 500 + 100 = 600\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Interpretació energètica. L'energia cinètica augmenta (de 30000 J a 62500 + 1250 = 63750 J), perquè l'explosió transforma energia química en cinètica: és el contrari d'un xoc inelàstic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

En un xut, la força que un peu fa sobre una pilota de 0,40 kg creix linealment de 0 a 600 N en 0,020 s i després desapareix de cop. Calcula l'impuls (és l'àrea del triangle de la gràfica F-t) i la velocitat amb què surt la pilota, que inicialment era en repòs.

Gràfica força-temps d'un xut: la força creix linealment de 0 a 600 N en 0,020 s i després cau de cop a zero; l'àrea sota la gràfica apareix ombrejada

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

I = 6{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}

;

v = 15\ \text{m/s}

Resolució

Dades. La força creix linealment de 0 a 600 N en $\Delta t = 0{,}020\ \text{s}$ ; $m = 0{,}40\ \text{kg}$ , $v_0 = 0$ .
Impuls com a àrea. L'impuls és l'àrea sota la gràfica F-t, un triangle: $I = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020\cdot 600 = 6{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ Equivalentment, la força mitjana és $(0 + 600)/2 = 300\ \text{N}$ i $I = 300\cdot 0{,}020 = 6{,}0\ \text{N}\cdot\text{s}$ .
Teorema de l'impuls. $I = m\cdot v$ → $v = 6{,}0/0{,}40 = 15\ \text{m/s}$ .
Atenció. Error típic: multiplicar la força màxima (600 N) pel temps: s'obtindria 12 N·s, el doble de l'impuls real.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una pilota de tennis de 58 g arriba a la raqueta a 20 m/s i en surt en sentit contrari a 30 m/s. El contacte dura 5,0 ms. Calcula la variació de la quantitat de moviment de la pilota i la força mitjana que li fa la raqueta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\Delta p = 2{,}9\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

;

F = 580\ \text{N}

, en el sentit de sortida de la pilota.

Resolució

Criteri de signes. Prenem com a positiu el sentit de sortida: $v_0 = -20\ \text{m/s}$ i $v = +30\ \text{m/s}$ ; $m = 0{,}058\ \text{kg}$ , $\Delta t = 5{,}0\cdot10^{-3}\ \text{s}$ .
Variació de la quantitat de moviment. $\Delta p = m\cdot(v - v_0) = 0{,}058\cdot(30 + 20) = 2{,}9\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Teorema de l'impuls. $F = \Delta p/\Delta t = 2{,}9/0{,}0050 = 580\ \text{N}$ , en el sentit de sortida de la pilota.
Atenció. Fixa't que el canvi de velocitat és de 50 m/s (no de 10 m/s), perquè la pilota primer s'atura i després torna a sortir en sentit contrari. Error típic: restar 30 − 20 = 10 m/s oblidant que la velocitat canvia de sentit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un cotxe de 1200 kg que circula a 15 m/s (54 km/h) xoca contra un mur i s'atura. Calcula la força mitjana que rep el cotxe si l'aturada dura 0,15 s i si, gràcies a una zona de deformació, dura 0,60 s. Què demostra la comparació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

F = 1{,}2\cdot10^{5}\ \text{N}

(0,15 s) i

F = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{N}

(0,60 s): allargar 4 vegades l'aturada divideix la força per 4.

Resolució

Variació de la quantitat de moviment. En tots dos casos la quantitat de moviment passa de $1200\cdot 15 = 18000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ a zero: $|\Delta p| = 18000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Teorema de l'impuls. $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t}$
Càlcul. Amb $\Delta t = 0{,}15\ \text{s}$ : $F = 18000/0{,}15 = 120000\ \text{N}$ . Amb $\Delta t = 0{,}60\ \text{s}$ : $F = 18000/0{,}60 = 30000\ \text{N}$ .
Conclusió. Quadruplicar el temps de frenada divideix per 4 la força mitjana. Per això els cotxes tenen zones de deformació (es plega el cotxe, no els passatgers). Per fer-se una idea: 30000 N és el pes d'una massa d'uns 3100 kg, i 120000 N el d'una massa d'uns 12200 kg.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una sonda espacial de 500 kg (inclou el combustible) està en repòs respecte d'una estació. Expulsa 20 kg de gas en un sentit a 240 m/s respecte de l'estació. Calcula la velocitat de la sonda després d'expulsar el gas i explica com pot propulsar-se un coet en el buit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

V = 10\ \text{m/s}

, en sentit contrari al del gas; un coet es propulsa expulsant gas cap enrere (conservació de p), sense necessitat d'aire.

Resolució

Plantejament. Sistema sonda + gas, sense forces externes: la quantitat de moviment total és zero abans i després. La massa que queda a la sonda és $500 - 20 = 480\ \text{kg}$ .
Conservació de la quantitat de moviment. $0 = 20\cdot 240 + 480\cdot V \;\Rightarrow\; V = -\dfrac{4800}{480} = -10\ \text{m/s}$
Resultat. La sonda es mou a 10 m/s en sentit contrari al del gas.
Propulsió en el buit. Un coet no s'hi recolza en res: expulsa gas cap enrere i, per la conservació de la quantitat de moviment, la resta del coet guanya la mateixa quantitat de moviment cap endavant. Per això funciona també al buit; l'aire no hi fa cap falta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un bloc de 2,0 kg que es mou a 6,0 m/s sobre una superfície sense fregament xoca frontalment i de manera elàstica amb un bloc d'1,0 kg que està en repòs. Calcula les velocitats dels dos blocs després del xoc i comprova que es conserva l'energia cinètica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

v_1' = 2{,}0\ \text{m/s}

v_2' = 8{,}0\ \text{m/s}

, tots dos endavant;

K = 36\ \text{J}

abans i després.

Resolució

Conservació de p. $2{,}0\cdot 6{,}0 = 2{,}0\,v_1' + 1{,}0\,v_2'$ → $12 = 2v_1' + v_2'$ .
Conservació de K (xoc elàstic). $\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 6{,}0^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\,v_1'^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0\,v_2'^{2}$ → $72 = 2v_1'^{2} + v_2'^{2}$ .
Resolució. De la primera, $v_2' = 12 - 2v_1'$ . Substituint: $72 = 2v_1'^{2} + (12 - 2v_1')^{2} = 6v_1'^{2} - 48v_1' + 144 \;\Rightarrow\; v_1'^{2} - 8v_1' + 12 = 0$
Tria de la solució. $v_1' = 2{,}0$ o $6{,}0\ \text{m/s}$ . La segona és la situació inicial (sense xoc); per tant $v_1' = 2{,}0\ \text{m/s}$ i $v_2' = 12 - 4{,}0 = 8{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació. K abans = 36 J; K després = $\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 2{,}0^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0\cdot 8{,}0^{2} = 4 + 32 = 36\ \text{J}$ . El bloc gran continua endavant, més lent, i el petit surt disparat més de pressa que la velocitat inicial del gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un carretó de 3,0 kg que es mou a +4,0 m/s xoca elàsticament amb un altre d'1,0 kg que es mou a -2,0 m/s, en sentit contrari. Calcula les velocitats finals de tots dos. (Pots fer servir que, en un xoc elàstic frontal, la velocitat relativa d'aproximació és igual a la d'allunyament, canviada de signe.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

v_1' = +1{,}0\ \text{m/s}

(3,0 kg) i

v_2' = +7{,}0\ \text{m/s}

(1,0 kg).

Resolució

Conservació de p. $3{,}0\cdot 4{,}0 + 1{,}0\cdot(-2{,}0) = 3{,}0\,v_1' + 1{,}0\,v_2'$ → $10 = 3v_1' + v_2'$ .
Xoc elàstic frontal. La velocitat relativa s'inverteix: $v_1 - v_2 = v_2' - v_1' \;\Rightarrow\; 4{,}0 - (-2{,}0) = 6{,}0 = v_2' - v_1'$ és a dir, $v_2' = v_1' + 6{,}0$ .
Càlcul. Substituint: $10 = 3v_1' + v_1' + 6{,}0$ → $v_1' = 1{,}0\ \text{m/s}$ i $v_2' = 7{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació. K abans = $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 2^{2} = 24 + 2 = 26\ \text{J}$ ; K després = $\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 1^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 7^{2} = 1{,}5 + 24{,}5 = 26\ \text{J}$ .
Interpretació. El carretó gran segueix endavant (però més lent) i el petit rebota i surt en sentit contrari al que duia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un pèndol balístic consisteix en un bloc de fusta penjat de fils. Una bala de 10 g impacta horitzontalment i es queda incrustada en un bloc d'1,99 kg, i el conjunt s'eleva 0,40 m respecte de la posició inicial. Calcula la velocitat de la bala abans de l'impacte i la fracció de l'energia cinètica inicial que es perd en el xoc (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

v = 560\ \text{m/s}

; es perd el

99{,}5\ \%

de l'energia cinètica inicial.

Resolució

Plantejament. Hi ha dues fases: 1) xoc inelàstic (bala incrustada), on es conserva p; 2) pujada del conjunt, on es conserva l'energia mecànica. $m = 0{,}010\ \text{kg}$ , $m + M = 2{,}00\ \text{kg}$ .
Fase 2: pujada. $\tfrac{1}{2}(m + M)V^{2} = (m + M)\,g\,h \;\Rightarrow\; V = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}40} = 2{,}8\ \text{m/s}$
Fase 1: xoc. $m v = (m + M)V$ → $0{,}010\,v = 2{,}00\cdot 2{,}8$ → $v = 5{,}6/0{,}010 = 560\ \text{m/s}$ .
Energia perduda. Inicial (bala): $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}010\cdot 560^{2} = 1568\ \text{J}$ . Just després del xoc: $\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}00\cdot 2{,}8^{2} = 7{,}84\ \text{J}$ . Fracció perduda: $(1568 - 7{,}84)/1568 = 0{,}995$ , un 99,5 %.
Atenció. Error típic: aplicar la conservació de l'energia mecànica al xoc (no es conserva) o la de la quantitat de moviment a la pujada (el pes i la tensió són forces externes i p no es conserva).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Dos cotxes iguals, de 1000 kg cadascun, xoquen i queden units. Compara l'energia cinètica perduda en aquests dos casos:
a) xoquen frontalment, tots dos a 15 m/s però en sentits oposats;
b) un cotxe que va a 15 m/s xoca per darrere amb l'altre, que està aturat.
En quin cas hi ha més deformació?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

Es perden

225000\ \text{J}

(el 100 %): queden aturats.

Resolució

Conservació de p. $p = 1000\cdot 15 + 1000\cdot(-15) = 0$ → $V = 0$ : queden aturats.
Energia. K abans = $2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 15^{2} = 225000\ \text{J}$ ; K després = 0. Es perden 225000 J (el 100 %).

Apartat b)

Resultat

Es perden

56250\ \text{J}

(el 50 %); hi ha més deformació en el cas a), amb una pèrdua 4 vegades més gran.

Resolució

Conservació de p. $1000\cdot 15 = 2000\cdot V$ → $V = 7{,}5\ \text{m/s}$ .
Energia. K abans = $\tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 15^{2} = 112500\ \text{J}$ ; K després = $\tfrac{1}{2}\cdot 2000\cdot 7{,}5^{2} = 56250\ \text{J}$ . Es perden 56250 J (el 50 %).
Comparació. Hi ha més deformació en el cas a): la pèrdua d'energia és 4 vegades més gran. En tots dos casos la quantitat de moviment es conserva; el que determina l'energia perduda és la velocitat relativa dels cotxes (30 m/s en el cas a i 15 m/s en el cas b).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un noi de 60 kg és dalt d'una barca de 120 kg en repòs sobre l'aigua d'un llac (menysprea el fregament de l'aigua). Salta horitzontalment cap endavant amb una velocitat de 3,0 m/s respecte de la barca. Calcula la velocitat de la barca i la velocitat del noi respecte de la riba just després del salt.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

Barca:

V = -1{,}0\ \text{m/s}

(retrocedeix a 1,0 m/s); noi:

v = 2{,}0\ \text{m/s}

respecte de la riba.

Resolució

Plantejament. Sistema noi + barca: no hi ha forces externes horitzontals i es conserva p (inicialment zero).
Velocitat relativa. Sigui V la velocitat de la barca respecte de la riba (negativa si va cap enrere). El noi té $u = 3{,}0\ \text{m/s}$ respecte de la barca; per tant, respecte de la riba, $v = u + V$ .
Conservació de la quantitat de moviment. $0 = 60\,(3{,}0 + V) + 120\,V = 180 + 180\,V \;\Rightarrow\; V = -1{,}0\ \text{m/s}$
Resultat. La barca retrocedeix a 1,0 m/s; el noi té $v = 3{,}0 - 1{,}0 = 2{,}0\ \text{m/s}$ respecte de la riba. Comprovació: $60\cdot 2{,}0 + 120\cdot(-1{,}0) = 0$ .
Atenció. Error típic: prendre els 3,0 m/s com a velocitat respecte de la riba; això donaria una barca a 1,5 m/s i oblidaria que la barca també es mou.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Dos carrets d'1,0 kg i 3,0 kg, en repòs sobre un carril sense fregament, estan units per un fil que manté comprimida una molla entre ells. Es talla el fil i el carretó d'1,0 kg surt a 6,0 m/s. Calcula la velocitat de l'altre carretó i l'energia elàstica que tenia emmagatzemada la molla (menysprea la massa de la molla).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

v = -2{,}0\ \text{m/s}

(2,0 m/s en sentit contrari);

E_{\mathrm{el}} = 24\ \text{J}

Resolució

Plantejament. El sistema és inicialment en repòs: $p = 0$ , i es conserva (la força de la molla és interna).
Conservació de la quantitat de moviment. $0 = 1{,}0\cdot 6{,}0 + 3{,}0\,v$ → $v = -6{,}0/3{,}0 = -2{,}0\ \text{m/s}$ : el carretó de 3,0 kg es mou a 2,0 m/s en sentit contrari.
Conservació de l'energia. L'energia cinètica final prové de l'energia elàstica de la molla: $E = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0\cdot 6{,}0^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 2{,}0^{2} = 18 + 6 = 24\ \text{J}$
Interpretació. Fixa't que el carretó més lleuger s'emporta 3/4 de l'energia (18 de 24 J): $K = p^{2}/(2m)$ i p és igual en mòdul en tots dos.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una cinta transportadora horitzontal es mou a velocitat constant de 2,0 m/s mentre li cau verticalment sorra des d'una tolva a raó de 5,0 kg cada segon. Calcula la força horitzontal que ha de fer el motor sobre la cinta per mantenir constant la velocitat (menysprea el fregament de la cinta) i la potència que això requereix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

F = 10\ \text{N}

;

P = 20\ \text{W}

Resolució

Plantejament. La sorra cau amb velocitat horitzontal zero i, en arribar a la cinta, ha d'adquirir 2,0 m/s: la cinta li ha de transmetre quantitat de moviment horitzontal.
Variació de p. En un interval $\Delta t$ arriba una massa $\Delta m = 5{,}0\cdot\Delta t$ que ha d'agafar 2,0 m/s: $\Delta p = \Delta m\cdot v = 5{,}0\cdot\Delta t\cdot 2{,}0$ .
Força. $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}\,v = 5{,}0\cdot 2{,}0 = 10\ \text{N}$ És la força que la cinta fa sobre la sorra i que, per reacció, el motor ha de compensar.
Potència. $P = F\cdot v = 10\cdot 2{,}0 = 20\ \text{W}$ .
Interpretació. Dels 20 W, només 10 W ( $\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0\cdot 2{,}0^{2}$ ) s'inverteixen en energia cinètica de la sorra; l'altra meitat es dissipa en forma de calor pel lliscament de la sorra sobre la cinta fins que agafa la seva velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un cotxe de 1000 kg que va a 20 m/s xoca per darrere amb un altre cotxe igual que està aturat. Es queden units i llisquen junts fins a aturar-se, amb un coeficient de fregament de 0,50 entre els pneumàtics bloquejats i l'asfalt. Calcula la velocitat just després del xoc i la distància que recorren fins a aturar-se (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

V = 10\ \text{m/s}

;

d \approx 10\ \text{m}

(10,2 m).

Resolució

Xoc (inelàstic). Es conserva p: $1000\cdot 20 = 2000\cdot V$ → $V = 10\ \text{m/s}$ .
Frenada. La força de fregament és $F = \mu N = \mu\,(2m)\,g$ i frena el conjunt amb $a = \mu g = 0{,}50\cdot 9{,}8 = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}$ (no depèn de la massa).
Distància. $0 = V^{2} - 2ad \;\Rightarrow\; d = \dfrac{V^{2}}{2a} = \dfrac{100}{9{,}8} = 10{,}2\ \text{m}$
Alternativa amb energia. $\tfrac{1}{2}\cdot 2000\cdot 10^{2} = \mu\cdot 2000\cdot 9{,}8\cdot d$ → $d = 10{,}2\ \text{m}$ .
Atenció. Error típic: aplicar la conservació de la quantitat de moviment durant la frenada: el fregament és una força externa i p no es conserva.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Una pilota de 0,50 kg cau lliurement i arriba al terra a 10 m/s.
a) Quina quantitat de moviment ha guanyat la pilota?
b) Vol dir això que no es conserva la quantitat de moviment? Raona-ho tenint en compte la Terra com a part del sistema.
c) Calcula la velocitat que adquireix la Terra cap a la pilota (massa de la Terra: 6,0· $10^{24}$ kg).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

\Delta p = 5{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

, cap avall.

Resolució

Dades. $m = 0{,}50\ \text{kg}$ ; parteix del repòs i arriba a $v = 10\ \text{m/s}$ .
Càlcul. $\Delta p = m\cdot v = 0{,}50\cdot 10 = 5{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ , cap avall.

Apartat b)

Resultat

No: la pilota sola no és un sistema aïllat; en el sistema pilota + Terra la quantitat de moviment total sí que es conserva.

Resolució

Sistema pilota. La pilota sola no és un sistema aïllat: el seu pes (una força externa, deguda a la Terra) l'accelera i li fa guanyar quantitat de moviment.
Sistema pilota + Terra. La força gravitatòria és interna i la quantitat de moviment total es conserva: mentre la pilota guanya 5,0 kg·m/s cap avall, la Terra guanya 5,0 kg·m/s cap amunt.

Apartat c)

Resultat

v_{\mathrm{Terra}} \approx 8{,}3\cdot10^{-25}\ \text{m/s}

, cap a la pilota.

Resolució

Conservació de p. La Terra guanya la mateixa quantitat de moviment que la pilota, en sentit contrari: $M\,v_{\mathrm{Terra}} = 5{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Càlcul. $v_{\mathrm{Terra}} = \dfrac{p}{M} = \dfrac{5{,}0}{6{,}0\cdot10^{24}} = 8{,}3\cdot10^{-25}\ \text{m/s}$
Interpretació. És un valor totalment imperceptible a causa de l'enorme massa de la Terra. Per això, a la pràctica, podem tractar la Terra com si estigués en repòs.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

En un encreuament sense semàfor, un cotxe de 1000 kg que va cap a l'est a 20 m/s col·lideix amb un altre de 1500 kg que va cap al nord a 10 m/s. Després del xoc queden units.
a) Calcula les components de la quantitat de moviment total abans del xoc.
b) Calcula el mòdul i la direcció de la velocitat del conjunt.
c) Calcula l'energia cinètica perduda i el percentatge sobre l'inicial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

p_x = 2{,}0\cdot10^{4}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

(est);

p_y = 1{,}5\cdot10^{4}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

(nord).

Resolució

Eixos. Eix x cap a l'est i eix y cap al nord. Cada cotxe té quantitat de moviment només en el seu eix.
Càlcul. $p_x = 1000\cdot 20 = 20000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $p_y = 1500\cdot 10 = 15000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

v = 10{,}0\ \text{m/s}

, a

36{,}9^{\circ}

al nord de l'est.

Resolució

Conservació de p per components. La quantitat de moviment es conserva en cada component; la massa total és 2500 kg.
Components de la velocitat. $v_x = 20000/2500 = 8{,}0\ \text{m/s}$ ; $v_y = 15000/2500 = 6{,}0\ \text{m/s}$ .
Mòdul i direcció. $v = \sqrt{8{,}0^{2} + 6{,}0^{2}} = 10{,}0\ \text{m/s};\qquad \tan\theta = \dfrac{6{,}0}{8{,}0} \;\Rightarrow\; \theta = 36{,}9^{\circ}$ al nord de l'est.

Apartat c)

Resultat

\Delta E_c = 1{,}50\cdot10^{5}\ \text{J}

, un

54{,}5\ \%

de l'inicial.

Resolució

Energia inicial. $E_{c,i} = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot 20^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 1500\cdot 10^{2} = 200000 + 75000 = 275000\ \text{J}$ .
Energia final. $E_{c,f} = \tfrac{1}{2}\cdot 2500\cdot 10{,}0^{2} = 125000\ \text{J}$ .
Pèrdua. $275000 - 125000 = 150000\ \text{J}$ , un 54,5 %: s'ha invertit en deformar els cotxes i en calor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una bola de billar de 0,17 kg es mou a 3,0 m/s i xoca elàsticament, però no frontalment, contra una altra bola idèntica en repòs. Després del xoc, la primera es desvia 30° respecte de la seva direcció inicial.
a) Raona que, en un xoc elàstic entre masses iguals (una en repòs), les dues velocitats finals són perpendiculars. Quin angle forma la segona bola amb la direcció inicial?
b) Calcula els mòduls de les dues velocitats finals.
c) Comprova que es conserva l'energia cinètica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

Les velocitats finals són perpendiculars; la segona bola surt a

60^{\circ}

de la direcció inicial, per l'altre costat.

Resolució

Conservació de p (masses iguals). $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ .
Conservació de l'energia. $v^{2} = v_1^{2} + v_2^{2}$ .
Comparació. Elevant al quadrat la primera: $v^{2} = v_1^{2} + v_2^{2} + 2\,\vec v_1\cdot\vec v_2$ ; per tant $\vec v_1\cdot\vec v_2 = 0$ : les velocitats són perpendiculars.
Conclusió. La segona bola surt a $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ de la direcció inicial, per l'altre costat.

Apartat b)

Resultat

v_1 = 2{,}6\ \text{m/s}

;

v_2 = 1{,}5\ \text{m/s}

Resolució

Triangle de velocitats. És rectangle, amb hipotenusa $v = 3{,}0\ \text{m/s}$ i angle de 30° entre $\vec v$ i $\vec v_1$ .
Càlcul. $v_1 = 3{,}0\cdot\cos 30^{\circ} = 2{,}6\ \text{m/s}$ ; $v_2 = 3{,}0\cdot\sin 30^{\circ} = 1{,}5\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

E_c = 0{,}765\ \text{J}

abans i després: es conserva.

Resolució

Inicial. $E_c = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}17\cdot 3{,}0^{2} = 0{,}765\ \text{J}$ .
Final. $E_c = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}17\cdot(2{,}60^{2} + 1{,}50^{2}) = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}17\cdot 9{,}0 = 0{,}765\ \text{J}$ .
Conclusió. Coincideixen: el xoc és elàstic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un jugador xuta una pilota de 0,45 kg inicialment en repòs. La força del peu en funció del temps té forma de mitja sinusoide: F(t) = $F_{0}$ ·sin(πt/T), amb $F_{0}$ = 1500 N i T = 0,012 s (durada del contacte). L'àrea sota una mitja sinusoide és ( $\tfrac{2}{\pi}$ ) vegades la del rectangle $F_{0}$ ·T.
a) Calcula l'impuls rebut per la pilota.
b) Calcula la velocitat de sortida.
c) Calcula la força mitjana durant el contacte i compara-la amb $F_{0}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

I \approx 11{,}5\ \text{N}\cdot\text{s}

Resolució

Impuls com a àrea. L'impuls és l'àrea sota F(t); per a una mitja sinusoide és $\tfrac{2}{\pi}$ vegades la del rectangle $F_0 T$ .
Càlcul. $I = \dfrac{2}{\pi}\,F_0\,T = \dfrac{2}{\pi}\cdot 1500\cdot 0{,}012 = 11{,}5\ \text{N}\cdot\text{s}$

Apartat b)

Resultat

v \approx 25{,}5\ \text{m/s}

(≈ 92 km/h).

Resolució

Teorema de l'impuls. $I = \Delta p = m\,v$ (parteix del repòs).
Càlcul. $v = 11{,}46/0{,}45 = 25{,}5\ \text{m/s}$ (≈ 92 km/h).
Atenció. Fixa't que per calcular la velocitat cal l'impuls (l'àrea), no la força màxima.

Apartat c)

Resultat

F_{\mathrm{mitjana}} \approx 955\ \text{N} = \tfrac{2}{\pi}F_0 \approx 0{,}64\,F_0

Resolució

Força mitjana. $F_{\mathrm{mitjana}} = I/T = 11{,}46/0{,}012 = 955\ \text{N}$ .
Comparació. És $2/\pi = 0{,}64$ vegades $F_0$ . Per tant, la força màxima (1500 N) és un 57 % superior a la mitjana.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Un coet de 800 kg (incloent-hi el combustible) expulsa gasos a una velocitat de 2000 m/s respecte del coet, a raó de 5,0 kg/s. Arrenca de la plataforma de llançament en vertical. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula l'empenta del motor.
b) Calcula l'acceleració inicial.
c) Després de 60 s, quina és la massa del coet i la seva acceleració en aquell instant (suposa g constant i empenta constant)? Per què l'acceleració augmenta?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

F = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{N}

Resolució

Empenta. És la força de reacció sobre el coet: $F = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}\,u = 5{,}0\cdot 2000 = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{N}$
Justificació. Per la segona llei, la força sobre els gasos és $F = \Delta p/\Delta t = 5{,}0\ \text{kg/s}\cdot 2000\ \text{m/s}$ , i per la tercera llei el coet en rep una d'igual i contrària.

Apartat b)

Resultat

a = 2{,}7\ \text{m/s}^{2}

cap amunt.

Resolució

Segona llei de Newton. $a = \dfrac{F - m g}{m}$ .
Càlcul. $a = (10000 - 800\cdot 9{,}8)/800 = 12{,}5 - 9{,}8 = 2{,}7\ \text{m/s}^{2}$ , cap amunt. El coet necessita $F \gt m g$ per enlairar-se: aquí 10000 N > 7840 N.

Apartat c)

Resultat

m = 500\ \text{kg}

;

a = 10{,}2\ \text{m/s}^{2}

; l'acceleració augmenta perquè la massa disminueix amb empenta constant.

Resolució

Massa. $m = 800 - 5{,}0\cdot 60 = 500\ \text{kg}$ .
Acceleració. $a = F/m - g = 10000/500 - 9{,}8 = 20{,}0 - 9{,}8 = 10{,}2\ \text{m/s}^{2}$ .
Interpretació. L'empenta és constant, però la massa disminueix en cremar combustible; per tant $a = F/m - g$ augmenta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Una mànega llança aigua (ρ = 1000 $\text{kg/m}^{3}$ ) a 15 m/s per una boca circular de 2,0 cm de diàmetre contra una paret vertical.
a) Calcula el cabal màssic (kg/s).
b) Calcula la força que fa l'aigua sobre la paret si l'aigua s'atura i s'escola cap als costats.
c) Quina seria la força si l'aigua rebotés elàsticament amb la mateixa velocitat en sentit contrari?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\dot m \approx 4{,}71\ \text{kg/s}

Resolució

Àrea de la boca. $A = \pi r^{2} = \pi\cdot(0{,}010)^{2} = 3{,}14\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ .
Cabal màssic. $\dot m = \rho A v = 1000\cdot 3{,}14\cdot10^{-4}\cdot 15 = 4{,}71\ \text{kg/s}$ .

Apartat b)

Resultat

F \approx 70{,}7\ \text{N}

Resolució

Teorema de l'impuls. Cada segon l'aigua que arriba perd tota la seva quantitat de moviment: $F = \dot m\,\Delta v$ .
Càlcul. $F = 4{,}71\cdot 15 = 70{,}7\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

F \approx 141\ \text{N}

, el doble.

Resolució

Variació de velocitat. Si rebota, $\Delta v = 15 - (-15) = 30\ \text{m/s}$ .
Càlcul. $F = 4{,}71\cdot 30 = 141\ \text{N}$ , el doble que en el cas b.
Aplicació. Això és el que s'aprofita en les turbines Pelton: les cassoletes fan que l'aigua giri la velocitat, de manera que l'impuls es duplica.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una bala de 10 g travessa un bloc de fusta de 2,0 kg penjat d'un fil llarg: hi entra a 400 m/s i en surt a 100 m/s. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula la velocitat que adquireix el bloc just després que la bala el travessi.
b) Calcula l'altura màxima a què puja el bloc.
c) Calcula l'energia que es dissipa en el procés.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

V = 1{,}5\ \text{m/s}

Resolució

Conservació de p en el xoc. El xoc és breu i es conserva la quantitat de moviment: $0{,}010\cdot 400 = 0{,}010\cdot 100 + 2{,}0\,V$ .
Càlcul. $V = \dfrac{0{,}010\cdot 300}{2{,}0} = 1{,}5\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

h \approx 0{,}115\ \text{m}

(11,5 cm).

Resolució

Conservació de l'energia mecànica. Després del xoc, el pèndol conserva l'energia mecànica: $\tfrac{1}{2}V^{2} = g h$ .
Càlcul. $h = \dfrac{1{,}5^{2}}{2\cdot 9{,}8} = 0{,}115\ \text{m}$ (11,5 cm).

Apartat c)

Resultat

E_{\mathrm{dissipada}} \approx 748\ \text{J}

(93,5 %).

Resolució

Energia inicial. $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}010\cdot 400^{2} = 800\ \text{J}$ .
Energia final. $\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}010\cdot 100^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 1{,}5^{2} = 50 + 2{,}25 = 52{,}3\ \text{J}$ .
Energia dissipada. $800 - 52{,}3 = 748\ \text{J}$ (93,5 %), en forma de calor i trencament de la fusta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un carro de 2,0 kg que va a 3,0 m/s s'acosta a un altre d'1,0 kg en repòs. El segon carro porta una molla de constant k = 600 N/m al davant. No hi ha fregament.
a) Calcula la velocitat comuna dels dos carros en el moment de màxima compressió de la molla.
b) Calcula l'energia emmagatzemada a la molla i la compressió màxima.
c) Calcula les velocitats finals després que els carros se separin (el xoc és elàstic).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

V = 2{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Condició de màxima compressió. En aquell moment els dos carros tenen la mateixa velocitat (no s'acosten ni s'allunyen).
Conservació de p. $2{,}0\cdot 3{,}0 = (2{,}0 + 1{,}0)\,V$ → $V = 2{,}0\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

E_{\mathrm{molla}} = 3{,}0\ \text{J}

;

x = 0{,}10\ \text{m}

(10 cm).

Resolució

Energia cinètica. Inicial: $\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 3{,}0^{2} = 9{,}0\ \text{J}$ . A la compressió màxima: $\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 2{,}0^{2} = 6{,}0\ \text{J}$ .
Energia a la molla. $9{,}0 - 6{,}0 = 3{,}0\ \text{J}$ .
Compressió. $\tfrac{1}{2}k x^{2} = 3{,}0 \;\Rightarrow\; x = \sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}0}{600}} = 0{,}10\ \text{m}$

Apartat c)

Resultat

v_1' = 1{,}0\ \text{m/s}

;

v_2' = 4{,}0\ \text{m/s}

, tots dos endavant.

Resolució

Xoc elàstic (blanc en repòs). $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1 = \tfrac{1}{3}\cdot 3{,}0 = 1{,}0\ \text{m/s};\qquad v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1 = \tfrac{4}{3}\cdot 3{,}0 = 4{,}0\ \text{m/s}$
Comprovació. $p = 2{,}0\cdot 1{,}0 + 1{,}0\cdot 4{,}0 = 6{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ (igual que abans); $E_c = 1{,}0 + 8{,}0 = 9{,}0\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un bloc de 2,0 kg surt a 5,0 m/s per una superfície horitzontal amb coeficient de fregament μ = 0,20 i recorre 2,0 m abans de xocar amb un altre bloc de 3,0 kg en repòs; el xoc és perfectament inelàstic (queden units). Després continuen lliscant amb el mateix μ. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula la velocitat del primer bloc just abans del xoc.
b) Calcula la velocitat del conjunt just després.
c) Calcula la distància que recorre el conjunt fins a aturar-se.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

v \approx 4{,}14\ \text{m/s}

Resolució

Treball del fregament. El fregament frena amb $a = \mu g$ : $v^{2} = v_0^{2} - 2\mu g d$ .
Càlcul. $v^{2} = 25 - 2\cdot 0{,}20\cdot 9{,}8\cdot 2{,}0 = 25 - 7{,}84 = 17{,}16$ → $v = 4{,}14\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

V \approx 1{,}66\ \text{m/s}

Resolució

Conservació de p en el xoc. $2{,}0\cdot 4{,}14 = 5{,}0\cdot V$ .
Càlcul. $V = 1{,}66\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

d \approx 0{,}70\ \text{m}

Resolució

Frenada. El conjunt té una desacceleració $a = \mu g = 1{,}96\ \text{m/s}^{2}$ .
Càlcul. $d = \dfrac{V^{2}}{2\mu g} = \dfrac{1{,}657^{2}}{2\cdot 1{,}96} = 0{,}70\ \text{m}$
Observació. La massa no apareix en la distància de frenada: l'acceleració del fregament és $\mu g$ per a qualsevol massa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

Un projectil de 4,0 kg es llança a 30 m/s amb un angle de 60° sobre l'horitzontal. Just al punt més alt explota en dos fragments d'1,5 kg i 2,5 kg. El fragment d'1,5 kg queda en repòs un instant (v = 0) i cau verticalment. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula l'abast que hauria tingut el projectil sense explotar i l'abscissa del punt de l'explosió.
b) Calcula la velocitat del fragment de 2,5 kg just després de l'explosió.
c) Calcula on aterra cada fragment.
d) Comprova que el centre de masses del sistema aterra on hauria aterrat el projectil.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

R \approx 79{,}5\ \text{m}

; explosió a

x \approx 39{,}8\ \text{m}

h \approx 34{,}4\ \text{m}

Resolució

Components inicials. $v_x = 30\cos 60^{\circ} = 15\ \text{m/s}$ ; $v_y = 30\sin 60^{\circ} = 26{,}0\ \text{m/s}$ .
Abast. $R = \dfrac{v^{2}\sin 2\theta}{g} = \dfrac{900\cdot 0{,}866}{9{,}8} = 79{,}5\ \text{m}$
Punt més alt. És a la meitat de l'abast: $x = 39{,}8\ \text{m}$ , a una altura $h = v_y^{2}/(2g) = 34{,}4\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

V = 24\ \text{m/s}

, horitzontal i cap endavant.

Resolució

Velocitat al punt més alt. És horitzontal: 15 m/s.
Conservació de p (horitzontal). En l'explosió les forces internes dominen: $4{,}0\cdot 15 = 1{,}5\cdot 0 + 2{,}5\cdot V$ → $V = 24\ \text{m/s}$ cap endavant.

Apartat c)

Resultat

Fragment d'1,5 kg:

x \approx 39{,}8\ \text{m}

; fragment de 2,5 kg:

x \approx 103{,}4\ \text{m}

Resolució

Temps de caiguda. Tots dos parteixen de 34,4 m amb velocitat vertical nul·la: $t = \sqrt{2\cdot 34{,}4/9{,}8} = 2{,}65\ \text{s}$ .
Fragment d'1,5 kg. Cau verticalment: aterra a $x = 39{,}8\ \text{m}$ .
Fragment de 2,5 kg. $x = 39{,}8 + 24\cdot 2{,}65 = 103{,}4\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

x_{\mathrm{CM}} \approx 79{,}5\ \text{m}

, igual que l'abast sense explosió.

Resolució

Centre de masses. $x_{\mathrm{CM}} = \dfrac{1{,}5\cdot 39{,}8 + 2{,}5\cdot 103{,}4}{4{,}0} = 79{,}5\ \text{m}$
Conclusió. Coincideix amb l'abast sense explosió: les forces internes no canvien el moviment del centre de masses; només hi actua la gravetat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Una persona de 70 kg és a l'extrem d'una barca de 130 kg i 4,0 m de llarg, en repòs sobre l'aigua. Camina fins a l'altre extrem de la barca. No considerem el fregament amb l'aigua.
a) Raona per què el centre de masses del sistema persona + barca no es mou.
b) Calcula el desplaçament de la barca respecte de la riba.
c) Calcula el desplaçament de la persona respecte de la riba. Què passa si la persona es posa a córrer?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

No hi ha forces externes horitzontals: p horitzontal total es manté nul·la i, per tant, el CM no es mou.

Resolució

Forces externes. Sobre el sistema no hi ha forces externes horitzontals (la resistència de l'aigua és negligible).
Conclusió. La quantitat de moviment horitzontal total es manté nul·la, i com que $p_{\mathrm{total}} = M_{\mathrm{total}}\,v_{\mathrm{CM}}$ , el centre de masses no es mou.

Apartat b)

Resultat

x_b = -1{,}4\ \text{m}

(la barca es mou 1,4 m en sentit contrari a la persona).

Resolució

Plantejament. Siguin $x_b$ el desplaçament de la barca i $x_p$ el de la persona respecte de la riba, amb $x_p - x_b = 4{,}0\ \text{m}$ (desplaçament relatiu).
Centre de masses fix. $70\,x_p + 130\,x_b = 0$ .
Càlcul. Substituint $x_p = x_b + 4{,}0$ : $70\,(x_b + 4{,}0) + 130\,x_b = 0 \;\Rightarrow\; x_b = -\dfrac{280}{200} = -1{,}4\ \text{m}$ La barca va en sentit contrari.

Apartat c)

Resultat

x_p = +2{,}6\ \text{m}

; si corre, el desplaçament final és el mateix (només canvien les velocitats).

Resolució

Càlcul. $x_p = -1{,}4 + 4{,}0 = +2{,}6\ \text{m}$ .
Si corre. El desplaçament final és el mateix: depèn només de les masses i de la longitud. Canvien les velocitats, que són inversament proporcionals a les masses, però no els desplaçaments.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Un carro de 20 kg es mou a 3,0 m/s sense fregament.
a) Cau verticalment sobre el carro, des d'un dipòsit en repòs, 5,0 kg de sorra que queda al carro. Calcula la nova velocitat i l'energia cinètica perduda.
b) Ara el carro és arrossegat a velocitat constant de 3,0 m/s mentre li cau sorra a raó de 2,0 kg/s. Calcula la força necessària per mantenir la velocitat.
c) Calcula la potència d'aquesta força, la taxa d'augment d'energia cinètica de la sorra i comenta la diferència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

V = 2{,}4\ \text{m/s}

;

\Delta E_c = 18\ \text{J}

(20 %).

Resolució

Conservació de p horitzontal. La sorra cau sense velocitat horitzontal: $20\cdot 3{,}0 = 25\cdot V$ → $V = 2{,}4\ \text{m/s}$ .
Energia. $E_c$ abans = $\tfrac{1}{2}\cdot 20\cdot 9{,}0 = 90\ \text{J}$ ; després = $\tfrac{1}{2}\cdot 25\cdot 2{,}4^{2} = 72\ \text{J}$ .
Pèrdua. 18 J (20 %), convertida en calor per la fricció entre sorra i carro.

Apartat b)

Resultat

F = 6{,}0\ \text{N}

Resolució

Massa variable. $F = \dfrac{d(m v)}{dt} = v\dfrac{dm}{dt}$ si v és constant.
Càlcul. Cada segon s'han d'accelerar 2,0 kg de sorra de 0 a 3,0 m/s: $F = 2{,}0\cdot 3{,}0 = 6{,}0\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

P = 18\ \text{W}

;

dE_c/dt = 9{,}0\ \text{W}

; els altres 9,0 W (la meitat) es dissipen en calor.

Resolució

Potència. $P = F\cdot v = 6{,}0\cdot 3{,}0 = 18\ \text{W}$ .
Taxa d'augment d'energia cinètica. $\tfrac{1}{2}\dfrac{dm}{dt}v^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 9{,}0 = 9{,}0\ \text{W}$ .
Interpretació. La resta, 9,0 W, es dissipa en calor (fricció sorra-carro mentre s'iguala la velocitat): sempre s'hi dissipa la meitat, independentment del fregament entre sorra i carro.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Una pilota de 57 g cau des d'1,5 m sobre un terra dur i rebota fins a 0,96 m. Es defineix el coeficient de restitució e = (velocitat de sortida)/(velocitat d'arribada) en el xoc amb el terra. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula la velocitat d'arribada i de sortida, i e.
b) Calcula l'impuls que rep del terra i la força mitjana si el contacte dura 5,0 ms; compara-la amb el pes.
c) Cada rebot redueix la velocitat en un factor e. Demostra que el temps total fins que la pilota s'atura és $t_{\mathrm{total}} = \dfrac{v_{1}}{g}\cdot\dfrac{1 + e}{1 - e}$ , i calcula'l.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

v_1 \approx 5{,}42\ \text{m/s}

(avall);

v_2 \approx 4{,}34\ \text{m/s}

(amunt);

e = 0{,}80

Resolució

Caiguda lliure. $v = \sqrt{2 g h}$ (conservació de l'energia).
Càlcul. $v_1 = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5} = 5{,}42\ \text{m/s}$ (cap avall); $v_2 = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}96} = 4{,}34\ \text{m/s}$ (cap amunt).
Coeficient de restitució. $e = v_2/v_1 = \sqrt{0{,}96/1{,}5} = 0{,}80$ .

Apartat b)

Resultat

I \approx 0{,}556\ \text{N}\cdot\text{s}

cap amunt;

F_{\mathrm{mitjana}} \approx 111\ \text{N}

, unes 200 vegades el pes.

Resolució

Impuls. Amb sentit positiu cap amunt: $I = \Delta p = m\,(v_2 - (-v_1)) = 0{,}057\cdot(4{,}34 + 5{,}42) = 0{,}556\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ cap amunt.
Força mitjana. $F_{\mathrm{mitjana}} = 0{,}556/0{,}0050 = 111\ \text{N}$ .
Comparació amb el pes. El pes és $0{,}057\cdot 9{,}8 = 0{,}559\ \text{N}$ : la força és unes 200 vegades el pes, i per això el pes es pot ignorar durant el contacte.

Apartat c)

Resultat

t_{\mathrm{total}} = \dfrac{v_1}{g}\cdot\dfrac{1 + e}{1 - e} \approx 4{,}98\ \text{s} \approx 5{,}0\ \text{s}

Resolució

Temps de cada tram. Primera caiguda: $t_0 = v_1/g$ . Després de l'n-èsim rebot, la velocitat de sortida és $e^{n}v_1$ i el vol (pujada + baixada) dura $2e^{n}v_1/g = 2t_0 e^{n}$ .
Sèrie geomètrica. $t_{\mathrm{total}} = t_0 + 2t_0\sum_{n\ge 1} e^{n} = t_0\left(1 + \dfrac{2e}{1 - e}\right) = t_0\,\dfrac{1 + e}{1 - e}$
Càlcul. $t_0 = 5{,}42/9{,}8 = 0{,}553\ \text{s}$ ; $t_{\mathrm{total}} = 0{,}553\cdot 1{,}80/0{,}20 = 4{,}98\ \text{s} \approx 5{,}0\ \text{s}$ .
Interpretació. La pilota fa infinits rebots en un temps finit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Dues partícules en una dimensió: $m_{1}$ = 2,0 kg amb $v_{1}$ = +6,0 m/s i $m_{2}$ = 1,0 kg amb $v_{2}$ = −3,0 m/s. Un xoc frontal en el sistema del centre de masses (CM) és molt senzill: en el xoc elàstic cada partícula inverteix la velocitat, i en un xoc amb coeficient de restitució e la multiplica per −e.
a) Calcula la velocitat del CM.
b) Calcula les velocitats en el sistema del CM abans del xoc.
c) Calcula les velocitats finals en el sistema del laboratori per a un xoc elàstic i per a e = 0,50. Comprova la conservació de la quantitat de moviment.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

v_{\mathrm{CM}} = 3{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Definició. $v_{\mathrm{CM}} = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ .
Càlcul. $v_{\mathrm{CM}} = \dfrac{2{,}0\cdot 6{,}0 + 1{,}0\cdot(-3{,}0)}{3{,}0} = \dfrac{9{,}0}{3{,}0} = 3{,}0\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

u_1 = +3{,}0\ \text{m/s}

;

u_2 = -6{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Canvi de sistema. $u = v - v_{\mathrm{CM}}$ : $u_1 = 6{,}0 - 3{,}0 = +3{,}0\ \text{m/s}$ ; $u_2 = -3{,}0 - 3{,}0 = -6{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació. En el sistema del CM les quantitats de moviment són iguals i oposades: $2{,}0\cdot 3{,}0 = 6{,}0$ i $1{,}0\cdot 6{,}0 = 6{,}0$ .

Apartat c)

Resultat

Elàstic:

v_1' = 0

v_2' = 9{,}0\ \text{m/s}

. Amb

e = 0{,}50

v_1' = 1{,}5\ \text{m/s}

v_2' = 6{,}0\ \text{m/s}

. En tots dos casos

p = 9{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

Resolució

Xoc elàstic. $u_1' = -3{,}0$ , $u_2' = +6{,}0$ ; al laboratori ( $v' = u' + v_{\mathrm{CM}}$ ): $v_1' = 0$ i $v_2' = 9{,}0\ \text{m/s}$ .
Xoc amb e = 0,50. $u_1' = -0{,}50\cdot 3{,}0 = -1{,}5$ , $u_2' = +0{,}50\cdot 6{,}0 = +3{,}0$ ; al laboratori: $v_1' = 1{,}5\ \text{m/s}$ i $v_2' = 6{,}0\ \text{m/s}$ .
Comprovació de p. Abans: $12{,}0 - 3{,}0 = 9{,}0\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Elàstic: $0 + 9{,}0 = 9{,}0$ . Amb e = 0,5: $2{,}0\cdot 1{,}5 + 1{,}0\cdot 6{,}0 = 9{,}0$ .
Energia (cas elàstic). Abans $36 + 4{,}5 = 40{,}5\ \text{J}$ ; després $0 + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0\cdot 81 = 40{,}5\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Equació del coet. Si un coet de massa m expulsa una massa petita dm de gasos a velocitat u respecte del coet, la conservació de p dona m·dv = −u·dm (amb dm la variació de massa del coet, negativa). En integrar: Δv = u·ln( $\tfrac{m_{0}}{m_{f}}$ ), on $m_{0}$ és la massa inicial i $m_{f}$ la final, sense gravetat ni fregament.
a) Una sonda de 2000 kg (sense combustible) ha de guanyar Δv = 1500 m/s amb un motor de u = 3000 m/s. Calcula la massa inicial i la massa de combustible.
b) Compara-ho amb l'estimació Δm ≈ m·Δv/u (valor per a Δv petit) i explica la diferència.
c) Quina relació $\tfrac{m_{0}}{m_{f}}$ cal per aconseguir Δv = 9500 m/s amb u = 3000 m/s? Què implica per al disseny de coets?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

m_0 \approx 3297\ \text{kg}

; combustible

\approx 1297\ \text{kg}

Resolució

Equació del coet aïllant $m_0$ . $m_0 = m_f\,e^{\Delta v/u}$ .
Càlcul. $m_0 = 2000\cdot e^{0{,}5} = 2000\cdot 1{,}6487 = 3297\ \text{kg}$ . Combustible: $3297 - 2000 = 1297\ \text{kg}$ .

Apartat b)

Resultat

L'estimació lineal dona

1000\ \text{kg}

, un 23 % menys:

\Delta v/u = 0{,}5

no és petit.

Resolució

Estimació lineal. $\Delta m \approx m\,\Delta v/u = 2000\cdot\tfrac{1500}{3000} = 1000\ \text{kg}$ , un 23 % menys.
Per què falla. És una mala aproximació perquè $\Delta v/u = 0{,}5$ no és petit: el coet ha de portar també el combustible que gastarà en accelerar el combustible restant (l'efecte multiplicatiu de l'exponencial).

Apartat c)

Resultat

m_0/m_f = e^{9500/3000} \approx 23{,}7

: més del 95 % de la massa hauria de ser combustible; per això es fan coets d'etapes i motors amb u més gran.

Resolució

Càlcul. $\dfrac{m_0}{m_f} = e^{9500/3000} = e^{3{,}17} = 23{,}7$
Fracció de combustible. $1 - \tfrac{1}{23{,}7} = 0{,}958$ : més del 95 % de la massa inicial hauria de ser combustible, cosa que no és viable amb un sol cos.
Disseny. Per això es fan servir coets d'etapes: es descarten els dipòsits buits i es redueix $m_f$ . La dependència exponencial també explica la importància d'augmentar u (motors més eficients).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Els fotons tenen quantitat de moviment p = $\tfrac{h}{\lambda}$ , tot i no tenir massa. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,0· $10^{8}$ m/s. La força que fa la radiació sobre una superfície que absorbeix tota la llum és F = $\tfrac{P}{c}$ , i si la reflecteix perfectament, F = 2P/c (P és la potència que hi incideix).
a) Calcula la quantitat de moviment d'un fotó de llum verda de λ = 550 nm.
b) Calcula la força que fa un punter làser d'una potència de 5,0 mW absorbit completament.
c) Una vela solar d'àrea 100 $\text{m}^{2}$ reflecteix perfectament la llum solar (intensitat 1361 $\text{W/m}^{2}$ , perpendicular). Calcula la força, l'acceleració d'una sonda de 10 kg total i la variació de velocitat en un dia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

p \approx 1{,}2\cdot10^{-27}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

Resolució

Quantitat de moviment del fotó. $p = h/\lambda$ , amb $\lambda = 550\ \text{nm} = 5{,}50\cdot10^{-7}\ \text{m}$ .
Càlcul. $p = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{5{,}50\cdot10^{-7}} = 1{,}2\cdot10^{-27}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

F \approx 1{,}7\cdot10^{-11}\ \text{N}

Resolució

Superfície absorbent. $F = P/c$ .
Càlcul. $F = \dfrac{5{,}0\cdot10^{-3}}{3{,}0\cdot10^{8}} = 1{,}7\cdot10^{-11}\ \text{N}$ .
Interpretació. És imperceptible: de l'ordre de la força que cal per accelerar 1 g amb $10^{-8}\ \text{m/s}^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

F \approx 9{,}1\cdot10^{-4}\ \text{N}

;

a \approx 9{,}1\cdot10^{-5}\ \text{m/s}^{2}

;

\Delta v \approx 7{,}8\ \text{m/s}

en un dia.

Resolució

Potència incident. $P = I\cdot A = 1361\cdot 100 = 1{,}361\cdot10^{5}\ \text{W}$ .
Força (reflexió perfecta). $F = \dfrac{2P}{c} = \dfrac{2\cdot 1{,}361\cdot10^{5}}{3{,}0\cdot10^{8}} = 9{,}1\cdot10^{-4}\ \text{N}$
Acceleració i Δv. $a = F/m = 9{,}1\cdot10^{-5}\ \text{m/s}^{2}$ . En un dia (86400 s): $\Delta v = a\cdot t = 7{,}8\ \text{m/s}$ .
Interpretació. Encara que la força és minúscula, no cal combustible i actua sense parar: després de mesos acumula velocitats de km/s. Per això s'estudia per a viatges interplanetaris.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Una granada de 9,0 kg en repòs explota en tres fragments sobre un pla horitzontal sense fregament. El fragment A (2,0 kg) surt a 6,0 m/s cap a l'eix +x i el B (3,0 kg) a 4,0 m/s cap a l'eix +y.
a) Calcula la massa del fragment C.
b) Calcula la velocitat (mòdul i direcció) del fragment C.
c) Calcula l'energia alliberada en l'explosió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

m_C = 4{,}0\ \text{kg}

Resolució

Conservació de la massa. $m_C = 9{,}0 - 2{,}0 - 3{,}0 = 4{,}0\ \text{kg}$ .
Conclusió. La massa total dels fragments és la de la granada.

Apartat b)

Resultat

\vec v_C = (-3{,}0;\ -3{,}0)\ \text{m/s}

v_C \approx 4{,}24\ \text{m/s}

225^{\circ}

de l'eix +x (45° per sota de l'eix −x).

Resolució

Conservació de p. La quantitat de moviment total és zero: $\vec p_A = (12,\ 0)\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $\vec p_B = (0,\ 12)\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; per tant $\vec p_C = -(12,\ 12) = (-12,\ -12)\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Velocitat. $\vec v_C = \vec p_C/4{,}0 = (-3{,}0;\ -3{,}0)\ \text{m/s}$ ; mòdul $\sqrt{3{,}0^{2} + 3{,}0^{2}} = 4{,}24\ \text{m/s}$ .
Direcció. A 225° respecte de l'eix +x, és a dir, 45° per sota de l'eix −x, en el tercer quadrant.

Apartat c)

Resultat

E = 96\ \text{J}

Resolució

Energia cinètica final. $E = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 6{,}0^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 4{,}0^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\cdot 4{,}24^{2} = 36 + 24 + 36 = 96\ \text{J}$
Origen. Com que partia del repòs, aquesta energia procedeix de l'energia química de l'explosiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Fona gravitatòria. Una sonda de 800 kg es mou a 10 km/s respecte del Sol cap a un planeta (massa 1,9· $10^{27}$ kg) que s'acosta cap a ella a 13 km/s (en sentit contrari). La sonda passa a prop del planeta i el seu moviment s'inverteix, com en un xoc elàstic frontal amb un objecte molt massiu.
a) Calcula la velocitat de la sonda en el sistema del planeta abans i després de la trobada.
b) Calcula la velocitat final de la sonda respecte del Sol.
c) Calcula el guany d'energia cinètica per kg de sonda i la variació de velocitat del planeta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

Abans:

+23\ \text{km/s}

; després:

-23\ \text{km/s}

(en el sistema del planeta).

Resolució

Velocitats respecte del Sol. Sonda $+10\ \text{km/s}$ ; planeta $-13\ \text{km/s}$ .
Sistema del planeta. La sonda va a $10 - (-13) = 23\ \text{km/s}$ . En un xoc elàstic amb una massa enorme, la velocitat s'inverteix: $-23\ \text{km/s}$ després.

Apartat b)

Resultat

v_f = -36\ \text{km/s}

: 36 km/s en sentit contrari al de partida.

Resolució

Tornada al sistema del Sol. $v_f = -23 + (-13) = -36\ \text{km/s}$ .
Conclusió. La sonda va ara a 36 km/s en sentit contrari al de partida.

Apartat c)

Resultat

\Delta E_c \approx 5{,}98\cdot10^{8}\ \text{J/kg}

;

|\Delta V_{\mathrm{planeta}}| \approx 1{,}9\cdot10^{-20}\ \text{m/s}

Resolució

Guany d'energia per kg. $\Delta E_c = \tfrac{1}{2}(36\cdot10^{3})^{2} - \tfrac{1}{2}(10\cdot10^{3})^{2} = 6{,}48\cdot10^{8} - 5{,}0\cdot10^{7} = 5{,}98\cdot10^{8}\ \text{J/kg}$ L'energia prové del planeta.
Variació de velocitat del planeta. La sonda canvia la velocitat en 46 km/s (de +10 a −36) i el planeta guanya la quantitat de moviment contrària: $|\Delta V| = \dfrac{800\cdot 46\cdot10^{3}}{1{,}9\cdot10^{27}} = 1{,}9\cdot10^{-20}\ \text{m/s}$ completament negligible.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Una persona de 60 kg salta des d'1,0 m d'alçada i aterra sobre els dos peus. Considera que la desacceleració és constant fins a aturar-se. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula la velocitat d'arribada al terra.
b) Si aterra amb les cames rígides i s'atura en 1,0 cm, calcula la desacceleració, el temps d'aturada i la força del terra.
c) Si flexiona els genolls i s'atura en 40 cm, repeteix el càlcul. Compara les dues forces amb el pes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

v \approx 4{,}43\ \text{m/s}

Resolució

Caiguda lliure. $v = \sqrt{2 g h}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0} = 4{,}43\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

a = 980\ \text{m/s}^{2}

(100 g);

t \approx 4{,}5\ \text{ms}

;

N \approx 5{,}9\cdot10^{4}\ \text{N}

(unes 101 vegades el pes).

Resolució

Desacceleració. Per a una frenada uniforme, $v^{2} = 2ad$ : $a = 4{,}43^{2}/(2\cdot 0{,}010) = 980\ \text{m/s}^{2}$ (100 g).
Temps. $t = v/a = 4{,}43/980 = 4{,}5\ \text{ms}$ .
Força del terra. Segona llei de Newton: $N - mg = ma$ → $N = 60\cdot(9{,}8 + 980) = 5{,}9\cdot10^{4}\ \text{N}$ (≈ 59 kN). El pes és 588 N, així que $N \approx 101$ vegades el pes.

Apartat c)

Resultat

a = 24{,}5\ \text{m/s}^{2}

(2,5 g);

t \approx 0{,}18\ \text{s}

;

N \approx 2058\ \text{N}

(unes 3,5 vegades el pes, 29 vegades menys que amb les cames rígides).

Resolució

Desacceleració i temps. $a = 4{,}43^{2}/(2\cdot 0{,}40) = 24{,}5\ \text{m/s}^{2}$ (2,5 g); $t = 4{,}43/24{,}5 = 0{,}18\ \text{s}$ .
Força del terra. $N = 60\cdot(9{,}8 + 24{,}5) = 2058\ \text{N} \approx 3{,}5$ vegades el pes.
Comparació. Allargar 40 vegades la distància (i el temps) d'aturada redueix la força 29 vegades. Per això flexionar els genolls evita lesions: mateix canvi de quantitat de moviment, però durant més temps ( $F = \Delta p/\Delta t$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

En un reactor nuclear, els neutrons ràpids es frenen en xocar amb nuclis d'un moderador. Un neutró (massa 1 u) xoca frontal i elàsticament amb un nucli en repòs de massa A u. La fracció d'energia cinètica que conserva el neutró és $\left(\tfrac{A - 1}{A + 1}\right)^{2}$ .
a) Comprova aquesta fracció aplicant la conservació de p i d'energia, i calcula-la per a A = 1 (hidrogen), 2 (deuteri), 12 (carboni) i 207 (plom).
b) Quin és el mínim de xocs frontals successius perquè un neutró de 2,0 MeV arribi a l'energia tèrmica 0,025 eV amb un moderador de carboni?
c) Compara-ho amb el deuteri i el plom i explica per què el plom és un mal moderador.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

E'/E = \left(\dfrac{A - 1}{A + 1}\right)^{2}

: A = 1 → 0; A = 2 → 0,111; A = 12 → 0,716; A = 207 → 0,981.

Resolució

Conservació de p i d'E. Per a un xoc elàstic frontal amb $m_1 = 1$ i $m_2 = A$ en repòs, la velocitat final del neutró és $v' = \dfrac{1 - A}{1 + A}\,v$
Fracció d'energia. L'energia és proporcional a $v^{2}$ , així que $E'/E = \left(\dfrac{A - 1}{A + 1}\right)^{2}$ .
Valors. A = 1: 0 (el neutró cedeix tota l'energia); A = 2: $(1/3)^{2} = 0{,}111$ ; A = 12: $(11/13)^{2} = 0{,}716$ ; A = 207: $(206/208)^{2} = 0{,}981$ .

Apartat b)

Resultat

Almenys

55

xocs amb carboni.

Resolució

Factor de reducció. Cal reduir l'energia en un factor $2{,}0\cdot10^{6}/0{,}025 = 8{,}0\cdot10^{7}$ .
Nombre de xocs. Cada xoc multiplica l'energia per 0,716: $n = \dfrac{\ln(8{,}0\cdot10^{7})}{\ln(1/0{,}716)} = \dfrac{18{,}2}{0{,}334} = 54{,}5$
Conclusió. Almenys 55 xocs (en realitat són més, perquè els xocs no són tots frontals).

Apartat c)

Resultat

Deuteri: almenys 9 xocs; plom: uns 942. El plom és mal moderador perquè, en ser tan pesat, el neutró hi rebota gairebé sense perdre energia.

Resolució

Deuteri. $n = 18{,}2/\ln 9 = 8{,}3$ → almenys 9 xocs.
Plom. $n = 18{,}2/0{,}0193 \approx 942$ xocs.
Conclusió. El plom és un mal moderador perquè el neutró rebota amb poca pèrdua d'energia, ja que el nucli és molt més pesat; els moderadors millors són els nuclis lleugers (aigua, grafit, aigua pesant).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Un coet d'aigua té una massa inicial d'1,5 kg (0,50 kg d'ampolla i 1,0 kg d'aigua). Expulsa tota l'aigua en 0,10 s a un ritme constant, amb una velocitat de 12 m/s respecte de l'ampolla. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ . Ignora el fregament amb l'aire.
a) Calcula l'empenta i l'acceleració inicial.
b) Calcula la velocitat que té l'ampolla quan s'acaba l'aigua (equació del coet: Δv = u·ln( $\tfrac{m_{0}}{m_{f}}$ ) menys g·t).
c) Calcula l'altura màxima sobre el punt de llançament, sabent que durant l'impuls l'ampolla puja 0,49 m i que després va només sota l'acció de la gravetat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

Empenta

F = 120\ \text{N}

;

a_0 \approx 70{,}2\ \text{m/s}^{2}

(unes 7 g).

Resolució

Cabal màssic. $\dot m = 1{,}0/0{,}10 = 10\ \text{kg/s}$ .
Empenta. $F = \dot m\,u = 10\cdot 12 = 120\ \text{N}$ .
Acceleració inicial. $a = F/m_0 - g = 120/1{,}5 - 9{,}8 = 80 - 9{,}8 = 70{,}2\ \text{m/s}^{2}$ (7 g).

Apartat b)

Resultat

v \approx 12{,}2\ \text{m/s}

cap amunt.

Resolució

Equació del coet amb gravetat. $\Delta v = u\ln(m_0/m_f) - g t$ , amb $m_f = 0{,}50\ \text{kg}$ i $t = 0{,}10\ \text{s}$ .
Càlcul. $\Delta v = 12\ln\dfrac{1{,}5}{0{,}5} - 9{,}8\cdot 0{,}10 = 13{,}18 - 0{,}98 = 12{,}2\ \text{m/s}$ cap amunt.
Observació. L'acceleració creix durant l'impuls (de 70 a 230 m/s²), perquè la massa baixa d'1,5 a 0,5 kg amb empenta constant.

Apartat c)

Resultat

h_{\max} \approx 8{,}1\ \text{m}

Resolució

Fase d'impuls. Durant l'impuls l'ampolla puja 0,49 m (resultat d'integrar el moviment, que dona l'enunciat).
Fase balística. Després només actua la gravetat; per conservació de l'energia: $h = \dfrac{v^{2}}{2g} = \dfrac{12{,}2^{2}}{19{,}6} = 7{,}6\ \text{m}$ .
Altura màxima. $0{,}49 + 7{,}6 \approx 8{,}1\ \text{m}$ . Un coet real perd energia per fregament amb l'aire i aconsegueix menys.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre la quantitat de moviment i l'energia cinètica?

La quantitat de moviment, p = m·v, és un vector i es mesura en kg·m/s; l'energia cinètica, K = ½·m· $v^{2}$ , és un escalar i es mesura en joules. En un sistema aïllat, p es conserva sempre en un xoc; K només es conserva en els xocs elàstics.

Què diu el teorema de l'impuls?

L'impuls d'una força, I = F·Δt, és igual a la variació de la quantitat de moviment del cos: I = Δp = m·(v - v0). Permet calcular la força mitjana d'un cop o d'un xoc, F = Δp/Δt: per a un mateix Δp, com més llarg és el temps de contacte, més petita és la força.

Com es resol un xoc en una dimensió?

Es tria un sentit positiu i s'escriu la conservació de la quantitat de moviment: m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2'. Si el xoc és perfectament inelàstic, els dos cossos acaben amb la mateixa velocitat. Si és elàstic, s'hi afegeix la conservació de l'energia cinètica (o que la velocitat relativa canvia de signe però no de mòdul).

Tornar a Física i Química