Exercicis de cinemàtica — Física i Química 1r Batxillerat

La cinemàtica de 1r de Batxillerat ja treballa amb moviments en dues dimensions. Els exercicis comencen amb les magnituds del moviment i el moviment circular, amb període i freqüència. Després resols problemes de trobada de dos mòbils que surten un cap a l'altre i problemes de MRUA. La part més exigent és la composició de moviments: el tir parabòlic d'una pilota xutada des de terra i el tir horitzontal des d'un penya-segat, on separes el moviment en dos eixos. Les solucions plantegen les equacions de cada eix. Errors típics: confondre el desplaçament amb la distància recorreguda i pensar que, si la rapidesa és constant, no hi ha acceleració.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Què mesura l'acceleració?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

L'acceleració mesura el canvi de la velocitat per unitat de temps, tant si canvia el mòdul com la direcció.

Resolució

Definició. L'acceleració mitjana és el quocient entre la variació de velocitat i l'interval de temps: $\vec{a} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$
Unitats. Al SI es mesura en $\text{m/s}^{2}$ : els metres per segon que guanya (o perd) la velocitat cada segon.
Conclusió. Fixa't que la velocitat és un vector: hi ha acceleració tant si canvia el mòdul (el cotxe va més de pressa o més a poc a poc) com si en canvia la direcció (un revolt).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Un cotxe recorre 150 km en 2 h. Calcula la seva velocitat mitjana en km/h i en m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

v_m = 75\ \text{km/h} \approx 20{,}8\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Distància $d = 150\ \text{km}$ , temps $t = 2\ \text{h}$ .
Velocitat mitjana. És l'espai recorregut dividit pel temps: $v_m = \dfrac{d}{t} = \dfrac{150\ \text{km}}{2\ \text{h}} = 75\ \text{km/h}$
Canvi d'unitats. Per passar de km/h a m/s divideixes per 3,6 (1 km = 1000 m i 1 h = 3600 s): $v_m = \dfrac{75}{3{,}6} \approx 20{,}8\ \text{m/s}$
Conclusió. El resultat és coherent: 75 km/h és una velocitat típica de carretera.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Una roda gira amb una freqüència de 2 Hz. Quin és el seu període?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

T = 0{,}5\ \text{s}

Resolució

Dades. Freqüència $f = 2\ \text{Hz}$ : la roda fa 2 voltes cada segon.
Relació període–freqüència. El període és l'invers de la freqüència: $T = \dfrac{1}{f}$ .
Càlcul. $T = \dfrac{1}{2\ \text{Hz}} = 0{,}5\ \text{s}$ .
Conclusió. Cada volta triga mig segon, coherent amb 2 voltes per segon.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Un atleta fa una volta completa a una pista d'atletisme de 400 m en 50 s i acaba exactament al punt de sortida. Calcula la distància recorreguda, el desplaçament, la rapidesa mitjana i el mòdul de la velocitat mitjana.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Distància

= 400\ \text{m}

; desplaçament

= 0\ \text{m}

; rapidesa mitjana

= 8\ \text{m/s}

;

|\vec{v}_m| = 0\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Una volta completa de 400 m en $t = 50\ \text{s}$ , acabant al punt de sortida.
Distància i desplaçament. La distància recorreguda és la longitud del camí: 400 m. El desplaçament és el vector que va de la posició inicial a la final; com que acaba on ha començat, el desplaçament és 0 m.
Rapidesa mitjana. $\text{rapidesa} = \dfrac{\text{distància}}{t} = \dfrac{400}{50} = 8\ \text{m/s}$
Velocitat mitjana. $|\vec{v}_m| = \dfrac{|\Delta \vec{r}|}{t} = \dfrac{0}{50} = 0\ \text{m/s}$
Conclusió. Error típic: confondre distància amb desplaçament. En una trajectòria tancada el desplaçament és nul encara que s'hagi corregut molt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un mòbil es mou en línia recta segons l'equació x = 20 + 5t (x en metres i t en segons). Indica quin tipus de moviment és, la posició inicial i la velocitat, i calcula la posició a t = 6 s i l'instant en què passa per x = 100 m.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

MRU amb

x_0 = 20\ \text{m}

v = 5\ \text{m/s}

;

x(6) = 50\ \text{m}

; passa per

x = 100\ \text{m}

t = 16\ \text{s}

Resolució

Equació del MRU. Compares amb l'equació general $x = x_0 + v\cdot t$ : és un moviment rectilini uniforme amb $x_0 = 20\ \text{m}$ i $v = 5\ \text{m/s}$ (constant).
Posició a t = 6 s. $x = 20 + 5\cdot 6 = 50\ \text{m}$ .
Instant en què x = 100 m. $100 = 20 + 5t \;\Rightarrow\; 5t = 80 \;\Rightarrow\; t = 16\ \text{s}$
Comprovació. $20 + 5\cdot 16 = 100\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un cotxe arrenca des del repòs i assoleix 72 km/h en 5 s amb acceleració constant. Calcula l'acceleració en $\text{m/s}^{2}$ i explica què significa el valor obtingut.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

a = 4\ \text{m/s}^{2}

: la velocitat augmenta 4 m/s cada segon.

Resolució

Dades. $v_0 = 0$ , $v = 72\ \text{km/h}$ , $\Delta t = 5\ \text{s}$ .
Canvi d'unitats. $72\ \text{km/h} = 72\cdot\dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = 20\ \text{m/s}$ .
Acceleració. $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{20 - 0}{5} = 4\ \text{m/s}^{2}$
Significat. La velocitat del cotxe augmenta 4 m/s cada segon: 4 m/s al cap d'1 s, 8 m/s als 2 s, i així fins a 20 m/s als 5 s.
Compte. Error típic: dividir 72 entre 5 sense passar abans la velocitat a m/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Es deixa caure una pedra des d'un pont i triga 2 s a arribar a l'aigua (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ; menysprea el fregament de l'aire). Calcula l'altura del pont i la velocitat amb què la pedra toca l'aigua.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

h = 19{,}6\ \text{m}

;

v = 19{,}6\ \text{m/s}

cap avall

Resolució

Dades. Caiguda lliure amb $v_0 = 0$ , $t = 2\ \text{s}$ i $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Equacions de la caiguda lliure. $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ i $v = g t$ .
Altura. $h = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 2^{2} = 19{,}6\ \text{m}$ .
Velocitat d'arribada. $v = 9{,}8\cdot 2 = 19{,}6\ \text{m/s}$ , cap avall.
Comprovació. $v^{2} = 2gh = 2\cdot 9{,}8\cdot 19{,}6 = 384{,}16$ , d'on $v = 19{,}6\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

El tambor d'una rentadora centrifuga a 1200 rpm (revolucions per minut). Calcula la freqüència en hertzs, el període i la velocitat angular en rad/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

f = 20\ \text{Hz}

;

T = 0{,}05\ \text{s}

;

\omega = 40\pi \approx 125{,}7\ \text{rad/s}

Resolució

Dades. 1200 rpm: 1200 voltes cada minut (60 s).
Freqüència. $f = \dfrac{1200\ \text{voltes}}{60\ \text{s}} = 20\ \text{Hz}$ .
Període. $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\ \text{s}$ (el temps d'una volta).
Velocitat angular. $\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 20 = 40\pi\ \text{rad/s} \approx 125{,}7\ \text{rad/s}$ .
Recorda. Per passar de rpm a rad/s es multiplica per $\tfrac{2\pi}{60}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Un cos pot tenir velocitat zero i, en el mateix instant, acceleració diferent de zero.
b) En un moviment circular uniforme l'acceleració és zero perquè la rapidesa no canvia.
c) Si un cos té acceleració constant, la seva velocitat és constant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Certa. Al punt més alt d'un llançament vertical,

v = 0

però

a = g

Resolució

Exemple. Pensa en una pedra llançada cap amunt: al punt més alt la seva velocitat és zero.
Acceleració. Tot i això, l'acceleració continua sent $g$ cap avall; per això la pedra torna a baixar.
Conclusió. L'acceleració depèn de com canvia la velocitat, no del seu valor en un instant: l'afirmació és certa.

Apartat b)

Resultat

Falsa. Hi ha acceleració centrípeta

a_c = \tfrac{v^{2}}{R}

cap al centre.

Resolució

Què canvia. En el MCU la rapidesa és constant, però la direcció de la velocitat canvia contínuament.
Acceleració centrípeta. Aquest canvi de direcció correspon a una acceleració dirigida cap al centre: $a_c = \dfrac{v^{2}}{R}$ .
Conclusió. L'acceleració no és zero: l'afirmació és falsa.

Apartat c)

Resultat

Falsa. Amb acceleració constant (no nul·la) la velocitat canvia uniformement: és un MRUA.

Resolució

Significat. Acceleració constant i no nul·la vol dir que la velocitat canvia sempre la mateixa quantitat cada segon.
Tipus de moviment. És un MRUA, no un moviment a velocitat constant (només seria velocitat constant si $a = 0$ ).
Conclusió. L'afirmació és falsa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Per calcular la distància que recorre un cotxe que va a 72 km/h durant 10 s, un company escriu: d = v·t = 72·10 = 720 m. Explica quin error ha comès i dona el resultat correcte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Ha barrejat unitats (km/h amb s); el resultat correcte és

d = 200\ \text{m}

Resolució

L'error. La velocitat és en km/h i el temps en segons, de manera que el producte $72\cdot 10$ no és ni en metres ni en quilòmetres.
Canvi d'unitats. Passes la velocitat al SI: $72\ \text{km/h} = 72\cdot\dfrac{1000}{3600} = 20\ \text{m/s}$ .
Càlcul (MRU). $d = v\cdot t = 20\cdot 10 = 200\ \text{m}$ .
Comprovació. Passant el temps a hores: $10\ \text{s} = \tfrac{10}{3600}\ \text{h}$ ; $d = 72\cdot\tfrac{10}{3600} = 0{,}2\ \text{km} = 200\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un ciclista va a una velocitat constant de 36 km/h. Quant triga a recórrer 3 km? Dona el resultat en segons.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

t = 300\ \text{s}

(5 minuts)

Resolució

Dades. $v = 36\ \text{km/h}$ constant (MRU) i $d = 3\ \text{km}$ . Es demana el temps en segons.
Canvi d'unitats. $v = \dfrac{36}{3{,}6} = 10\ \text{m/s}$ i $d = 3\ \text{km} = 3000\ \text{m}$ .
MRU. El temps és la distància entre la velocitat: $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3000\ \text{m}}{10\ \text{m/s}} = 300\ \text{s}$
Conclusió. Són 5 minuts, un valor raonable per a 3 km en bici.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Dos ciclistes són en una recta separats per 300 m i comencen alhora a avançar l'un cap a l'altre. El primer va a 8 m/s i el segon a 7 m/s, tots dos a velocitat constant. Quant tarden a trobar-se i en quin punt?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Es troben al cap de

t = 20\ \text{s}

, a

160\ \text{m}

del punt de sortida del primer.

Resolució

Plantejament. Situes els dos ciclistes en un mateix eix, amb l'origen a la sortida del primer, i escrius la posició de cadascun (MRU).
Equacions de posició. El primer surt de l'origen cap a la dreta: $x_A = 8t$ . El segon surt de 300 m cap a l'esquerra (velocitat negativa): $x_B = 300 - 7t$ .
Condició de trobada. Es troben quan ocupen la mateixa posició, $x_A = x_B$ : $8t = 300 - 7t \;\Rightarrow\; 15t = 300 \;\Rightarrow\; t = 20\ \text{s}$
Punt de trobada. $x_A = 8\cdot 20 = 160\ \text{m}$ des de la sortida del primer.
Comprovació. El segon recorre $7\cdot 20 = 140\ \text{m}$ , i $160 + 140 = 300\ \text{m}$ , tota la separació inicial.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una roda gira uniformement i triga 0,5 s a fer una volta completa (període T = 0,5 s). Un punt de la vora és a 0,2 m de l'eix. Calcula la velocitat angular, la velocitat lineal d'aquell punt i la seva acceleració centrípeta. Fes servir π = 3,14.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

\omega = 12{,}56\ \text{rad/s}

;

v \approx 2{,}51\ \text{m/s}

;

a_c \approx 31{,}5\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Dades. $T = 0{,}5\ \text{s}$ , $r = 0{,}2\ \text{m}$ , $\pi = 3{,}14$ .
Velocitat angular. És l'angle (en radians) recorregut cada segon. Una volta són $2\pi$ rad i es fa en un període: $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{6{,}28}{0{,}5} = 12{,}56\ \text{rad/s}$
Velocitat lineal. Relaciona la velocitat angular amb el radi: $v = \omega r = 12{,}56\cdot 0{,}2 \approx 2{,}51\ \text{m/s}$ .
Acceleració centrípeta. Apunta cap al centre i val $a_c = \dfrac{v^{2}}{r} = \dfrac{2{,}51^{2}}{0{,}2} = \dfrac{6{,}3}{0{,}2} \approx 31{,}5\ \text{m/s}^{2}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Es xuta una pilota des del terra amb una velocitat inicial de 20 m/s que forma un angle de 30° amb l'horitzontal. Amb g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , descompon la velocitat inicial en les seves components i calcula l'altura màxima, el temps de vol i l'abast (distància horitzontal). Fes servir sin(30°) = 0,5 i cos(30°) = 0,87.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

v_{0x} = 17{,}4\ \text{m/s}

v_{0y} = 10\ \text{m/s}

;

h_{\text{màx}} = 5\ \text{m}

;

t_{\text{vol}} = 2\ \text{s}

; abast

= 34{,}8\ \text{m}

Resolució

Idea clau. En el tir parabòlic descompons la velocitat inicial en dues components independents: horitzontal (MRU) i vertical (tir vertical amb $g = 10\ \text{m/s}^{2}$ ).
Components. $v_{0x} = v_0\cos 30^\circ = 20\cdot 0{,}87 = 17{,}4\ \text{m/s}$ , constant tota l'estona; $v_{0y} = v_0\sin 30^\circ = 20\cdot 0{,}5 = 10\ \text{m/s}$ , frenada per la gravetat.
Temps de vol. La pujada dura fins que la component vertical s'anul·la: $t_s = \tfrac{v_{0y}}{g} = \tfrac{10}{10} = 1\ \text{s}$ . El temps de vol és el doble: $t = 2\ \text{s}$ .
Altura màxima. Amb la component vertical: $h_{\text{màx}} = \dfrac{v_{0y}^{2}}{2g} = \dfrac{100}{20} = 5\ \text{m}$
Abast. Horitzontalment és un MRU: $x = v_{0x}\cdot t = 17{,}4\cdot 2 = 34{,}8\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un cotxe circula a 90 km/h i el conductor frena amb una desacceleració constant de 5 $\text{m/s}^{2}$ . Calcula el temps que triga a aturar-se i la distància de frenada. Si hi ha un obstacle a 50 m del punt on comença a frenar, l'evita?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

t = 5\ \text{s}

;

d = 62{,}5\ \text{m}

; com que

62{,}5\ \text{m} > 50\ \text{m}

, no l'evita.

Resolució

Dades. $v_0 = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$ ; $a = -5\ \text{m/s}^{2}$ ; $v = 0$ en aturar-se.
Temps de frenada (MRUA). $v = v_0 + at \Rightarrow 0 = 25 - 5t \Rightarrow t = 5\ \text{s}$ .
Distància de frenada. $d = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^{2} = 25\cdot 5 - 0{,}5\cdot 5\cdot 25 = 125 - 62{,}5 = 62{,}5\ \text{m}$
Comprovació. $v^{2} = v_0^{2} + 2ad \Rightarrow 0 = 625 - 10d \Rightarrow d = 62{,}5\ \text{m}$ .
Conclusió. Com que 62,5 m > 50 m, no evita l'obstacle: hi xoca. Error típic: fer els càlculs amb 90 en lloc de 25 m/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Des del terra es llança una pilota verticalment cap amunt a 19,6 m/s (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). Calcula l'altura màxima que assoleix, el temps total que està a l'aire i els instants en què la pilota es troba a 14,7 m d'altura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

h_{\text{màx}} = 19{,}6\ \text{m}

;

t_{\text{vol}} = 4\ \text{s}

; a 14,7 m hi és a

t = 1\ \text{s}

(pujant) i

t = 3\ \text{s}

(baixant)

Resolució

Equacions. Eix cap amunt amb origen al terra: $y = 19{,}6t - 4{,}9t^{2}$ i $v = 19{,}6 - 9{,}8t$ .
Altura màxima. Quan $v = 0$ : $t = \tfrac{19{,}6}{9{,}8} = 2\ \text{s}$ , i $h_{\text{màx}} = 19{,}6\cdot 2 - 4{,}9\cdot 4 = 19{,}6\ \text{m}$ . També: $h_{\text{màx}} = \tfrac{v_0^{2}}{2g} = \tfrac{384{,}16}{19{,}6} = 19{,}6\ \text{m}$ .
Temps de vol. El doble del temps de pujada, 4 s (o resolent $y = 0$ : $19{,}6t - 4{,}9t^{2} = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{s}$ ).
Altura de 14,7 m. $14{,}7 = 19{,}6t - 4{,}9t^{2} \;\Rightarrow\; t^{2} - 4t + 3 = 0 \;\Rightarrow\; t = 1\ \text{s}\ \text{o}\ t = 3\ \text{s}$
Interpretació. A $t = 1\ \text{s}$ puja i a $t = 3\ \text{s}$ baixa; els dos instants són simètrics respecte del punt més alt ( $t = 2\ \text{s}$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Des d'un balcó situat a 4,9 m d'altura es llança una pilota horitzontalment a 6 m/s (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). Calcula el temps que triga a arribar a terra, la distància horitzontal a què cau respecte de la vertical del balcó i el mòdul i la direcció de la velocitat amb què toca el terra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

t = 1\ \text{s}

;

x = 6\ \text{m}

;

v \approx 11{,}5\ \text{m/s}

, a

58{,}5^\circ

per sota de l'horitzontal

Resolució

Descomposició. En horitzontal és un MRU ( $v_x = 6\ \text{m/s}$ ) i en vertical una caiguda lliure ( $v_{0y} = 0$ ).
Temps de caiguda. Només depèn de l'altura: $4{,}9 = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot t^{2} \Rightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = 1\ \text{s}$ .
Abast horitzontal. $x = v_x t = 6\cdot 1 = 6\ \text{m}$ .
Velocitat en arribar. $v_x = 6\ \text{m/s}$ i $v_y = g t = 9{,}8\ \text{m/s}$ cap avall: $v = \sqrt{6^{2} + 9{,}8^{2}} = \sqrt{132{,}04} \approx 11{,}5\ \text{m/s},\quad \tan\alpha = \dfrac{9{,}8}{6} \Rightarrow \alpha \approx 58{,}5^\circ$
Conclusió. Toca terra a 11,5 m/s formant 58,5° per sota de l'horitzontal. Recorda: la velocitat horitzontal no canvia el temps de caiguda.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

La Terra fa una volta completa sobre el seu eix cada 24 h i el seu radi és de 6370 km. Calcula la velocitat angular de rotació, la velocitat lineal d'un punt de l'equador (en m/s i en km/h) i l'acceleració centrípeta d'aquest punt.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\omega \approx 7{,}27\cdot10^{-5}\ \text{rad/s}

;

v \approx 463\ \text{m/s} \approx 1670\ \text{km/h}

;

a_c \approx 0{,}034\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Dades. $T = 24\cdot 3600 = 86\,400\ \text{s}$ ; $R = 6370\ \text{km} = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$ .
Velocitat angular. $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400} \approx 7{,}27\cdot10^{-5}\ \text{rad/s}$ .
Velocitat lineal a l'equador. $v = \omega R = 7{,}27\cdot10^{-5}\cdot 6{,}37\cdot10^{6} \approx 463\ \text{m/s}$ , és a dir, $463\cdot 3{,}6 \approx 1670\ \text{km/h}$ .
Acceleració centrípeta. $a_c = \omega^{2}R = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{463^{2}}{6{,}37\cdot10^{6}} \approx 0{,}034\ \text{m/s}^{2}$
Interpretació. És un valor molt petit comparat amb $g$ (uns 0,3 %), per això no notem la rotació de la Terra.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un autobús urbà surt d'una parada de Vic des del repòs, accelera uniformement fins a 12 m/s en 6 s, manté aquesta velocitat durant 10 s i després frena uniformement fins a aturar-se a la parada següent en 4 s. Calcula l'acceleració de cada tram i la distància entre les dues parades.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

a_1 = 2\ \text{m/s}^{2}

;

a_2 = 0

;

a_3 = -3\ \text{m/s}^{2}

; distància entre parades

= 180\ \text{m}

Resolució

Acceleracions. Tram 1 (MRUA): $a_1 = \tfrac{12 - 0}{6} = 2\ \text{m/s}^{2}$ . Tram 2 (MRU): $a_2 = 0$ . Tram 3 (frenada): $a_3 = \tfrac{0 - 12}{4} = -3\ \text{m/s}^{2}$ .
Àrea sota la gràfica v–t. La distància de cada tram és l'àrea sota la gràfica v–t.
Càlcul. $d_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 6 = 36\ \text{m}$ (triangle); $d_2 = 12\cdot 10 = 120\ \text{m}$ (rectangle); $d_3 = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot 4 = 24\ \text{m}$ (triangle).
Distància total. $d = 36 + 120 + 24 = 180\ \text{m}$ .
Comprovació. Tram 1 amb la fórmula del MRUA: $d_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 6^{2} = 36\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

La posició d'una partícula en el pla ve donada per r(t) = (3t, 4t - $t^{2}$ ), en unitats del SI. Determina els vectors velocitat i acceleració, el mòdul de la velocitat a t = 0 i a t = 2 s, i la posició de la partícula a t = 4 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

\vec{v}(t) = (3,\ 4 - 2t)\ \text{m/s}

;

\vec{a} = (0,\ -2)\ \text{m/s}^{2}

;

|\vec{v}(0)| = 5\ \text{m/s}

|\vec{v}(2)| = 3\ \text{m/s}

;

\vec{r}(4) = (12,\ 0)\ \text{m}

Resolució

Velocitat i acceleració. Derives cada component respecte del temps: $\vec{v}(t) = (3,\ 4 - 2t)\ \text{m/s}$ i $\vec{a} = (0,\ -2)\ \text{m/s}^{2}$ , constant.
Interpretació. Equival a dir que en $x$ hi ha un MRU de 3 m/s i en $y$ un MRUA amb $v_{0y} = 4\ \text{m/s}$ i $a_y = -2\ \text{m/s}^{2}$ (compara amb $y = v_{0y}t + \tfrac{1}{2}a_y t^{2}$ ).
Mòdul a t = 0. $\vec{v} = (3,\ 4) \Rightarrow |\vec{v}| = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{m/s}$ .
Mòdul a t = 2 s. $\vec{v} = (3,\ 0) \Rightarrow |\vec{v}| = 3\ \text{m/s}$ ; en aquest instant la component vertical s'anul·la: és el punt més alt ( $y = 8 - 4 = 4\ \text{m}$ ).
Posició a t = 4 s. $\vec{r} = (12,\ 16 - 16) = (12,\ 0)\ \text{m}$ : la partícula torna a l'altura inicial. És un moviment parabòlic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una barca que en aigua tranquil·la fa 4 m/s vol creuar un riu de 120 m d'amplada apuntant sempre perpendicularment a la riba. El corrent del riu baixa a 3 m/s. Calcula el temps que triga a creuar, la distància que el corrent la desvia riu avall i el mòdul de la velocitat de la barca respecte de la riba.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

t = 30\ \text{s}

; desviació

= 90\ \text{m}

riu avall;

v = 5\ \text{m/s}

respecte de la riba

Resolució

Composició de moviments. Són dos MRU perpendiculars: el de la barca (4 m/s, perpendicular a la riba) i el del corrent (3 m/s, paral·lel a la riba).
Temps de travessa. Només depèn de la component perpendicular: $t = \tfrac{120}{4} = 30\ \text{s}$ .
Desviació. Durant aquest temps el corrent l'arrossega $d = 3\cdot 30 = 90\ \text{m}$ riu avall.
Velocitat respecte de la riba. $v = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5\ \text{m/s},\quad \tan\alpha = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \alpha \approx 36{,}9^\circ \text{ respecte de la perpendicular}$
Comprovació. Camí recorregut: $5\cdot 30 = 150\ \text{m} = \sqrt{120^{2} + 90^{2}}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un cotxe passa per davant d'una moto de policia aturada circulant a velocitat constant de 20 m/s. En aquell mateix instant la moto arrenca des del repòs amb una acceleració constant de 4 $\text{m/s}^{2}$ i el persegueix en línia recta. Quant tarda la moto a atrapar el cotxe, quina distància ha recorregut i a quina velocitat va en atrapar-lo?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

t = 10\ \text{s}

;

d = 200\ \text{m}

;

v_{\text{moto}} = 40\ \text{m/s}

(144 km/h)

Resolució

Plantejament. Origen on arrenca la moto i $t = 0$ en aquell instant. El cotxe fa un MRU: $x_{\text{cotxe}} = 20t$ . La moto fa un MRUA des del repòs: $x_{\text{moto}} = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot t^{2} = 2t^{2}$ .
Condició d'atrapada. Parany clàssic: la moto no atrapa el cotxe quan igualen la velocitat (en aquell moment la distància entre els dos és màxima), sinó quan igualen la posició.
Càlcul del temps. $2t^{2} = 20t$ . Divideixes per $t$ (descartes $t = 0$ , l'instant de sortida): $2t = 20 \Rightarrow t = 10\ \text{s}$ .
Distància i velocitat. El cotxe, a velocitat constant, recorre $20\cdot 10 = 200\ \text{m}$ , i la moto l'atrapa allà mateix. La moto va a $v = at = 4\cdot 10 = 40\ \text{m/s}$ (144 km/h).
Comprovació. Té sentit: en atrapar un mòbil de velocitat constant sortint del repòs, la moto hi arriba amb el doble de la seva velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Des de la vora d'un penya-segat de 15 m d'altura sobre el mar es llança una pedra verticalment cap amunt amb una velocitat de 10 m/s. Amb g = 10 $\text{m/s}^{2}$ i el sentit cap amunt positiu, calcula: (a) l'altura màxima que assoleix per damunt de la vora, (b) el temps que triga a caure al mar i (c) la velocitat amb què hi arriba.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

h_{\text{màx}} = 5\ \text{m}

per damunt de la vora

Resolució

Sistema de referència. Origen a la vora i sentit cap amunt positiu: $v_0 = 10\ \text{m/s}$ , $a = -10\ \text{m/s}^{2}$ ; el mar queda a $y = -15\ \text{m}$ .
Condició. A dalt de tot la velocitat és zero; amb $v^{2} = v_0^{2} - 2gh$ i $v = 0$ :
Càlcul. $h = \dfrac{v_0^{2}}{2g} = \dfrac{100}{20} = 5\ \text{m}$

Apartat b)

Resultat

t = 3\ \text{s}

Resolució

Equació de la posició. $y = v_0 t - \tfrac{1}{2}g t^{2} = 10t - 5t^{2}$ .
Condició. La pedra toca el mar quan $y = -15\ \text{m}$ ; compte amb el signe: el mar és per sota del punt de llançament.
Càlcul. $10t - 5t^{2} = -15 \;\Rightarrow\; 5t^{2} - 10t - 15 = 0 \;\Rightarrow\; t^{2} - 2t - 3 = 0$
Conclusió. Les arrels són $t = 3\ \text{s}$ i $t = -1\ \text{s}$ ; la negativa no té sentit físic, així que $t = 3\ \text{s}$ .

Apartat c)

Resultat

v = -20\ \text{m/s}

: hi arriba a 20 m/s cap avall.

Resolució

Equació de la velocitat. $v = v_0 - g t$ .
Càlcul. $v = 10 - 10\cdot 3 = -20\ \text{m/s}$ . El signe negatiu indica que va cap avall.
Comprovació de sentit. Puja 5 m i després cau des de 20 m (els 5 m de pujada més els 15 m del penya-segat): $v = \sqrt{2\cdot 10\cdot 20} = 20\ \text{m/s}$ , per això hi arriba més ràpid que no ha sortit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un futbolista xuta una pilota des del terra amb una velocitat de 25 m/s i un angle de 37° amb l'horitzontal. Amb g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , sin(37°) = 0,6 i cos(37°) = 0,8, calcula: (a) les components de la velocitat inicial, (b) la velocitat de la pilota en el punt més alt de la trajectòria, (c) l'altura màxima i (d) l'abast.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

v_{0x} = 20\ \text{m/s}

;

v_{0y} = 15\ \text{m/s}

Resolució

Descomposició. $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ (horitzontal, constant) i $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ (vertical, frenada per la gravetat).
Càlcul. $v_{0x} = 25\cdot 0{,}8 = 20\ \text{m/s}$ ; $v_{0y} = 25\cdot 0{,}6 = 15\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

v = 20\ \text{m/s}

, horitzontal

Resolució

Parany típic. En el punt més alt la velocitat no és zero: només s'anul·la la component vertical.
Component horitzontal. Es manté constant tot el vol (MRU).
Conclusió. Al punt més alt $v = v_{0x} = 20\ \text{m/s}$ , dirigida horitzontalment.

Apartat c)

Resultat

h_{\text{màx}} = 11{,}25\ \text{m}

Resolució

Plantejament. L'altura màxima es calcula amb la component vertical, com un tir cap amunt.
Càlcul. $h_{\text{màx}} = \dfrac{v_{0y}^{2}}{2g} = \dfrac{225}{20} = 11{,}25\ \text{m}$

Apartat d)

Resultat

Abast

= 60\ \text{m}

Resolució

Temps de vol. $t = \dfrac{2v_{0y}}{g} = \dfrac{30}{10} = 3\ \text{s}$ .
Abast (MRU horitzontal). $x = v_{0x}\cdot t = 20\cdot 3 = 60\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un cotxe pren un revolt circular de 50 m de radi. En un instant determinat la seva rapidesa és de 20 m/s i augmenta a raó de 2 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Calcula l'acceleració normal (centrípeta) en aquest instant.
b) Calcula el mòdul de l'acceleració total i l'angle que forma amb el vector velocitat.
c) Si el conductor mantingués la rapidesa constant a 20 m/s, quin tipus de moviment seria i quant valdria l'acceleració?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

a_n = 8\ \text{m/s}^{2}

, cap al centre del revolt

Resolució

Components intrínseques. L'acceleració tangencial canvia la rapidesa: $a_t = 2\ \text{m/s}^{2}$ . La normal canvia la direcció.
Acceleració normal. $a_n = \dfrac{v^{2}}{R} = \dfrac{20^{2}}{50} = 8\ \text{m/s}^{2}$
Conclusió. Està dirigida cap al centre del revolt.

Apartat b)

Resultat

a = \sqrt{68} \approx 8{,}25\ \text{m/s}^{2}

, a

\approx 76^\circ

del vector velocitat

Resolució

Mòdul. Les dues components són perpendiculars: $a = \sqrt{a_t^{2} + a_n^{2}} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8{,}25\ \text{m/s}^{2}$
Angle amb la velocitat. La velocitat és tangent, i per tant $\tan\alpha = \tfrac{a_n}{a_t} = \tfrac{8}{2} = 4 \Rightarrow \alpha \approx 76^\circ$ .

Apartat c)

Resultat

Seria un MCU, amb

a = a_n = 8\ \text{m/s}^{2}

cap al centre.

Resolució

Tipus de moviment. Amb rapidesa constant en una circumferència és un moviment circular uniforme: $a_t = 0$ .
Acceleració. Només queda la normal, $a = 8\ \text{m/s}^{2}$ , perpendicular a la velocitat i cap al centre.
Compte. Error típic: pensar que amb rapidesa constant l'acceleració és zero.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un ventilador parteix del repòs i, amb acceleració angular constant, assoleix 1800 rpm en 6 s.
a) Calcula l'acceleració angular i el nombre de voltes que fa durant l'arrencada.
b) En desconnectar-lo, frena uniformement i s'atura en 30 s. Calcula l'acceleració angular de frenada i quantes voltes fa fins a aturar-se.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

\alpha = 10\pi \approx 31{,}4\ \text{rad/s}^{2}

; 90 voltes

Resolució

Velocitat angular final. $\omega = 1800\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 60\pi\ \text{rad/s} \approx 188{,}5\ \text{rad/s}$ .
Acceleració angular (MCUA). $\alpha = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = \dfrac{60\pi}{6} = 10\pi\ \text{rad/s}^{2} \approx 31{,}4\ \text{rad/s}^{2}$ .
Angle girat. $\theta = \tfrac{1}{2}\alpha t^{2} = 0{,}5\cdot 10\pi\cdot 6^{2} = 180\pi\ \text{rad} \;\Rightarrow\; \dfrac{180\pi}{2\pi} = 90\ \text{voltes}$

Apartat b)

Resultat

\alpha' = -2\pi \approx -6{,}28\ \text{rad/s}^{2}

; 450 voltes

Resolució

Acceleració de frenada. $\alpha' = \dfrac{0 - 60\pi}{30} = -2\pi\ \text{rad/s}^{2} \approx -6{,}28\ \text{rad/s}^{2}$ .
Angle girat. $\theta' = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha' t^{2} = 60\pi\cdot 30 - 0{,}5\cdot 2\pi\cdot 900 = 1800\pi - 900\pi = 900\pi\ \text{rad}$
Voltes. $\dfrac{900\pi}{2\pi} = 450\ \text{voltes}$ .
Comprovació. En frenar uniformement, la velocitat angular mitjana és $\tfrac{\omega_0}{2} = 30\pi\ \text{rad/s}$ ; en 30 s gira $900\pi$ rad.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un conductor circula a 72 km/h per una carretera d'Osona i veu un obstacle a 60 m. El seu temps de reacció és de 0,8 s i, quan frena, el cotxe desaccelera a 4 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Quina distància recorre durant el temps de reacció i quina mentre frena? Xoca contra l'obstacle?
b) Si hi xoca, a quina velocitat (en km/h) ho fa?
c) A quina velocitat màxima podria circular per aturar-se just davant de l'obstacle?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

d_r = 16\ \text{m}

;

d_f = 50\ \text{m}

; total

66\ \text{m} > 60\ \text{m}

: xoca.

Resolució

Dades. $v_0 = 72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ ; $t_r = 0{,}8\ \text{s}$ ; $a = 4\ \text{m/s}^{2}$ de frenada.
Temps de reacció (MRU). Durant la reacció el cotxe va a velocitat constant: $d_r = 20\cdot 0{,}8 = 16\ \text{m}$ .
Frenada (MRUA). $d_f = \dfrac{v_0^{2}}{2a} = \dfrac{400}{8} = 50\ \text{m}$
Conclusió. Distància total: $16 + 50 = 66\ \text{m} > 60\ \text{m}$ , així que xoca.

Apartat b)

Resultat

v \approx 6{,}9\ \text{m/s} \approx 25\ \text{km/h}

Resolució

Distància frenant. Quan arriba a l'obstacle ha frenat durant $60 - 16 = 44\ \text{m}$ .
Equació independent del temps. $v^{2} = v_0^{2} - 2ad = 400 - 2\cdot 4\cdot 44 = 48 \;\Rightarrow\; v \approx 6{,}9\ \text{m/s}$
Conclusió. $6{,}9\cdot 3{,}6 \approx 25\ \text{km/h}$ .

Apartat c)

Resultat

v_{\text{màx}} \approx 18{,}9\ \text{m/s} \approx 68\ \text{km/h}

Resolució

Condició. La distància de reacció més la de frenada ha de ser 60 m: $0{,}8v + \dfrac{v^{2}}{2\cdot 4} = 60$ .
Equació de segon grau. $v^{2} + 6{,}4v - 480 = 0 \;\Rightarrow\; v = \dfrac{-6{,}4 + \sqrt{40{,}96 + 1920}}{2} = \dfrac{-6{,}4 + 44{,}28}{2} \approx 18{,}9\ \text{m/s}$
Canvi d'unitats. $18{,}9\cdot 3{,}6 \approx 68\ \text{km/h}$ .
Comprovació. $18{,}9\cdot 0{,}8 + \tfrac{18{,}9^{2}}{8} = 15{,}1 + 44{,}7 \approx 60\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Es xuta una pilota des del terra a 20 m/s amb un angle de 53° respecte de l'horitzontal (sin 53° = 0,8; cos 53° = 0,6; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). A 30 m del punt de xut hi ha un mur de 3 m d'alçada.
a) Passa la pilota per sobre del mur? A quina altura hi passa?
b) Calcula el mòdul de la velocitat de la pilota en passar sobre el mur i indica si en aquell moment puja o baixa.
c) En quin altre instant la pilota es troba a la mateixa altura que quan passa sobre el mur?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

Sí, hi passa per sobre, a

y \approx 9{,}4\ \text{m}

del terra.

Resolució

Components inicials. $v_{0x} = 20\cdot 0{,}6 = 12\ \text{m/s}$ ; $v_{0y} = 20\cdot 0{,}8 = 16\ \text{m/s}$ .
Temps fins al mur. Horitzontalment és un MRU: $t = \tfrac{30}{12} = 2{,}5\ \text{s}$ .
Altura en aquest instant. $y = 16\cdot 2{,}5 - 4{,}9\cdot 2{,}5^{2} = 40 - 30{,}6 \approx 9{,}4\ \text{m}$
Conclusió. Com que 9,4 m > 3 m, passa per sobre del mur, a 9,4 m del terra.

Apartat b)

Resultat

v \approx 14{,}7\ \text{m/s}

; la pilota ja baixa (

v_y = -8{,}5\ \text{m/s}

Resolució

Components de la velocitat. $v_x = 12\ \text{m/s}$ ; $v_y = 16 - 9{,}8\cdot 2{,}5 = -8{,}5\ \text{m/s}$ .
Mòdul. $v = \sqrt{12^{2} + 8{,}5^{2}} = \sqrt{216{,}25} \approx 14{,}7\ \text{m/s}$ .
Conclusió. La component vertical és negativa: la pilota ja baixa.

Apartat c)

Resultat

t' \approx 0{,}77\ \text{s}

(quan puja)

Resolució

Temps de vol. $t_v = \dfrac{2\cdot 16}{9{,}8} \approx 3{,}27\ \text{s}$ .
Simetria de la paràbola. L'altra vegada que és a 9,4 m és a $t' = t_v - 2{,}5 \approx 3{,}27 - 2{,}5 \approx 0{,}77\ \text{s}$ , quan puja.
Comprovació. $y(0{,}765) = 16\cdot 0{,}765 - 4{,}9\cdot 0{,}765^{2} \approx 12{,}2 - 2{,}9 = 9{,}4\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Des de 60 m d'altura es deixa caure una pedra i, en el mateix instant i en la mateixa vertical, se'n llança una altra des del terra cap amunt a 20 m/s (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quan i a quina altura es creuen?
b) Quina velocitat té cada pedra en aquest instant?
c) La segona pedra ha arribat al seu punt més alt abans de creuar-se amb la primera? Justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

Es creuen a

t = 3\ \text{s}

, a

y = 15{,}9\ \text{m}

del terra.

Resolució

Equacions. Origen al terra i eix cap amunt. Pedra 1: $y_1 = 60 - 4{,}9t^{2}$ . Pedra 2: $y_2 = 20t - 4{,}9t^{2}$ .
Condició d'encreuament. $y_1 = y_2$ : $60 - 4{,}9t^{2} = 20t - 4{,}9t^{2} \Rightarrow 60 = 20t \Rightarrow t = 3\ \text{s}$ .
Altura. $y = 60 - 4{,}9\cdot 9 = 15{,}9\ \text{m}$ .
Comprovació. $y_2(3) = 60 - 44{,}1 = 15{,}9\ \text{m}$ , igual que $y_1(3)$ .

Apartat b)

Resultat

v_1 = -29{,}4\ \text{m/s}

;

v_2 = -9{,}4\ \text{m/s}

(totes dues cap avall)

Resolució

Equacions de velocitat. $v_1 = -9{,}8t$ i $v_2 = 20 - 9{,}8t$ .
Càlcul a t = 3 s. $v_1 = -9{,}8\cdot 3 = -29{,}4\ \text{m/s}$ (cap avall); $v_2 = 20 - 29{,}4 = -9{,}4\ \text{m/s}$ (també cap avall).

Apartat c)

Resultat

Sí: arriba al punt més alt a

t \approx 2{,}04\ \text{s} < 3\ \text{s}

Resolució

Punt més alt de la pedra 2. Quan $v_2 = 0$ : $t = \tfrac{20}{9{,}8} \approx 2{,}04\ \text{s}$ , a una altura de $\tfrac{20^{2}}{2\cdot 9{,}8} \approx 20{,}4\ \text{m}$ .
Comparació. Com que 2,04 s < 3 s, quan es creuen la segona pedra ja està baixant.
Conclusió. Concorda amb el signe negatiu de $v_2$ trobat a l'apartat b.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Dues politges estan unides per una corretja que no llisca. La politja petita té 5 cm de radi i gira a 600 rpm; la gran té 20 cm de radi.
a) Calcula la velocitat angular de la politja petita en rad/s i la velocitat lineal de la corretja.
b) Calcula la velocitat angular de la politja gran en rad/s i en rpm.
c) Compara l'acceleració centrípeta d'un punt de la vora de cada politja.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

\omega_1 = 20\pi \approx 62{,}8\ \text{rad/s}

;

v \approx 3{,}14\ \text{m/s}

Resolució

Canvi d'unitats. $\omega_1 = 600\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 20\pi\ \text{rad/s} \approx 62{,}8\ \text{rad/s}$ .
Velocitat lineal. La de la vora (i la de la corretja): $v = \omega_1 r_1 = 62{,}8\cdot 0{,}05 \approx 3{,}14\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

\omega_2 \approx 15{,}7\ \text{rad/s} = 150\ \text{rpm}

Resolució

Corretja sense lliscar. La vora de les dues politges té la mateixa velocitat lineal: $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$ .
Càlcul. $\omega_2 = \dfrac{v}{r_2} = \dfrac{3{,}14}{0{,}20} \approx 15{,}7\ \text{rad/s}$ , és a dir, $15{,}7\cdot\dfrac{60}{2\pi} = 150\ \text{rpm}$ .
Comprovació. El radi és 4 vegades més gran, així que la velocitat angular és 4 vegades més petita: $\tfrac{600}{4} = 150\ \text{rpm}$ .

Apartat c)

Resultat

a_{c1} \approx 197\ \text{m/s}^{2}

;

a_{c2} \approx 49{,}3\ \text{m/s}^{2}

: la petita en té 4 vegades més.

Resolució

Acceleració centrípeta. $a_c = \dfrac{v^{2}}{r}$ , amb la mateixa $v$ per a les dues vores.
Càlcul. $a_{c1} = \dfrac{3{,}14^{2}}{0{,}05} \approx 197\ \text{m/s}^{2}$ ; $a_{c2} = \dfrac{3{,}14^{2}}{0{,}20} \approx 49{,}3\ \text{m/s}^{2}$ .
Conclusió. La politja petita té una acceleració centrípeta 4 vegades més gran, perquè amb la mateixa velocitat lineal el radi és 4 vegades més petit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Un cotxe A circula a 30 m/s i, a 20 m per davant seu, va un cotxe B a 20 m/s constants en el mateix sentit. En aquest instant el conductor d'A frena amb una acceleració constant de -2 $\text{m/s}^{2}$ .
a) Xocarà amb B? Si és que sí, calcula l'instant del xoc i la velocitat d'A en aquell moment.
b) Quina és la distància inicial mínima perquè no hi hagi xoc? Si la distància inicial fos de 100 m, quina seria la separació mínima entre els cotxes i en quin instant es produiria?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

Sí que xoca, a

t = 5 - \sqrt{5} \approx 2{,}76\ \text{s}

, amb

v_A \approx 24{,}5\ \text{m/s}

Resolució

Moviment relatiu. A respecte de B té velocitat inicial $30 - 20 = 10\ \text{m/s}$ i acceleració $-2\ \text{m/s}^{2}$ ; s'hi acosta una distància $\Delta x(t) = 10t - t^{2}$ .
Condició de xoc. $\Delta x = 20\ \text{m}$ : $t^{2} - 10t + 20 = 0 \;\Rightarrow\; t = 5 \pm \sqrt{5}$
Instant del xoc. El primer instant és $t = 5 - \sqrt{5} \approx 2{,}76\ \text{s}$ .
Velocitat d'A. $v_A = 30 - 2\cdot 2{,}76 \approx 24{,}5\ \text{m/s}$ , encara més ràpid que B: el xoc és real.

Apartat b)

Resultat

Distància mínima: 25 m. Amb 100 m, la separació mínima és

75\ \text{m}

, a

t = 5\ \text{s}

Resolució

Aproximació màxima. A s'acosta a B mentre va més de pressa; l'aproximació màxima s'assoleix quan les velocitats s'igualen: $10 - 2t = 0 \Rightarrow t = 5\ \text{s}$ .
Càlcul. $\Delta x_{\text{màx}} = 10\cdot 5 - 5^{2} = 25\ \text{m}$ . Cal una distància inicial superior a 25 m (a 25 m just es toquen).
Cas de 100 m. La separació mínima és $100 - 25 = 75\ \text{m}$ , a $t = 5\ \text{s}$ , quan A ja va a 20 m/s com B.
Compte. Error típic: igualar només velocitats per saber si hi ha xoc; cal comparar posicions.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Es dispara un projectil des del terra amb una velocitat de 30 m/s (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ ) per encertar un objectiu situat a 60 m en horitzontal i a 10 m d'altura.
a) Demostra que hi ha dos angles de tir possibles i calcula'ls (pista: escriu y = x·tg θ - g· $x^{2}$ ·(1 + tg²θ)/(2v₀²) i resol en tg θ).
b) Per a cada angle, troba el temps de vol fins a l'objectiu i digues si el projectil hi arriba pujant o baixant.
c) Calcula el mòdul de la velocitat d'impacte en els dos casos i comprova que coincideix amb el que dona l'energia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

\theta_1 \approx 67{,}1^\circ

\theta_2 \approx 32{,}4^\circ

Resolució

Equació de la trajectòria. Amb $u = \tan\theta$ : $y = xu - \dfrac{g x^{2}(1 + u^{2})}{2v_0^{2}}$ .
Substitució. Amb $x = 60$ , $y = 10$ , $v_0 = 30$ : $10 = 60u - \dfrac{10\cdot 3600\,(1 + u^{2})}{2\cdot 900} = 60u - 20(1 + u^{2})$
Equació de segon grau. $2u^{2} - 6u + 3 = 0 \Rightarrow u = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}}{2} = 2{,}37\ \text{o}\ 0{,}634$ .
Conclusió. El discriminant és positiu: hi ha dues solucions reals, $\theta_1 = 67{,}1^\circ$ i $\theta_2 = 32{,}4^\circ$ .

Apartat b)

Resultat

32{,}4^\circ

t \approx 2{,}37\ \text{s}

;

67{,}1^\circ

t \approx 5{,}14\ \text{s}

. En tots dos casos hi arriba baixant.

Resolució

Temps fins a l'objectiu. $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$ : per a 32,4°, $t = \dfrac{60}{30\cdot 0{,}844} = 2{,}37\ \text{s}$ ; per a 67,1°, $t = \dfrac{60}{30\cdot 0{,}389} = 5{,}14\ \text{s}$ .
Component vertical. $v_y = v_0\sin\theta - 10t$ : $-7{,}6\ \text{m/s}$ (32,4°) i $-23{,}7\ \text{m/s}$ (67,1°).
Conclusió. Tots dos valors són negatius: l'objectiu s'assoleix baixant.

Apartat c)

Resultat

|\vec{v}| \approx 26{,}5\ \text{m/s}

en tots dos casos

Resolució

Mòdul. $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}} = 26{,}5\ \text{m/s}$ en tots dos casos (angles d'impacte de 16,7° i 63,8° sota l'horitzontal).
Conservació de l'energia. $v^{2} = v_0^{2} - 2gy = 900 - 200 = 700 \;\Rightarrow\; v = 26{,}5\ \text{m/s}$
Conclusió. Coincideix: el mòdul de la velocitat depèn només de l'altura, no de l'angle.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

La posició d'una partícula és r(t) = ( $t^{2}$ , 2t) en metres, amb t en segons.
a) Troba l'equació de la trajectòria y(x) i digues quina corba és.
b) Calcula v(t), a(t) i l'instant en què el mòdul de la velocitat és mínim.
c) Determina les components tangencial i normal de l'acceleració com a funció de t ( $a_{t}$ = a·v/|v|; $a_{n}$ = √( $a^{2}$ - $a_{t}$ ²)) i el radi de curvatura R = $\tfrac{v^{2}}{a_{n}}$ a t = 1 s i a t = 2 s.
d) Interpreta com evoluciona R amb el temps.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

x = \dfrac{y^{2}}{4}

: una paràbola d'eix horitzontal.

Resolució

Eliminar el temps. De $y = 2t$ surt $t = \tfrac{y}{2}$ .
Substitució. $x = t^{2} = \dfrac{y^{2}}{4}$ .
Conclusió. És una paràbola amb l'eix horitzontal (l'eix OX) i el vèrtex a l'origen.

Apartat b)

Resultat

\vec{v} = (2t,\ 2)\ \text{m/s}

;

\vec{a} = (2,\ 0)\ \text{m/s}^{2}

;

|\vec{v}|

mínim a

t = 0

(

2\ \text{m/s}

)

Resolució

Derivades. $\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = (2t,\ 2)\ \text{m/s}$ i $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = (2,\ 0)\ \text{m/s}^{2}$ , constant.
Mòdul. $|\vec{v}| = \sqrt{4t^{2} + 4} = 2\sqrt{t^{2} + 1}$ , que és mínim quan $t = 0$ .
Conclusió. A $t = 0$ , $v = 2\ \text{m/s}$ , perpendicular a l'acceleració: és el vèrtex de la paràbola.

Apartat c)

Resultat

a_t = \tfrac{2t}{\sqrt{t^{2}+1}}

a_n = \tfrac{2}{\sqrt{t^{2}+1}}

R = 2(t^{2}+1)^{3/2}

. A

t = 1\ \text{s}

a_t = a_n \approx 1{,}41\ \text{m/s}^{2}

R \approx 5{,}66\ \text{m}

. A

t = 2\ \text{s}

a_t \approx 1{,}79\ \text{m/s}^{2}

a_n \approx 0{,}894\ \text{m/s}^{2}

R \approx 22{,}4\ \text{m}

Resolució

Acceleració tangencial. $\vec{a}\cdot\vec{v} = 4t$ i $|\vec{v}| = 2\sqrt{t^{2} + 1}$ , per tant $a_t = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|} = \dfrac{2t}{\sqrt{t^{2} + 1}}$
Acceleració normal. $a_n = \sqrt{a^{2} - a_t^{2}} = \sqrt{4 - \dfrac{4t^{2}}{t^{2} + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{t^{2} + 1}}$
Radi de curvatura. $R = \dfrac{v^{2}}{a_n} = \dfrac{4(t^{2} + 1)}{2/\sqrt{t^{2} + 1}} = 2(t^{2} + 1)^{3/2}$
Valors. A $t = 1\ \text{s}$ : $a_t = a_n = \sqrt{2} \approx 1{,}41\ \text{m/s}^{2}$ , $R = 2\cdot 2^{3/2} \approx 5{,}66\ \text{m}$ . A $t = 2\ \text{s}$ : $a_t \approx 1{,}79\ \text{m/s}^{2}$ , $a_n \approx 0{,}894\ \text{m/s}^{2}$ , $R = 2\cdot 5^{3/2} \approx 22{,}4\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

R

creix amb el temps: la trajectòria és cada cop més recta (mínim

R = 2\ \text{m}

al vèrtex,

t = 0

Resolució

Evolució de R. $R = 2(t^{2} + 1)^{3/2}$ augmenta amb $t$ : la trajectòria és cada cop més recta.
Interpretació. L'acceleració, constant, es va alineant amb la velocitat: $a_t \to 2\ \text{m/s}^{2}$ i $a_n \to 0$ .
Conclusió. Al vèrtex ( $t = 0$ ) $R = 2\ \text{m}$ és el mínim: és on la paràbola es corba més.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Dos corredors A i B surten alhora del mateix punt d'una pista circular de 400 m de longitud, amb rapideses constants de 5 m/s i 6 m/s respectivament.
a) Si corren en el mateix sentit, quan es tornen a trobar per primer cop i quantes voltes ha fet cadascun?
b) Si corren en sentits oposats, quan es creuen per primer cop i a quina distància del punt de sortida, mesurada per la pista en el sentit d'A?
c) En el cas b), quants cops es creuen en 20 minuts?
d) En el cas a), quan són per primer cop en punts diametralment oposats? Quines són les velocitats angulars de cadascun?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

t = 400\ \text{s}

; A fa 5 voltes i B en fa 6.

Resolució

Velocitat relativa. En el mateix sentit, B guanya $6 - 5 = 1\ \text{m/s}$ a A.
Condició de retrobament. S'hi retroba quan B li treu una volta completa (400 m): $t = \tfrac{400}{1} = 400\ \text{s}$ .
Voltes. A ha recorregut $5\cdot 400 = 2000\ \text{m}$ = 5 voltes i B $6\cdot 400 = 2400\ \text{m}$ = 6 voltes.

Apartat b)

Resultat

t = \tfrac{400}{11} \approx 36{,}4\ \text{s}

, a

181{,}8\ \text{m}

de la sortida en el sentit d'A

Resolució

Velocitat relativa. En sentits oposats es van acostant a $5 + 6 = 11\ \text{m/s}$ .
Condició de creuament. Es creuen quan entre tots dos sumen 400 m: $t = \tfrac{400}{11} \approx 36{,}4\ \text{s}$ .
Posició. $5\cdot 36{,}4 = 181{,}8\ \text{m}$ des de la sortida en el sentit d'A.
Comprovació. B ha fet 218,2 m en l'altre sentit, i $181{,}8 + 218{,}2 = 400\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

33 creuaments (l'últim just als 20 min)

Resolució

Periodicitat. Hi ha un creuament cada $\tfrac{400}{11}\ \text{s}$ .
Càlcul. En $20\ \text{min} = 1200\ \text{s}$ : $\dfrac{1200}{400/11} = 33$ .
Conclusió. Es creuen 33 cops; l'últim cau just als 20 min.

Apartat d)

Resultat

t = 200\ \text{s}

;

\omega_A = \tfrac{\pi}{40} \approx 0{,}0785\ \text{rad/s}

\omega_B = \tfrac{3\pi}{100} \approx 0{,}0942\ \text{rad/s}

Resolució

Condició. Són diametralment oposats quan la diferència de camins és mitja pista, 200 m: $t = \tfrac{200}{1} = 200\ \text{s}$ .
Velocitats angulars. Amb $R = \tfrac{400}{2\pi}$ : $\omega = \tfrac{v}{R}$ , així que $\omega_A = \tfrac{2\pi\cdot 5}{400} = \tfrac{\pi}{40} \approx 0{,}0785\ \text{rad/s}$ i $\omega_B = \tfrac{2\pi\cdot 6}{400} = \tfrac{3\pi}{100} \approx 0{,}0942\ \text{rad/s}$ .
Comprovació. $(\omega_B - \omega_A)\cdot 200 = 0{,}0157\cdot 200 = \pi\ \text{rad}$ : mitja volta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Una barca pot navegar a 5 m/s respecte de l'aigua en un riu de 200 m d'amplada, on el corrent és de 3 m/s.
a) Quin angle respecte de la perpendicular a les ribes ha de formar la proa perquè la barca arribi just davant del punt de sortida? Quant triga a creuar?
b) Si apunta perpendicularment a la riba, quant triga i quina desviació riu avall pateix?
c) Si el corrent fos de 6 m/s, seria possible arribar davant del punt de sortida? Quin angle de proa minimitza la desviació i quin és el valor d'aquesta desviació mínima?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\theta \approx 36{,}9^\circ

riu amunt respecte de la perpendicular;

t = 50\ \text{s}

Resolució

Composició de velocitats. La velocitat respecte de la riba és la suma vectorial de la de la barca respecte de l'aigua i la del corrent.
Anul·lar el corrent. La component de la barca paral·lela a la riba ha de compensar el corrent: $5\sin\theta = 3 \Rightarrow \sin\theta = 0{,}6 \Rightarrow \theta = 36{,}9^\circ$ cap a amunt.
Temps. La component perpendicular és $5\cos\theta = 4\ \text{m/s}$ , i $t = \tfrac{200}{4} = 50\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

t = 40\ \text{s}

; desviació

= 120\ \text{m}

riu avall

Resolució

Temps. Tota la velocitat de la barca és perpendicular: $t = \tfrac{200}{5} = 40\ \text{s}$ .
Desviació. El corrent l'arrossega $3\cdot 40 = 120\ \text{m}$ riu avall.
Velocitat respecte de la riba. $\sqrt{5^{2} + 3^{2}} \approx 5{,}83\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

No és possible (5 < 6). La desviació mínima és

40\sqrt{11} \approx 132{,}7\ \text{m}

, amb la proa a

56{,}4^\circ

de la perpendicular (

33{,}6^\circ

de la riba) riu amunt.

Resolució

Possibilitat. Amb un corrent de 6 m/s la barca no pot compensar-lo, perquè la seva velocitat (5 m/s) és menor.
Desviació en funció de l'angle. Si la proa forma un angle $\theta$ amb la perpendicular (riu amunt): $d(\theta) = 200\cdot\dfrac{6 - 5\sin\theta}{5\cos\theta}$
Mínim. S'obté quan la velocitat de la barca respecte de l'aigua és perpendicular a la velocitat respecte de la riba: $\cos\varphi = \tfrac{5}{6}$ , amb $\varphi$ l'angle respecte de la riba, $\varphi = 33{,}6^\circ$ (és a dir, $56{,}4^\circ$ respecte de la perpendicular).
Càlcul. La component perpendicular és $5\cos 56{,}4^\circ = 2{,}76\ \text{m/s}$ , $t = 72{,}4\ \text{s}$ i $d_{\text{mín}} = \dfrac{200\sqrt{36 - 25}}{5} = 40\sqrt{11} \approx 132{,}7\ \text{m}$
Interpretació. És més que en b, però és el millor possible amb aquest corrent; apuntar perpendicularment ( $\theta = 0$ ) donaria 240 m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Un mòbil surt del repòs de x = 0 amb una acceleració que varia amb el temps segons a(t) = 12 - 3t (unitats SI). Recorda que la variació de velocitat és l'àrea sota la gràfica a-t (la integral de a) i que la variació de posició és l'àrea sota la gràfica v-t.
a) Obtén v(t) i x(t).
b) En quin instant la velocitat és màxima? Quant val?
c) En quin instant s'atura momentàniament i en quina posició?
d) Calcula la posició i la velocitat a t = 10 s i la distància total recorreguda en aquests 10 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

v(t) = 12t - 1{,}5t^{2}\ \text{m/s}

;

x(t) = 6t^{2} - 0{,}5t^{3}\ \text{m}

Resolució

Integració de a(t). La variació de velocitat és l'àrea sota la gràfica a–t: $v(t) = \displaystyle\int_0^t (12 - 3t)\,dt = 12t - 1{,}5t^{2}$ , amb $v(0) = 0$ .
Integració de v(t). $x(t) = \displaystyle\int_0^t v\,dt = 6t^{2} - 0{,}5t^{3}$ , amb $x(0) = 0$ .

Apartat b)

Resultat

t = 4\ \text{s}

v_{\text{màx}} = 24\ \text{m/s}

Resolució

Condició de màxim. La velocitat és màxima quan $a = \tfrac{dv}{dt} = 0$ : $12 - 3t = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{s}$ .
Càlcul. $v_{\text{màx}} = 12\cdot 4 - 1{,}5\cdot 16 = 48 - 24 = 24\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

t = 8\ \text{s}

, a

x = 128\ \text{m}

Resolució

Condició. $v = 0$ : $t(12 - 1{,}5t) = 0$ , així que $t = 0$ o $t = 8\ \text{s}$ .
Posició. $x(8) = 6\cdot 64 - 0{,}5\cdot 512 = 384 - 256 = 128\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

x(10) = 100\ \text{m}

;

v(10) = -30\ \text{m/s}

; distància recorreguda

= 156\ \text{m}

Resolució

Valors a t = 10 s. $v = 120 - 150 = -30\ \text{m/s}$ i $x = 600 - 500 = 100\ \text{m}$ .
Canvi de sentit. El mòbil arriba a 128 m (a $t = 8\ \text{s}$ ) i torna enrere $128 - 100 = 28\ \text{m}$ .
Distància total. $128 + 28 = 156\ \text{m}$ (no 100 m, que és el desplaçament).
Compte. Error típic: confondre desplaçament i distància recorreguda quan hi ha canvi de sentit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un avió vola horitzontalment a 80 m/s a 500 m d'altura i vol deixar caure un paquet sobre un vehicle que circula per terra a 20 m/s (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , sense fregament amb l'aire).
a) Quant de temps triga a caure el paquet?
b) A quina distància horitzontal darrere del vehicle ha de ser l'avió en deixar anar el paquet si el vehicle va en el mateix sentit que l'avió?
c) I si el vehicle ve cap a l'avió, a quina distància horitzontal per davant?
d) En el cas b), calcula el mòdul i l'angle de la velocitat d'impacte respecte del terra, i el mòdul de la velocitat del paquet respecte del vehicle en tocar.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

t = 10\ \text{s}

Resolució

Moviment vertical. El paquet surt amb velocitat vertical nul·la: és una caiguda lliure des de 500 m.
Càlcul. $500 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot t^{2} = 5t^{2} \Rightarrow t = 10\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

600\ \text{m}

darrere del vehicle

Resolució

Moviment horitzontal. El paquet conserva els 80 m/s horitzontals i recorre $80\cdot 10 = 800\ \text{m}$ ; el vehicle fa $20\cdot 10 = 200\ \text{m}$ .
Condició. Perquè coincideixin, l'avió ha d'estar $800 - 200 = 600\ \text{m}$ darrere del vehicle.
Comprovació. Amb la velocitat relativa horitzontal: $60\ \text{m/s}\cdot 10\ \text{s} = 600\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

1000\ \text{m}

per davant de l'avió

Resolució

Vehicle que s'acosta. Ara les distàncies se sumen: $800 + 200 = 1000\ \text{m}$ .
Comprovació. Velocitat relativa $80 + 20 = 100\ \text{m/s}$ durant 10 s: 1000 m.

Apartat d)

Resultat

|\vec{v}| \approx 128\ \text{m/s}

, a

51{,}3^\circ

sota l'horitzontal; respecte del vehicle,

\approx 117\ \text{m/s}

Resolució

Components. $v_y = g t = 100\ \text{m/s}$ cap avall i $v_x = 80\ \text{m/s}$ .
Respecte del terra. $|\vec{v}| = \sqrt{80^{2} + 100^{2}} \approx 128\ \text{m/s},\quad \alpha = \arctan\dfrac{100}{80} \approx 51{,}3^\circ\ \text{sota l'horitzontal}$
Respecte del vehicle. $v_{x,\text{rel}} = 80 - 20 = 60\ \text{m/s}$ i $v_y = 100\ \text{m/s}$ : $\sqrt{3600 + 10\,000} \approx 117\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un ascensor puja amb una velocitat constant de 3 m/s. Del sostre de la cabina, a 2,5 m del terra de la cabina, es desprèn un cargol (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quant triga el cargol a tocar el terra de la cabina?
b) Calcula la velocitat del cargol en tocar el terra, respecte de l'ascensor i respecte del terra del carrer, i quant ha pujat l'ascensor durant la caiguda.
c) Repeteix l'apartat a) si l'ascensor puja accelerant a 2 $\text{m/s}^{2}$ (en el moment del despreniment l'ascensor porta 3 m/s).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

t \approx 0{,}707\ \text{s}

Resolució

Sistema de referència. Convé treballar en el sistema de l'ascensor, que va a velocitat constant (inercial).
Caiguda. En aquest sistema el cargol parteix del repòs i cau 2,5 m amb $g = 10\ \text{m/s}^{2}$ : $2{,}5 = 5t^{2} \Rightarrow t \approx 0{,}707\ \text{s}$ .
Comprovació. El temps només depèn de l'acceleració relativa (10 $\text{m/s}^{2}$ ) i no de la velocitat constant de l'ascensor.

Apartat b)

Resultat

Respecte de l'ascensor:

7{,}07\ \text{m/s}

cap avall; respecte del carrer:

4{,}07\ \text{m/s}

cap avall; l'ascensor puja

2{,}12\ \text{m}

Resolució

Respecte de l'ascensor. $v = 10\cdot 0{,}707 = 7{,}07\ \text{m/s}$ cap avall.
Respecte del carrer. La velocitat inicial del cargol és +3 m/s (puja amb l'ascensor): $v = 3 - 10\cdot 0{,}707 = -4{,}07\ \text{m/s}$ , és a dir, 4,07 m/s cap avall.
Desplaçament de l'ascensor. $3\cdot 0{,}707 \approx 2{,}12\ \text{m}$ cap amunt.

Apartat c)

Resultat

t \approx 0{,}645\ \text{s}

Resolució

Acceleració relativa. El cargol té $-10\ \text{m/s}^{2}$ i l'ascensor $+2\ \text{m/s}^{2}$ ; respecte de l'ascensor, l'acceleració del cargol és $-12\ \text{m/s}^{2}$ .
Càlcul. $2{,}5 = \tfrac{1}{2}\cdot 12\cdot t^{2} = 6t^{2} \Rightarrow t \approx 0{,}645\ \text{s}$ (la velocitat relativa en tocar és $12\cdot 0{,}645 \approx 7{,}75\ \text{m/s}$ ).
Interpretació. Cau abans, perquè «el terra puja a trobar-lo».

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

En una pràctica de laboratori es determina g deixant caure una bola des del repòs. Es mesura una altura de caiguda h = 1,50 ± 0,01 m i un temps de caiguda t = 0,553 ± 0,005 s.
a) Calcula g a partir de h = ½·g· $t^{2}$ .
b) En una magnitud g = 2h/ $t^{2}$ , l'error relatiu màxim és Δg/g = Δh/h + 2·Δt/t. Calcula'l i expressa el resultat com g ± Δg amb les xifres significatives adequades.
c) És compatible amb el valor 9,81 $\text{m/s}^{2}$ ? Quina de les dues mesures contribueix més a la incertesa?
d) Quin Δt hauria de tenir el cronòmetre perquè l'error relatiu de g fos inferior a l'1 % mantenint Δh = 0,01 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Dades. $h = 1{,}50\ \text{m}$ , $t = 0{,}553\ \text{s}$ , caiguda des del repòs.
Càlcul. $g = \dfrac{2h}{t^{2}} = \dfrac{2\cdot 1{,}50}{0{,}553^{2}} \approx 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$

Apartat b)

Resultat

\tfrac{\Delta g}{g} \approx 2{,}5\ \%

;

g = (9{,}8 \pm 0{,}2)\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Errors relatius. $\tfrac{\Delta h}{h} = \tfrac{0{,}01}{1{,}50} = 0{,}0067$ (0,67 %) i $\tfrac{2\Delta t}{t} = \tfrac{2\cdot 0{,}005}{0{,}553} = 0{,}0181$ (1,81 %).
Suma. $\tfrac{\Delta g}{g} = 0{,}0247$ , és a dir, uns 2,5 %, i $\Delta g = 9{,}81\cdot 0{,}0247 \approx 0{,}24\ \text{m/s}^{2}$ .
Xifres significatives. La incertesa es dona amb una xifra significativa i el valor s'arrodoneix al mateix decimal: $g = (9{,}8 \pm 0{,}2)\ \text{m/s}^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

Sí, és compatible; la mesura del temps és la que contribueix més a la incertesa.

Resolució

Compatibilitat. L'interval [9,6; 10,0] $\text{m/s}^{2}$ conté 9,81: és compatible.
Contribució principal. La major contribució ve del temps (1,81 % davant 0,67 %), perquè $t$ apareix al quadrat i l'error absolut de 5 ms és gran respecte de 0,55 s.

Apartat d)

Resultat

\Delta t < 0{,}0009\ \text{s}

(uns 0,9 ms)

Resolució

Condició. $\tfrac{\Delta h}{h} + \tfrac{2\Delta t}{t} < 0{,}01$ , i per tant $\tfrac{2\Delta t}{t} < 0{,}01 - 0{,}0067 = 0{,}0033$ .
Càlcul. $\Delta t < \dfrac{0{,}0033\cdot 0{,}553}{2} \approx 0{,}0009\ \text{s}$ , és a dir, uns 0,9 ms.
Interpretació. Cal un cronòmetre electrònic amb fotocèl·lula, no manual.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Una atleta llança un pes des d'una plataforma situada 20 m per sobre del terra amb una velocitat inicial de 15 m/s (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , sense fregament).
a) Calcula l'abast horitzontal si el llança amb un angle de 45° per sobre de l'horitzontal.
b) Es pot demostrar que, en llançar des d'una altura H, l'angle que maximitza l'abast compleix tg θ = $v_{0}$ /√( $v_{0}$ ² + 2gH) i que l'abast màxim val R = ( $\tfrac{v_{0}}{g}$ )·√( $v_{0}$ ² + 2gH). Calcula θ i R.
c) Compara amb el llançament horitzontal i explica per què l'angle òptim és inferior a 45°.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

Abast

\approx 35{,}3\ \text{m}

Resolució

Components. A 45°: $v_x = v_y = 15\cos 45^\circ \approx 10{,}6\ \text{m/s}$ .
Temps de vol. Origen a la plataforma i eix cap amunt; toca terra a $y = -20\ \text{m}$ : $-20 = 10{,}6t - 5t^{2} \;\Rightarrow\; t = \dfrac{10{,}6 + \sqrt{112{,}5 + 400}}{10} \approx 3{,}32\ \text{s}$
Abast. $x = 10{,}6\cdot 3{,}32 \approx 35{,}3\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

\theta \approx 31{,}0^\circ

;

R = 37{,}5\ \text{m}

Resolució

Arrel comuna. $\sqrt{v_0^{2} + 2gH} = \sqrt{225 + 400} = 25\ \text{m/s}$ .
Angle òptim. $\tan\theta = \tfrac{15}{25} = 0{,}6 \Rightarrow \theta \approx 31{,}0^\circ$ .
Abast màxim. $R = \tfrac{15}{10}\cdot 25 = 37{,}5\ \text{m}$ .
Comprovació directa. Amb $\theta = 31{,}0^\circ$ : $v_x = 12{,}86\ \text{m/s}$ , $v_y = 7{,}72\ \text{m/s}$ , $t = 2{,}92\ \text{s}$ i $x = 37{,}5\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

Horitzontal: 30 m < 45°: 35,3 m < òptim: 37,5 m. L'òptim és inferior a 45° perquè el pes acaba per sota del punt de llançament.

Resolució

Llançament horitzontal. $t = \sqrt{\tfrac{2\cdot 20}{10}} = 2\ \text{s}$ i abast $= 15\cdot 2 = 30\ \text{m}$ .
Comparació. Amb 45° s'aconsegueixen 35,3 m i amb l'angle òptim 37,5 m (un 6 % més).
Per què menys de 45°. Com que el projectil acaba per sota del punt de llançament, el temps de vol ja és gran fins i tot amb poc angle; un angle de 45° gasta massa velocitat a pujar (component vertical) i redueix la component horitzontal.
Conclusió. L'òptim és 45° només si $H = 0$ , i tendeix a 0° quan $H$ és molt gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Un sensor registra la posició d'un carret en una via recta cada segon: t (s) = 0; 1; 2; 3; 4; 5 i x (m) = 2,0; 5,1; 10,2; 17,1; 26,0; 37,1 (incertesa de mesura d'uns ±0,5 m).
a) Calcula la velocitat mitjana en cada interval d'1 s i assigna-la al punt mitjà de l'interval. Pots dir que és un MRU? Justifica-ho.
b) Suposant un MRUA, estima l'acceleració a partir de la variació de les velocitats mitjanes, la velocitat inicial i la posició inicial.
c) Escriu x(t), comprova-la amb la dada de t = 5 s i prediu la posició i la velocitat a t = 8 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

v_m

= 3,1; 5,1; 6,9; 8,9; 11,1 m/s (a

t

= 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5 s). No és un MRU.

Resolució

Velocitats mitjanes. $v_m = \tfrac{\Delta x}{\Delta t}$ en cada interval d'1 s: 3,1; 5,1; 6,9; 8,9 i 11,1 m/s, assignades a $t$ = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 i 4,5 s.
Justificació. No és MRU: la velocitat no és constant, sinó que augmenta uns 2 m/s cada segon (molt més que l'efecte de la incertesa de ±0,5 m).

Apartat b)

Resultat

a \approx 2{,}0\ \text{m/s}^{2}

;

v_0 \approx 2{,}1\ \text{m/s}

;

x_0 = 2{,}0\ \text{m}

Resolució

Propietat del MRUA. La velocitat mitjana d'un interval coincideix amb la velocitat instantània del punt mitjà, i aquestes velocitats són lineals en $t$ .
Acceleració. Pendent entre el primer i l'últim punt: $a = \dfrac{11{,}1 - 3{,}1}{4{,}5 - 0{,}5} = 2{,}0\ \text{m/s}^{2}$
Velocitat i posició inicials. $v(0{,}5) = 3{,}1\ \text{m/s}$ dona $v_0 = 3{,}1 - 2{,}0\cdot 0{,}5 = 2{,}1\ \text{m/s}$ . La posició inicial és la dada de $t = 0$ : $x_0 = 2{,}0\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

x(t) = 2{,}0 + 2{,}1t + 1{,}0t^{2}

(SI);

x(5) = 37{,}5\ \text{m}

(compatible);

x(8) \approx 82{,}8\ \text{m}

v(8) \approx 18{,}1\ \text{m/s}

Resolució

Equació. $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}a t^{2} = 2{,}0 + 2{,}1t + 1{,}0t^{2}$ (SI).
Comprovació a t = 5 s. $2{,}0 + 10{,}5 + 25{,}0 = 37{,}5\ \text{m}$ , davant dels 37,1 m mesurats: la diferència de 0,4 m cau dins la incertesa de ±0,5 m.
Predicció. $x(8) = 2 + 16{,}8 + 64 = 82{,}8\ \text{m}$ i $v(8) = 2{,}1 + 2{,}0\cdot 8 = 18{,}1\ \text{m/s}$ .
Comprovació amb mínims quadrats. Un ajust d'una paràbola a les sis dades dona $a = 1{,}97\ \text{m/s}^{2}$ , $v_0 = 2{,}07\ \text{m/s}$ i $x_0 = 2{,}03\ \text{m}$ , coherent amb l'estimació manual.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Un cotxe supera un radar a 30 m/s constants. Quatre segons després, un cotxe de policia, que estava aturat al radar, arrenca amb una acceleració constant de 5 $\text{m/s}^{2}$ fins a assolir 40 m/s, velocitat que ja manté.
a) En quin instant (comptat des que passa l'infractor) assoleix el policia els 40 m/s, i quina distància els separa llavors?
b) Quan i a quina distància del radar l'atrapa?
c) Quina és la separació màxima entre tots dos abans de l'atrapada i en quin instant?
d) Si la velocitat màxima del policia fos de 35 m/s, l'atraparia? Quan?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

t = 12\ \text{s}

; els separen

200\ \text{m}

Resolució

Plantejament. Origen al radar i $t = 0$ quan passa l'infractor: $x_i = 30t$ . El policia, mentre accelera: $x_p = \tfrac{1}{2}\cdot 5\,(t - 4)^{2} = 2{,}5(t - 4)^{2}$ .
Fi de l'acceleració. Arriba a 40 m/s després de $\tfrac{40}{5} = 8\ \text{s}$ de moviment, és a dir, a $t = 12\ \text{s}$ .
Posicions. $x_p = 2{,}5\cdot 64 = 160\ \text{m}$ i $x_i = 30\cdot 12 = 360\ \text{m}$ : els separen 200 m.

Apartat b)

Resultat

L'atrapa a

t = 32\ \text{s}

, a

960\ \text{m}

del radar.

Resolució

Compte amb la fase. Si busques l'encontre amb la fórmula de la fase accelerada, $2{,}5(t - 4)^{2} = 30t$ , trobes $t \approx 19{,}2\ \text{s}$ , fora del seu rang (l'acceleració ja ha acabat a $t = 12\ \text{s}$ ): no val.
Fase a velocitat constant. Per a $t > 12\ \text{s}$ : $x_p = 160 + 40(t - 12)$ .
Encontre. $160 + 40(t - 12) = 30t \Rightarrow 10t = 320 \Rightarrow t = 32\ \text{s}$ , i $x = 30\cdot 32 = 960\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

Separació màxima:

210\ \text{m}

, a

t = 10\ \text{s}

Resolució

Condició. La separació és màxima quan les velocitats s'igualen (abans el cotxe s'allunya, després el policia s'hi acosta): $5(t - 4) = 30 \Rightarrow t = 10\ \text{s}$ .
Càlcul. $\Delta x = 30\cdot 10 - 2{,}5\cdot 6^{2} = 300 - 90 = 210\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

Sí, l'atrapa a

t = 52{,}5\ \text{s}

, a

1575\ \text{m}

del radar.

Resolució

Fase accelerada. Accelera durant $\tfrac{35}{5} = 7\ \text{s}$ (fins a $t = 11\ \text{s}$ ): $x_p = 2{,}5\cdot 49 = 122{,}5\ \text{m}$ .
Encontre. $122{,}5 + 35(t - 11) = 30t \Rightarrow 5t = 262{,}5 \Rightarrow t = 52{,}5\ \text{s}$ , i $x = 30\cdot 52{,}5 = 1575\ \text{m}$ .
Interpretació. Sí que l'atrapa, però molt més tard: la velocitat relativa final és només de 5 m/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Un avió té una velocitat de 250 km/h respecte de l'aire i ha de volar de la ciutat A a la B, 600 km cap a l'est. Bufa un vent constant de 60 km/h del nord (cap al sud).
a) Cap a on ha d'apuntar el morro de l'avió (angle respecte de l'est)?
b) Calcula la velocitat respecte del terra i la durada del trajecte d'anada.
c) Calcula la durada del trajecte de tornada (mateix vent) i del viatge d'anada i tornada.
d) Compara-ho amb el viatge sense vent i amb un vent de 60 km/h exactament en la direcció del vol (de cua a l'anada). Per què el vent sempre fa perdre temps?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

\alpha \approx 13{,}9^\circ

cap al nord respecte de l'est

Resolució

Composició de velocitats. $\vec{v}_{\text{terra}} = \vec{v}_{\text{aire}} + \vec{v}_{\text{vent}}$ , amb el vent de 60 km/h cap al sud.
Condició. La component nord de la velocitat de l'avió ha de compensar el vent: $250\sin\alpha = 60 \Rightarrow \sin\alpha = 0{,}24$ .
Conclusió. $\alpha \approx 13{,}9^\circ$ cap al nord respecte de l'est (el vent empeny cap al sud).

Apartat b)

Resultat

v \approx 242{,}7\ \text{km/h}

cap a l'est;

t \approx 2{,}47\ \text{h}

(2 h 28 min)

Resolució

Velocitat respecte del terra. Només queda la component est: $250\cos 13{,}9^\circ \approx 242{,}7\ \text{km/h}$ .
Durada. $t = \dfrac{600}{242{,}7} \approx 2{,}47\ \text{h}$ , unes 2 h 28 min.

Apartat c)

Resultat

Tornada:

\approx 2{,}47\ \text{h}

; anada i tornada:

\approx 4{,}94\ \text{h}

Resolució

Tornada. Ara apunta 13,9° cap al nord respecte de l'oest (el vent continua empenyent cap al sud), amb la mateixa velocitat respecte del terra de 242,7 km/h: 2,47 h.
Total. $2\cdot 2{,}47 \approx 4{,}94\ \text{h}$ .

Apartat d)

Resultat

Sense vent: 4,80 h; vent transversal: 4,94 h; vent longitudinal: 5,09 h. Qualsevol vent allarga el viatge.

Resolució

Sense vent. $t = \dfrac{2\cdot 600}{250} = 4{,}80\ \text{h}$ .
Vent longitudinal. $t = \dfrac{600}{310} + \dfrac{600}{190} = 1{,}94 + 3{,}16 = 5{,}09\ \text{h}$ .
Comparació. $4{,}80 < 4{,}94 < 5{,}09$ : qualsevol vent allarga el viatge.
Raó. En el cas transversal, la velocitat respecte del terra és menor que 250 km/h tant a l'anada com a la tornada. En el longitudinal, el temps perdut amb vent en contra supera el guanyat amb vent de cua, perquè el temps és proporcional a $\tfrac{1}{v}$ (funció convexa): es passa més estona a la velocitat baixa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Un lector de CD manté constant la velocitat lineal de la pista respecte del làser: v = 1,3 m/s. La pista és una espiral que va des de $r_{1}$ = 25 mm fins a $r_{2}$ = 58 mm, amb un pas de 1,6 µm entre dues voltes consecutives.
a) Calcula la velocitat angular del disc en rpm quan el làser llegeix a $r_{1}$ i a $r_{2}$ .
b) Quantes voltes té l'espiral?
c) Aproxima la longitud de la pista amb el nombre de voltes per la circumferència del radi mitjà, i calcula el temps de reproducció en minuts.
d) Troba l'acceleració angular mitjana del disc i explica per què no és constant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

r_1

\omega = 52{,}0\ \text{rad/s} \approx 497\ \text{rpm}

; a

r_2

\omega \approx 22{,}4\ \text{rad/s} \approx 214\ \text{rpm}

Resolució

Relació. Amb velocitat lineal constant, $\omega = \dfrac{v}{r}$ .
A r₁ = 25 mm. $\omega_1 = \dfrac{1{,}3}{0{,}025} = 52{,}0\ \text{rad/s} = 52{,}0\cdot\dfrac{60}{2\pi} \approx 497\ \text{rpm}$ .
A r₂ = 58 mm. $\omega_2 = \dfrac{1{,}3}{0{,}058} \approx 22{,}4\ \text{rad/s} \approx 214\ \text{rpm}$ .
Interpretació. El disc va més lent a mesura que el làser s'allunya del centre.

Apartat b)

Resultat

N = 20\,625

voltes

Resolució

Plantejament. Cada volta el radi augmenta un pas (1,6 µm).
Càlcul. $N = \dfrac{r_2 - r_1}{\text{pas}} = \dfrac{0{,}033}{1{,}6\cdot10^{-6}} = 20\,625\ \text{voltes}$

Apartat c)

Resultat

L \approx 5{,}38\cdot10^{3}\ \text{m}

(uns 5,4 km);

t \approx 69\ \text{min}

Resolució

Longitud. Radi mitjà $r_m = 41{,}5\ \text{mm}$ : $L = N\cdot 2\pi r_m = 20\,625\cdot 2\pi\cdot 0{,}0415 \approx 5{,}38\cdot10^{3}\ \text{m}$ .
Temps de reproducció. $t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{5378}{1{,}3} \approx 4137\ \text{s} \approx 69\ \text{min}$ .
Comprovació d'ordre de magnitud. Els CD d'àudio duren fins a uns 74 min, coherent amb el valor obtingut.

Apartat d)

Resultat

\alpha_m \approx -7{,}2\cdot10^{-3}\ \text{rad/s}^{2}

; no és constant perquè

\omega = \tfrac{v}{r}

no varia linealment amb el temps.

Resolució

Acceleració angular mitjana. $\alpha_m = \dfrac{\Delta\omega}{\Delta t} = \dfrac{22{,}4 - 52{,}0}{4137} \approx -7{,}2\cdot10^{-3}\ \text{rad/s}^{2}$
Per què no és constant. Com que $r$ augmenta amb el temps segons $r^{2} = r_1^{2} + k t$ (amb $k = \tfrac{\text{pas}\cdot v}{\pi}$ ), $\omega = \tfrac{v}{r(t)}$ no és lineal en $t$ .
Conclusió. $\alpha = -\dfrac{v\,(dr/dt)}{r^{2}}$ és més gran en valor absolut al principi ( $r$ petit) i disminueix al final.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Una paracaigudista salta d'un avió a 1000 m d'altura i cau lliurement (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , sense fregament) durant 5 s. Llavors obre el paracaigudes, que la frena amb una desacceleració constant de 25 $\text{m/s}^{2}$ fins que la seva velocitat baixa a 5 m/s; a partir d'aquí continua baixant amb aquesta velocitat constant fins a terra.
a) Calcula la velocitat i l'altura sobre el terra en el moment d'obrir el paracaigudes.
b) Durada i distància recorreguda en la fase de frenada.
c) Temps total des del salt fins a tocar terra.
d) Quant val la desacceleració en unitats de g? Quin és el valor de la velocitat mitjana de tot el descens?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

v = 50\ \text{m/s}

; altura

= 875\ \text{m}

Resolució

Caiguda lliure. $v = g t = 10\cdot 5 = 50\ \text{m/s}$ .
Recorregut. $h_1 = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 25 = 125\ \text{m}$ ; altura sobre el terra: $1000 - 125 = 875\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

t_2 = 1{,}8\ \text{s}

;

d_2 = 49{,}5\ \text{m}

Resolució

Dades. Frenada de 50 a 5 m/s amb una desacceleració de 25 $\text{m/s}^{2}$ .
Durada. $t_2 = \dfrac{50 - 5}{25} = 1{,}8\ \text{s}$ .
Distància. $d_2 = \dfrac{50^{2} - 5^{2}}{2\cdot 25} = 49{,}5\ \text{m}$

Apartat c)

Resultat

t_{\text{total}} \approx 171{,}9\ \text{s}

(uns 172 s)

Resolució

Última fase (MRU). Queden $875 - 49{,}5 = 825{,}5\ \text{m}$ a 5 m/s: $t_3 = \tfrac{825{,}5}{5} = 165{,}1\ \text{s}$ .
Temps total. $5 + 1{,}8 + 165{,}1 = 171{,}9\ \text{s}$ , uns 172 s.

Apartat d)

Resultat

2{,}5\,g

(cap amunt);

v_m \approx 5{,}8\ \text{m/s}

Resolució

Desacceleració en g. $\tfrac{25}{10} = 2{,}5\,g$ , dirigida cap amunt (la paracaigudista se sent «aixafada» contra l'arnès).
Velocitat mitjana. $v_m = \dfrac{1000}{171{,}9} \approx 5{,}8\ \text{m/s}$ .
Interpretació. És molt a prop dels 5 m/s finals perquè gairebé tot el temps va a velocitat constant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Des d'un punt d'un pendent regular que baixa amb un angle α tal que tg α = 3/4 (α ≈ 37°) es llança una pedra horitzontalment a 12 m/s (g = 10 m/s²).
a) Pren l'origen al punt de llançament i escriu x(t) i y(t) de la pedra, i l'equació del pendent.
b) Calcula el temps de vol fins que toca el pendent.
c) Calcula la distància, mesurada al llarg del pendent, entre el punt de llançament i el d'impacte.
d) Troba el mòdul de la velocitat d'impacte i l'angle que forma amb el pendent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

x = 12t

;

y = -5t^{2}

; pendent:

y = -0{,}75x

Resolució

Sistema de referència. Origen al punt de llançament, eix $x$ horitzontal i eix $y$ cap amunt.
Equacions de la pedra. Tir horitzontal: $x = 12t$ (MRU) i $y = -\tfrac{1}{2}g t^{2} = -5t^{2}$ .
Pendent. És una recta que baixa des de l'origen: $y = -x\tan\alpha = -0{,}75x$ .

Apartat b)

Resultat

t = 1{,}8\ \text{s}

Resolució

Condició d'impacte. La pedra toca el pendent quan les seves coordenades compleixen l'equació del pendent: $-5t^{2} = -0{,}75\cdot 12t$ .
Càlcul. $5t = 9 \Rightarrow t = 1{,}8\ \text{s}$ (la solució $t = 0$ és el llançament).

Apartat c)

Resultat

d = 27{,}0\ \text{m}

al llarg del pendent

Resolució

Punt d'impacte. $x = 12\cdot 1{,}8 = 21{,}6\ \text{m}$ i $y = -5\cdot 1{,}8^{2} = -16{,}2\ \text{m}$ .
Distància. $d = \sqrt{21{,}6^{2} + 16{,}2^{2}} = 27{,}0\ \text{m}$ (o bé $\tfrac{x}{\cos\alpha} = \tfrac{21{,}6}{0{,}8}$ ).

Apartat d)

Resultat

|\vec{v}| \approx 21{,}6\ \text{m/s}

, a

\approx 19{,}4^\circ

del pendent

Resolució

Components. $v_x = 12\ \text{m/s}$ i $v_y = -10\cdot 1{,}8 = -18\ \text{m/s}$ .
Mòdul. $|\vec{v}| = \sqrt{144 + 324} \approx 21{,}6\ \text{m/s}$ .
Angle amb el pendent. Amb l'horitzontal forma $\arctan\tfrac{18}{12} \approx 56{,}3^\circ$ cap avall; el pendent forma 36,9°, per tant l'angle amb el pendent és $56{,}3^\circ - 36{,}9^\circ \approx 19{,}4^\circ$ .
Comprovació. Si el pendent fos horitzontal ( $\alpha = 0$ ) no hi hauria solució amb $t > 0$ , i en un pendent més inclinat el temps de vol seria més gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Les agulles minutera i horària d'un rellotge analògic giren amb velocitat angular constant.
a) Calcula la velocitat angular de cadascuna en rad/s.
b) A les 12:00 estan superposades. Quan tornen a coincidir per primer cop? Dona el resultat en hores, minuts i segons.
c) Quan formen per primer cop un angle recte (90°) després de les 12:00?
d) Si la minutera fa 12 cm, quina és la velocitat de la seva punta? Quantes vegades coincideixen les dues agulles en 24 h (comptant la coincidència final i no la inicial)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

\omega_{\text{min}} \approx 1{,}745\cdot10^{-3}\ \text{rad/s}

;

\omega_{\text{hor}} \approx 1{,}454\cdot10^{-4}\ \text{rad/s}

Resolució

Períodes. La minutera fa una volta en 1 h (3600 s) i l'horària en 12 h (43 200 s).
Càlcul. $\omega_{\text{min}} = \dfrac{2\pi}{3600} \approx 1{,}745\cdot10^{-3}\ \text{rad/s}$ i $\omega_{\text{hor}} = \dfrac{2\pi}{43\,200} \approx 1{,}454\cdot10^{-4}\ \text{rad/s}$ .

Apartat b)

Resultat

t = \tfrac{43\,200}{11}\ \text{s} \approx 3927\ \text{s}

= 1 h 5 min 27 s (cap a la 1:05:27)

Resolució

Condició. La minutera ha de guanyar una volta completa a l'horària: $\Delta\omega\,t = 2\pi$ .
Velocitat angular relativa. $\Delta\omega = 1{,}745\cdot10^{-3} - 1{,}454\cdot10^{-4} \approx 1{,}600\cdot10^{-3}\ \text{rad/s}$ .
Càlcul. $t = \dfrac{2\pi}{\Delta\omega} = \dfrac{43\,200}{11}\ \text{s} \approx 3927\ \text{s} = 1\ \text{h}\ 5\ \text{min}\ 27\ \text{s}$
Compte. Error típic: pensar que es troben cada hora (a la 1:05 en punt); l'horària també es mou, i per això la coincidència arriba una mica després.

Apartat c)

Resultat

t \approx 982\ \text{s}

= 16 min 22 s (12:16:22)

Resolució

Condició. L'angle entre les agulles ha de ser $\tfrac{\pi}{2}$ : $\Delta\omega\,t = \tfrac{\pi}{2}$ .
Càlcul. $t = \dfrac{\pi/2}{\Delta\omega} \approx 982\ \text{s} = 16\ \text{min}\ 22\ \text{s}$ , és a dir, a les 12:16:22.

Apartat d)

Resultat

v \approx 2{,}1\cdot10^{-4}\ \text{m/s} = 0{,}21\ \text{mm/s}

; 22 coincidències en 24 h

Resolució

Velocitat de la punta. $v = \omega R = 1{,}745\cdot10^{-3}\cdot 0{,}12 \approx 2{,}1\cdot10^{-4}\ \text{m/s} = 0{,}21\ \text{mm/s}$ .
Coincidències. Es produeixen cada $\tfrac{12}{11}\ \text{h}$ : en 24 h, $\dfrac{24}{12/11} = 22$ vegades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Un cotxe arrenca del repòs i arriba a 100 km/h en 8,0 s amb acceleració constant. Les rodes, de 0,30 m de radi, roden sense lliscar.
a) Calcula l'acceleració del cotxe i la distància recorreguda en aquests 8,0 s.
b) Troba l'acceleració angular de les rodes, la velocitat angular final (rad/s i rpm) i el nombre de voltes.
c) Quina és, en acabar, la velocitat respecte del terra del punt més alt d'una roda i la del punt de contacte amb l'asfalt?
d) Quina acceleració centrípeta té un punt de la perifèria de la roda, vist des de l'eix, quan arriba a 100 km/h? Expressa-la en g.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

a \approx 3{,}47\ \text{m/s}^{2}

;

d \approx 111\ \text{m}

Resolució

Canvi d'unitats. $v = \tfrac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8\ \text{m/s}$ .
Acceleració (MRUA). $a = \tfrac{27{,}8}{8{,}0} \approx 3{,}47\ \text{m/s}^{2}$ .
Distància. $d = \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}47\cdot 8{,}0^{2} \approx 111\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

\alpha \approx 11{,}6\ \text{rad/s}^{2}

;

\omega \approx 92{,}6\ \text{rad/s} \approx 884\ \text{rpm}

;

\approx 58{,}9

voltes

Resolució

Rodolament sense lliscar. $v = \omega R$ i $a = \alpha R$ .
Acceleració angular. $\alpha = \tfrac{a}{R} = \tfrac{3{,}47}{0{,}30} \approx 11{,}6\ \text{rad/s}^{2}$ .
Velocitat angular final. $\omega = \tfrac{27{,}8}{0{,}30} \approx 92{,}6\ \text{rad/s} = 92{,}6\cdot\tfrac{60}{2\pi} \approx 884\ \text{rpm}$ .
Voltes. $N = \dfrac{111}{2\pi\cdot 0{,}30} \approx 58{,}9$ voltes (equivalent a $\tfrac{\tfrac{1}{2}\omega t}{2\pi} = 58{,}9$ ).

Apartat c)

Resultat

Punt més alt:

\approx 55{,}6\ \text{m/s}

(el doble que el cotxe); punt de contacte:

0\ \text{m/s}

Resolució

Punt més alt. Té la velocitat de l'eix més la de rotació, en el mateix sentit: $27{,}8 + 27{,}8 = 55{,}6\ \text{m/s}$ .
Punt de contacte. La velocitat de rotació és oposada a la de l'eix: $27{,}8 - 27{,}8 = 0$ . Està instantàniament en repòs respecte del terra, que és la condició de no lliscar.

Apartat d)

Resultat

a_c \approx 2{,}57\cdot10^{3}\ \text{m/s}^{2} \approx 262\,g

Resolució

Acceleració centrípeta. $a_c = \omega^{2}R = 92{,}6^{2}\cdot 0{,}30 \approx 2{,}57\cdot10^{3}\ \text{m/s}^{2}$ .
En unitats de g. $\tfrac{2572}{9{,}8} \approx 262\,g$ .
Comprovació. $a_c = \tfrac{v^{2}}{R} = \tfrac{27{,}8^{2}}{0{,}30} \approx 2572\ \text{m/s}^{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

Es dispara un projectil des del terra, apuntant directament a una bola que està a 40 m de distància horitzontal i a 30 m d'altura. En l'instant del tret, la bola es deixa caure (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ , sense fregament).
a) Quin angle de tir cal?
b) Demostra que, siguin quines siguin $v_{0}$ i g, el projectil passa per la bola quan x = 40 m, sempre que la bola encara no hagi arribat a terra.
c) Calcula la velocitat mínima perquè hi hagi impacte abans que la bola toqui terra.
d) Què passa amb $v_{0}$ = 20 m/s i amb $v_{0}$ = 25 m/s? A quina altura és l'impacte en el segon cas?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

\theta \approx 36{,}9^\circ

(

\tan\theta = 0{,}75

)

Resolució

Apuntar directament. La línia de tir passa per la bola: $\tan\theta = \tfrac{30}{40} = 0{,}75$ .
Conclusió. $\theta \approx 36{,}9^\circ$ ( $\sin\theta = 0{,}6$ , $\cos\theta = 0{,}8$ ).

Apartat b)

Resultat

x = 40\ \text{m}

y_p = 30 - 5t^{2} = y_b

: tots dos han caigut el mateix respecte de la línia de tir.

Resolució

Equacions. Projectil: $x = v_0\cos\theta\,t$ i $y_p = v_0\sin\theta\,t - 5t^{2}$ . Bola: $x = 40$ i $y_b = 30 - 5t^{2}$ .
Instant en què x = 40 m. $t = \dfrac{40}{v_0\cos\theta}$ , així que $v_0\sin\theta\,t = 40\tan\theta = 30\ \text{m}$ .
Conclusió. Llavors $y_p = 30 - 5t^{2} = y_b$ : tots dos han caigut la mateixa quantitat ( $\tfrac{1}{2}g t^{2}$ ) respecte de la línia de tir, i hi ha xoc independentment de $g$ i de $v_0$ .

Apartat c)

Resultat

v_0 \geq 20{,}4\ \text{m/s}

Resolució

Temps de caiguda de la bola. $t_b = \sqrt{\tfrac{30}{5}} \approx 2{,}449\ \text{s}$ .
Condició. Cal $t = \dfrac{40}{0{,}8\,v_0} \leq 2{,}449\ \text{s}$ .
Càlcul. $v_0 \geq \dfrac{40}{0{,}8\cdot 2{,}449} \approx 20{,}4\ \text{m/s}$ .

Apartat d)

Resultat

Amb 20 m/s no hi ha impacte; amb 25 m/s l'impacte és a

t = 2{,}0\ \text{s}

i a

y = 10\ \text{m}

Resolució

Amb 20 m/s. $t = \tfrac{40}{20\cdot 0{,}8} = 2{,}5\ \text{s} > 2{,}449\ \text{s}$ : la bola ja és a terra i el projectil no la troba (hauria arribat a $y = -1{,}25\ \text{m}$ , és a dir, sota terra).
Amb 25 m/s. $t = \tfrac{40}{25\cdot 0{,}8} = 2{,}0\ \text{s}$ .
Altura de l'impacte. $y = 30 - 5\cdot 2{,}0^{2} = 10\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Per mesurar el temps de reacció, un company deixa caure una regla sense avisar i tu l'agafes: la regla ha caigut 17,5 ± 0,5 cm abans que la parés la teva mà (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula el teu temps de reacció i la seva incertesa.
b) Es vol gravar una regla «de temps» amb marques per a 0,10; 0,15; 0,20; 0,25 i 0,30 s. A quines distàncies (en cm) de l'extrem inferior s'han de posar les marques?
c) Quina distància recorre un cotxe a 90 km/h durant el teu temps de reacció?
d) Per què l'escala de la regla no és uniforme?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

t = (0{,}189 \pm 0{,}003)\ \text{s}

Resolució

Caiguda lliure. $h = \tfrac{1}{2}g t^{2}$ , d'on $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}175}{9{,}8}} \approx 0{,}189\ \text{s}$
Propagació de la incertesa. Com que $t$ és proporcional a $\sqrt{h}$ : $\tfrac{\Delta t}{t} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\Delta h}{h} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{0{,}5}{17{,}5} \approx 0{,}0143$ , per tant $\Delta t \approx 0{,}0027\ \text{s}$ .
Resultat. $t = (0{,}189 \pm 0{,}003)\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

4,9 cm (0,10 s); 11,0 cm (0,15 s); 19,6 cm (0,20 s); 30,6 cm (0,25 s); 44,1 cm (0,30 s)

Resolució

Fórmula. $h = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot t^{2} = 4{,}9\,t^{2}$ (en metres).
Càlcul. 0,10 s → 4,9 cm; 0,15 s → 11,0 cm; 0,20 s → 19,6 cm; 0,25 s → 30,6 cm; 0,30 s → 44,1 cm.

Apartat c)

Resultat

s \approx 4{,}7\ \text{m}

Resolució

Canvi d'unitats. $90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$ .
MRU. $s = 25\cdot 0{,}189 \approx 4{,}7\ \text{m}$ (més que la llargada d'un cotxe) abans de començar a frenar.

Apartat d)

Resultat

Perquè

h \propto t^{2}

: la regla cau cada cop més de pressa i les marques se separen cada vegada més.

Resolució

Llei del MRUA des del repòs. La distància recorreguda és proporcional a $t^{2}$ , no a $t$ .
Conseqüència. La regla cau cada cop més de pressa i entre marques consecutives hi ha una separació creixent (6,1; 8,6; 11,0; 13,5 cm).
Interpretació. Així, la regla és més sensible (més centímetres per mil·lisegon) per als temps de reacció llargs que per als curts.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Com es resol un tir parabòlic?

Es descompon en dos moviments independents: a l'eix horitzontal és un MRU i al vertical és un MRUA amb l'acceleració de la gravetat. El temps és el mateix als dos eixos.

Quina diferència hi ha entre desplaçament i distància recorreguda?

El desplaçament és el vector que va de la posició inicial a la final. La distància recorreguda és la longitud de tot el camí. Si tornes al punt de partida, el desplaçament és zero.

Tornar a Física i Química