Exercicis d'electricitat — Física i Química 1r Batxillerat

Q: Què passa amb la força de Coulomb si la distància es dobla?

Es divideix per 4, perquè és inversament proporcional al quadrat de la distància.

Q: Quants joules és un kWh?

3,6 milions de joules: 1000 W durant 3600 s fan 3.600.000 J.

Aquest tema junta l'electrostàtica amb els circuits de corrent continu. Els exercicis et fan aplicar la llei de Coulomb a dues càrregues, amb la seva dependència de l'invers del quadrat de la distància. Després treballes la llei d'Ohm, associes resistències en sèrie i en paral·lel i calcules intensitats i tensions a cada branca. Al final calcules potències i energies elèctriques, passes de kWh a joules i trobes el cost d'un radiador que funciona cada dia durant un mes. Les solucions comproven sempre les unitats. Errors típics: pensar que les càrregues del mateix signe s'atrauen i creure que la força de Coulomb disminueix linealment amb la distància.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Una resistència de 20 ohms es connecta a una pila de 10 V. Quina intensitat hi circula? (Llei d'Ohm: V = I·R.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

I = 0{,}5\ \text{A}

Resolució

Dades. Resistència $R = 20\ \Omega$ i tensió de la pila $V = 10\ \text{V}$ . Es demana la intensitat.
Llei d'Ohm. $V = I\cdot R$ , d'on aïllem la intensitat: $I = \dfrac{V}{R}$ .
Càlcul. $I = \dfrac{10\ \text{V}}{20\ \Omega} = 0{,}5\ \text{A}$
Conclusió. Hi circulen 0,5 A. Fixa't en les unitats: V/Ω = A (ampere).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Per un llum hi circulen 2 A quan es connecta a 12 V. Quina resistència té?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

R = 6\ \Omega

Resolució

Dades. Intensitat $I = 2\ \text{A}$ i tensió $V = 12\ \text{V}$ . Es demana la resistència del llum.
Llei d'Ohm. $V = I\cdot R$ , d'on $R = \dfrac{V}{I}$ .
Càlcul. $R = \dfrac{12\ \text{V}}{2\ \text{A}} = 6\ \Omega$
Conclusió. El llum té una resistència de 6 Ω. Unitats: V/A = Ω (ohm).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Expressa 3 kWh en joules.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

3\ \text{kWh} = 1{,}08\cdot10^{7}\ \text{J}

Resolució

Dades. Energia $E = 3\ \text{kWh}$ . Es demana en joules (J).
Equivalència. 1 kWh és l'energia que consumeix un aparell d'1 kW durant 1 hora: $1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W}\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6\cdot10^{6}\ \text{J}$
Càlcul. $E = 3\cdot 3{,}6\cdot10^{6} = 1{,}08\cdot10^{7}\ \text{J}$ .
Conclusió. 3 kWh equivalen a $1{,}08\cdot10^{7}\ \text{J}$ (10,8 milions de joules): el kWh és una unitat d'energia molt més gran que el joule.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una vareta de plàstic s'electritza per fregament amb un drap i adquireix una càrrega de -2,0· $10^{-8}$ C. Ha guanyat o ha perdut electrons? Quants? (e = 1,6· $10^{-19}$ C)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Ha guanyat electrons:

n = 1{,}25\cdot10^{11}

electrons.

Resolució

Dades. Càrrega de la vareta $q = -2{,}0\cdot10^{-8}\ \text{C}$ ; càrrega elemental $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ .
Signe de la càrrega. Un cos queda carregat negativament quan té un excés d'electrons: la vareta ha guanyat electrons (els ha pres del drap).
Quantització de la càrrega. La càrrega és sempre un múltiple enter de la càrrega de l'electró: $|q| = n\cdot e$ .
Càlcul. $n = \dfrac{|q|}{e} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-8}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}25\cdot10^{11}\ \text{electrons}$
Conclusió. El drap, en canvi, ha perdut aquests mateixos electrons i ha quedat carregat positivament: la càrrega total es conserva.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Per la secció d'un conductor passen 90 C de càrrega en 30 s. Calcula la intensitat del corrent i la càrrega que hi passaria en 2 minuts amb la mateixa intensitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

I = 3\ \text{A}

; en 2 minuts hi passarien

Q = 360\ \text{C}

Resolució

Dades. Càrrega $Q = 90\ \text{C}$ en $t = 30\ \text{s}$ . Després, $t' = 2\ \text{min} = 120\ \text{s}$ amb la mateixa intensitat.
Definició d'intensitat. La intensitat és la càrrega que passa per unitat de temps: $I = \dfrac{Q}{t}$ .
Càlcul de la intensitat. $I = \dfrac{90\ \text{C}}{30\ \text{s}} = 3\ \text{A}$ .
Càrrega en 2 minuts. $Q' = I\cdot t' = 3\cdot 120 = 360\ \text{C}$ .
Comprovació. 120 s són 4 vegades 30 s, així que la càrrega ha de ser 4 vegades 90 C = 360 C.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un fil de coure té 100 m de longitud i 2 mm² de secció. Calcula'n la resistència (resistivitat del coure: ρ = 1,7· $10^{-8}$ Ω·m).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

R = 0{,}85\ \Omega

Resolució

Dades. $L = 100\ \text{m}$ , $S = 2\ \text{mm}^{2}$ , $\rho = 1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ .
Conversió de la secció. La secció ha d'anar en m²: $2\ \text{mm}^{2} = 2\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ , perquè $1\ \text{mm}^{2} = (10^{-3}\ \text{m})^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$ (i no $10^{-3}$ ).
Resistència d'un conductor. $R = \rho\cdot\dfrac{L}{S}$ .
Càlcul. $R = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{100}{2\cdot10^{-6}} = 0{,}85\ \Omega$
Conclusió. El fil té una resistència de 0,85 Ω: petita, com correspon a un bon conductor com el coure.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una planxa connectada a 230 V consumeix un corrent de 5 A. Calcula'n la potència i l'energia que consumeix en 30 minuts, expressada en kWh.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

P = 1150\ \text{W} = 1{,}15\ \text{kW}

;

E = 0{,}575\ \text{kWh}

Resolució

Dades. $V = 230\ \text{V}$ , $I = 5\ \text{A}$ , $t = 30\ \text{min} = 0{,}5\ \text{h}$ .
Potència elèctrica. $P = V\cdot I = 230\cdot 5 = 1150\ \text{W} = 1{,}15\ \text{kW}$ .
Energia. $E = P\cdot t$ ; per obtenir kWh, la potència en kW i el temps en hores: $E = 1{,}15\ \text{kW}\cdot 0{,}5\ \text{h} = 0{,}575\ \text{kWh}$
Conclusió. La planxa té una potència d'1,15 kW i en mitja hora consumeix 0,575 kWh.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Calcula el mòdul del camp elèctric que crea una càrrega puntual de 5 μC a 0,5 m de distància i la força que aquest camp fa sobre una càrrega de 2 nC situada en aquest punt (k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

E = 1{,}8\cdot10^{5}\ \text{N/C}

;

F = 3{,}6\cdot10^{-4}\ \text{N}

Resolució

Dades. $Q = 5\ \mu\text{C} = 5\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $r = 0{,}5\ \text{m}$ , $q = 2\ \text{nC} = 2\cdot10^{-9}\ \text{C}$ , $k = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ .
Camp d'una càrrega puntual. $E = k\cdot\dfrac{Q}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}}{0{,}5^{2}} = \dfrac{4{,}5\cdot10^{4}}{0{,}25} = 1{,}8\cdot10^{5}\ \text{N/C}$
Força sobre la càrrega. $F = q\cdot E = 2\cdot10^{-9}\cdot 1{,}8\cdot10^{5} = 3{,}6\cdot10^{-4}\ \text{N}$ .
Comprovació amb la llei de Coulomb. $F = k\cdot\dfrac{Q\cdot q}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot 2\cdot10^{-9}}{0{,}25} = 3{,}6\cdot10^{-4}\ \text{N}$ Surt el mateix, com ha de ser.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Explica com cal connectar un amperímetre i un voltímetre en un circuit per mesurar la intensitat que travessa una resistència i la diferència de potencial entre els seus extrems, i justifica per què.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

L'amperímetre en sèrie amb la resistència (resistència interna molt petita) i el voltímetre en paral·lel (resistència interna molt gran).

Resolució

Amperímetre. Es connecta en sèrie amb la resistència, perquè ha de ser travessat pel mateix corrent que volem mesurar.
Per què ha de tenir resistència petita. Com que queda dins del camí del corrent, ha de tenir una resistència interna molt petita per no alterar el corrent del circuit.
Voltímetre. Es connecta en paral·lel amb la resistència, entre els seus dos extrems, perquè mesura la diferència de potencial entre aquests dos punts.
Per què ha de tenir resistència gran. Ha de tenir una resistència interna molt gran perquè hi passi un corrent insignificant i no modifiqui el circuit.
Error típic. Posar l'amperímetre en paral·lel: com que té una resistència molt petita, produiria un curtcircuit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Dins d'un cable metàl·lic, els electrons es mouen del pol positiu al pol negatiu de la pila.
b) Si dues càrregues es repel·leixen, són del mateix signe.
c) Un material aïllant té molts electrons lliures que es mouen amb facilitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

Falsa: els electrons es mouen del pol negatiu al positiu.

Resolució

Càrrega dels electrons. Els electrons tenen càrrega negativa: són repel·lits pel pol negatiu i atrets pel positiu.
Conclusió. Dins del cable es mouen del pol negatiu al positiu. El sentit convencional del corrent (el que s'utilitza als circuits) és el contrari: del positiu al negatiu.

Apartat b)

Resultat

Certa: si es repel·leixen, són del mateix signe.

Resolució

Interacció entre càrregues. Les càrregues del mateix signe es repel·leixen i les de signe contrari s'atrauen.
Conclusió. Una repulsió indica que les dues càrregues són del mateix signe (les dues positives o les dues negatives).

Apartat c)

Resultat

Falsa: això descriu un conductor, no un aïllant.

Resolució

Conductors. En un conductor (com els metalls) hi ha molts electrons lliures que es mouen amb facilitat.
Aïllants. En un aïllant els electrons estan lligats als àtoms i gairebé no hi ha càrregues que es puguin moure; per això no condueix el corrent.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Dues càrregues de 2·10⁻⁶ C i 3·10⁻⁶ C es troben separades 10 cm a l'aire. Calcula la força elèctrica entre elles i digues si és d'atracció o de repulsió. Fes servir k = 9· $10^{9}$ (unitats del SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

F = 5{,}4\ \text{N}

, de repulsió.

Resolució

Dades. $Q_1 = 2\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $Q_2 = 3\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $d = 10\ \text{cm} = 0{,}1\ \text{m}$ , $k = 9\cdot10^{9}$ (SI). Abans de substituir, passa la distància a metres: $d^{2} = 0{,}01\ \text{m}^{2}$ .
Llei de Coulomb. $F = k\cdot\dfrac{|Q_1\cdot Q_2|}{d^{2}}$
Càlcul. Numerador: $9\cdot10^{9}\cdot 2\cdot10^{-6}\cdot 3\cdot10^{-6} = 9\cdot10^{9}\cdot 6\cdot10^{-12} = 0{,}054$ . Per tant, $F = \dfrac{0{,}054}{0{,}01} = 5{,}4\ \text{N}$
Sentit. Com que totes dues càrregues són positives (mateix signe), la força és de repulsió.
Parany. Passa la distància a metres i eleva-la al quadrat abans de dividir: oblidar el quadrat o deixar els centímetres canvia molt el resultat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Tres resistències de 2 ohms, 3 ohms i 5 ohms es connecten en SÈRIE a una pila de 20 V. Calcula la resistència equivalent, la intensitat que circula pel circuit i la tensió que cau a cada resistència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

R_{eq} = 10\ \Omega

;

I = 2\ \text{A}

;

V_1 = 4\ \text{V}

V_2 = 6\ \text{V}

V_3 = 10\ \text{V}

Resolució

Dades. $R_1 = 2\ \Omega$ , $R_2 = 3\ \Omega$ , $R_3 = 5\ \Omega$ en sèrie amb una pila de 20 V. En sèrie el corrent no té camins alternatius: passa el mateix per totes les resistències.
Resistència equivalent en sèrie. Les resistències se sumen: $R_{eq} = 2 + 3 + 5 = 10\ \Omega$ .
Llei d'Ohm al conjunt. $I = \dfrac{V}{R_{eq}} = \dfrac{20}{10} = 2\ \text{A}$ , la mateixa a les tres resistències.
Tensió a cada resistència. $V_1 = I\cdot R_1 = 2\cdot2 = 4\ \text{V}$ ; $V_2 = 2\cdot3 = 6\ \text{V}$ ; $V_3 = 2\cdot5 = 10\ \text{V}$ .
Comprovació. $4 + 6 + 10 = 20\ \text{V}$ : tota la tensió de la pila es reparteix, i cau més tensió on hi ha més resistència.
Parany. En sèrie se sumen les resistències (no els inversos); la intensitat és única i el que es reparteix és la tensió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Dues resistències de 6 ohms i 3 ohms es connecten en PARAL·LEL a una pila de 12 V. Calcula la resistència equivalent, la intensitat que circula per cada resistència i la intensitat total.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

R_{eq} = 2\ \Omega

;

I_1 = 2\ \text{A}

(6 Ω),

I_2 = 4\ \text{A}

(3 Ω);

I = 6\ \text{A}

Resolució

Dades. $R_1 = 6\ \Omega$ i $R_2 = 3\ \Omega$ en paral·lel amb 12 V. Totes dues tenen els extrems units als mateixos punts: suporten la mateixa tensió (12 V) i el corrent es reparteix.
Resistència equivalent en paral·lel. Se sumen els inversos: $\dfrac{1}{R_{eq}} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\ \Rightarrow\ R_{eq} = 2\ \Omega$ Fixa't que és més petita que la resistència més petita (3 Ω): és normal en paral·lel.
Intensitat per cada branca. Llei d'Ohm amb els 12 V: $I_1 = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{A}$ ; $I_2 = \dfrac{12}{3} = 4\ \text{A}$ .
Intensitat total. $I = I_1 + I_2 = 2 + 4 = 6\ \text{A}$ . Comprovació amb l'equivalent: $I = \dfrac{12}{2} = 6\ \text{A}$ .
Parany. En paral·lel se sumen els inversos (1/R), no les resistències; el que és igual a totes és la tensió i el que es reparteix és la intensitat (passa més corrent per la resistència més petita).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un radiador elèctric de 1500 W funciona 2 hores cada dia durant tot un mes (30 dies). Si la companyia cobra 0,15 euros per kWh, quanta energia consumeix al mes i quant costa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

E = 90\ \text{kWh}

al mes; cost

= 13{,}5

€

Resolució

Dades. $P = 1500\ \text{W} = 1{,}5\ \text{kW}$ ; 2 h cada dia durant 30 dies; preu 0,15 €/kWh.
Energia elèctrica. $E = P\cdot t$ . Per obtenir kWh, la potència va en kW i el temps en hores: $t = 2\cdot30 = 60\ \text{h}$ .
Càlcul de l'energia. $E = 1{,}5\ \text{kW}\cdot 60\ \text{h} = 90\ \text{kWh}$ . El kWh és una energia, no una potència: és el que consumeix un aparell d'1 kW en 1 hora.
Cost. $90\ \text{kWh}\cdot 0{,}15\ \text{€/kWh} = 13{,}5\ \text{€}$ .
Parany. No confonguis potència (kW, consum instantani) amb energia (kWh, el que es paga); i passa els watts a kW i el temps a hores abans de multiplicar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Amb un fil metàl·lic es mesuren aquestes parelles de tensió i intensitat: 1,0 V i 0,05 A; 2,0 V i 0,10 A; 3,0 V i 0,15 A; 4,0 V i 0,20 A. Comprova si el fil compleix la llei d'Ohm, calcula'n la resistència i prediu la intensitat que hi circularia amb 10 V.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Sí que compleix la llei d'Ohm:

R = 20\ \Omega

; amb 10 V,

I = 0{,}5\ \text{A}

Resolució

Llei d'Ohm. Un conductor és òhmic si el quocient $V/I$ és constant; aquest quocient és la resistència.
Càlcul de V/I. $\dfrac{1{,}0}{0{,}05} = 20\ \Omega$ ; $\dfrac{2{,}0}{0{,}10} = 20\ \Omega$ ; $\dfrac{3{,}0}{0{,}15} = 20\ \Omega$ ; $\dfrac{4{,}0}{0{,}20} = 20\ \Omega$ .
Conclusió sobre Ohm. El quocient es manté constant: el fil compleix la llei d'Ohm (és òhmic) i $R = 20\ \Omega$ .
Predicció amb 10 V. $I = \dfrac{V}{R} = \dfrac{10}{20} = 0{,}5\ \text{A}$ .
Interpretació gràfica. Si representessis I en funció de V, els punts estarien sobre una recta que passa per l'origen, de pendent $1/R = 0{,}05\ \text{A/V}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

En una cuina, un circuit de 230 V protegit per un interruptor magnetotèrmic de 16 A alimenta alhora, amb els aparells connectats en paral·lel, un forn de 2300 W i una planxa de 1200 W. Calcula la intensitat total i digues si l'interruptor salta. I si s'hi connecta també un assecador de cabell de 1000 W?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

I = 15{,}2\ \text{A}

: l'interruptor no salta (va just). Amb l'assecador,

I = 19{,}6\ \text{A}

: salta.

Resolució

Dades. Tensió 230 V; aparells en paral·lel: forn 2300 W i planxa 1200 W; magnetotèrmic de 16 A.
Aparells en paral·lel. Tots reben 230 V i les potències se sumen; la intensitat total és $I = \dfrac{P_{total}}{V}$ .
Forn i planxa. $P = 2300 + 1200 = 3500\ \text{W}$ i $I = \dfrac{3500}{230} = 15{,}2\ \text{A}$ . Com que 15,2 A < 16 A, l'interruptor no salta (però va just).
Afegint l'assecador. $P = 3500 + 1000 = 4500\ \text{W}$ i $I = \dfrac{4500}{230} = 19{,}6\ \text{A}$ . Com que 19,6 A > 16 A, l'interruptor salta.
Conclusió. La potència màxima que admet el circuit és $230\cdot16 = 3680\ \text{W}$ : el forn i la planxa hi caben, però amb l'assecador se supera.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Tres càrregues puntuals estan alineades: $q_{1}$ = +2 μC a x = 0, $q_{2}$ = -3 μC a x = 0,30 m i $q_{3}$ = +1 μC a x = 0,60 m. Calcula el mòdul i el sentit de la força neta sobre $q_{2}$ (k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

F = 0{,}3\ \text{N}

, dirigida cap a

q_1

(sentit −x).

Resolució

Dades. $q_1 = +2\ \mu\text{C}$ a x = 0, $q_2 = -3\ \mu\text{C}$ a x = 0,30 m, $q_3 = +1\ \mu\text{C}$ a x = 0,60 m. Cada càrrega exterior és a 0,30 m de $q_2$ .
Sentits. $q_2$ és negativa i les altres dues són positives: totes dues l'atrauen, cadascuna cap al seu costat.
Llei de Coulomb, força de $q_1$ . $F_{12} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2\cdot10^{-6}\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}30^{2}} = 0{,}6\ \text{N}$ dirigida cap a $q_1$ (sentit −x).
Força de $q_3$ . $F_{32} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1\cdot10^{-6}\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}30^{2}} = 0{,}3\ \text{N}$ dirigida cap a $q_3$ (sentit +x).
Força neta. $F = -0{,}6 + 0{,}3 = -0{,}3\ \text{N}$ : mòdul 0,3 N, dirigida cap a $q_1$ (sentit −x).
Error típic. Sumar els mòduls: les dues forces tenen sentits oposats i s'han de restar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Una bombeta de 60 W està dissenyada per funcionar a 230 V. Calcula'n la resistència i la intensitat que hi circula, i la potència que dissiparia si es connectés a 115 V (suposa que la resistència no canvia).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

R = 881{,}7\ \Omega

;

I = 0{,}26\ \text{A}

; a 115 V,

P' = 15\ \text{W}

Resolució

Dades. Valors nominals $P = 60\ \text{W}$ i $V = 230\ \text{V}$ ; després $V' = 115\ \text{V}$ amb la mateixa resistència.
Resistència. De $P = \dfrac{V^{2}}{R}$ : $R = \dfrac{V^{2}}{P} = \dfrac{230^{2}}{60} = 881{,}7\ \Omega$
Intensitat. $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{60}{230} = 0{,}26\ \text{A}$ . Comprovació: $\dfrac{V}{R} = \dfrac{230}{881{,}7} = 0{,}26\ \text{A}$ .
Potència a 115 V. $P' = \dfrac{V'^{2}}{R} = \dfrac{115^{2}}{881{,}7} = 15\ \text{W}$
Conclusió. En reduir la tensió a la meitat, la potència es divideix per 4 (P és proporcional a V²): la bombeta il·lumina molt menys.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un LED necessita un corrent de 20 mA i, quan funciona, té una caiguda de tensió de 2,0 V. Es vol alimentar amb una pila de 9,0 V connectant-hi una resistència en sèrie. Quin valor ha de tenir la resistència i quina potència dissipa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

R = 350\ \Omega

;

P = 0{,}14\ \text{W}

Resolució

Dades. Pila de 9,0 V; el LED necessita $I = 20\ \text{mA} = 0{,}020\ \text{A}$ i hi cauen 2,0 V.
Circuit en sèrie. La tensió de la pila es reparteix entre el LED i la resistència: la resistència ha d'agafar $9{,}0 - 2{,}0 = 7{,}0\ \text{V}$ . La intensitat és la mateixa per als dos elements.
Llei d'Ohm. $R = \dfrac{V_R}{I} = \dfrac{7{,}0}{0{,}020} = 350\ \Omega$ .
Potència dissipada. $P = V_R\cdot I = 7{,}0\cdot0{,}020 = 0{,}14\ \text{W}$ (o $P = I^{2}R = 0{,}020^{2}\cdot350 = 0{,}14\ \text{W}$ ).
Error típic. Fer servir els 9,0 V complets per calcular la resistència: sortiria 450 Ω i el LED rebria menys corrent del necessari.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Dues càrregues puntuals iguals de 3 μC es repel·leixen amb una força de 0,9 N. A quina distància es troben? (k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

r = 0{,}3\ \text{m}

(30 cm)

Resolució

Dades. $q_1 = q_2 = 3\ \mu\text{C} = 3\cdot10^{-6}\ \text{C}$ , $F = 0{,}9\ \text{N}$ , $k = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ .
Llei de Coulomb. $F = k\cdot\dfrac{q_1\,q_2}{r^{2}}$ ; n'aïllem la distància: $r = \sqrt{\dfrac{k\,q_1\,q_2}{F}}$ .
Càlcul. $r = \sqrt{\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot3\cdot10^{-6}\cdot3\cdot10^{-6}}{0{,}9}} = \sqrt{\dfrac{8{,}1\cdot10^{-2}}{0{,}9}} = \sqrt{0{,}09} = 0{,}3\ \text{m}$
Comprovació. $F = \dfrac{9\cdot10^{9}\cdot9\cdot10^{-12}}{0{,}3^{2}} = \dfrac{0{,}081}{0{,}09} = 0{,}9\ \text{N}$ , com diu l'enunciat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

En un àtom d'hidrogen, l'electró i el protó estan separats uns 5,3· $10^{-11}$ m. Calcula la força elèctrica i la força gravitatòria entre ells i compara-les. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ; G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg².

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

F_e = 8{,}2\cdot10^{-8}\ \text{N}

;

F_g = 3{,}6\cdot10^{-47}\ \text{N}

;

F_e/F_g \approx 2{,}3\cdot10^{39}

Resolució

Dades. $r = 5{,}3\cdot10^{-11}\ \text{m}$ , $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ , $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .
Força elèctrica (llei de Coulomb). $F_e = k\cdot\dfrac{e^{2}}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(1{,}6\cdot10^{-19})^{2}}{(5{,}3\cdot10^{-11})^{2}} = 8{,}2\cdot10^{-8}\ \text{N}$ atractiva (càrregues de signe contrari).
Força gravitatòria (llei de la gravitació universal). $F_g = G\cdot\dfrac{m_e\,m_p}{r^{2}} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{(5{,}3\cdot10^{-11})^{2}} = 3{,}6\cdot10^{-47}\ \text{N}$
Quocient. $\dfrac{F_e}{F_g} = \dfrac{8{,}2\cdot10^{-8}}{3{,}6\cdot10^{-47}} \approx 2{,}3\cdot10^{39}$ .
Conclusió. La força elèctrica és uns $10^{39}$ vegades més gran: a escala atòmica la gravetat és completament menyspreable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Dues càrregues es repel·leixen amb una força F. Si es dobla la distància entre elles, per quant queda multiplicada la força? (Llei de Coulomb: la força és inversament proporcional al quadrat de la distància.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

La força queda dividida per 4:

F' = \dfrac{F}{4}

Resolució

Dades. Força inicial F a una distància d; la nova distància és $d' = 2d$ .
Llei de Coulomb. $F = k\cdot\dfrac{q_1\,q_2}{d^{2}}$ : la força és inversament proporcional al quadrat de la distància.
Càlcul. $F' = k\cdot\dfrac{q_1\,q_2}{(2d)^{2}} = \dfrac{1}{4}\cdot k\cdot\dfrac{q_1\,q_2}{d^{2}} = \dfrac{F}{4}$
Conclusió. Si la distància es dobla, el seu quadrat es multiplica per 4 i la força queda multiplicada per 1/4: és una quarta part de l'original (i continua sent de repulsió).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Dues esferes iguals tenen càrregues de +4 μC i -2 μC i són a 30 cm. (a) Calcula la força entre elles i digues si és d'atracció o de repulsió. (b) Les poses en contacte i les tornes a separar a la mateixa distància: quina força hi ha ara? Dada: k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

F = 0{,}8\ \text{N}

, d'atracció.

Resolució

Dades. $q_1 = +4\ \mu\text{C}$ , $q_2 = -2\ \mu\text{C}$ , $d = 30\ \text{cm} = 0{,}3\ \text{m}$ .
Llei de Coulomb. $F = k\cdot\dfrac{|q_1\,q_2|}{d^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}\cdot2\cdot10^{-6}}{0{,}3^{2}} = 0{,}8\ \text{N}$
Sentit. Les càrregues tenen signes contraris: la força és d'atracció.

Apartat b)

Resultat

F' = 0{,}1\ \text{N}

, ara de repulsió.

Resolució

Conservació de la càrrega. En posar-les en contacte, la càrrega total, $+4 - 2 = +2\ \mu\text{C}$ , es reparteix a parts iguals perquè les esferes són iguals: $+1\ \mu\text{C}$ cadascuna.
Llei de Coulomb. $F' = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(10^{-6})^{2}}{0{,}3^{2}} = 0{,}1\ \text{N}$
Conclusió. Ara les dues càrregues són positives: la força és de repulsió i 8 vegades més petita que abans.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Per una resistència de 50 ohms hi circula una intensitat de 2 A durant 10 minuts. Calcula la calor que dissipa per efecte Joule i expressa-la també en kWh. (Efecte Joule: Q = $I^{2}$ ·R·t.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Q = 120\,000\ \text{J} = 120\ \text{kJ} \approx 0{,}033\ \text{kWh}

Resolució

Dades. $R = 50\ \Omega$ , $I = 2\ \text{A}$ , $t = 10\ \text{min} = 10\cdot60 = 600\ \text{s}$ . El temps ha d'anar en segons perquè el resultat surti en joules.
Efecte Joule. Una resistència per la qual passa corrent dissipa calor: $Q = I^{2}\cdot R\cdot t$ .
Càlcul. $Q = 2^{2}\cdot50\cdot600 = 4\cdot50\cdot600 = 120\,000\ \text{J} = 120\ \text{kJ}$ .
Pas a kWh. Amb $1\ \text{kWh} = 3{,}6\cdot10^{6}\ \text{J}$ : $Q = \dfrac{120\,000}{3\,600\,000} \approx 0{,}033\ \text{kWh}$ .
Parany. La intensitat va al quadrat (si es dobla el corrent, la calor es multiplica per 4), i el temps en segons per treballar en joules; només després passes a kWh dividint per $3{,}6\cdot10^{6}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una pila de 12 V alimenta un circuit en què una resistència de 4 Ω està connectada en sèrie amb un conjunt format per dues resistències de 6 Ω i 12 Ω connectades entre elles en paral·lel. Calcula la resistència equivalent, la intensitat total, la tensió i la intensitat en cada resistència i la potència que subministra la pila.

Circuit amb una pila de 12 V que alimenta una resistència de 4 Ω en sèrie amb dues resistències de 6 Ω i 12 Ω en paral·lel

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

R_{eq} = 8\ \Omega

;

I = 1{,}5\ \text{A}

; 4 Ω: 6 V i 1,5 A; 6 Ω: 6 V i 1 A; 12 Ω: 6 V i 0,5 A;

P = 18\ \text{W}

Resolució

Dades. Pila de 12 V; 4 Ω en sèrie amb el paral·lel de 6 Ω i 12 Ω.
Primer, el paral·lel. $\dfrac{1}{R_p} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}\ \Rightarrow\ R_p = 4\ \Omega$ Després, la sèrie: $R_{eq} = 4 + 4 = 8\ \Omega$ .
Llei d'Ohm. $I = \dfrac{V}{R_{eq}} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\ \text{A}$ , que és la que passa per la resistència de 4 Ω.
Tensions. A la de 4 Ω: $V = 1{,}5\cdot4 = 6\ \text{V}$ . La resta, $12 - 6 = 6\ \text{V}$ , cau al paral·lel (la mateixa tensió a les dues branques).
Intensitats a les branques. $I_6 = \dfrac{6}{6} = 1\ \text{A}$ i $I_{12} = \dfrac{6}{12} = 0{,}5\ \text{A}$ ; sumen 1,5 A, com cal.
Potència de la pila. $P = V\cdot I = 12\cdot1{,}5 = 18\ \text{W}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Dues bombetes idèntiques de 12 V i 6 W es connecten a una font de 12 V. Suposa que la resistència de cada bombeta no varia.
a) Calcula la resistència de cada bombeta.
b) Calcula la potència de cada bombeta si es connecten en sèrie.
c) I si es connecten en paral·lel? En quin cas il·luminen més?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

R = 24\ \Omega

Resolució

Dades. Valors nominals de cada bombeta: 12 V i 6 W.
Potència i resistència. De $P = \dfrac{V^{2}}{R}$ : $R = \dfrac{V^{2}}{P} = \dfrac{12^{2}}{6} = 24\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

P = 1{,}5\ \text{W}

cada bombeta.

Resolució

Associació en sèrie. $R_{eq} = 24 + 24 = 48\ \Omega$ i $I = \dfrac{12}{48} = 0{,}25\ \text{A}$ .
Potència. $P = I^{2}\cdot R = 0{,}25^{2}\cdot24 = 1{,}5\ \text{W}$ cadascuna: cada bombeta rep només 6 V, la meitat de la tensió nominal.

Apartat c)

Resultat

P = 6\ \text{W}

cada bombeta; il·luminen més en paral·lel.

Resolució

Associació en paral·lel. Cada bombeta rep els 12 V complets: $P = \dfrac{V^{2}}{R} = \dfrac{144}{24} = 6\ \text{W}$ , la seva potència nominal.
Comparació. En paral·lel cada bombeta il·lumina quatre vegades més (6 W davant d'1,5 W).
A més. En paral·lel, si una es fon, l'altra continua encesa, cosa que no passa en sèrie.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Dues càrregues positives, $q_{1}$ = 4 μC i $q_{2}$ = 1 μC, estan separades 0,30 m. Determina el punt de la recta que les uneix on el camp elèctric total és nul i raona per què ha d'estar entre les dues càrregues i més a prop de la més petita.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

El camp és nul a

x = 0{,}20\ \text{m}

q_1

, és a dir, a 0,10 m de

q_2

Resolució

Per què entre les càrregues. Les dues càrregues són positives: entre elles els camps tenen sentits oposats i es poden anul·lar; fora del segment, els dos camps apunten en el mateix sentit i mai no es compensen.
Per què més a prop de la petita. El camp de la càrrega gran és més intens i s'ha de «diluir» amb més distància perquè iguali el de la petita.
Condició de camp nul. Sigui x la distància a $q_1$ : $k\cdot\dfrac{q_1}{x^{2}} = k\cdot\dfrac{q_2}{(0{,}30 - x)^{2}}\ \Rightarrow\ \dfrac{\sqrt{4}}{x} = \dfrac{\sqrt{1}}{0{,}30 - x}\ \Rightarrow\ 2\,(0{,}30 - x) = x$
Càlcul. $0{,}60 = 3x\ \Rightarrow\ x = 0{,}20\ \text{m}$ des de $q_1$ (a 0,10 m de $q_2$ ).
Comprovació. $E_1 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}20^{2}} = 9\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ i $E_2 = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1\cdot10^{-6}}{0{,}10^{2}} = 9\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ : iguals i de sentit contrari.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un aparell de 2300 W, dissenyat per funcionar a 230 V, es connecta a la xarxa amb un cable de coure (ρ = 1,7· $10^{-8}$ Ω·m) d'1,5 mm² de secció i 50 m de longitud total (anada i tornada). Suposa que pel cable circula la intensitat nominal de l'aparell.
a) Calcula aquesta intensitat.
b) Calcula la resistència del cable, la caiguda de tensió i la potència que es dissipa al cable per efecte Joule.
c) Quin percentatge de la potència de l'aparell representa aquesta pèrdua?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

I = 10\ \text{A}

Resolució

Dades. Aparell de 2300 W a 230 V.
Potència elèctrica. $P = V\cdot I\ \Rightarrow\ I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{2300}{230} = 10\ \text{A}$ .

Apartat b)

Resultat

R = 0{,}567\ \Omega

;

\Delta V = 5{,}67\ \text{V}

;

P_{cable} = 56{,}7\ \text{W}

Resolució

Resistència del cable. $L = 50\ \text{m}$ , $S = 1{,}5\ \text{mm}^{2} = 1{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ : $R = \rho\cdot\dfrac{L}{S} = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{50}{1{,}5\cdot10^{-6}} = 0{,}567\ \Omega$
Caiguda de tensió (llei d'Ohm). $\Delta V = I\cdot R = 10\cdot0{,}567 = 5{,}67\ \text{V}$ .
Efecte Joule. $P_{cable} = I^{2}\cdot R = 10^{2}\cdot0{,}567 = 56{,}7\ \text{W}$ (o bé $\Delta V\cdot I = 5{,}67\cdot10 = 56{,}7\ \text{W}$ ).

Apartat c)

Resultat

La pèrdua és el 2,5 % de la potència de l'aparell.

Resolució

Percentatge. $\dfrac{56{,}7}{2300} = 0{,}0246\ \Rightarrow$ un 2,5 %.
Interpretació. Aquesta energia perduda escalfa el cable; amb un cable més prim o més llarg la pèrdua seria més gran i el risc d'escalfament també.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Dues boles idèntiques d'1,0 g, amb la mateixa càrrega, pengen de fils aïllants de 30 cm lligats al mateix punt. A l'equilibri, les boles estan separades 6,0 cm. Calcula la càrrega de cada bola (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ; k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

q \approx 2{,}0\cdot10^{-8}\ \text{C}

(20 nC) cada bola

Resolució

Forces sobre cada bola. El pes $m\,g$ (vertical), la tensió del fil (que forma un angle θ amb la vertical) i la repulsió elèctrica F (horitzontal).
Condició d'equilibri. $T\cos\theta = m\,g$ i $T\sin\theta = F$ , d'on $F = m\,g\,\tan\theta$ .
Angle. $\sin\theta = \dfrac{d/2}{L} = \dfrac{0{,}030}{0{,}30} = 0{,}10\ \Rightarrow\ \theta = 5{,}74^{\circ}$ i $\tan\theta = 0{,}1005$ .
Força elèctrica. $F = 1{,}0\cdot10^{-3}\cdot9{,}8\cdot0{,}1005 = 9{,}85\cdot10^{-4}\ \text{N}$ .
Llei de Coulomb amb $q_1 = q_2 = q$ i $d = 0{,}060\ \text{m}$ : $F = k\,\dfrac{q^{2}}{d^{2}}\ \Rightarrow\ q = d\sqrt{\dfrac{F}{k}} = 0{,}060\cdot\sqrt{\dfrac{9{,}85\cdot10^{-4}}{9\cdot10^{9}}} = 1{,}98\cdot10^{-8}\ \text{C} \approx 2{,}0\cdot10^{-8}\ \text{C}$
Error típic. Prendre com a distància entre les càrregues la longitud del fil: la distància de la llei de Coulomb és la separació entre les boles (6,0 cm).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Dues resistències connectades en sèrie tenen una resistència equivalent de 25 Ω; connectades en paral·lel, de 6 Ω. Calcula el valor de cada resistència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

R_1 = 15\ \Omega

R_2 = 10\ \Omega

Resolució

Plantejament. Siguin $R_1$ i $R_2$ les dues resistències. En sèrie: $R_1 + R_2 = 25$ .
Associació en paral·lel. $\dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 6\ \Rightarrow\ R_1 R_2 = 6\cdot25 = 150$ .
Equació de segon grau. Coneixem la suma (25) i el producte (150): $R_1$ i $R_2$ són les arrels de $x^{2} - 25x + 150 = 0$ : $x = \dfrac{25 \pm \sqrt{625 - 600}}{2} = \dfrac{25 \pm 5}{2}\ \Rightarrow\ x = 15\ \text{o}\ x = 10$
Comprovació. $15 + 10 = 25\ \Omega$ en sèrie i $\dfrac{15\cdot10}{25} = 6\ \Omega$ en paral·lel.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Un generador de força electromotriu ε = 12 V i resistència interna r = 1,0 Ω alimenta una resistència de 3,0 Ω connectada en sèrie amb dues resistències de 6,0 Ω i 3,0 Ω en paral·lel.
a) Calcula la resistència total i la intensitat que subministra el generador.
b) Calcula la tensió entre els borns del generador i la intensitat per cada resistència.
c) Calcula la potència total del generador, la perduda a la resistència interna i el rendiment.
d) Per a quina resistència de càrrega única es transfereix la potència màxima a la càrrega? Quant val?

Generador real de fem 12 V i resistència interna 1,0 Ω connectat a una resistència de 3,0 Ω en sèrie amb 6,0 Ω i 3,0 Ω en paral·lel

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

R_{total} = 6{,}0\ \Omega

;

I = 2{,}0\ \text{A}

Resolució

Dades. $\varepsilon = 12\ \text{V}$ , $r = 1{,}0\ \Omega$ ; 3,0 Ω en sèrie amb el paral·lel de 6,0 Ω i 3,0 Ω.
Paral·lel. $R_p = \dfrac{6\cdot3}{6 + 3} = 2{,}0\ \Omega$ .
Llei d'Ohm generalitzada. $R_{total} = 3{,}0 + 2{,}0 + r = 6{,}0\ \Omega$ i $I = \dfrac{\varepsilon}{R_{total}} = \dfrac{12}{6{,}0} = 2{,}0\ \text{A}$ .

Apartat b)

Resultat

V_{borns} = 10\ \text{V}

; 3 Ω en sèrie: 2,0 A; 6 Ω: 0,67 A; 3 Ω del paral·lel: 1,33 A

Resolució

Tensió als borns. $V_{borns} = \varepsilon - I\,r = 12 - 2{,}0\cdot1{,}0 = 10\ \text{V}$ .
Resistència en sèrie. Hi passa tota la intensitat, 2,0 A, i hi cauen $2{,}0\cdot3{,}0 = 6{,}0\ \text{V}$ .
Paral·lel. $V_p = I\cdot R_p = 2{,}0\cdot2{,}0 = 4{,}0\ \text{V}$ : per la de 6 Ω passen $\dfrac{4{,}0}{6} = 0{,}67\ \text{A}$ i per la de 3 Ω, $\dfrac{4{,}0}{3} = 1{,}33\ \text{A}$ (sumen 2,0 A).

Apartat c)

Resultat

P_{gen} = 24\ \text{W}

;

P_{interna} = 4{,}0\ \text{W}

; rendiment

\eta = 83\ \%

Resolució

Potència total. $P_{gen} = \varepsilon\cdot I = 12\cdot2{,}0 = 24\ \text{W}$ .
Potència perduda. $P_{interna} = I^{2}\cdot r = 2{,}0^{2}\cdot1{,}0 = 4{,}0\ \text{W}$ ; per tant, $P_{útil} = 24 - 4 = 20\ \text{W}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{útil}}{P_{gen}} = \dfrac{20}{24} = 0{,}83$ , un 83 %.

Apartat d)

Resultat

Per a

R = r = 1{,}0\ \Omega

P_{màx} = 36\ \text{W}

(amb rendiment del 50 %).

Resolució

Potència a la càrrega. $P_{càrrega} = I^{2}R = \dfrac{\varepsilon^{2}\,R}{(R + r)^{2}}$ , que és màxima quan $R = r = 1{,}0\ \Omega$ .
Càlcul. $I = \dfrac{12}{2{,}0} = 6{,}0\ \text{A}$ i $P = 6{,}0^{2}\cdot1{,}0 = 36\ \text{W}$ ; però el rendiment és només del 50 %.
Observació. Cal triar entre potència màxima (R = r) i rendiment màxim (R molt més gran que r).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Un pont de Wheatstone té quatre braços: $R_{1}$ = 100 Ω (superior esquerre), $R_{2}$ = 200 Ω (inferior esquerre), $R_{3}$ = 150 Ω (superior dret) i $R_{x}$ (inferior dret). Entre els punts mitjans dels dos costats hi ha una resistència de 100 Ω. El conjunt s'alimenta amb 12 V (pol positiu al vèrtex superior, on s'uneixen $R_{1}$ i $R_{3}$ ; pol negatiu al vèrtex inferior, on s'uneixen $R_{2}$ i $R_{x}$ ).
a) Quant ha de valer $R_{x}$ perquè no passi corrent per la resistència central (pont equilibrat)?
b) En aquest cas, calcula la resistència equivalent i la intensitat total.
c) Si $R_{x}$ = 250 Ω, les tensions als dos punts mitjans són $V_{a}$ = 7,872 V i $V_{b}$ = 7,68 V (respecte del pol negatiu). Calcula la intensitat per la resistència central i en quin sentit va.

Pont de Wheatstone en rombe amb R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 150 Ω i Rx desconeguda, una resistència central de 100 Ω entre els punts a i b i una font de 12 V

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

R_x = 300\ \Omega

Resolució

Condició d'equilibri. Si no passa corrent per la resistència central, els punts a i b tenen el mateix potencial: la tensió es reparteix en la mateixa proporció als dos costats, $\dfrac{R_1}{R_2} = \dfrac{R_3}{R_x}$ .
Càlcul. $R_x = \dfrac{R_2\cdot R_3}{R_1} = \dfrac{200\cdot150}{100} = 300\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

R_{eq} = 180\ \Omega

;

I = 0{,}0667\ \text{A} = 66{,}7\ \text{mA}

Resolució

Circuit equivalent. Sense corrent per la central, queden dues branques en paral·lel: esquerra $100 + 200 = 300\ \Omega$ i dreta $150 + 300 = 450\ \Omega$ .
Resistència equivalent. $R_{eq} = \dfrac{300\cdot450}{750} = 180\ \Omega$ .
Intensitat total. $I = \dfrac{12}{180} = 0{,}0667\ \text{A} = 66{,}7\ \text{mA}$ : 40 mA per l'esquerra i 26,7 mA per la dreta.
Comprovació. $V_a = 40\ \text{mA}\cdot200\ \Omega = 8{,}0\ \text{V}$ i $V_b = 26{,}7\ \text{mA}\cdot300\ \Omega = 8{,}0\ \text{V}$ : iguals, com cal.

Apartat c)

Resultat

I = 1{,}92\ \text{mA}

, d'a cap a b.

Resolució

Diferència de potencial. $V_a - V_b = 7{,}872 - 7{,}680 = 0{,}192\ \text{V}$ .
Llei d'Ohm a la resistència central. $I = \dfrac{0{,}192}{100} = 1{,}92\cdot10^{-3}\ \text{A} = 1{,}92\ \text{mA}$ .
Sentit. El corrent va del punt de potencial més alt al més baix: d'a cap a b.
Observació. El pont equilibrat serveix per mesurar una resistència desconeguda sense els errors de l'amperímetre.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Dues càrregues puntuals de +2,0 μC i -2,0 μC estan separades 0,20 m (un dipol). Considera k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ .
a) Calcula el camp elèctric al punt mig entre les dues càrregues (mòdul i sentit).
b) Calcula el camp a un punt situat a 0,15 m de la recta que les uneix, sobre la mediatriu del segment (mòdul i direcció).
c) Quina força actua sobre un electró (q = -1,6· $10^{-19}$ C) situat al punt mig?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

E = 3{,}6\cdot10^{6}\ \text{N/C}

, dirigit de la càrrega positiva cap a la negativa.

Resolució

Dades. $q = 2{,}0\ \mu\text{C}$ ; al punt mig, cada càrrega és a $r = 0{,}10\ \text{m}$ .
Sentits. Els dos camps tenen el mateix sentit, cap a la càrrega negativa: la positiva allunya una càrrega de prova i la negativa l'atrau.
Principi de superposició. $E = 2\cdot k\,\dfrac{q}{r^{2}} = 2\cdot9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}10^{2}} = 3{,}6\cdot10^{6}\ \text{N/C}$

Apartat b)

Resultat

E = 6{,}14\cdot10^{5}\ \text{N/C}

, paral·lel a la recta que uneix les càrregues, cap al costat de la negativa.

Resolució

Distància a cada càrrega. $r = \sqrt{0{,}10^{2} + 0{,}15^{2}} = \sqrt{0{,}0325} = 0{,}180\ \text{m}$ .
Camp de cada càrrega. $E_1 = E_2 = k\,\dfrac{q}{r^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{2{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}0325} = 5{,}54\cdot10^{5}\ \text{N/C}$ .
Superposició. Per simetria, les components en la direcció de la mediatriu s'anul·len i les paral·leles al segment se sumen: $E = 2\cdot5{,}54\cdot10^{5}\cdot\dfrac{0{,}10}{0{,}180} = 6{,}14\cdot10^{5}\ \text{N/C}$
Observació. El camp al punt mig és unes sis vegades el d'aquest punt: el camp d'un dipol decau ràpidament amb la distància (lluny, com $1/r^{3}$ ).

Apartat c)

Resultat

F = 5{,}8\cdot10^{-13}\ \text{N}

, cap a la càrrega positiva (sentit contrari al camp).

Resolució

Força elèctrica. $F = |q|\cdot E = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3{,}6\cdot10^{6} = 5{,}8\cdot10^{-13}\ \text{N}$ .
Sentit. L'electró té càrrega negativa: la força té sentit contrari al camp, és a dir, cap a la càrrega positiva.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Tres càrregues iguals de +3,0 μC ocupen els vèrtexs d'un triangle equilàter de 0,30 m de costat (k = 9· $10^{9}$ N· $\tfrac{m^{2}}{C^{2}}$ ).
a) Calcula la força total sobre una de les càrregues (mòdul i direcció).
b) Quina càrrega s'hauria de col·locar al centre del triangle perquè el sistema estigués en equilibri (que la força neta sobre cada càrrega dels vèrtexs fos nul·la)?
c) Aquest equilibri és estable o inestable? Raona-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

F_{total} = 1{,}56\ \text{N}

, cap a fora del triangle seguint la bisectriu del vèrtex (del centre cap al vèrtex).

Resolució

Llei de Coulomb entre dues càrregues. $F = k\,\dfrac{q^{2}}{a^{2}} = 9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(3{,}0\cdot10^{-6})^{2}}{0{,}30^{2}} = 0{,}90\ \text{N}\ \text{(repulsiva)}$
Superposició. Sobre una càrrega actuen dues forces de 0,90 N que formen un angle de 60°; la resultant va per la bisectriu: $F_{total} = 2\cdot0{,}90\cdot\cos30^{\circ} = 1{,}56\ \text{N}$
Direcció. Cap a fora del triangle, en la direcció que va del centre al vèrtex.

Apartat b)

Resultat

Q = -1{,}73\ \mu\text{C}

\left(= -q/\sqrt{3}\right)

Resolució

Distància centre–vèrtex. $d = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = 0{,}173\ \text{m}$ , i $d^{2} = 0{,}0300\ \text{m}^{2}$ .
Condició d'equilibri. La càrrega Q del centre ha d'atreure cada vèrtex amb 1,56 N: $k\,\dfrac{|Q|\,q}{d^{2}} = 1{,}56\ \Rightarrow\ |Q| = \dfrac{1{,}56\cdot0{,}0300}{9\cdot10^{9}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}} = 1{,}73\cdot10^{-6}\ \text{C}$
Signe. Ha d'atreure les càrregues positives, així que ha de ser negativa: $Q = -1{,}73\ \mu\text{C} = -q/\sqrt{3}$ .
Comprovació. $9\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1{,}73\cdot10^{-6}\cdot3{,}0\cdot10^{-6}}{0{,}0300} = 1{,}56\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

L'equilibri és inestable.

Resolució

Petit desplaçament. Si una càrrega d'un vèrtex s'acosta lleugerament al centre, l'atracció de Q creix més de pressa que la repulsió de les altres i la càrrega continua cap al centre; si s'allunya, passa el contrari i continua allunyant-se.
Teorema d'Earnshaw. Una configuració de càrregues puntuals no pot estar en equilibri estable només amb forces electrostàtiques.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Dues bombetes, una de 60 W i una altra de 100 W, dissenyades per a 230 V, es connecten en sèrie a una xarxa de 230 V. Suposa que les resistències són constants.
a) Calcula la resistència de cada bombeta.
b) Calcula la intensitat del circuit i la tensió a cada bombeta.
c) Calcula la potència real que dissipa cada una. Quina il·lumina més?
d) Explica per què el resultat és contraintuïtiu i què passaria si es connectessin en paral·lel.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

R_{60} = 882\ \Omega

;

R_{100} = 529\ \Omega

Resolució

Resistència a partir dels valors nominals. De $P = \dfrac{V^{2}}{R}$ : $R = \dfrac{V^{2}}{P}$ .
Càlcul. $R_{60} = \dfrac{230^{2}}{60} = 882\ \Omega$ i $R_{100} = \dfrac{230^{2}}{100} = 529\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

I = 0{,}163\ \text{A}

;

V_{60} = 144\ \text{V}

;

V_{100} = 86\ \text{V}

Resolució

Associació en sèrie. $R = 882 + 529 = 1411\ \Omega$ i $I = \dfrac{230}{1411} = 0{,}163\ \text{A}$ .
Llei d'Ohm a cada bombeta. $V_{60} = 0{,}163\cdot882 = 144\ \text{V}$ i $V_{100} = 0{,}163\cdot529 = 86\ \text{V}$ (sumen 230 V).

Apartat c)

Resultat

P_{60} = 23{,}4\ \text{W}

;

P_{100} = 14{,}1\ \text{W}

: il·lumina més la de 60 W.

Resolució

Potència dissipada. $P = I^{2}R$ : $P_{60} = 0{,}163^{2}\cdot882 = 23{,}4\ \text{W}$ i $P_{100} = 0{,}163^{2}\cdot529 = 14{,}1\ \text{W}$ .
Conclusió. Il·lumina més la de 60 W (la de menys potència nominal), i les dues molt menys que de normal.
Comprovació. $P_{total} = 230\cdot0{,}163 = 37{,}5\ \text{W} = 23{,}4 + 14{,}1\ \text{W}$ .

Apartat d)

Resultat

En sèrie dissipa més la de resistència més gran (la de 60 W); en paral·lel cada una dona la seva potència nominal i il·lumina més la de 100 W.

Resolució

Per què és contraintuïtiu. Amb la mateixa intensitat, dissipa més la resistència més gran ( $P = I^{2}R$ ), i la bombeta de 60 W és la que en té més.
En paral·lel. Cada bombeta té 230 V i dissipa la seva potència nominal (60 W i 100 W): la de 100 W il·lumina més, com esperaríem.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

El filament de tungstè d'una bombeta de 100 W i 230 V treballa a 2400 °C. La seva resistència varia amb la temperatura segons R = $R_{0}$ ·[1 + α·(T - $T_{0}$ )], amb α = 4,5· $10^{-3}$ ° $\text{C}^{-1}$ i $T_{0}$ = 20 °C.
a) Calcula la resistència del filament en funcionament i la intensitat nominal.
b) Calcula la resistència en fred (20 °C).
c) Quina intensitat i quina potència hi ha en el moment d'encendre la bombeta (filament fred)?
d) Explica per què les bombetes incandescents es fonen sobretot quan s'encenen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

R = 529\ \Omega

;

I = 0{,}435\ \text{A}

Resolució

Valors nominals. En funcionament, $P = 100\ \text{W}$ i $V = 230\ \text{V}$ .
Càlcul. $R = \dfrac{V^{2}}{P} = \dfrac{230^{2}}{100} = 529\ \Omega$ i $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{100}{230} = 0{,}435\ \text{A}$ .

Apartat b)

Resultat

R_0 = 45{,}2\ \Omega

Resolució

Variació de la resistència amb la temperatura. $\dfrac{R}{R_0} = 1 + \alpha\,(T - T_0) = 1 + 4{,}5\cdot10^{-3}\cdot(2400 - 20) = 1 + 10{,}71 = 11{,}71$
Càlcul. $R_0 = \dfrac{529}{11{,}71} = 45{,}2\ \Omega$ .

Apartat c)

Resultat

I = 5{,}09\ \text{A}

(11,7 vegades la nominal);

P \approx 1170\ \text{W}

Resolució

En l'encesa. El filament és fred i té la resistència $R_0 = 45{,}2\ \Omega$ : $I = \dfrac{230}{45{,}2} = 5{,}09\ \text{A}$ , 11,7 vegades la nominal.
Potència. $P = \dfrac{V^{2}}{R_0} = \dfrac{230^{2}}{45{,}2} \approx 1170\ \text{W}$ .
Interpretació. Aquest pic dura una fracció de segon, fins que el filament s'escalfa i R puja.

Apartat d)

Resultat

En encendre-la, el pic de corrent escalfa el filament de manera sobtada i desigual, i les zones primes o gastades es fonen.

Resolució

Causa. En l'encesa, el pic de corrent escalfa el filament de manera sobtada i desigual.
Efecte. Si hi ha una zona prima o gastada del filament, s'escalfa molt més i es fon. Per això es fonen més sovint en encendre's que en funcionar.
Observació. El filament és un conductor no òhmic: V/I no és constant (Ohm només val a temperatura constant). Aquesta propietat s'aprofita en els termistors.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una línia elèctrica de dos cables té una resistència total de 0,50 Ω i ha de transportar una potència de 100 kW fins a un poble. Considera que tota la potència es transmet amb factor de potència 1 (P = V·I).
a) Calcula el corrent i la potència perduda per efecte Joule si es transporta a 400 V.
b) Fes el mateix si es transporta a 20 kV.
c) Calcula les pèrdues en percentatge de la potència transportada en cada cas.
d) Explica per què es transporta a tensions molt altes i com es redueix després.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

I = 250\ \text{A}

;

P_{pèrdua} = 31\,250\ \text{W} \approx 31{,}3\ \text{kW}

Resolució

Dades. $P = 100\ \text{kW} = 100\,000\ \text{W}$ , $R_{línia} = 0{,}50\ \Omega$ , $V = 400\ \text{V}$ .
Corrent. $P = V\cdot I\ \Rightarrow\ I = \dfrac{100\,000}{400} = 250\ \text{A}$ .
Efecte Joule. $P_{pèrdua} = I^{2}\cdot R = 250^{2}\cdot0{,}50 = 31\,250\ \text{W} \approx 31{,}3\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

I = 5{,}0\ \text{A}

;

P_{pèrdua} = 12{,}5\ \text{W}

Resolució

Corrent. $I = \dfrac{100\,000}{20\,000} = 5{,}0\ \text{A}$ .
Efecte Joule. $P_{pèrdua} = 5{,}0^{2}\cdot0{,}50 = 12{,}5\ \text{W}$ .

Apartat c)

Resultat

A 400 V es perd el 31 %; a 20 kV, el 0,0125 % (2500 vegades menys).

Resolució

A 400 V. $\dfrac{31{,}3\ \text{kW}}{100\ \text{kW}} = 0{,}31\ \Rightarrow$ 31 %.
A 20 kV. $\dfrac{12{,}5\ \text{W}}{100\,000\ \text{W}} = 1{,}25\cdot10^{-4}\ \Rightarrow$ 0,0125 %.
Comparació. Les pèrdues són 2500 vegades menors a 20 kV.

Apartat d)

Resultat

Amb més tensió, menys corrent i pèrdues (∝ I²) molt més petites; la tensió s'eleva i es redueix amb transformadors.

Resolució

Raonament. Per transportar la mateixa potència, si la tensió es multiplica per 50, el corrent es divideix per 50 i les pèrdues (proporcionals a I²) per 2500.
A la pràctica. A la sortida de les centrals s'eleva la tensió (centenars de kV) amb transformadors, i prop dels consumidors es redueix a 230 V amb altres transformadors.
Error típic. Pensar que una tensió més alta implica més pèrdues perquè «és més perillosa»: el que causa les pèrdues és el corrent.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Una persona toca amb una mà un cable defectuós a 230 V i amb l'altra una part connectada a terra. La resistència del cos entre mans és de 100 kΩ amb la pell seca, de 2,0 kΩ amb la pell mullada i d'1,0 kΩ amb la pell molt mullada i sal. Un interruptor automàtic de 16 A i un interruptor diferencial de 30 mA protegeixen la instal·lació.
a) Calcula el corrent pel cos en cada cas.
b) Saltarà l'interruptor automàtic de 16 A? I el diferencial? Raona-ho.
c) Calcula l'energia dissipada en el cos si el diferencial actua en 40 ms amb la pell mullada (2,0 kΩ).
d) Per què és perillós tocar aparells elèctrics amb les mans mullades?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

Pell seca:

I = 2{,}3\ \text{mA}

; mullada:

115\ \text{mA}

; molt mullada:

230\ \text{mA}

Resolució

Llei d'Ohm. El cos fa de resistència entre el cable a 230 V i terra: $I = \dfrac{V}{R}$ .
Pell seca. $I = \dfrac{230}{100\,000} = 2{,}3\cdot10^{-3}\ \text{A} = 2{,}3\ \text{mA}$ .
Pell mullada i molt mullada. $I = \dfrac{230}{2000} = 0{,}115\ \text{A} = 115\ \text{mA}$ ; $I = \dfrac{230}{1000} = 0{,}230\ \text{A} = 230\ \text{mA}$ .

Apartat b)

Resultat

L'automàtic de 16 A no salta en cap cas; el diferencial salta amb 115 mA i 230 mA, però no amb 2,3 mA.

Resolució

Interruptor automàtic. No actua en cap cas: el corrent pel cos és molt menor que 16 A. Protegeix els cables de sobrecàrregues i curtcircuits, no les persones.
Diferencial. Detecta que part del corrent «se'n va a terra» pel cos: amb 115 mA i 230 mA (més de 30 mA) salta.
Pell seca. Amb 2,3 mA (inferior a 30 mA) no salta, però aquest corrent només es nota com un formigueig.

Apartat c)

Resultat

E \approx 1{,}06\ \text{J}

Resolució

Potència al cos. $P = V\cdot I = 230\cdot0{,}115 = 26{,}5\ \text{W}$ .
Energia. $E = P\cdot t = 26{,}5\cdot0{,}040 = 1{,}06\ \text{J}$ .
Interpretació. És poca energia, però el que importa és el corrent que passa pel cor.

Apartat d)

Resultat

Amb la pell mullada la resistència baixa unes 50 vegades i el corrent supera els 100 mA, que pot provocar fibril·lació ventricular.

Resolució

Causa. Amb les mans mullades la resistència de la pell baixa unes 50 vegades.
Efecte. El corrent passa de ~2 mA a més de 100 mA, un valor que pot provocar fibril·lació ventricular. Els efectes depenen del corrent (més de 30 mA és perillós) i del temps.
Observació. El corrent, i no la tensió, és el que fa mal; però la tensió determina el corrent per la llei d'Ohm.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

En un laboratori es mesuren la tensió i la intensitat d'una bombeta de filament: V (V) = 0,5; 1,0; 2,0; 4,0; 6,0; 8,0 i I (mA) = 38; 70; 118; 190; 245; 292.
a) Calcula la resistència V/I en cada punt. Compleix la llei d'Ohm?
b) Calcula la potència en cada punt.
c) Calcula la resistència diferencial ΔV/ΔI entre punts consecutius i compara-la amb V/I.
d) Explica el comportament en termes de temperatura del filament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

V/I = 13,2; 14,3; 16,9; 21,1; 24,5 i 27,4 Ω. No compleix la llei d'Ohm (conductor no òhmic).

Resolució

Llei d'Ohm. Un conductor és òhmic si $R = V/I$ és constant. Passa la intensitat a amperes (38 mA = 0,038 A) i calcula el quocient a cada punt.
Càlcul. Per exemple, $\dfrac{0{,}5}{0{,}038} = 13{,}2\ \Omega$ i $\dfrac{8{,}0}{0{,}292} = 27{,}4\ \Omega$ . Tots els valors:
V (V) I (mA) V/I (Ω) P (W)
0,5 38 13,2 0,019
1,0 70 14,3 0,070
2,0 118 16,9 0,236
4,0 190 21,1 0,76
6,0 245 24,5 1,47
8,0 292 27,4 2,34
Conclusió. V/I no és constant: la bombeta no compleix la llei d'Ohm (conductor no òhmic); la gràfica V-I no és una recta, sinó una corba que s'aplana.

V (V)	I (mA)	V/I (Ω)	P (W)
0,5	38	13,2	0,019
1,0	70	14,3	0,070
2,0	118	16,9	0,236
4,0	190	21,1	0,76
6,0	245	24,5	1,47
8,0	292	27,4	2,34

Apartat b)

Resultat

P = 0,019; 0,070; 0,236; 0,76; 1,47 i 2,34 W

Resolució

Potència elèctrica. $P = V\cdot I$ , amb I en amperes.
Càlcul. $0{,}5\cdot0{,}038 = 0{,}019\ \text{W}$ ; $1{,}0\cdot0{,}070 = 0{,}070\ \text{W}$ ; $2{,}0\cdot0{,}118 = 0{,}236\ \text{W}$ ; $4{,}0\cdot0{,}190 = 0{,}76\ \text{W}$ ; $6{,}0\cdot0{,}245 = 1{,}47\ \text{W}$ ; $8{,}0\cdot0{,}292 = 2{,}34\ \text{W}$ (columna P de la taula de l'apartat a).

Apartat c)

Resultat

ΔV/ΔI = 15,6; 20,8; 27,8; 36,4 i 42,6 Ω: sempre més gran que V/I.

Resolució

Resistència diferencial. $\dfrac{\Delta V}{\Delta I}$ entre punts consecutius, per exemple $\dfrac{1{,}0 - 0{,}5}{0{,}070 - 0{,}038} = \dfrac{0{,}5}{0{,}032} = 15{,}6\ \Omega$ .
Resultats. 15,6; 20,8; 27,8; 36,4 i 42,6 Ω.
Comparació. És més gran que V/I perquè R augmenta amb V: $dV = d(I\cdot R) = R\,dI + I\,dR$ , i el terme $I\,dR$ és positiu.

Apartat d)

Resultat

El filament s'escalfa per efecte Joule i la resistivitat del metall augmenta amb la temperatura: per això R creix de 13 a 27 Ω.

Resolució

Causa. El filament s'escalfa per efecte Joule: la potència $P = V\cdot I$ creix de 0,02 a 2,3 W.
Efecte. La resistivitat dels metalls augmenta amb la temperatura; per això R creix de 13 a 27 Ω i la corba V-I no és recta. La resistència en fred és per sota dels 13 Ω.
Comprovació. A 8 V la resistència (27,4 Ω) és 2,1 vegades la de 0,5 V (13,2 Ω), cosa que indica un escalfament important.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

En un experiment tipus Millikan, una gota d'oli de massa 1,0· $10^{-15}$ kg queda en equilibri entre dues plaques horitzontals separades 2,0 cm, amb una diferència de potencial de 1220 V entre elles (camp uniforme E = $\tfrac{V}{d}$ ; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula el camp elèctric entre les plaques.
b) Calcula la càrrega de la gota, i quants electrons de càrrega elemental (1,6· $10^{-19}$ C) representa.
c) Una altra gota de la mateixa massa necessita 612,5 V per quedar en equilibri. Quina càrrega té?
d) Per què les càrregues sempre surten com a múltiples enters d'una càrrega mínima i què demostra això?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

E = 6{,}1\cdot10^{4}\ \text{V/m}

(N/C)

Resolució

Dades. $V = 1220\ \text{V}$ , $d = 2{,}0\ \text{cm} = 0{,}020\ \text{m}$ .
Camp uniforme entre plaques. $E = \dfrac{V}{d} = \dfrac{1220}{0{,}020} = 6{,}1\cdot10^{4}\ \text{V/m}$ (= N/C).

Apartat b)

Resultat

q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}

: 1 càrrega elemental (un electró de més).

Resolució

Condició d'equilibri. La força elèctrica equilibra el pes: $q\,E = m\,g$ .
Càlcul. $q = \dfrac{m\,g}{E} = \dfrac{1{,}0\cdot10^{-15}\cdot9{,}8}{6{,}1\cdot10^{4}} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$
Interpretació. És 1,0 vegades la càrrega elemental: un electró de més o de menys. (La força elèctrica ha d'apuntar cap amunt; amb la placa positiva a dalt, la gota ha de ser negativa, és a dir, té un electró de més.)

Apartat c)

Resultat

q' = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}

= 2 càrregues elementals

Resolució

Nou camp. $E' = \dfrac{612{,}5}{0{,}020} = 3{,}06\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ .
Càrrega. $q' = \dfrac{9{,}8\cdot10^{-15}}{3{,}06\cdot10^{4}} = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , és a dir, 2 vegades la càrrega elemental.
Observació. La tensió necessària es redueix a la meitat quan la càrrega es duplica: $V \propto 1/q$ amb m i d constants.

Apartat d)

Resultat

Perquè la càrrega està quantitzada: només existeix en múltiples enters de

e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}

Resolució

Resultats experimentals. Les mesures de moltes gotes donen càrregues $1{,}6\cdot10^{-19}$ , $3{,}2\cdot10^{-19}$ , $4{,}8\cdot10^{-19}\ \text{C}$ … sempre múltiples enters d'una mateixa quantitat.
Conclusió. Això demostra que la càrrega elèctrica està quantitzada: només existeix en paquets de valor $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , la càrrega de l'electró.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Un habitatge a 230 V té un interruptor de control de potència (ICP) de 25 A. S'hi connecten simultàniament: un forn de 2500 W, una rentadora de 2200 W, un assecador de cabells de 1800 W, un microones de 1200 W i la il·luminació de 800 W. El forn es connecta per un cable de coure (ρ = 1,7· $10^{-8}$ Ω·m) de 2,5 mm² i 20 m de longitud (anada i tornada: 40 m), amb un corrent de 16 A.
a) Calcula la potència total i la intensitat si funcionen tots alhora. Salta l'ICP?
b) Amb un coeficient de simultaneïtat de 0,6, quina intensitat és la realista?
c) Calcula la resistència del cable, la caiguda de tensió i la potència perduda en el cable.
d) La caiguda màxima admesa és del 3 %. Compleix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

P = 8500\ \text{W}

;

I = 37{,}0\ \text{A}

> 25 A: l'ICP salta.

Resolució

Aparells en paral·lel. Les potències se sumen: $P = 2500 + 2200 + 1800 + 1200 + 800 = 8500\ \text{W}$ .
Intensitat. $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{8500}{230} = 37{,}0\ \text{A}$ .
Conclusió. 37,0 A > 25 A: l'ICP salta.

Apartat b)

Resultat

I = 22{,}2\ \text{A}

< 25 A: l'ICP aguanta.

Resolució

Coeficient de simultaneïtat. $0{,}6\cdot8500 = 5100\ \text{W}$ i $I = \dfrac{5100}{230} = 22{,}2\ \text{A}$ < 25 A.
Interpretació. En la pràctica no funcionen mai tots els aparells a la vegada, i amb aquesta intensitat realista l'ICP aguanta.

Apartat c)

Resultat

R = 0{,}272\ \Omega

;

\Delta V = 4{,}35\ \text{V}

;

P = 69{,}6\ \text{W}

Resolució

Resistència del cable. $L = 40\ \text{m}$ , $S = 2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ : $R = \rho\,\dfrac{L}{S} = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{40}{2{,}5\cdot10^{-6}} = 0{,}272\ \Omega$
Caiguda de tensió. $\Delta V = I\cdot R = 16\cdot0{,}272 = 4{,}35\ \text{V}$ .
Potència perduda (efecte Joule). $P = I^{2}R = 16^{2}\cdot0{,}272 = 69{,}6\ \text{W}$ .

Apartat d)

Resultat

Caiguda del 1,9 % < 3 %: compleix.

Resolució

Caiguda relativa. $\dfrac{4{,}35}{230} = 0{,}019$ , un 1,9 % < 3 %: compleix.
Comparació. Si el cable fos d'1,5 mm², R = 0,453 Ω, la caiguda seria 7,25 V (3,2 %) i no compliria.
Observació. El coure de 2,5 mm² admet uns 20 A; la secció es tria per la intensitat màxima i per la caiguda de tensió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Es disposa de quatre piles idèntiques de força electromotriu 1,5 V i resistència interna 0,20 Ω, que es poden connectar totes en sèrie o totes en paral·lel. Es volen alimentar dues càrregues: una resistència de 10 Ω i una altra de 0,10 Ω.
a) Calcula la fem i la resistència interna equivalents de cada associació.
b) Calcula la intensitat i la potència a la càrrega de 10 Ω per a cada associació.
c) Repeteix-ho per a la càrrega de 0,10 Ω.
d) Conclusió: quan convé cada associació? Per a quina resistència es transfereix la potència màxima?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

Sèrie:

\varepsilon = 6{,}0\ \text{V}

r = 0{,}80\ \Omega

. Paral·lel:

\varepsilon = 1{,}5\ \text{V}

r = 0{,}050\ \Omega

Resolució

Associació en sèrie. Les fem i les resistències internes se sumen: $\varepsilon = 4\cdot1{,}5 = 6{,}0\ \text{V}$ i $r = 4\cdot0{,}20 = 0{,}80\ \Omega$ .
Associació en paral·lel (piles idèntiques). La fem és la d'una pila i les resistències internes queden en paral·lel: $\varepsilon = 1{,}5\ \text{V}$ i $r = \dfrac{0{,}20}{4} = 0{,}050\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

Sèrie:

I = 0{,}556\ \text{A}

P = 3{,}09\ \text{W}

. Paral·lel:

I = 0{,}149\ \text{A}

P = 0{,}223\ \text{W}

Resolució

Llei d'Ohm generalitzada. $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$ i la potència a la càrrega és $P = I^{2}R$ .
Sèrie. $I = \dfrac{6{,}0}{10 + 0{,}80} = 0{,}556\ \text{A}$ i $P = 0{,}556^{2}\cdot10 = 3{,}09\ \text{W}$ .
Paral·lel. $I = \dfrac{1{,}5}{10 + 0{,}050} = 0{,}149\ \text{A}$ i $P = 0{,}149^{2}\cdot10 = 0{,}223\ \text{W}$ . Amb 10 Ω, la sèrie és unes 14 vegades millor.

Apartat c)

Resultat

Sèrie:

I = 6{,}67\ \text{A}

P = 4{,}44\ \text{W}

. Paral·lel:

I = 10{,}0\ \text{A}

P = 10{,}0\ \text{W}

Resolució

Sèrie. $I = \dfrac{6{,}0}{0{,}10 + 0{,}80} = 6{,}67\ \text{A}$ i $P = 6{,}67^{2}\cdot0{,}10 = 4{,}44\ \text{W}$ .
Paral·lel. $I = \dfrac{1{,}5}{0{,}10 + 0{,}050} = 10{,}0\ \text{A}$ i $P = 10{,}0^{2}\cdot0{,}10 = 10{,}0\ \text{W}$ .
Comparació. Ara el paral·lel és unes 2,3 vegades millor.

Apartat d)

Resultat

Sèrie per a càrregues de resistència gran; paral·lel per a càrregues de resistència petita. La potència és màxima quan

R = r_{int}

Resolució

Transferència màxima de potència. La potència a la càrrega és màxima quan la seva resistència és igual a la resistència interna: R = 0,80 Ω (sèrie) o R = 0,050 Ω (paral·lel).
Conclusió. Per a càrregues de resistència alta (10 Ω ≫ 0,8 Ω) convé la sèrie, que dona més tensió; per a càrregues de resistència baixa (0,10 Ω, de l'ordre de 0,05 Ω) convé el paral·lel, que té resistència interna baixa.
Observació. El paral·lel també dona més durada (càrrega total 4 vegades més gran que la d'una sola pila) amb la mateixa tensió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Per determinar la resistivitat d'un fil, es mesuren: longitud L = 0,500 ± 0,001 m, diàmetre d = 0,20 ± 0,01 mm (micròmetre) i resistència R = 7,8 ± 0,1 Ω. La resistivitat és ρ = R·A/L, amb A = π· $\tfrac{d^{2}}{4}$ .
a) Calcula ρ.
b) Calcula l'error relatiu de cada mesura i l'error relatiu màxim de ρ (suma d'errors relatius, amb el diàmetre multiplicat per 2 perquè apareix al quadrat).
c) Expressa ρ ± Δρ amb les xifres adequades i digues si és compatible amb el constantà (4,9· $10^{-7}$ Ω·m).
d) Quina mesura convindria millorar?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

\rho = 4{,}9\cdot10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}

Resolució

Secció. $A = \pi\,\dfrac{d^{2}}{4} = \pi\cdot\dfrac{(0{,}20\cdot10^{-3})^{2}}{4} = 3{,}14\cdot10^{-8}\ \text{m}^{2}$ .
Resistivitat. $\rho = \dfrac{R\cdot A}{L} = \dfrac{7{,}8\cdot3{,}14\cdot10^{-8}}{0{,}500} = 4{,}9\cdot10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_L = 0{,}2\ \%

;

\varepsilon_d = 5\ \%

(compta el doble: 10 %);

\varepsilon_R = 1{,}3\ \%

;

\varepsilon_\rho \approx 11{,}5\ \%

Resolució

Errors relatius. $\dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{0{,}001}{0{,}500} = 0{,}2\ \%$ ; $\dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{0{,}01}{0{,}20} = 5\ \%$ ; $\dfrac{\Delta R}{R} = \dfrac{0{,}1}{7{,}8} = 1{,}3\ \%$ .
Propagació d'errors. Com que $\rho = \dfrac{\pi R d^{2}}{4L}$ , els errors relatius se sumen i el del diàmetre es multiplica per 2: $\dfrac{\Delta\rho}{\rho} = 0{,}2 + 2\cdot5 + 1{,}3 = 11{,}5\ \%$
Observació. Una variació del 5 % en d dona un 10 % en ρ perquè A depèn de d².

Apartat c)

Resultat

\rho = (4{,}9 \pm 0{,}6)\cdot10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}

: compatible amb el constantà.

Resolució

Error absolut. $\Delta\rho = 0{,}115\cdot4{,}9\cdot10^{-7} = 0{,}56\cdot10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$ , que s'arrodoneix a una xifra significativa: 0,6·10⁻⁷.
Resultat. $\rho = (4{,}9 \pm 0{,}6)\cdot10^{-7}\ \Omega\cdot\text{m}$ .
Comparació. El valor del constantà (4,9·10⁻⁷ Ω·m) cau dins l'interval: és compatible, el fil pot ser de constantà.

Apartat d)

Resultat

Convé millorar la mesura del diàmetre.

Resolució

Error dominant. El del diàmetre aporta 10 dels 11,5 punts percentuals de l'error total.
Millora. Caldria un micròmetre més precís o mesurar el diàmetre en diversos punts i fer-ne la mitjana. Mesurar millor la longitud o la resistència gairebé no milloraria el resultat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Un escalfador d'aigua elèctric de 2200 W a 230 V escalfa un dipòsit de 80 L d'aigua de 15 °C a 55 °C (c = 4180 J/(kg·K), 1 L = 1 kg; 1 kWh = 3,6· $10^{6}$ J).
a) Calcula la intensitat, la resistència de l'escalfador i l'energia necessària.
b) Calcula el temps d'escalfament sense pèrdues i amb un rendiment del 95 %.
c) Calcula el cost a 0,15 €/kWh.
d) Si la tensió de la xarxa baixa a 207 V (-10 %), quina potència dona i quant triga?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

I = 9{,}57\ \text{A}

;

R = 24{,}0\ \Omega

;

Q = 1{,}34\cdot10^{7}\ \text{J} = 3{,}72\ \text{kWh}

Resolució

Intensitat i resistència. $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{2200}{230} = 9{,}57\ \text{A}$ i $R = \dfrac{V^{2}}{P} = \dfrac{230^{2}}{2200} = 24{,}0\ \Omega$ .
Calor necessària. $m = 80\ \text{kg}$ i $\Delta T = 55 - 15 = 40\ \text{K}$ : $Q = m\,c\,\Delta T = 80\cdot4180\cdot40 = 1{,}34\cdot10^{7}\ \text{J}$
En kWh. $\dfrac{13\,376\,000}{3{,}6\cdot10^{6}} = 3{,}72\ \text{kWh}$ .

Apartat b)

Resultat

Sense pèrdues:

t = 6080\ \text{s} \approx 101\ \text{min}

; amb rendiment del 95 %:

t = 6400\ \text{s} \approx 107\ \text{min}

Resolució

Sense pèrdues. $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{13\,376\,000}{2200} = 6080\ \text{s} = 101\ \text{min}$ .
Amb rendiment del 95 %. Només el 95 % de la potència escalfa l'aigua: $t = \dfrac{6080}{0{,}95} = 6400\ \text{s} = 107\ \text{min}$ .

Apartat c)

Resultat

Cost

\approx 0{,}59

€ (amb el rendiment del 95 %)

Resolució

Energia elèctrica consumida. Amb pèrdues: $\dfrac{3{,}72}{0{,}95} = 3{,}91\ \text{kWh}$ .
Cost. $3{,}91\cdot0{,}15 = 0{,}59$ € (sense pèrdues seria $3{,}72\cdot0{,}15 = 0{,}56$ €).

Apartat d)

Resultat

P \approx 1780\ \text{W}

(81 % de la nominal); triga uns 7500 s

\approx 125\ \text{min}

(sense pèrdues).

Resolució

Resistència constant. La resistència de l'escalfador no canvia (24,0 Ω), així que $P = \dfrac{V^{2}}{R} = \dfrac{207^{2}}{24{,}05} = 1782\ \text{W}$ (amb R arrodonida a 24,0 Ω surt 1785 W): un 81 % de la nominal, perquè $P \propto V^{2}$ i $0{,}9^{2} = 0{,}81$ .
Temps. $t = \dfrac{13\,376\,000}{1782} \approx 7500\ \text{s} \approx 125\ \text{min}$ sense pèrdues (amb el 95 %, uns 132 min).
Interpretació. L'energia total és la mateixa (3,72 kWh) i el cost no varia, però l'escalfament és un 23 % més lent.
Observació. Una caiguda del 10 % de tensió suposa una caiguda del 19 % de potència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Per mesurar una resistència R es fan servir un voltímetre (resistència interna $R_{V}$ = 10 kΩ) i un amperímetre (resistència interna $R_{A}$ = 1,0 Ω). Hi ha dos muntatges: A, amb el voltímetre connectat només entre els extrems de R (l'amperímetre mesura el corrent total, el de R més el del voltímetre); i B, amb el voltímetre connectat als extrems del conjunt R i amperímetre en sèrie.
a) Per a R = 50 Ω, quina resistència «mesurada» (V/I) s'obté en cada muntatge i quin és l'error relatiu?
b) Per a R = 100 kΩ, quina s'obté en cada un?
c) Quin muntatge convé per a resistències petites i quin per a grans? Raona-ho.

Dos muntatges per mesurar una resistència R amb voltímetre i amperímetre: al muntatge A el voltímetre va als extrems de R i al B als extrems de R i l'amperímetre

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

Muntatge A:

R_m = 49{,}75\ \Omega

(error −0,50 %). Muntatge B:

R_m = 51\ \Omega

(error +2,0 %).

Resolució

Muntatge A. El voltímetre està en paral·lel amb R i l'amperímetre mesura la suma dels dos corrents: la resistència «mesurada» és la del paral·lel R∥ $R_V$ . $R_m = \dfrac{50\cdot10\,000}{10\,050} = 49{,}75\ \Omega$
Error relatiu (A). $\dfrac{49{,}75 - 50}{50} = -0{,}50\ \%$ .
Muntatge B. El voltímetre mesura la tensió de R i de l'amperímetre en sèrie: $R_m = R + R_A = 51\ \Omega$ , amb un error de $+\dfrac{1}{50} = +2{,}0\ \%$ .

Apartat b)

Resultat

Muntatge A:

R_m = 9091\ \Omega

(error −90,9 %). Muntatge B:

R_m = 100\,001\ \Omega

(error +0,001 %).

Resolució

Muntatge A. $R_m = 100\,000\,\|\,10\,000 = \dfrac{100\,000\cdot10\,000}{110\,000} = 9091\ \Omega$ : error −90,9 %, perquè el voltímetre desvia gairebé tot el corrent.
Muntatge B. $R_m = 100\,000 + 1 = 100\,001\ \Omega$ : error +0,001 %.

Apartat c)

Resultat

Per a resistències petites convé el muntatge A; per a resistències grans, el B.

Resolució

Resistències petites (R ≪ $R_V$ ). Convé A: l'error és aproximadament $R/R_V$ , petit; en B, l'error és $R_A/R$ , relativament gran.
Resistències grans (R ≫ $R_A$ ). Convé B: l'error és $R_A/R$ , petit, mentre que en A seria $R/R_V$ , enorme.
Regla pràctica. Els dos errors són iguals quan $R \approx \sqrt{R_A\cdot R_V} = 100\ \Omega$ : per sota d'aquest valor, muntatge A; per sobre, B.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Una família substitueix 10 bombetes incandescents de 60 W per LED de 8 W, que il·luminen igual. Cada bombeta està encesa 3 h al dia, tot l'any (365 dies). Dades: 0,15 €/kWh i 0,25 kg de CO₂ per kWh de l'electricitat. Cada LED costa 3,0 €.
a) Calcula l'energia anual consumida abans i després, i l'estalvi en kWh.
b) Calcula l'estalvi econòmic anual i la reducció de CO₂.
c) En quant de temps es recupera la inversió?
d) Si les LED duren 15 000 h i les incandescents 1000 h, compara el cost total (bombetes + electricitat) en 15 000 h per una bombeta (incandescent: 1,0 € cada una).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

Abans: 657 kWh/any; després: 87,6 kWh/any; estalvi: 569 kWh/any

Resolució

Hores anuals per bombeta. $3\cdot365 = 1095\ \text{h}$ .
Energia. $E = P\cdot t$ : abans, $10\cdot0{,}060\ \text{kW}\cdot1095\ \text{h} = 657\ \text{kWh}$ ; després, $10\cdot0{,}008\cdot1095 = 87{,}6\ \text{kWh}$ .
Estalvi. $657 - 87{,}6 = 569\ \text{kWh}$ l'any.

Apartat b)

Resultat

Estalvi de 85,4 €/any i 142 kg de CO₂ l'any

Resolució

Estalvi econòmic. $569\cdot0{,}15 = 85{,}4$ €/any.
CO₂ evitat. $569\cdot0{,}25 = 142\ \text{kg}$ de CO₂ l'any.

Apartat c)

Resultat

Es recupera en uns 0,35 anys

\approx 4{,}2

mesos

Resolució

Inversió. $10\cdot3{,}0 = 30$ €.
Temps de retorn. $\dfrac{30}{85{,}4} = 0{,}35\ \text{anys} \approx 4{,}2\ \text{mesos}$ .

Apartat d)

Resultat

En 15 000 h: incandescent 150 €; LED 21 €. La LED surt unes 7 vegades més barata.

Resolució

Incandescent. Electricitat: $0{,}060\ \text{kW}\cdot15\,000\ \text{h}\cdot0{,}15 = 135$ €; calen 15 bombetes (15 000 h / 1000 h) a 1,0 € = 15 €. Total: 150 €.
LED. Electricitat: $0{,}008\cdot15\,000\cdot0{,}15 = 18$ €, més 1 LED de 3 €. Total: 21 €.
Conclusió. La LED costa unes 7 vegades menys. Fixa't que el consum de cada bombeta baixa un 87 % (de 60 W a 8 W): l'estalvi ve sobretot de l'electricitat, i el preu de compra hi pesa poc.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Un cotxe elèctric té una bateria de 60 kWh i es carrega del 20 % al 80 % amb un rendiment de càrrega del 90 %. Es compara una càrrega amb un punt de recàrrega de 7,4 kW (32 A a 230 V) i amb un endoll domèstic limitat a 10 A.
a) Calcula l'energia que s'emmagatzema i l'energia que cal prendre de la xarxa.
b) Calcula el temps de càrrega amb cada opció (potència de l'endoll: 230 V·10 A).
c) Calcula el cost a 0,15 €/kWh i els quilòmetres que s'afegeixen si el consum és 16 kWh/100 km.
d) Quina secció mínima de cable caldria per al punt de 32 A si s'admet una densitat de 6 A/mm²?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

S'emmagatzemen 36 kWh; cal prendre'n 40 kWh de la xarxa.

Resolució

Energia emmagatzemada. Del 20 % al 80 % és el 60 % de la bateria: $60\cdot(0{,}80 - 0{,}20) = 36\ \text{kWh}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{E_{útil}}{E_{xarxa}}\ \Rightarrow\ E_{xarxa} = \dfrac{36}{0{,}90} = 40\ \text{kWh}$ .

Apartat b)

Resultat

Punt de 7,4 kW:

t \approx 5{,}4\ \text{h}

; endoll de 10 A (2,3 kW):

t \approx 17{,}4\ \text{h}

Resolució

Temps de càrrega. $t = \dfrac{E_{xarxa}}{P}$ .
Punt de recàrrega. $t = \dfrac{40}{7{,}4} = 5{,}4\ \text{h}$ .
Endoll domèstic. $P = 230\cdot10 = 2300\ \text{W} = 2{,}3\ \text{kW}$ i $t = \dfrac{40}{2{,}3} = 17{,}4\ \text{h}$ .

Apartat c)

Resultat

Cost: 6,0 €; s'afegeixen 225 km d'autonomia.

Resolució

Cost. Es paga l'energia presa de la xarxa: $40\cdot0{,}15 = 6{,}0$ €.
Autonomia. Compta l'energia que entra a la bateria: $\dfrac{36}{16}\cdot100 = 225\ \text{km}$ (uns 2,7 €/100 km).
Observació. S'afegeixen 36 kWh a la bateria però se'n paguen 40: el 10 % es perd en forma de calor durant la càrrega.

Apartat d)

Resultat

S_{mín} = 5{,}3\ \text{mm}^{2}

; es faria servir el cable normalitzat de 6 mm².

Resolució

Densitat de corrent. $J = \dfrac{I}{S}\ \Rightarrow\ S = \dfrac{I}{J} = \dfrac{32}{6} = 5{,}3\ \text{mm}^{2}$ .
Conclusió. És el mínim: es triaria la secció normalitzada immediatament superior, 6 mm².

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Una xarxa en escala està formada per sis resistències iguals de 10 Ω i s'alimenta amb una pila de 12 V (sense resistència interna): $R_{1}$ en sèrie amb la pila arriba a un node A; entre A i la línia de tornada hi ha $R_{2}$ ; d'A surt $R_{3}$ fins al node B; entre B i la tornada hi ha $R_{4}$ ; i de B surten $R_{5}$ i $R_{6}$ en sèrie que van a la tornada.
a) Calcula la resistència equivalent des de la pila.
b) Calcula la intensitat total i les tensions dels nodes A i B respecte de la línia de tornada.
c) Calcula la intensitat i la potència dissipada a cada resistència.
d) Comprova que la potència total dissipada coincideix amb la del generador.

Xarxa en escala de sis resistències de 10 Ω alimentada per una pila de 12 V: R1 fins al node A, R2 i R4 a la línia de tornada, R3 fins a B i R5 i R6 en sèrie

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

R_{eq} = 16{,}25\ \Omega

Resolució

Estratègia. Es redueix la xarxa de dins cap a fora (des de l'extrem més allunyat de la pila).
Extrem. $R_5 + R_6 = 20\ \Omega$ ; en paral·lel amb $R_4$ (a B): $\dfrac{10\cdot20}{30} = 6{,}67\ \Omega$ ; amb $R_3$ en sèrie: $16{,}67\ \Omega$ .
Node A. $R_2\,\|\,16{,}67 = \dfrac{10\cdot16{,}67}{26{,}67} = 6{,}25\ \Omega$ ; amb $R_1$ en sèrie: $R_{eq} = 16{,}25\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

I = 0{,}738\ \text{A}

;

V_A = 4{,}62\ \text{V}

;

V_B = 1{,}85\ \text{V}

Resolució

Intensitat total. $I = \dfrac{12}{16{,}25} = 0{,}738\ \text{A}$ .
Node A. $V_A = 12 - I\cdot R_1 = 12 - 7{,}38 = 4{,}62\ \text{V}$ . Per $R_2$ passen $\dfrac{4{,}62}{10} = 0{,}462\ \text{A}$ .
Node B. Per $R_3$ passen $0{,}738 - 0{,}462 = 0{,}277\ \text{A}$ , així que $V_B = 4{,}62 - 0{,}277\cdot10 = 1{,}85\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

R_1

: 0,738 A, 5,45 W;

R_2

: 0,462 A, 2,13 W;

R_3

: 0,277 A, 0,767 W;

R_4

: 0,185 A, 0,341 W;

R_5

R_6

: 0,0923 A i 0,085 W cadascuna

Resolució

Intensitats. $I_4 = \dfrac{V_B}{10} = 0{,}185\ \text{A}$ i $I_5 = I_6 = \dfrac{V_B}{20} = 0{,}0923\ \text{A}$ (sumen els 0,277 A de $R_3$ ).
Potències (efecte Joule). $P = I^{2}R$ : $R_1$ : $0{,}738^{2}\cdot10 = 5{,}45\ \text{W}$ ; $R_2$ : 2,13 W; $R_3$ : 0,767 W; $R_4$ : 0,341 W; $R_5$ i $R_6$ : 0,085 W cadascuna.
Observació. La intensitat es divideix aproximadament a la meitat a cada node, així que la potència decreix ràpidament al llarg de l'escala.

Apartat d)

Resultat

\sum P = 8{,}86\ \text{W} = P_{generador}

: coincideix.

Resolució

Suma de potències. $5{,}45 + 2{,}13 + 0{,}767 + 0{,}341 + 0{,}085 + 0{,}085 = 8{,}86\ \text{W}$ .
Potència del generador. $P = V\cdot I = 12\cdot0{,}738 = 8{,}86\ \text{W}$ : coincideix, com exigeix la conservació de l'energia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

La bateria d'un mòbil té una capacitat de 4000 mAh a 3,85 V. Es carrega amb un carregador de 20 W (a 5 V) amb un rendiment del 85 %.
a) Calcula la càrrega elèctrica de la bateria en coulombs i el nombre d'electrons que representa.
b) Calcula l'energia emmagatzemada en Wh i en J.
c) Calcula el temps de càrrega complet (de 0 a 100 %) i la intensitat que dona el carregador.
d) Si el mòbil consumeix 1,5 W de mitjana, quant dura la bateria?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

Q = 14\,400\ \text{C}

;

9{,}0\cdot10^{22}

electrons

Resolució

Capacitat en coulombs. $Q = I\cdot t = 4{,}0\ \text{A}\cdot1\ \text{h} = 4{,}0\cdot3600 = 14\,400\ \text{C}$ (1 mAh = 3,6 C).
Nombre d'electrons. $n = \dfrac{Q}{e} = \dfrac{14\,400}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 9{,}0\cdot10^{22}$ .

Apartat b)

Resultat

E = 15{,}4\ \text{Wh} = 55\,440\ \text{J}

(≈ 55 kJ)

Resolució

Energia emmagatzemada. $E = Q\cdot V = 4{,}0\ \text{Ah}\cdot3{,}85\ \text{V} = 15{,}4\ \text{Wh}$ .
En joules. $15{,}4\cdot3600 = 55\,440\ \text{J}$ (uns 55 kJ).
Observació. La «capacitat» es dona en mAh, però l'energia depèn també de la tensió: no pots comparar bateries només pels mAh si tenen tensions diferents.

Apartat c)

Resultat

t \approx 0{,}91\ \text{h} \approx 54\ \text{min}

; el carregador dona

I = 4{,}0\ \text{A}

Resolució

Energia presa del carregador. Amb el rendiment del 85 %: $\dfrac{15{,}4}{0{,}85} = 18{,}1\ \text{Wh}$ .
Temps. $t = \dfrac{18{,}1\ \text{Wh}}{20\ \text{W}} = 0{,}906\ \text{h} = 54\ \text{min}$ . Sense pèrdues seria $\dfrac{15{,}4}{20} = 0{,}77\ \text{h} = 46\ \text{min}$ .
Intensitat del carregador. $I = \dfrac{P}{V} = \dfrac{20}{5} = 4{,}0\ \text{A}$ .

Apartat d)

Resultat

Dura unes 10,3 h.

Resolució

Durada. $t = \dfrac{E}{P} = \dfrac{15{,}4\ \text{Wh}}{1{,}5\ \text{W}} = 10{,}3\ \text{h}$ .
Conclusió. Amb un consum mitjà d'1,5 W, la bateria plena dura unes 10 hores.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Per un cable de coure de 2,5 mm² de secció circula una intensitat de 10 A. El coure té 8,5· $10^{28}$ electrons lliures per $\text{m}^{3}$ (e = 1,6· $10^{-19}$ C). La intensitat és I = n·e·A· $v_{d}$ , amb $v_{d}$ la velocitat de deriva.
a) Calcula la velocitat de deriva dels electrons.
b) Quant triguen a recórrer 1 m del cable?
c) Quin nombre d'electrons lliures hi ha en 1 m de cable i quina càrrega representen?
d) Per què la llum s'encén «a l'instant» en prémer l'interruptor?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

v_d = 2{,}9\cdot10^{-4}\ \text{m/s} = 0{,}29\ \text{mm/s}

Resolució

Dades. $I = 10\ \text{A}$ , $A = 2{,}5\ \text{mm}^{2} = 2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ , $n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ .
Velocitat de deriva. De $I = n\,e\,A\,v_d$ : $v_d = \dfrac{I}{n\,e\,A} = \dfrac{10}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}5\cdot10^{-6}} = 2{,}9\cdot10^{-4}\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

t \approx 3400\ \text{s} \approx 57\ \text{min}

Resolució

Moviment uniforme. $t = \dfrac{d}{v_d} = \dfrac{1\ \text{m}}{2{,}94\cdot10^{-4}\ \text{m/s}} = 3400\ \text{s}$ .
Conclusió. Gairebé una hora (57 min) per avançar només un metre: els electrons es mouen molt a poc a poc.

Apartat c)

Resultat

N = 2{,}1\cdot10^{23}

electrons;

Q = 3{,}4\cdot10^{4}\ \text{C}

(34 kC)

Resolució

Volum d'1 m de cable. $V = A\cdot L = 2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{3}$ .
Electrons i càrrega. $N = 8{,}5\cdot10^{28}\cdot2{,}5\cdot10^{-6} = 2{,}1\cdot10^{23}$ i $Q = N\,e = 2{,}1\cdot10^{23}\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}4\cdot10^{4}\ \text{C}$ .
Interpretació. El cable, però, és neutre: els ions positius de la xarxa compensen aquesta càrrega.
Comprovació. 34 kC és justament la càrrega que passa en 3400 s amb 10 A ( $10\cdot3400 = 34\,000\ \text{C}$ ), coherent amb l'apartat b.

Apartat d)

Resultat

Perquè el que es propaga gairebé a la velocitat de la llum és el camp elèctric, que posa en moviment alhora tots els electrons del circuit.

Resolució

Què es propaga. En tancar l'interruptor, el camp elèctric es propaga pel cable a una velocitat propera a la de la llum (uns $2\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ ).
Efecte. El camp fa moure tots els electrons del cable alhora. Els electrons no «viatgen» de l'interruptor a la bombeta: es desplacen molt lentament, però ja n'hi ha a tot arreu del circuit, també dins del filament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què passa amb la força de Coulomb si la distància es dobla?

Es divideix per 4, perquè és inversament proporcional al quadrat de la distància.

Quants joules és un kWh?

3,6 milions de joules: 1000 W durant 3600 s fan 3.600.000 J.

Tornar a Física i Química