Exercicis de termodinàmica — Física i Química 1r Batxillerat

Q: Què diu el primer principi de la termodinàmica?

Que la variació d'energia interna d'un sistema és la calor que rep menys el treball que fa (o més el que rep, segons el conveni de signes que facis servir).

Q: Com es passa de graus Celsius a kelvin?

Sumant 273 (o 273,15 si cal precisió): 25 °C són 298 K.

Aquest tema estudia la calor i com canvia l'energia interna dels sistemes. Els exercicis comencen amb canvis d'escala de temperatura, de graus Celsius a kelvin, i continuen amb la calor específica i els canvis d'estat: quanta calor cal per fondre gel o per escalfar aigua. Resols mescles en un recipient aïllat per trobar la temperatura d'equilibri. Al final apliques el primer principi de la termodinàmica a un gas que rep calor i fa treball, amb el conveni de signes. Les solucions fan el balanç d'energia pas a pas. Errors típics: confondre calor i temperatura i pensar que la temperatura puja mentre hi ha un canvi d'estat.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Converteix 25 °C a kelvin.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

T = 298\ \text{K}

Resolució

Dades. Temperatura en graus Celsius: $t = 25\ ^{\circ}\text{C}$ . Es demana en kelvin.
Relació entre escales. Les dues escales tenen graus de la mateixa mida i només tenen el zero desplaçat: $T\,(\text{K}) = t\,(^{\circ}\text{C}) + 273$
Càlcul. $T = 25 + 273 = 298\ \text{K}$ .
Conclusió. Fixa't que el zero de l'escala kelvin és el zero absolut, la temperatura més baixa possible: per això no hi ha temperatures en kelvin negatives.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Què vol dir que la calor latent de fusió del gel sigui de 334.000 J/kg?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Cal donar 334 000 J a cada kg de gel a 0 °C per fondre'l del tot, sense que la temperatura canviï.

Resolució

Definició. La calor latent de fusió és l'energia que cal aportar a 1 kg d'una substància que ja és a la temperatura de fusió perquè passi de sòlid a líquid: $Q = m\cdot L_f$ .
Aplicació al gel. $L_f = 334\,000\ \text{J/kg}$ vol dir que 1 kg de gel que ja és a 0 °C necessita 334 000 J per fondre's completament.
Conclusió. Durant la fusió la temperatura no canvia: es manté a 0 °C, perquè tota l'energia serveix per trencar les unions entre les partícules del sòlid.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

A un sistema se li aporten 300 J de calor i no fa cap treball. Quant augmenta la seva energia interna?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

\Delta U = +300\ \text{J}

: l'energia interna augmenta 300 J.

Resolució

Dades. Calor rebuda $Q = 300\ \text{J}$ ; treball fet pel sistema $W = 0$ .
Primer principi de la termodinàmica. Amb W positiu quan el sistema fa treball: $\Delta U = Q - W$
Càlcul. $\Delta U = 300 - 0 = 300\ \text{J}$ .
Conclusió. Si el sistema no fa treball, tota la calor rebuda va a augmentar la seva energia interna: puja 300 J.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Indica quin mecanisme de transmissió de la calor (conducció, convecció o radiació) intervé principalment en cada cas:
a) una cullera de metall deixada dins una olla de sopa calenta s'escalfa;
b) l'aire calent d'un radiador puja cap al sostre de l'habitació;
c) notes la calor del Sol, tot i que entre el Sol i la Terra hi ha un espai buit;
d) l'aigua d'una olla escalfada per sota es mou en corrents que pugen i baixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

Conducció.

Resolució

Què passa. La cullera és un sòlid en contacte amb la sopa calenta: la calor avança pel metall fins al mànec.
Mecanisme. Conducció: l'energia es transmet de partícula a partícula a través del material, sense que el material es desplaci.

Apartat b)

Resultat

Convecció.

Resolució

Què passa. L'aire que toca el radiador s'escalfa i es dilata.
Mecanisme. Convecció: l'aire calent és menys dens, puja cap al sostre i és substituït per aire més fred; hi ha un transport de matèria (un fluid que es mou).

Apartat c)

Resultat

Radiació.

Resolució

Què passa. Entre el Sol i la Terra hi ha un espai buit, sense cap medi material.
Mecanisme. Radiació: la calor es propaga com a ones electromagnètiques, que no necessiten cap medi material; per això pot travessar el buit.
Error típic. Creure que la calor del Sol arriba per conducció o per convecció: en el buit només és possible la radiació.

Apartat d)

Resultat

Convecció.

Resolució

Què passa. L'aigua del fons s'escalfa, es fa menys densa i puja; l'aigua freda de dalt baixa.
Mecanisme. Convecció: es forma un corrent circular de fluid que transporta la calor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Quanta calor cal subministrar a 2 kg d'aigua per escalfar-la de 15 °C a 65 °C? Dada: calor específica de l'aigua, c = 4180 J/(kg·K).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Q = 4{,}18\cdot10^{5}\ \text{J} = 418\ \text{kJ}

Resolució

Dades. $m = 2\ \text{kg}$ , $c = 4180\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ , de 15 °C a 65 °C.
Calorimetria. Per escalfar un cos sense canvi d'estat: $Q = m\cdot c\cdot\Delta T$ , amb $\Delta T = 65 - 15 = 50\ ^{\circ}\text{C} = 50\ \text{K}$ (la diferència és la mateixa en °C i en K).
Càlcul. $Q = 2\cdot 4180\cdot 50 = 418\,000\ \text{J} = 418\ \text{kJ}$
Comprovació. En calories: $2000\ \text{g}\cdot 1\ \text{cal/(g}\cdot\text{°C)}\cdot 50\ ^{\circ}\text{C} = 100\,000\ \text{cal} = 100\ \text{kcal}$ , i $100\,000\cdot 4{,}18 = 418\,000\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Un cos calent conté més calor que un cos fred.
b) La calor passa espontàniament del cos que té més temperatura al que en té menys.
c) Dos cossos a la mateixa temperatura tenen sempre la mateixa energia interna.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

Falsa: un cos no «conté» calor, sinó energia interna.

Resolució

Concepte de calor. La calor no és una energia que un cos tingui guardada: és l'energia que es transfereix entre dos cossos a causa d'una diferència de temperatura.
Conclusió. El que té un cos és energia interna; parlar de «quanta calor conté» és incorrecte.

Apartat b)

Resultat

Certa.

Resolució

Sentit de la calor. La calor flueix espontàniament del cos més calent al més fred.
Conclusió. El flux s'atura quan les temperatures s'igualen: és l'equilibri tèrmic.

Apartat c)

Resultat

Falsa: l'energia interna depèn també de la massa i de la substància.

Resolució

De què depèn l'energia interna. No només de la temperatura, sinó també de la quantitat de matèria (massa) i del tipus de substància.
Exemple. Una banyera d'aigua a 30 °C té molta més energia interna que una tassa d'aigua a 30 °C, tot i estar a la mateixa temperatura.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un gas descriu un cicle tancat i torna a l'estat inicial. Durant el cicle, la calor neta que rep (la que absorbeix menys la que cedeix) és de 600 J. Quina és la variació de la seva energia interna i quin treball net fa sobre l'entorn?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

\Delta U = 0

;

W = 600\ \text{J}

(el gas fa 600 J de treball sobre l'entorn).

Resolució

Dades. Cicle tancat (el gas torna a l'estat inicial); calor neta rebuda $Q = 600\ \text{J}$ .
Funció d'estat. L'energia interna només depèn de l'estat: si el gas torna a l'estat inicial, té la mateixa energia interna que al començament, i per tant $\Delta U = 0$ .
Primer principi. $\Delta U = Q - W \;\Rightarrow\; 0 = 600 - W \;\Rightarrow\; W = 600\ \text{J}$
Conclusió. En un cicle, el treball net que fa el gas sobre l'entorn és igual a la calor neta que rep: 600 J.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Quanta calor cal subministrar per evaporar completament 200 g d'aigua que ja és a 100 °C? Dada: calor latent de vaporització de l'aigua, $L_{v}$ = 2,26· $10^{6}$ J/kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Q = 4{,}52\cdot10^{5}\ \text{J} = 452\ \text{kJ}

Resolució

Dades. $m = 200\ \text{g} = 0{,}2\ \text{kg}$ d'aigua ja a 100 °C; $L_v = 2{,}26\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$ .
Calor de canvi d'estat. En un canvi d'estat s'aplica $Q = m\cdot L_v$ , amb la massa en quilograms.
Càlcul. $Q = 0{,}2\cdot 2{,}26\cdot10^{6} = 4{,}52\cdot10^{5}\ \text{J} = 452\ \text{kJ}$
Interpretació. Durant l'evaporació la temperatura es manté constant a 100 °C: la calor aportada serveix per separar les molècules, no per escalfar l'aigua.
Error típic. Deixar la massa en grams i obtenir un resultat 1000 vegades massa gran.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

L'etiqueta d'una magdalena indica que aporta 240 kcal. Expressa aquesta energia en quilojoules (1 cal = 4,18 J).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

E \approx 1{,}0\cdot10^{3}\ \text{kJ}

(1003 kJ)

Resolució

Dades. $E = 240\ \text{kcal}$ ; $1\ \text{cal} = 4{,}18\ \text{J}$ .
Factor de conversió. $1\ \text{kcal} = 1000\ \text{cal} = 1000\cdot 4{,}18\ \text{J} = 4180\ \text{J}$ .
Càlcul. $E = 240\cdot 4180 = 1\,003\,200\ \text{J} \approx 1003\ \text{kJ} \approx 1{,}0\cdot10^{3}\ \text{kJ}$
Comprovació. 1 kcal són una mica més de 4 kJ, de manera que 240 kcal han de ser una mica més de 960 kJ: el resultat és coherent.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Un bloc de coure (c = 385 J/(kg·K)) i un bloc d'alumini (c = 900 J/(kg·K)), de la mateixa massa i a la mateixa temperatura inicial, absorbeixen la mateixa quantitat de calor. Quin dels dos augmenta més la seva temperatura? Quantes vegades més?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

S'escalfa més el coure: unes

2{,}3

vegades més que l'alumini.

Resolució

Dades. $c_{\mathrm{Cu}} = 385\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ , $c_{\mathrm{Al}} = 900\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ ; mateixa massa i mateixa calor absorbida.
Calorimetria. De $Q = m\cdot c\cdot\Delta T$ es dedueix $\Delta T = \dfrac{Q}{m\cdot c}$ : amb Q i m iguals, l'increment de temperatura és inversament proporcional a la calor específica.
Càlcul. $\dfrac{\Delta T_{\mathrm{Cu}}}{\Delta T_{\mathrm{Al}}} = \dfrac{c_{\mathrm{Al}}}{c_{\mathrm{Cu}}} = \dfrac{900}{385} \approx 2{,}3$
Conclusió. S'escalfa més el coure, que té la calor específica més petita: la seva temperatura augmenta unes 2,3 vegades més que la de l'alumini.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un termòmetre marca 20 °C a l'aula i 5 °C al pati. Quina diferència de temperatura hi ha, en graus Celsius i en kelvin?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\Delta T = 15\ ^{\circ}\text{C} = 15\ \text{K}

Resolució

Dades. $t_1 = 20\ ^{\circ}\text{C}$ a l'aula i $t_2 = 5\ ^{\circ}\text{C}$ al pati.
Diferència en Celsius. $\Delta t = 20 - 5 = 15\ ^{\circ}\text{C}$ .
Diferència en kelvin. En kelvin, $T_1 = 293\ \text{K}$ i $T_2 = 278\ \text{K}$ : $\Delta T = 293 - 278 = 15\ \text{K}$ .
Conclusió. Un grau Celsius i un kelvin tenen la mateixa mida; les escales només tenen el zero desplaçat, i per això les diferències de temperatura coincideixen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En un recipient aïllat barreges 0,5 kg d'aigua a 60 °C amb 0,5 kg d'aigua a 20 °C. Quina és la temperatura final de la barreja? (Calor específica de l'aigua: c = 4180 J/(kg·°C).)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

T_f = 40\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Dades. 0,5 kg d'aigua a 60 °C i 0,5 kg d'aigua a 20 °C, en un recipient aïllat.
Equilibri tèrmic. En un recipient aïllat, la calor que cedeix l'aigua calenta és exactament la que absorbeix la freda: $Q_{\mathrm{cedit}} = Q_{\mathrm{absorbit}}$ . L'aigua calenta baixa de 60 °C a $T_f$ i la freda puja de 20 °C a $T_f$ : $m\cdot c\cdot(60 - T_f) = m\cdot c\cdot(T_f - 20)$
Càlcul. Com que la massa i la calor específica són iguals a banda i banda, se simplifiquen: $60 - T_f = T_f - 20 \Rightarrow 80 = 2T_f \Rightarrow T_f = 40\ ^{\circ}\text{C}$ .
Conclusió. Amb masses iguals la temperatura final és just la mitjana. Parany: $T_f$ ha de quedar entre les dues temperatures (20 < 40 < 60); si et surt més gran que 60 o més petita que 20, has confós quin cos cedeix i quin absorbeix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En un recipient aïllat s'aboquen 2 kg d'aigua a 80 °C i 1 kg d'aigua a 20 °C. Quina temperatura d'equilibri assoleixen? (Calor específica de l'aigua: c = 4180 J/(kg·°C).)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

T_f = 60\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Dades. $m_1 = 2\ \text{kg}$ a 80 °C i $m_2 = 1\ \text{kg}$ a 20 °C, en un recipient aïllat.
Equilibri tèrmic. La calor cedida per l'aigua calenta és igual a la calor absorbida per la freda: $m_1\cdot c\cdot(80 - T_f) = m_2\cdot c\cdot(T_f - 20)$
Càlcul. La c és la mateixa i se simplifica: $2\,(80 - T_f) = 1\,(T_f - 20)$ , és a dir, $160 - 2T_f = T_f - 20$ , d'on $180 = 3T_f$ i $T_f = 60\ ^{\circ}\text{C}$ .
Conclusió. Parany: la temperatura final no és la mitjana (50 °C) perquè hi ha més massa d'aigua calenta; queda desplaçada cap al costat de més massa. Comprova que 20 < 60 < 80: correcte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Quanta calor cal per fondre completament 0,5 kg de gel que ja és a 0 °C? (Calor latent de fusió del gel: $L_{f}$ = 334000 J/kg.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Q = 1{,}67\cdot10^{5}\ \text{J} \approx 167\ \text{kJ}

Resolució

Dades. $m = 0{,}5\ \text{kg}$ de gel ja a 0 °C; $L_f = 334\,000\ \text{J/kg}$ .
Calor de canvi d'estat. Durant un canvi d'estat la temperatura no puja: tota la calor s'inverteix a trencar les unions entre partícules. Per això es fa servir $Q = m\cdot L$ i no $m\cdot c\cdot\Delta T$ .
Càlcul. $Q = m\cdot L_f = 0{,}5\ \text{kg}\cdot 334\,000\ \text{J/kg} = 167\,000\ \text{J}$
Conclusió. Calen uns 167 kJ. Parany: aquí no es fa servir la calor específica ni cap $\Delta T$ ; el gel entra i surt a 0 °C. Com que L va en J/kg, multipliques directament per la massa en kg.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un escalfador elèctric de 2 kW escalfa 50 L d'aigua de 15 °C a 55 °C (1 L d'aigua té una massa d'1 kg; c = 4180 J/(kg·K)). Calcula la calor que absorbeix l'aigua i el temps que triga si tota l'energia elèctrica passa a l'aigua. Quant triga si només s'aprofita el 90 % de l'energia elèctrica?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Q = 8{,}36\cdot10^{6}\ \text{J}

;

t = 4180\ \text{s} \approx 70\ \text{min}

; amb el 90 %:

t \approx 4644\ \text{s} \approx 77\ \text{min}

Resolució

Dades. $P = 2\ \text{kW} = 2000\ \text{W}$ ; 50 L d'aigua = 50 kg; de 15 °C a 55 °C ( $\Delta T = 40\ \text{K}$ ); $c = 4180\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .
Calor absorbida. $Q = m\cdot c\cdot\Delta T = 50\cdot 4180\cdot 40 = 8{,}36\cdot10^{6}\ \text{J}$
Potència. La potència és l'energia per unitat de temps, $P = \dfrac{E}{t}$ . Si tota l'energia passa a l'aigua: $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{8{,}36\cdot10^{6}}{2000} = 4180\ \text{s} \approx 69{,}7\ \text{min}$
Amb un aprofitament del 90 %. L'escalfador ha de consumir més energia elèctrica: $E = \dfrac{Q}{0{,}90} = 9{,}29\cdot10^{6}\ \text{J}$ , i $t = \dfrac{9{,}29\cdot10^{6}}{2000} \approx 4644\ \text{s} \approx 77{,}4\ \text{min}$
Error típic. Multiplicar per 0,90 en comptes de dividir: amb pèrdues, el temps ha de ser més llarg, no més curt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Per escalfar 2 L d'aigua de 20 °C a 100 °C en una cuina de gas només s'aprofita el 60 % de la calor que desprèn el combustible. Si la combustió d'1 kg de gas desprèn 5,0· $10^{7}$ J, quants grams de gas es cremen? (1 L d'aigua = 1 kg; c = 4180 J/(kg·K))

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

m_{\mathrm{gas}} \approx 22\ \text{g}

Resolució

Dades. 2 L d'aigua = 2 kg, de 20 °C a 100 °C ( $\Delta T = 80\ \text{K}$ ); aprofitament del 60 %; poder calorífic $5{,}0\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$ .
Calor útil. $Q_{\mathrm{útil}} = m\cdot c\cdot\Delta T = 2\cdot 4180\cdot 80 = 668\,800\ \text{J}$
Rendiment. Com que només s'aprofita el 60 %, la calor que ha de desprendre el gas és més gran: $Q_{\mathrm{total}} = \dfrac{668\,800}{0{,}60} = 1{,}115\cdot10^{6}\ \text{J}$
Massa de gas. $m = \dfrac{1{,}115\cdot10^{6}\ \text{J}}{5{,}0\cdot10^{7}\ \text{J/kg}} = 0{,}0223\ \text{kg} \approx 22\ \text{g}$
Comprovació. $22{,}3\ \text{g}\cdot 5{,}0\cdot10^{4}\ \text{J/g}\cdot 0{,}60 = 6{,}69\cdot10^{5}\ \text{J}$ , igual que $Q_{\mathrm{útil}}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Una peça de 0,5 kg d'un metall desconegut s'escalfa fins a 100 °C i es submergeix en 0,2 kg d'aigua a 20 °C dins d'un recipient aïllat. La temperatura d'equilibri és de 25,8 °C. Calcula la calor específica del metall i identifica'l amb aquestes dades (en J/(kg·K)): plom 130, coure 385, ferro 450, alumini 900. Dada: $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K); menysprea l'energia absorbida pel recipient.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

c_{\mathrm{m}} \approx 131\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

: és plom.

Resolució

Dades. Metall: $m_m = 0{,}5\ \text{kg}$ , de 100 °C a 25,8 °C. Aigua: $m_a = 0{,}2\ \text{kg}$ , de 20 °C a 25,8 °C; $c_a = 4180\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .
Equilibri tèrmic. En un sistema aïllat, la calor que cedeix el metall és igual a la que absorbeix l'aigua: $m_m\cdot c_m\cdot(100 - 25{,}8) = m_a\cdot c_a\cdot(25{,}8 - 20)$
Calor absorbida per l'aigua. $Q = 0{,}2\cdot 4180\cdot 5{,}8 = 4848{,}8\ \text{J}$ .
Calor específica. El metall s'ha refredat 74,2 °C: $c_m = \dfrac{4848{,}8}{0{,}5\cdot 74{,}2} \approx 130{,}7\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
Conclusió. Aquest valor coincideix amb el del plom (130 J/(kg·K)). Error típic: restar malament les temperatures; per al metall és $100 - T_f$ i per a l'aigua, $T_f - 20$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un gas ideal tancat en un cilindre amb un èmbol mòbil s'expandeix a pressió constant de 2,0· $10^{5}$ Pa i passa de 4,0 L a 7,0 L mentre absorbeix 900 J de calor. Calcula el treball que fa el gas i la variació de la seva energia interna (1 L = $10^{-3}$ $\text{m}^{3}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

W = 600\ \text{J}

;

\Delta U = 300\ \text{J}

Resolució

Dades. $p = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{Pa}$ constant; de 4,0 L a 7,0 L; $Q = 900\ \text{J}$ absorbits.
Treball a pressió constant. $W = p\cdot\Delta V$ , amb el volum en m³: $\Delta V = 3{,}0\ \text{L} = 3{,}0\cdot10^{-3}\ \text{m}^{3}$ . $W = 2{,}0\cdot10^{5}\cdot 3{,}0\cdot10^{-3} = 600\ \text{J}$ És positiu: el gas fa treball sobre l'entorn.
Primer principi. $\Delta U = Q - W = 900 - 600 = 300\ \text{J}$
Conclusió. El gas aprofita 300 J per augmentar la seva energia interna (s'escalfa) i 600 J per empènyer l'èmbol. Error típic: no passar els litres a m³ (s'obtindria W = 600 000 J).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una màquina tèrmica absorbeix 800 J d'un focus calent i cedeix 560 J a un focus fred en cada cicle. Calcula el treball que fa per cicle, el seu rendiment i la seva potència si fa 50 cicles cada segon.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

W = 240\ \text{J}

;

\eta = 30\ \%

;

P = 12\ \text{kW}

Resolució

Dades. $Q_c = 800\ \text{J}$ absorbits del focus calent i $Q_f = 560\ \text{J}$ cedits al fred per cicle; 50 cicles per segon.
Primer principi en un cicle. En un cicle $\Delta U = 0$ , de manera que el treball és la diferència entre la calor absorbida i la cedida: $W = Q_c - Q_f = 800 - 560 = 240\ \text{J}$
Rendiment. $\eta = \dfrac{W}{Q_c} = \dfrac{240}{800} = 0{,}30 = 30\ \%$
Potència. $P = W\cdot(\text{cicles per segon}) = 240\cdot 50 = 12\,000\ \text{W} = 12\ \text{kW}$ .
Conclusió. Els 560 J restants (el 70 %) es cedeixen al focus fred: cap màquina tèrmica no pot convertir tota la calor en treball.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Vols preparar un bany amb 40 L d'aigua freda a 20 °C, afegint-hi aigua calenta a 70 °C fins que la mescla quedi a 36 °C. Quants litres d'aigua calenta has d'afegir? (1 L d'aigua = 1 kg; menysprea les pèrdues de calor)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Cal afegir

\approx 18{,}8\ \text{L}

d'aigua calenta.

Resolució

Dades. 40 L (40 kg) d'aigua a 20 °C; aigua calenta a 70 °C; temperatura final 36 °C.
Equilibri tèrmic. La calor que cedeix l'aigua calenta és igual a la que absorbeix la freda. Com que totes dues són aigua, la calor específica es simplifica: $m_{\mathrm{calenta}}\cdot(70 - 36) = 40\cdot(36 - 20)$
Càlcul. $34\,m_{\mathrm{calenta}} = 640 \Rightarrow m_{\mathrm{calenta}} = \dfrac{640}{34} \approx 18{,}8\ \text{kg}$ , és a dir, 18,8 L.
Comprovació. $T_f = \dfrac{40\cdot 20 + 18{,}8\cdot 70}{40 + 18{,}8} = \dfrac{2116}{58{,}8} \approx 36{,}0\ ^{\circ}\text{C}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Per a un gas ideal, aplica el primer principi (ΔU = Q - W, amb W positiu si el gas fa treball) i determina el que es demana en cada cas:
a) en una transformació isocora el gas rep 500 J de calor: calcula W i ΔU;
b) en una transformació isoterma el gas rep 500 J de calor: calcula ΔU i W;
c) en una expansió isobara el gas rep 500 J de calor i fa 200 J de treball: calcula ΔU;
d) en una expansió adiabàtica el gas fa 300 J de treball: calcula Q i ΔU, i indica si la temperatura puja o baixa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

W = 0

;

\Delta U = 500\ \text{J}

Resolució

Isocora. El volum no canvia, de manera que no hi ha treball: $W = 0$ .
Primer principi. $\Delta U = Q - W = 500 - 0 = 500\ \text{J}$ : l'energia interna augmenta i la temperatura puja.

Apartat b)

Resultat

\Delta U = 0

;

W = 500\ \text{J}

Resolució

Isoterma. L'energia interna d'un gas ideal només depèn de la temperatura; si T no canvia, $\Delta U = 0$ .
Primer principi. $0 = Q - W \Rightarrow W = Q = 500\ \text{J}$ : tota la calor es converteix en treball.

Apartat c)

Resultat

\Delta U = 300\ \text{J}

Resolució

Dades. Expansió isobara amb $Q = 500\ \text{J}$ i $W = 200\ \text{J}$ .
Primer principi. $\Delta U = Q - W = 500 - 200 = 300\ \text{J}$ .

Apartat d)

Resultat

Q = 0

;

\Delta U = -300\ \text{J}

; la temperatura baixa.

Resolució

Adiabàtica. No hi ha intercanvi de calor: $Q = 0$ .
Primer principi. $\Delta U = Q - W = 0 - 300 = -300\ \text{J}$ .
Conclusió. L'energia interna disminueix i, per tant, la temperatura baixa: el gas es refreda en expandir-se, perquè fa el treball a costa de la seva energia interna.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un tros de ferro a 80 °C i un d'alumini a 20 °C es posen en contacte, aïllats de l'entorn. (a) Cap on va la calor i quan s'atura? (b) Si tots dos acaben a 45 °C, quina variació de temperatura ha tingut cadascun, en °C i en K?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

La calor va del ferro a l'alumini i s'atura quan tots dos tenen la mateixa temperatura (equilibri tèrmic).

Resolució

Sentit de la calor. La calor passa espontàniament del cos més calent (el ferro, a 80 °C) al més fred (l'alumini, a 20 °C).
Quan s'atura. El flux s'atura quan tots dos assoleixen la mateixa temperatura: l'equilibri tèrmic.

Apartat b)

Resultat

Ferro:

\Delta T = -35\ ^{\circ}\text{C} = -35\ \text{K}

; alumini:

\Delta T = +25\ ^{\circ}\text{C} = +25\ \text{K}

Resolució

Ferro. $\Delta T = 45 - 80 = -35\ ^{\circ}\text{C}$ , és a dir, $-35\ \text{K}$ (es refreda).
Alumini. $\Delta T = 45 - 20 = +25\ ^{\circ}\text{C}$ , és a dir, $+25\ \text{K}$ (s'escalfa).
Conclusió. Les variacions coincideixen en °C i en K perquè els graus tenen la mateixa mida. No varien el mateix perquè tenen masses i calors específiques diferents: el que són iguals (i de signe contrari) són les calors bescanviades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

A un gas se li aporten 500 J de calor i, alhora, el gas fa un treball de 200 J sobre l'entorn. Quant varia la seva energia interna?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\Delta U = +300\ \text{J}

Resolució

Dades. Calor rebuda $Q = 500\ \text{J}$ ; treball fet pel gas sobre l'entorn $W = 200\ \text{J}$ .
Primer principi. La variació d'energia interna és la calor rebuda menys el treball fet cap enfora: $\Delta U = Q - W$ .
Càlcul. $\Delta U = 500 - 200 = 300\ \text{J}$ .
Conclusió. L'energia interna augmenta 300 J: part de la calor rebuda s'ha «gastat» a fer treball.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Es comprimeix un gas: l'entorn hi fa 800 J de treball i, alhora, el gas cedeix 300 J de calor a l'entorn. Quant varia la seva energia interna? S'escalfa o es refreda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

\Delta U = +500\ \text{J}

: l'energia interna augmenta i el gas s'escalfa.

Resolució

Criteri de signes. Amb $\Delta U = Q + W$ (positiu el que entra al sistema): l'entorn fa treball sobre el gas, $W = +800\ \text{J}$ ; el gas cedeix calor, $Q = -300\ \text{J}$ .
Primer principi. $\Delta U = Q + W = -300 + 800 = +500\ \text{J}$
Conclusió. Entra més energia en forma de treball que no en surt en forma de calor: l'energia interna augmenta i el gas s'escalfa. Amb el criteri $\Delta U = Q - W$ (W fet pel gas, $W = -800\ \text{J}$ ) s'obté el mateix resultat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Quanta calor cal subministrar a 200 g de gel a -10 °C perquè es converteixi en vapor d'aigua a 110 °C? Indica quina etapa necessita més energia. Dades: $c_{\mathrm{gel}}$ = 2090 J/(kg·K); $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K); $c_{\mathrm{vapor}}$ = 2010 J/(kg·K); $L_{f}$ = 334000 J/kg; $L_{v}$ = 2,26· $10^{6}$ J/kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

Q \approx 6{,}11\cdot10^{5}\ \text{J} \approx 611\ \text{kJ}

; l'etapa de més energia és la vaporització (452 kJ, un 74 %).

Resolució

Plantejament. Dividim el procés en cinc etapes ( $m = 0{,}2\ \text{kg}$ ): escalfar el gel, fondre'l, escalfar l'aigua, vaporitzar-la i escalfar el vapor. Als trams sense canvi d'estat fem servir $Q = m\cdot c\cdot\Delta T$ i als canvis d'estat, $Q = m\cdot L$ .
Gel de −10 °C a 0 °C i fusió. $Q_1 = 0{,}2\cdot 2090\cdot 10 = 4180\ \text{J}$ ; $Q_2 = 0{,}2\cdot 334\,000 = 66\,800\ \text{J}$ .
Aigua de 0 °C a 100 °C i vaporització. $Q_3 = 0{,}2\cdot 4180\cdot 100 = 83\,600\ \text{J}$ ; $Q_4 = 0{,}2\cdot 2{,}26\cdot10^{6} = 452\,000\ \text{J}$ .
Vapor de 100 °C a 110 °C. $Q_5 = 0{,}2\cdot 2010\cdot 10 = 4020\ \text{J}$ .
Total. $Q = 4180 + 66\,800 + 83\,600 + 452\,000 + 4020 = 610\,600\ \text{J} \approx 611\ \text{kJ}$
Conclusió. L'etapa que necessita més energia és la vaporització: 452 000 J, un 74 % del total.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

En un recipient aïllat es posen 100 g de gel a 0 °C dins de 500 g d'aigua a 40 °C.
a) Raona si es fon tot el gel.
b) Calcula la temperatura final d'equilibri. ( $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K); $L_{f}$ = 334000 J/kg)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

Sí, es fon tot el gel: l'aigua pot cedir 83 600 J i només en calen 33 400 J per fondre'l.

Resolució

Calor que pot cedir l'aigua. Si es refredés fins a 0 °C: $Q = 0{,}5\cdot 4180\cdot 40 = 83\,600\ \text{J}$ .
Calor per fondre tot el gel. $Q_f = 0{,}1\cdot 334\,000 = 33\,400\ \text{J}$ .
Conclusió. Com que $83\,600\ \text{J} \gt 33\,400\ \text{J}$ , hi ha calor de sobra: el gel es fon completament i la temperatura final és superior a 0 °C.

Apartat b)

Resultat

T_f \approx 20{,}0\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Balanç d'energia. Calor cedida per l'aigua calenta = calor per fondre el gel + calor per escalfar l'aigua de fusió des de 0 °C fins a T: $0{,}5\cdot 4180\cdot(40 - T) = 0{,}1\cdot 334\,000 + 0{,}1\cdot 4180\cdot T$
Càlcul. $83\,600 - 2090\,T = 33\,400 + 418\,T \Rightarrow 50\,200 = 2508\,T \Rightarrow T \approx 20{,}0\ ^{\circ}\text{C}$ .
Comprovació. Amb T = 20,0 °C, l'aigua calenta cedeix $0{,}5\cdot 4180\cdot 20 = 41\,800\ \text{J}$ i el gel absorbeix $33\,400 + 0{,}1\cdot 4180\cdot 20 = 41\,760\ \text{J}$ : iguals dins l'arrodoniment.
Error típic. Oblidar la calor latent de fusió i fer simplement la mitjana ponderada de les temperatures.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un mol de gas ideal es troba a 300 K i a la pressió constant d'1,0· $10^{5}$ Pa. S'escalfa a pressió constant fins a 400 K i, en fer-ho, absorbeix 2080 J de calor (R = 8,31 J/(mol·K)).
a) Calcula el volum inicial i el volum final.
b) Calcula el treball que fa el gas.
c) Calcula la variació d'energia interna i la fracció de la calor que s'ha convertit en treball.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

V_1 \approx 24{,}9\ \text{L}

;

V_2 \approx 33{,}2\ \text{L}

Resolució

Equació dels gasos ideals. $pV = nRT \Rightarrow V = \dfrac{nRT}{p}$ , amb $n = 1\ \text{mol}$ , $p = 1{,}0\cdot10^{5}\ \text{Pa}$ .
Càlcul. $V_1 = \dfrac{1\cdot 8{,}31\cdot 300}{1{,}0\cdot10^{5}} = 0{,}02493\ \text{m}^{3} \approx 24{,}9\ \text{L}$ $V_2 = \dfrac{1\cdot 8{,}31\cdot 400}{1{,}0\cdot10^{5}} = 0{,}03324\ \text{m}^{3} \approx 33{,}2\ \text{L}$

Apartat b)

Resultat

W \approx 831\ \text{J}

Resolució

Treball a pressió constant. $W = p\cdot\Delta V = 1{,}0\cdot10^{5}\cdot(0{,}03324 - 0{,}02493) \approx 831\ \text{J}$
Comprovació. Per a un gas ideal a p constant, $W = nR\Delta T = 1\cdot 8{,}31\cdot 100 = 831\ \text{J}$ .

Apartat c)

Resultat

\Delta U \approx 1249\ \text{J}

; s'ha convertit en treball un

40\ \%

de la calor.

Resolució

Primer principi. $\Delta U = Q - W = 2080 - 831 = 1249\ \text{J}$ .
Fracció convertida en treball. $\dfrac{W}{Q} = \dfrac{831}{2080} \approx 0{,}40$ , és a dir, un 40 %.
Conclusió. El 60 % restant de la calor augmenta l'energia interna del gas (la seva temperatura).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una màquina tèrmica funciona entre un focus calent a 500 K i un focus fred a 300 K. En cada cicle absorbeix 1000 J del focus calent i fa 450 J de treball.
a) Calcula'n el rendiment i la calor que cedeix al focus fred.
b) El rendiment màxim possible entre dues temperatures és $η_{\mathrm{màx}}$ = 1 - $T_{f}$ / $T_{c}$ (temperatures en kelvin). Calcula'l i raona si aquesta màquina pot existir.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

\eta = 45\ \%

;

Q_f = 550\ \text{J}

Resolució

Rendiment. $\eta = \dfrac{W}{Q_c} = \dfrac{450}{1000} = 0{,}45$ (45 %).
Calor cedida. En un cicle $\Delta U = 0$ , per tant $Q_f = Q_c - W = 1000 - 450 = 550\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

\eta_{\mathrm{màx}} = 40\ \%

: la màquina no pot existir, perquè el seu rendiment (45 %) el supera.

Resolució

Rendiment màxim (Carnot). $\eta_{\mathrm{màx}} = 1 - \dfrac{T_f}{T_c} = 1 - \dfrac{300}{500} = 0{,}40\ (40\ \%)$
Comparació. El rendiment de la màquina (45 %) supera el màxim que permet el segon principi entre aquests dos focus (40 %): aquesta màquina no pot existir.
Què caldria. Per arribar al 45 %, el focus calent hauria d'estar a més de 545 K ( $1 - 300/T_c \geq 0{,}45$ ), o bé la màquina hauria de fer com a molt 400 J de treball amb els 1000 J absorbits.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Raona si cada fet és compatible amb el segon principi de la termodinàmica:
a) una màquina que, funcionant en cicle, converteix en treball tota la calor que absorbeix d'un únic focus;
b) una tassa de cafè a 80 °C que es refreda fins a la temperatura de l'habitació (20 °C);
c) la calor passa espontàniament d'una barra a 20 °C a una altra barra a 50 °C, de manera que la freda es refreda i la calenta s'escalfa;
d) una nevera que treu calor de l'interior (4 °C) i la cedeix a la cuina (22 °C).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

No és compatible (enunciat de Kelvin-Planck).

Resolució

Segon principi (Kelvin-Planck). Cap màquina que funcioni en cicle pot convertir en treball tota la calor que absorbeix d'un sol focus.
Conclusió. Sempre cedeix una part de la calor a un focus més fred: el rendiment és sempre inferior al 100 %.

Apartat b)

Resultat

Sí que és compatible: és un procés espontani.

Resolució

Sentit de la calor. La calor passa espontàniament del cos calent (el cafè a 80 °C) a l'entorn més fred (20 °C).
Conclusió. El procés continua fins que s'assoleix l'equilibri tèrmic.

Apartat c)

Resultat

No és compatible (enunciat de Clausius).

Resolució

Segon principi (Clausius). La calor no pot passar espontàniament d'un cos fred a un de més calent.
Conclusió. El sentit natural és el contrari: de la barra a 50 °C cap a la de 20 °C.

Apartat d)

Resultat

Sí que és compatible, però no és espontani: cal aportar treball.

Resolució

Màquina frigorífica. Per treure calor de l'interior fred i portar-la a la cuina, més calenta, cal aportar treball (l'energia elèctrica del motor).
Balanç d'energia. A la cuina es cedeix més calor que la que s'extreu de l'interior, perquè s'hi afegeix l'energia del treball.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un cotxe de 1000 kg que circula a 72 km/h frena fins a aturar-se. Suposa que tota la seva energia cinètica es converteix en calor, que absorbeixen els quatre discs de fre, de 2 kg cada un, fets d'acer (c = 450 J/(kg·K)).
a) Quanta calor es genera?
b) Quant augmenta la temperatura dels discs?
c) I si la frenada fos des de 144 km/h?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Q = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{J}

Resolució

Dades. $m = 1000\ \text{kg}$ ; $v = 72\ \text{km/h} = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$ .
Energia cinètica. $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2} = 0{,}5\cdot 1000\cdot 20^{2} = 200\,000\ \text{J}$
Conclusió. Tota aquesta energia es converteix en calor: $Q = 200\,000\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

\Delta T \approx 55{,}6\ \text{K}

(55,6 °C)

Resolució

Massa dels discs. $4\cdot 2 = 8\ \text{kg}$ d'acer, amb $c = 450\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .
Calorimetria. De $Q = m\cdot c\cdot\Delta T$ : $\Delta T = \dfrac{200\,000}{8\cdot 450} \approx 55{,}6\ \text{K}$ és a dir, la temperatura puja 55,6 °C.

Apartat c)

Resultat

Q = 8{,}0\cdot10^{5}\ \text{J}

;

\Delta T \approx 222\ \text{K}

Resolució

Nova velocitat. $144\ \text{km/h} = 40\ \text{m/s}$ : $E_c = 0{,}5\cdot 1000\cdot 40^{2} = 800\,000\ \text{J}$ .
Augment de temperatura. $\Delta T = \dfrac{800\,000}{8\cdot 450} \approx 222\ \text{K}$ .
Conclusió. En duplicar la velocitat, l'energia cinètica es multiplica per 4 i l'augment de temperatura també: per això els frens s'escalfen tant a velocitats altes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Dins d'un calorímetre hi ha 200 g d'aigua a 20,0 °C. S'hi afegeixen 100 g d'aigua a 80,0 °C i la temperatura final és 38,0 °C ( $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K)).
a) Calcula l'equivalent en aigua del calorímetre i la seva capacitat calorífica.
b) Amb el mateix calorímetre, 250 g d'aigua a 20,0 °C i un tros de metall de 150 g a 100 °C arriben a 24,3 °C. Calcula la calor específica del metall i identifica'l (ferro 450, alumini 900, coure 385 J/(kg·K)).
c) Quina calor específica s'hauria obtingut ignorant el calorímetre? Quin error relatiu comporta?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

Equivalent en aigua

K \approx 33{,}3\ \text{g}

; capacitat calorífica

C \approx 139\ \text{J/K}

Resolució

Calor cedida per l'aigua calenta. $Q = 0{,}100\cdot 4180\cdot(80{,}0 - 38{,}0) = 17\,556\ \text{J}$ .
Equilibri tèrmic. L'absorbeixen els 200 g d'aigua freda i el calorímetre, que es comporta com una massa K d'aigua: $(0{,}200 + K)\cdot 4180\cdot(38{,}0 - 20{,}0) = 17\,556$
Càlcul. $0{,}200 + K = 0{,}2333\ \text{kg} \Rightarrow K = 0{,}0333\ \text{kg} = 33{,}3\ \text{g}$ d'aigua. Capacitat calorífica: $C = 0{,}0333\cdot 4180 \approx 139\ \text{J/K}$ .

Apartat b)

Resultat

c \approx 448\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

: és ferro.

Resolució

Balanç. Calor cedida pel metall = calor absorbida per l'aigua i el calorímetre (la temperatura final és la mateixa per a tots, equilibri): $0{,}150\cdot c\cdot(100 - 24{,}3) = (0{,}250 + 0{,}0333)\cdot 4180\cdot(24{,}3 - 20{,}0)$
Càlcul. $11{,}36\,c = 5093 \Rightarrow c \approx 448\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .
Conclusió. El valor més proper de la taula és el del ferro (450 J/(kg·K)).

Apartat c)

Resultat

c \approx 396\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

; error relatiu

\approx -12\ \%

Resolució

Sense calorímetre. $0{,}150\cdot c\cdot 75{,}7 = 0{,}250\cdot 4180\cdot 4{,}3 = 4494\ \text{J} \Rightarrow c \approx 396\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .
Error relatiu. $\dfrac{396 - 448}{448} \approx -0{,}12 = -12\ \%$
Conclusió. S'ha de comptar el calorímetre perquè també absorbeix calor. Error típic: oblidar que la temperatura final del metall és la mateixa que la de l'aigua (equilibri).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una olla elèctrica de 2000 W escalfa 1,5 kg d'aigua de 20 °C fins a 100 °C en 6 min 10 s (c = 4180 J/(kg·K), $L_{\mathrm{vaporització}}$ = 2,26· $10^{6}$ J/kg).
a) Calcula la calor que ha rebut l'aigua i el rendiment de l'olla.
b) Quina és la potència útil?
c) Si continua escalfant 3 min més amb el mateix rendiment, quanta aigua s'evapora?
d) Quant trigaria a escalfar-la si el rendiment fos del 100 %?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

Q \approx 5{,}02\cdot10^{5}\ \text{J}

(502 kJ); rendiment

\eta \approx 67{,}8\ \%

Resolució

Calor rebuda per l'aigua. $Q = m\cdot c\cdot\Delta T = 1{,}5\cdot 4180\cdot 80 = 5{,}02\cdot10^{5}\ \text{J}$ (502 kJ).
Energia elèctrica consumida. $t = 6\ \text{min}\ 10\ \text{s} = 370\ \text{s}$ : $E = P\cdot t = 2000\cdot 370 = 7{,}40\cdot10^{5}\ \text{J}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{Q}{E} = \dfrac{502}{740} \approx 0{,}678 = 67{,}8\ \%$

Apartat b)

Resultat

P_{\mathrm{útil}} \approx 1356\ \text{W}

Resolució

Potència útil. És la part de la potència que arriba a l'aigua: $P_{\mathrm{útil}} = \eta\cdot P = 0{,}678\cdot 2000 \approx 1356\ \text{W}$ .
Comprovació. També $P_{\mathrm{útil}} = \dfrac{Q}{t} = \dfrac{502\,000}{370} \approx 1356\ \text{W}$ .

Apartat c)

Resultat

S'evaporen

\approx 0{,}108\ \text{kg} = 108\ \text{g}

d'aigua (un 7 %).

Resolució

Energia útil en 3 min. En 180 s l'olla dona $2000\cdot 180 = 3{,}6\cdot10^{5}\ \text{J}$ , dels quals l'aigua en rep el 67,8 %: $2{,}44\cdot10^{5}\ \text{J}$ .
Canvi d'estat. Mentre bull, la temperatura es manté a 100 °C i tota la calor es dedica a vaporitzar: $m = \dfrac{Q}{L_v} = \dfrac{2{,}44\cdot10^{5}}{2{,}26\cdot10^{6}} \approx 0{,}108\ \text{kg} = 108\ \text{g}$
Conclusió. És un 7 % de l'aigua de l'olla.

Apartat d)

Resultat

t \approx 251\ \text{s} = 4\ \text{min}\ 11\ \text{s}

Resolució

Sense pèrdues. Tota la potència arriba a l'aigua: $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{502\,000}{2000} \approx 251\ \text{s}$ .
Conclusió. Són 4 min 11 s, menys que els 6 min 10 s reals, com és d'esperar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un gas ideal monoatòmic (C_v = 3/2·R, C_p = 5/2·R) fa el cicle A→B→C→D→A: A (1,0·10⁵ Pa; 10 L), B (2,0·10⁵ Pa; 10 L), C (2,0·10⁵ Pa; 20 L), D (1,0·10⁵ Pa; 20 L). A→B i C→D són isocores; B→C i D→A són isobares. La temperatura a A és 300 K.
a) Calcula la temperatura a B, C i D.
b) Calcula Q, W i ΔU en cada procés.
c) Calcula el treball net, la calor absorbida i el rendiment del cicle.
d) Compara'l amb el rendiment de Carnot entre les temperatures extremes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

T_B = 600\ \text{K}

;

T_C = 1200\ \text{K}

;

T_D = 600\ \text{K}

Resolució

Gas ideal. Amb n constant, $T = \dfrac{PV}{nR}$ : la temperatura és proporcional al producte $P\cdot V$ .
Productes PV. $P\cdot V$ val 1000 J a A, 2000 J a B, 4000 J a C i 2000 J a D.
Càlcul. Respecte de A (300 K): $T_B = 600\ \text{K}$ , $T_C = 1200\ \text{K}$ i $T_D = 600\ \text{K}$ .

Apartat b)

Resultat

A→B:

W = 0

\Delta U = Q = 1500\ \text{J}

; B→C:

W = 2000\ \text{J}

\Delta U = 3000\ \text{J}

Q = 5000\ \text{J}

; C→D:

W = 0

\Delta U = Q = -3000\ \text{J}

; D→A:

W = -1000\ \text{J}

\Delta U = -1500\ \text{J}

Q = -2500\ \text{J}

Resolució

Eines. Per a un gas monoatòmic, $\Delta U = \tfrac{3}{2}nR\Delta T = \tfrac{3}{2}\Delta(PV)$ ; a les isobares $W = P\Delta V$ , a les isocores $W = 0$ ; i $Q = \Delta U + W$ .
Isocora A→B. $W = 0$ ; $\Delta U = Q = \tfrac{3}{2}V\Delta P = 1{,}5\cdot 0{,}010\cdot 10^{5} = 1500\ \text{J}$ .
Isobara B→C. $W = P\Delta V = 2\cdot10^{5}\cdot 0{,}010 = 2000\ \text{J}$ ; $\Delta U = \tfrac{3}{2}\Delta(PV) = 3000\ \text{J}$ ; $Q = 5000\ \text{J}$ .
Isocora C→D. $W = 0$ ; $\Delta U = Q = -3000\ \text{J}$ .
Isobara D→A. $W = 10^{5}\cdot(-0{,}010) = -1000\ \text{J}$ ; $\Delta U = -1500\ \text{J}$ ; $Q = -2500\ \text{J}$ .

Apartat c)

Resultat

W_{\mathrm{net}} = 1000\ \text{J}

;

Q_{\mathrm{abs}} = 6500\ \text{J}

;

\eta \approx 15{,}4\ \%

Resolució

Treball net. $W_{\mathrm{net}} = 2000 - 1000 = 1000\ \text{J}$ , que és l'àrea del rectangle del diagrama P-V: $\Delta P\cdot\Delta V$ . En el cicle, $\Delta U_{\mathrm{total}} = 0$ .
Calors. Absorbida: $Q_{A\to B} + Q_{B\to C} = 6500\ \text{J}$ ; cedida: 5500 J. Comprovació: $Q_{\mathrm{net}} = 6500 - 5500 = 1000\ \text{J} = W$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{W_{\mathrm{net}}}{Q_{\mathrm{abs}}} = \dfrac{1000}{6500} \approx 15{,}4\ \%$

Apartat d)

Resultat

\eta_{\mathrm{Carnot}} = 75\ \%

: el cicle n'aprofita només una cinquena part.

Resolució

Carnot entre les temperatures extremes. $\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \dfrac{300}{1200} = 0{,}75 = 75\ \%$ .
Interpretació. El cicle real (15,4 %) només n'aprofita una cinquena part, perquè bona part de la calor s'absorbeix a temperatures baixes mentre el gas puja de 300 K a 1200 K, i no tota a la temperatura màxima.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

L'aire (gas ideal diatòmic, C_v = 5/2·R, γ = 1,4) d'un cilindre ocupa 1,0 L a 1,00 atm (101 325 Pa) i 300 K. Es comprimeix ràpidament, sense bescanvi de calor, fins a 0,10 L (R = 8,31 J/(mol·K)).
a) Calcula la temperatura i la pressió finals (T·V^γ−1 = constant; P·V^γ = constant).
b) Calcula el treball rebut pel gas i la variació d'energia interna.
c) Compara-ho amb una compressió isoterma fins al mateix volum.
d) Explica per què això permet encendre un combustible en un motor dièsel sense bugia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

T_2 \approx 754\ \text{K}

(481 °C);

P_2 \approx 25{,}1\ \text{atm}

Resolució

Adiabàtica. $T\cdot V^{\gamma-1}$ i $P\cdot V^{\gamma}$ es mantenen constants, amb $V_1/V_2 = 10$ .
Temperatura. $T_2 = T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 300\cdot 10^{0{,}4} \approx 754\ \text{K}\ (481\ ^{\circ}\text{C})$
Pressió. $P_2 = P_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} = 1{,}00\cdot 10^{1{,}4} \approx 25{,}1\ \text{atm}$

Apartat b)

Resultat

W_{\mathrm{rebut}} = \Delta U \approx 383\ \text{J}

(

W = -383\ \text{J}

amb el criteri de treball fet pel gas)

Resolució

Mols. $n = \dfrac{PV}{RT} = \dfrac{101\,325\cdot 1{,}0\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot 300} \approx 0{,}0406\ \text{mol}$
Primer principi amb Q = 0. Tot el treball rebut es converteix en energia interna: $\Delta U = W_{\mathrm{rebut}} = nC_v\Delta T = 0{,}0406\cdot 2{,}5\cdot 8{,}31\cdot 454 \approx 383\ \text{J}$
Signe. El gas ha rebut 383 J de treball; segons el criteri de W fet pel gas, $W = -383\ \text{J}$ .

Apartat c)

Resultat

Isoterma:

\Delta U = 0

P_2 = 10\ \text{atm}

W_{\mathrm{rebut}} \approx 233\ \text{J}

; l'adiabàtica requereix més treball (383 J) i arriba a més pressió.

Resolució

Isoterma. La temperatura es manté a 300 K, $\Delta U = 0$ i $P_2 = P_1\cdot\dfrac{V_1}{V_2} = 10\ \text{atm}$ .
Treball isoterm. $W_{\mathrm{rebut}} = nRT\ln\dfrac{V_1}{V_2} = nRT\ln 10 \approx 233\ \text{J}$ , que el gas cedeix com a calor a l'entorn.
Comparació. L'adiabàtica requereix més treball (383 J) i arriba a una pressió molt més alta, perquè no pot evacuar la calor i el gas s'escalfa.

Apartat d)

Resultat

La compressió ràpida (adiabàtica) escalfa l'aire per sobre de 480 °C, i el gasoil injectat s'hi inflama espontàniament.

Resolució

Compressió ràpida. En comprimir tan de pressa, l'aire no té temps de cedir calor: tot el treball s'inverteix en energia interna.
Conclusió. La temperatura puja per sobre de 480 °C; si s'hi injecta gasoil en aquest moment, s'inflama espontàniament, sense necessitat de bugia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Una casa es manté a 21 °C amb l'exterior a 5 °C, i perd calor a un ritme de 6,0 kW. Es compara la calefacció amb una resistència elèctrica i amb una bomba de calor (la bomba de calor funciona com una màquina frigorífica invertida: extreu calor de l'exterior i aporta calor a l'interior).
a) Calcula el COP màxim possible (COP = $T_{\mathrm{calent}}$ /( $T_{\mathrm{calent}}$ - $T_{\mathrm{freda}}$ ), amb temperatures en kelvin).
b) Si la bomba de calor real té un COP de 4,0, quina potència elèctrica consumeix i quanta calor extreu de l'exterior?
c) Calcula el cost diari (24 h) amb la bomba i amb la resistència si l'electricitat costa 0,15 €/kWh.
d) Per què això no vulnera el primer principi de la termodinàmica?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\mathrm{COP}_{\mathrm{màx}} \approx 18{,}4

Resolució

Temperatures en kelvin. $T_{\mathrm{calent}} = 294\ \text{K}$ i $T_{\mathrm{freda}} = 278\ \text{K}$ .
COP màxim. $\mathrm{COP}_{\mathrm{màx}} = \dfrac{294}{294 - 278} = \dfrac{294}{16} \approx 18{,}4$
Conclusió. Cap bomba de calor real pot superar aquest valor.

Apartat b)

Resultat

W = 1{,}5\ \text{kW}

elèctrics; extreu

4{,}5\ \text{kW}

de l'exterior.

Resolució

Definició de COP. $\mathrm{COP} = \dfrac{Q_{\mathrm{calent}}}{W} \Rightarrow W = \dfrac{6{,}0}{4{,}0} = 1{,}5\ \text{kW}$ .
Conservació de l'energia. $Q_{\mathrm{calent}} = W + Q_{\mathrm{freda}}$ , de manera que la calor extreta de l'exterior és $6{,}0 - 1{,}5 = 4{,}5\ \text{kW}$ .

Apartat c)

Resultat

Bomba de calor: 5,40 €/dia; resistència: 21,60 €/dia.

Resolució

Bomba de calor. $1{,}5\ \text{kW}\cdot 24\ \text{h} = 36\ \text{kWh}$ , i $36\cdot 0{,}15 = 5{,}40$ €.
Resistència. $6{,}0\ \text{kW}\cdot 24\ \text{h} = 144\ \text{kWh}$ , i $144\cdot 0{,}15 = 21{,}60$ €.
Conclusió. La bomba de calor costa una quarta part.

Apartat d)

Resultat

La bomba no crea energia: transporta 4,5 kW de calor de l'exterior gastant 1,5 kW de treball, i 1,5 + 4,5 = 6,0 kW.

Resolució

Primer principi. La bomba de calor no crea energia: transporta 4,5 kW de calor d'un lloc fred a un de calent gastant 1,5 kW de treball elèctric. L'energia total es conserva (1,5 + 4,5 = 6,0 kW).
Segon principi. Passar calor del fred al calent és compatible amb el segon principi precisament perquè s'hi aporta treball.
Observació. El COP real baixa quan fa més fred a l'exterior, i per això aquests sistemes funcionen millor en climes suaus.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una central tèrmica de carbó produeix 400 MW elèctrics amb un rendiment del 38 %. El carbó té un poder calorífic de 25 MJ/kg. El vapor entra a la turbina a 800 K i el condensador treballa a 300 K. La calor residual se cedeix a un riu.
a) Calcula la calor absorbida i la cedida per segon.
b) Calcula el consum de carbó en tones per hora.
c) Quin cabal de riu ( $\tfrac{m^{3}}{s}$ ) s'escalfa 5,0 °C amb aquesta calor? (c = 4180 J/(kg·K); 1 $\text{m}^{3}$ = 1000 kg.)
d) Quin és el rendiment de Carnot i quin percentatge n'aprofita la central?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Q_c \approx 1053\ \text{MW}

(

1{,}05\cdot10^{9}\ \text{J/s}

);

Q_f \approx 653\ \text{MW}

Resolució

Rendiment. $\eta = \dfrac{P}{Q_c} \Rightarrow Q_c = \dfrac{400}{0{,}38} \approx 1053\ \text{MW}$ : cada segon s'absorbeixen $1{,}05\cdot10^{9}\ \text{J}$ .
Calor cedida. $Q_f = Q_c - P = 1053 - 400 \approx 653\ \text{MW}$ .

Apartat b)

Resultat

\approx 152\ \text{t/h}

de carbó

Resolució

Massa per segon. $\dfrac{1{,}053\cdot10^{9}\ \text{J/s}}{2{,}5\cdot10^{7}\ \text{J/kg}} \approx 42{,}1\ \text{kg/s}$
Canvi d'unitats. $42{,}1\ \text{kg/s}\cdot 3600\ \text{s/h} \approx 1{,}52\cdot10^{5}\ \text{kg/h} = 152\ \text{t/h}$ .

Apartat c)

Resultat

Cabal

\approx 31{,}2\ \text{m}^{3}\text{/s}

Resolució

Calorimetria per segon. $Q_f = \dot m\cdot c\cdot\Delta T$ , amb $\dot m$ la massa d'aigua per segon.
Càlcul. $\dot m = \dfrac{6{,}53\cdot10^{8}}{4180\cdot 5{,}0} \approx 3{,}12\cdot10^{4}\ \text{kg/s} = 31{,}2\ \text{m}^{3}\text{/s}$

Apartat d)

Resultat

\eta_{\mathrm{Carnot}} = 62{,}5\ \%

; la central n'aprofita un

\approx 61\ \%

Resolució

Carnot. $\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \dfrac{300}{800} = 0{,}625 = 62{,}5\ \%$ .
Comparació. $\dfrac{38}{62{,}5} \approx 0{,}61$ : la central aprofita un 61 % del màxim teòric.
Observació. Per cada MW elèctric s'envien 1,6 MW de calor al riu: per això les centrals són a prop de grans cabals d'aigua, i l'impacte tèrmic és un problema ambiental.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una persona de 70 kg fa exercici intens i els seus músculs generen 600 W de calor (la calor específica del cos és de 3470 J/(kg·K) i la calor latent d'evaporació de la suor a la pell de 2,43· $10^{6}$ J/kg).
a) Si no pogués cedir cap calor, quant pujaria la temperatura corporal en 20 min? Què significaria per a la salut?
b) Quina massa de suor s'ha d'evaporar per hora per eliminar tota aquesta calor?
c) Explica per què la suor refreda només quan s'evapora, i per què hi ha més risc en ambients humits.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

\Delta T \approx 2{,}96\ \text{K}

: passaria de 37 °C a prop de 40 °C, una situació perillosa (cop de calor).

Resolució

Calor generada. En 20 min = 1200 s: $Q = P\cdot t = 600\cdot 1200 = 7{,}2\cdot10^{5}\ \text{J}$ .
Calorimetria. $\Delta T = \dfrac{Q}{m\cdot c} = \dfrac{7{,}2\cdot10^{5}}{70\cdot 3470} \approx 2{,}96\ \text{K}$
Conclusió. La temperatura corporal passaria de 37 °C a prop de 40 °C: és perillós (cop de calor), i per això el cos ha de refredar-se.

Apartat b)

Resultat

m \approx 0{,}89\ \text{kg/h}

de suor (gairebé un litre per hora)

Resolució

Calor a eliminar per hora. $Q = 600\cdot 3600 = 2{,}16\cdot10^{6}\ \text{J}$ .
Calor latent. $m = \dfrac{Q}{L} = \dfrac{2{,}16\cdot10^{6}}{2{,}43\cdot10^{6}} \approx 0{,}89\ \text{kg}$
Observació. Calen reposició d'aigua i de sals; 0,9 L/h és el valor mínim si tota la suor s'evapora, però a la pràctica se'n perd més.

Apartat c)

Resultat

L'evaporació absorbeix calor latent de la pell; en ambient humit la suor s'evapora poc i no refreda.

Resolució

Per què refreda. L'evaporació necessita energia (la calor latent), que s'extreu de la pell. Només la suor que s'evapora refreda; la que goteja no hi serveix.
Ambients humits. Si l'aire ja és gairebé saturat de vapor, la suor s'evapora poc: no s'elimina la calor i la temperatura corporal creix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Per escalfar ràpidament 2,0 kg d'aigua a 20 °C en un recipient aïllat s'hi fa passar vapor d'aigua a 100 °C, que s'hi condensa ( $L_{\mathrm{condensació}}$ = 2,26· $10^{6}$ J/kg; $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K)).
a) Quina massa de vapor cal injectar perquè la mescla arribi a 60 °C?
b) Quina part de l'energia aportada correspon a la condensació i quina al refredament de l'aigua del vapor?
c) Per què el vapor a 100 °C és molt més perillós per a la pell que l'aigua a 100 °C?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

m \approx 0{,}138\ \text{kg} = 138\ \text{g}

de vapor

Resolució

Calor guanyada per l'aigua freda. $Q = 2{,}0\cdot 4180\cdot 40 = 334\,400\ \text{J}$ .
Calor cedida pel vapor. El vapor cedeix $m\cdot L$ en condensar-se i $m\cdot c\cdot(100 - 60)$ en refredar-se ja com a aigua: $m\,(2{,}26\cdot10^{6} + 4180\cdot 40) = 334\,400$
Càlcul. $m = \dfrac{334\,400}{2{,}427\cdot10^{6}} \approx 0{,}138\ \text{kg} = 138\ \text{g}$

Apartat b)

Resultat

Condensació:

\approx 311\ \text{kJ}

(93 %); refredament:

\approx 23\ \text{kJ}

(7 %)

Resolució

Condensació. $0{,}138\cdot 2{,}26\cdot10^{6} \approx 311\ \text{kJ}$ , un 93 %.
Refredament de 100 °C a 60 °C. $0{,}138\cdot 4180\cdot 40 \approx 23\ \text{kJ}$ , un 7 %.
Comprovació. 311 + 23 = 334 kJ, igual que la calor guanyada per l'aigua freda.

Apartat c)

Resultat

Perquè el vapor, a més de refredar-se, allibera la calor latent en condensar-se: unes nou vegades més energia per gram que l'aigua a 100 °C.

Resolució

Vapor sobre la pell. Un gram de vapor a 100 °C allibera 2260 J només en condensar-se.
Aigua a 100 °C. Un gram d'aigua que es refreda fins a 37 °C allibera $10^{-3}\cdot 4180\cdot 63 \approx 263\ \text{J}$ .
Comparació. $\dfrac{2260}{263} \approx 8{,}6$ : el vapor aporta unes nou vegades més energia (i encara més si també compten els 263 J del refredament posterior de l'aigua condensada). Per això les cremades per vapor són tan greus.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

Una mostra de 0,500 kg d'una substància desconeguda, sòlida a 10 °C, rep calor d'un escalfador de 500 W amb un aprofitament del 100 %. La temperatura mesurada és: t = 0 s, 10 °C; t = 60 s, 60 °C; entre t = 60 s i t = 360 s, 60 °C constants; t = 560 s, 160 °C (en cada tram, l'escalfament és lineal).
a) Quina és la temperatura de fusió?
b) Calcula la calor específica del sòlid.
c) Calcula la calor latent de fusió.
d) Calcula la calor específica del líquid.
e) Quina temperatura tindrà a t = 460 s? Quina energia total ha rebut en 560 s?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

T_{\mathrm{fusió}} = 60\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Lectura de les dades. Entre t = 60 s i t = 360 s la temperatura es manté constant a 60 °C, tot i que l'escalfador continua aportant energia.
Conclusió. Aquest replà (plateau) correspon al canvi d'estat: la temperatura de fusió és 60 °C.

Apartat b)

Resultat

c_s = 1200\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

Resolució

Energia rebuda. L'energia és $P\cdot t$ : al tram sòlid (0–60 s), $Q = 500\cdot 60 = 30\,000\ \text{J}$ per a $\Delta T = 50\ \text{K}$ .
Calorimetria. $c_s = \dfrac{Q}{m\cdot\Delta T} = \dfrac{30\,000}{0{,}500\cdot 50} = 1200\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$

Apartat c)

Resultat

L_f = 3{,}0\cdot10^{5}\ \text{J/kg}

Resolució

Energia del replà. 300 s a 500 W: $Q = 500\cdot 300 = 150\,000\ \text{J}$ .
Calor latent. $L_f = \dfrac{Q}{m} = \dfrac{150\,000}{0{,}500} = 3{,}0\cdot10^{5}\ \text{J/kg}$

Apartat d)

Resultat

c_l = 2000\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

Resolució

Tram líquid. De 360 s a 560 s (200 s): $Q = 500\cdot 200 = 100\,000\ \text{J}$ per a $\Delta T = 100\ \text{K}$ .
Calorimetria. $c_l = \dfrac{100\,000}{0{,}500\cdot 100} = 2000\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
Observació. El pendent de la gràfica T-t en cada tram és $\dfrac{P}{m\cdot c}$ : el tram líquid és més pla que el sòlid perquè $c_l \gt c_s$ .

Apartat e)

Resultat

T(460\ \text{s}) = 110\ ^{\circ}\text{C}

; energia total

= 2{,}8\cdot10^{5}\ \text{J} = 280\ \text{kJ}

Resolució

Temperatura a 460 s. Han passat 100 s des del final de la fusió: $Q = 50\,000\ \text{J}$ i $\Delta T = \dfrac{50\,000}{0{,}500\cdot 2000} = 50\ \text{K}$ , així $T = 60 + 50 = 110\ ^{\circ}\text{C}$ .
Energia total. $E = P\cdot t = 500\cdot 560 = 280\,000\ \text{J} = 280\ \text{kJ}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

0,50 mol d'un gas ideal monoatòmic (C_v = 3/2·R, R = 8,31 J/(mol·K)) fan un cicle de tres etapes: 1→2, expansió isoterma a 400 K de 5,0 L a 15,0 L; 2→3, compressió isobara fins a 5,0 L; 3→1, escalfament isocor fins a 400 K.
a) Calcula la pressió als estats 1 i 2 i la temperatura a l'estat 3.
b) Calcula el treball, la calor i la variació d'energia interna de cada etapa.
c) Calcula el treball net i el rendiment del cicle.
d) Compara'l amb el rendiment de Carnot entre les temperatures extremes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

P_1 \approx 3{,}32\cdot10^{5}\ \text{Pa}

;

P_2 \approx 1{,}11\cdot10^{5}\ \text{Pa}

;

T_3 \approx 133\ \text{K}

Resolució

Equació dels gasos ideals. $P = \dfrac{nRT}{V}$ , amb $n = 0{,}50\ \text{mol}$ i volums en m³.
Estats 1 i 2 (400 K). $P_1 = \dfrac{0{,}50\cdot 8{,}31\cdot 400}{0{,}0050} \approx 3{,}32\cdot10^{5}\ \text{Pa},\quad P_2 = \dfrac{0{,}50\cdot 8{,}31\cdot 400}{0{,}0150} \approx 1{,}11\cdot10^{5}\ \text{Pa}$
Estat 3. $T_3 = \dfrac{P_2 V_3}{nR} = \dfrac{1{,}11\cdot10^{5}\cdot 0{,}0050}{0{,}50\cdot 8{,}31} \approx 133\ \text{K}$ (un terç de 400 K, perquè el volum es redueix a un terç a pressió constant).

Apartat b)

Resultat

1→2:

\Delta U = 0

W = Q \approx 1826\ \text{J}

; 2→3:

W \approx -1108\ \text{J}

Q \approx -2770\ \text{J}

\Delta U \approx -1662\ \text{J}

; 3→1:

W = 0

Q = \Delta U \approx 1662\ \text{J}

Resolució

Isoterma 1→2. $\Delta U = 0$ i $W = Q = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1} = 0{,}50\cdot 8{,}31\cdot 400\cdot\ln 3 \approx 1826\ \text{J}$
Isobara 2→3. $W = P\Delta V = 1{,}11\cdot10^{5}\cdot(-0{,}010) \approx -1108\ \text{J}$ ; $Q = nC_p\Delta T = 0{,}50\cdot 2{,}5\cdot 8{,}31\cdot(133 - 400) \approx -2770\ \text{J}$ ; $\Delta U = Q - W \approx -1662\ \text{J}$ .
Isocora 3→1. $W = 0$ ; $Q = \Delta U = nC_v\Delta T = 0{,}50\cdot 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot 267 \approx 1662\ \text{J}$ .
Comprovació. $\Delta U_{\mathrm{total}} = 0 + (-1662) + 1662 = 0$ , com ha de ser en un cicle.

Apartat c)

Resultat

W_{\mathrm{net}} \approx 718\ \text{J}

;

\eta \approx 20{,}6\ \%

Resolució

Treball net. $W_{\mathrm{net}} = 1826 - 1108 = 718\ \text{J}$ .
Calors. Absorbida: $1826 + 1662 = 3488\ \text{J}$ ; cedida: 2770 J (i $3488 - 2770 = 718\ \text{J}$ , igual que el treball net).
Rendiment. $\eta = \dfrac{718}{3488} \approx 0{,}206 = 20{,}6\ \%$

Apartat d)

Resultat

\eta_{\mathrm{Carnot}} \approx 66{,}7\ \%

: el cicle és unes tres vegades menys eficient.

Resolució

Carnot entre 133 K i 400 K. $\eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \dfrac{133}{400} \approx 0{,}667 = 66{,}7\ \%$ .
Interpretació. El cicle és unes tres vegades menys eficient que el límit, perquè part de la calor s'absorbeix mentre el gas s'escalfa de 133 K a 400 K, i no tota a la temperatura màxima.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

La potència conduïda per una paret és P = k·A·ΔT/d, on k és la conductivitat tèrmica (W/(m·K)), A l'àrea, d el gruix i ΔT la diferència de temperatures. Una paret de maó de 20 $\text{m}^{2}$ i 25 cm de gruix (k = 0,80 W/(m·K)) separa un interior a 20 °C d'un exterior a 0 °C.
a) Calcula la potència perduda i l'energia perduda en un dia.
b) S'hi afegeix aïllant de 5,0 cm (k = 0,040 W/(m·K)). Calcula la nova potència (les resistències d/k se sumen) i la temperatura a la unió maó-aïllant.
c) Calcula l'estalvi en un hivern de 150 dies i el seu valor econòmic a 0,15 €/kWh.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

P = 1280\ \text{W}

;

E \approx 30{,}7\ \text{kWh}

en un dia

Resolució

Llei de conducció. $P = \dfrac{k\cdot A\cdot\Delta T}{d} = \dfrac{0{,}80\cdot 20\cdot 20}{0{,}25} = 1280\ \text{W}$
Energia en un dia. $E = 1{,}28\ \text{kW}\cdot 24\ \text{h} \approx 30{,}7\ \text{kWh}$ .

Apartat b)

Resultat

P = 256\ \text{W}

(un 80 % menys);

T_{\mathrm{unió}} = 16\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Resistències tèrmiques. Per unitat d'àrea, $R = \dfrac{d}{k}$ . Maó: $\dfrac{0{,}25}{0{,}80} = 0{,}3125\ \text{m}^{2}\text{K/W}$ ; aïllant: $\dfrac{0{,}05}{0{,}040} = 1{,}25\ \text{m}^{2}\text{K/W}$ ; total: 1,5625.
Nova potència. $P = \dfrac{A\cdot\Delta T}{R} = \dfrac{20\cdot 20}{1{,}5625} = 256\ \text{W}$
Temperatura a la unió. En règim estacionari la potència és la mateixa en tots dos materials: $\Delta T_{\mathrm{maó}} = \dfrac{P\cdot R_{\mathrm{maó}}}{A} = \dfrac{256\cdot 0{,}3125}{20} = 4{,}0\ \text{K}$ , i la unió és a $20 - 4{,}0 = 16\ ^{\circ}\text{C}$ .

Apartat c)

Resultat

Estalvi

\approx 3686\ \text{kWh}

, uns 553 €

Resolució

Energia en 150 dies. Abans: $1{,}28\cdot 24\cdot 150 = 4608\ \text{kWh}$ ; ara: $0{,}256\cdot 24\cdot 150 \approx 922\ \text{kWh}$ .
Estalvi. $4608 - 922 \approx 3686\ \text{kWh}$ , que a 0,15 €/kWh són uns 553 €.
Observació. L'aïllant només representa un 17 % del gruix total, però fa gairebé tota la resistència (80 %): el que importa és el valor de d/k.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

La potència radiada per una superfície és P = ε·σ·A· $T^{4}$ , amb σ = 5,67· $10^{-8}$ $\tfrac{W}{(m^{2}\cdot K^{4})}$ i T en kelvin. La pell d'una persona despullada (A = 1,7 $\text{m}^{2}$ , ε = 0,95) és a 33 °C i les parets de l'habitació són a 20 °C.
a) Calcula la potència que radia la pell i la que n'absorbeix de les parets.
b) Calcula la pèrdua neta per radiació.
c) Repeteix l'apartat b) amb les parets a 10 °C i a 30 °C.
d) Compara-ho amb una potència metabòlica de repòs d'uns 100 W i comenta el paper de la roba.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

Emesa

\approx 803\ \text{W}

; absorbida de les parets

\approx 675\ \text{W}

Resolució

Dades. $T_{\mathrm{pell}} = 33 + 273 = 306\ \text{K}$ , $T_{\mathrm{parets}} = 293\ \text{K}$ ; $\varepsilon = 0{,}95$ , $A = 1{,}7\ \text{m}^{2}$ , $\sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}\ \text{W/(m}^{2}\text{K}^{4})$ .
Llei de Stefan-Boltzmann. $P_{\mathrm{emesa}} = \varepsilon\sigma A T^{4} = 0{,}95\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}7\cdot 306^{4} \approx 803\ \text{W}$
Radiació absorbida de les parets. $P_{\mathrm{abs}} = 0{,}95\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}7\cdot 293^{4} \approx 675\ \text{W}$

Apartat b)

Resultat

P_{\mathrm{net}} \approx 128\ \text{W}

Resolució

Balanç. La pèrdua neta és la diferència entre el que emet la pell i el que n'absorbeix: $P_{\mathrm{net}} = \varepsilon\sigma A\,(T_{\mathrm{pell}}^{4} - T_{\mathrm{parets}}^{4})$ .
Càlcul. $P_{\mathrm{net}} \approx 803 - 675 \approx 128\ \text{W}$ .

Apartat c)

Resultat

Parets a 10 °C:

\approx 216\ \text{W}

; parets a 30 °C:

\approx 31\ \text{W}

Resolució

Parets a 10 °C (283 K). $P_{\mathrm{net}} = 0{,}95\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}7\cdot(306^{4} - 283^{4}) \approx 216\ \text{W}$
Parets a 30 °C (303 K). $P_{\mathrm{net}} \approx 31\ \text{W}$ .
Interpretació. La pèrdua depèn de la diferència de $T^{4}$ i canvia ràpidament amb la temperatura de l'entorn. A l'interval 293–306 K és aproximadament lineal en $\Delta T$ : $\Delta P \approx 4\varepsilon\sigma A T^{3}\Delta T \approx 9{,}9\ \text{W/K}\cdot\Delta T$ , que per a $\Delta T = 13\ \text{K}$ dona uns 128 W.

Apartat d)

Resultat

La pèrdua per radiació (128 W) supera els 100 W de repòs: despullat a 20 °C tindries fred; la roba la redueix molt.

Resolució

Comparació. 128 W és més que els 100 W de repòs: una persona despullada a 20 °C perd més calor de la que produeix, només per radiació, i tindria fred.
Paper de la roba. La roba redueix molt la pèrdua perquè la seva superfície exterior és més freda que la pell (per exemple, 25 °C) i perquè atrapa aire, que és aïllant.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Per mesurar la calor específica de l'alumini s'escalfa un bloc d'1,00 kg amb una resistència elèctrica connectada a 12,0 V que consumeix 2,50 A durant 240 s. El bloc és ben aïllat i la seva temperatura puja 7,9 K (incertesa de ±0,2 K). El valor de referència de l'alumini és 897 J/(kg·K).
a) Calcula l'energia elèctrica subministrada.
b) Calcula la calor específica experimental.
c) Calcula l'error relatiu respecte del valor de referència i la incertesa deguda a la mesura de ΔT.
d) El resultat és compatible amb el valor de referència? Quina podria ser la causa de les diferències?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

E = 7200\ \text{J}

Resolució

Energia elèctrica. $E = V\cdot I\cdot t = 12{,}0\cdot 2{,}50\cdot 240 = 7200\ \text{J}$ .
Conclusió. Com que el bloc és ben aïllat, considerem que tota aquesta energia passa al bloc.

Apartat b)

Resultat

c \approx 911\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

Resolució

Dades. $E = 7200\ \text{J}$ , $m = 1{,}00\ \text{kg}$ , $\Delta T = 7{,}9\ \text{K}$ .
Calorimetria. $c = \dfrac{E}{m\cdot\Delta T} = \dfrac{7200}{1{,}00\cdot 7{,}9} \approx 911\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$
Conclusió. El valor surt una mica més gran que el de referència (897 J/(kg·K)); a l'apartat c en valorem la diferència.

Apartat c)

Resultat

Error relatiu

\approx +1{,}6\ \%

; incertesa

\approx 2{,}5\ \%

, és a dir,

c = 911 \pm 23\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}

Resolució

Error relatiu. $\dfrac{911 - 897}{897} \approx +0{,}016 = +1{,}6\ \%$ .
Incertesa relativa. Com que c és inversament proporcional a $\Delta T$ , la incertesa relativa de c és la de $\Delta T$ : $\dfrac{\delta c}{c} = \dfrac{\delta(\Delta T)}{\Delta T} = \dfrac{0{,}2}{7{,}9} \approx 2{,}5\ \%$
Resultat. $\delta c \approx 0{,}025\cdot 911 \approx 23\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ : $c = 911 \pm 23\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$ .

Apartat d)

Resultat

Sí, és compatible: l'interval 888–934 J/(kg·K) conté 897.

Resolució

Compatibilitat. L'interval 888–934 J/(kg·K) conté el valor de referència (897): l'error de +1,6 % és inferior a la incertesa de la mesura (2,5 %).
Causes possibles. Una pèrdua de calor donaria una ΔT més petita i, per tant, una c més gran (com passa aquí); també pot ser que el termòmetre i la resistència absorbeixin part de l'energia.
Observació. Per reduir la incertesa convé una ΔT més gran (escalfar més temps), perquè la incertesa relativa δ(ΔT)/ΔT disminueix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

La variació d'entropia d'un focus que cedeix o absorbeix una calor Q a temperatura constant T és ΔS = $\tfrac{Q}{T}$ (Q positiva si el focus l'absorbeix). Dues màquines treballen entre un focus calent a 600 K i un de fred a 300 K, i en cada cicle absorbeixen 2000 J del focus calent: una màquina de Carnot i una màquina real amb un rendiment del 30 %.
a) Calcula el treball i la calor cedida al focus fred per cada màquina.
b) Calcula la variació d'entropia dels dos focus i la total per a cada màquina.
c) Quina relació hi ha entre el signe de la variació total d'entropia i la reversibilitat?
d) Quant de treball «es perd» per la irreversibilitat de la màquina real, i quina relació té amb $T_{\mathrm{fred}}$ i la variació d'entropia?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

Carnot:

W = 1000\ \text{J}

Q_f = 1000\ \text{J}

; real:

W = 600\ \text{J}

Q_f = 1400\ \text{J}

Resolució

Màquina de Carnot. $\eta = 1 - \dfrac{300}{600} = 0{,}50$ : $W = 0{,}50\cdot 2000 = 1000\ \text{J}$ i $Q_f = 2000 - 1000 = 1000\ \text{J}$ .
Màquina real. $W = 0{,}30\cdot 2000 = 600\ \text{J}$ i $Q_f = 2000 - 600 = 1400\ \text{J}$ (en un cicle $\Delta U = 0$ ).

Apartat b)

Resultat

Carnot:

\Delta S_c = -3{,}33\ \text{J/K}

\Delta S_f = +3{,}33\ \text{J/K}

, total

0

; real:

-3{,}33

+4{,}67

, total

+1{,}33\ \text{J/K}

Resolució

Carnot. $\Delta S_{\mathrm{calent}} = -\dfrac{2000}{600} = -3{,}33\ \text{J/K}$ ; $\Delta S_{\mathrm{fred}} = +\dfrac{1000}{300} = +3{,}33\ \text{J/K}$ ; total = 0.
Real. $\Delta S_{\mathrm{calent}} = -3{,}33\ \text{J/K}$ ; $\Delta S_{\mathrm{fred}} = +\dfrac{1400}{300} = +4{,}67\ \text{J/K}$ ; total = $+1{,}33\ \text{J/K}$ .

Apartat c)

Resultat

En un procés reversible l'entropia total no varia; en un d'irreversible, augmenta; mai no pot disminuir.

Resolució

Segon principi. En el procés reversible (Carnot), l'entropia total no varia; en el real (irreversible), augmenta.
Conclusió. L'entropia total mai no pot disminuir: un resultat negatiu indicaria que el procés és impossible.

Apartat d)

Resultat

Es perden 400 J de treball, i

T_{\mathrm{fred}}\cdot\Delta S_{\mathrm{total}} = 300\cdot 1{,}33 = 400\ \text{J}

Resolució

Treball perdut. La màquina real fa $1000 - 600 = 400\ \text{J}$ menys de treball que la de Carnot.
Relació amb l'entropia. $T_{\mathrm{fred}}\cdot\Delta S_{\mathrm{total}} = 300\cdot 1{,}33 = 400\ \text{J}$ : tota la irreversibilitat es converteix en calor addicional (400 J) cedida al focus fred.
Interpretació. L'entropia mesura «energia que ja no es pot aprofitar»: cada J/K creat costa $T_{\mathrm{fred}}$ joules de treball.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

El rendiment ideal d'un motor de gasolina (cicle d'Otto) és η = 1 − $r^{1-γ}$ , amb r la relació de compressió i γ = 1,4. Un cotxe té r = 10 i el motor real té un rendiment global del 30 %. La gasolina té un poder calorífic de 44 MJ/kg i una densitat de 0,74 kg/L, i produeix 3,1 kg de CO₂ per cada kg cremat. El motor desenvolupa 60 kW mecànics.
a) Calcula el rendiment ideal d'Otto. Què passa si r = 8 o r = 12?
b) Calcula la potència tèrmica que entra al motor i la calor perduda.
c) Calcula el consum de gasolina en kg/h i L/h.
d) Calcula el CO₂ emès per hora.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

\eta_{\mathrm{Otto}} \approx 60{,}2\ \%

; amb

r = 8

56{,}5\ \%

; amb

r = 12

63{,}0\ \%

Resolució

Rendiment d'Otto. $\eta = 1 - r^{1-\gamma} = 1 - 10^{-0{,}4} = 1 - 0{,}398 \approx 0{,}602\ (60{,}2\ \%)$
Altres relacions de compressió. $r = 8$ : $1 - 8^{-0{,}4} \approx 56{,}5\ \%$ ; $r = 12$ : $1 - 12^{-0{,}4} \approx 63{,}0\ \%$ .
Interpretació. Més compressió dona més rendiment, però fa pujar la pressió i la temperatura, i el límit el posa la detonació del combustible.

Apartat b)

Resultat

Potència tèrmica

= 200\ \text{kW}

; calor perduda

= 140\ \text{kW}

Resolució

Rendiment global. $P_{\mathrm{tèrmica}} = \dfrac{P_{\mathrm{mec}}}{\eta} = \dfrac{60}{0{,}30} = 200\ \text{kW}$ .
Calor perduda. $200 - 60 = 140\ \text{kW}$ (gasos d'escapament i refrigeració).

Apartat c)

Resultat

\approx 16{,}4\ \text{kg/h}

, és a dir,

\approx 22{,}1\ \text{L/h}

Resolució

Massa per segon. $\dfrac{200\,000\ \text{J/s}}{44\cdot10^{6}\ \text{J/kg}} \approx 4{,}55\cdot10^{-3}\ \text{kg/s} \approx 16{,}4\ \text{kg/h}$
Volum. $\dfrac{16{,}36\ \text{kg/h}}{0{,}74\ \text{kg/L}} \approx 22{,}1\ \text{L/h}$ .

Apartat d)

Resultat

\approx 50{,}7\ \text{kg}

de CO₂ per hora

Resolució

Càlcul. $16{,}36\ \text{kg/h}\cdot 3{,}1 \approx 50{,}7\ \text{kg/h}$ de $\mathrm{CO_2}$ .
Observació. El rendiment real (30 %) és la meitat de l'ideal per la fricció, la combustió incompleta, les pèrdues de calor i el fet que el cicle real no és ideal. Aquest consum correspon a plena càrrega; en ús normal el motor desenvolupa només 15–20 kW i el consum és proporcionalment menor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

En un recipient aïllat es barregen 200 g de gel a −10 °C amb 150 g d'aigua a 20 °C. Dades: $c_{\mathrm{gel}}$ = 2100 J/(kg·K), $c_{\mathrm{aigua}}$ = 4180 J/(kg·K), $L_{\mathrm{fusió}}$ = 334 000 J/kg.
a) Calcula la calor que pot cedir l'aigua en refredar-se fins a 0 °C i la que necessita el gel per arribar a 0 °C.
b) Raona si es fon tot el gel, i quina és la temperatura final.
c) Calcula la composició final de la barreja.
d) Què passaria si l'aigua estigués a 80 °C?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

L'aigua pot cedir

12\,540\ \text{J}

; el gel necessita

4200\ \text{J}

per arribar a 0 °C.

Resolució

Aigua fins a 0 °C. $Q_{\mathrm{aigua}} = 0{,}150\cdot 4180\cdot 20 = 12\,540\ \text{J}$ .
Gel fins a 0 °C. $Q_{\mathrm{gel}} = 0{,}200\cdot 2100\cdot 10 = 4200\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

No es fon tot el gel;

T_f = 0\ ^{\circ}\text{C}

(coexisteixen gel i aigua).

Resolució

Energia disponible. Després d'escalfar el gel fins a 0 °C queden $12\,540 - 4200 = 8340\ \text{J}$ per fondre gel.
Comparació. Fondre tot el gel necessitaria $0{,}200\cdot 334\,000 = 66\,800\ \text{J}$ , molt més.
Conclusió. No es fon tot: la temperatura final és 0 °C, amb gel i aigua coexistint.

Apartat c)

Resultat

175 g de gel i 175 g d'aigua a 0 °C

Resolució

Gel fos. $m = \dfrac{8340}{334\,000} \approx 0{,}025\ \text{kg} = 25\ \text{g}$ .
Composició final. Gel: $200 - 25 = 175\ \text{g}$ ; aigua: $150 + 25 = 175\ \text{g}$ , tot a 0 °C.

Apartat d)

Resultat

Es fondrien uns 138 g de gel; en quedarien 62 g i la temperatura final continuaria sent 0 °C.

Resolució

Aigua a 80 °C. $Q_{\mathrm{aigua}} = 0{,}150\cdot 4180\cdot 80 = 50\,160\ \text{J}$ ; després d'escalfar el gel (4200 J) en queden 45 960 J.
Gel fos. $\dfrac{45\,960}{334\,000} \approx 0{,}138\ \text{kg} = 138\ \text{g}$ : encara no es fon tot (en queden 62 g) i la temperatura final seria 0 °C.
Què caldria. Per fondre tots els 200 g, l'aigua hauria de cedir $4200 + 66\,800 = 71\,000\ \text{J}$ .
Observació. El gel a 0 °C és un «acumulador de fred» molt potent: 334 kJ/kg equival a escalfar 1 kg d'aigua 80 K.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Una habitació de 60 $\text{m}^{3}$ s'escalfa de 10 °C a 20 °C amb un escalfador de 2,0 kW. Dades de l'aire: densitat 1,2 $\text{kg/m}^{3}$ i calor específica 1005 J/(kg·K).
a) Calcula la calor necessària per escalfar només l'aire i el temps que trigaria sense pèrdues.
b) Si l'habitació perd 300 W a través de les parets, quin és el temps?
c) A més, les parets i els mobles (1000 kg de maó i similars, c = 840 J/(kg·K)) també s'escalfen 10 K. Recalcula el temps amb i sense pèrdues.
d) Explica per què notes que una habitació s'escalfa «molt a poc a poc».

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

Q \approx 7{,}24\cdot10^{5}\ \text{J}

(724 kJ);

t \approx 362\ \text{s} = 6{,}0\ \text{min}

Resolució

Massa d'aire. $m = \rho V = 1{,}2\cdot 60 = 72\ \text{kg}$ .
Calor. $Q = m\cdot c\cdot\Delta T = 72\cdot 1005\cdot 10 \approx 7{,}24\cdot10^{5}\ \text{J}$ .
Temps sense pèrdues. $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{724\,000}{2000} \approx 362\ \text{s} = 6{,}0\ \text{min}$ .

Apartat b)

Resultat

t \approx 426\ \text{s} \approx 7{,}1\ \text{min}

Resolució

Potència neta. $2000 - 300 = 1700\ \text{W}$ (es considera la pèrdua constant, una simplificació).
Temps. $t = \dfrac{724\,000}{1700} \approx 426\ \text{s} \approx 7{,}1\ \text{min}$ .

Apartat c)

Resultat

Sense pèrdues:

t \approx 4560\ \text{s} \approx 76\ \text{min}

; amb pèrdues:

t \approx 5365\ \text{s} \approx 89\ \text{min}

Resolució

Calor addicional. Parets i mobles: $1000\cdot 840\cdot 10 = 8{,}4\cdot10^{6}\ \text{J}$ . Total: $9{,}12\cdot10^{6}\ \text{J}$ .
Sense pèrdues. $t = \dfrac{9{,}12\cdot10^{6}}{2000} \approx 4560\ \text{s} \approx 76\ \text{min}$ .
Amb pèrdues de 300 W. $t = \dfrac{9{,}12\cdot10^{6}}{1700} \approx 5365\ \text{s} \approx 89\ \text{min}$ .

Apartat d)

Resultat

Perquè la major part de la calor l'absorbeixen les parets, els mobles i el terra, no l'aire (inèrcia tèrmica).

Resolució

Capacitat calorífica. L'aire té una capacitat calorífica petita; les parets, els mobles i el terra absorbeixen la major part de la calor (unes 11,6 vegades més que l'aire en aquest cas).
Sensació tèrmica. L'aire s'escalfa de pressa, però després cedeix calor a les parets, i la sensació tèrmica depèn també de la temperatura de les parets (radiació).
Observació. La inèrcia tèrmica explica per què les cases de pedra gruixuda es mantenen fresques a l'estiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

1,00 mol d'un gas ideal monoatòmic (γ = 5/3, C_v = 3/2·R, R = 8,31 J/(mol·K)) és a 300 K i 1,00 atm (101 325 Pa) i s'expandeix fins a duplicar el seu volum de dues maneres: a) isotèrmicament i b) adiabàticament (T·V^γ−1 = constant, P·V^γ = constant).
a) Calcula el treball fet pel gas, la calor i la variació d'energia interna en cada cas.
b) Calcula la temperatura i la pressió finals en cada cas.
c) Explica per què el treball adiabàtic és menor i per què la pressió final és més baixa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

Isoterma:

\Delta U = 0

W = Q \approx 1728\ \text{J}

; adiabàtica:

Q = 0

\Delta U \approx -1384\ \text{J}

W \approx +1384\ \text{J}

Resolució

Isoterma. $\Delta U = 0$ (T constant) i $W = Q = nRT\ln\dfrac{V_2}{V_1} = 1{,}00\cdot 8{,}31\cdot 300\cdot\ln 2 \approx 1728\ \text{J}$
Adiabàtica: temperatura final. $Q = 0$ i $T V^{\gamma-1} = \text{const}$ : $T_2 = 300\cdot 2^{-2/3} \approx 189\ \text{K}$ .
Adiabàtica: energia i treball. $\Delta U = nC_v\Delta T = 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot(189 - 300) \approx -1384\ \text{J}$ , i pel primer principi $W = -\Delta U \approx +1384\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

Isoterma:

T = 300\ \text{K}

P_2 \approx 50{,}7\ \text{kPa}

; adiabàtica:

T \approx 189\ \text{K}

P_2 \approx 31{,}9\ \text{kPa}

Resolució

Isoterma. $T = 300\ \text{K}$ i, per la llei de Boyle, $P_2 = \dfrac{101\,325}{2} \approx 50{,}7\ \text{kPa}$ .
Adiabàtica. $T \approx 189\ \text{K}$ i $P_2 = 101\,325\cdot 2^{-5/3} \approx 31{,}9\ \text{kPa}$ .

Apartat c)

Resultat

En l'adiabàtica el gas es refreda i la pressió baixa més de pressa: l'àrea sota la corba P-V (el treball) és més petita.

Resolució

Per què. En l'expansió adiabàtica el gas gasta energia interna per fer treball i es refreda, així que la pressió baixa més de pressa que en la isoterma, on la calor absorbida de l'entorn manté la temperatura constant.
Treball com a àrea. Com que durant tot el procés la pressió és menor, l'àrea sota la corba és menor: 1384 J en lloc de 1728 J (un 20 % menys).
Comprovació. La diferència, 344 J, és la calor que la isoterma absorbeix i l'adiabàtica no.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

Una família gasta cada dia 150 L d'aigua calenta escalfada de 15 °C a 55 °C (c = 4180 J/(kg·K), 1 L = 1 kg). Compara tres sistemes: caldera de gas (rendiment 90 %, gas a 0,08 €/kWh), escalfador elèctric de resistència (rendiment 100 %, electricitat a 0,15 €/kWh) i bomba de calor aerotèrmica (COP = 3,5, mateix preu elèctric). 1 kWh = 3,6· $10^{6}$ J.
a) Calcula l'energia útil necessària cada dia en kWh.
b) Calcula l'energia consumida i el cost diari de cada sistema.
c) Calcula el cost anual de cada sistema i l'estalvi anual de la bomba de calor.
d) Si la bomba costa 1500 € més que l'escalfador elèctric, en quant de temps es recupera la inversió?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

Q \approx 2{,}51\cdot10^{7}\ \text{J} \approx 6{,}97\ \text{kWh/dia}

Resolució

Calorimetria. $Q = m\cdot c\cdot\Delta T = 150\cdot 4180\cdot 40 \approx 2{,}51\cdot10^{7}\ \text{J}$ .
Canvi d'unitats. $\dfrac{2{,}51\cdot10^{7}}{3{,}6\cdot10^{6}} \approx 6{,}97\ \text{kWh}$ cada dia.

Apartat b)

Resultat

Gas: 7,74 kWh i 0,62 €/dia; resistència: 6,97 kWh i 1,05 €/dia; bomba de calor: 1,99 kWh i 0,30 €/dia

Resolució

Caldera de gas. $\dfrac{6{,}97}{0{,}90} \approx 7{,}74\ \text{kWh}$ de gas; $7{,}74\cdot 0{,}08 \approx 0{,}62$ €/dia.
Resistència. 6,97 kWh elèctrics; $6{,}97\cdot 0{,}15 \approx 1{,}05$ €/dia.
Bomba de calor. $\dfrac{6{,}97}{3{,}5} \approx 1{,}99\ \text{kWh}$ elèctrics; $1{,}99\cdot 0{,}15 \approx 0{,}30$ €/dia.

Apartat c)

Resultat

Gas 226 €/any; resistència 381 €/any; bomba de calor 109 €/any. Estalvi de la bomba: 272 €/any respecte de la resistència (117 €/any respecte del gas).

Resolució

Cost anual (×365). Gas: 226 €; resistència: 381 €; bomba de calor: 109 €.
Estalvi. La bomba de calor estalvia 272 €/any respecte de la resistència i 117 €/any respecte del gas.

Apartat d)

Resultat

Es recupera en

\approx 5{,}5

anys.

Resolució

Retorn de la inversió. $\dfrac{1500\ \text{€}}{272\ \text{€/any}} \approx 5{,}5$ anys respecte de l'escalfador elèctric (amb la mateixa diferència de preu respecte de la caldera de gas, serien $\dfrac{1500}{117} \approx 12{,}8$ anys).
Interpretació. La bomba de calor és la millor opció econòmica a llarg termini, i l'escalfador de resistència la pitjor tot i tenir un rendiment del 100 %: l'electricitat i el gas no tenen el mateix preu per kWh. Cal comptar també el cost de la inversió i del manteniment.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Un cafè es refreda en una habitació a 20 °C. Es mesura la temperatura cada 5 min: t (min) = 0; 5; 10; 15; 20 i T (°C) = 90; 71; 57; 47; 40. La llei de refredament de Newton diu que l'excés de temperatura T − 20 decreix exponencialment: T − 20 = 70·e^−k·t.
a) Calcula l'excés de temperatura en cada punt i el quocient entre valors consecutius. Què indica que sigui aproximadament constant?
b) Determina la constant k.
c) Quant triga a arribar a 40 °C? (Compara-ho amb la dada.) I a 30 °C?
d) Calcula el temps en què l'excés de temperatura es redueix a la meitat, i la temperatura a t = 30 min.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

Excessos: 70; 51; 37; 27; 20 °C. Quocients ≈ 0,73 (gairebé constants): l'excés decreix exponencialment.

Resolució

Excés de temperatura. T − 20: 70; 51; 37; 27; 20 °C.
Quocients consecutius. 51/70 = 0,729; 37/51 = 0,725; 27/37 = 0,730; 20/27 = 0,741.
Interpretació. Són gairebé constants (≈ 0,73 cada 5 min): en intervals iguals l'excés es multiplica pel mateix factor, que és el comportament exponencial. El cafè es refreda més de pressa com més calent està (la rapidesa és proporcional a T − 20).

Apartat b)

Resultat

k \approx 0{,}063\ \text{min}^{-1}

Resolució

Factor mitjà. $e^{-5k} \approx 0{,}731$ (mitjana geomètrica dels quocients, $(20/70)^{1/4}$ ).
Càlcul. $5k = -\ln 0{,}731 \approx 0{,}313$ , i $k \approx 0{,}063\ \text{min}^{-1}$ .

Apartat c)

Resultat

Fins a 40 °C:

t \approx 19{,}9\ \text{min}

(coincideix amb la dada de 20 min); fins a 30 °C:

t \approx 31\ \text{min}

Resolució

Aïllar el temps. De $T - 20 = 70\,e^{-kt}$ : $t = \dfrac{1}{k}\ln\dfrac{70}{T - 20}$ .
40 °C. $t = \dfrac{\ln(70/20)}{0{,}063} = \dfrac{1{,}253}{0{,}063} \approx 19{,}9\ \text{min}$ , que coincideix amb la dada (20 min).
30 °C. $t = \dfrac{\ln 7}{0{,}063} = \dfrac{1{,}946}{0{,}063} \approx 31\ \text{min}$ .

Apartat d)

Resultat

Temps de semirreducció

\approx 11{,}0\ \text{min}

;

T(30\ \text{min}) \approx 30{,}6\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Semirreducció. L'excés es redueix a la meitat quan $e^{-kt} = \tfrac{1}{2}$ : $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k} = \dfrac{0{,}693}{0{,}063} \approx 11{,}0\ \text{min}$ .
Temperatura a 30 min. $T = 20 + 70\,e^{-0{,}063\cdot 30} = 20 + 70\cdot 0{,}151 \approx 30{,}6\ ^{\circ}\text{C}$ .
Observació. Matemàticament, el cafè mai no arriba exactament a 20 °C: l'excés només tendeix a 0.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què diu el primer principi de la termodinàmica?

Que la variació d'energia interna d'un sistema és la calor que rep menys el treball que fa (o més el que rep, segons el conveni de signes que facis servir).

Com es passa de graus Celsius a kelvin?

Sumant 273 (o 273,15 si cal precisió): 25 °C són 298 K.

Tornar a Física i Química