Exercicis de treball i energia — Física i Química 1r Batxillerat

L'energia és sovint la manera més ràpida de resoldre un problema de mecànica. Aquests exercicis et fan calcular el treball d'una força segons l'angle amb el desplaçament i la potència d'una màquina. Després treballes l'energia cinètica i la potencial, i raones què passa amb l'energia cinètica si la velocitat es dobla. Al final apliques la conservació de l'energia mecànica a un esquiador que baixa una pista sense fregament i el teorema de les forces vives a un bloc que es frena per fregament. Les solucions plantegen el balanç d'energia entre dos punts. Errors típics: pensar que sostenir un pes quiet és fer treball i oblidar el quadrat de la velocitat a l'energia cinètica.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Quina feina fa una força de 50 N que desplaça un cos 3 m en la seva mateixa direcció?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

W = 150\ \text{J}

Resolució

Dades. $F = 50\ \text{N}$ i $d = 3\ \text{m}$ ; la força té la mateixa direcció i sentit que el desplaçament ( $\alpha = 0^\circ$ ).
Treball d'una força constant. Quan la força va en la direcció del moviment, el treball és $W = F\cdot d$ .
Càlcul. $W = 50\ \text{N}\cdot 3\ \text{m} = 150\ \text{J}$ .
Conclusió. Fixa't en les unitats: $\text{N}\cdot\text{m} = \text{J}$ (joules). El treball és positiu perquè la força afavoreix el moviment.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Estires una maleta amb rodes aplicant una força de 60 N a l'estirador, que forma un angle de 30° amb l'horitzontal. La desplaces 8 m per terra horitzontal. Quin treball fa la teva força? (cos 30° ≈ 0,87.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

W \approx 418\ \text{J}

(

417{,}6\ \text{J}

amb

\cos 30^\circ \approx 0{,}87

)

Resolució

Dades. $F = 60\ \text{N}$ , $d = 8\ \text{m}$ i $\alpha = 30^\circ$ , que és l'angle entre la força (l'estirador) i el desplaçament horitzontal.
Treball d'una força obliqua. Quan la força no va en la direcció del moviment, només en fa treball la component paral·lela al desplaçament: $W = F\cdot d\cdot\cos\alpha$ .
Càlcul. $W = 60\cdot 8\cdot\cos 30^\circ = 60\cdot 8\cdot 0{,}87 = 417{,}6\ \text{J} \approx 418\ \text{J}$ .
Conclusió. Compte amb el parany: si multipliquessis només $60\cdot 8 = 480\ \text{J}$ , oblidaries el $\cos\alpha$ . Aquest valor només valdria si estiressis en horitzontal pur ( $\alpha = 0$ , $\cos 0 = 1$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Un cos té 100 J d'energia potencial dalt d'un pla. Sense fregament, quanta energia cinètica tindrà a baix de tot?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

E_{c} = 100\ \text{J}

Resolució

Dades. Dalt del pla, el cos té $E_{p} = 100\ \text{J}$ i no hi ha fregament.
Conservació de l'energia mecànica. Sense fregament, l'energia mecànica es conserva: la potencial es transforma íntegrament en cinètica. $E_{p,\text{dalt}} + E_{c,\text{dalt}} = E_{p,\text{baix}} + E_{c,\text{baix}}$
Càlcul. Agafant la base com a nivell zero, $100\ \text{J} + 0 = 0 + E_{c}$ , de manera que $E_{c} = 100\ \text{J}$ .
Conclusió. Tota la potencial (100 J) passa a cinètica: a baix tindrà 100 J d'energia cinètica.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Indica si el treball que fa cada força és positiu, negatiu o nul:
a) el pes d'una pedra que cau lliurement;
b) el fregament sobre una caixa que llisca per terra;
c) la força normal sobre un llibre que llisca per una taula horitzontal;
d) la força centrípeta que manté un satèl·lit en una òrbita circular;
e) el pes d'una persona que puja per una escala.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

Positiu.

Resolució

Criteri. El signe del treball depèn de l'angle $\alpha$ entre la força i el desplaçament: $W = F\cdot d\cdot\cos\alpha$ .
Aplicació. El pes i el desplaçament van tots dos cap avall: $\alpha = 0^\circ$ i $\cos 0^\circ = 1$ , per tant $W > 0$ .

Apartat b)

Resultat

Negatiu.

Resolució

Aplicació. El fregament té sentit contrari al desplaçament: $\alpha = 180^\circ$ i $\cos 180^\circ = -1$ , per tant $W < 0$ .
Conclusió. El fregament frena la caixa: li treu energia cinètica.

Apartat c)

Resultat

Nul.

Resolució

Aplicació. La normal és vertical i el desplaçament és horitzontal: són perpendiculars, $\alpha = 90^\circ$ i $\cos 90^\circ = 0$ .
Conclusió. $W = 0$ : la normal no fa treball sobre el llibre.

Apartat d)

Resultat

Nul.

Resolució

Aplicació. La força centrípeta apunta cap al centre de l'òrbita i és perpendicular a la velocitat (i al desplaçament) en tot moment: $\cos 90^\circ = 0$ .
Conclusió. $W = 0$ , i per això no canvia l'energia cinètica del satèl·lit: la seva rapidesa es manté constant.

Apartat e)

Resultat

Negatiu.

Resolució

Aplicació. El pes apunta cap avall i la persona es desplaça cap amunt: $\alpha = 180^\circ$ , per tant $W < 0$ .
Compte. Un error típic és creure que el treball d'una força sempre és positiu: pot ser negatiu (la força s'oposa al moviment) o nul (la força és perpendicular al desplaçament).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Una ciclista i la seva bicicleta tenen una massa total de 80 kg i circulen a 21,6 km/h. Calcula'n l'energia cinètica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

E_{c} = 1440\ \text{J}

Resolució

Dades. $m = 80\ \text{kg}$ . Passem la velocitat al SI: $v = \dfrac{21{,}6}{3{,}6} = 6\ \text{m/s}$ .
Energia cinètica. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ .
Càlcul. $E_{c} = 0{,}5\cdot 80\cdot 6^{2} = 0{,}5\cdot 80\cdot 36 = 1440\ \text{J}$ .
Conclusió. Error típic: fer servir 21,6 sense convertir-lo a m/s; com que la velocitat va al quadrat, el resultat sortiria unes 13 vegades massa gran ( $3{,}6^{2} \approx 13$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Una excursionista de 60 kg puja des d'un poble situat a 500 m d'altitud fins a un cim del Montseny de 1700 m. Calcula la variació de la seva energia potencial gravitatòria i el treball que fa el pes en aquest recorregut (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\Delta E_{p} = 705\,600\ \text{J} \approx 7{,}06\cdot10^{5}\ \text{J}

;

W_{\text{pes}} = -7{,}06\cdot10^{5}\ \text{J}

Resolució

Dades. $m = 60\ \text{kg}$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ . Desnivell: $\Delta h = 1700 - 500 = 1200\ \text{m}$ .
Energia potencial gravitatòria. $\Delta E_{p} = m\cdot g\cdot\Delta h = 60\cdot 9{,}8\cdot 1200 = 705\,600\ \text{J}$ (uns 706 kJ).
Treball d'una força conservativa. El pes és conservatiu: $W_{\text{pes}} = -\Delta E_{p} = -705\,600\ \text{J}$ .
Conclusió. És negatiu perquè el pes apunta cap avall i l'excursionista puja. Observa que el resultat només depèn del desnivell, no del camí que se segueixi per pujar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un carretó de 4 kg, inicialment en repòs sobre un terra horitzontal sense fregament, rep una força horitzontal constant de 25 N al llarg de 8 m. Amb quina velocitat surt d'aquest tram?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

v = 10\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $m = 4\ \text{kg}$ , parteix del repòs, $F = 25\ \text{N}$ horitzontal al llarg de $d = 8\ \text{m}$ , sense fregament.
Treball. Només la força de 25 N fa treball (el pes i la normal són perpendiculars al desplaçament): $W = F\cdot d = 25\cdot 8 = 200\ \text{J}$ .
Teorema de l'energia cinètica. $W = \Delta E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} - 0 \;\Rightarrow\; 200 = 0{,}5\cdot 4\cdot v^{2} \;\Rightarrow\; v^{2} = 100$ , és a dir, $v = 10\ \text{m/s}$ .
Comprovació amb cinemàtica. $a = F/m = 25/4 = 6{,}25\ \text{m/s}^{2}$ i $v^{2} = 2\, a\, d = 2\cdot 6{,}25\cdot 8 = 100$ , d'on $v = 10\ \text{m/s}$ . Coincideix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un cotxe circula a 72 km/h a velocitat constant per una carretera horitzontal. El motor fa una força de 600 N cap endavant per compensar les resistències. Quina potència desenvolupa el motor?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

P = 12\,000\ \text{W} = 12\ \text{kW}

Resolució

Dades. $F = 600\ \text{N}$ en la direcció del moviment. Velocitat al SI: $v = \dfrac{72}{3{,}6} = 20\ \text{m/s}$ .
Potència d'una força. Quan la força té la direcció del moviment, $P = F\cdot v$ .
Càlcul. $P = 600\cdot 20 = 12\,000\ \text{W} = 12\ \text{kW}$ .
Conclusió. Vol dir que el motor entrega 12 000 J cada segon per mantenir la velocitat. Error típic: multiplicar per 72 sense passar els km/h a m/s; per obtenir watts, la velocitat ha d'anar en m/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) L'energia cinètica d'un cos pot ser negativa.
b) L'energia potencial gravitatòria depèn del nivell de referència que triem, però la seva variació entre dos punts no.
c) Dos cossos amb la mateixa energia cinètica tenen la mateixa velocitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Falsa: l'energia cinètica sempre és positiva o zero.

Resolució

Definició. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ .
Raonament. La massa és positiva i el quadrat de la velocitat també (o zero): l'energia cinètica no pot ser mai negativa.

Apartat b)

Resultat

Certa.

Resolució

Raonament. Si canviem el nivell zero, $E_{p} = m\, g\, h$ canvia en la mateixa quantitat constant per a tots els punts.
Conclusió. La variació $\Delta E_{p} = m\, g\,\Delta h$ només depèn del desnivell entre els dos punts, no del nivell de referència.

Apartat c)

Resultat

Falsa: amb la mateixa energia cinètica, el cos de menys massa va més de pressa.

Resolució

Raonament. $E_{c}$ depèn de la massa i de la velocitat: $v = \sqrt{2E_{c}/m}$ . A igual $E_{c}$ , com més petita és la massa, més gran és la velocitat.
Contraexemple. 1 kg a 10 m/s i 4 kg a 5 m/s tenen tots dos $E_{c} = 50\ \text{J}$ : $\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 10^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 5^{2} = 50\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una alumna afirma que una estufa de 2 kW que ha funcionat durant 3 h «ha consumit 6 kW». Explica quin error comet i calcula l'energia consumida en kWh i en joules.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Confon potència (kW) i energia:

E = 6\ \text{kWh} = 2{,}16\cdot10^{7}\ \text{J}

Resolució

L'error. El kilowatt (kW) mesura una potència, és a dir, energia per unitat de temps; el consum és una energia. Dir «ha consumit 6 kW» confon les dues magnituds.
Relació entre energia i potència. $E = P\cdot t$ .
Càlcul en kWh. $E = 2\ \text{kW}\cdot 3\ \text{h} = 6\ \text{kWh}$ .
Càlcul en joules. $1\ \text{kWh} = 1000\ \text{W}\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}6\cdot10^{6}\ \text{J}$ , per tant $E = 6\cdot 3{,}6\cdot10^{6} = 2{,}16\cdot10^{7}\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un trineu de 20 kg es desplaça 8 m per una superfície horitzontal. Sobre ell actuen: una força de tracció de 50 N que forma 60° amb l'horitzontal, el pes i la normal (totes dues verticals) i una força de fregament de 12 N que s'oposa al moviment. Calcula el treball de cada força i el treball total. (cos 60° = 0,5.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

W_{\text{tracció}} = 200\ \text{J}

;

W_{\text{pes}} = W_{N} = 0

;

W_{\text{freg}} = -96\ \text{J}

;

W_{\text{total}} = 104\ \text{J}

Resolució

Plantejament. Per a cada força fem servir $W = F\cdot d\cdot\cos\alpha$ , amb $d = 8\ \text{m}$ i $\alpha$ l'angle de la força amb el desplaçament (horitzontal).
Tracció. $W = 50\cdot 8\cdot\cos 60^\circ = 50\cdot 8\cdot 0{,}5 = 200\ \text{J}$ (positiu: empeny a favor).
Pes i normal. Són verticals, perpendiculars al moviment: $\alpha = 90^\circ$ , $\cos 90^\circ = 0$ i $W = 0$ totes dues. Parany: encara que el pes és gran, no fa treball si el cos no puja ni baixa.
Fregament. S'oposa al moviment: $\alpha = 180^\circ$ , $\cos 180^\circ = -1$ i $W = 12\cdot 8\cdot(-1) = -96\ \text{J}$ (negatiu: treu energia).
Treball total. $W = 200 + 0 + 0 - 96 = 104\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Si un cos dobla la seva velocitat, per quant es multiplica la seva energia cinètica?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Per 4: l'energia cinètica es quadruplica.

Resolució

Energia cinètica. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ : depèn del quadrat de la velocitat.
Càlcul. Si $v' = 2v$ : $E_{c}' = \tfrac{1}{2}\, m\,(2v)^{2} = 2^{2}\cdot\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = 4\, E_{c}$ .
Conclusió. Com que la velocitat va al quadrat, doblar-la multiplica l'energia cinètica per $2^{2} = 4$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Un carretó de 5 kg baixa lliscant sense fregament per una rampa. Parteix del repòs a dalt de tot, a 3 m d'altura respecte a la base. Amb quina velocitat arriba a baix? (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ .)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

v = \sqrt{60} \approx 7{,}7\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $h = 3\ \text{m}$ , parteix del repòs, sense fregament, $g = 10\ \text{m/s}^{2}$ .
Conservació de l'energia mecànica. Tota l'energia potencial de dalt es converteix en cinètica a baix: $m\, g\, h = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ . La massa se simplifica als dos costats: $v = \sqrt{2\, g\, h}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 10\cdot 3} = \sqrt{60} \approx 7{,}7\ \text{m/s}$ .
Conclusió. Fixa't que no cal saber l'angle ni la longitud de la rampa, només l'altura; i la massa (5 kg) no hi influeix perquè se simplifica.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un bloc de 2 kg llisca per terra horitzontal amb una velocitat de 6 m/s. El fregament dissipa 20 J d'energia. Amb quina velocitat es mou després?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

v = 4\ \text{m/s}

Resolució

Energia cinètica inicial. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = 0{,}5\cdot 2\cdot 6^{2} = 0{,}5\cdot 2\cdot 36 = 36\ \text{J}$ .
Balanç d'energia. El fregament fa un treball negatiu que dissipa energia: als 36 J se'ls resten els 20 J dissipats. $E_{c,\text{final}} = 36 - 20 = 16\ \text{J}$ .
Càlcul de la velocitat. $0{,}5\cdot 2\cdot v^{2} = 16 \;\Rightarrow\; v^{2} = 16 \;\Rightarrow\; v = 4\ \text{m/s}$ .
Conclusió. Parany: l'energia dissipada pel fregament sempre resta (el seu treball és negatiu). Si la sumessis, et sortiria una velocitat més gran que la inicial, cosa impossible amb fregament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una bomba eleva 600 kg d'aigua fins a un dipòsit situat 15 m més amunt en 2 minuts, a velocitat constant. Calcula la potència útil de la bomba i el seu rendiment si el motor consumeix una potència elèctrica de 1000 W (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

P_{\text{útil}} = 735\ \text{W}

;

\eta = 73{,}5\ \%

Resolució

Treball útil. La bomba ha de vèncer el pes de l'aigua: $W = m\, g\, h = 600\cdot 9{,}8\cdot 15 = 88\,200\ \text{J}$ .
Temps. $t = 2\ \text{min} = 120\ \text{s}$ .
Potència útil. $P_{\text{útil}} = \dfrac{W}{t} = \dfrac{88\,200}{120} = 735\ \text{W}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{consumida}}} = \dfrac{735}{1000} = 0{,}735 \;\Rightarrow\; 73{,}5\ \%$ .
Conclusió. Els 265 W restants es dissipen en forma de calor (fregaments i pèrdues del motor).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Un cotxe de 1000 kg va a 90 km/h i frena fins a aturar-se amb una força de frenada constant de 5000 N. Calcula la distància de frenada. Quina seria si anés a 180 km/h?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

d = 62{,}5\ \text{m}

a 90 km/h;

d = 250\ \text{m}

a 180 km/h

Resolució

Dades. $m = 1000\ \text{kg}$ , $F = 5000\ \text{N}$ . A 90 km/h, $v = 25\ \text{m/s}$ i $E_{c} = 0{,}5\cdot 1000\cdot 25^{2} = 312\,500\ \text{J}$ .
Teorema de l'energia cinètica. El treball de la força de frenada és igual a la variació d'energia cinètica: $-F\cdot d = 0 - E_{c}$ .
Càlcul a 90 km/h. $d = \dfrac{312\,500}{5000} = 62{,}5\ \text{m}$ .
Càlcul a 180 km/h. $v = 50\ \text{m/s}$ : $E_{c} = 0{,}5\cdot 1000\cdot 50^{2} = 1\,250\,000\ \text{J}$ i $d = \dfrac{1\,250\,000}{5000} = 250\ \text{m}$ .
Conclusió. Duplicar la velocitat multiplica per 4 l'energia cinètica i, per tant, la distància de frenada ( $62{,}5\cdot 4 = 250\ \text{m}$ ). Error típic: pensar que la distància de frenada és proporcional a la velocitat; ho és al seu quadrat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Una bola de 0,2 kg penja d'un fil i es deixa anar des del repòs a 0,4 m per sobre del punt més baix de la trajectòria (menysprea el fregament; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). Calcula la velocitat de la bola en passar pel punt més baix. Canviaria el resultat amb una massa de 0,4 kg? I amb un fil més llarg, mantenint els 0,4 m de desnivell?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

v = 2{,}8\ \text{m/s}

; no canvia ni amb una massa de 0,4 kg ni amb un fil més llarg.

Resolució

Forces que fan treball. La tensió del fil és perpendicular al desplaçament i no fa treball; només treballa el pes, que és conservatiu. Es conserva l'energia mecànica.
Conservació de l'energia. $E_{p}$ (dalt) → $E_{c}$ (baix): $m\, g\, h = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2\, g\, h}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}4} = \sqrt{7{,}84} = 2{,}8\ \text{m/s}$ .
Efecte de la massa. La massa se simplifica i no influeix en la velocitat: amb 0,4 kg també surt 2,8 m/s. L'energia cinètica sí que seria el doble (1,568 J en comptes de 0,784 J).
Efecte de la longitud. La longitud del fil tampoc no hi influeix: només compta el desnivell $h$ entre els dos punts.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Quin treball ha de fer el motor d'un cotxe de 1000 kg per passar de 36 km/h a 72 km/h? I per passar de 0 a 36 km/h? Menysprea el fregament i la resistència de l'aire, compara els dos valors i explica el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

W = 1{,}5\cdot10^{5}\ \text{J}

(de 36 a 72 km/h);

W = 5{,}0\cdot10^{4}\ \text{J}

(de 0 a 36 km/h): el primer és 3 vegades el segon.

Resolució

Dades. $m = 1000\ \text{kg}$ ; 36 km/h = 10 m/s i 72 km/h = 20 m/s. Sense fregament, el treball del motor és igual a la variació d'energia cinètica (teorema de l'energia cinètica).
De 36 a 72 km/h. $W = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(20^{2} - 10^{2}) = 500\cdot 300 = 150\,000\ \text{J}$ .
De 0 a 36 km/h. $W = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot(10^{2} - 0) = 500\cdot 100 = 50\,000\ \text{J}$ .
Comparació. El primer treball és 3 vegades el segon, tot i que en tots dos casos la velocitat augmenta 10 m/s (36 km/h). Passa perquè $E_{c}$ depèn de $v^{2}$ : com més de pressa va el cotxe, més energia costa guanyar cada m/s addicional.
Compte. Error típic: calcular $\tfrac{1}{2}\, m\,(\Delta v)^{2}$ amb $\Delta v = 10\ \text{m/s}$ ; cal restar les energies cinètiques, no les velocitats.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una molla de constant elàstica 200 N/m està inicialment estirada 5 cm. Calcula el treball que cal fer per estirar-la fins a 15 cm d'allargament (menysprea l'energia cinètica) i compara'l amb el que caldria per estirar-la 10 cm des de la seva longitud natural.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

W = 2\ \text{J}

; estirar-la 10 cm des de la longitud natural costa

1\ \text{J}

: la meitat.

Resolució

Plantejament. El treball que fem és igual a l'augment de l'energia potencial elàstica, $E_{p} = \tfrac{1}{2}\, k\, x^{2}$ , amb $x$ en metres.
Càlcul de 5 cm a 15 cm. $\Delta E_{p} = 0{,}5\cdot 200\cdot(0{,}15^{2} - 0{,}05^{2}) = 100\cdot(0{,}0225 - 0{,}0025) = 2\ \text{J}$ .
Càlcul de 0 a 10 cm. $W = 0{,}5\cdot 200\cdot 0{,}10^{2} = 1\ \text{J}$ .
Interpretació. Estirar 10 cm més quan la molla ja és estirada costa el doble, perquè la força que cal fer és més gran: va de 10 N a 30 N. Comprovació: força mitjana $= \tfrac{10 + 30}{2} = 20\ \text{N}$ i $W = 20\cdot 0{,}10 = 2\ \text{J}$ .
Compte. Error típic: calcular $\tfrac{1}{2}\, k\,(\Delta x)^{2}$ amb $\Delta x = 0{,}10\ \text{m}$ ; la fórmula s'aplica a les posicions ( $x_{\text{final}}^{2} - x_{\text{inicial}}^{2}$ ), no a la diferència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Des d'un terrat situat a 20 m del terra es llança una pilota amb una velocitat inicial de 10 m/s: una vegada cap amunt, una altra cap avall i una altra horitzontalment. Raona en quin cas arriba a terra amb més velocitat i calcula-la (menysprea la resistència de l'aire; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Arriba amb la mateixa velocitat en els tres casos:

v = \sqrt{492} \approx 22{,}2\ \text{m/s}

Resolució

Raonament. Només treballa el pes, que és una força conservativa: el seu treball depèn de l'altura de sortida i d'arribada, no de la trajectòria. L'energia mecànica es conserva en els tres llançaments.
Conservació de l'energia. $\tfrac{1}{2}\, m\, v_{0}^{2} + m\, g\, h = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2\, g\, h}$
Càlcul. $v = \sqrt{100 + 2\cdot 9{,}8\cdot 20} = \sqrt{492} \approx 22{,}2\ \text{m/s}$ .
Conclusió. La velocitat d'arribada és la mateixa en els tres casos, perquè l'energia cinètica no depèn de la direcció de la velocitat inicial. El que sí que canvia és el temps de vol: és més llarg si la pilota es llança cap amunt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una pilota de 0,5 kg es deixa caure des de 2 m d'altura i, després de rebotar al terra, només puja fins a 1,5 m. Calcula la velocitat just abans i just després del bot, l'energia mecànica perduda i el percentatge que representa. On ha anat aquesta energia? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

v_{\text{abans}} = 6{,}26\ \text{m/s}

;

v_{\text{després}} = 5{,}42\ \text{m/s}

;

E_{\text{perduda}} = 2{,}45\ \text{J}

(25 %), convertida en calor, so i deformació.

Resolució

Abans del bot. Cau 2 m: $m\, g\, h = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 2} = 6{,}26\ \text{m/s}$ .
Després del bot. Puja 1,5 m: $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5} = 5{,}42\ \text{m/s}$ .
Energies. Inicial: $E_{1} = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 2 = 9{,}8\ \text{J}$ . Final: $E_{2} = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 = 7{,}35\ \text{J}$ .
Energia perduda. $9{,}8 - 7{,}35 = 2{,}45\ \text{J}$ , que és $\tfrac{2{,}45}{9{,}8} = 0{,}25$ , és a dir, el 25 %.
Conclusió. L'energia no es destrueix: es transforma en calor, so i deformació de la pilota i del terra (el bot no és una interacció conservativa).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Una molla de constant k = 800 N/m es comprimeix 0,1 m. Quina energia elàstica acumula?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

E_{p,\text{el}} = 4\ \text{J}

Resolució

Dades. $k = 800\ \text{N/m}$ i compressió $x = 0{,}1\ \text{m}$ .
Energia potencial elàstica. $E_{p} = \tfrac{1}{2}\, k\, x^{2}$ .
Càlcul. $E_{p} = 0{,}5\cdot 800\cdot 0{,}1^{2} = 0{,}5\cdot 800\cdot 0{,}01 = 4\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un esquiador de 70 kg baixa, sense fregament i partint del repòs, des d'una altura de 20 m. (a) A quina velocitat arriba a baix? (b) A quina altura la seva energia cinètica és la meitat de la potencial? Dada: g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

v \approx 19{,}8\ \text{m/s}

Resolució

Conservació de l'energia mecànica. Sense fregament i partint del repòs, $m\, g\, h = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ ; la massa se simplifica: $v = \sqrt{2\, g\, h}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 20} = \sqrt{392} \approx 19{,}8\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

h = \tfrac{20}{1{,}5} \approx 13{,}3\ \text{m}

Resolució

Plantejament. L'energia mecànica total és $m\, g\cdot 20$ i es conserva: $E_{p} + E_{c} = m\, g\cdot 20$ .
Condició. Si $E_{c} = E_{p}/2$ : $E_{p} + \tfrac{E_{p}}{2} = m\, g\cdot 20 \;\Rightarrow\; E_{p} = \dfrac{m\, g\cdot 20}{1{,}5}$ .
Càlcul. Com que $E_{p} = m\, g\, h$ , $h = \dfrac{20}{1{,}5} \approx 13{,}3\ \text{m}$ . La massa (70 kg) no hi influeix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un bloc de 4 kg baixa per una rampa des d'una altura de 5 m. A causa del fregament, arriba a baix amb una velocitat de 8 m/s. Calcula el treball fet per la força de fregament durant la baixada. (g = 10 $\text{m/s}^{2}$ .)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

W_{\text{freg}} = -72\ \text{J}

Resolució

Energia a dalt. Tota és potencial: $E_{p} = m\, g\, h = 4\cdot 10\cdot 5 = 200\ \text{J}$ .
Energia a baix. Tota és cinètica: $E_{c} = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = 0{,}5\cdot 4\cdot 8^{2} = 0{,}5\cdot 4\cdot 64 = 128\ \text{J}$ . Sense fregament arribaria amb els 200 J sencers.
Balanç d'energia. $E_{c,\text{final}} = E_{p,\text{inicial}} + W_{\text{freg}} \;\Rightarrow\; 128 = 200 + W_{\text{freg}} \;\Rightarrow\; W_{\text{freg}} = -72\ \text{J}$ .
Conclusió. El treball del fregament és negatiu: s'han dissipat 72 J en forma de calor. Parany: si t'ha sortit positiu, has intercanviat l'energia inicial i la final.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un carret de 300 kg es deixa anar des del repòs en un punt d'una via sense fregament i entra en un bucle circular vertical de 4 m de radi.
a) Quina és la velocitat mínima al punt més alt del bucle perquè el carret no perdi el contacte amb la via?
b) Des de quina altura mínima, mesurada sobre el punt més baix del bucle, s'ha de deixar anar el carret? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

v_{\text{mín}} = \sqrt{g\, R} = 6{,}26\ \text{m/s}

Resolució

Forces al punt més alt. El pes i la normal apunten cap al centre del bucle i fan de força centrípeta: $m\, g + N = \dfrac{m\, v^{2}}{R}$ .
Condició límit. El carret està a punt de perdre el contacte quan $N = 0$ : $m\, g = \dfrac{m\, v^{2}}{R}$ .
Càlcul. $v_{\text{mín}} = \sqrt{g\, R} = \sqrt{9{,}8\cdot 4} = 6{,}26\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

H_{\text{mín}} = 2{,}5\, R = 10\ \text{m}

Resolució

Conservació de l'energia. La via no té fregament i la normal no fa treball: es conserva l'energia mecànica entre el punt de sortida (altura $H$ , $v = 0$ ) i el punt més alt del bucle (altura $2R$ ).
Equació. $m\, g\, H = m\, g\,(2R) + \tfrac{1}{2}\, m\, v_{\text{mín}}^{2} \;\Rightarrow\; H = 2R + \dfrac{v_{\text{mín}}^{2}}{2g}$
Càlcul. $H = 8 + \dfrac{39{,}2}{19{,}6} = 8 + 2 = 10\ \text{m}$ .
Conclusió. En general, $H_{\text{mín}} = 2{,}5\, R = 2{,}5\cdot 4 = 10\ \text{m}$ . La massa del carret (300 kg) no hi influeix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un bloc de 2 kg es llança cap amunt per un pla inclinat 37° (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8) amb una velocitat inicial de 7 m/s. El coeficient de fregament cinètic és 0,25 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quina distància recorre pujant fins que s'atura?
b) Amb quina velocitat torna al punt de partida?
c) Quanta energia mecànica s'ha dissipat en tot el recorregut?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

d = 3{,}125\ \text{m} \approx 3{,}13\ \text{m}

Resolució

Forces al llarg del pla. Component del pes: $P_{x} = m\, g\sin 37^\circ = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}6 = 11{,}76\ \text{N}$ . Fregament: $F_{f} = \mu\, m\, g\cos 37^\circ = 0{,}25\cdot 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}8 = 3{,}92\ \text{N}$ .
Teorema de l'energia cinètica. Pujant, totes dues forces frenen el bloc: $-(P_{x} + F_{f})\cdot d = 0 - \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 7^{2}$ .
Càlcul. $15{,}68\cdot d = 49 \;\Rightarrow\; d = 3{,}125\ \text{m} \approx 3{,}13\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

v = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95\ \text{m/s}

Resolució

Torna a baixar? Sí: $P_{x} = 11{,}76\ \text{N}$ és més gran que el fregament màxim (3,92 N), de manera que el bloc no es queda aturat a dalt.
Baixada. Ara el fregament apunta cap amunt del pla: $(P_{x} - F_{f})\cdot d = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ .
Càlcul. $7{,}84\cdot 3{,}125 = 24{,}5\ \text{J} = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot v^{2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{24{,}5} \approx 4{,}95\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

E_{\text{dissipada}} = 24{,}5\ \text{J}

Resolució

Treball del fregament. L'energia dissipada és el treball del fregament en l'anada i la tornada: $2\, F_{f}\, d = 2\cdot 3{,}92\cdot 3{,}125 = 24{,}5\ \text{J}$ .
Comprovació. El bloc torna a la mateixa altura, així que la pèrdua és la de cinètica: $E_{c,\text{inicial}} - E_{c,\text{final}} = 49 - 24{,}5 = 24{,}5\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un bloc de 0,5 kg, no unit a la molla, descansa contra una molla de constant 200 N/m comprimida 0,2 m sobre una superfície horitzontal. El coeficient de fregament cinètic entre el bloc i la superfície és 0,3.
a) Quina velocitat té el bloc quan la molla recupera la longitud natural i el bloc se'n separa?
b) Quina distància total recorre el bloc, des de la posició inicial, fins que s'atura? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

v \approx 3{,}85\ \text{m/s}

Resolució

Energia elàstica inicial. $E_{p} = \tfrac{1}{2}\, k\, x^{2} = 0{,}5\cdot 200\cdot 0{,}2^{2} = 4\ \text{J}$ .
Fregament. $F_{f} = \mu\, m\, g = 0{,}3\cdot 0{,}5\cdot 9{,}8 = 1{,}47\ \text{N}$ , constant durant tot el recorregut. Mentre la molla empeny el bloc (0,2 m), dissipa $W_{f} = 1{,}47\cdot 0{,}2 = 0{,}294\ \text{J}$ .
Balanç d'energia. $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = 4 - 0{,}294 = 3{,}706\ \text{J} \;\Rightarrow\; v^{2} = \dfrac{2\cdot 3{,}706}{0{,}5} = 14{,}82 \;\Rightarrow\; v = 3{,}85\ \text{m/s}$ .
Compte. Error típic: oblidar el fregament durant el tram en què la molla encara empeny; l'energia cinètica de sortida no és tota l'energia de la molla.

Apartat b)

Resultat

D \approx 2{,}72\ \text{m}

des de la posició inicial (2,52 m des que se separa de la molla)

Resolució

Plantejament. El bloc s'atura quan el fregament ha dissipat tota l'energia inicial de la molla: $F_{f}\cdot D = 4\ \text{J}$ .
Càlcul. $D = \dfrac{4}{1{,}47} = 2{,}72\ \text{m}$ .
Conclusió. Són 2,72 m des de la posició inicial, és a dir, 2,52 m des que el bloc se separa de la molla.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un bloc de 3 kg es mou a 8 m/s sobre un terra horitzontal i entra en un tram rugós de 4 m de llargada (coeficient de fregament cinètic 0,3), seguit d'una rampa sense fregament.
a) Calcula l'energia cinètica i la velocitat del bloc a la sortida del tram rugós.
b) Calcula l'altura màxima que assoleix a la rampa respecte del terra horitzontal.
c) El bloc torna a baixar i travessa el tram rugós en sentit contrari: amb quina velocitat en surt? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

E_{c} = 60{,}72\ \text{J}

;

v \approx 6{,}36\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Energia cinètica inicial: $E_{c,0} = 0{,}5\cdot 3\cdot 8^{2} = 96\ \text{J}$ . Fregament: $F_{f} = \mu\, m\, g = 0{,}3\cdot 3\cdot 9{,}8 = 8{,}82\ \text{N}$ .
Treball del fregament. En cada pas pel tram rugós dissipa $W_{f} = 8{,}82\cdot 4 = 35{,}28\ \text{J}$ .
Càlcul. $E_{c} = 96 - 35{,}28 = 60{,}72\ \text{J}$ i $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 60{,}72}{3}} = \sqrt{40{,}48} = 6{,}36\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

h \approx 2{,}07\ \text{m}

Resolució

Conservació de l'energia. A la rampa llisa es conserva l'energia mecànica: tota la cinètica passa a potencial, $m\, g\, h = 60{,}72\ \text{J}$ .
Càlcul. $h = \dfrac{60{,}72}{3\cdot 9{,}8} = 2{,}07\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

v \approx 4{,}12\ \text{m/s}

Resolució

Plantejament. En tornar a baixar, el bloc entra al tram rugós amb 60,72 J (la rampa no en dissipa) i hi perd altres 35,28 J.
Càlcul. $E_{c} = 60{,}72 - 35{,}28 = 25{,}44\ \text{J}$ i $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 25{,}44}{3}} = \sqrt{16{,}96} = 4{,}12\ \text{m/s}$ .
Comprovació. $96 - 2\cdot 35{,}28 = 25{,}44\ \text{J}$ , igual que abans.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Una central hidroelèctrica aprofita un salt d'aigua de 50 m d'altura amb un cabal de 2000 L/s (1 L d'aigua té una massa d'1 kg; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la potència que desenvolupa l'aigua en caure.
b) Si el rendiment global de la central és del 80 %, quina potència elèctrica produeix?
c) Quina energia elèctrica genera en un dia, en kWh?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

P = 9{,}8\cdot10^{5}\ \text{W} = 980\ \text{kW}

Resolució

Dades. Cabal de 2000 L/s: cada segon cauen 2000 kg d'aigua des de $h = 50\ \text{m}$ .
Potència. La potència és el treball del pes per unitat de temps: $P = \dfrac{m}{t}\, g\, h$ .
Càlcul. $P = 2000\cdot 9{,}8\cdot 50 = 980\,000\ \text{W} = 980\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

P_{\text{elèctrica}} = 784\ \text{kW}

Resolució

Rendiment. $P_{\text{elèctrica}} = \eta\cdot P = 0{,}80\cdot 980 = 784\ \text{kW}$ .
Interpretació. Fixa't que el rendiment mai no és del 100 %: el 20 % restant de l'energia es dissipa en calor i fregaments a la turbina i a l'alternador.

Apartat c)

Resultat

E = 18\,816\ \text{kWh} \approx 1{,}88\cdot10^{4}\ \text{kWh}

(uns 18,8 MWh)

Resolució

Energia. $E = P\cdot t = 784\ \text{kW}\cdot 24\ \text{h} = 18\,816\ \text{kWh}$ (uns 18,8 MWh).
En joules. Equival a $18\,816\cdot 3{,}6\cdot10^{6} = 6{,}77\cdot10^{10}\ \text{J}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un cotxe de 1000 kg circula a 108 km/h, a velocitat constant, per una carretera horitzontal i el seu motor desenvolupa una potència de 40 kW. Suposa que la força de resistència total (fregament i aire) es manté constant.
a) Calcula aquesta força de resistència.
b) Quina és la velocitat màxima que pot mantenir el cotxe, amb la mateixa potència, en un pendent ascendent en què sin α = 0,05?
c) Quina potència caldria per mantenir els 108 km/h en aquest pendent? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

F_{\text{res}} \approx 1333\ \text{N}

Resolució

Dades. $v = \dfrac{108}{3{,}6} = 30\ \text{m/s}$ , $P = 40\ \text{kW}$ .
Velocitat constant. La força del motor iguala la resistència i $P = F\cdot v$ .
Càlcul. $F_{\text{res}} = \dfrac{40\,000}{30} = 1333\ \text{N}$ .

Apartat b)

Resultat

v_{\text{màx}} \approx 21{,}9\ \text{m/s} \approx 79\ \text{km/h}

Resolució

Component del pes. En el pendent, el motor també ha de vèncer $m\, g\sin\alpha = 1000\cdot 9{,}8\cdot 0{,}05 = 490\ \text{N}$ .
Força total. $F = 1333 + 490 = 1823\ \text{N}$ .
Càlcul. Amb 40 kW: $v = \dfrac{P}{F} = \dfrac{40\,000}{1823} = 21{,}9\ \text{m/s} \approx 79\ \text{km/h}$ .
Compte. Error típic: oblidar la component del pes i creure que la velocitat només depèn de la potència i de la resistència.

Apartat c)

Resultat

P \approx 54{,}7\ \text{kW}

Resolució

Potència. Per mantenir 30 m/s amb la força total de 1823 N: $P = F\cdot v$ .
Càlcul. $P = 1823\cdot 30 = 54\,700\ \text{W} \approx 54{,}7\ \text{kW}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Una bola de 0,50 kg penja d'un fil de 1,2 m de longitud. Se separa fins que el fil queda horitzontal i s'abandona (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). Quan el fil arriba a la vertical, topa amb una clavilla fixa situada a una distància d sota el punt de suspensió, i la bola continua girant en un cercle més petit al voltant de la clavilla.
a) Calcula la velocitat de la bola en passar per la vertical.
b) Quina és la distància d mínima perquè la bola faci el cercle complet al voltant de la clavilla?
c) Si d = 0,90 m, calcula la tensió del fil just abans i just després de tocar la clavilla, i la tensió al punt més alt del cercle petit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

v = \sqrt{2gL} \approx 4{,}85\ \text{m/s}

Resolució

Conservació de l'energia mecànica. La tensió no fa treball; la bola baixa una altura $L$ : $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = m\, g\, L$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2gL} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}2} = \sqrt{23{,}52} = 4{,}85\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

d_{\text{mín}} = 0{,}72\ \text{m}

(

0{,}6\, L

)

Resolució

Plantejament. El radi del cercle petit és $r = L - d$ . Al punt més alt, perquè el fil es mantingui tens cal $v_{a}^{2} \geq g\, r$ .
Energia. Des de la vertical fins al punt més alt del cercle petit la bola puja $2r$ : $v_{a}^{2} = v^{2} - 4gr = 2gL - 4gr$ .
Condició. $2gL - 4gr \geq gr \;\Rightarrow\; r \leq \dfrac{2L}{5} = 0{,}48\ \text{m}$ .
Conclusió. $d \geq L - 0{,}48 = 0{,}72\ \text{m}$ (és a dir, $0{,}6\, L$ ).

Apartat c)

Resultat

T_{\text{abans}} = 14{,}7\ \text{N}

;

T_{\text{després}} = 44{,}1\ \text{N}

;

T_{\text{dalt}} = 14{,}7\ \text{N}

Resolució

Abans de la clavilla. $T - m\, g = \dfrac{m\, v^{2}}{L}$ : $T = 0{,}50\cdot\left(9{,}8 + \dfrac{23{,}52}{1{,}2}\right) = 0{,}50\cdot 29{,}4 = 14{,}7\ \text{N}$ ( $3\, m\, g$ ).
Just després. Ara el radi és $r = 1{,}2 - 0{,}90 = 0{,}30\ \text{m}$ : $T = 0{,}50\cdot\left(9{,}8 + \dfrac{23{,}52}{0{,}30}\right) = 0{,}50\cdot 88{,}2 = 44{,}1\ \text{N}$ .
Al punt més alt. $v_{a}^{2} = 23{,}52 - 4\cdot 9{,}8\cdot 0{,}30 = 11{,}76\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}$ . Allà $T + m\, g = \dfrac{m\, v_{a}^{2}}{r}$ : $T = 0{,}50\cdot\left(\dfrac{11{,}76}{0{,}30} - 9{,}8\right) = 14{,}7\ \text{N}$ .
Interpretació. La tensió salta de cop (de 14,7 a 44,1 N) perquè el radi de curvatura es redueix; l'energia no canvia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Un ascensor té una cabina de 1000 kg i un contrapès de 800 kg, units per un cable que passa per una politja motoritzada (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). La cabina puja a 3,0 m/s constants amb una càrrega de 300 kg.
a) Calcula la potència mecànica que ha de subministrar el motor.
b) Quina potència caldria sense contrapès?
c) Si el motor té un rendiment del 85 %, calcula la potència elèctrica i l'energia (en kWh) consumida en pujar 30 m.
d) Amb la cabina buida, quina és la potència mecànica quan puja i quan baixa a 3,0 m/s?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

P = 14{,}7\ \text{kW}

Resolució

Força del motor. El contrapès compensa part del pes: $F = (1000 + 300 - 800)\cdot 9{,}8 = 4900\ \text{N}$ .
Potència. A velocitat constant, $P = F\cdot v = 4900\cdot 3{,}0 = 14\,700\ \text{W} = 14{,}7\ \text{kW}$ .
Interpretació. El contrapès no crea energia; només fa que el motor hagi de compensar la diferència de pesos i no el pes total.

Apartat b)

Resultat

P \approx 38{,}2\ \text{kW}

Resolució

Sense contrapès. $F = 1300\cdot 9{,}8 = 12\,740\ \text{N}$ .
Càlcul. $P = 12\,740\cdot 3{,}0 = 38\,220\ \text{W} \approx 38{,}2\ \text{kW}$ , unes 2,6 vegades més.

Apartat c)

Resultat

P_{\text{elèctrica}} \approx 17{,}3\ \text{kW}

;

E \approx 173\ \text{kJ} = 0{,}048\ \text{kWh}

Resolució

Rendiment. $P_{\text{elèctrica}} = \dfrac{14{,}7}{0{,}85} = 17{,}3\ \text{kW}$ .
Temps. El viatge dura $t = \dfrac{30}{3{,}0} = 10\ \text{s}$ .
Energia. $E = 17{,}3\ \text{kW}\cdot 10\ \text{s} = 173\ \text{kJ} = 0{,}048\ \text{kWh}$ (uns 0,7 cèntims d'euro).

Apartat d)

Resultat

Pujant:

P \approx 5{,}9\ \text{kW}

aportats pel motor; baixant: el motor ha de frenar i pot recuperar uns 5,9 kW com a generador.

Resolució

Força desequilibrada. Cabina buida: $(1000 - 800)\cdot 9{,}8 = 1960\ \text{N}$ a favor de la cabina.
Pujant. El motor aporta $P = 1960\cdot 3{,}0 = 5880\ \text{W} \approx 5{,}9\ \text{kW}$ .
Baixant. La cabina buida és més pesada que el contrapès i el pes fa el treball sol: el motor ha de frenar (potència de $-5{,}9\ \text{kW}$ ) i pot recuperar aquests 5,9 kW funcionant com a generador.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un ciclista de 80 kg (bicicleta inclosa) puja un coll de 12 km de recorregut amb un desnivell de 600 m en exactament 1 hora a velocitat mitjana constant. Entre la resistència de l'aire i el rodolament, la força resistent mitjana és de 15 N (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula el treball contra la gravetat i contra les resistències.
b) Calcula la potència mecànica mitjana que desenvolupa.
c) El cos humà té un rendiment aproximat del 25 %: quina energia, en kcal (1 kcal = 4184 J), consumeix el ciclista?
d) Quantes barres energètiques de 250 kcal equivalen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

W_{g} = 470\,400\ \text{J}

;

W_{r} = 180\,000\ \text{J}

; total

650\,400\ \text{J}

Resolució

Gravetat. $W_{g} = m\, g\, h = 80\cdot 9{,}8\cdot 600 = 470\,400\ \text{J}$ .
Resistències. $W_{r} = F\cdot d = 15\cdot 12\,000 = 180\,000\ \text{J}$ .
Total. Com que la velocitat és constant ( $\Delta E_{c} = 0$ ), el ciclista ha de fer $470\,400 + 180\,000 = 650\,400\ \text{J}$ .
Interpretació. El pendent mitjà és $\tfrac{600}{12\,000} = 5\ \%$ , i la gravetat suposa el 72 % del treball. A la baixada la gravetat «torna» l'energia potencial, però gairebé no s'aprofita perquè gairebé tota es dissipa amb la resistència de l'aire i els frens.

Apartat b)

Resultat

P \approx 181\ \text{W}

Resolució

Potència mitjana. $P = \dfrac{W}{t}$ , amb $t = 1\ \text{h} = 3600\ \text{s}$ .
Càlcul. $P = \dfrac{650\,400}{3600} = 181\ \text{W}$ .

Apartat c)

Resultat

E \approx 2{,}60\cdot10^{6}\ \text{J} \approx 622\ \text{kcal}

Resolució

Rendiment. Només el 25 % de l'energia consumida es converteix en treball: $E_{\text{consumida}} = \dfrac{W}{0{,}25}$ .
Càlcul. $E = \dfrac{650\,400}{0{,}25} = 2{,}60\cdot10^{6}\ \text{J} = \dfrac{2{,}60\cdot10^{6}}{4184} = 622\ \text{kcal}$ .

Apartat d)

Resultat

Unes 2,5 barres.

Resolució

Càlcul. $\dfrac{622}{250} = 2{,}5$ .
Conclusió. L'esforç equival a unes dues barres i mitja de 250 kcal.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Un bloc de 2,0 kg es deixa caure des del repòs sobre una molla vertical de constant k = 800 N/m i longitud natural, a una altura de 0,50 m per sobre de l'extrem superior de la molla (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ , molla de massa negligible).
a) Calcula la compressió màxima de la molla.
b) Calcula la força màxima que fa la molla i l'acceleració màxima del bloc.
c) Calcula la compressió d'equilibri i la velocitat màxima del bloc.
d) Per què la compressió màxima no és m·g/k?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

x_{\text{màx}} \approx 0{,}183\ \text{m}

Resolució

Plantejament. Entre el punt inicial i el de compressió màxima $x$ (bloc momentàniament aturat) es conserva l'energia mecànica: el bloc baixa $h + x$ .
Equació. $m\, g\,(h + x) = \tfrac{1}{2}\, k\, x^{2}$ : $19{,}6\cdot(0{,}50 + x) = 400\, x^{2}$ , o sigui $400\, x^{2} - 19{,}6\, x - 9{,}8 = 0$ .
Càlcul. $x = \dfrac{19{,}6 + \sqrt{19{,}6^{2} + 4\cdot 400\cdot 9{,}8}}{800} = 0{,}183\ \text{m}$ (l'arrel negativa no és vàlida).

Apartat b)

Resultat

F_{\text{màx}} \approx 146\ \text{N}

;

a_{\text{màx}} \approx 63{,}4\ \text{m/s}^{2}

cap amunt (unes 6,5 g)

Resolució

Llei de Hooke. $F_{\text{màx}} = k\, x_{\text{màx}} = 800\cdot 0{,}183 = 146\ \text{N}$ .
Segona llei de Newton. A la compressió màxima la força neta és cap amunt: $a = \dfrac{F_{\text{màx}} - m\, g}{m} = \dfrac{146 - 19{,}6}{2{,}0} = 63{,}4\ \text{m/s}^{2}$ , unes 6,5 g.

Apartat c)

Resultat

x_{0} = 2{,}45\ \text{cm}

;

v_{\text{màx}} \approx 3{,}17\ \text{m/s}

Resolució

Equilibri. $k\, x_{0} = m\, g \;\Rightarrow\; x_{0} = \dfrac{19{,}6}{800} = 0{,}0245\ \text{m} = 2{,}45\ \text{cm}$ .
Velocitat màxima. És a la posició d'equilibri, on l'acceleració és nul·la: $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = m\, g\,(h + x_{0}) - \tfrac{1}{2}\, k\, x_{0}^{2} = 19{,}6\cdot 0{,}5245 - 0{,}24 = 10{,}04\ \text{J}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 10{,}04}{2{,}0}} = 3{,}17\ \text{m/s}$ .

Apartat d)

Resultat

Perquè

m\, g/k

és només la posició d'equilibri: el bloc hi arriba amb velocitat i continua comprimint la molla.

Resolució

Raonament. $m\, g/k = 2{,}45\ \text{cm}$ és on la força de la molla iguala el pes, però el bloc hi arriba amb energia cinètica.
Conclusió. Aquesta energia cinètica s'ha de transformar en energia elàstica, així que la molla s'ha de comprimir molt més (unes 7,5 vegades: $0{,}183/0{,}0245$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un cotxe de 1200 kg passa del repòs a 100 km/h en 9,0 s amb acceleració constant (a efectes de l'exercici, primer sense resistències).
a) Calcula la potència mitjana del motor i la potència instantània al final.
b) A quin instant coincideix la potència instantània amb la mitjana? Raona per què la potència no és constant.
c) Repeteix l'apartat a) si hi ha una resistència constant de 400 N.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

P_{\text{mitjana}} \approx 51{,}4\ \text{kW}

;

P_{\text{final}} \approx 103\ \text{kW}

Resolució

Dades. $v = \dfrac{100}{3{,}6} = 27{,}8\ \text{m/s}$ , $a = \dfrac{27{,}8}{9{,}0} = 3{,}09\ \text{m/s}^{2}$ ; distància $= \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}09\cdot 81 = 125\ \text{m}$ .
Potència mitjana. Sense resistències, el treball del motor és l'energia cinètica guanyada: $E_{c} = \tfrac{1}{2}\cdot 1200\cdot 27{,}8^{2} = 463\ \text{kJ}$ i $P_{\text{mitjana}} = \dfrac{463}{9{,}0} = 51{,}4\ \text{kW}$ .
Potència instantània. $P = F\cdot v = m\, a\, v$ ; al final, $P = 1200\cdot 3{,}09\cdot 27{,}8 = 103\ \text{kW}$ , el doble de la mitjana.

Apartat b)

Resultat

t = 4{,}5\ \text{s}

(la meitat del temps);

P = F\, v

creix perquè

F

és constant i

v

augmenta.

Resolució

Potència en funció del temps. $F$ és constant i $v = a\, t$ creix linealment: $P(t) = m\, a^{2}\, t$ , proporcional a $t$ .
Instant. Una funció lineal que surt de zero val la seva mitjana a la meitat de l'interval: $t = 4{,}5\ \text{s}$ .
Raonament. La potència creix perquè, per mantenir la mateixa força a velocitats més altes, cal més potència ( $P = F\cdot v$ ).

Apartat c)

Resultat

P_{\text{mitjana}} \approx 57{,}0\ \text{kW}

;

P_{\text{final}} \approx 114\ \text{kW}

Resolució

Força del motor. $F_{\text{motor}} = m\, a + 400 = 3704 + 400 = 4104\ \text{N}$ .
Treball i potència mitjana. $W = 463\ \text{kJ} + 400\ \text{N}\cdot 125\ \text{m} = 463 + 50 = 513\ \text{kJ}$ i $P_{\text{mitjana}} = \dfrac{513}{9{,}0} = 57{,}0\ \text{kW}$ .
Potència final. $P = 4104\cdot 27{,}8 = 114\ \text{kW}$ .
Interpretació. Un cotxe real no té $F$ constant (el motor té una potència màxima), però la comparació mostra que la potència màxima és gairebé el doble de la mitjana d'una acceleració.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Un bloc de 5,0 kg, inicialment en repòs sobre una superfície horitzontal, és empès per una força horitzontal F que varia amb la posició així: val 40 N durant els 3,0 primers metres i després disminueix linealment fins a 0 al llarg dels 4,0 m següents (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula el treball de F al llarg dels 7,0 m (és l'àrea sota la gràfica F-x).
b) Quina és la velocitat final si no hi ha fregament?
c) I si el coeficient de fregament cinètic és 0,20?
d) En quina posició és màxima la velocitat en el cas c)?

Gràfica força-posició: la força val 40 N durant els 3,0 primers metres i després disminueix linealment fins a 0 a x = 7,0 m; l'àrea sota la gràfica apareix ombrejada

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

W_{F} = 200\ \text{J}

Resolució

Àrea sota la gràfica F-x. El treball d'una força variable és l'àrea sota la gràfica: un rectangle (de 0 a 3,0 m) més un triangle (de 3,0 a 7,0 m).
Càlcul. Rectangle: $40\cdot 3{,}0 = 120\ \text{J}$ ; triangle: $\tfrac{1}{2}\cdot 40\cdot 4{,}0 = 80\ \text{J}$ . Total: $W_{F} = 200\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

v \approx 8{,}94\ \text{m/s}

Resolució

Teorema de l'energia cinètica. Parteix del repòs i només $F$ fa treball: $W = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 200}{5{,}0}} = 8{,}94\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

v \approx 7{,}25\ \text{m/s}

Resolució

Fregament. $F_{r} = \mu\, m\, g = 0{,}20\cdot 5{,}0\cdot 9{,}8 = 9{,}8\ \text{N}$ ; el seu treball en 7,0 m és $-9{,}8\cdot 7{,}0 = -68{,}6\ \text{J}$ .
Treball net. $W_{\text{net}} = 200 - 68{,}6 = 131{,}4\ \text{J}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 131{,}4}{5{,}0}} = 7{,}25\ \text{m/s}$ .

Apartat d)

Resultat

x \approx 6{,}02\ \text{m}

Resolució

Condició. La velocitat creix mentre $F > F_{r} = 9{,}8\ \text{N}$ i és màxima quan $F = F_{r}$ .
Càlcul. En el tram decreixent, $F = \dfrac{40\,(7 - x)}{4}$ , que val 9,8 N a $x = 7 - 0{,}98 = 6{,}02\ \text{m}$ . Després $F <$ fregament i el bloc frena.
Comprovació. Fins a $x = 6{,}02\ \text{m}$ : $W_{F} = 120 + \tfrac{1}{2}\,(40 + 9{,}8)\cdot 3{,}02 = 195{,}2\ \text{J}$ i $W_{fr} = -59{,}0\ \text{J}$ , així $E_{c} = 136{,}2\ \text{J}$ ( $v = 7{,}38\ \text{m/s}$ ), una mica més que els 131,4 J finals.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una pilota de 0,200 kg es llança verticalment cap amunt a 25,0 m/s i només arriba a 20,0 m d'altura a causa de la resistència de l'aire (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quina altura hauria assolit sense resistència de l'aire?
b) Calcula el treball de la resistència de l'aire en la pujada i la força de resistència mitjana.
c) Suposant la mateixa força mitjana en la baixada, amb quina velocitat torna al punt de llançament?
d) Quin percentatge de l'energia inicial s'ha dissipat quan torna?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

h \approx 31{,}9\ \text{m}

Resolució

Sense resistència. Es conserva l'energia mecànica: $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = m\, g\, h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{v^{2}}{2g}$ .
Càlcul. $h = \dfrac{625}{19{,}6} = 31{,}9\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

W_{\text{aire}} = -23{,}3\ \text{J}

;

F \approx 1{,}17\ \text{N}

Resolució

Energies. $E_{c,\text{inicial}} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}200\cdot 25{,}0^{2} = 62{,}5\ \text{J}$ ; energia potencial a dalt: $0{,}200\cdot 9{,}8\cdot 20{,}0 = 39{,}2\ \text{J}$ .
Treball de la resistència. És la variació d'energia mecànica: $W_{\text{aire}} = 39{,}2 - 62{,}5 = -23{,}3\ \text{J}$ .
Força mitjana. $F = \dfrac{23{,}3}{20{,}0} = 1{,}17\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

v \approx 12{,}6\ \text{m/s}

Resolució

Baixada. $E_{c} = m\, g\, h - F\, h = 39{,}2 - 23{,}3 = 15{,}9\ \text{J}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 15{,}9}{0{,}200}} = 12{,}6\ \text{m/s}$ , aproximadament la meitat de la de sortida.
Interpretació. Amb resistència de l'aire la pujada i la baixada no són simètriques: torna més a poc a poc del que ha sortit.

Apartat d)

Resultat

S'ha dissipat el 74,6 % (46,6 J)

Resolució

Energia que queda. $E_{c} = 15{,}9\ \text{J}$ sobre els 62,5 J inicials.
Càlcul. Dissipada: $62{,}5 - 15{,}9 = 46{,}6\ \text{J}$ (el doble de 23,3 J), és a dir, $\tfrac{46{,}6}{62{,}5} = 74{,}6\ \%$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un bloc de 3,0 kg reposa sobre una taula horitzontal (μ = 0,20) i està unit per una corda i una politja ideal a un bloc de 2,0 kg que penja. El sistema s'abandona des del repòs (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Utilitza l'energia per calcular la velocitat del sistema quan el bloc que penja ha baixat 1,5 m.
b) Calcula l'acceleració i la tensió de la corda.
c) Si en aquest moment el bloc que penja toca terra i s'atura, quina distància addicional recorre el bloc de la taula fins a parar-se?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

v \approx 2{,}87\ \text{m/s}

Resolució

Teorema de l'energia. El treball de la gravetat sobre el bloc que penja menys el del fregament és igual a l'increment d'energia cinètica dels dos blocs: $m_{2}\, g\, d - \mu\, m_{1}\, g\, d = \tfrac{1}{2}\,(m_{1} + m_{2})\, v^{2}$
Càlcul. $(19{,}6 - 5{,}88)\cdot 1{,}5 = 20{,}6\ \text{J} = 2{,}5\, v^{2} \;\Rightarrow\; v = 2{,}87\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

a \approx 2{,}74\ \text{m/s}^{2}

;

T \approx 14{,}1\ \text{N}

Resolució

Acceleració. $a = \dfrac{m_{2}\, g - \mu\, m_{1}\, g}{m_{1} + m_{2}} = \dfrac{13{,}72}{5{,}0} = 2{,}74\ \text{m/s}^{2}$ .
Tensió. Al bloc que penja: $T = m_{2}\,(g - a) = 2{,}0\cdot(9{,}8 - 2{,}74) = 14{,}1\ \text{N}$ .
Comprovació. Al bloc de la taula: $T - 5{,}88 = 3{,}0\cdot 2{,}74 = 8{,}2\ \text{N} \;\Rightarrow\; T = 14{,}1\ \text{N}$ . Error típic: oblidar que la tensió no val $m_{2}\, g$ quan el sistema accelera.

Apartat c)

Resultat

d \approx 2{,}10\ \text{m}

Resolució

Plantejament. Ara només actua el fregament sobre el bloc de 3,0 kg (la corda es destensa): $a' = -\mu\, g = -1{,}96\ \text{m/s}^{2}$ .
Càlcul. $d = \dfrac{v^{2}}{2\cdot 1{,}96} = \dfrac{8{,}23}{3{,}92} = 2{,}10\ \text{m}$ .
Per energia. $\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 2{,}87^{2} = 0{,}20\cdot 3{,}0\cdot 9{,}8\cdot d \;\Rightarrow\; d = 2{,}10\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

Un cotxet de 0,30 kg es deixa anar sense fregament des d'una rampa per entrar en un bucle vertical circular de 0,50 m de radi. Parteix del repòs a una altura de 1,50 m (3R) per sobre del punt més baix del bucle (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la força normal que fa la via sobre el cotxet al punt més baix, al punt a mitja altura (extrem horitzontal del diàmetre) i al punt més alt. Expressa-les també en múltiples del pes.
b) Quina és l'altura mínima de sortida perquè no perdi el contacte al punt més alt? Comprova que 3R n'és superior.
c) Si surt des de 2R, en quin punt perd el contacte? Raona-ho qualitativament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

Baix:

N = 20{,}6\ \text{N}

(7 pesos); mitja altura:

N = 11{,}8\ \text{N}

(4 pesos); dalt:

N = 2{,}94\ \text{N}

(1 pes)

Resolució

Energia. Sense fregament, a l'altura $y$ del bucle: $v^{2} = 2g\,(h - y)$ , amb $h = 3R$ . El pes és $m\, g = 0{,}30\cdot 9{,}8 = 2{,}94\ \text{N}$ .
Punt més baix ( $y = 0$ ). $v^{2} = 6gR$ ; la normal apunta cap amunt i el pes cap avall: $N - m\, g = \dfrac{m\, v^{2}}{R} \;\Rightarrow\; N = m\,(g + 6g) = 7\, m\, g = 20{,}6\ \text{N}$ .
Mitja altura ( $y = R$ ). $v^{2} = 4gR$ ; la normal és horitzontal i fa sola de centrípeta: $N = \dfrac{m\, v^{2}}{R} = 4\, m\, g = 11{,}8\ \text{N}$ .
Punt més alt ( $y = 2R$ ). $v^{2} = 2gR$ ; totes dues forces apunten cap avall: $N + m\, g = \dfrac{m\, v^{2}}{R} \;\Rightarrow\; N = m\,(2g - g) = m\, g = 2{,}94\ \text{N}$ .
Observació. La diferència entre la normal al punt més baix i al més alt és sempre $6\, m\, g$ , independent de $v$ i $R$ .

Apartat b)

Resultat

h_{\text{mín}} = 2{,}5\, R = 1{,}25\ \text{m}

; com que

3R = 1{,}50\ \text{m} > 1{,}25\ \text{m}

, fa la volta.

Resolució

Condició al punt més alt. Cal $N \geq 0$ , és a dir, $v^{2} \geq g\, R$ .
Energia. $2g\,(h - 2R) \geq g\, R \;\Rightarrow\; h \geq 2{,}5\, R = 1{,}25\ \text{m}$ .
Comprovació. $3R = 1{,}50\ \text{m} > 1{,}25\ \text{m}$ : el cotxet dona la volta (i al punt més alt encara té $N = m\, g$ ).

Apartat c)

Resultat

Perd el contacte en un punt de la meitat superior del bucle, per sobre de l'altura

R

\tfrac{5}{3}R \approx 0{,}83\ \text{m}

del punt més baix), i després cau en paràbola.

Resolució

Raonament. Amb $h = 2R$ (1,0 m) la velocitat al punt més alt seria zero: no hi pot arribar, perquè allà caldria $v^{2} \geq g\, R$ .
Meitat inferior. Fins a l'altura $R$ el pes no té cap component cap al centre (o en té una que s'allunya del centre): la normal ha de fer tota la força centrípeta i $N > 0$ mentre el cotxet es mou. A l'altura $R$ encara té $v^{2} = 2gR > 0$ , de manera que no s'hi desenganxa.
Meitat superior. Per sobre de l'altura $R$ el pes té una component radial cap al centre; el cotxet perd el contacte ( $N = 0$ ) quan aquesta component sola dona la força centrípeta: $m\, g\cos\theta = \dfrac{m\, v^{2}}{R}$ , amb $\theta$ l'angle respecte de la vertical.
Valor. Si l'altura sobre el centre és $R\cos\theta$ , $v^{2} = 2gR\,(1 - \cos\theta)$ i la condició dona $\cos\theta = \tfrac{2}{3}$ : perd el contacte a $R + \tfrac{2}{3}R = \tfrac{5}{3}R \approx 0{,}83\ \text{m}$ del punt més baix. A partir d'allà cau en una paràbola.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un cotxe elèctric de 1500 kg, amb una bateria de 60 kWh, passa de 0 a 100 km/h en 8,0 s. A 100 km/h en pla, el motor només ha d'aportar 15 kW per vèncer les resistències.
a) Calcula l'energia cinètica guanyada i la potència mitjana en l'acceleració (suposa que no hi ha resistències).
b) Estima l'autonomia a 100 km/h constants amb tota la bateria.
c) En frenar de 100 km/h fins a aturar-se, el sistema recupera el 60 % de l'energia cinètica. Quina energia (en kWh) recupera, i quants quilòmetres de trajecte a 100 km/h equivalen?
d) Per què, en realitat, l'autonomia en ciutat pot ser superior a la que dona l'apartat b)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

E_{c} \approx 5{,}79\cdot10^{5}\ \text{J}

(0,161 kWh);

P_{\text{mitjana}} \approx 72{,}3\ \text{kW}

Resolució

Dades. $v = \dfrac{100}{3{,}6} = 27{,}8\ \text{m/s}$ , $m = 1500\ \text{kg}$ , $t = 8{,}0\ \text{s}$ .
Energia cinètica. $E_{c} = \tfrac{1}{2}\cdot 1500\cdot 27{,}8^{2} = 5{,}79\cdot10^{5}\ \text{J} = 579\ \text{kJ}$ (0,161 kWh).
Potència mitjana. $P = \dfrac{579\ \text{kJ}}{8{,}0\ \text{s}} = 72{,}3\ \text{kW}$ . Si l'acceleració fos constant, el pic al final seria el doble, 145 kW.
Ordre de magnitud. 579 kJ és molt menys que la bateria: $60\ \text{kWh} = 216\ \text{MJ}$ (només un 0,27 %).

Apartat b)

Resultat

Autonomia

\approx 400\ \text{km}

Resolució

Consum. A 100 km/h es consumeixen 15 kW durant cada hora, és a dir, 15 kWh cada 100 km.
Càlcul. $t = \dfrac{60\ \text{kWh}}{15\ \text{kW}} = 4\ \text{h}$ , i a 100 km/h: autonomia $= 4\cdot 100 = 400\ \text{km}$ .
Interpretació. És un valor ideal, sense comptar auxiliars ni pèrdues.

Apartat c)

Resultat

E_{\text{rec}} \approx 347\ \text{kJ} = 0{,}0965\ \text{kWh}

, equivalent a uns 0,64 km a 100 km/h

Resolució

Energia recuperada. $0{,}60\cdot 579\ \text{kJ} = 347\ \text{kJ} = 0{,}0965\ \text{kWh}$ .
Equivalència. A 100 km/h es gasten $0{,}15\ \text{kWh/km}$ : $\dfrac{0{,}0965}{0{,}15} = 0{,}64\ \text{km}$ .
Interpretació. Tota l'energia cinètica de l'acceleració costa només uns 1,1 km d'autonomia ( $0{,}161/0{,}15$ ).

Apartat d)

Resultat

Perquè en ciutat la velocitat és baixa (la resistència de l'aire, que creix amb v², és molt petita) i el cotxe recupera energia a cada frenada.

Resolució

Resistència de l'aire. Creix amb $v^{2}$ : a les velocitats de ciutat és molt petita i el consum per quilòmetre baixa molt respecte dels 15 kWh/100 km de l'apartat b).
Frenada regenerativa. El cotxe recupera energia a cada frenada; l'energia dissipada en una frenada és una fracció petita de la que perd un vehicle de combustió quan s'atura.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

L'energia potencial gravitatòria d'un cos de massa m a una distància r del centre de la Terra és $E_{p}$ = −G·M·m/r (zero a l'infinit). Dades: G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg², M = 5,97· $10^{24}$ kg, R = 6,37· $10^{6}$ m. Negligeix l'atmosfera i la rotació.
a) Calcula la velocitat d'escapament des de la superfície.
b) Si es llança un cos verticalment a 8,0 km/s, fins a quina altura puja? Compara-ho amb la fórmula $\tfrac{v^{2}}{(2g)}$ i explica la diferència.
c) Calcula l'energia per unitat de massa necessària per posar un cos en òrbita circular a 400 km d'altura (afegeix l'energia cinètica orbital, ½·G·M·m/r) i compara-la amb m·g·h.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

v_{e} \approx 1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s} = 11{,}2\ \text{km/s}

Resolució

Condició d'escapament. El cos arriba a l'infinit amb velocitat nul·la: energia mecànica total zero, $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} - \dfrac{G\, M\, m}{R} = 0$ .
Fórmula. $v_{e} = \sqrt{\dfrac{2\, G\, M}{R}}$ .
Càlcul. $v_{e} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}} = 1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s} = 11{,}2\ \text{km/s}$

Apartat b)

Resultat

h \approx 6{,}68\cdot10^{6}\ \text{m} = 6680\ \text{km}

; amb

v^{2}/(2g)

surt 3265 km, la meitat, perquè

g

disminueix amb l'altura.

Resolució

Energia per unitat de massa. $E = \tfrac{1}{2}\, v^{2} - \dfrac{G\, M}{R} = 3{,}2\cdot10^{7} - 6{,}25\cdot10^{7} = -3{,}05\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$ .
Altura màxima. Allà $v = 0$ : $-\dfrac{G\, M}{r_{\text{màx}}} = E \;\Rightarrow\; r_{\text{màx}} = 1{,}305\cdot10^{7}\ \text{m}$ , i $h = r_{\text{màx}} - R = 6{,}68\cdot10^{6}\ \text{m} = 6680\ \text{km}$ .
Comparació. $\dfrac{v^{2}}{2g} = \dfrac{64\cdot10^{6}}{19{,}6} = 3265\ \text{km}$ .
Explicació. L'aproximació de $g$ constant dona aproximadament la meitat: en realitat $g$ disminueix amb l'altura, el pes frena menys i el cos puja molt més.

Apartat c)

Resultat

E/m \approx 3{,}31\cdot10^{7}\ \text{J/kg}

(9,2 kWh/kg);

g\, h \approx 3{,}9\cdot10^{6}\ \text{J/kg}

, només un 12 % de l'energia real

Resolució

Dades. $r = R + 400\ \text{km} = 6{,}77\cdot10^{6}\ \text{m}$ .
Energia potencial. Variació per kg: $G\, M\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) = 3{,}69\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$ .
Energia cinètica orbital. Per kg: $\dfrac{G\, M}{2r} = 2{,}94\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$ . Total: $3{,}31\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$ (9,2 kWh/kg).
Comparació. Amb $g$ constant, $g\, h = 9{,}8\cdot 4\cdot10^{5} = 3{,}9\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$ : només un 12 % de l'energia real. La major part s'inverteix a donar la velocitat orbital (7,7 km/s), no en l'altura.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Una persona de 70 kg fa un salt de pont amb una corda elàstica de 20 m de longitud natural que es comporta com una molla de constant k = 140 N/m quan s'estira (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ , negligeix la massa de la corda i el fregament).
a) Calcula l'allargament màxim de la corda i la caiguda total.
b) Calcula l'acceleració màxima i expressa-la en g.
c) En quin punt és màxima la velocitat i quant val?
d) Quina constant k caldria perquè l'allargament màxim fos de 15 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

x_{\text{màx}} \approx 19{,}7\ \text{m}

; caiguda total

\approx 39{,}7\ \text{m}

Resolució

Conservació de l'energia. Al punt més baix la velocitat és nul·la: $m\, g\,(L + x) = \tfrac{1}{2}\, k\, x^{2}$ , amb $L = 20\ \text{m}$ .
Equació. $686\,(20 + x) = 70\, x^{2}$ , és a dir, $70\, x^{2} - 686\, x - 13\,720 = 0$ .
Càlcul. $x = \dfrac{686 + \sqrt{686^{2} + 4\cdot 70\cdot 13\,720}}{140} = 19{,}7\ \text{m}$ Caiguda total: $20 + 19{,}7 = 39{,}7\ \text{m}$ .
Observació. El pont ha de tenir més de 40 m d'altura sobre l'aigua, més la talla de la persona i un marge de seguretat.

Apartat b)

Resultat

a_{\text{màx}} \approx 29{,}7\ \text{m/s}^{2} \approx 3{,}0\ g

(cap amunt)

Resolució

Força elàstica màxima. $F = k\, x_{\text{màx}} = 140\cdot 19{,}73 = 2763\ \text{N}$ .
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{2763 - 686}{70} = 29{,}7\ \text{m/s}^{2} \approx 3{,}0\ g$ , cap amunt.

Apartat c)

Resultat

A 24,9 m per sota del punt de salt (corda estirada 4,9 m);

v_{\text{màx}} \approx 21{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Condició. La velocitat és màxima quan l'acceleració és nul·la: $k\, x_{0} = m\, g \;\Rightarrow\; x_{0} = \dfrac{686}{140} = 4{,}9\ \text{m}$ , és a dir, 24,9 m per sota del punt de salt.
Energia. $m\, g\,(20 + 4{,}9) = 17\,081\ \text{J}$ i $\tfrac{1}{2}\, k\, x_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 140\cdot 4{,}9^{2} = 1681\ \text{J}$ , així $E_{c} = 15\,400\ \text{J}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 15\,400}{70}} = 21{,}0\ \text{m/s}$ .

Apartat d)

Resultat

k \approx 213\ \text{N/m}

Resolució

Plantejament. La mateixa equació d'energia amb $x = 15\ \text{m}$ , aïllant $k$ : $k = \dfrac{2\, m\, g\,(L + x)}{x^{2}}$ .
Càlcul. $k = \dfrac{2\cdot 686\cdot 35}{225} = 213\ \text{N/m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Un bloc A de 2,0 kg es deixa anar des del repòs a 1,8 m d'altura en una rampa llisa. A la base xoca frontalment i elàsticament amb un bloc B de 4,0 kg en repòs (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ , sense fregament).
a) Calcula la velocitat d'A just abans del xoc.
b) Calcula les velocitats d'A i B just després del xoc i comprova la conservació de l'energia.
c) B puja per una altra rampa llisa; A torna a pujar per la primera. Quines altures màximes assoleixen?
d) Quina fracció de l'energia d'A es transfereix a B? Per a quina relació de masses seria màxima?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

v_{A} \approx 5{,}94\ \text{m/s}

Resolució

Conservació de l'energia. Rampa llisa i partint del repòs: $v = \sqrt{2\, g\, h}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 1{,}8} = 5{,}94\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

v_{A}' \approx -1{,}98\ \text{m/s}

(rebota);

v_{B}' \approx 3{,}96\ \text{m/s}

;

E_{c}

abans = després = 35,3 J

Resolució

Xoc elàstic unidimensional (B en repòs). $v_{A}' = \dfrac{m_{A} - m_{B}}{m_{A} + m_{B}}\, v, \qquad v_{B}' = \dfrac{2\, m_{A}}{m_{A} + m_{B}}\, v$
Càlcul. $v_{A}' = \dfrac{2 - 4}{6}\cdot 5{,}94 = -1{,}98\ \text{m/s}$ (A rebota) i $v_{B}' = \dfrac{4}{6}\cdot 5{,}94 = 3{,}96\ \text{m/s}$ .
Comprovació. Abans: $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 5{,}94^{2} = 35{,}3\ \text{J}$ . Després: $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 1{,}98^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 3{,}96^{2} = 3{,}92 + 31{,}4 = 35{,}3\ \text{J}$ .

Apartat c)

Resultat

h_{B} \approx 0{,}80\ \text{m}

;

h_{A} \approx 0{,}20\ \text{m}

Resolució

Conservació de l'energia. A cada rampa llisa, $h = \dfrac{v^{2}}{2g}$ .
Càlcul. B: $h = \dfrac{3{,}96^{2}}{19{,}6} = 0{,}80\ \text{m}$ . A: $h = \dfrac{1{,}98^{2}}{19{,}6} = 0{,}20\ \text{m}$ , que és $1/9$ de l'altura inicial.
Observació. Després, A podria tornar a topar amb B si aquest baixés de nou per la rampa; aquí no es considera.

Apartat d)

Resultat

Es transfereixen

8/9

(89 %); la transferència és màxima (100 %) per a

m_{A} = m_{B}

Resolució

Fracció transferida. $E_{c,B} = 31{,}4\ \text{J}$ : $\dfrac{31{,}4}{35{,}3} = \dfrac{8}{9}$ (89 %).
Fórmula general. $f = \dfrac{4\, m_{A}\, m_{B}}{(m_{A} + m_{B})^{2}}$ , que val $\tfrac{4\cdot 2\cdot 4}{36} = \tfrac{8}{9}$ aquí.
Conclusió. És màxima (100 %) quan $m_{A} = m_{B}$ : llavors A s'atura i B se'n va amb tota l'energia.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Un aerogenerador té pales de 20 m de longitud (àrea escombrada A = πR²). L'aire té una densitat de 1,2 $\text{kg/m}^{3}$ i el vent bufa a 10 m/s perpendicular al rotor.
a) Demostra que la potència cinètica del vent que travessa l'àrea A és P = ½·ρ·A· $v^{3}$ i calcula-la.
b) Si la turbina aprofita el 40 % d'aquesta potència, calcula la potència elèctrica.
c) Calcula la potència amb vents de 5 m/s i de 15 m/s i comenta el resultat.
d) Si la potència mitjana anual és el 30 % de la de l'apartat b), calcula l'energia anual en MWh i el nombre de llars que alimentaria (3500 kWh/any cadascuna).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

P = \tfrac{1}{2}\,\rho\, A\, v^{3} \approx 754\ \text{kW}

Resolució

Massa d'aire. En un temps $t$ travessa l'àrea $A$ una columna d'aire de longitud $v\, t$ i massa $m = \rho\, A\, v\, t$ .
Energia i potència. La seva energia cinètica és $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = \tfrac{1}{2}\,\rho\, A\, v^{3}\, t$ . Dividint per $t$ : $P = \tfrac{1}{2}\,\rho\, A\, v^{3}$ .
Càlcul. $A = \pi\cdot 20^{2} = 1257\ \text{m}^{2}$ i $P = 0{,}5\cdot 1{,}2\cdot 1257\cdot 10^{3} = 7{,}54\cdot10^{5}\ \text{W} = 754\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

P_{\text{elèctrica}} \approx 302\ \text{kW}

Resolució

Rendiment. $P_{\text{elèctrica}} = 0{,}40\cdot 754 = 302\ \text{kW}$ .
Observació. El límit teòric (límit de Betz) és del 59 %; una turbina real arriba al 40-45 %.

Apartat c)

Resultat

A 5 m/s:

\approx 37{,}7\ \text{kW}

; a 15 m/s:

\approx 1018\ \text{kW}

(elèctrics); la potència és proporcional a

v^{3}

Resolució

A 5 m/s. $P = 0{,}40\cdot 0{,}5\cdot 1{,}2\cdot 1257\cdot 125 = 37{,}7\ \text{kW}$ (94 kW de potència del vent).
A 15 m/s. $P = 0{,}40\cdot 0{,}5\cdot 1{,}2\cdot 1257\cdot 3375 = 1018\ \text{kW}$ (2545 kW de potència del vent).
Comentari. La potència és proporcional a $v^{3}$ : si el vent passa de 5 a 10 m/s, la potència es multiplica per 8; de 10 a 15 m/s, per 3,4. Un emplaçament amb vent regular és molt més rendible que un amb poc vent.

Apartat d)

Resultat

E \approx 793\ \text{MWh/any}

; unes 226 llars

Resolució

Potència mitjana. $0{,}30\cdot 301{,}6 = 90{,}5\ \text{kW}$ .
Energia anual. $E = 90{,}5\ \text{kW}\cdot 8760\ \text{h} = 7{,}93\cdot10^{5}\ \text{kWh} \approx 793\ \text{MWh}$ .
Llars. $\dfrac{792\,600\ \text{kWh}}{3500\ \text{kWh}} = 226$ llars.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Una atleta de 70 kg salta verticalment i el seu centre de masses puja 0,50 m des del moment de l'enlairament. Abans, s'ha ajupit de manera que el seu centre de masses ha recorregut 0,40 m en empènyer amb les cames (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la velocitat d'enlairament.
b) Calcula la força mitjana que fa el terra sobre els seus peus durant l'impuls (utilitza el teorema de l'energia i considera la força constant).
c) Calcula el temps de l'impuls, considerant l'acceleració constant, i la potència mitjana de les cames.
d) Quant puja si pot ajupir-se només 0,20 m amb la mateixa força mitjana?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

v \approx 3{,}13\ \text{m/s}

Resolució

Plantejament. Després de l'enlairament només actua el pes: es conserva l'energia mecànica fins al punt més alt (0,50 m).
Càlcul. $v = \sqrt{2\, g\, h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}50} = 3{,}13\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

F \approx 1543\ \text{N}

(2,25 vegades el pes)

Resolució

Teorema de l'energia. Durant l'impuls el centre de masses puja $d = 0{,}40\ \text{m}$ i el treball net és $(F - m\, g)\, d = \tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = m\, g\, h$ .
Càlcul. $F = m\, g\,\dfrac{h + d}{d} = 70\cdot 9{,}8\cdot\dfrac{0{,}90}{0{,}40} = 1543\ \text{N}$ .
Conclusió. És 2,25 vegades el pes (686 N).

Apartat c)

Resultat

t \approx 0{,}256\ \text{s}

;

P_{\text{mitjana}} \approx 2{,}4\ \text{kW}

Resolució

Acceleració. $a = \dfrac{F - m\, g}{m} = \dfrac{1543 - 686}{70} = 12{,}25\ \text{m/s}^{2}$ (1,25 g).
Temps. Amb acceleració constant, la velocitat mitjana és $v/2 = 1{,}565\ \text{m/s}$ i $t = \dfrac{0{,}40}{1{,}565} = 0{,}256\ \text{s}$ .
Potència. Treball de les cames: $F\, d = 1543\cdot 0{,}40 = 617\ \text{J}$ ; potència mitjana $= \dfrac{617}{0{,}256} = 2{,}4\ \text{kW}$ (uns 35 W/kg).

Apartat d)

Resultat

h \approx 0{,}25\ \text{m}

(la meitat del salt)

Resolució

Plantejament. Amb $d = 0{,}20\ \text{m}$ i la mateixa força: $(F - m\, g)\, d = m\, g\, h$ .
Càlcul. $857\cdot 0{,}20 = 171\ \text{J} = m\, g\, h \;\Rightarrow\; h = \dfrac{171}{686} = 0{,}25\ \text{m}$ .
Interpretació. L'altura del salt és proporcional a la distància d'impuls: per això s'ajupen els saltadors.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Una central de bombeig reversible té dos embassaments amb un desnivell de 100 m. De nit, bomba aigua cap a l'embassament superior; de dia, la deixa caure per generar electricitat. Considera 1,0· $10^{6}$ $\text{m}^{3}$ d'aigua (densitat 1000 $\text{kg/m}^{3}$ , g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ), un rendiment de la bomba del 85 % i de la turbina del 90 %.
a) Calcula l'energia potencial emmagatzemada (en MWh).
b) Calcula l'energia elèctrica consumida per pujar-la i la generada en baixar-la.
c) Calcula el rendiment global del cicle.
d) Durant quant temps pot generar 200 MW i amb quin cabal d'aigua?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

E_{p} = 9{,}8\cdot10^{11}\ \text{J} \approx 272\ \text{MWh}

Resolució

Massa. $m = 10^{6}\ \text{m}^{3}\cdot 1000\ \text{kg/m}^{3} = 10^{9}\ \text{kg}$ .
Energia potencial. $E_{p} = m\, g\, h = 10^{9}\cdot 9{,}8\cdot 100 = 9{,}8\cdot10^{11}\ \text{J}$ .
En MWh. $1\ \text{MWh} = 3{,}6\cdot10^{9}\ \text{J}$ : $E_{p} = \dfrac{9{,}8\cdot10^{11}}{3{,}6\cdot10^{9}} = 272\ \text{MWh}$ .

Apartat b)

Resultat

Consumida

\approx 320\ \text{MWh}

; generada

\approx 245\ \text{MWh}

Resolució

Bombeig. Cal $E_{\text{entrada}} = \dfrac{272}{0{,}85} = 320\ \text{MWh}$ .
Generació. S'obté $0{,}90\cdot 272 = 245\ \text{MWh}$ .

Apartat c)

Resultat

\eta_{\text{global}} = 76{,}5\ \%

Resolució

Càlcul. $\eta = \dfrac{245}{320} = 0{,}765$ , és a dir, 76,5 % ( $= 0{,}85\cdot 0{,}90$ ).
Interpretació. Es perd un 23,5 %, però s'aprofita la diferència de preu o l'excedent d'energia. Una central de bombeig no produeix energia, l'emmagatzema: el seu valor és poder desplaçar-la en el temps.

Apartat d)

Resultat

t \approx 1{,}23\ \text{h}

(uns 74 min);

Q \approx 227\ \text{m}^{3}/\text{s}

Resolució

Temps. $t = \dfrac{245\ \text{MWh}}{200\ \text{MW}} = 1{,}23\ \text{h}$ (uns 74 min).
Cabal. $P = \eta\,\rho\, Q\, g\, h \;\Rightarrow\; Q = \dfrac{200\cdot10^{6}}{0{,}90\cdot 1000\cdot 9{,}8\cdot 100} = 227\ \text{m}^{3}/\text{s}$ .
Comprovació. $227\cdot 1{,}225\cdot 3600 = 1{,}0\cdot10^{6}\ \text{m}^{3}$ , tota l'aigua de l'embassament.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Una persona de 70 kg puja 4 pisos d'escales (12 m de desnivell en total) en 20 s a velocitat constant (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ; 1 kcal = 4184 J).
a) Calcula el treball mecànic i la potència mecànica mitjana.
b) El rendiment muscular és del 25 %: quina potència metabòlica consumeix i quina energia (en kcal) gasta en tot el recorregut?
c) Una barra de xocolata proporciona 250 kcal. Quantes vegades hauria de fer aquesta pujada per gastar-la?
d) Compara la potència mecànica amb la d'un ascensor de 5 kW. Per què la persona gasta molt més del que indica el treball mecànic?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

W = 8232\ \text{J}

;

P \approx 412\ \text{W}

Resolució

Treball. A velocitat constant, el treball mecànic és l'augment d'energia potencial: $W = m\, g\, h = 70\cdot 9{,}8\cdot 12 = 8232\ \text{J}$ .
Potència. $P = \dfrac{8232}{20} = 412\ \text{W}$ .
Comprovació. 412 W és de l'ordre d'una persona entrenada durant un esforç curt (uns 5-6 W/kg).

Apartat b)

Resultat

P_{\text{metabòlica}} \approx 1646\ \text{W}

;

E \approx 32\,928\ \text{J} \approx 7{,}87\ \text{kcal}

Resolució

Rendiment. $P_{\text{metabòlica}} = \dfrac{412}{0{,}25} = 1646\ \text{W}$ .
Energia. $E = \dfrac{8232}{0{,}25} = 32\,928\ \text{J} = \dfrac{32\,928}{4184} = 7{,}87\ \text{kcal}$ .
Compte. Error típic: oblidar el rendiment i dir que s'han gastat només 2 kcal ( $8232/4184$ ).

Apartat c)

Resultat

Unes 32 pujades (31,8), és a dir, uns 127 pisos.

Resolució

Càlcul. $\dfrac{250}{7{,}87} = 31{,}8$ pujades.
Conclusió. Són unes 32 pujades, o sigui uns 127 pisos de 3 m.

Apartat d)

Resultat

L'ascensor és unes 12 vegades més potent; la persona gasta més perquè només el 25 % de l'energia química es converteix en treball.

Resolució

Comparació. $\dfrac{5000}{412} \approx 12$ : l'ascensor de 5 kW és uns 12 cops més potent.
Explicació. Només el 25 % de l'energia química es converteix en treball; la resta (75 %) es dissipa en calor. A més, el cos també gasta energia en repòs i per sostenir-se.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Una pilota cau des de 2,00 m d'altura sobre un terra dur i a cada rebot manté el 80 % de la seva velocitat (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quina fracció de l'energia mecànica perd a cada rebot? Quina altura assoleix després del primer i del segon rebot?
b) Quants rebots calen perquè l'altura màxima sigui inferior a 1 cm?
c) Calcula la distància total recorreguda per la pilota (suma de la sèrie geomètrica).
d) Calcula el temps total fins que la pilota s'atura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

Perd el 36 % a cada rebot;

h_{1} = 1{,}28\ \text{m}

h_{2} \approx 0{,}82\ \text{m}

Resolució

Energia i velocitat. L'energia cinètica és proporcional a $v^{2}$ : a cada rebot en queda $0{,}80^{2} = 0{,}64$ , així que perd el 36 %.
Altures. L'altura és proporcional a l'energia: $h_{1} = 2{,}00\cdot 0{,}64 = 1{,}28\ \text{m}$ ; $h_{2} = 1{,}28\cdot 0{,}64 = 0{,}82\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

Calen 12 rebots.

Resolució

Condició. $h_{n} = 2{,}00\cdot 0{,}64^{n} < 0{,}01 \;\Rightarrow\; 0{,}64^{n} < 0{,}005$ .
Logaritmes. $n > \dfrac{\ln 0{,}005}{\ln 0{,}64} = 11{,}87$ .
Conclusió. Calen 12 rebots ( $h_{11} \approx 1{,}5\ \text{cm}$ i $h_{12} \approx 0{,}94\ \text{cm}$ ).

Apartat c)

Resultat

D \approx 9{,}11\ \text{m}

Resolució

Plantejament. Baixa $h_{0}$ i després cada rebot és pujada i baixada: $D = h_{0} + 2\,(h_{1} + h_{2} + \dots)$ .
Sèrie geomètrica. $h_{1} + h_{2} + \dots = \dfrac{h_{0}\cdot 0{,}64}{1 - 0{,}64}$ .
Càlcul. $D = 2{,}00 + 2\cdot\dfrac{2{,}00\cdot 0{,}64}{0{,}36} = 2{,}00 + 7{,}11 = 9{,}11\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

t_{\text{total}} \approx 5{,}75\ \text{s}

Resolució

Primera caiguda. $t_{0} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 2{,}00}{9{,}8}} = 0{,}639\ \text{s}$ .
Rebots. El temps de vol és proporcional a la velocitat de sortida: a cada rebot el temps (puja i baixa) es multiplica per 0,80, i el primer rebot dura $2\cdot 0{,}8\, t_{0}$ .
Càlcul. $t_{\text{total}} = t_{0}\left(1 + \dfrac{2\cdot 0{,}8}{1 - 0{,}8}\right) = 0{,}639\cdot 9 = 5{,}75\ \text{s}$ .
Interpretació. Sorprenentment, la pilota s'atura en un temps finit tot i fer infinits rebots: el límit de la sèrie per a l'espai i el temps és finit perquè la raó és menor que 1.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

En un laboratori es fa baixar un carro per un pla inclinat 30° des del repòs i s'hi mesura la velocitat v després d'haver recorregut una distància s: s (m) = 0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50 i v (m/s) = 1,90; 2,69; 3,30; 3,80; 4,25 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula $v^{2}$ per a cada punt i comprova que $v^{2}$ és proporcional a s. Quina relació té això amb el teorema de les forces vives?
b) Determina la pendent de $v^{2}$ en funció de s i l'acceleració del carro.
c) Calcula el coeficient de fregament cinètic del carro amb el pla.
d) Quina velocitat s'esperaria a s = 3,00 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

v^{2} = 3{,}61;\ 7{,}24;\ 10{,}89;\ 14{,}44;\ 18{,}06\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}

;

v^{2}/s \approx 7{,}22

constant:

v^{2} \propto s

, com prediu el teorema de les forces vives.

Resolució

Càlcul de $v^{2}$ . $1{,}90^{2} = 3{,}61$ ; $2{,}69^{2} = 7{,}24$ ; $3{,}30^{2} = 10{,}89$ ; $3{,}80^{2} = 14{,}44$ ; $4{,}25^{2} = 18{,}06$ (en $\text{m}^{2}/\text{s}^{2}$ ).
Proporcionalitat. Els quocients $v^{2}/s$ valen 7,22; 7,24; 7,26; 7,22; 7,22 (o 7,23): són pràcticament constants, així que $v^{2}$ és proporcional a $s$ .
Teorema de les forces vives (de l'energia cinètica). Partint del repòs, $\tfrac{1}{2}\, m\, v^{2} = F_{\text{net}}\cdot s$ ; si la força neta és constant, $v^{2}$ és proporcional a $s$ .
Observació. Una gràfica de $v^{2}$ en funció de $s$ és molt millor que la de $v$ en funció de $s$ per detectar aquesta relació, perquè és una recta.

Apartat b)

Resultat

Pendent

\approx 7{,}22\ \text{m/s}^{2}

;

a \approx 3{,}61\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Relació. $v^{2} = 2\, a\, s$ : la recta $v^{2}$ - $s$ té pendent $2a$ .
Ajust. Per mínims quadrats, la pendent és $7{,}22\ \text{m/s}^{2}$ (7,23 si s'obliga la recta a passar per l'origen).
Acceleració. $a = \dfrac{7{,}22}{2} = 3{,}61\ \text{m/s}^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

\mu \approx 0{,}15

Resolució

Segona llei de Newton al pla. $a = g\,(\sin 30^\circ - \mu\cos 30^\circ)$ .
Càlcul. $\mu = \dfrac{g\sin 30^\circ - a}{g\cos 30^\circ} = \dfrac{4{,}90 - 3{,}61}{8{,}49} = 0{,}15$ .
Interpretació. Sense fregament l'acceleració seria $4{,}90\ \text{m/s}^{2}$ : el fregament en resta el 26 %.

Apartat d)

Resultat

v \approx 4{,}65\ \text{m/s}

Resolució

Extrapolació. $v^{2} = 7{,}22\cdot s$ .
Càlcul. $v = \sqrt{7{,}22\cdot 3{,}00} = 4{,}65\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Un cotxe amb un rendiment global del motor del 25 % consumeix gasolina, que conté 32 MJ per litre. La força de resistència total en pla a velocitat v és F = 300 + 0,40·v² (en N, amb v en m/s).
a) Calcula la força de resistència, el treball per cada 100 km i el consum (L/100 km) a 90 km/h.
b) Repeteix-ho a 120 km/h.
c) Quin percentatge més de combustible es gasta a 120 km/h respecte de 90 km/h? Quant s'estalvien en un viatge de 300 km?
d) Quina és la potència útil a cada velocitat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

F = 550\ \text{N}

;

W = 5{,}5\cdot10^{7}\ \text{J}

per 100 km; consum

\approx 6{,}9\ \text{L/100 km}

Resolució

Força. 90 km/h = 25 m/s: $F = 300 + 0{,}40\cdot 625 = 550\ \text{N}$ .
Treball per 100 km. $W = F\cdot d = 550\cdot 10^{5} = 5{,}5\cdot10^{7}\ \text{J}$ .
Combustible. Amb rendiment del 25 %: $E = \dfrac{5{,}5\cdot10^{7}}{0{,}25} = 2{,}2\cdot10^{8}\ \text{J}$ , és a dir, $\dfrac{2{,}2\cdot10^{8}}{32\cdot10^{6}} = 6{,}9\ \text{L}$ . Consum: 6,9 L/100 km.

Apartat b)

Resultat

F \approx 744\ \text{N}

;

W \approx 7{,}44\cdot10^{7}\ \text{J}

per 100 km; consum

\approx 9{,}3\ \text{L/100 km}

Resolució

Força. 120 km/h = 33,3 m/s: $F = 300 + 0{,}40\cdot 1111 = 744\ \text{N}$ .
Treball per 100 km. $W = 744\cdot 10^{5} = 7{,}44\cdot10^{7}\ \text{J}$ .
Combustible. $E = \dfrac{7{,}44\cdot10^{7}}{0{,}25} = 2{,}98\cdot10^{8}\ \text{J} = 9{,}3\ \text{L}$ . Consum: 9,3 L/100 km.

Apartat c)

Resultat

Un 35 % més; en 300 km la diferència és d'uns 7,3 L (a canvi d'uns 50 min de viatge).

Resolució

Augment. $\dfrac{9{,}3}{6{,}9} = 1{,}35$ : un 35 % més. La velocitat només ha augmentat un 33 %, però la resistència creix amb $v^{2}$ .
Estalvi en 300 km. $3\cdot(9{,}30 - 6{,}88) = 7{,}3\ \text{L}$ de diferència.
Temps. A 90 km/h el viatge dura 3,33 h i a 120 km/h, 2,5 h: 50 min de diferència.

Apartat d)

Resultat

P_{\text{útil}} \approx 13{,}8\ \text{kW}

a 90 km/h i

\approx 24{,}8\ \text{kW}

a 120 km/h

Resolució

Potència. A velocitat constant, $P_{\text{útil}} = F\cdot v$ .
Càlcul. $550\cdot 25 = 13{,}8\ \text{kW}$ a 90 km/h i $744\cdot 33{,}3 = 24{,}8\ \text{kW}$ a 120 km/h: 1,8 vegades més, per només un 33 % més de velocitat.
Observació. El 75 % restant de l'energia del combustible es perd com a calor.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Si la velocitat d'un cos es dobla, què passa amb l'energia cinètica?

Es multiplica per 4, perquè l'energia cinètica depèn del quadrat de la velocitat: Ec = ½ · m · v al quadrat.

Quan es conserva l'energia mecànica?

Quan només hi fan treball forces conservatives, com el pes. Si hi ha fregament, part de l'energia mecànica es transforma en calor.

Tornar a Física i Química