Exercicis de dinàmica — Física i Química 1r Batxillerat

Q: Què es conserva en un xoc?

La quantitat de moviment total del sistema, sempre que no hi actuïn forces exteriors. L'energia cinètica només es conserva si el xoc és elàstic.

Q: Per què en equilibri es prenen moments respecte d'un punt concret?

Perquè si tries el punt on actua una força desconeguda, el seu moment és zero i desapareix de l'equació. Així queden menys incògnites.

Aquests exercicis apliquen les lleis de Newton a situacions cada cop més complexes. Comences calculant l'acceleració a partir de la força neta i continues amb forces de fregament, plans i sistemes de blocs, com la màquina d'Atwood amb dos cossos penjats d'una politja. Després treballes la dinàmica del moviment circular i la conservació de la quantitat de moviment en xocs frontals. Al final entres a l'estàtica del sòlid rígid: el braç d'una força i per què, en un problema d'equilibri, convé prendre moments respecte d'un punt concret. Les solucions dibuixen el diagrama de forces. Errors típics: pensar que cal una força per mantenir el moviment i confondre massa i pes.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Sobre un cos de 5 kg actua una força neta de 20 N. Quina acceleració adquireix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

a = 4\ \text{m/s}^{2}

, en el sentit de la força.

Resolució

Dades. $m = 5\ \text{kg}$ i força neta $F = 20\ \text{N}$ . Es demana l'acceleració.
Segona llei de Newton. $F = m\cdot a$ , d'on $a = \dfrac{F}{m}$ .
Càlcul. $a = \dfrac{20\ \text{N}}{5\ \text{kg}} = 4\ \text{m/s}^{2}$ Fixa't que N/kg = m/s².
Conclusió. El cos accelera a 4 m/s² en el mateix sentit que la força neta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Un llibre de 2 kg està quiet sobre una taula horitzontal. Quant val la força normal que la taula hi fa? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

N = 19{,}6\ \text{N}

, vertical i cap amunt.

Resolució

Dades. $m = 2\ \text{kg}$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ . El llibre és quiet sobre una taula horitzontal.
Primera llei de Newton. Si està en repòs, la força neta vertical és zero: la normal compensa el pes, $N = P = m\cdot g$ .
Càlcul. $P = m\cdot g = 2\ \text{kg}\cdot 9{,}8\ \text{m/s}^{2} = 19{,}6\ \text{N}$
Conclusió. Per tant la normal també val $N = 19{,}6\ \text{N}$ , dirigida cap amunt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Què és el braç d'una força respecte d'un punt?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

És la distància perpendicular del punt (de gir) a la línia d'acció de la força.

Resolució

Definició. El braç d'una força respecte d'un punt O és la distància perpendicular d entre O i la recta on actua la força (la seva línia d'acció).
Moment. El moment de la força respecte d'O val $M = F\cdot d$ : com més gran és el braç, més efecte de gir fa la mateixa força.
Cas particular. Si la línia d'acció passa pel punt, el braç és zero i la força no hi fa cap moment.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

En penjar una massa de 200 g d'una molla vertical, la molla s'allarga 4 cm. Calcula la constant elàstica de la molla i quant s'allargarà si hi pengem 500 g (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

k = 49\ \text{N/m}

; amb 500 g s'allarga

x = 0{,}10\ \text{m} = 10\ \text{cm}

Resolució

Dades. $m_1 = 0{,}200\ \text{kg}$ , $x_1 = 0{,}04\ \text{m}$ , $m_2 = 0{,}500\ \text{kg}$ . Passa sempre les dades al SI (kg i m), no treballis amb grams i centímetres.
Equilibri. Quan la massa penja quieta, la força elàstica iguala el pes: $F = m\cdot g = 0{,}2\cdot 9{,}8 = 1{,}96\ \text{N}$ .
Llei de Hooke. $F = k\cdot x$ , d'on $k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{1{,}96\ \text{N}}{0{,}04\ \text{m}} = 49\ \text{N/m}$
Amb 500 g. $F = 0{,}5\cdot 9{,}8 = 4{,}9\ \text{N}$ , i $x = \dfrac{F}{k} = \dfrac{4{,}9}{49} = 0{,}1\ \text{m} = 10\ \text{cm}$ .
Comprovació. La massa és 2,5 vegades més gran i l'allargament també (4 cm · 2,5 = 10 cm), com correspon a una relació proporcional.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Una caixa de 10 kg està en repòs sobre el terra horitzontal i el coeficient de fregament estàtic entre la caixa i el terra és 0,3. Calcula la força de fregament màxima que pot fer el terra i raona si la caixa es mourà quan l'empenyem horitzontalment amb 20 N. Quant val la força de fregament en aquest cas? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

F_{f,\text{màx}} = 29{,}4\ \text{N}

; amb 20 N la caixa no es mou i el fregament val

20\ \text{N}

Resolució

Dades. $m = 10\ \text{kg}$ , $\mu_s = 0{,}3$ , empenta horitzontal de 20 N.
Normal. Sobre una superfície horitzontal la normal iguala el pes: $N = m\cdot g = 10\cdot 9{,}8 = 98\ \text{N}$ .
Fregament estàtic màxim. $F_{f,\text{màx}} = \mu_s\cdot N = 0{,}3\cdot 98 = 29{,}4\ \text{N}$
Comparació. Com que 20 N < 29,4 N, l'empenta no supera el fregament màxim: la caixa no es mou.
Conclusió. El fregament estàtic val exactament el que cal per equilibrar l'empenta: 20 N, no 29,4 N. Error típic: pensar que el fregament estàtic val sempre $\mu_s\cdot N$ ; aquest és només el valor màxim que pot assolir.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) Les forces d'acció i reacció s'anul·len entre si perquè són iguals i de sentit contrari.
b) Quan un cavall estira un carro, el carro estira el cavall amb una força del mateix mòdul.
c) La força que fa la Terra sobre una poma que cau és més gran que la que fa la poma sobre la Terra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

Falsa: acció i reacció actuen sobre cossos diferents i no es poden anul·lar.

Resolució

Tercera llei de Newton. Les forces d'acció i reacció tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i sentits contraris.
Punt clau. Però actuen sobre cossos diferents: cada una actua sobre un cos, de manera que mai no es poden sumar ni anul·lar entre si. Només s'anul·len forces que actuen sobre el mateix cos.

Apartat b)

Resultat

Certa: és un parell acció-reacció i tots dos tenen el mateix mòdul.

Resolució

Tercera llei de Newton. El cavall estira el carro i el carro estira el cavall amb una força del mateix mòdul i sentit contrari.
Per què avancen? El conjunt avança perquè la força que el terra fa sobre les potes del cavall (cap endavant) supera el fregament que actua sobre el carro.

Apartat c)

Resultat

Falsa: totes dues forces tenen el mateix mòdul.

Resolució

Tercera llei de Newton. La força de la Terra sobre la poma i la de la poma sobre la Terra formen un parell acció-reacció: tenen el mateix mòdul.
Per què només es mou la poma? Per la segona llei, $a = \tfrac{F}{m}$ : la mateixa força dona a la Terra, de massa enorme, una acceleració inapreciable.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Sobre un cos de 2 kg situat en una superfície horitzontal sense fregament actuen dues forces horitzontals perpendiculars entre si, de 6 N i 8 N. Calcula el mòdul de la força resultant, l'acceleració del cos i l'angle que forma la resultant amb la força de 8 N.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

R = 10\ \text{N}

;

a = 5\ \text{m/s}^{2}

; angle amb la força de 8 N:

\alpha = 36{,}9^\circ

Resolució

Dades. $m = 2\ \text{kg}$ , dues forces perpendiculars de 6 N i 8 N, sense fregament.
Suma vectorial (Pitàgores). Com que són perpendiculars: $R = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\ \text{N}$ Error típic: sumar els mòduls (6 + 8 = 14 N); les forces són vectors i només se sumen directament si tenen la mateixa direcció i sentit.
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{R}{m} = \dfrac{10}{2} = 5\ \text{m/s}^{2}$ , en la direcció i el sentit de la resultant.
Angle. Respecte de la força de 8 N: $\operatorname{tg}\alpha = \tfrac{6}{8} = 0{,}75$ , per tant $\alpha = 36{,}9^\circ$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un cotxe de 1200 kg circula a 90 km/h i un camió de 15000 kg ho fa a 7,2 km/h. Calcula la quantitat de moviment de cada vehicle i compara-les.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

p_{\text{cotxe}} = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

;

p_{\text{camió}} = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

: són iguals.

Resolució

Dades al SI. 90 km/h = 90/3,6 = 25 m/s; 7,2 km/h = 7,2/3,6 = 2 m/s.
Quantitat de moviment. $p = m\cdot v$ .
Càlcul. Cotxe: $p = 1200\cdot 25 = 30\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Camió: $p = 15\,000\cdot 2 = 30\,000\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Comparació. Tenen exactament la mateixa quantitat de moviment: el camió té una massa 12,5 vegades més gran, però va 12,5 vegades més a poc a poc.
Recorda. La quantitat de moviment és un vector amb la direcció i el sentit de la velocitat; aquí només n'hem comparat el mòdul.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Dues persones de 60 kg cadascuna són a 1 m de distància (entre els seus centres). Calcula la força gravitatòria amb què s'atreuen i compara-la amb el pes d'una d'elles (G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

F = 2{,}4\cdot10^{-7}\ \text{N}

; el pes (588 N) és unes

2{,}4\cdot10^{9}

vegades més gran.

Resolució

Dades. $m_1 = m_2 = 60\ \text{kg}$ , $d = 1\ \text{m}$ , $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$ .
Llei de la gravitació universal. $F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^{2}} = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\dfrac{60\cdot 60}{1^{2}} = 2{,}4\cdot10^{-7}\ \text{N}$
Pes d'una persona. $P = m\cdot g = 60\cdot 9{,}8 = 588\ \text{N}$ .
Comparació. $\dfrac{P}{F} = \dfrac{588}{2{,}4\cdot10^{-7}} \approx 2{,}4\cdot10^{9}$ : el pes és uns 2400 milions de vegades més gran.
Conclusió. Per això l'atracció gravitatòria entre objectes quotidians és imperceptible: només es nota quan una de les masses és enorme, com la de la Terra.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una persona empeny un carro de 25 kg amb una força horitzontal de 15 N i el carro avança en línia recta a 1,2 m/s constants. Quant val la força de fregament? Quina és la força neta sobre el carro? Raona què passarà si la persona deixa d'empènyer i calcula quant trigarà el carro a aturar-se (suposa que el fregament no canvia).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

F_f = 15\ \text{N}

(oposat al moviment); força neta

= 0

; sense empenta frena amb

a = -0{,}6\ \text{m/s}^{2}

i s'atura en

t = 2\ \text{s}

Resolució

Dades. $m = 25\ \text{kg}$ , empenta 15 N, velocitat constant 1,2 m/s.
Primera llei de Newton. Si la velocitat és constant, l'acceleració és zero i la força neta és nul·la: $\Sigma F = 15 - 15 = 0\ \text{N}$ . Per tant el fregament equilibra l'empenta: $F_f = 15\ \text{N}$ , en sentit contrari al moviment.
Si deixa d'empènyer. Només queda el fregament, que frena el carro (segona llei): $a = -\dfrac{F_f}{m} = -\dfrac{15}{25} = -0{,}6\ \text{m/s}^{2}$
Temps fins a aturar-se. $t = \dfrac{v}{|a|} = \dfrac{1{,}2}{0{,}6} = 2\ \text{s}$ .
Conclusió. No cal una força neta per mantenir un moviment a velocitat constant (error típic); la força neta només cal per canviar la velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Si es trenca la corda que fa girar una pedra, en quina direcció surt disparada?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Surt en línia recta, en la direcció tangent a la circumferència en el punt on es trenca la corda.

Resolució

Què feia la corda. La tensió de la corda era la força centrípeta: estirava la pedra cap al centre i li anava canviant la direcció de la velocitat.
Primera llei de Newton. Quan la corda es trenca, ja no hi ha força centrípeta i la pedra conserva la velocitat que tenia en aquell instant (si oblidem el pes).
Conclusió. Com que la velocitat en un moviment circular sempre és tangent a la trajectòria, la pedra surt en línia recta en la direcció tangent; no surt «cap enfora» en direcció radial.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una bola de 0,4 kg que es mou a 6 m/s xoca de front amb una altra de 0,6 kg que ve en sentit contrari a 2 m/s. Després del xoc queden enganxades. A quina velocitat i en quin sentit es mouen juntes?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

v = 1{,}2\ \text{m/s}

, en el sentit en què anava la bola de 0,4 kg.

Resolució

Dades i criteri de signes. Prens com a positiu el sentit de la primera bola: $m_1 = 0{,}4\ \text{kg}$ , $v_1 = +6\ \text{m/s}$ ; la segona ve en sentit contrari: $m_2 = 0{,}6\ \text{kg}$ , $v_2 = -2\ \text{m/s}$ .
Conservació de la quantitat de moviment. En el xoc només actuen forces internes: la quantitat de moviment total abans i després és la mateixa.
Abans del xoc. $p = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0{,}4\cdot 6 + 0{,}6\cdot(-2) = 2{,}4 - 1{,}2 = 1{,}2\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$
Després del xoc. Queden enganxades (massa total 1 kg) i van a una velocitat comuna $v$ : $1\cdot v = 1{,}2$ , per tant $v = 1{,}2\ \text{m/s}$ .
Conclusió. Com que surt positiu, es mouen en el sentit de la primera bola. Parany: la segona bola va en sentit contrari, per tant la seva quantitat de moviment és negativa i s'ha de restar; ignorar el signe donaria un resultat molt més gran i erroni.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una pilota de 0,2 kg arriba a una paret a 10 m/s i rebota en sentit contrari a 8 m/s. El contacte amb la paret dura 0,05 s. Calcula l'impuls que rep la pilota i la força mitjana que la paret hi fa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

I = -3{,}6\ \text{N}\cdot\text{s}

F = -72\ \text{N}

: 72 N cap enfora de la paret (sentit contrari a l'arribada).

Resolució

Dades i criteri de signes. Prens com a positiu el sentit d'arribada (cap a la paret): $v_i = +10\ \text{m/s}$ i, com que rebota, $v_f = -8\ \text{m/s}$ ; $m = 0{,}2\ \text{kg}$ , $\Delta t = 0{,}05\ \text{s}$ .
Teorema de l'impuls. L'impuls és igual a la variació de la quantitat de moviment: $I = \Delta p = m\,(v_f - v_i)$ . Cal treballar amb signes, perquè la pilota canvia de sentit.
Impuls. $I = 0{,}2\cdot(-8 - 10) = 0{,}2\cdot(-18) = -3{,}6\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ El signe negatiu indica que l'impuls va en sentit contrari al moviment inicial: la paret repel·leix la pilota.
Força mitjana. De $I = F\cdot\Delta t$ : $F = \dfrac{I}{\Delta t} = \dfrac{-3{,}6}{0{,}05} = -72\ \text{N}$ ; en mòdul, 72 N cap enfora de la paret.
Parany clàssic. Com que la pilota inverteix el sentit, Δv = −8 − 10 = −18 m/s, no 8 − 10 = −2 m/s. Oblidar el canvi de signe de la velocitat de sortida és l'error més típic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Per què, en un problema d'equilibri, convé prendre els moments respecte del punt on hi ha la força desconeguda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Perquè aquella força té braç zero respecte d'aquest punt i no surt a l'equació de moments, que queda amb menys incògnites.

Resolució

Moment d'una força. El moment respecte d'un punt és $M = F\cdot d$ , on d és la distància perpendicular del punt a la línia d'acció de la força.
Força que passa pel punt. Si la força desconeguda (per exemple, la d'un suport o una articulació) passa pel punt triat, el seu braç és zero i no hi fa moment: desapareix de l'equació.
Conclusió. Així l'equació de moments queda amb una sola incògnita i la resols directament; la força del suport la trobes després amb l'equilibri de forces ( $\Sigma F = 0$ ).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un bloc de 5 kg es deixa anar des del repòs a la part alta d'un pla inclinat 30° sense fregament. Calcula la força normal, l'acceleració del bloc i la velocitat que té després de recórrer 4 m sobre el pla (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

N = 42{,}4\ \text{N}

;

a = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}

;

v = 6{,}26\ \text{m/s}

després de 4 m.

Resolució

Dades. $m = 5\ \text{kg}$ , pla de 30° sense fregament, surt del repòs i recorre $d = 4\ \text{m}$ .
Descomposició del pes. $P_x = m g\sin 30^\circ = 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 24{,}5\ \text{N}$ (paral·lela al pla, cap avall) i $P_y = m g\cos 30^\circ = 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 42{,}4\ \text{N}$ (perpendicular al pla). Error típic: fer servir el cosinus per a la component paral·lela; el sinus de l'angle del pla va amb la component al llarg del pla.
Normal. Perpendicularment al pla no hi ha acceleració: $N = P_y = 42{,}4\ \text{N}$ .
Segona llei de Newton al llarg del pla. $m a = P_x$ , d'on $a = g\sin 30^\circ = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}$ (no depèn de la massa).
Velocitat (MRUA des del repòs). $v^{2} = 2 a d = 2\cdot 4{,}9\cdot 4 = 39{,}2 \;\Rightarrow\; v = 6{,}26\ \text{m/s}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una persona de 60 kg és dreta sobre una bàscula dins d'un ascensor. Calcula la força normal i la lectura de la bàscula (en kg) quan l'ascensor arrenca cap amunt amb una acceleració de 2 $\text{m/s}^{2}$ , i quan l'ascensor, mentre puja, frena amb una acceleració de 2 $\text{m/s}^{2}$ (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

Arrencant cap amunt:

N = 708\ \text{N}

, la bàscula marca 72,2 kg; frenant mentre puja:

N = 468\ \text{N}

, marca 47,8 kg.

Resolució

Forces. Sobre la persona actuen el pes, $P = 60\cdot 9{,}8 = 588\ \text{N}$ (cap avall), i la normal de la bàscula, N (cap amunt). La bàscula marca $N/g$ .
Arrencada cap amunt (acceleració cap amunt). Segona llei de Newton: $N - m g = m a$ , d'on $N = m\,(g + a) = 60\cdot 11{,}8 = 708\ \text{N};\quad \dfrac{708}{9{,}8} = 72{,}2\ \text{kg}$ Sembla que pesa més.
Frenada mentre puja (acceleració cap avall). $N - m g = -m a$ , d'on $N = m\,(g - a) = 60\cdot 7{,}8 = 468\ \text{N};\quad \dfrac{468}{9{,}8} = 47{,}8\ \text{kg}$ Sembla que pesa menys.
Conclusió. En tots dos casos la massa real continua sent 60 kg; el que canvia és la força normal. Error típic: creure que, si l'ascensor puja, la normal sempre és més gran que el pes; el que compta és el sentit de l'acceleració, no el de la velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un bloc A de 2 kg és sobre una taula horitzontal i està lligat, mitjançant una corda que passa per una politja sense fregament situada a la vora de la taula, a un bloc B de 3 kg que penja verticalment. El coeficient de fregament entre A i la taula és 0,25. Calcula l'acceleració del sistema i la tensió de la corda (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Bloc A de 2 kg sobre una taula horitzontal, amb μ = 0,25, lligat per una corda i una politja a la vora a un bloc B de 3 kg que penja

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

a = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}

;

T = 14{,}7\ \text{N}

Resolució

Dades. $m_A = 2\ \text{kg}$ a la taula amb $\mu = 0{,}25$ ; $m_B = 3\ \text{kg}$ penjant. B baixa i A avança cap a la politja amb la mateixa acceleració.
Segona llei de Newton a cada bloc. Bloc A (horitzontal): $T - F_f = m_A a$ , amb $F_f = \mu m_A g = 0{,}25\cdot 2\cdot 9{,}8 = 4{,}9\ \text{N}$ . Bloc B (vertical): $m_B g - T = m_B a$ , és a dir, $29{,}4 - T = 3a$ .
Acceleració. Sumes les dues equacions (la tensió s'elimina): $29{,}4 - 4{,}9 = (2 + 3)\,a \;\Rightarrow\; a = \dfrac{24{,}5}{5} = 4{,}9\ \text{m/s}^{2}$
Tensió. $T = m_B\,(g - a) = 3\cdot(9{,}8 - 4{,}9) = 14{,}7\ \text{N}$ .
Comprovació. Amb el bloc A: 14,7 − 4,9 = 9,8 N = 2 · 4,9. Correcte. Error típic: posar T = 29,4 N (el pes de B); si B accelera cap avall, la tensió és menor que el seu pes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un cotxe de 1000 kg pren un revolt pla de 50 m de radi, en una carretera d'Osona, a 54 km/h. Calcula la força centrípeta necessària, indica quina força la proporciona i determina el valor mínim del coeficient de fregament entre les rodes i l'asfalt perquè el cotxe no derrapi (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

F_c = 4500\ \text{N}

, la fa el fregament dels pneumàtics amb l'asfalt;

\mu_{\text{mín}} = 0{,}46

Resolució

Dades al SI. $m = 1000\ \text{kg}$ , $R = 50\ \text{m}$ , 54 km/h = 54/3,6 = 15 m/s.
Força centrípeta. $F_c = \dfrac{m v^{2}}{R} = \dfrac{1000\cdot 15^{2}}{50} = 4500\ \text{N}$ dirigida cap al centre del revolt.
Qui la fa. En un revolt pla, la força centrípeta la fa el fregament (estàtic) dels pneumàtics amb l'asfalt.
Condició per no derrapar. $F_{f,\text{màx}} \ge F_c$ : $\mu m g \ge \dfrac{m v^{2}}{R}$ , d'on $\mu \ge \dfrac{v^{2}}{g R} = \dfrac{225}{9{,}8\cdot 50} = 0{,}46$
Conclusió. Fixa't que el resultat no depèn de la massa: un camió necessitaria el mateix coeficient de fregament a la mateixa velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Dos patinadors de 60 kg i 40 kg estan en repòs sobre el gel, cara a cara, i s'empenyen mútuament. Si el de 40 kg surt a 1,5 m/s, amb quina velocitat i en quin sentit es mou el de 60 kg? Menysprea el fregament amb el gel i raona quin principi has aplicat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

v = -1{,}0\ \text{m/s}

: el de 60 kg es mou a 1,0 m/s en sentit contrari al de 40 kg (conservació de la quantitat de moviment).

Resolució

Principi aplicat. Les forces entre els patinadors són internes i no hi ha cap força externa horitzontal (sense fregament): es conserva la quantitat de moviment del sistema.
Abans. Tots dos estan quiets: $p_{\text{inicial}} = 0$ .
Després. $0 = 40\cdot 1{,}5 + 60\cdot v \;\Rightarrow\; 60\,v = -60 \;\Rightarrow\; v = -1\ \text{m/s}$
Interpretació. El signe negatiu indica que el patinador de 60 kg es mou en sentit contrari al de 40 kg. El més lleuger surt més de pressa: les forces que es fan són iguals (tercera llei), però la seva massa és més petita.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un cotxe de 1200 kg circula a 72 km/h i frena amb una força constant fins a aturar-se en 40 m. Calcula l'acceleració, la força de frenada i el temps que triga a aturar-se.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

a = -5\ \text{m/s}^{2}

; força de frenada

6000\ \text{N}

(oposada al moviment);

t = 4\ \text{s}

Resolució

Dades. $m = 1200\ \text{kg}$ , $v_0 = 72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ , $v = 0$ , $d = 40\ \text{m}$ .
Acceleració (MRUA). $v^{2} = v_0^{2} + 2 a d$ : $0 = 400 + 80\,a$ , d'on $a = -5\ \text{m/s}^{2}$ (el signe negatiu indica que frena).
Segona llei de Newton. $F = m a = 1200\cdot(-5) = -6000\ \text{N}$ , és a dir, 6000 N en sentit contrari al moviment.
Temps. $v = v_0 + a t$ : $0 = 20 - 5t$ , d'on $t = 4\ \text{s}$ .
Comprovació. $d = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^{2} = 20\cdot 4 - 0{,}5\cdot 5\cdot 16 = 80 - 40 = 40\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Dos germans de 40 kg i 30 kg volen equilibrar un balancí que gira al voltant d'un suport central. El de 40 kg seu a 1,2 m del suport. A quina distància del suport s'ha de seure el de 30 kg perquè el balancí quedi horitzontal en equilibri? Quina força fa el suport sobre el balancí, si en menysprees la massa? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

El de 30 kg s'ha de seure a

1{,}6\ \text{m}

del suport; el suport fa

686\ \text{N}

cap amunt.

Resolució

Dades. Masses de 40 kg (a 1,2 m) i 30 kg (a d₂ del suport, a l'altre costat). Menysprees la massa del balancí.
Equilibri de rotació. La suma de moments respecte del suport ha de ser zero: els moments dels dos pesos han de ser iguals, $P_1 d_1 = P_2 d_2$ .
Càlcul. $40\cdot 9{,}8\cdot 1{,}2 = 30\cdot 9{,}8\cdot d_2 \;\Rightarrow\; d_2 = \dfrac{40\cdot 1{,}2}{30} = 1{,}6\ \text{m}$ La g es simplifica: n'hi ha prou amb igualar els productes massa per distància. El germà més lleuger ha de seure més lluny del suport.
Equilibri de translació. El suport aguanta els dos pesos: $F = (40 + 30)\cdot 9{,}8 = 686\ \text{N}$ , cap amunt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Dues caixes en contacte damunt del terra, A de 4 kg i B de 6 kg (B al davant). S'empeny A amb una força horitzontal de 30 N. El coeficient de fregament amb el terra és μ = 0,2 per a totes dues. Calcula l'acceleració del conjunt i la força de contacte entre A i B. (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

a = 1{,}04\ \text{m/s}^{2}

; força de contacte entre A i B:

C = 18\ \text{N}

Resolució

Dades. $m_A = 4\ \text{kg}$ , $m_B = 6\ \text{kg}$ , $F = 30\ \text{N}$ sobre A, $\mu = 0{,}2$ per a totes dues.
Conjunt (10 kg). Normal total $N = 10\cdot 9{,}8 = 98\ \text{N}$ i fregament total $F_r = \mu N = 0{,}2\cdot 98 = 19{,}6\ \text{N}$ , oposat al moviment.
Segona llei de Newton al conjunt. $m_{\text{tot}}\,a = F - F_r = 30 - 19{,}6 = 10{,}4\ \text{N} \;\Rightarrow\; a = \dfrac{10{,}4}{10} = 1{,}04\ \text{m/s}^{2}$
Bloc B aïllat. Sobre B actuen la força de contacte C (cap endavant) i el seu fregament, $F_{r,B} = \mu m_B g = 0{,}2\cdot 6\cdot 9{,}8 = 11{,}76\ \text{N}$ (cap enrere): $m_B a = C - F_{r,B} \;\Rightarrow\; C = 6\cdot 1{,}04 + 11{,}76 = 6{,}24 + 11{,}76 = 18\ \text{N}$
Parany. Cal repartir el fregament bloc a bloc: la força de contacte ha de vèncer el fregament de B i, a més, accelerar-lo, no només accelerar-lo.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

En una màquina d'Atwood, d'una politja pengen dos blocs: un de 5 kg i un altre de 3 kg. Calcula l'acceleració del sistema i la tensió de la corda, i quina distància recorre cada bloc en 2 s partint del repòs. (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

a = 2{,}45\ \text{m/s}^{2}

;

T = 36{,}75\ \text{N} \approx 36{,}8\ \text{N}

; cada bloc recorre

4{,}9\ \text{m}

en 2 s (un baixa i l'altre puja).

Resolució

Plantejament. El bloc pesant (5 kg) baixa i el lleuger (3 kg) puja, amb la mateixa acceleració a i la mateixa tensió T (politja ideal). Prens positiu el sentit real del moviment de cada bloc.
Segona llei de Newton a cada bloc. Pesant: $m_1 a = m_1 g - T$ . Lleuger: $m_2 a = T - m_2 g$ .
Acceleració. Sumes per eliminar T: $(m_1 + m_2)\,a = (m_1 - m_2)\,g$ : $a = \dfrac{(5 - 3)\cdot 9{,}8}{5 + 3} = \dfrac{19{,}6}{8} = 2{,}45\ \text{m/s}^{2}$
Tensió. De l'equació del lleuger: $T = m_2\,(a + g) = 3\cdot(2{,}45 + 9{,}8) = 3\cdot 12{,}25 = 36{,}75\ \text{N}$ .
Distància en 2 s (MRUA des del repòs). $s = \tfrac{1}{2} a t^{2} = 0{,}5\cdot 2{,}45\cdot 4 = 4{,}9\ \text{m}$ , la mateixa per als dos blocs (estan units per la corda).
Parany. La tensió queda entre els dos pesos (29,4 N i 49 N), no és igual a cap d'ells; el sistema accelera precisament perquè els pesos no s'equilibren.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Es fa girar una pilota de 0,5 kg lligada a una corda d'1 m descrivint un cercle vertical. Quina és la velocitat mínima al punt més alt perquè la corda no s'afluixi? I quina tensió té la corda en aquell punt si la pilota hi passa a 5 m/s? (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

v_{\text{mín}} = 3{,}13\ \text{m/s}

; a 5 m/s,

T = 7{,}6\ \text{N}

Resolució

Dades. $m = 0{,}5\ \text{kg}$ , $r = 1\ \text{m}$ , cercle vertical. Al punt més alt la tensió i el pes apunten tots dos cap al centre (cap avall).
Dinàmica del moviment circular. La suma de les dues forces fa de força centrípeta: $T + m g = m\,\dfrac{v^{2}}{r}$
Velocitat mínima. És quan la corda està a punt d'afluixar-se, $T = 0$ : el pes tot sol fa de centrípeta, $m g = m v^{2}/r$ ; la massa es cancel·la i $v_{\text{mín}}^{2} = g r = 9{,}8$ , d'on $v_{\text{mín}} = 3{,}13\ \text{m/s}$ .
Tensió a 5 m/s. $T = m\,\dfrac{v^{2}}{r} - m g = 0{,}5\cdot\dfrac{25}{1} - 0{,}5\cdot 9{,}8 = 12{,}5 - 4{,}9 = 7{,}6\ \text{N}$
Parany. Al punt més alt el pes ajuda la tensió (tots dos van cap al centre, se sumen). Si la pilota anés més lenta que $v_{\text{mín}}$ , caldria una tensió negativa, cosa impossible, i la pilota cauria abans d'arribar dalt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un bloc de 8 kg es troba sobre un pla inclinat 37° (sin 37° = 0,6; cos 37° = 0,8). El coeficient de fregament entre el bloc i el pla és 0,25 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la component del pes paral·lela al pla, la normal i la força de fregament màxima.
b) Quina força paral·lela al pla cal fer per pujar el bloc a velocitat constant?
c) Quina força mínima paral·lela al pla cal fer per evitar que el bloc llisqui cap avall?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

P_x = 47{,}0\ \text{N}

;

N = 62{,}7\ \text{N}

;

F_{f,\text{màx}} = 15{,}7\ \text{N}

Resolució

Dades. $m = 8\ \text{kg}$ , $\sin 37^\circ = 0{,}6$ , $\cos 37^\circ = 0{,}8$ , $\mu = 0{,}25$ .
Components del pes i normal. $P_x = m g\sin 37^\circ = 8\cdot 9{,}8\cdot 0{,}6 = 47{,}04\ \text{N}$ ; perpendicularment al pla no hi ha acceleració, $N = m g\cos 37^\circ = 8\cdot 9{,}8\cdot 0{,}8 = 62{,}72\ \text{N}$ .
Fregament màxim. $F_{f,\text{màx}} = \mu N = 0{,}25\cdot 62{,}72 = 15{,}68\ \text{N}$ .

Apartat b)

Resultat

F = 62{,}7\ \text{N}

paral·lela al pla i cap amunt.

Resolució

Plantejament. A velocitat constant, a = 0 (primera llei de Newton). En pujar, el fregament s'oposa al moviment i apunta cap avall del pla.
Càlcul. $F = P_x + F_f = 47{,}04 + 15{,}68 = 62{,}72\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

F_{\text{mín}} = 31{,}4\ \text{N}

paral·lela al pla i cap amunt.

Resolució

Plantejament. Si el bloc tendeix a lliscar cap avall, el fregament apunta cap amunt del pla i ajuda a aguantar-lo; la força mínima és quan el fregament estàtic arriba al màxim.
Càlcul. $F_{\text{mín}} = P_x - F_{f,\text{màx}} = 47{,}04 - 15{,}68 = 31{,}36\ \text{N}$ .
Interpretació. Qualsevol força entre 31,36 N i 62,72 N manté el bloc en repòs: el fregament estàtic s'adapta al valor que cal. Error típic: posar el fregament sempre cap avall; el seu sentit és contrari al moviment (o a la tendència al moviment).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un bloc de 4 kg es troba sobre un pla inclinat 30° sense fregament i està unit, per una corda que passa per una politja situada al vèrtex superior del pla, a un cos de 3 kg que penja verticalment. Raona en quin sentit es mourà el sistema si es deixa anar des del repòs i calcula l'acceleració i la tensió de la corda (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Pla inclinat de 30° sense fregament amb un bloc de 4 kg unit per una corda, que passa per una politja al vèrtex superior, a un cos penjat de 3 kg

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

El cos penjant baixa i el bloc puja pel pla;

a = 1{,}4\ \text{m/s}^{2}

;

T = 25{,}2\ \text{N}

Resolució

Sentit del moviment. Compares les forces que estiren la corda a banda i banda: el cos penjant tira amb el seu pes, $3\cdot 9{,}8 = 29{,}4\ \text{N}$ ; el bloc del pla tira cap avall del pla amb $P_x = 4\cdot 9{,}8\cdot\sin 30^\circ = 19{,}6\ \text{N}$ . Com que 29,4 N > 19,6 N, el cos penjant baixa i el bloc puja pel pla.
Segona llei de Newton a cada cos. Cos penjant: $29{,}4 - T = 3a$ . Bloc: $T - 19{,}6 = 4a$ .
Acceleració. Sumes les dues equacions: $29{,}4 - 19{,}6 = 7a \;\Rightarrow\; a = \dfrac{9{,}8}{7} = 1{,}4\ \text{m/s}^{2}$
Tensió. $T = 29{,}4 - 3\cdot 1{,}4 = 25{,}2\ \text{N}$ .
Comprovació. Amb el bloc: 25,2 − 19,6 = 5,6 N = 4 · 1,4. Correcte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una bola de 0,5 kg lligada a un fil d'1,2 m descriu un moviment circular uniforme en un pla horitzontal, de manera que el fil forma un angle constant de 30° amb la vertical (pèndol cònic). Calcula la tensió del fil, el radi de la circumferència, la velocitat de la bola i el període del moviment (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

T = 5{,}66\ \text{N}

;

r = 0{,}60\ \text{m}

;

v = 1{,}84\ \text{m/s}

; període

2{,}05\ \text{s}

Resolució

Forces. Sobre la bola actuen el pes i la tensió. Descompons la tensió: la component vertical equilibra el pes i la component horitzontal fa de força centrípeta ( $m = 0{,}5\ \text{kg}$ , $L = 1{,}2\ \text{m}$ , $\theta = 30^\circ$ ).
Equilibri vertical. $T\cos 30^\circ = m g$ , d'on $T = \dfrac{0{,}5\cdot 9{,}8}{0{,}866} = 5{,}66\ \text{N}$ .
Radi. $r = L\sin 30^\circ = 1{,}2\cdot 0{,}5 = 0{,}6\ \text{m}$ .
Dinàmica horitzontal. $T\sin 30^\circ = m\,\dfrac{v^{2}}{r}$ : $v^{2} = \dfrac{T\sin 30^\circ\cdot r}{m} = \dfrac{5{,}66\cdot 0{,}5\cdot 0{,}6}{0{,}5} = 3{,}39 \;\Rightarrow\; v = 1{,}84\ \text{m/s}$
Període. $T_{\text{per}} = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\cdot 0{,}6}{1{,}84} = 2{,}05\ \text{s}$ .
Comprovació. Dividint les dues equacions, $v = \sqrt{g\,r\operatorname{tg} 30^\circ} = \sqrt{9{,}8\cdot 0{,}6\cdot 0{,}577} = 1{,}84\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un canó de 500 kg, inicialment en repòs sobre una superfície horitzontal, dispara horitzontalment un projectil de 5 kg a 300 m/s.
a) Calcula la velocitat de retrocés del canó.
b) Si el fregament amb el terra atura el canó després de recórrer 1,5 m, calcula la força de fregament mitjana i el temps que triga a aturar-se.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

V = -3\ \text{m/s}

: el canó retrocedeix a 3 m/s en sentit contrari al projectil.

Resolució

Principi. Durant el tret només actuen forces internes en la direcció horitzontal: es conserva la quantitat de moviment.
Càlcul. Abans, $p = 0$ . Després: $0 = 5\cdot 300 + 500\cdot V \;\Rightarrow\; V = -\dfrac{1500}{500} = -3\ \text{m/s}$
Interpretació. El signe negatiu indica que el canó es mou en sentit contrari al projectil.

Apartat b)

Resultat

F_f = 1{,}5\cdot10^{3}\ \text{N}

(oposada al retrocés);

t = 1{,}0\ \text{s}

Resolució

Desacceleració (MRUA). El canó frena de 3 m/s a 0 en 1,5 m: $v^{2} = v_0^{2} + 2 a d$ , $0 = 9 + 3a$ , d'on $a = -3\ \text{m/s}^{2}$ .
Segona llei de Newton. $F_f = m\,|a| = 500\cdot 3 = 1500\ \text{N}$ , en sentit contrari al retrocés.
Temps. $t = \dfrac{v_0}{|a|} = \dfrac{3}{3} = 1\ \text{s}$ .
Error típic. Aplicar la conservació de la quantitat de moviment també durant la frenada; aquí hi ha una força externa (el fregament) i p ja no es conserva.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Una passarel·la horitzontal homogènia de 6 m de llargada i 20 kg de massa descansa sobre dos suports, A i B, situats a 1 m de cada extrem. Una persona de 60 kg s'atura a 2 m de l'extrem més proper al suport A. Calcula la força que fa cada suport sobre la passarel·la (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

F_A = 539\ \text{N}

;

F_B = 245\ \text{N}

(totes dues cap amunt).

Resolució

Dades i origen. Prens l'origen a l'extrem proper a A: el suport A és a x = 1 m, el B a x = 5 m, la persona a x = 2 m i el pes de la passarel·la (homogènia) actua al centre, x = 3 m. Pesos: passarel·la $P_b = 20\cdot 9{,}8 = 196\ \text{N}$ ; persona $P_p = 60\cdot 9{,}8 = 588\ \text{N}$ .
Equilibri de translació. $F_A + F_B = 196 + 588 = 784\ \text{N}$ .
Moments respecte del suport A (així $F_A$ no hi apareix): $F_B\cdot 4 = 588\cdot 1 + 196\cdot 2 = 980 \;\Rightarrow\; F_B = 245\ \text{N}$ i, per tant, $F_A = 784 - 245 = 539\ \text{N}$ .
Comprovació. Moments respecte de B: $F_A\cdot 4 = 588\cdot 3 + 196\cdot 2 = 2156$ , d'on $F_A = 539\ \text{N}$ . El suport més proper a la persona aguanta més càrrega, com era d'esperar.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Mart té una massa de 6,4· $10^{23}$ kg i un radi de 3400 km (G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²).
a) Calcula l'acceleració de la gravetat a la superfície de Mart.
b) Quin pes tindria un ròver de 900 kg a Mart? I a la Terra (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ )?
c) A quina altura sobre la superfície de Mart la gravetat es redueix a la meitat del valor que té a la superfície?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

g_M = 3{,}69\ \text{m/s}^{2}

(uns 0,38 g terrestres).

Resolució

Llei de la gravitació universal. A la superfície, el pes és la força gravitatòria: $m g_M = \dfrac{G M m}{R^{2}}$ , d'on $g_M = \dfrac{G M}{R^{2}}$ .
Càlcul. Amb el radi en metres ( $R = 3{,}4\cdot10^{6}\ \text{m}$ ): $g_M = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6{,}4\cdot10^{23}}{(3{,}4\cdot10^{6})^{2}} = 3{,}69\ \text{m/s}^{2}$ Error típic: posar el radi en km dins la fórmula.

Apartat b)

Resultat

A Mart,

P \approx 3{,}3\cdot10^{3}\ \text{N}

(3323 N); a la Terra,

P = 8820\ \text{N}

Resolució

Pes. $P = m g$ . A Mart: $P = 900\cdot 3{,}69 \approx 3323\ \text{N}$ . A la Terra: $P = 900\cdot 9{,}8 = 8820\ \text{N}$ .
Conclusió. La massa és la mateixa, 900 kg, en tots dos llocs; el que canvia és el pes.

Apartat c)

Resultat

h = R(\sqrt{2} - 1) \approx 1{,}41\cdot10^{6}\ \text{m} = 1408\ \text{km}

Resolució

Gravetat a una altura h. $g(h) = \dfrac{G M}{(R + h)^{2}}$ . Imposes $g(h) = g_M/2$ .
Càlcul. $\dfrac{R^{2}}{(R + h)^{2}} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; R + h = R\sqrt{2} \;\Rightarrow\; h = R(\sqrt{2} - 1) = 3400\cdot 0{,}414 = 1408\ \text{km}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Un bloc de 2,0 kg descansa sobre un altre de 6,0 kg, que es mou sobre una taula sense fregament. El coeficient de fregament entre els dos blocs és μ = 0,40 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). Una força horitzontal F actua sobre el bloc inferior.
a) Quina és la força màxima F perquè el bloc de dalt no llisqui sobre el de baix?
b) Si F = 50 N, calcula l'acceleració de cada bloc.
c) En el cas b), el bloc de dalt és a 0,50 m de l'extrem posterior del de baix. Quant triga a caure'n?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

F_{\text{màx}} = 31{,}4\ \text{N}

Resolució

Bloc de dalt. L'única força horitzontal que hi actua és el fregament, que com a màxim val $\mu m_1 g = 0{,}40\cdot 2{,}0\cdot 9{,}8 = 7{,}84\ \text{N}$ . Això li permet una acceleració màxima $a = \mu g = 3{,}92\ \text{m/s}^{2}$ .
Conjunt. Si tots dos van junts amb aquesta acceleració: $F_{\text{màx}} = (m_1 + m_2)\,a = 8{,}0\cdot 3{,}92 = 31{,}4\ \text{N}$ .
Error típic. Aplicar la força F al bloc de dalt; aquí actua sobre el de baix, i el bloc de dalt només es mou pel fregament.

Apartat b)

Resultat

Dalt:

a_1 = 3{,}92\ \text{m/s}^{2}

; baix:

a_2 = 7{,}03\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Llisquen. 50 N > 31,4 N, així que el bloc de dalt llisca (es pren el mateix μ per al fregament cinètic).
Bloc de dalt. Només el fregament: $a_1 = \mu g = 3{,}92\ \text{m/s}^{2}$ .
Bloc de baix. Rep F i el fregament en sentit contrari (tercera llei): $a_2 = \dfrac{50 - 7{,}84}{6{,}0} = 7{,}03\ \text{m/s}^{2}$

Apartat c)

Resultat

t = 0{,}57\ \text{s}

Resolució

Acceleració relativa. $a_{\text{rel}} = 7{,}03 - 3{,}92 = 3{,}11\ \text{m/s}^{2}$ : el de dalt retrocedeix respecte del de baix.
MRUA relatiu des del repòs. $0{,}50 = \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}11\cdot t^{2}$ , d'on $t = 0{,}57\ \text{s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Un revolt de 100 m de radi està peraltat 10° respecte de l'horitzontal (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la velocitat a la qual un cotxe el pot prendre sense necessitat de fregament.
b) Si el coeficient de fregament pneumàtic-asfalt és μ = 0,30, quina és la velocitat màxima segura? (Pista: N·cos θ - μN·sin θ = mg i N·sin θ + μN·cos θ = mv²/R.)
c) Quina és la velocitat mínima a la qual el cotxe no llisca cap a l'interior del revolt?
d) Compara la velocitat màxima del cas b) amb la d'un revolt pla amb el mateix μ.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

v = 13{,}1\ \text{m/s} \approx 47{,}3\ \text{km/h}

Resolució

Dades. $R = 100\ \text{m}$ , peralt $\theta = 10^\circ$ ( $\operatorname{tg}\theta = 0{,}176$ ), sense fregament.
Dinàmica del revolt. La component horitzontal de la normal fa de força centrípeta i la vertical equilibra el pes: $N\sin\theta = m v^{2}/R$ i $N\cos\theta = m g$ .
Càlcul. Dividint: $v = \sqrt{g R\operatorname{tg}\theta} = \sqrt{9{,}8\cdot 100\cdot 0{,}176} = 13{,}1\ \text{m/s}\ (47{,}3\ \text{km/h})$

Apartat b)

Resultat

v_{\text{màx}} = 22{,}2\ \text{m/s} \approx 79{,}9\ \text{km/h}

Resolució

Plantejament. A la velocitat màxima el fregament apunta cap avall del pendent (cap a l'interior): $N\cos\theta - \mu N\sin\theta = m g$ i $N\sin\theta + \mu N\cos\theta = m v^{2}/R$ .
Càlcul. Dividint les dues equacions: $v^{2} = g R\,\dfrac{\operatorname{tg}\theta + \mu}{1 - \mu\operatorname{tg}\theta} = 980\cdot\dfrac{0{,}476}{0{,}947} = 493\ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}$ d'on $v_{\text{màx}} = 22{,}2\ \text{m/s} = 79{,}9\ \text{km/h}$ .

Apartat c)

Resultat

No hi ha velocitat mínima: com que μ > tg θ, el cotxe es pot quedar aturat al revolt sense lliscar.

Resolució

Plantejament. Per a la velocitat mínima el fregament apunta cap amunt del pendent: $v^{2} = g R\,\dfrac{\operatorname{tg}\theta - \mu}{1 + \mu\operatorname{tg}\theta}$
Conclusió. Com que $\operatorname{tg}\theta = 0{,}176 \lt \mu = 0{,}30$ , el numerador és negatiu: no hi ha cap velocitat mínima, el fregament ja és capaç d'aguantar el cotxe fins i tot aturat.

Apartat d)

Resultat

Revolt pla:

v_{\text{màx}} = 17{,}1\ \text{m/s} \approx 61{,}7\ \text{km/h}

; el peralt permet un 30 % més (79,9 km/h).

Resolució

Revolt pla. Només el fregament fa de centrípeta: $\mu m g = m v^{2}/R$ , d'on $v = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{0{,}30\cdot 9{,}8\cdot 100} = 17{,}1\ \text{m/s} = 61{,}7\ \text{km/h}$ .
Comparació. 79,9 / 61,7 ≈ 1,30: amb el peralt el cotxe pot anar un 30 % més de pressa, perquè la normal també contribueix a la força centrípeta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Dos blocs, $m_{1}$ = 5,0 kg i $m_{2}$ = 4,0 kg, reposen sobre dos plans inclinats units pel vèrtex, de 30° i 60° respectivament. Estan units per una corda inextensible i de massa negligible que passa per una politja ideal al vèrtex (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula l'acceleració i la tensió si no hi ha fregament, i digues cap a on es mouen.
b) Repeteix-ho amb un coeficient de fregament cinètic μ = 0,10 en tots dos plans.
c) Quin valor mínim de μ (el mateix en els dos plans) manté els blocs en repòs?
d) Amb el fregament de l'apartat b), quina velocitat porta el sistema després de recórrer 2,0 m des del repòs?

Dos plans inclinats de 30° i 60° units pel vèrtex, amb blocs m1 de 5,0 kg i m2 de 4,0 kg units per una corda que passa per una politja al vèrtex

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

m_2

baixa pel pla de 60° i

m_1

puja pel de 30°;

a = 1{,}05\ \text{m/s}^{2}

;

T = 29{,}7\ \text{N}

Resolució

Sentit del moviment. La component del pes que arrossega cada bloc és $m g\sin\alpha$ : $m_1$ : $5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 24{,}5\ \text{N}$ ; $m_2$ : $4\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 33{,}9\ \text{N}$ . Guanya $m_2$ .
Segona llei de Newton al sistema. $a = \dfrac{33{,}9 - 24{,}5}{5 + 4} = 1{,}05\ \text{m/s}^{2}$
Tensió. Amb $m_1$ : $T = 5\cdot(1{,}05 + 4{,}9) = 29{,}7\ \text{N}$ . Comprovació amb $m_2$ : $33{,}9 - 4\cdot 1{,}05 = 29{,}7\ \text{N}$ . Error típic: oblidar que la tensió ha de ser la mateixa a tots dos costats de la politja ideal.

Apartat b)

Resultat

a = 0{,}36\ \text{m/s}^{2}

;

T = 30{,}5\ \text{N}

Resolució

Fregaments. $\mu m_1 g\cos 30^\circ = 0{,}10\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 4{,}24\ \text{N}$ i $\mu m_2 g\cos 60^\circ = 0{,}10\cdot 4\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 1{,}96\ \text{N}$ , tots dos oposats al moviment.
Acceleració. $a = \dfrac{33{,}9 - 24{,}5 - 4{,}24 - 1{,}96}{9} = 0{,}36\ \text{m/s}^{2}$
Tensió. $T = m_1\,(a + g\sin 30^\circ + \mu g\cos 30^\circ) = 5\cdot(0{,}36 + 4{,}9 + 0{,}85) = 30{,}5\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

\mu_{\text{mín}} = 0{,}15

Resolució

Condició de repòs. La força neta motriu, $33{,}9 - 24{,}5 = 9{,}45\ \text{N}$ , no ha de superar el fregament estàtic màxim total, $\mu g\,(m_1\cos 30^\circ + m_2\cos 60^\circ) = \mu\cdot 62{,}0\ \text{N}$ .
Càlcul. $\mu_{\text{mín}} = \dfrac{9{,}45}{62{,}0} = 0{,}15$ .

Apartat d)

Resultat

v = 1{,}2\ \text{m/s}

Resolució

MRUA des del repòs. Amb $a = 0{,}36\ \text{m/s}^{2}$ i $d = 2{,}0\ \text{m}$ : $v^{2} = 2 a d$ .
Càlcul. $v = \sqrt{2\cdot 0{,}36\cdot 2{,}0} = 1{,}2\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Un pèndol balístic consisteix en un bloc de 2,00 kg penjat d'un fil de 1,50 m. S'hi dispara horitzontalment una bala de 10,0 g que s'hi queda incrustada, i el conjunt s'eleva 20,0 cm per sobre de la posició d'equilibri (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quina és la velocitat del conjunt just després de l'impacte?
b) Quina era la velocitat de la bala?
c) Quina fracció de l'energia cinètica inicial s'ha dissipat?
d) Quin és l'angle màxim que forma el fil amb la vertical?
e) Quina tensió té el fil just després de l'impacte?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

V = 1{,}98\ \text{m/s}

Resolució

Després de l'impacte. Només treballa el pes (la tensió és perpendicular a la trajectòria i no fa treball): es conserva l'energia mecànica del conjunt.
Càlcul. $\tfrac{1}{2}(m + M)V^{2} = (m + M)\,g h$ , d'on $V = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}200} = 1{,}98\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

v = 398\ \text{m/s}

Resolució

Durant l'impacte. Es conserva la quantitat de moviment (però no l'energia).
Càlcul. $m v = (m + M)\,V$ : $v = \dfrac{2{,}01\cdot 1{,}98}{0{,}0100} = 398\ \text{m/s}$
Error típic. Aplicar la conservació de l'energia mecànica a tot el procés, fins i tot a l'impacte.

Apartat c)

Resultat

Es dissipa el 99,5 % de l'energia cinètica inicial.

Resolució

Energies. $E_{c,i} = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}0100\cdot 398^{2} = 792\ \text{J}$ ; $E_{c,f} = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}01\cdot 1{,}98^{2} = 3{,}94\ \text{J}$ .
Fracció. $1 - \dfrac{3{,}94}{792} = 0{,}995$ (equivalentment, $\tfrac{M}{m + M}$ ). El xoc és totalment inelàstic: la majoria de l'energia es converteix en calor i deformació.

Apartat d)

Resultat

\theta = 29{,}9^\circ

Resolució

Geometria. Si el fil fa $L = 1{,}50\ \text{m}$ i el bloc puja $h = 0{,}200\ \text{m}$ : $\cos\theta = \dfrac{L - h}{L}$ .
Càlcul. $\cos\theta = \dfrac{1{,}30}{1{,}50} = 0{,}867$ , d'on $\theta = 29{,}9^\circ$ .

Apartat e)

Resultat

T = 25{,}0\ \text{N}

(més que el pes, 19,7 N).

Resolució

Moviment circular a la posició més baixa. $T - (m + M)\,g = (m + M)\,\dfrac{V^{2}}{L}$ .
Càlcul. $T = 2{,}01\cdot\left(9{,}8 + \dfrac{3{,}92}{1{,}50}\right) = 2{,}01\cdot 12{,}4 = 25{,}0\ \text{N}$ La tensió supera el pes perquè ha de proporcionar també la força centrípeta.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un camió que va a 90 km/h porta una caixa sobre la plataforma, sense subjectar. El coeficient de fregament entre la caixa i la plataforma és μ = 0,35 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quina és la màxima desacceleració del camió perquè la caixa no llisqui? Quina és la distància mínima de frenada del camió en aquestes condicions?
b) Si el camió frena amb 4,0 $\text{m/s}^{2}$ , calcula l'acceleració de la caixa respecte del terra i respecte del camió.
c) La caixa és a 1,50 m de la paret de la cabina. Quant triga a xocar-hi i amb quina velocitat relativa?
d) Quina velocitat porta el camió en aquest instant?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

a_{\text{màx}} = 3{,}43\ \text{m/s}^{2}

; distància mínima de frenada

d = 91{,}1\ \text{m}

Resolució

Plantejament. El fregament estàtic és l'única força horitzontal sobre la caixa; com a màxim val $\mu m g$ , així que la caixa pot frenar com a molt amb $a = \mu g$ .
Càlcul. $a_{\text{màx}} = 0{,}35\cdot 9{,}8 = 3{,}43\ \text{m/s}^{2}$ . Amb $v = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$ : $d = \dfrac{v^{2}}{2a} = \dfrac{625}{6{,}86} = 91{,}1\ \text{m}$

Apartat b)

Resultat

Respecte del terra,

a_{\text{caixa}} = -3{,}43\ \text{m/s}^{2}

; respecte del camió,

+0{,}57\ \text{m/s}^{2}

(cap a la cabina).

Resolució

La caixa llisca. 4,0 > 3,43, de manera que el fregament no pot frenar la caixa tant com el camió; només el fregament cinètic la frena (es pren el mateix μ).
Respecte del terra. $a_{\text{caixa}} = -\mu g = -3{,}43\ \text{m/s}^{2}$ , menys que la del camió ( $-4{,}0\ \text{m/s}^{2}$ ).
Respecte del camió. $a_{\text{rel}} = -3{,}43 - (-4{,}0) = +0{,}57\ \text{m/s}^{2}$ : la caixa avança cap a la cabina.

Apartat c)

Resultat

t = 2{,}29\ \text{s}

; velocitat relativa

1{,}31\ \text{m/s}

Resolució

MRUA relatiu. Respecte del camió la caixa parteix del repòs: $1{,}50 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}57\cdot t^{2}$ , d'on $t = 2{,}29\ \text{s}$ .
Velocitat relativa. $v_{\text{rel}} = 0{,}57\cdot 2{,}29 = 1{,}31\ \text{m/s}$ .

Apartat d)

Resultat

v_{\text{camió}} = 15{,}8\ \text{m/s} \approx 57\ \text{km/h}

Resolució

Càlcul. $v = 25 - 4{,}0\cdot 2{,}29 = 15{,}8\ \text{m/s}$ (57 km/h).
Comprovació. El camió s'atura en 25/4,0 = 6,25 s, així que en aquell instant encara es mou.
Conclusió. Cal una frenada més suau (≤ 3,43 m/s²) o subjectar la càrrega: la caixa no és «empesa» endavant, simplement frena menys que el camió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una granada de 6,0 kg, en repòs, explota en tres fragments. Un de 1,0 kg surt a 30 m/s cap a l'est i un de 2,0 kg surt a 20 m/s cap al nord. Negligeix el pes durant l'explosió.
a) Calcula la velocitat (mòdul i direcció) del tercer fragment, de 3,0 kg.
b) Quina energia s'ha alliberat en l'explosió?
c) Quina és la velocitat del centre de masses just després? Raona-ho sense càlculs.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

v_3 = 16{,}7\ \text{m/s}

, cap al sud-oest, a 53,1° de l'oest cap al sud.

Resolució

Conservació de la quantitat de moviment. La granada és en repòs i les forces de l'explosió són internes: la quantitat de moviment total abans i després és zero.
Dades. $\vec p_1 = 1{,}0\cdot 30 = 30\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ cap a l'est; $\vec p_2 = 2{,}0\cdot 20 = 40\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ cap al nord.
Tercer fragment. $\vec p_3 = -(\vec p_1 + \vec p_2) = (-30,\ -40)\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ (est, nord), de mòdul $\sqrt{30^{2} + 40^{2}} = 50\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Per tant $v_3 = \dfrac{50}{3{,}0} = 16{,}7\ \text{m/s}$ .
Direcció. Cap al sud-oest, formant un angle $\operatorname{arctg}\tfrac{40}{30} = 53{,}1^\circ$ amb l'oest, cap al sud. Error típic: sumar els mòduls de les velocitats en lloc de treballar amb vectors.

Apartat b)

Resultat

E \approx 1{,}27\cdot10^{3}\ \text{J}

(uns 1,3 kJ).

Resolució

Energia alliberada. Inicialment l'energia cinètica és zero; tota l'energia cinètica final prové de l'energia química de l'explosiu.
Càlcul. $E = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0\cdot 30^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot 20^{2} + \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 16{,}7^{2} = 450 + 400 + 417 = 1267\ \text{J}$

Apartat c)

Resultat

El centre de masses continua en repòs (velocitat nul·la).

Resolució

Raonament. La velocitat del centre de masses és $\vec v_{CM} = \vec p_{\text{total}}/M$ . Les forces de l'explosió són internes i no canvien la quantitat de moviment total: 0 abans i 0 després.
Observació. Si es té en compte el pes, el centre de masses cau com un cos de 6 kg.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una biga horitzontal uniforme de 20 kg i 3,0 m de longitud està articulada a una paret per un extrem. L'altre extrem es subjecta amb un cable que va a un punt de la paret situat 4,0 m per sobre de l'articulació. De l'extrem lliure penja una càrrega de 40 kg (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la tensió del cable (planteja el balanç de moments respecte de l'articulació).
b) Calcula les components horitzontal i vertical de la força que fa l'articulació sobre la biga, i el seu mòdul.
c) Si el cable només suporta 800 N, quina és la càrrega màxima que es pot penjar?

Biga horitzontal de 3,0 m i 20 kg articulada a una paret, amb un cable fins a 4,0 m per sobre de l'articulació i una càrrega de 40 kg penjada a l'extrem

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

T = 612{,}5\ \text{N} \approx 613\ \text{N}

Resolució

Geometria. El cable va de l'extrem de la biga (3,0 m) a un punt 4,0 m per sobre de l'articulació: fa 5,0 m i forma amb la biga un angle $\alpha$ amb $\operatorname{tg}\alpha = 4/3$ , $\sin\alpha = 0{,}8$ , $\cos\alpha = 0{,}6$ .
Moments respecte de l'articulació (així la força desconeguda de l'articulació no hi apareix). El pes de la biga actua al centre (1,5 m): $T\sin\alpha\cdot 3{,}0 = 20\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 + 40\cdot 9{,}8\cdot 3{,}0 = 294 + 1176 = 1470\ \text{N}\cdot\text{m}$
Càlcul. $T = \dfrac{1470}{0{,}8\cdot 3{,}0} = 612{,}5\ \text{N}$ . Error típic: oblidar el pes de la biga, que actua al centre (1,5 m) i no a l'extrem.

Apartat b)

Resultat

H = 367{,}5\ \text{N}

(cap a fora de la paret);

V = 98\ \text{N}

(cap amunt); mòdul

380\ \text{N}

, a 14,9° per sobre de l'horitzontal.

Resolució

Equilibri horitzontal. $H = T\cos\alpha = 612{,}5\cdot 0{,}6 = 367{,}5\ \text{N}$ , en sentit contrari a la component horitzontal del cable, és a dir, cap a fora de la paret.
Equilibri vertical. $V = (20 + 40)\cdot 9{,}8 - T\sin\alpha = 588 - 490 = 98\ \text{N}$ , cap amunt.
Mòdul i direcció. $R = \sqrt{367{,}5^{2} + 98^{2}} = 380\ \text{N}$ , amb $\operatorname{arctg}\tfrac{98}{367{,}5} = 14{,}9^\circ$ per sobre de l'horitzontal.

Apartat c)

Resultat

m_{\text{màx}} = 55{,}3\ \text{kg}

Resolució

Plantejament. Repeteixes l'equació de moments amb $T = 800\ \text{N}$ i la càrrega m com a incògnita.
Càlcul. $800\cdot 0{,}8\cdot 3{,}0 = 294 + m\cdot 9{,}8\cdot 3{,}0 \;\Rightarrow\; 1920 = 294 + 29{,}4\,m \;\Rightarrow\; m = 55{,}3\ \text{kg}$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un cotxe de 1200 kg passa per la part més alta d'un pont convex (un tros d'arc de 40 m de radi) i després per la part més baixa d'una depressió còncava del mateix radi (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) A 54 km/h, quina és la força normal que fa el terra sobre el cotxe al cim del pont i al fons de la depressió? Compara-les amb el pes.
b) A quina velocitat el cotxe perd el contacte amb el pont?
c) Quin percentatge del pes aparent «sent» un passatger de 70 kg al cim a 54 km/h?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

Al cim,

N = 5{,}01\cdot10^{3}\ \text{N}

(el 43 % del pes); al fons,

N = 1{,}85\cdot10^{4}\ \text{N}

(1,57 vegades el pes, 11 760 N).

Resolució

Dades. 54 km/h = 15 m/s; $v^{2}/R = 225/40 = 5{,}63\ \text{m/s}^{2}$ ; pes $m g = 1200\cdot 9{,}8 = 11\,760\ \text{N}$ .
Al cim (la resultant apunta cap al centre, cap avall): $m g - N = m v^{2}/R$ , d'on $N = 1200\cdot(9{,}8 - 5{,}63) = 5010\ \text{N}$ .
Al fons (la resultant apunta cap amunt): $N - m g = m v^{2}/R$ , d'on $N = 1200\cdot(9{,}8 + 5{,}63) = 18\,510\ \text{N}$ .
Comparació. Al cim N < mg i al fons N > mg sempre; la velocitat només determina quina és la diferència.

Apartat b)

Resultat

v = 19{,}8\ \text{m/s} \approx 71{,}3\ \text{km/h}

Resolució

Condició. Perd el contacte quan $N = 0$ al cim: el pes tot sol fa de centrípeta, $g = v^{2}/R$ .
Càlcul. $v = \sqrt{g R} = \sqrt{9{,}8\cdot 40} = 19{,}8\ \text{m/s} = 71{,}3\ \text{km/h}$ .

Apartat c)

Resultat

Sent el 43 % del seu pes.

Resolució

Normal sobre el passatger. $N = 70\cdot(9{,}8 - 5{,}63) = 292\ \text{N}$ , davant d'un pes de $70\cdot 9{,}8 = 686\ \text{N}$ .
Percentatge. $\dfrac{292}{686} = 0{,}43$ : el pes aparent és el 43 % del real (el mateix percentatge que per al cotxe, perquè no depèn de la massa).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

En una pràctica es col·loca un bloc de fusta sobre un pla inclinat de superfície rugosa i es va augmentant lentament l'angle. El bloc comença a lliscar a 38°. A continuació, amb el pla fixat a 45°, es deixa anar el bloc des del repòs i es mesura que recorre 1,50 m en 1,20 s (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula el coeficient de fregament estàtic.
b) Calcula l'acceleració i el coeficient de fregament cinètic.
c) Quant triga a recórrer 1,50 m amb un pla de 60° (suposa el mateix μ cinètic)?
d) Comprova que $μ_{\mathrm{cinètic}}$ < $μ_{\mathrm{estàtic}}$ i explica per què això és el que s'espera. A quin angle es manté a velocitat constant un cop en moviment?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\mu_e = \operatorname{tg} 38^\circ = 0{,}78

Resolució

Plantejament. Quan el bloc comença a lliscar, la component del pes paral·lela al pla iguala el fregament estàtic màxim.
Càlcul. $m g\sin\theta = \mu_e\,m g\cos\theta$ , d'on $\mu_e = \operatorname{tg} 38^\circ = 0{,}78$ .

Apartat b)

Resultat

a = 2{,}08\ \text{m/s}^{2}

;

\mu_c = 0{,}70

Resolució

Acceleració (MRUA des del repòs). $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$ : $a = \dfrac{2\cdot 1{,}50}{1{,}20^{2}} = 2{,}08\ \text{m/s}^{2}$ .
Segona llei de Newton a 45°. $a = g\,(\sin\theta - \mu_c\cos\theta)$ , d'on $\mu_c = \dfrac{9{,}8\cdot 0{,}707 - 2{,}08}{9{,}8\cdot 0{,}707} = \dfrac{6{,}93 - 2{,}08}{6{,}93} = 0{,}70$
Error típic. Fer servir $\mu_e$ per calcular l'acceleració: un cop en moviment, el fregament és cinètic.

Apartat c)

Resultat

t = 0{,}77\ \text{s}

Resolució

Acceleració a 60°. $a = 9{,}8\cdot(0{,}866 - 0{,}70\cdot 0{,}5) = 5{,}06\ \text{m/s}^{2}$ .
Temps. $t = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}50}{5{,}06}} = 0{,}77\ \text{s}$ .

Apartat d)

Resultat

\mu_c = 0{,}70 \lt \mu_e = 0{,}78

, com s'espera; a velocitat constant cal

\theta = 35{,}0^\circ

Resolució

Comparació. 0,70 < 0,78: és el comportament habitual, perquè les microsoldadures entre superfícies en repòs s'estableixen millor que en moviment, i cal més força per «trencar-les» que per mantenir el lliscament.
Velocitat constant. Un cop en moviment, a = 0 si $\operatorname{tg}\theta = \mu_c = 0{,}70$ , és a dir, $\theta = 35{,}0^\circ$ ; per sota d'aquest angle el bloc frenaria fins aturar-se.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

S'estudia la distància de frenada d'un cotxe a 120 km/h en una carretera horitzontal amb frens al límit de lliscament (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). El coeficient de fregament pneumàtic-asfalt és 0,70 amb asfalt sec i 0,30 amb asfalt mullat.
a) Calcula la distància de frenada en sec i en mullat.
b) Afegeix un temps de reacció d'1,0 s i calcula la distància total d'aturada en cada cas.
c) En un tram de baixada del 5 % (tg θ = 0,05), calcula la distància de frenada en sec.
d) Quina velocitat màxima (en km/h) permet aturar-se en menys de 100 m, comptant la reacció d'1,0 s, en asfalt mullat? Compara-ho amb un límit de 120 km/h i escriu una conclusió breu per a un conductor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

En sec,

d = 81{,}0\ \text{m}

; en mullat,

d = 189\ \text{m}

Resolució

Dades. $v = 120/3{,}6 = 33{,}3\ \text{m/s}$ . Amb els frens al límit, el fregament és l'única força horitzontal: $a = \mu g$ i, per l'MRUA, $d = \dfrac{v^{2}}{2\mu g}$ .
Càlcul. Sec: $d = \dfrac{1111}{2\cdot 0{,}70\cdot 9{,}8} = 81{,}0\ \text{m}$ . Mullat: $d = \dfrac{1111}{2\cdot 0{,}30\cdot 9{,}8} = 189\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

Distància total:

114\ \text{m}

en sec i

222\ \text{m}

en mullat.

Resolució

Distància de reacció. Durant el temps de reacció el cotxe va a velocitat constant: 33,3 · 1,0 = 33,3 m.
Total. 81,0 + 33,3 = 114 m en sec i 189 + 33,3 = 222 m en mullat.

Apartat c)

Resultat

d = 87{,}3\ \text{m}

(un 8 % més que en pla).

Resolució

Segona llei de Newton en baixada. La component del pes ajuda el moviment: $a = g\,(\mu\cos\theta - \sin\theta)$ , amb $\cos\theta = 0{,}9988$ i $\sin\theta = 0{,}0499$ .
Càlcul. $a = 9{,}8\cdot(0{,}70\cdot 0{,}9988 - 0{,}0499) = 6{,}36\ \text{m/s}^{2}$ , $d = \dfrac{1111}{2\cdot 6{,}36} = 87{,}3\ \text{m}$ : un 8 % més que en pla (en pujada serien 75,7 m).

Apartat d)

Resultat

v_{\text{màx}} = 21{,}5\ \text{m/s} \approx 77\ \text{km/h}

, molt per sota de 120 km/h.

Resolució

Condició. $v\cdot 1{,}0 + \dfrac{v^{2}}{2\cdot 0{,}30\cdot 9{,}8} \le 100 \;\Rightarrow\; \dfrac{v^{2}}{5{,}88} + v - 100 = 0$
Càlcul. La solució positiva és $v = 21{,}5\ \text{m/s} = 77{,}4\ \text{km/h}$ . A 120 km/h caldrien 222 m: més del doble.
Conclusió per al conductor. En mullat, la distància de frenada es multiplica per 2,3 i la velocitat segura és força inferior al límit; com que d és proporcional a v², reduir la velocitat un 20 % redueix la frenada un 36 %.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Un bloc de 2,0 kg que va a 5,0 m/s xoca frontalment amb un altre de 3,0 kg en repòs sobre una superfície horitzontal sense fregament. Després, el bloc de 3,0 kg entra en una zona rugosa amb μ = 0,20 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Si el xoc és perfectament elàstic, calcula les velocitats després del xoc i comprova que es conserva l'energia cinètica.
b) A quina distància s'atura el bloc de 3,0 kg a la zona rugosa i en quant de temps?
c) Si el xoc fos parcialment elàstic, amb coeficient de restitució e = 0,50 ( $v_{2}$ ' − $v_{1}$ ' = e· $v_{1}$ ), calcula les velocitats finals i l'energia cinètica perduda.
d) Si la durada del xoc elàstic és de 10 ms, quina és la força mitjana sobre el bloc de 3,0 kg?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

v_1' = -1{,}0\ \text{m/s}

(rebota);

v_2' = 4{,}0\ \text{m/s}

;

E_c = 25\ \text{J}

abans i després.

Resolució

Xoc elàstic. Es conserven la quantitat de moviment i l'energia cinètica. Per a un blanc en repòs:
Càlcul. $v_1' = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v = \dfrac{2 - 3}{5}\cdot 5{,}0 = -1{,}0\ \text{m/s},\qquad v_2' = \dfrac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v = \dfrac{4}{5}\cdot 5{,}0 = 4{,}0\ \text{m/s}$
Comprovació. $p = 2\cdot 5 = 10 = 2\cdot(-1) + 3\cdot 4\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ ; $E_c = 25\ \text{J}$ abans i $\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 16 = 1 + 24 = 25\ \text{J}$ després.

Apartat b)

Resultat

d = 4{,}08\ \text{m}

;

t = 2{,}04\ \text{s}

Resolució

Desacceleració. A la zona rugosa només el fregament frena el bloc: $a = \mu g = 0{,}20\cdot 9{,}8 = 1{,}96\ \text{m/s}^{2}$ .
Càlcul (MRUA). $d = \dfrac{v^{2}}{2a} = \dfrac{16}{3{,}92} = 4{,}08\ \text{m}$ i $t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{4{,}0}{1{,}96} = 2{,}04\ \text{s}$ .

Apartat c)

Resultat

v_1' = 0{,}50\ \text{m/s}

;

v_2' = 3{,}0\ \text{m/s}

; es perden

11{,}25\ \text{J}

(45 %).

Resolució

Sistema. Conservació de la quantitat de moviment, $m_1 v_1' + m_2 v_2' = m_1 v$ , i restitució, $v_2' - v_1' = e\,v$ . Resolent: $v_1' = \dfrac{(m_1 - e\,m_2)\,v}{m_1 + m_2}$ , $v_2' = \dfrac{(1 + e)\,m_1 v}{m_1 + m_2}$ .
Càlcul. $v_1' = \dfrac{(2 - 1{,}5)\cdot 5}{5} = 0{,}50\ \text{m/s}$ , $v_2' = \dfrac{1{,}5\cdot 2\cdot 5}{5} = 3{,}0\ \text{m/s}$ . Comprovació: $2\cdot 0{,}5 + 3\cdot 3 = 10\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .
Energia perduda. $E_{c,f} = 0{,}25 + 13{,}5 = 13{,}75\ \text{J}$ ; es perden $25 - 13{,}75 = 11{,}25\ \text{J}$ (45 %). Error típic: aplicar la conservació de l'energia en un xoc inelàstic.

Apartat d)

Resultat

F_{\text{mitjana}} = 1{,}2\cdot10^{3}\ \text{N}

Resolució

Teorema de l'impuls. La força mitjana és la variació de la quantitat de moviment del bloc dividida per la durada del xoc.
Càlcul. $F = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{3{,}0\cdot 4{,}0}{0{,}010} = 1200\ \text{N}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Un coet de 500 kg (combustible inclòs) s'enlaira verticalment expulsant gasos a 2000 m/s respecte del coet a un ritme constant de 5,0 kg/s. Considera g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ constant i que l'empenta és F = u·(dm/dt), on u és la velocitat relativa dels gasos.
a) Calcula l'empenta i l'acceleració a t = 0, a t = 30 s i a t = 60 s.
b) Explica per què l'acceleració augmenta tot i que l'empenta és constant.
c) Per a una combustió de 60 s, utilitza l'equació de Tsiolkovsky amb gravetat, Δv = u·ln( $\tfrac{m_{0}}{m}$ ) − g·t, per calcular la velocitat final.
d) Compara-la amb la velocitat que s'obtindria suposant erròniament una acceleració constant igual a la inicial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

F = 1{,}0\cdot10^{4}\ \text{N}

constant;

a(0) = 10{,}2\ \text{m/s}^{2}

a(30\ \text{s}) = 18{,}8\ \text{m/s}^{2}

a(60\ \text{s}) = 40{,}2\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Empenta. $F = u\,\dfrac{dm}{dt} = 2000\cdot 5{,}0 = 10\,000\ \text{N}$ , constant.
Segona llei de Newton. La massa és $m = 500 - 5t$ i $a = \dfrac{F}{m} - g$ .
Càlcul. t = 0: m = 500 kg, $a = 20 - 9{,}8 = 10{,}2\ \text{m/s}^{2}$ . t = 30 s: m = 350 kg, $a = 28{,}6 - 9{,}8 = 18{,}8\ \text{m/s}^{2}$ . t = 60 s: m = 200 kg, $a = 50 - 9{,}8 = 40{,}2\ \text{m/s}^{2}$ .

Apartat b)

Resultat

Perquè el coet perd massa: amb la mateixa força, una massa més petita accelera més.

Resolució

Raonament. La força és la mateixa, però el coet perd massa (el combustible que crema i expulsa).
Conclusió. A $a = \tfrac{F}{m} - g$ , el terme $\tfrac{F}{m}$ creix quan m disminueix, i per tant l'acceleració augmenta.

Apartat c)

Resultat

\Delta v \approx 1{,}24\cdot10^{3}\ \text{m/s}

(1245 m/s).

Resolució

Dades. $m(60) = 500 - 300 = 200\ \text{kg}$ .
Equació de Tsiolkovsky amb gravetat. $\Delta v = 2000\cdot\ln\dfrac{500}{200} - 9{,}8\cdot 60 = 2000\cdot 0{,}916 - 588 = 1833 - 588 = 1245\ \text{m/s}$
Observació. Els gasos s'expulsen a 2000 m/s, però el coet arriba a 1245 m/s: la gravetat resta 588 m/s en 60 s.

Apartat d)

Resultat

Amb acceleració constant sortiria

612\ \text{m/s}

, aproximadament la meitat del valor real.

Resolució

Càlcul erroni. Amb $a = 10{,}2\ \text{m/s}^{2}$ constant: $v = 10{,}2\cdot 60 = 612\ \text{m/s}$ .
Comparació. És la meitat del valor real; la diferència és gran perquè l'acceleració es multiplica per quatre durant la combustió.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

En una atracció tipus «rotor», els usuaris es posen d'esquena a la paret d'un cilindre vertical de 2,5 m de radi que gira al voltant del seu eix. Quan el cilindre assoleix la velocitat adequada, el terra s'abaixa i la gent queda «enganxada» a la paret. El coeficient de fregament entre roba i paret és μ = 0,40 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Identifica les forces sobre una persona i escriu les equacions del seu equilibri vertical i del seu moviment circular.
b) Calcula la velocitat angular mínima (rad/s i rpm) i la velocitat lineal corresponent.
c) Quina és la força normal sobre una persona de 70 kg en aquest cas? Quants «g» sent?
d) Quina freqüència caldria si μ fos 0,20? Raona si és més segur un μ gran o petit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

Vertical:

F_r = m g

(amb

F_r \le \mu N

); horitzontal:

N = m\omega^{2}R

Resolució

Forces. Pes mg (cap avall), fregament estàtic F_r (cap amunt, al llarg de la paret) i normal N (horitzontal, cap a l'eix).
Equilibri vertical. $F_r = m g$ i, com que no ha de lliscar, $F_r \le \mu N$ .
Moviment circular. La normal fa de força centrípeta: $N = m\omega^{2}R$ .

Apartat b)

Resultat

\omega_{\text{mín}} = 3{,}13\ \text{rad/s} \approx 29{,}9\ \text{rpm}

;

v = 7{,}83\ \text{m/s} \approx 28{,}2\ \text{km/h}

Resolució

Condició límit. $\mu N = m g$ , és a dir, $\mu m\omega^{2}R = m g$ : $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{\mu R}} = \sqrt{\dfrac{9{,}8}{0{,}40\cdot 2{,}5}} = 3{,}13\ \text{rad/s}$
Unitats. $3{,}13\cdot\dfrac{60}{2\pi} = 29{,}9\ \text{rpm}$ (uns 30 rpm); $v = \omega R = 3{,}13\cdot 2{,}5 = 7{,}83\ \text{m/s} = 28{,}2\ \text{km/h}$ .
Observació. La massa no apareix al resultat: tothom queda enganxat a la mateixa velocitat angular.

Apartat c)

Resultat

N = 1715\ \text{N} \approx 1{,}7\cdot10^{3}\ \text{N}

; sent 2,5 g cap a la paret.

Resolució

Càlcul. A la velocitat mínima, $N = \dfrac{m g}{\mu} = \dfrac{70\cdot 9{,}8}{0{,}40} = 1715\ \text{N}$ .
Interpretació. $\dfrac{N}{m g} = \dfrac{1}{\mu} = 2{,}5$ : la normal és el doble i mig del pes, i la persona nota 2,5 g cap a la paret.

Apartat d)

Resultat

Amb

\mu = 0{,}20

\omega = 4{,}43\ \text{rad/s} \approx 42{,}3\ \text{rpm}

; és més segur un μ gran.

Resolució

Càlcul. $\omega = \sqrt{\dfrac{9{,}8}{0{,}20\cdot 2{,}5}} = 4{,}43\ \text{rad/s} = 42{,}3\ \text{rpm}$ .
Raonament. Un μ més gran permet girar més lent, amb menys força normal sobre els usuaris i més marge abans que llisquin; la massa no hi intervé.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Una locomotora de 40 t arrossega tres vagons de 20 t, 10 t i 10 t, enganxats en sèrie (el de 20 t és el primer després de la locomotora). La força de tracció de la locomotora sobre les vies és 80 kN i cada element tindrà una resistència al rodolament igual al 2,0 % del seu pes (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula l'acceleració del tren.
b) Calcula la tensió de cada acoblament.
c) Si l'acoblament locomotora-vagó només aguanta 60 kN, quina és la tracció màxima que pot fer la locomotora i quina acceleració dona?
d) Raona per què la tensió disminueix a mesura que et mous cap al final del tren.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

a = 0{,}804\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Dades. Massa total $M = 40 + 20 + 10 + 10 = 80\ \text{t} = 80\,000\ \text{kg}$ ; resistència total $0{,}020\cdot 80\,000\cdot 9{,}8 = 15\,680\ \text{N}$ ; tracció 80 kN.
Segona llei de Newton al tren. $a = \dfrac{80\,000 - 15\,680}{80\,000} = 0{,}804\ \text{m/s}^{2}$

Apartat b)

Resultat

T_1 = 40{,}0\ \text{kN}

(locomotora-vagó 1);

T_2 = 20{,}0\ \text{kN}

;

T_3 = 10{,}0\ \text{kN}

Resolució

Plantejament. Cada acoblament arrossega tots els vagons que té darrere, amb la seva resistència: $T = M_{\text{darrere}}\,(a + 0{,}020\,g)$ , amb $a + 0{,}020\,g = 0{,}804 + 0{,}196 = 1{,}000\ \text{m/s}^{2}$ .
Càlcul. Locomotora-vagó 1 (arrossega 40 t): $T_1 = 40\,000\cdot 1{,}000 = 40{,}0\ \text{kN}$ . Vagó 1-vagó 2 (20 t): $T_2 = 20{,}0\ \text{kN}$ . Vagó 2-vagó 3 (10 t): $T_3 = 10{,}0\ \text{kN}$ .
Comprovació amb la locomotora. $80\,000 - 7840 - 40\,000 = 32\,160\ \text{N} = 40\,000\cdot 0{,}804$ .

Apartat c)

Resultat

F_{\text{màx}} = 120\ \text{kN}

, amb

a = 1{,}30\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Límit de l'acoblament. $T_1 = 60\ \text{kN} = 40\,000\cdot(a + 0{,}196)$ , d'on $a = 1{,}304\ \text{m/s}^{2}$ .
Tracció. $F_{\text{màx}} = 80\,000\cdot 1{,}304 + 15\,680 = 120\ \text{kN}$ .

Apartat d)

Resultat

Perquè cada acoblament només ha de moure (i vèncer la resistència de) la massa que té darrere, que és menor com més lluny de la locomotora.

Resolució

Raonament. La tensió d'un acoblament és la força que accelera tots els vagons que hi ha darrere i en compensa la resistència.
Conclusió. Com més cap al final del tren, menys massa queda darrere i menys tensió cal. Per això el primer acoblament és el més exigit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Una escala uniforme de 15 kg i 5,0 m de longitud descansa sobre un terra rugós i contra una paret llisa, formant 60° amb el terra. Un home de 70 kg puja per l'escala (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quan l'home és als $\tfrac{3}{4}$ de l'escala, calcula la força de la paret, la normal del terra i el fregament necessari al terra.
b) Quin és el coeficient de fregament mínim que cal perquè l'escala no llisqui en aquest cas?
c) Si μ = 0,30, fins a quina distància de la base de l'escala (mesurada al llarg d'aquesta) pot pujar l'home abans que l'escala llisqui?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

Paret:

N_p = 339\ \text{N}

; normal del terra:

N = 833\ \text{N}

; fregament al terra:

F_r = 339\ \text{N}

Resolució

Forces. La paret és llisa: només fa una força horitzontal N_p. Al terra: normal N (vertical) i fregament F_r (horitzontal). Error típic: suposar que la paret també fa fregament.
Equilibri vertical. $N = (15 + 70)\cdot 9{,}8 = 833\ \text{N}$ .
Moments respecte de la base. L'home és a 3,75 m de la base: $N_p\cdot 5{,}0\sin 60^\circ = 15\cdot 9{,}8\cdot 2{,}5\cos 60^\circ + 70\cdot 9{,}8\cdot 3{,}75\cos 60^\circ$ $N_p\cdot 4{,}33 = 183{,}8 + 1286{,}3 = 1470\ \text{N}\cdot\text{m}$ , d'on $N_p = 339\ \text{N}$ .
Equilibri horitzontal. $F_r = N_p = 339\ \text{N}$ .

Apartat b)

Resultat

\mu_{\text{mín}} = 0{,}41

Resolució

Condició. Cal $F_r \le \mu N$ .
Càlcul. $\mu_{\text{mín}} = \dfrac{F_r}{N} = \dfrac{339}{833} = 0{,}41$ .

Apartat c)

Resultat

Fins a

x = 2{,}6\ \text{m}

de la base (el 52 % de l'escala).

Resolució

Límit. $F_r = \mu N = 0{,}30\cdot 833 = 250\ \text{N} = N_p$ .
Moments respecte de la base. $250\cdot 4{,}33 = 183{,}8 + 70\cdot 9{,}8\cdot x\cos 60^\circ \;\Rightarrow\; 1082 - 183{,}8 = 343\,x \;\Rightarrow\; x = 2{,}62\ \text{m}$
Conclusió. L'home pot pujar fins al 52 % de l'escala (2,6 m) abans que llisqui.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Un paracaigudista de 80 kg cau amb el paracaigudes obert. La resistència de l'aire és F = k· $v^{2}$ , amb k = 0,25 kg/m (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Escriu l'equació del moviment i calcula la velocitat límit.
b) Quina acceleració té quan v és la meitat de la límit?
c) Aplica el mètode d'Euler amb passos d'1,0 s ( $v_{n+1}$ = $v_{n}$ + $a_{n}$ ·Δt, amb $a_{n}$ calculada a $v_{n}$ ) per trobar la velocitat durant els 5 primers segons des del repòs.
d) La solució exacta és v(t) = $v_{\mathrm{lim}}$ ·tanh(g·t/ $v_{\mathrm{lim}}$ ). Compara-la amb la de l'apartat c) a t = 5 s i digues quant val el temps per arribar al 90 % de la límit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

m a = m g - k v^{2}

;

v_{\text{lim}} = 56{,}0\ \text{m/s}

(202 km/h).

Resolució

Segona llei de Newton. $m a = m g - k v^{2}$ , d'on $a = g - \dfrac{k}{m}\,v^{2}$ .
Velocitat límit (a = 0): $v_{\text{lim}} = \sqrt{\dfrac{m g}{k}} = \sqrt{\dfrac{80\cdot 9{,}8}{0{,}25}} = 56{,}0\ \text{m/s}\ (202\ \text{km/h})$
Observació. Tant la massa com la forma del paracaigudes (k) determinen la velocitat límit.

Apartat b)

Resultat

a = 7{,}35\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Plantejament. Amb $v = v_{\text{lim}}/2 = 28\ \text{m/s}$ : $a = g\left(1 - \dfrac{v^{2}}{v_{\text{lim}}^{2}}\right) = g\,(1 - \tfrac{1}{4})$ .
Càlcul. $a = 9{,}8\cdot 0{,}75 = 7{,}35\ \text{m/s}^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

v (m/s) a t = 1, 2, 3, 4, 5 s: 9,80; 19,3; 27,9; 35,3; 41,2.

Resolució

Mètode d'Euler. $\tfrac{k}{m} = 0{,}003125\ \text{m}^{-1}$ ; a cada pas calcules $a_n = 9{,}8 - 0{,}003125\,v_n^{2}$ i $v_{n+1} = v_n + a_n\cdot 1{,}0$ .
Taula.
t (s) aₙ usada (m/s²) v (m/s)
0 — 0
1 9,80 9,80
2 9,50 19,3
3 8,64 27,9
4 7,36 35,3
5 5,91 41,2

t (s)	aₙ usada (m/s²)	v (m/s)
0	—	0
1	9,80	9,80
2	9,50	19,3
3	8,64	27,9
4	7,36	35,3
5	5,91	41,2

Apartat d)

Resultat

Exacta a 5 s:

39{,}4\ \text{m/s}

(Euler dona 41,2, un 4,5 % de més); el 90 % de la límit s'assoleix a

t = 8{,}4\ \text{s}

Resolució

Solució exacta. $v(5) = 56\cdot\tanh\!\left(\dfrac{9{,}8\cdot 5}{56}\right) = 56\cdot\tanh(0{,}875) = 39{,}4\ \text{m/s}$ .
Comparació. Euler dona 41,2 m/s, un 4,5 % de més: el mètode sobreestima perquè fa servir l'acceleració del principi de cada pas, més gran que la mitjana durant el pas.
Temps al 90 %. $\tanh x = 0{,}9 \Rightarrow x = 1{,}472$ , i $t = 1{,}472\cdot\dfrac{56}{9{,}8} = 8{,}4\ \text{s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Per determinar la constant d'una molla es pengen masses i es mesura l'allargament: m (g) = 100; 200; 300; 400; 500 i x (cm) = 2,0; 4,1; 5,9; 8,1; 10,0 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la constant k = $\tfrac{F}{x}$ per a cada mesura i la mitjana.
b) Calcula la desviació estàndard de la mostra i l'error estàndard de la mitjana (s/ $\sqrt{n}$ ) i escriu k amb la seva incertesa.
c) Si es disposa de dues molles iguals a aquesta, quina és la constant equivalent en sèrie i en paral·lel? Quant s'allargaria cada muntatge amb una massa de 400 g?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

k (N/m): 49,0; 47,8; 49,8; 48,4; 49,0; mitjana

\bar k = 48{,}8\ \text{N/m}

Resolució

Llei de Hooke. En equilibri $F = m g = k x$ , així que $k = \dfrac{m g}{x}$ (masses en kg i allargaments en m).
Forces. F = 0,98; 1,96; 2,94; 3,92 i 4,90 N.
Constants. k = 49,0; 47,8; 49,8; 48,4 i 49,0 N/m. Mitjana: 48,8 N/m.

Apartat b)

Resultat

s = 0{,}76\ \text{N/m}

; error de la mitjana

0{,}34\ \text{N/m}

;

k = 48{,}8 \pm 0{,}3\ \text{N/m}

Resolució

Desviació estàndard de la mostra (amb n − 1): $s = \sqrt{\dfrac{\sum (k_i - \bar k)^{2}}{n - 1}} = 0{,}76\ \text{N/m}$ .
Error estàndard de la mitjana. $\dfrac{s}{\sqrt{n}} = \dfrac{0{,}76}{\sqrt{5}} = 0{,}34\ \text{N/m}$ . Resultat: $k = 48{,}8 \pm 0{,}3\ \text{N/m}$ (un 0,7 %).
Comprovació. Un ajust per mínims quadrats de la recta F = k·x que passa per l'origen dona 48,9 N/m, pràcticament igual.

Apartat c)

Resultat

Sèrie:

k_s = 24{,}4\ \text{N/m}

, s'allarga 16,1 cm; paral·lel:

k_p = 97{,}6\ \text{N/m}

, s'allarga 4,0 cm.

Resolució

Paral·lel. Les forces se sumen: $k_p = 2k = 97{,}6\ \text{N/m}$ ; amb 400 g (3,92 N): $x = \dfrac{3{,}92}{97{,}6} = 0{,}040\ \text{m} = 4{,}0\ \text{cm}$ .
Sèrie. Els allargaments se sumen: $k_s = k/2 = 24{,}4\ \text{N/m}$ ; $x = \dfrac{3{,}92}{24{,}4} = 0{,}161\ \text{m} = 16{,}1\ \text{cm}$ .
Comprovació. En sèrie s'allarga 4 vegades més que en paral·lel (16,1 / 4,0 ≈ 4), perquè $k_p/k_s = 4$ . Una sola molla donaria 3,92/48,8 = 8,0 cm.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Una pilota de futbol de 0,430 kg arriba a un jugador a 12,0 m/s i surt xutada en sentit contrari a 18,0 m/s. El contacte dura 8,0 ms i la força segueix un perfil triangular en el temps (puja linealment fins a un màxim i baixa linealment fins a zero) (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la variació de quantitat de moviment i l'impuls.
b) Calcula la força mitjana durant el contacte.
c) Calcula la força màxima, sabent que l'impuls és l'àrea sota la gràfica F-t.
d) Compara-la amb el pes de la pilota i raona per què la força mitjana és la meitat de la màxima.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

\Delta p = 12{,}9\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

;

I = 12{,}9\ \text{N}\cdot\text{s}

(en el sentit de sortida).

Resolució

Criteri de signes. Prens positiu el sentit de sortida: $v_i = -12{,}0\ \text{m/s}$ , $v_f = +18{,}0\ \text{m/s}$ .
Teorema de l'impuls. $I = \Delta p = m\,(v_f - v_i) = 0{,}430\cdot(18{,}0 - (-12{,}0)) = 0{,}430\cdot 30{,}0 = 12{,}9\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$
Error típic. El canvi de signe de la velocitat fa que Δv sigui 30 m/s (12 + 18), no 6 m/s.

Apartat b)

Resultat

F_{\text{mitjana}} \approx 1{,}61\cdot10^{3}\ \text{N}

Resolució

Definició. $F_{\text{mitjana}} = \dfrac{I}{\Delta t}$ .
Càlcul. $F_{\text{mitjana}} = \dfrac{12{,}9}{0{,}0080} = 1610\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

F_{\text{màx}} \approx 3{,}2\cdot10^{3}\ \text{N}

(3225 N).

Resolució

Àrea del triangle. L'impuls és l'àrea sota la gràfica F-t: $I = \tfrac{1}{2}F_{\text{màx}}\,\Delta t$ .
Càlcul. $F_{\text{màx}} = \dfrac{2\cdot 12{,}9}{0{,}0080} = 3225\ \text{N}$ .

Apartat d)

Resultat

F_{\text{màx}}

és unes 765 vegades el pes (4,2 N); la mitjana és la meitat de la màxima perquè l'àrea d'un triangle és la meitat de la del rectangle.

Resolució

Pes. $P = 0{,}430\cdot 9{,}8 = 4{,}2\ \text{N}$ , així que $F_{\text{màx}}/P \approx 765$ : el pes es pot ignorar durant el xut.
Raonament. La força mitjana és la força constant que donaria la mateixa àrea (el mateix impuls) en el mateix temps. L'àrea d'un triangle és la meitat de la del rectangle del mateix pic i durada, per tant la mitjana és la meitat de la màxima.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

Dades: G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg², massa de la Terra 5,97· $10^{24}$ kg, radi de la Terra 6,37· $10^{6}$ m, dia sideri 86 164 s.
a) Una estació espacial orbita a 400 km d'altura en òrbita circular. Calcula el valor de g a aquesta altura, la velocitat orbital, el període i el nombre d'òrbites per dia.
b) Els astronautes estan «ingràvids» però el pes no és nul: explica per què flotegen.
c) Calcula l'altura d'un satèl·lit geoestacionari (període igual a un dia sideri) i la seva velocitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

g = 8{,}69\ \text{m/s}^{2}

;

v = 7{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s}

;

T = 5{,}55\cdot10^{3}\ \text{s} \approx 92{,}4\ \text{min}

; unes 15,6 òrbites per dia.

Resolució

Radi de l'òrbita. $r = 6{,}37\cdot10^{6} + 4{,}0\cdot10^{5} = 6{,}77\cdot10^{6}\ \text{m}$ .
Llei de la gravitació universal. $g = \dfrac{G M}{r^{2}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}77\cdot10^{6})^{2}} = 8{,}69\ \text{m/s}^{2}$ el 89 % del valor a la superfície.
Velocitat orbital. La força gravitatòria fa de centrípeta: $\dfrac{m v^{2}}{r} = \dfrac{G M m}{r^{2}}$ , d'on $v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}} = 7{,}67\cdot10^{3}\ \text{m/s} = 27\,600\ \text{km/h}$ .
Període i òrbites. $T = \dfrac{2\pi r}{v} = 5546\ \text{s} = 92{,}4\ \text{min}$ ; en un dia, $86\,400/5546 = 15{,}6$ òrbites.

Apartat b)

Resultat

Floten perquè estan en caiguda lliure contínua juntament amb l'estació: la normal és zero, tot i que el pes no ho és.

Resolució

Raonament. L'estació i els astronautes cauen alhora amb la mateixa acceleració (8,69 m/s²) cap a la Terra, mentre es mouen lateralment a gran velocitat.
Conclusió. Com que cauen igual, el terra de l'estació no els empeny (la normal és zero): la gravetat no és zero, però la sensació de pes, sí.

Apartat c)

Resultat

h = 3{,}58\cdot10^{7}\ \text{m} \approx 35\,800\ \text{km}

;

v = 3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}

Resolució

Tercera llei de Kepler (de l'equilibri $G M m/r^{2} = m\omega^{2} r$ ): $r^{3} = \dfrac{G M T^{2}}{4\pi^{2}} = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot10^{24}\cdot 86\,164^{2}}{4\pi^{2}}$
Càlcul. $r = 4{,}21\cdot10^{7}\ \text{m}$ , per tant l'altura és $r - R = 3{,}58\cdot10^{7}\ \text{m} = 35\,800\ \text{km}$ .
Velocitat. $v = \dfrac{2\pi r}{T} = 3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

Una cinta transportadora horitzontal es mou a 2,0 m/s. S'hi deixa caure un paquet de 3,0 kg, inicialment en repòs respecte del terra, i el coeficient de fregament cinètic entre paquet i cinta és 0,25 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Quant de temps lliscarà el paquet sobre la cinta fins a anar a la seva velocitat? Quina distància recorre durant aquest temps respecte del terra?
b) Quina distància recorre la cinta en aquest temps? Quant val el lliscament relatiu?
c) Calcula el treball que fa el fregament sobre el paquet i l'energia dissipada en calor.
d) El motor de la cinta manté la seva velocitat constant. Quin treball addicional fa el motor? Per què és el doble de l'energia cinètica guanyada pel paquet?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

t = 0{,}82\ \text{s}

; el paquet recorre

0{,}82\ \text{m}

respecte del terra.

Resolució

Segona llei de Newton. El fregament cinètic accelera el paquet: $a = \mu g = 0{,}25\cdot 9{,}8 = 2{,}45\ \text{m/s}^{2}$ .
Temps. $t = \dfrac{v}{a} = \dfrac{2{,}0}{2{,}45} = 0{,}82\ \text{s}$ .
Distància (MRUA). $d_p = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \dfrac{v^{2}}{2a} = 0{,}82\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

La cinta recorre

1{,}63\ \text{m}

; el lliscament relatiu és

0{,}82\ \text{m}

Resolució

Cinta. Va a velocitat constant: $d_c = 2{,}0\cdot 0{,}816 = 1{,}63\ \text{m}$ .
Lliscament relatiu. $1{,}63 - 0{,}82 = 0{,}82\ \text{m}$ , que coincideix amb la distància del paquet.

Apartat c)

Resultat

W_{\text{fregament}} = 6{,}0\ \text{J}

sobre el paquet; calor dissipada

Q = 6{,}0\ \text{J}

Resolució

Treball sobre el paquet. $W = \mu m g\cdot d_p = 7{,}35\cdot 0{,}816 = 6{,}0\ \text{J}$ , igual a l'energia cinètica final: $\tfrac{1}{2}\cdot 3{,}0\cdot 2{,}0^{2} = 6{,}0\ \text{J}$ .
Calor. L'energia dissipada és la força de fregament pel lliscament relatiu: $Q = 7{,}35\cdot 0{,}816 = 6{,}0\ \text{J}$ .

Apartat d)

Resultat

W_{\text{motor}} = 12{,}0\ \text{J}

: 6,0 J d'energia cinètica + 6,0 J de calor.

Resolució

Treball del motor. El motor ha de vèncer la força de fregament de 7,35 N que el paquet fa sobre la cinta al llarg del recorregut de la cinta: $W_{\text{motor}} = 7{,}35\cdot 1{,}63 = 12{,}0\ \text{J}$ .
Per què el doble. La cinta recorre el doble que el paquet durant el lliscament; aquesta energia es reparteix en 6,0 J d'energia cinètica del paquet i 6,0 J de calor. Comprovació: 12,0 = 6,0 + 6,0.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què es conserva en un xoc?

La quantitat de moviment total del sistema, sempre que no hi actuïn forces exteriors. L'energia cinètica només es conserva si el xoc és elàstic.

Per què en equilibri es prenen moments respecte d'un punt concret?

Perquè si tries el punt on actua una força desconeguda, el seu moment és zero i desapareix de l'equació. Així queden menys incògnites.

Tornar a Física i Química