Exercicis d'ones i so — Física i Química 1r Batxillerat

Q: Què canvia quan el so passa de l'aire a l'aigua?

Canvien la velocitat i la longitud d'ona, però la freqüència es manté, perquè la imposa la font que fa el so.

Q: Com es calcula el nivell d'intensitat sonora en decibels?

Amb β = 10 · log (I / I zero), on I zero és el llindar d'audició, 10 elevat a −12 W per metre quadrat. Cada 10 dB, la intensitat es multiplica per 10.

Les ones transporten energia sense transportar matèria, i aquests exercicis t'ensenyen a descriure-les amb números. Treballes les magnituds d'una ona (amplitud, longitud d'ona, freqüència i velocitat) i les obtens a partir de la seva equació. Després calcules quant triga el so a recórrer una distància i què passa amb la longitud d'ona d'un so que passa de l'aire a l'aigua. Al final treballes la intensitat sonora i el nivell en decibels, i fenòmens com la reflexió, la refracció i la difracció. Les solucions expliquen quina magnitud canvia i quina no en cada cas. Errors típics: pensar que una ona transporta matèria i confondre reflexió amb refracció.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Una ona transporta matèria o energia?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

Una ona transporta energia, no matèria.

Resolució

Què és una ona. Una ona és la propagació d'una pertorbació (una vibració) d'un punt a un altre de l'espai.
Què fa el medi. Les partícules del medi només vibren al voltant de la seva posició d'equilibri: no viatgen amb l'ona.
Conclusió. El que avança és l'energia de la vibració; la matèria del medi es queda, en mitjana, al mateix lloc.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Una ona té una freqüència de 5 Hz. Quin és el seu període?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

T = 0{,}2\ \text{s}

Resolució

Dades. Freqüència $f = 5\ \text{Hz}$ (5 oscil·lacions cada segon). Es demana el període $T$ .
Relació període–freqüència. El període és l'invers de la freqüència: $T = \dfrac{1}{f}$
Càlcul. $T = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\ \text{s}$ .
Conclusió. Cada oscil·lació completa dura 0,2 s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

El so viatja a uns 340 m/s a l'aire. Quant triga a recórrer 1700 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

t = 5\ \text{s}

Resolució

Dades. Velocitat del so $v = 340\ \text{m/s}$ ; distància $d = 1700\ \text{m}$ .
Moviment uniforme. El so avança a velocitat constant: $d = v\cdot t$ , d'on $t = \dfrac{d}{v}$ .
Càlcul. $t = \dfrac{1700\ \text{m}}{340\ \text{m/s}} = 5\ \text{s}$
Conclusió. Per això, en una tempesta, el llamp es veu abans de sentir-se el tro: la llum arriba gairebé a l'instant i el so triga uns segons.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Classifica cada ona com a mecànica o electromagnètica i com a longitudinal o transversal:
a) el so d'un violí;
b) la llum del Sol;
c) l'ona que viatja per una corda tensa quan l'agites amunt i avall;
d) l'ona que es propaga per una molla llarga quan la comprimeixes i la deixes anar;
e) les ones de ràdio.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

Mecànica i longitudinal.

Resolució

Criteris. Una ona és mecànica si necessita un medi material per propagar-se i electromagnètica si no el necessita; és longitudinal si el medi vibra en la direcció de propagació i transversal si vibra perpendicularment.
So del violí. El so necessita un medi (l'aire) i l'aire es comprimeix i es dilata en la mateixa direcció en què avança l'ona: mecànica i longitudinal.

Apartat b)

Resultat

Electromagnètica i transversal.

Resolució

Medi. La llum del Sol arriba a través del buit de l'espai: no necessita medi material, és electromagnètica.
Direcció de vibració. Els camps elèctric i magnètic oscil·len perpendicularment a la direcció de propagació: és transversal.

Apartat c)

Resultat

Mecànica i transversal.

Resolució

Medi. L'ona viatja per la corda, un medi material: és mecànica.
Direcció de vibració. Cada tros de corda es mou amunt i avall mentre l'ona avança horitzontalment: vibra perpendicularment, és transversal.

Apartat d)

Resultat

Mecànica i longitudinal.

Resolució

Medi. L'ona es propaga per les espires de la molla: és mecànica.
Direcció de vibració. Les espires es comprimeixen i se separen en la mateixa direcció en què avança l'ona: és longitudinal.

Apartat e)

Resultat

Electromagnètica i transversal.

Resolució

Medi. Les ones de ràdio són ones electromagnètiques, com la llum: es propaguen també en el buit.
Direcció de vibració. Com totes les ones electromagnètiques, són transversals.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Les onades d'un llac arriben a la riba cada 2 s i la distància entre dues crestes consecutives és de 6 m. Calcula la freqüència de les onades i la velocitat amb què es propaguen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

f = 0{,}5\ \text{Hz}

;

v = 3\ \text{m/s}

Resolució

Dades. El temps entre l'arribada de dues crestes és el període: $T = 2\ \text{s}$ . La distància entre dues crestes consecutives és la longitud d'ona: $\lambda = 6\ \text{m}$ .
Freqüència. $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\ \text{Hz}$ .
Velocitat de propagació. $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{m/s}$ o bé $v = \lambda\cdot f = 6\cdot 0{,}5 = 3\ \text{m/s}$ .
Conclusió. Fixa't que l'aigua no avança a 3 m/s: cada partícula d'aigua només oscil·la al voltant de la seva posició; el que es desplaça és l'ona.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Una emissora de ràdio FM emet a 100 MHz. Calcula la longitud d'ona de les seves ones (velocitat de la llum: c = 3· $10^{8}$ m/s).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\lambda = 3\ \text{m}

Resolució

Dades. $f = 100\ \text{MHz} = 100\cdot10^{6}\ \text{Hz} = 10^{8}\ \text{Hz}$ ; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ .
Relació fonamental de les ones. Les ones de ràdio són electromagnètiques i es propaguen a la velocitat de la llum: $c = \lambda\cdot f$ .
Càlcul. $\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{3\cdot10^{8}}{10^{8}} = 3\ \text{m}$
Conclusió. Les ones de la FM tenen longituds d'ona de l'ordre de metres.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Durant una tempesta a Osona veus un llamp i, 6 s més tard, sents el tro. A quina distància ha caigut el llamp? Pots menysprear el temps que triga la llum (velocitat del so: 340 m/s).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

d = 2040\ \text{m}

, uns 2 km

Resolució

Dades. Temps entre el llamp i el tro $t = 6\ \text{s}$ ; velocitat del so $v = 340\ \text{m/s}$ .
Per què podem menysprear la llum. La llum triga uns $\dfrac{2040}{3\cdot10^{8}} \approx 7\cdot10^{-6}\ \text{s}$ , molt menys que 6 s: els 6 s són pràcticament el temps que triga el so.
Moviment uniforme. $d = v\cdot t = 340\cdot 6 = 2040\ \text{m}$ .
Regla pràctica. Dividint per 3 els segons entre el llamp i el tro s'obté la distància en quilòmetres: $\tfrac{6}{3} = 2\ \text{km}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Raona si cada afirmació és certa o falsa:
a) La freqüència d'una ona depèn del medi pel qual es propaga.
b) El so pot propagar-se en el buit, igual que la llum.
c) Si augmenta la freqüència d'un so, el seu to és més agut.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

Falsa: la freqüència la fixa el focus emissor.

Resolució

Qui fixa la freqüència. La freqüència és el nombre de vibracions per segon del focus que genera l'ona.
Canvi de medi. En passar d'un medi a un altre canvien la velocitat i la longitud d'ona, però no la freqüència.

Apartat b)

Resultat

Falsa: el so necessita un medi material.

Resolució

Tipus d'ona. El so és una ona mecànica: necessita un medi material (aire, aigua, un sòlid…) que vibri.
Comparació. La llum és electromagnètica i sí que es propaga en el buit; el so, no.

Apartat c)

Resultat

Certa: més freqüència, so més agut.

Resolució

To. El to és la qualitat que distingeix els sons aguts dels greus i depèn de la freqüència.
Conclusió. Les freqüències altes donen sons aguts i les baixes, sons greus.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

L'oïda humana sent sons d'entre 20 Hz i 20000 Hz. Calcula la longitud d'ona del so més greu i la del més agut que podem sentir a l'aire (velocitat del so: 340 m/s).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

So més greu:

\lambda = 17\ \text{m}

; so més agut:

\lambda = 0{,}017\ \text{m} = 1{,}7\ \text{cm}

Resolució

Dades. $v = 340\ \text{m/s}$ ; freqüències extremes $f = 20\ \text{Hz}$ i $f = 20\,000\ \text{Hz}$ .
Relació fonamental. $v = \lambda\cdot f$ , és a dir, $\lambda = \dfrac{v}{f}$ .
So més greu. $\lambda = \dfrac{340}{20} = 17\ \text{m}$ .
So més agut. $\lambda = \dfrac{340}{20\,000} = 0{,}017\ \text{m} = 1{,}7\ \text{cm}$ .
Conclusió. Com més alta és la freqüència, més petita és la longitud d'ona, perquè la velocitat és la mateixa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una guitarra i un piano toquen la mateixa nota (440 Hz) amb el mateix volum, però els distingim perfectament. Quina qualitat del so els diferencia i per què? Quines qualitats coincideixen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Els diferencia el timbre (els harmònics que acompanyen la fonamental); coincideixen el to i la intensitat.

Resolució

Què coincideix. El to depèn de la freqüència (440 Hz en tots dos instruments) i la intensitat o volum, de l'amplitud de l'ona: aquestes dues qualitats són iguals.
Harmònics. Cada instrument no emet només la freqüència fonamental, sinó també harmònics (múltiples d'aquesta freqüència) amb intensitats diferents.
Forma d'ona. La superposició d'aquests harmònics dona a cada instrument una forma d'ona característica.
Conclusió. El cervell percep aquesta forma d'ona diferent com un timbre diferent: per això distingeixes la guitarra del piano.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Una ona harmònica té amplitud A = 0,05 m, període T = 0,2 s i longitud d'ona λ = 4 m. Calcula la freqüència, la freqüència angular ω, el nombre d'ona k i la velocitat de propagació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

f = 5\ \text{Hz}

;

\omega = 10\pi \approx 31{,}4\ \text{rad/s}

;

k = \tfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad/m}

;

v = 20\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $A = 0{,}05\ \text{m}$ , $T = 0{,}2\ \text{s}$ , $\lambda = 4\ \text{m}$ .
Freqüència. És l'invers del període: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}2} = 5\ \text{Hz}$ .
Freqüència angular. Compte: ω no és la freqüència. $\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 5 = 10\pi \approx 31{,}4\ \text{rad/s}$ .
Nombre d'ona. $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57\ \text{rad/m}$ .
Velocitat de propagació. $v = \lambda\cdot f = 4\cdot 5 = 20\ \text{m/s}$ . Comprovació: $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{31{,}42}{1{,}57} = 20\ \text{m/s}$ , coincideix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

L'equació d'una ona que es propaga per una corda és y = 0,02·sin(6·π·t - 2·π·x) (totes les magnituds en unitats SI). Obtén l'amplitud, la freqüència angular ω, el nombre d'ona k, i a partir d'ells el període, la freqüència, la longitud d'ona i la velocitat de propagació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

A = 0{,}02\ \text{m}

;

\omega = 6\pi\ \text{rad/s}

;

k = 2\pi\ \text{rad/m}

;

T \approx 0{,}33\ \text{s}

;

f = 3\ \text{Hz}

;

\lambda = 1\ \text{m}

;

v = 3\ \text{m/s}

Resolució

Forma general. Compara amb $y = A\sin(\omega t - kx)$ : $A = 0{,}02\ \text{m}$ (el que multiplica el sinus), $\omega = 6\pi \approx 18{,}85\ \text{rad/s}$ (és ω, no la freqüència) i $k = 2\pi\ \text{rad/m}$ .
Freqüència i període. De $\omega = 2\pi f$ : $f = \dfrac{6\pi}{2\pi} = 3\ \text{Hz}$ , i $T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33\ \text{s}$ .
Longitud d'ona. De $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$ : $\lambda = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1\ \text{m}$ .
Velocitat. $v = \lambda\cdot f = 1\cdot 3 = 3\ \text{m/s}$ , o bé $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{2\pi} = 3\ \text{m/s}$ . El signe − entre els dos termes indica que l'ona avança en el sentit positiu de l'eix x.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Per què pots sentir algú que parla en una altra habitació encara que no el vegis?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Per la difracció: el so rodeja els obstacles i les obertures (com una porta) perquè la seva longitud d'ona és comparable a la seva mida; la llum, no.

Resolució

Fenomen. Quan una ona troba una obertura o un obstacle de mida comparable a la seva longitud d'ona, s'obre i el rodeja: és la difracció.
So. Les longituds d'ona del so de la veu són de decímetres a metres, com una porta: el so s'obre en passar-hi i arriba a llocs que no estan en línia recta amb qui parla.
Llum. La llum té una longitud d'ona d'uns $5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , molt més petita que la porta: pràcticament no es difracta i viatja en línia recta.
Conclusió. Per això sents la persona de l'altra habitació però no la veus.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Una màquina emet un so amb una intensitat I = 10⁻⁴ $\text{W/m}^{2}$ . Calcula el nivell d'intensitat sonora en decibels. Dada: intensitat de referència (llindar d'audició) $I_{0}$ = 10⁻¹² $\text{W/m}^{2}$ . Fórmula: nivell = 10·log( $\tfrac{I}{I_{0}}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

\beta = 80\ \text{dB}

Resolució

Dades. $I = 10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ ; $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ .
Nivell d'intensitat sonora. $\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ És una escala logarítmica, no proporcional a la intensitat.
Càlcul. $\dfrac{I}{I_0} = \dfrac{10^{-4}}{10^{-12}} = 10^{8}$ ; $\log 10^{8} = 8$ ; per tant $\beta = 10\cdot 8 = 80\ \text{dB}$ .
Parany logarítmic. Si la intensitat es multipliqués per 10 (fins a 10⁻³ W/m²), el nivell no es multiplicaria per 10: només pujaria 10 dB, fins a 90 dB.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

L'orella humana només distingeix l'eco del so original si li arriba com a mínim 0,1 s més tard. Calcula la distància mínima a una paret perquè s'hi percebi eco (velocitat del so: 340 m/s). Hi hauria eco si cridessis a 10 m d'una paret?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

d_{\text{mín}} = 17\ \text{m}

; a 10 m no hi hauria eco (el so torna en 0,059 s < 0,1 s).

Resolució

Dades. Retard mínim $t = 0{,}1\ \text{s}$ ; $v = 340\ \text{m/s}$ .
Anada i tornada. El so va fins a la paret i torna: recorre $2d$ en un temps $t$ , de manera que $2d = v\cdot t$ .
Càlcul. $2d = 340\cdot 0{,}1 = 34\ \text{m}$ → $d = 17\ \text{m}$ .
A 10 m. El so recorre 20 m i triga $t = \dfrac{20}{340} = 0{,}059\ \text{s}$ , menys de 0,1 s: l'eco se superposa al so original i no es distingeix (hi ha reverberació, no eco).
Compte. Si oblides que l'eco fa anada i tornada, trobaràs 34 m en lloc de 17 m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Un vaixell envia un pols d'ultrasons de 50 kHz cap al fons del mar i el rep reflectit al cap de 0,40 s. Si el so es propaga per l'aigua a 1500 m/s, calcula la profunditat del mar i la longitud d'ona de l'ultrasó.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

Profunditat

d = 300\ \text{m}

;

\lambda = 0{,}03\ \text{m} = 3\ \text{cm}

Resolució

Dades. $f = 50\ \text{kHz} = 5\cdot10^{4}\ \text{Hz}$ ; temps d'anada i tornada $t = 0{,}40\ \text{s}$ ; $v = 1500\ \text{m/s}$ .
Eco (anada i tornada). Els 0,40 s corresponen a un recorregut $2d$ : $d = \dfrac{v\cdot t}{2} = \dfrac{1500\cdot 0{,}40}{2} = 300\ \text{m}$
Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{1500}{5\cdot10^{4}} = 0{,}03\ \text{m} = 3\ \text{cm}$ .
Conclusió. Els ultrasons (f > 20 kHz) tenen una longitud d'ona petita, cosa que permet detectar objectes petits i dirigir el so en feixos estrets.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Una ona harmònica transversal es propaga en el sentit positiu de l'eix x amb amplitud 0,10 m, freqüència 2 Hz i velocitat 4 m/s. Escriu-ne l'equació y(x, t) = A·sin(ω·t - k·x) i calcula l'elongació en el punt x = 0,5 m en l'instant t = 0,1 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

y(x,t) = 0{,}10\sin(4\pi t - \pi x)

(SI);

y(0{,}5;\ 0{,}1) \approx -0{,}031\ \text{m}

Resolució

Dades. $A = 0{,}10\ \text{m}$ , $f = 2\ \text{Hz}$ , $v = 4\ \text{m/s}$ , propagació cap a les x positives.
Pulsació i nombre d'ona. $\omega = 2\pi f = 4\pi\ \text{rad/s}$ ; $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{4}{2} = 2\ \text{m}$ , així que $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \pi\ \text{rad/m}$ .
Equació. $y(x,t) = 0{,}10\sin(4\pi t - \pi x)$ , amb y i x en metres i t en segons. Comprovació: $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{4\pi}{\pi} = 4\ \text{m/s}$ .
Elongació. $y = 0{,}10\sin(4\pi\cdot 0{,}1 - \pi\cdot 0{,}5) = 0{,}10\sin(-0{,}1\pi) = 0{,}10\cdot(-0{,}309) \approx -0{,}031\ \text{m}$
Compte. Recorda tenir la calculadora en radians.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Per una corda es propaga una ona de longitud d'ona 0,50 m. Calcula la diferència de fase entre les vibracions de dos punts de la corda separats 0,75 m i indica si vibren en fase o en oposició de fase.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\Delta\varphi = 3\pi\ \text{rad}

(equivalent a π): vibren en oposició de fase.

Resolució

Dades. $\lambda = 0{,}50\ \text{m}$ ; separació $\Delta x = 0{,}75\ \text{m}$ .
Diferència de fase. Entre dos punts separats $\Delta x$ : $\Delta\varphi = k\,\Delta x = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x$
Càlcul. $\Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{0{,}50}\cdot 0{,}75 = 3\pi\ \text{rad}$ .
Interpretació. Si restes una volta completa (2π), queda π rad: els dos punts vibren en oposició de fase (quan un és a la cresta, l'altre és a la vall).
Comprovació. 0,75 m són 1,5 longituds d'ona; una distància d'un nombre semienter de longituds d'ona dona sempre oposició de fase.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una font puntual emet so amb una potència de 0,5 W, repartida per igual en totes direccions. Calcula la intensitat del so i el nivell d'intensitat sonora a 10 m i a 20 m de la font ( $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ ). Què passa amb el nivell en duplicar la distància?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

A 10 m:

I = 3{,}98\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}

\beta = 86\ \text{dB}

; a 20 m:

I = 9{,}95\cdot10^{-5}\ \text{W/m}^{2}

\beta = 80\ \text{dB}

. En duplicar la distància el nivell baixa uns 6 dB.

Resolució

Dades. $P = 0{,}5\ \text{W}$ , font puntual que emet igual en totes direccions; $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ .
Intensitat d'una font puntual. La potència es reparteix sobre una esfera de superfície $4\pi r^{2}$ : $I = \dfrac{P}{4\pi r^{2}}$
A 10 m. $I = \dfrac{0{,}5}{4\pi\cdot 10^{2}} = 3{,}98\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ → $\beta = 10\log(3{,}98\cdot10^{8}) = 86\ \text{dB}$ .
A 20 m. $I = \dfrac{0{,}5}{4\pi\cdot 20^{2}} = 9{,}95\cdot10^{-5}\ \text{W/m}^{2}$ → $\beta = 10\log(9{,}95\cdot10^{7}) = 80\ \text{dB}$ .
Conclusió. En duplicar la distància, la intensitat es divideix per 4 i el nivell baixa $10\log 4 \approx 6\ \text{dB}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una font fixa emet un so de 680 Hz i un ciclista es mou en línia recta a 5 m/s (velocitat del so: 340 m/s). Quina freqüència percep mentre s'acosta a la font? I mentre se n'allunya?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

S'acosta:

f' = 690\ \text{Hz}

; s'allunya:

f' = 670\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $f = 680\ \text{Hz}$ , font fixa; observador a $v_o = 5\ \text{m/s}$ ; $v = 340\ \text{m/s}$ .
Efecte Doppler (observador en moviment). L'observador rep més o menys fronts d'ona per segon que si estigués quiet: $f' = f\cdot\dfrac{v \pm v_o}{v}$ amb + si s'acosta a la font i − si se n'allunya.
S'acosta. $f' = 680\cdot\dfrac{340 + 5}{340} = 680\cdot\dfrac{345}{340} = 690\ \text{Hz}$ , més aguda que l'emesa.
S'allunya. $f' = 680\cdot\dfrac{340 - 5}{340} = 680\cdot\dfrac{335}{340} = 670\ \text{Hz}$ , més greu que l'emesa.
Conclusió. La freqüència emesa per la font no canvia: només varia la que percep l'observador.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Dos altaveus emeten en fase un so de 340 Hz (velocitat del so: 340 m/s). Indica si hi ha interferència constructiva o destructiva en cada punt:
a) un punt situat a 5,00 m d'un altaveu i a 5,50 m de l'altre;
b) un punt situat a 6,00 m d'un altaveu i a 7,00 m de l'altre.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

\Delta = 0{,}50\ \text{m} = \tfrac{\lambda}{2}

: interferència destructiva.

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{340} = 1{,}00\ \text{m}$ .
Condicions d'interferència. Amb fonts en fase, mira la diferència de camins Δ: constructiva si $\Delta = n\lambda$ i destructiva si $\Delta = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda$ .
Càlcul. $\Delta = 5{,}50 - 5{,}00 = 0{,}50\ \text{m} = \tfrac{\lambda}{2}$ : les ones arriben en oposició de fase i el so s'afebleix molt o desapareix.

Apartat b)

Resultat

\Delta = 1{,}00\ \text{m} = \lambda

: interferència constructiva.

Resolució

Càlcul. $\Delta = 7{,}00 - 6{,}00 = 1{,}00\ \text{m} = \lambda$ .
Conclusió. Les dues ones arriben en fase i el so és més intens.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Crides davant d'una paret llunyana i sents l'eco 2 s després. A quina distància és la paret? (Velocitat del so: 340 m/s.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

d = 340\ \text{m}

Resolució

Dades. Temps de l'eco $t = 2\ \text{s}$ ; $v = 340\ \text{m/s}$ .
Anada i tornada. En 2 s el so va fins a la paret i torna, així que recorre el doble de la distància a la paret: $2d = v\cdot t$ .
Càlcul. Distància total: $340\cdot 2 = 680\ \text{m}$ ; la paret és a la meitat: $d = \dfrac{680}{2} = 340\ \text{m}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un so de 440 Hz passa de l'aire (340 m/s) a l'aigua (1.480 m/s). Què canvia i què es manté? Calcula la longitud d'ona en cada medi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

La freqüència es manté (440 Hz); canvien la velocitat i la longitud d'ona:

\lambda_{\text{aire}} \approx 0{,}773\ \text{m}

\lambda_{\text{aigua}} \approx 3{,}36\ \text{m}

Resolució

Què es manté. La freqüència la fixa la font: en canviar de medi continua sent 440 Hz.
Què canvia. La velocitat depèn del medi (340 m/s a l'aire, 1480 m/s a l'aigua) i, per tant, també la longitud d'ona, $\lambda = \dfrac{v}{f}$ .
Aire. $\lambda = \dfrac{340}{440} \approx 0{,}773\ \text{m}$ .
Aigua. $\lambda = \dfrac{1480}{440} \approx 3{,}36\ \text{m}$ : unes 4,4 vegades més llarga, tantes com la velocitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una ambulància circula a 34 m/s apropant-se a una persona aturada; la sirena emet un so de 612 Hz. Sabent que el so va a 340 m/s a l'aire, quina freqüència sent la persona mentre l'ambulància s'hi acosta? (Efecte Doppler amb la font en moviment i l'observador quiet: f' = f·v/(v - $v_{\mathrm{font}}$ ).)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

f' = 680\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $f = 612\ \text{Hz}$ ; font que s'acosta a $v_{\text{font}} = 34\ \text{m/s}$ ; observador quiet; $v = 340\ \text{m/s}$ .
Efecte Doppler (font en moviment). Si la font s'apropa, l'observador rep les crestes més juntes i sent una freqüència més alta que l'emesa; per això al denominador es resta: $f' = f\cdot\dfrac{v}{v - v_{\text{font}}}$
Càlcul. $f' = 612\cdot\dfrac{340}{340 - 34} = 612\cdot\dfrac{340}{306}$ ; com que $\tfrac{340}{306} = \tfrac{10}{9}$ , $f' = 612\cdot\tfrac{10}{9} = 680\ \text{Hz}$ .
Conclusió. 680 Hz > 612 Hz confirma el sentit físic: en apropar-se, el so es percep més agut. Quan l'ambulància ja s'allunya, es faria servir $v + v_{\text{font}}$ i la persona el sentiria més greu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una màquina d'un taller produeix un nivell sonor de 80 dB a la posició d'un treballador.
a) Quin nivell hi ha quan funcionen alhora dues màquines idèntiques?
b) Quantes màquines idèntiques haurien de funcionar alhora per arribar a 90 dB? ( $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ )

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

\beta = 83\ \text{dB}

Resolució

Idea clau. Els decibels són una escala logarítmica: no se sumen; se sumen les intensitats.
Una màquina. $80 = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ → $I = I_0\cdot10^{8} = 10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ .
Dues màquines. $I = 2\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ → $\beta = 10\log(2\cdot10^{8}) = 10\,(8 + 0{,}301) = 83\ \text{dB}$
Conclusió. Doblar el nombre de fonts només suma 3 dB. Compte amb l'error de sumar els decibels directament (80 + 80 = 160 dB).

Apartat b)

Resultat

Calen 10 màquines.

Resolució

Intensitat necessària. 90 dB corresponen a $I = 10^{-12}\cdot10^{9} = 10^{-3}\ \text{W/m}^{2}$ .
Nombre de màquines. $\dfrac{10^{-3}}{10^{-4}} = 10$ : cal 10 vegades la intensitat d'una màquina.
Comprovació. $\beta = 80 + 10\log 10 = 90\ \text{dB}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Unes ones planes de 5 Hz, en una cubeta d'ones, passen d'una zona profunda, on es propaguen a 0,30 m/s, a una zona poc profunda, on van a 0,20 m/s. Si l'angle d'incidència és de 40°, calcula l'angle de refracció i la longitud d'ona en cada zona. Fes servir la llei de la refracció d'ones: sin $θ_{1}$ /sin $θ_{2}$ = $\tfrac{v_{1}}{v_{2}}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

\theta_2 \approx 25{,}4^\circ

;

\lambda_1 = 0{,}060\ \text{m} = 6{,}0\ \text{cm}

;

\lambda_2 = 0{,}040\ \text{m} = 4{,}0\ \text{cm}

Resolució

Dades. $f = 5\ \text{Hz}$ ; $v_1 = 0{,}30\ \text{m/s}$ , $v_2 = 0{,}20\ \text{m/s}$ ; $\theta_1 = 40^\circ$ .
Longituds d'ona. La freqüència no canvia en la refracció (la fixa el focus). Amb $\lambda = \dfrac{v}{f}$ : $\lambda_1 = \dfrac{0{,}30}{5} = 0{,}060\ \text{m}$ i $\lambda_2 = \dfrac{0{,}20}{5} = 0{,}040\ \text{m}$ .
Llei de la refracció. $\sin\theta_2 = \sin\theta_1\cdot\dfrac{v_2}{v_1} = \sin 40^\circ\cdot\dfrac{0{,}20}{0{,}30} = 0{,}643\cdot 0{,}667 = 0{,}4285$
Angle. $\theta_2 = \arcsin 0{,}4285 \approx 25{,}4^\circ$ .
Conclusió. L'ona es frena en passar a la zona poc profunda: el raig s'acosta a la normal i la longitud d'ona disminueix.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una ona transversal ve donada per y(x, t) = 0,03·sin(20π·t - 4π·x) en unitats del SI. Calcula la freqüència, la longitud d'ona i la velocitat de propagació. Calcula també la velocitat màxima amb què vibra una partícula del medi i explica per què no coincideix amb la de propagació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

f = 10\ \text{Hz}

;

\lambda = 0{,}5\ \text{m}

;

v = 5\ \text{m/s}

;

v_{\text{màx}} = A\omega \approx 1{,}88\ \text{m/s}

Resolució

Identificació. Compara amb $y = A\sin(\omega t - kx)$ : $A = 0{,}03\ \text{m}$ , $\omega = 20\pi\ \text{rad/s}$ , $k = 4\pi\ \text{rad/m}$ .
Freqüència, longitud d'ona i velocitat. $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = 10\ \text{Hz}$ ( $T = 0{,}1\ \text{s}$ ); $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = 0{,}5\ \text{m}$ ; $v = \lambda f = 0{,}5\cdot 10 = 5\ \text{m/s}$ (també $v = \tfrac{\omega}{k} = 5\ \text{m/s}$ ).
Velocitat de vibració. Cada partícula fa un MHS d'amplitud A i pulsació ω; derivant y respecte del temps, $v_y = A\omega\cos(\omega t - kx)$ , i la seva velocitat màxima és $v_{\text{màx}} = A\omega = 0{,}03\cdot 20\pi \approx 1{,}88\ \text{m/s}$
Per què no coincideixen. La velocitat de propagació (5 m/s) és la de l'ona, constant i determinada pel medi; la de vibració és la de cada partícula, canvia amb el temps i depèn de l'amplitud i de la freqüència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un cotxe de policia que emet una sirena de 900 Hz es mou a 20 m/s cap a un altre cotxe que va davant seu, en la mateixa direcció i sentit, a 10 m/s. Per al conductor del cotxe de davant, fes servir f' = f·(v + $v_{o}$ )/(v − $v_{s}$ ), on $v_{o}$ és positiva si l'observador s'acosta a la font i $v_{s}$ és positiva si la font s'acosta a l'observador (velocitat del so: 340 m/s).
a) Quina freqüència percep?
b) I si tots dos cotxes anessin a 20 m/s? Raona el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

f' \approx 928\ \text{Hz}

Resolució

Signes. La font (cotxe de policia) s'acosta a l'observador: $v_s = +20\ \text{m/s}$ . L'observador s'allunya de la font: $v_o = -10\ \text{m/s}$ .
Efecte Doppler. $f' = f\cdot\dfrac{v + v_o}{v - v_s} = 900\cdot\dfrac{340 - 10}{340 - 20} = 900\cdot\dfrac{330}{320} \approx 928\ \text{Hz}$
Conclusió. Més aguda que l'emesa, perquè la font guanya terreny a l'observador.

Apartat b)

Resultat

f' = 900\ \text{Hz}

: no hi ha moviment relatiu i la freqüència no canvia.

Resolució

Signes. Ara $v_s = +20\ \text{m/s}$ i $v_o = -20\ \text{m/s}$ .
Càlcul. $f' = 900\cdot\dfrac{340 - 20}{340 - 20} = 900\ \text{Hz}$ .
Raonament. La distància entre els dos cotxes no varia: els fronts d'ona arriben al conductor al mateix ritme amb què surten de la sirena.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un operari colpeja amb un martell una via d'acer. Una persona situada a 1020 m, amb l'orella enganxada a la via, sent dos cops: un a través de l'acer i un altre a través de l'aire. La velocitat del so és de 5100 m/s a l'acer i de 340 m/s a l'aire.
a) Quin temps passa entre els dos sons?
b) A partir de quina distància es poden distingir els dos cops, si l'orella necessita un retard mínim de 0,1 s?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

\Delta t = 2{,}8\ \text{s}

(arriba primer el so de l'acer)

Resolució

Moviment uniforme. Cada so triga $t = \dfrac{d}{v}$ a recórrer els 1020 m.
Càlcul. Acer: $t_1 = \dfrac{1020}{5100} = 0{,}2\ \text{s}$ . Aire: $t_2 = \dfrac{1020}{340} = 3{,}0\ \text{s}$ .
Diferència. $\Delta t = 3{,}0 - 0{,}2 = 2{,}8\ \text{s}$ : el so que viatja per l'acer arriba primer.

Apartat b)

Resultat

d \approx 36\ \text{m}

(36,4 m)

Resolució

Condició. Imposa $\Delta t = \dfrac{d}{340} - \dfrac{d}{5100} = 0{,}1\ \text{s}$ .
Càlcul. $d\left(\dfrac{1}{340} - \dfrac{1}{5100}\right) = d\cdot\dfrac{14}{5100} = 0{,}1 \;\Rightarrow\; d = \dfrac{0{,}1\cdot 5100}{14} \approx 36{,}4\ \text{m}$
Conclusió. Per sota d'uns 36 m, els dos sons arriben massa junts per distingir-los.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Escriu l'equació d'una ona harmònica que es propaga en el sentit negatiu de l'eix x, d'amplitud 5 cm, longitud d'ona 0,80 m i període 0,40 s, sabent que en x = 0 i t = 0 l'elongació és màxima i positiva. Calcula'n la velocitat de propagació i l'elongació del punt x = 0,20 m en l'instant t = 0,10 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

y(x,t) = 0{,}05\sin\!\left(5\pi t + 2{,}5\pi x + \tfrac{\pi}{2}\right) = 0{,}05\cos(5\pi t + 2{,}5\pi x)

(SI);

v = 2\ \text{m/s}

;

y = -0{,}05\ \text{m}

Resolució

Dades en el SI. $A = 0{,}05\ \text{m}$ ; $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0{,}40} = 5\pi\ \text{rad/s}$ ; $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0{,}80} = 2{,}5\pi\ \text{rad/m}$ .
Sentit de propagació. Si l'ona va cap a les x negatives, el terme $kx$ té signe positiu: $y = A\sin(\omega t + kx + \varphi_0)$ .
Fase inicial. $y(0,0) = A$ → $\sin\varphi_0 = 1$ → $\varphi_0 = \tfrac{\pi}{2}$ . Equació: $y = 0{,}05\sin\!\left(5\pi t + 2{,}5\pi x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ , que també es pot escriure $y = 0{,}05\cos(5\pi t + 2{,}5\pi x)$ .
Velocitat. $v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}80}{0{,}40} = 2\ \text{m/s}$ , cap a les x negatives.
Elongació. Fase $= 5\pi\cdot 0{,}10 + 2{,}5\pi\cdot 0{,}20 + \tfrac{\pi}{2} = 0{,}5\pi + 0{,}5\pi + 0{,}5\pi = 1{,}5\pi$ → $y = 0{,}05\sin(1{,}5\pi) = -0{,}05\ \text{m}$ : el punt és a la vall.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Una corda de guitarra de 1,20 m, fixa pels dos extrems, té una densitat lineal de 0,010 kg/m i està tensada amb 90 N. La velocitat de les ones transversals en una corda és v = $\sqrt{\tfrac{T}{\mu}}$ .
a) Calcula la velocitat de les ones i la freqüència fonamental.
b) Calcula les freqüències dels tres primers harmònics i les longituds d'ona de l'ona estacionària del tercer.
c) Situa els nodes i els ventres del tercer harmònic.
d) Quina tensió caldria per afinar la fonamental a 44,0 Hz?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

v \approx 94{,}9\ \text{m/s}

;

f_1 \approx 39{,}5\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $L = 1{,}20\ \text{m}$ , $\mu = 0{,}010\ \text{kg/m}$ , $T = 90\ \text{N}$ .
Velocitat a la corda. $v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{90}{0{,}010}} = \sqrt{9000} \approx 94{,}9\ \text{m/s}$ .
Ones estacionàries amb dos extrems fixos. Hi cap un nombre enter de semilongituds d'ona: $L = n\,\dfrac{\lambda}{2}$ , d'on $f_n = n\,\dfrac{v}{2L}$ .
Fonamental. $f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{94{,}9}{2{,}40} \approx 39{,}5\ \text{Hz}$ .

Apartat b)

Resultat

f_1 = 39{,}5\ \text{Hz}

f_2 = 79{,}1\ \text{Hz}

f_3 = 118{,}6\ \text{Hz}

;

\lambda_3 = 0{,}80\ \text{m}

Resolució

Harmònics. $f_n = n f_1$ : 39,5 Hz, 79,1 Hz i 118,6 Hz.
Longitud d'ona del tercer. $\lambda_3 = \dfrac{2L}{3} = \dfrac{2{,}40}{3} = 0{,}80\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

Nodes a 0; 0,40; 0,80 i 1,20 m; ventres a 0,20; 0,60 i 1,00 m

Resolució

Nodes. Estan separats $\tfrac{\lambda_3}{2} = 0{,}40\ \text{m}$ , començant per l'extrem fix: 0; 0,40; 0,80 i 1,20 m (els extrems inclosos).
Ventres. Al mig de cada parell de nodes: 0,20; 0,60 i 1,00 m.

Apartat d)

Resultat

T \approx 111{,}5\ \text{N}

(un 24 % més)

Resolució

Relació. $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ , així que $f \propto \sqrt{T}$ i $T = \mu\,(2L f)^{2}$ .
Càlcul. $v = 2L f = 2{,}40\cdot 44{,}0 = 105{,}6\ \text{m/s}$ i $T = \mu v^{2} = 0{,}010\cdot 105{,}6^{2} = 0{,}010\cdot 11\,151 \approx 111{,}5\ \text{N}$
Interpretació. Pujar la freqüència un 11 % demana un 24 % més de tensió, perquè la tensió va amb el quadrat de la freqüència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Dos tubs sonors tenen la mateixa longitud, 0,50 m: un és obert pels dos extrems i l'altre és tancat per un extrem (velocitat del so: 340 m/s).
a) Calcula la freqüència fonamental i els tres primers harmònics presents de cada tub.
b) Quina longitud ha de tenir un tub tancat perquè la seva fonamental sigui 440 Hz? I un d'obert?
c) Raona per què el tub tancat sona una octava més greu que l'obert de la mateixa longitud i quins harmònics hi falten.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

Obert:

f_1 = 340\ \text{Hz}

; harmònics 340, 680 i 1020 Hz. Tancat:

f_1 = 170\ \text{Hz}

; harmònics 170, 510 i 850 Hz

Resolució

Tub obert. Ventre a cada extrem: $L = n\,\tfrac{\lambda}{2}$ , $f_n = n\,\dfrac{v}{2L} = n\cdot\dfrac{340}{1{,}0} = n\cdot 340\ \text{Hz}$ : 340, 680 i 1020 Hz.
Tub tancat. Node a l'extrem tancat i ventre a l'obert: $L = (2n-1)\,\tfrac{\lambda}{4}$ , $f = (2n-1)\,\dfrac{v}{4L} = (2n-1)\cdot 170\ \text{Hz}$ : 170, 510 i 850 Hz.
Comprovació. 510 Hz és exactament 3 vegades 170 Hz, i 850 Hz és 5 vegades.

Apartat b)

Resultat

Tancat:

L \approx 0{,}193\ \text{m}

; obert:

L \approx 0{,}386\ \text{m}

Resolució

Tancat. $f = \dfrac{v}{4L}$ → $L = \dfrac{340}{4\cdot 440} \approx 0{,}193\ \text{m}$ .
Obert. $f = \dfrac{v}{2L}$ → $L = \dfrac{340}{880} \approx 0{,}386\ \text{m}$ , el doble.

Apartat c)

Resultat

Al tancat la fonamental té

\lambda = 4L

(el doble que a l'obert,

2L

): freqüència meitat, una octava més greu; hi falten els harmònics parells.

Resolució

Longitud d'ona fonamental. Al tub tancat, en el mode fonamental, la longitud és $\tfrac{\lambda}{4}$ ; a l'obert, $\tfrac{\lambda}{2}$ . Per tant λ és el doble al tancat i f és la meitat: una octava més greu.
Harmònics que hi falten. Només hi caben harmònics senars (1, 3, 5…): els parells (340 Hz, 680 Hz…) no poden tenir alhora un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert.
Conseqüència. Per això el timbre d'un clarinet (tub tancat) és diferent del d'una flauta (tub obert).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Dos altaveus, separats 4,0 m, emeten en fase el mateix to pur de 170 Hz (velocitat del so: 340 m/s). Es consideren els punts de la recta que els uneix, entre un altaveu i l'altre.
a) Calcula la longitud d'ona i la condició d'interferència constructiva i destructiva en funció de la diferència de recorreguts.
b) Troba les posicions (mesurades des del primer altaveu) dels punts d'interferència constructiva i destructiva.
c) Què passa al punt mig si els altaveus emeten en oposició de fase? Quines posicions tindrien llavors màxims?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\lambda = 2{,}0\ \text{m}

; constructiva si

\Delta = n\lambda

; destructiva si

\Delta = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{170} = 2{,}0\ \text{m}$ .
Condicions (fonts en fase). Constructiva: $\Delta = n\lambda = 2{,}0\,n\ \text{m}$ (n enter). Destructiva: $\Delta = \left(n + \tfrac{1}{2}\right)\lambda = 1{,}0;\ 3{,}0\ \text{m}\ldots$

Apartat b)

Resultat

Constructiva: x = 0; 1,0; 2,0; 3,0 i 4,0 m (0 i 4,0 m són just als altaveus). Destructiva: x = 0,5; 1,5; 2,5 i 3,5 m

Resolució

Diferència de recorreguts. Un punt a x del primer altaveu és a $4{,}0 - x$ del segon: $\Delta = |x - (4{,}0 - x)| = |2x - 4{,}0|$ .
Constructiva. $|2x - 4| = 0,\ 2,\ 4$ : x = 2,0 m; x = 1,0 i 3,0 m; x = 0 i 4,0 m (just als altaveus).
Destructiva. $|2x - 4| = 1,\ 3$ : x = 1,5 i 2,5 m; x = 0,5 i 3,5 m.
Patró. Els màxims són cada $\tfrac{\lambda}{2} = 1{,}0\ \text{m}$ i els mínims a mig camí. Si caminessis per aquesta recta, sentiries el so fort i fluix cada metre: és el patró d'una ona estacionària.

Apartat c)

Resultat

Al punt mig hi ha interferència destructiva; els màxims passen a x = 0,5; 1,5; 2,5 i 3,5 m

Resolució

Desfasament addicional. En oposició de fase s'hi afegeix un desfasament de π: les condicions s'intercanvien (constructiva si $\Delta = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$ ).
Punt mig. $\Delta = 0$ : ara hi ha interferència destructiva (silenci).
Màxims. On abans hi havia mínims: x = 0,5; 1,5; 2,5 i 3,5 m.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Dues màquines d'un taller produeixen, al lloc de treball d'un operari, nivells sonors de 85 dB i 82 dB quan funcionen per separat. A l'altre extrem, un altaveu de concert dona 100 dB a 4,0 m (es considera una font puntual en espai lliure, $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ ).
a) Quin és el nivell d'intensitat quan les dues màquines funcionen alhora? (Cal sumar intensitats, no decibels.)
b) Si es duplica el nombre de màquines iguals, quant augmenta el nivell?
c) A quina distància de l'altaveu el nivell baixa a 85 dB (límit habitual per a 8 h)?
d) Quina és la intensitat a aquesta distància?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

\beta \approx 86{,}8\ \text{dB}

Resolució

Intensitats. $I_1 = 10^{-12}\cdot10^{8{,}5} = 3{,}16\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ i $I_2 = 10^{-12}\cdot10^{8{,}2} = 1{,}58\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ .
Suma d'intensitats. $I = 4{,}74\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ → $\beta = 10\log\dfrac{4{,}74\cdot10^{-4}}{10^{-12}} \approx 86{,}8\ \text{dB}$
Interpretació. Només 1,8 dB més que la màquina més sorollosa.

Apartat b)

Resultat

Augmenta

10\log 2 \approx 3{,}0\ \text{dB}

Resolució

Intensitat. Duplicar el nombre de fonts iguals duplica la intensitat total.
Càlcul. $\Delta\beta = 10\log\dfrac{2I}{I} = 10\log 2 \approx 3{,}0\ \text{dB}$ .

Apartat c)

Resultat

r_2 \approx 22{,}5\ \text{m}

Resolució

Font puntual. $I \propto \dfrac{1}{r^{2}}$ , així que $\beta_1 - \beta_2 = 20\log\dfrac{r_2}{r_1}$ .
Càlcul. $15 = 20\log\dfrac{r_2}{4{,}0}$ → $r_2 = 4{,}0\cdot10^{0{,}75} \approx 22{,}5\ \text{m}$ .
Comprovació. Cada duplicació de distància resta 6 dB; de 4 a 22,5 m hi ha unes 2,5 duplicacions (15 dB).

Apartat d)

Resultat

I \approx 3{,}2\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}

Resolució

Definició del nivell. $\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ → $I = I_0\cdot10^{\beta/10}$ .
Càlcul. $I = 10^{-12}\cdot10^{8{,}5} \approx 3{,}2\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Per afinar una guitarra se sent simultàniament la corda i un diapasó de 440 Hz, i s'hi perceben 4 pulsacions per segon. La freqüència d'una corda és proporcional a l'arrel quadrada de la tensió.
a) Quines freqüències podria tenir la corda?
b) En augmentar una mica la tensió, les pulsacions passen a 6 per segon. Quina era la freqüència inicial de la corda?
c) Quin augment relatiu de tensió caldria per afinar-la a 440 Hz si inicialment tenia la freqüència més alta? I la més baixa?
d) Explica què és una pulsació i quina és la freqüència de l'amplitud resultant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

f = 444\ \text{Hz}

f = 436\ \text{Hz}

Resolució

Pulsacions. La freqüència de pulsació és $|f_1 - f_2| = 4\ \text{Hz}$ .
Conclusió. La corda pot estar 4 Hz per sobre o per sota del diapasó: 444 Hz o 436 Hz.

Apartat b)

Resultat

Inicialment,

f = 444\ \text{Hz}

Resolució

Efecte de la tensió. Augmentar la tensió fa pujar la freqüència.
Raonament. Si hagués estat 436 Hz, s'acostaria a 440 Hz i les pulsacions baixarien; com que han pujat a 6 per segon, la corda s'allunyava de 440 Hz per dalt: era a 444 Hz (i ara a 446 Hz).

Apartat c)

Resultat

Des de 444 Hz: reduir la tensió un 1,8 %; des de 436 Hz: augmentar-la un 1,8 %

Resolució

Relació. $f \propto \sqrt{T}$ , així que $T \propto f^{2}$ i $\dfrac{T_f}{T_i} = \left(\dfrac{f_f}{f_i}\right)^{2}$ .
Des de 444 Hz. $\left(\tfrac{440}{444}\right)^{2} = 0{,}982$ : cal reduir la tensió un 1,8 %.
Des de 436 Hz. $\left(\tfrac{440}{436}\right)^{2} = 1{,}018$ : cal augmentar-la un 1,8 %.
Observació. Un canvi de tensió petit (1,8 %) mou la freqüència 4 Hz, uns 16 cèntims de semitò.

Apartat d)

Resultat

Una pulsació és la variació periòdica de l'amplitud quan se sumen dues ones de freqüències pròximes; la intensitat té màxims amb freqüència

|f_1 - f_2| = 4\ \text{Hz}

Resolució

Superposició. $y = A\left[\sin(2\pi f_1 t) + \sin(2\pi f_2 t)\right] = 2A\cos\!\big(\pi (f_1 - f_2)t\big)\,\sin\!\big(\pi (f_1 + f_2)t\big)$
Interpretació. L'orella percep el to mitjà, $\tfrac{f_1 + f_2}{2} = 442\ \text{Hz}$ , amb una amplitud que oscil·la lentament.
Freqüència de pulsació. La intensitat té un màxim cada $\tfrac{1}{4}\ \text{s}$ : 4 pulsacions per segon, $|f_1 - f_2|$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

La velocitat del so en l'aire depèn de la temperatura: v = 331,3· $\sqrt{1 + \tfrac{T}{273{,}15}}$ m/s, amb T en °C.
a) Calcula v a 0 °C, a 15 °C i a 30 °C.
b) Un eco torna 1,00 s després d'un crit un dia de 25 °C. Calcula la distància a la paret i l'error comès si es fa servir v = 340 m/s.
c) Un llamp, un dia de 25 °C, es veu 6,0 s abans del tro. A quina distància ha caigut?
d) De nit, l'aire a prop del terra és més fred que el de dalt; explica per què el so es sent més lluny.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

v(0\ ^\circ\text{C}) = 331{,}3\ \text{m/s}

;

v(15\ ^\circ\text{C}) \approx 340{,}3\ \text{m/s}

;

v(30\ ^\circ\text{C}) \approx 349{,}0\ \text{m/s}

Resolució

Fórmula. $v = 331{,}3\sqrt{1 + \dfrac{T}{273{,}15}}$ amb T en °C.
Càlcul. 0 °C: 331,3 m/s. 15 °C: $331{,}3\sqrt{1{,}0549} \approx 340{,}3\ \text{m/s}$ . 30 °C: $331{,}3\sqrt{1{,}1098} \approx 349{,}0\ \text{m/s}$ .
Interpretació. Cada grau fa pujar v uns 0,6 m/s.

Apartat b)

Resultat

d \approx 173{,}1\ \text{m}

; amb 340 m/s surt 170,0 m: error de −3,1 m (−1,8 %)

Resolució

Velocitat a 25 °C. $v = 331{,}3\sqrt{1{,}0915} \approx 346{,}1\ \text{m/s}$ .
Eco. L'eco fa anada i tornada: $d = v\cdot\dfrac{t}{2} = 346{,}1\cdot\dfrac{1{,}00}{2} \approx 173{,}1\ \text{m}$ .
Error. Amb 340 m/s: $d = 170{,}0\ \text{m}$ , un error de −3,1 m (−1,8 %).

Apartat c)

Resultat

d \approx 2077\ \text{m}

(uns 2,1 km)

Resolució

Llum. La llum triga unes 7 μs: és negligible, i els 6,0 s són el temps del so.
Càlcul. $d = v\cdot t = 346{,}1\cdot 6{,}0 \approx 2077\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

Com que v augmenta amb l'altura, el so es refracta i es doblega cap al terra (cap a l'aire fred, més lent): queda «atrapat» a prop del terra i arriba més lluny.

Resolució

Velocitat i altura. De nit l'aire fred és a prop del terra: allà el so va més lent, i v augmenta amb l'altura.
Refracció. El front d'ona es refracta i es doblega cap avall, cap a la zona de menor velocitat.
Conclusió. El so queda «atrapat» prop del terra i arriba més lluny que de dia, quan l'aire és més calent a prop del terra i el so es desvia cap amunt. La humitat i la pressió afecten molt poc v; la temperatura és el factor principal.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Dues cordes, de densitats lineals $μ_{1}$ = 0,020 kg/m i $μ_{2}$ = 0,080 kg/m, es lliguen l'una a l'altra i es tensen amb 50 N. Una ona harmònica de 10 Hz i 4,0 cm d'amplitud viatja per la primera i arriba a l'unió. Les amplituds de l'ona reflectida i la transmesa són r = $\tfrac{(v_{2} - v_{1})}{(v_{2} + v_{1})}$ i t = 2v₂/( $v_{2}$ + $v_{1}$ ) vegades la incident.
a) Calcula les velocitats i les longituds d'ona en cada corda.
b) Quina freqüència té l'ona transmesa? Justifica-ho.
c) Calcula les amplituds de l'ona reflectida i la transmesa. Què significa el signe de la reflectida?
d) Quina fracció de l'energia es reflecteix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

v_1 = 50\ \text{m/s}

\lambda_1 = 5{,}0\ \text{m}

;

v_2 = 25\ \text{m/s}

\lambda_2 = 2{,}5\ \text{m}

Resolució

Velocitat a cada corda. $v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$ : $v_1 = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}020}} = 50\ \text{m/s}$ i $v_2 = \sqrt{\dfrac{50}{0{,}080}} = 25\ \text{m/s}$ .
Longituds d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f}$ : $\lambda_1 = \dfrac{50}{10} = 5{,}0\ \text{m}$ i $\lambda_2 = \dfrac{25}{10} = 2{,}5\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

f = 10\ \text{Hz}

, la mateixa que la incident

Resolució

La unió fa de font. Cada punt de la unió vibra amb la freqüència de l'ona incident, i la corda 2 el segueix.
Conclusió. La freqüència no canvia en passar de medi (la fixa la font); canvien la velocitat i la longitud d'ona.

Apartat c)

Resultat

Reflectida:

-1{,}33\ \text{cm}

(inversió de fase); transmesa:

2{,}67\ \text{cm}

Resolució

Reflectida. $r = \dfrac{25 - 50}{25 + 50} = -\dfrac{1}{3}$ : amplitud $-\tfrac{1}{3}\cdot 4{,}0 \approx -1{,}33\ \text{cm}$ .
Transmesa. $t = \dfrac{2\cdot 25}{75} = \dfrac{2}{3}$ : amplitud $\tfrac{2}{3}\cdot 4{,}0 \approx 2{,}67\ \text{cm}$ .
Signe. El signe negatiu indica una inversió de fase de π: hi ha reflexió en un medi més pesat (més lent).
Comprovació. $1 + r = t$ (4,0 − 1,33 = 2,67 cm): la corda és contínua a la unió.

Apartat d)

Resultat

Es reflecteix

r^{2} = \tfrac{1}{9} \approx 11\ \%

de l'energia (i se'n transmet el 89 %)

Resolució

Energia i amplitud. L'energia que transporta l'ona és proporcional a l'amplitud al quadrat per la impedància $\sqrt{T\mu}$ ; la reflectida viatja per la mateixa corda que la incident.
Càlcul. Fracció reflectida $= r^{2} = \tfrac{1}{9} \approx 11\ \%$ ; la transmesa és $\tfrac{8}{9} \approx 89\ \%$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Dues ones harmòniques coherents, de la mateixa freqüència i amplitud A, es propaguen en el mateix sentit amb un desfasament δ entre elles: $y_{1}$ = A·sin(kx − ωt) i $y_{2}$ = A·sin(kx − ωt + δ). Se sap que sin a + sin b = 2·sin( $\tfrac{(a + b)}{2}$ )·cos( $\tfrac{(a - b)}{2}$ ).
a) Demostra que l'ona resultant té amplitud 2A·|cos( $\tfrac{\delta}{2}$ )|.
b) Calcula l'amplitud i el quocient d'intensitats respecte d'una sola ona per a δ = 0, $\tfrac{\pi}{3}$ i π.
c) Quina intensitat resultaria si les ones fossin incoherents? Compara-ho amb el cas δ = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

y = 2A\cos\tfrac{\delta}{2}\,\sin\!\left(kx - \omega t + \tfrac{\delta}{2}\right)

: una ona de la mateixa freqüència i amplitud

2A\left|\cos\tfrac{\delta}{2}\right|

Resolució

Superposició. $y = y_1 + y_2 = A\left[\sin a + \sin b\right]$ amb $a = kx - \omega t + \delta$ i $b = kx - \omega t$ .
Identitat trigonomètrica. $\tfrac{a + b}{2} = kx - \omega t + \tfrac{\delta}{2}$ i $\tfrac{a - b}{2} = \tfrac{\delta}{2}$ : $y = 2A\cos\dfrac{\delta}{2}\,\sin\!\left(kx - \omega t + \dfrac{\delta}{2}\right)$
Conclusió. És una ona harmònica de la mateixa freqüència, desfasada $\tfrac{\delta}{2}$ , i el factor que multiplica el sinus (en valor absolut) és l'amplitud: $2A\left|\cos\tfrac{\delta}{2}\right|$ .

Apartat b)

Resultat

δ = 0: amplitud 2A,

I/I_1 = 4

; δ = π/3: amplitud

\sqrt{3}A \approx 1{,}73A

I/I_1 = 3

; δ = π: amplitud 0,

I/I_1 = 0

Resolució

Intensitat. És proporcional al quadrat de l'amplitud: $\dfrac{I}{I_1} = 4\cos^{2}\dfrac{\delta}{2}$ .
δ = 0. Amplitud 2A, quocient 4 (constructiva total).
δ = π/3. Amplitud $2A\cos 30^\circ = \sqrt{3}A \approx 1{,}73A$ , quocient 3,0.
δ = π. Amplitud 0, quocient 0 (destructiva total).

Apartat c)

Resultat

Incoherents:

I = 2I_1

, la meitat que en el cas coherent amb δ = 0 (

4I_1

Resolució

Ones incoherents. El desfasament varia a l'atzar; la mitjana de $\cos^{2}\tfrac{\delta}{2}$ és $\tfrac{1}{2}$ , així que les intensitats simplement se sumen: $I = 4I_1\cdot\tfrac{1}{2} = 2I_1$ .
Comparació. La coherent constructiva dona $4I_1$ , el doble.
Observació. La interferència no crea ni destrueix energia: en els punts destructius hi falta el que sobra en els constructius, i la mitjana espacial és $2I_1$ , igual que en el cas incoherent.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

En un experiment amb un tub de ressonància (tub tancat per sota per l'aigua), un diapasó de 440 Hz s'acosta a la boca del tub. Se sent un reforç del so quan la columna d'aire fa 16,5 cm, 55,5 cm i 94,5 cm (±0,5 cm).
a) Calcula la longitud d'ona a partir de la separació entre ressonàncies consecutives i la velocitat del so amb la seva incertesa.
b) Calcula la correcció d'extrem i el radi del tub (la correcció d'extrem és aproximadament 0,6·r).
c) Si v = 331,3· $\sqrt{1 + \tfrac{T}{273{,}15}}$ , calcula la temperatura de l'aire.
d) Per què la primera ressonància no és a $\tfrac{\lambda}{4}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\lambda = 78{,}0\ \text{cm}

;

v = 343 \pm 6\ \text{m/s}

Resolució

Separació entre ressonàncies. Entre ressonàncies consecutives la columna augmenta $\tfrac{\lambda}{2}$ : 55,5 − 16,5 = 39,0 cm i 94,5 − 55,5 = 39,0 cm, així que $\lambda = 78{,}0\ \text{cm}$ .
Velocitat. $v = f\lambda = 440\cdot 0{,}780 \approx 343{,}2\ \text{m/s}$ .
Incertesa. Cada diferència de longituds té una incertesa de $\sqrt{2}\cdot 0{,}5 \approx 0{,}7\ \text{cm}$ ; com que $\lambda = 2\Delta L$ , $\Delta\lambda \approx 1{,}4\ \text{cm}$ (1,8 %), i $\Delta v \approx 440\cdot 0{,}014 \approx 6\ \text{m/s}$ . Resultat: $v = 343 \pm 6\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

e = 3{,}0\ \text{cm}

;

r \approx 5{,}0\ \text{cm}

Resolució

Correcció d'extrem. $\tfrac{\lambda}{4} = 19{,}5\ \text{cm}$ , però la primera ressonància és a 16,5 cm: $e = 19{,}5 - 16{,}5 = 3{,}0\ \text{cm}$ .
Radi. $r = \dfrac{e}{0{,}6} = \dfrac{3{,}0}{0{,}6} = 5{,}0\ \text{cm}$ .
Comprovació. 16,5 + 3,0 = 19,5 cm = $\tfrac{\lambda}{4}$ ; 55,5 + 3,0 = 58,5 cm = $\tfrac{3\lambda}{4}$ ; 94,5 + 3,0 = 97,5 cm = $\tfrac{5\lambda}{4}$ .

Apartat c)

Resultat

T \approx 20{,}0\ ^\circ\text{C}

Resolució

Equació. $343{,}2 = 331{,}3\sqrt{1 + \dfrac{T}{273{,}15}}$ .
Aïllem T. $1 + \dfrac{T}{273{,}15} = \left(\dfrac{343{,}2}{331{,}3}\right)^{2} = 1{,}0731$ → $T \approx 20{,}0\ ^\circ\text{C}$ .

Apartat d)

Resultat

Perquè el ventre no és exactament a la boca del tub sinó una mica més enllà: la longitud efectiva és

L + e

Resolució

Ventre fora del tub. El ventre de desplaçament (node de pressió) no és exactament a la boca, sinó una mica més enllà: l'aire de fora també participa en la vibració.
Longitud efectiva. La longitud que compta és $L + e$ ; per això un sol mesurament de $\tfrac{\lambda}{4}$ amb L dona un valor erroni.
Mètode millor. Mesurar la separació entre ressonàncies consecutives elimina e.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un radar d'ultrasons de 40 kHz s'usa per mesurar velocitats (velocitat del so: 340 m/s). Un cotxe s'acosta a 20 m/s. El cotxe, fent de receptor mòbil, rep l'ona i la reemet com una font mòbil.
a) Calcula la freqüència que rep el cotxe i la freqüència de l'eco que torna al radar.
b) Quina és la freqüència de pulsació entre l'emesa i l'eco?
c) Quina seria la freqüència de l'eco si el cotxe s'allunyés a 20 m/s?
d) Un ratpenat que vola a 5 m/s cap a una paret emet 40 kHz: quina freqüència sent de l'eco?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

El cotxe rep

f' \approx 42\,353\ \text{Hz}

; l'eco torna amb

f'' = 45\,000\ \text{Hz}

Resolució

Cotxe com a observador que s'acosta. $f' = f\cdot\dfrac{v + v_c}{v} = 40\,000\cdot\dfrac{360}{340} \approx 42\,353\ \text{Hz}$ .
Cotxe com a font que s'acosta. $f'' = f'\cdot\dfrac{v}{v - v_c} = 42\,353\cdot\dfrac{340}{320} = 45\,000\ \text{Hz}$ .
En conjunt. $f'' = f\cdot\dfrac{v + v_c}{v - v_c} = 40\,000\cdot\dfrac{360}{320} = 45\,000\ \text{Hz}$

Apartat b)

Resultat

f_{\text{puls}} = 5000\ \text{Hz}

Resolució

Pulsació. Si l'eco es mescla amb l'ona emesa: $f_{\text{puls}} = 45\,000 - 40\,000 = 5000\ \text{Hz}$ .
Mesura de la velocitat. D'aquesta desviació s'obté la velocitat del cotxe: $v_c = v\cdot\dfrac{f'' - f}{f'' + f} = 340\cdot\dfrac{5000}{85\,000} = 20\ \text{m/s}$
Aproximació. Per a $v_c$ molt menor que v, $\Delta f \approx 2f\,\dfrac{v_c}{v} = 2\cdot 40\,000\cdot\dfrac{20}{340} \approx 4706\ \text{Hz}$ , prou a prop del valor exacte de 5000 Hz.

Apartat c)

Resultat

f'' \approx 35\,556\ \text{Hz}

Resolució

Cotxe que s'allunya. S'inverteixen els signes: $f'' = f\cdot\dfrac{v - v_c}{v + v_c} = 40\,000\cdot\dfrac{320}{360} \approx 35\,556\ \text{Hz}$
Interpretació. El desplaçament és de −4444 Hz, menor en valor absolut que quan s'acosta.

Apartat d)

Resultat

f'' \approx 41\,194\ \text{Hz}

Resolució

Plantejament. La paret és fixa; el ratpenat és font (en emetre) i observador (en rebre l'eco), i s'acosta a 5 m/s.
Càlcul. $f'' = f\cdot\dfrac{v + v_r}{v - v_r} = 40\,000\cdot\dfrac{345}{335} \approx 41\,194\ \text{Hz}$
Interpretació. El desplaçament de 1194 Hz li indica que s'acosta a la paret a 5 m/s.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Una habitació té una paret exterior amb una finestra que ocupa el 10 % de la seva superfície. La paret opaca atenua el so 30 dB i la finestra, 20 dB. L'atenuació d'un element és TL = 10·log( $\tfrac{1}{\tau}$ ), on τ és la fracció d'energia transmesa; per a una paret composta, $τ_{\mathrm{total}}$ = Σ $f_{i}$ · $τ_{i}$ , amb $f_{i}$ la fracció d'àrea. A fora hi ha un soroll de trànsit de 78 dB.
a) Calcula τ de la paret i de la finestra.
b) Calcula l'atenuació de la paret composta i el nivell a dins.
c) Quin nivell tindria a dins si no hi hagués finestra (tot paret)? I si tot fos finestra?
d) Quina atenuació de la finestra caldria perquè el conjunt arribés a 30 dB? Què se'n dedueix?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

\tau_{\text{paret}} = 10^{-3}

;

\tau_{\text{finestra}} = 10^{-2}

Resolució

Atenuació. $TL = 10\log\dfrac{1}{\tau}$ → $\tau = 10^{-TL/10}$ .
Càlcul. Paret: $\tau = 10^{-30/10} = 10^{-3}$ . Finestra: $\tau = 10^{-20/10} = 10^{-2}$ .

Apartat b)

Resultat

TL \approx 27{,}2\ \text{dB}

; nivell a dins

\approx 50{,}8\ \text{dB}

Resolució

Paret composta. $\tau_{\text{total}} = 0{,}90\cdot10^{-3} + 0{,}10\cdot10^{-2} = 9{,}0\cdot10^{-4} + 1{,}0\cdot10^{-3} = 1{,}9\cdot10^{-3}$
Atenuació. $TL = 10\log\dfrac{1}{1{,}9\cdot10^{-3}} \approx 27{,}2\ \text{dB}$ .
Nivell a dins. $78 - 27{,}2 \approx 50{,}8\ \text{dB}$ .

Apartat c)

Resultat

Tot paret: 48 dB; tot finestra: 58 dB

Resolució

Tot paret. $TL = 30\ \text{dB}$ : $78 - 30 = 48\ \text{dB}$ .
Tot finestra. $TL = 20\ \text{dB}$ : $78 - 20 = 58\ \text{dB}$ .

Apartat d)

Resultat

Caldria una finestra de 30 dB, igual que la paret: el punt feble (la finestra) domina l'aïllament.

Resolució

Condició. TL = 30 dB vol dir $\tau_{\text{total}} = 10^{-3}$ : $9{,}0\cdot10^{-4} + 0{,}10\,\tau_f = 1{,}0\cdot10^{-3}$ → $\tau_f = 1{,}0\cdot10^{-3}$ , és a dir, una finestra de 30 dB.
Exemple. Amb un doble vidre de 25 dB, $\tau_f = 3{,}2\cdot10^{-3}$ i $\tau_{\text{total}} = 9{,}0\cdot10^{-4} + 3{,}2\cdot10^{-4} = 1{,}22\cdot10^{-3}$ , o sigui 29,1 dB.
Conclusió. El punt feble domina: el 10 % d'àrea de finestra aporta el 53 % del so transmès ( $\tfrac{1{,}0\cdot10^{-3}}{1{,}9\cdot10^{-3}}$ ). Millorar la paret no serveix de gaire si no es millora la finestra.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

La velocitat del so en un gas ideal és v = √(γ·R·T/M), amb R = 8,31 J/(mol·K), T en kelvin i M en kg/mol. Compara l'aire (γ = 1,4; M = 0,029 kg/mol) i l'heli (γ = 5/3; M = 0,0040 kg/mol) a 20 °C.
a) Calcula la velocitat del so en cada gas i el seu quocient.
b) Modela el tracte vocal com un tub tancat de 17 cm i calcula'n la ressonància fonamental amb aire i amb heli.
c) Explica per què la veu d'una persona que inhala heli sona més aguda encara que les cordes vocals vibrin a la mateixa freqüència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

v_{\text{aire}} \approx 343\ \text{m/s}

;

v_{\text{heli}} \approx 1007\ \text{m/s}

; quocient

\approx 2{,}94

Resolució

Dades. $T = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\ \text{K}$ ; $v = \sqrt{\dfrac{\gamma R T}{M}}$ .
Aire. $v = \sqrt{\dfrac{1{,}4\cdot 8{,}31\cdot 293{,}15}{0{,}029}} \approx 343\ \text{m/s}$ .
Heli. $v = \sqrt{\dfrac{\tfrac{5}{3}\cdot 8{,}31\cdot 293{,}15}{0{,}0040}} \approx 1007\ \text{m/s}$ . Quocient: $\tfrac{1007}{343} \approx 2{,}94$ .
Comprovació. $v \propto \sqrt{\gamma/M}$ : $\sqrt{\tfrac{0{,}029}{0{,}0040}}\cdot\sqrt{\tfrac{5/3}{1{,}4}} = 2{,}69\cdot 1{,}09 \approx 2{,}94$ . L'heli és molt menys dens (M petita) i això fa v més gran; l'efecte de γ és menor.

Apartat b)

Resultat

Aire:

f_1 \approx 504\ \text{Hz}

; heli:

f_1 \approx 1481\ \text{Hz}

(unes 3 vegades més)

Resolució

Tub tancat. $f_1 = \dfrac{v}{4L}$ , amb $4L = 0{,}68\ \text{m}$ .
Càlcul. Aire: $\tfrac{343}{0{,}68} \approx 504\ \text{Hz}$ . Heli: $\tfrac{1007}{0{,}68} \approx 1481\ \text{Hz}$ .

Apartat c)

Resultat

Les cordes vocals fixen el to (la fonamental), però les ressonàncies del tracte vocal (formants) pugen gairebé un factor 3: canvia el timbre, no el to.

Resolució

Qui fixa el to. Les cordes vocals fixen la freqüència fonamental i no depenen del gas que hi ha a la gola.
Paper del tracte vocal. El tracte vocal ressona amb uns harmònics determinats (els formants), que donen el timbre, i aquestes ressonàncies són proporcionals a v.
Conclusió. Amb heli els formants pugen gairebé un factor 3 i reforcen harmònics més alts: la veu «de dibuixos animats» és un canvi de timbre, no de to.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

En un terratrèmol, les ones P (longitudinals) viatgen a 8,0 km/s i les ones S (transversals) a 4,5 km/s per l'escorça. Una estació sísmica enregistra la diferència S - P de 40 s.
a) Calcula la distància a l'epicentre i el temps de viatge de cada ona.
b) Una segona estació mesura una diferència de 25 s. A quina distància de l'epicentre és?
c) Si les ones P arriben a la primera estació a les 10 h 00 min 51,4 s, a quina hora ha començat el terratrèmol?
d) Per què les ones S no es propaguen pel nucli extern líquid? Quantes estacions calen per localitzar l'epicentre?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

d \approx 411\ \text{km}

;

t_P \approx 51{,}4\ \text{s}

;

t_S \approx 91{,}4\ \text{s}

Resolució

Diferència de temps. $\Delta t = \dfrac{d}{v_S} - \dfrac{d}{v_P} = d\left(\dfrac{1}{4{,}5} - \dfrac{1}{8{,}0}\right) = 0{,}0972\,d$ (d en km, Δt en s).
Distància. $d = \dfrac{40}{0{,}0972} \approx 411\ \text{km}$ .
Temps de viatge. P: $\tfrac{411}{8{,}0} \approx 51{,}4\ \text{s}$ . S: $\tfrac{411}{4{,}5} \approx 91{,}4\ \text{s}$ (diferència 40 s).

Apartat b)

Resultat

d \approx 257\ \text{km}

Resolució

Mateixa relació. $\Delta t = 0{,}0972\,d$ .
Càlcul. $d = \dfrac{25}{0{,}0972} \approx 257\ \text{km}$ .

Apartat c)

Resultat

A les 10 h 00 min 00,0 s

Resolució

Temps de viatge de les P. Fins a la primera estació triguen 51,4 s.
Hora d'origen. 10 h 00 min 51,4 s − 51,4 s = 10 h 00 min 00,0 s.

Apartat d)

Resultat

Les S són de cisallament i els líquids no tenen rigidesa per transmetre-les; calen almenys 3 estacions (triangulació).

Resolució

Ones S. Són ones de cisallament (transversals): necessiten un medi rígid que doni força de recuperació lateral, i els líquids no en tenen. Per això no travessen el nucli extern, i d'aquí s'ha deduït que és líquid.
Localització. Cada estació dona una distància, és a dir, una circumferència de possibles epicentres; calen almenys tres estacions perquè les circumferències es tallin en un sol punt (triangulació).
Observació. La diferència S − P ja dona la distància sense saber l'hora d'origen.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

En aigües profundes, la velocitat d'una ona superficial marina de longitud d'ona λ és v = $\sqrt{\tfrac{g\cdot \lambda}{(2\pi )}}$ (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). En aigües de poca profunditat h (h molt menor que λ, com en un tsunami), v = $\sqrt{g\cdot h}$ .
a) Calcula la velocitat i el període d'una onada de 100 m de longitud d'ona en aigües profundes.
b) Un tsunami de període 20 min es propaga per l'oceà amb h = 4000 m. Calcula la velocitat (en km/h) i la longitud d'ona.
c) Calcula la velocitat i la longitud d'ona quan arriba a la costa on h = 10 m (el període no canvia).
d) L'amplitud creix com h^{- $\tfrac{1}{4}$} (llei de Green). Si a alta mar és de 0,50 m, quina és prop de la costa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

v \approx 12{,}5\ \text{m/s}

;

T \approx 8{,}0\ \text{s}

Resolució

Aigües profundes. $v = \sqrt{\dfrac{g\lambda}{2\pi}} = \sqrt{\dfrac{9{,}8\cdot 100}{2\pi}} \approx 12{,}5\ \text{m/s}$ .
Període. $T = \dfrac{\lambda}{v} = \dfrac{100}{12{,}5} \approx 8{,}0\ \text{s}$ .

Apartat b)

Resultat

v \approx 198\ \text{m/s} \approx 713\ \text{km/h}

;

\lambda \approx 238\ \text{km}

Resolució

Aigües poc profundes. $v = \sqrt{g h} = \sqrt{9{,}8\cdot 4000} \approx 198\ \text{m/s} \approx 713\ \text{km/h}$ , com un avió.
Longitud d'ona. $\lambda = v T = 198\cdot 1200 \approx 2{,}38\cdot10^{5}\ \text{m} = 238\ \text{km}$ .
Validesa. λ és molt més gran que h = 4 km: la fórmula d'aigües poc profundes és vàlida.

Apartat c)

Resultat

v \approx 9{,}9\ \text{m/s} \approx 35{,}6\ \text{km/h}

;

\lambda \approx 11{,}9\ \text{km}

Resolució

Velocitat. $v = \sqrt{9{,}8\cdot 10} \approx 9{,}9\ \text{m/s} \approx 35{,}6\ \text{km/h}$ .
Longitud d'ona. El període no canvia: $\lambda = 9{,}9\cdot 1200 \approx 11{,}9\ \text{km}$ .
Interpretació. L'ona s'ha frenat unes 20 vegades i la longitud d'ona es redueix en la mateixa proporció.

Apartat d)

Resultat

A \approx 2{,}2\ \text{m}

Resolució

Llei de Green. $A \propto h^{-1/4}$ , així que $\dfrac{A_2}{A_1} = \left(\dfrac{h_1}{h_2}\right)^{1/4} = \left(\dfrac{4000}{10}\right)^{1/4} \approx 4{,}47$ .
Càlcul. $A_2 = 0{,}50\cdot 4{,}47 \approx 2{,}2\ \text{m}$ . A la pràctica, la forma de la costa o la ressonància de badies poden fer pujar encara més l'alçada final.
Interpretació. L'energia transportada es manté aproximadament mentre la velocitat baixa: per això l'amplitud ha de créixer. Un tsunami no és una «onada» sinó una elevació de tota la columna d'aigua.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Quan una ona de longitud d'ona λ passa per una obertura d'amplada a, el primer mínim de difracció apareix a un angle θ tal que sin θ = $\tfrac{\lambda}{a}$ (si λ < a). Aplica-ho a:
a) Un so de 1000 Hz (v = 340 m/s) que passa per una porta de 0,90 m d'amplada.
b) Un so de 3000 Hz en la mateixa porta.
c) Llum de 500 nm que passa per una escletxa de 0,10 mm.
d) Explica per què sents algú que parla darrere de la porta però no el veus, i què succeeix si la porta fos de 5 m d'amplada.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

\lambda = 0{,}34\ \text{m}

;

\theta \approx 22{,}2^\circ

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{340}{1000} = 0{,}34\ \text{m}$ .
Primer mínim. $\sin\theta = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{0{,}34}{0{,}90} = 0{,}378$ → $\theta \approx 22{,}2^\circ$ .
Interpretació. El so s'obre en un con ampli (±22° fins al primer mínim, i amb intensitat important encara més enllà).

Apartat b)

Resultat

\lambda \approx 0{,}113\ \text{m}

;

\theta \approx 7{,}2^\circ

Resolució

Càlcul. $\lambda = \dfrac{340}{3000} \approx 0{,}113\ \text{m}$ ; $\sin\theta = \dfrac{0{,}113}{0{,}90} \approx 0{,}126$ → $\theta \approx 7{,}2^\circ$ .
Interpretació. La difracció és més petita: els sons aguts són més direccionals i els greus «giren les cantonades». Per això un altaveu de greus pot estar amagat a qualsevol lloc de l'habitació; els aguts, no.

Apartat c)

Resultat

\theta \approx 0{,}29^\circ

: difracció gairebé inapreciable

Resolució

Càlcul. $\sin\theta = \dfrac{5{,}0\cdot10^{-7}}{1{,}0\cdot10^{-4}} = 5{,}0\cdot10^{-3}$ → $\theta \approx 0{,}29^\circ$ .
Interpretació. Fins i tot amb una escletxa tan estreta, la llum gairebé no es desvia.

Apartat d)

Resultat

El so (λ comparable a la porta) es difracta i la rodeja; la llum (λ un milió de vegades més petita) va en línia recta. Amb una porta de 5 m,

\theta \approx 3{,}9^\circ

: el so es difracta menys i l'ombra acústica és més marcada.

Resolució

Condició de difracció. La difracció és apreciable quan λ és comparable a l'obertura.
So i llum. Per al so, λ va de decímetres a metres, de l'ordre de la porta: es doblega cap a les cantonades. La llum té $\lambda \approx 5\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , un milió de cops menys que la porta: viatja en línia recta i no veus qui parla darrere.
Porta de 5 m. $\tfrac{\lambda}{a} = \tfrac{0{,}34}{5} = 0{,}068$ ( $\theta \approx 3{,}9^\circ$ ): el so també es concentra i l'«ombra acústica» és més marcada.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

El so passa de l'aire (v = 340 m/s, impedància acústica Z = ρv = 415 kg/(m²·s)) a l'aigua (v = 1480 m/s, Z = 1,48·10⁶ kg/(m²·s)). La llei de Snell és sin θ₁/v₁ = sin θ₂/v₂ i la fracció d'intensitat transmesa a incidència normal és 4·Z₁·Z₂/(Z₁ + Z₂)².
a) Calcula l'angle d'incidència a partir del qual el so de l'aire no pot entrar a l'aigua (angle crític).
b) Calcula la fracció d'intensitat transmesa a incidència normal i la reducció en decibels.
c) Explica per què, des de sota l'aigua, gairebé no se senten els sons de la superfície.
d) Per què el so d'un motor submergit tampoc no surt gaire de l'aigua?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

\theta_c \approx 13{,}3^\circ

Resolució

Llei de Snell. $\sin\theta_2 = \dfrac{v_2}{v_1}\sin\theta_1 = 4{,}35\sin\theta_1$ : en passar d'un medi lent (aire) a un de ràpid (aigua), el raig s'allunya de la normal.
Angle crític. Apareix quan $\theta_2 = 90^\circ$ : $\sin\theta_1 = \dfrac{340}{1480} = 0{,}230$ → $\theta_1 \approx 13{,}3^\circ$ .
Interpretació. Els sons de l'aire amb incidència superior a 13,3° es reflecteixen totalment; només els d'un con de 13,3° al voltant de la vertical penetren a l'aigua (i a dins s'obren fins a 90°).

Apartat b)

Resultat

Fracció transmesa

\approx 1{,}1\cdot10^{-3}

(0,11 %); reducció

\approx -29{,}5\ \text{dB}

Resolució

Fracció transmesa. $\dfrac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^{2}} = \dfrac{4\cdot 415\cdot 1{,}48\cdot10^{6}}{(1{,}48\cdot10^{6} + 415)^{2}} \approx 1{,}12\cdot10^{-3}$ Passa només el 0,11 % de la intensitat.
En decibels. $10\log(1{,}12\cdot10^{-3}) \approx -29{,}5\ \text{dB}$ .

Apartat c)

Resultat

Per la gran diferència d'impedàncies, la superfície reflecteix el 99,9 % de l'energia, i a més els raigs amb més de 13,3° no entren.

Resolució

Mirall acústic. Les impedàncies acústiques de l'aire i de l'aigua difereixen en un factor d'uns 3600: la superfície es comporta com un mirall i reflecteix el 99,9 % de l'energia.
Angle crític. A més, els raigs amb més de 13,3° d'incidència no entren.
Conclusió. Per això sota l'aigua sents poc la conversa de l'exterior.

Apartat d)

Resultat

La transmissió és simètrica: de l'aigua a l'aire també passa només el 0,11 % de la intensitat; el so queda gairebé tot atrapat a l'aigua.

Resolució

Simetria. La fracció transmesa $\tfrac{4Z_1Z_2}{(Z_1 + Z_2)^{2}}$ no canvia si s'intercanvien els medis: de l'aigua cap a l'aire també passa el 0,11 %, i el 99,9 % torna cap a l'aigua.
Conclusió. Un motor submergit se sent de lluny sota l'aigua, però poc per sobre. És el mateix motiu pel qual cal un gel d'acoblament a l'ecografia: eliminar l'aire perquè el so passi.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

En l'escala temperada, una octava es divideix en 12 semitons iguals, de manera que la freqüència de la nota situada n semitons per sobre del la₄ (440 Hz) és f_n = 440·2^{$\tfrac{n}{12}$}. Un cèntim és $\tfrac{1}{100}$ d'un semitò (un interval en cèntims es calcula com 1200·log₂(f₂/f₁)).
a) Calcula la freqüència del mi₅ (7 semitons per sobre) i la raó entre mi i la.
b) Compara-ho amb la quinta justa (raó $\tfrac{3}{2}$ ): quina és la diferència en cèntims?
c) Si es toquen alhora el la (440 Hz) i el mi temperat, el tercer harmònic del la i el segon del mi són gairebé iguals. Quantes pulsacions per segon s'hi produeixen?
d) Calcula la tercera major temperada (4 semitons), compara-la amb la justa ( $\tfrac{5}{4}$ ) i comenta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

f_{\text{mi}_5} \approx 659{,}3\ \text{Hz}

; raó

\approx 1{,}4983

Resolució

Escala temperada. $f_n = 440\cdot 2^{n/12}$ , amb n = 7.
Càlcul. $f_7 = 440\cdot 2^{7/12} = 440\cdot 1{,}4983 \approx 659{,}3\ \text{Hz}$ ; raó mi/la = 1,4983.

Apartat b)

Resultat

Diferència

\approx 1{,}96

cèntims (la quinta temperada és una mica estreta)

Resolució

Quinta justa. $440\cdot 1{,}5 = 660\ \text{Hz}$ .
Interval en cèntims. $1200\log_2\dfrac{1{,}5}{1{,}4983} \approx 1{,}96$ cèntims.
Interpretació. Gairebé indistingible: les quintes temperades són «una mica estretes».

Apartat c)

Resultat

\approx 1{,}5

pulsacions per segon

Resolució

Harmònics. Tercer del la: $3\cdot 440 = 1320\ \text{Hz}$ . Segon del mi: $2\cdot 659{,}3 = 1318{,}5\ \text{Hz}$ .
Pulsacions. $1320 - 1318{,}5 \approx 1{,}5\ \text{Hz}$ : un lleuger «batec» lent.

Apartat d)

Resultat

Temperada:

\approx 554{,}4\ \text{Hz}

(raó 1,2599); justa: 550 Hz (raó 1,25); diferència

\approx 13{,}7

cèntims, audible

Resolució

Tercera temperada. $2^{4/12} = 1{,}2599$ → $440\cdot 1{,}2599 \approx 554{,}4\ \text{Hz}$ .
Tercera justa. $\tfrac{5}{4} = 1{,}25$ → 550 Hz.
Diferència. $1200\log_2\dfrac{1{,}2599}{1{,}25} \approx 13{,}7$ cèntims: audible; la tercera temperada és una mica «ampla» i més aspra que la justa.
Comentari. L'escala temperada és un compromís que permet tocar en totes les tonalitats; cap interval, excepte l'octava, és exactament «pur».

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Un sonar d'un vaixell emet polsos de 50 kHz i 1,0 ms de durada. La velocitat del so a l'aigua de mar és 1500 m/s.
a) Un eco torna 0,400 s després d'emetre el pols. Quina és la profunditat?
b) Quina és la longitud d'ona i la longitud espacial del pols?
c) Dos objectes al fons només es distingeixen si els seus ecos no se solapen. Quina és la resolució vertical mínima?
d) Si el sonar emet 2 polsos per segon, quina és la profunditat màxima sense ambigüitat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

d = 300\ \text{m}

Resolució

Anada i tornada. El pols va i torna: $d = \dfrac{v t}{2}$ .
Càlcul. $d = \dfrac{1500\cdot 0{,}400}{2} = 300\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

\lambda = 3{,}0\ \text{cm}

; longitud del pols

= 1{,}5\ \text{m}

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{1500}{50\,000} = 0{,}030\ \text{m} = 3{,}0\ \text{cm}$ .
Longitud espacial del pols. $v\tau = 1500\cdot 1{,}0\cdot10^{-3} = 1{,}5\ \text{m}$ (50 longituds d'ona).

Apartat c)

Resultat

\Delta h_{\text{mín}} = 0{,}75\ \text{m}

Resolució

Condició. Dos reflectors donen ecos separats si la diferència de recorregut d'anada i tornada supera la longitud del pols: $2\Delta h \gt v\tau$ .
Càlcul. $\Delta h \gt \dfrac{1500\cdot 10^{-3}}{2} = 0{,}75\ \text{m}$ . La resolució millora amb polsos més curts.

Apartat d)

Resultat

d_{\text{màx}} = 375\ \text{m}

Resolució

Temps entre polsos. Amb 2 polsos per segon hi ha 0,50 s entre polsos, i l'eco ha d'arribar abans que s'emeti el següent.
Càlcul. $d_{\text{màx}} = \dfrac{1500\cdot 0{,}50}{2} = 375\ \text{m}$ .
Interpretació. Un eco de més avall es confondria amb el del pols següent; per mesurar més profund cal baixar la freqüència de repetició. Els 50 kHz donen un feix estret i bona resolució, però s'atenuen més que els sons greus: per això els sonars profunds usen freqüències baixes.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

Una ona sonora plana en l'aire (ρ = 1,2 $\text{kg/m}^{3}$ , v = 340 m/s) té una intensitat I = Δp_màx²/(2ρv), amb Δp_màx l'amplitud de pressió, i el desplaçament màxim de les molècules és s_màx = Δp_màx/(ρvω). El nivell és β = 10·log( $\tfrac{I}{10^{-12}}$ ).
a) Calcula la intensitat, l'amplitud de pressió i la relació amb la pressió atmosfèrica (101 325 Pa) d'un so de 60 dB.
b) Calcula el desplaçament màxim de les molècules a 1000 Hz i a 100 Hz.
c) Calcula l'amplitud de pressió del llindar de dolor (120 dB).
d) Comenta els ordres de magnitud.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

I = 1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^{2}

;

\Delta p_{\text{màx}} \approx 0{,}0286\ \text{Pa}

;

\approx 2{,}8\cdot10^{-7}

de la pressió atmosfèrica

Resolució

Intensitat. $I = 10^{-12}\cdot10^{60/10} = 1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$ .
Amplitud de pressió. $\Delta p_{\text{màx}} = \sqrt{2\rho v I} = \sqrt{2\cdot 1{,}2\cdot 340\cdot 1{,}0\cdot10^{-6}} \approx 0{,}0286\ \text{Pa}$
Comparació. $\dfrac{0{,}0286}{101\,325} \approx 2{,}8\cdot10^{-7}$ .

Apartat b)

Resultat

1000 Hz:

s_{\text{màx}} \approx 1{,}1\cdot10^{-8}\ \text{m} = 11\ \text{nm}

; 100 Hz:

s_{\text{màx}} \approx 1{,}1\cdot10^{-7}\ \text{m} = 110\ \text{nm}

Resolució

Fórmula. $s_{\text{màx}} = \dfrac{\Delta p_{\text{màx}}}{\rho v \omega}$ , amb $\omega = 2\pi f$ .
A 1000 Hz. $\omega = 6283\ \text{rad/s}$ : $s_{\text{màx}} = \dfrac{0{,}0286}{1{,}2\cdot 340\cdot 6283} \approx 1{,}1\cdot10^{-8}\ \text{m}$ .
A 100 Hz. $\omega = 628\ \text{rad/s}$ : $s_{\text{màx}} \approx 1{,}1\cdot10^{-7}\ \text{m}$ , 10 vegades més. A Δp constant, $s \propto \tfrac{1}{f}$ : per això els greus fan «moure» més l'aire.

Apartat c)

Resultat

\Delta p_{\text{màx}} \approx 28{,}6\ \text{Pa}

Resolució

Intensitat. 120 dB: $I = 10^{-12}\cdot10^{12} = 1{,}0\ \text{W/m}^{2}$ .
Càlcul. $\Delta p_{\text{màx}} = \sqrt{2\cdot 1{,}2\cdot 340\cdot 1{,}0} \approx 28{,}6\ \text{Pa}$ .

Apartat d)

Resultat

Els desplaçaments són de nanòmetres i les variacions de pressió, d'unes deumilionèsimes de la pressió atmosfèrica: l'orella és extraordinàriament sensible i cobreix un factor

10^{12}

en intensitat.

Resolució

Desplaçament. Un so de conversa (60 dB) mou les molècules d'aire només uns 11 nm, unes 30 vegades el diàmetre d'una molècula.
Pressió. Els canvis de pressió són d'unes $3\cdot10^{-7}$ vegades la pressió atmosfèrica (unes tres deumilionèsimes).
Rang de l'oïda. Entre el llindar d'audició (0 dB) i el de dolor (120 dB) la intensitat varia en un factor $10^{12}$ , i l'amplitud de pressió en un factor $10^{6}$ .
Conclusió. L'orella és un detector extraordinàriament sensible.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

El temps de reverberació d'una sala segons la fórmula de Sabine és $T_{60}$ = 0,161·V/A, amb V el volum ( $\text{m}^{3}$ ) i A = Σ $α_{i}$ · $S_{i}$ l'absorció total ( $\text{m}^{2}$ ), amb α el coeficient d'absorció de cada superfície. Una aula de 8,0 × 6,0 × 3,0 m té totes les superfícies (parets, terra i sostre) amb α = 0,10.
a) Calcula V, la superfície total, l'absorció A i $T_{60}$ .
b) Per a una bona intel·ligibilitat de la parla convé $T_{60}$ ≈ 0,6 s. Quina absorció total cal?
c) Si es cobreix part de les parets amb plafons absorbents (α = 0,80), quina superfície en cal?
d) Comenta per què un teatre buit té més reverberació que ple.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

V = 144\ \text{m}^{3}

;

S = 180\ \text{m}^{2}

;

A = 18{,}0\ \text{m}^{2}

;

T_{60} \approx 1{,}29\ \text{s}

Resolució

Volum i superfície. $V = 8{,}0\cdot 6{,}0\cdot 3{,}0 = 144\ \text{m}^{3}$ ; $S = 2\,(8\cdot 6 + 8\cdot 3 + 6\cdot 3) = 2\,(48 + 24 + 18) = 180\ \text{m}^{2}$ .
Absorció. $A = \alpha S = 0{,}10\cdot 180 = 18{,}0\ \text{m}^{2}$ .
Fórmula de Sabine. $T_{60} = \dfrac{0{,}161\cdot 144}{18{,}0} \approx 1{,}29\ \text{s}$ Massa reverberant: el so dura més d'un segon.

Apartat b)

Resultat

A \approx 38{,}6\ \text{m}^{2}

(cal afegir-ne 20,6 m²)

Resolució

Aïllem A. $A = \dfrac{0{,}161\,V}{T_{60}} = \dfrac{0{,}161\cdot 144}{0{,}60} \approx 38{,}6\ \text{m}^{2}$ .
Increment. Cal afegir $38{,}6 - 18{,}0 = 20{,}6\ \text{m}^{2}$ d'absorció.

Apartat c)

Resultat

S_{\text{plafons}} \approx 29{,}5\ \text{m}^{2}

Resolució

Absorció neta per m². Cada metre quadrat de plafó substitueix una superfície amb α = 0,10: aporta $0{,}80 - 0{,}10 = 0{,}70\ \text{m}^{2}$ d'absorció neta.
Càlcul. $S = \dfrac{20{,}6}{0{,}70} \approx 29{,}5\ \text{m}^{2}$ , un 16 % de la superfície total (més que tota una paret gran, que fa 8,0 · 3,0 = 24 m²).
Comprovació. $A = 18{,}0 + 0{,}70\cdot 29{,}5 \approx 38{,}6\ \text{m}^{2}$ i $T_{60} = \dfrac{0{,}161\cdot 144}{38{,}6} \approx 0{,}60\ \text{s}$ .

Apartat d)

Resultat

El públic (i les butaques tapisades) absorbeix molt: augmenta A i, com que

T_{60} \propto \tfrac{1}{A}

, la reverberació disminueix.

Resolució

Absorció del públic. Les persones i les butaques tapisades tenen un coeficient α alt.
Fórmula de Sabine. Un teatre ple té una absorció A més gran i, com que $T_{60}$ és inversament proporcional a A, un temps de reverberació més curt.
Conseqüència. Per això els assajos es fan amb la sala ocupada o s'hi afegeixen cortines.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què canvia quan el so passa de l'aire a l'aigua?

Canvien la velocitat i la longitud d'ona, però la freqüència es manté, perquè la imposa la font que fa el so.

Com es calcula el nivell d'intensitat sonora en decibels?

Amb β = 10 · log (I / I zero), on I zero és el llindar d'audició, 10 elevat a −12 W per metre quadrat. Cada 10 dB, la intensitat es multiplica per 10.

Tornar a Física i Química