Exercicis de màquines i transmissions — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Q: Per a què serveix una roda boja?

Per canviar el sentit de gir de la roda de sortida sense modificar la relació de transmissió.

Q: Quin és el rendiment màxim d'una màquina tèrmica?

El de Carnot: 1 menys la temperatura del focus fred dividida per la del calent, totes dues en kelvin. Cap màquina real no hi arriba.

Aquests exercicis treballen les màquines des de la transmissió del moviment fins a la conversió de calor en treball. Calcules relacions de transmissió en trens d'engranatges, també amb una roda boja intermèdia, i relaciones el parell, la velocitat i la potència d'un eix. Després estudies les màquines tèrmiques: per què cap no pot tenir un rendiment del 100 % i com es calcula el rendiment màxim entre dos focus a partir de les temperatures. També compares el manteniment correctiu i el preventiu i analitzes estructures senzilles, com una mènsula de paret. Errors típics: pensar que en un reductor el parell també baixa i creure que es pot convertir tota la calor en treball.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

En un tren d'engranatges hi ha una roda boja intermèdia entre el pinyó d'entrada (16 dents) i la roda de sortida (48 dents). Digues quina és la relació de transmissió total i quin efecte té la roda boja.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

i_{\mathrm{total}} = \dfrac{16}{48} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333

(reductor 3:1). La roda boja no canvia la relació: només fa que la sortida giri en el mateix sentit que l'entrada.

Resolució

Dades. Pinyó d'entrada $z_1 = 16$ , roda boja intermèdia (nombre de dents qualsevol) i roda de sortida $z_2 = 48$ .
Relació de transmissió d'un tren simple. En un tren simple, les dents de la roda boja apareixen al numerador i al denominador i es cancel·len: la relació total depèn només de la primera i de l'última roda. $i_{\mathrm{total}} = \dfrac{z_{\mathrm{entrada}}}{z_{\mathrm{sortida}}}$
Càlcul. $i_{\mathrm{total}} = \dfrac{16}{48} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$ : la roda de sortida gira 3 vegades més a poc a poc que el pinyó.
Efecte de la roda boja. Cada engranament exterior inverteix el sentit de gir. Amb dues rodes, la sortida giraria al revés que l'entrada; amb la roda boja hi ha dos engranaments, i la sortida gira en el mateix sentit que l'entrada.
Conclusió. La roda boja no modifica la relació total (ni la velocitat ni el parell de sortida); el seu únic efecte és invertir el sentit de gir de la sortida (i, si cal, salvar la distància entre eixos).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Una màquina absorbeix 5 kW de la xarxa i en dona 4,1 kW d'útils. Calcula el rendiment en tant per cent i la potència perduda.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

\eta = 82\ \%

;

P_{\mathrm{perduda}} = 0{,}9\ \text{kW}

Resolució

Dades. Potència absorbida $P_{\mathrm{abs}} = 5\ \text{kW}$ ; potència útil $P_{\mathrm{u}} = 4{,}1\ \text{kW}$ .
Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{\mathrm{u}}}{P_{\mathrm{abs}}} = \dfrac{4{,}1}{5} = 0{,}82 = 82\ \%$
Conservació de l'energia. $P_{\mathrm{perduda}} = P_{\mathrm{abs}} - P_{\mathrm{u}} = 5 - 4{,}1 = 0{,}9\ \text{kW}$ .
Conclusió. La màquina aprofita el 82 % de la potència; els 0,9 kW restants es dissipen sobretot en fricció i calor.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Explica per què cap màquina tèrmica pot tenir un rendiment del 100 % i quina relació té això amb el segon principi de la termodinàmica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Perquè sempre s'ha de cedir una part de la calor (

Q_2

) a un focus fred: el segon principi prohibeix una màquina cíclica que transformi tota la calor en treball, i per això

\eta < 1

Resolució

Funcionament d'una màquina tèrmica. Absorbeix una calor $Q_1$ d'un focus calent, en transforma una part en treball $W$ i cedeix la resta, $Q_2$ , a un focus fred: $W = Q_1 - Q_2$ i $\eta = \dfrac{W}{Q_1} = 1 - \dfrac{Q_2}{Q_1}$ .
Què voldria dir un 100 %. Si el rendiment fos del 100 %, $Q_2$ seria zero i tota la calor absorbida es convertiria en treball.
Segon principi de la termodinàmica. Estableix precisament que no pot existir una màquina que, funcionant cíclicament, transformi tota la calor en treball sense cedir-ne una part a un focus més fred. És impossible convertir íntegrament en treball la calor absorbida.
Conclusió. Sempre hi ha una $Q_2 > 0$ que es cedeix al focus fred, i per això el rendiment és sempre bastant menor que 1 (fins i tot el de la màquina ideal de Carnot, $1 - T_2/T_1$ , és inferior a 1).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una politja motriu de 80 mm de diàmetre gira a 1200 rpm i mou, mitjançant una corretja, una politja conduïda de 240 mm de diàmetre. Calcula la relació de transmissió (i = $\tfrac{n_{\mathrm{conduïda}}}{n_{\mathrm{motriu}}}$ ) i la velocitat de gir de la politja conduïda, i digues si el sistema és reductor o multiplicador.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

i = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33

;

n_{\mathrm{conduïda}} = 400\ \text{rpm}

; és un sistema reductor.

Resolució

Dades. $d_{\mathrm{motriu}} = 80\ \text{mm}$ , $n_{\mathrm{motriu}} = 1200\ \text{rpm}$ , $d_{\mathrm{conduïda}} = 240\ \text{mm}$ .
Relació de transmissió per politges. Sense lliscament, la velocitat lineal de la corretja és la mateixa a les dues politges, i les velocitats de gir són inversament proporcionals als diàmetres: $i = \dfrac{n_{\mathrm{conduïda}}}{n_{\mathrm{motriu}}} = \dfrac{d_{\mathrm{motriu}}}{d_{\mathrm{conduïda}}} = \dfrac{80}{240} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$
Càlcul. $n_{\mathrm{conduïda}} = i\cdot n_{\mathrm{motriu}} = \dfrac{1}{3}\cdot 1200 = 400\ \text{rpm}$ .
Conclusió. Com que $i < 1$ , és un reductor: la velocitat baixa a una tercera part i, per conservar la potència, el parell es multiplica per uns tres (menys les pèrdues). Comprovació: 240 és 3 vegades 80, així que la politja gran fa una volta mentre la petita en fa tres.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un motor elèctric de 3 kW gira a 1500 rpm. Calcula la seva velocitat angular en rad/s i el parell que lliura (P = M·ω).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\omega \approx 157{,}1\ \text{rad/s}

;

M \approx 19{,}1\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. $P = 3\ \text{kW} = 3000\ \text{W}$ , $n = 1500\ \text{rpm}$ .
Velocitat angular. Una volta són $2\pi$ rad i un minut són 60 s: $\omega = n\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 1500\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 157{,}1\ \text{rad/s}$
Parell. De $P = M\cdot\omega$ : $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{3000}{157{,}1} = 19{,}1\ \text{N}\cdot\text{m}$
Comprovació. $19{,}1\ \text{N}\cdot\text{m}\cdot 157{,}1\ \text{rad/s} \approx 3000\ \text{W}$ . Error típic: posar les rpm directament a la fórmula $P = M\cdot\omega$ ; primer s'han de passar a rad/s.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un motor de quatre cilindres té un diàmetre de cilindre (alèsatge) de 76 mm i una carrera de 82 mm. Calcula la cilindrada unitària i la cilindrada total, en cm³ i en litres.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

V_u \approx 372{,}0\ \text{cm}^{3} = 0{,}372\ \text{L}

;

V_T \approx 1488\ \text{cm}^{3} \approx 1{,}49\ \text{L}

Resolució

Dades. Alèsatge $D = 76\ \text{mm} = 7{,}6\ \text{cm}$ , carrera $C = 82\ \text{mm} = 8{,}2\ \text{cm}$ , 4 cilindres.
Cilindrada unitària. És el volum que escombra el pistó en una carrera (un cilindre de diàmetre $D$ i altura $C$ ): $V_u = \dfrac{\pi D^{2}}{4}\cdot C = \dfrac{\pi\cdot 7{,}6^{2}}{4}\cdot 8{,}2 = 372{,}0\ \text{cm}^{3} = 0{,}372\ \text{L}$
Cilindrada total. $V_T = 4\cdot V_u = 4\cdot 372{,}0 = 1488\ \text{cm}^{3} = 1{,}49\ \text{L}$ ( $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^{3}$ ).
Conclusió. És un motor d'uns 1,5 L. Error típic: barrejar mm i cm, o oblidar multiplicar pel nombre de cilindres.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Un cargol de potència (cargol-femella) amb rosca d'una entrada té un pas de 4 mm i gira a 300 rpm. Calcula l'avanç de la femella en cada volta, la seva velocitat lineal en mm/s i el temps que triga a recórrer 150 mm.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Avanç:

4\ \text{mm/volta}

;

v = 20\ \text{mm/s}

;

t = 7{,}5\ \text{s}

Resolució

Dades. Rosca d'una entrada, pas $p = 4\ \text{mm}$ , $n = 300\ \text{rpm}$ , recorregut $L = 150\ \text{mm}$ .
Avanç per volta. Amb una sola entrada, en cada volta la femella avança un pas: $a = p = 4\ \text{mm/volta}$ .
Velocitat lineal. $v = a\cdot n = 4\cdot 300 = 1200\ \text{mm/min} = \dfrac{1200}{60} = 20\ \text{mm/s}$ .
Temps. $t = \dfrac{L}{v} = \dfrac{150}{20} = 7{,}5\ \text{s}$ .
Conclusió. Aquest mecanisme transforma un gir en un moviment rectilini amb molta precisió i molta força, però amb un rendiment baix per la fricció.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

En un motor, la manovella té un radi de 45 mm i gira a 3000 rpm. Calcula la carrera del pistó i la seva velocitat mitjana ( $v_{m}$ = 2·C· $\tfrac{n}{60}$ , amb la carrera C en m i n en rpm).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

C = 90\ \text{mm} = 0{,}090\ \text{m}

;

v_m = 9\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Radi de la manovella $r = 45\ \text{mm}$ , $n = 3000\ \text{rpm}$ .
Carrera en un biela-manovella. El pistó va del punt mort superior a l'inferior mentre la manovella fa mitja volta: la carrera és el doble del radi, $C = 2r = 2\cdot 45 = 90\ \text{mm} = 0{,}090\ \text{m}$ .
Velocitat mitjana. $v_m = 2\cdot C\cdot\dfrac{n}{60} = 2\cdot 0{,}090\cdot\dfrac{3000}{60} = 9\ \text{m/s}$ A cada volta el pistó recorre $2\cdot 0{,}090 = 0{,}18\ \text{m}$ (puja i baixa), i en fa 50 per segon.
Conclusió. Fixa't que és una velocitat mitjana: el pistó s'atura als punts morts superior i inferior i va més de pressa cap a la meitat de la carrera.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Indica quin mecanisme és el més adequat en cada cas (cargol sense fi i roda dentada, biela-manovella, lleva i palpador, pinyó i cremallera, cadena i pinyons):
a) convertir el gir d'un motor en el moviment rectilini alternatiu d'un pistó;
b) aconseguir una gran reducció de velocitat en poc espai, amb un sol parell d'elements i sense que la càrrega pugui fer girar el motor al revés;
c) obrir una vàlvula en un instant determinat de cada volta, seguint un moviment programat;
d) transmetre el moviment entre dos eixos paral·lels separats uns 40 cm, sense lliscament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Biela-manovella.

Resolució

Què es demana. Convertir un gir continu en un moviment rectilini alternatiu (vaivé).
Mecanisme. En el biela-manovella, el gir de la manovella es converteix en el vaivé rectilini del pistó (i a l'inrevés, com en un motor de combustió).

Apartat b)

Resultat

Cargol sense fi i roda dentada.

Resolució

Què es demana. Una reducció molt gran amb un sol parell d'elements i que la càrrega no pugui fer girar el motor al revés.
Mecanisme. El cargol sense fi permet relacions de reducció molt grans (per exemple $\tfrac{1}{40}$ ) amb un sol parell, i quan el rendiment és baix el mecanisme és irreversible (autoblocant).

Apartat c)

Resultat

Lleva i palpador.

Resolució

Què es demana. Un moviment programat que es repeteix a cada volta.
Mecanisme. El perfil de la lleva determina en quin angle s'obre la vàlvula i quant de temps roman oberta.

Apartat d)

Resultat

Cadena i pinyons.

Resolució

Què es demana. Transmetre el gir entre dos eixos paral·lels força separats (40 cm) i sense lliscament.
Mecanisme. La cadena i els pinyons salven distàncies grans entre eixos i, en no lliscar, mantenen la sincronització (una corretja dentada també serviria). El pinyó i cremallera no hi serviria, perquè converteix el gir en moviment rectilini.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una bomba de calor lliura 6 kW de calor a l'habitatge consumint 2 kW d'electricitat. Calcula el seu COP i la potència calorífica que extreu de l'aire exterior.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

\mathrm{COP} = 3

;

Q_f = 4\ \text{kW}

extrets de l'aire exterior.

Resolució

Dades. Calor lliurada a l'habitatge $Q_c = 6\ \text{kW}$ ; potència elèctrica consumida $W = 2\ \text{kW}$ .
COP d'una bomba de calor. $\mathrm{COP} = \dfrac{\text{calor útil lliurada}}{\text{treball consumit}} = \dfrac{Q_c}{W} = \dfrac{6}{2} = 3$
Conservació de l'energia. $Q_c = Q_f + W$ , per tant $Q_f = Q_c - W = 6 - 2 = 4\ \text{kW}$ , que és la calor que pren de l'exterior.
Conclusió. Una resistència elèctrica que consumís els mateixos 2 kW només lliuraria 2 kW de calor (COP = 1): la bomba de calor en dona el triple perquè no crea la calor, sinó que la transporta de l'exterior a l'interior.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Una transmissió té tres etapes amb rendiments 0,96, 0,92 i 0,90. Si a l'entrada s'hi apliquen 10 kW, calcula el rendiment total, la potència útil a la sortida i la potència perduda.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\eta_{\mathrm{total}} \approx 0{,}795\ (79{,}5\ \%)

;

P_{\mathrm{u}} \approx 7{,}95\ \text{kW}

;

P_{\mathrm{perduda}} \approx 2{,}05\ \text{kW}

Resolució

Dades. Tres etapes en sèrie amb $\eta_1 = 0{,}96$ , $\eta_2 = 0{,}92$ , $\eta_3 = 0{,}90$ ; $P_{\mathrm{entrada}} = 10\ \text{kW}$ .
Rendiment d'etapes en sèrie. La potència que surt d'una etapa és la que entra a la següent, i per això els rendiments es multipliquen: $\eta_{\mathrm{total}} = \eta_1\cdot\eta_2\cdot\eta_3 = 0{,}96\cdot 0{,}92\cdot 0{,}90 = 0{,}795 = 79{,}5\ \%$
Potència útil. $P_{\mathrm{u}} = \eta_{\mathrm{total}}\cdot P_{\mathrm{entrada}} = 0{,}795\cdot 10\,000 = 7950\ \text{W} = 7{,}95\ \text{kW}$ .
Potència perduda. $P_{\mathrm{perduda}} = 10\,000 - 7950 = 2050\ \text{W} = 2{,}05\ \text{kW}$ , dissipada en fricció i calor.
Conclusió. Sumar els rendiments seria un error: donaria un valor absurd (més gran que 1).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una fàbrica té una màquina que, amb manteniment correctiu, pateix 8 aturades imprevistes l'any de 5 h cadascuna. Amb un pla preventiu, en tindria 2 de 5 h més 6 revisions programades de 1 h. Calcula les hores totals d'aturada de cada estratègia i digues quina para menys la producció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Correctiu: 40 h d'aturada; preventiu: 16 h. El preventiu para menys la producció.

Resolució

Dades. Correctiu: 8 aturades imprevistes de 5 h. Preventiu: 2 aturades imprevistes de 5 h i 6 revisions programades de 1 h.
Correctiu. $8\cdot 5 = 40\ \text{h}$ d'aturada.
Preventiu. Aturades imprevistes $2\cdot 5 = 10\ \text{h}$ , més revisions $6\cdot 1 = 6\ \text{h}$ ; total $10 + 6 = 16\ \text{h}$ .
Conclusió. El preventiu para molt menys la producció (16 h davant de 40 h) i, a més, les seves hores són programades: es poden fer quan menys molesten.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Explica què són la fiabilitat i la disponibilitat d'una màquina i per què el manteniment hi influeix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

La fiabilitat és la probabilitat que la màquina funcioni sense fallar durant un temps; la disponibilitat, la fracció de temps que està a punt per treballar. El manteniment augmenta totes dues.

Resolució

Fiabilitat. És la probabilitat que la màquina funcioni sense fallar durant un temps determinat i en unes condicions donades.
Disponibilitat. És la fracció del temps que la màquina està a punt per treballar (no està aturada per avaria o reparació).
Influència del manteniment. Un bon manteniment redueix les avaries (augmenta la fiabilitat) i redueix les hores d'aturada per reparació (augmenta la disponibilitat).
Conclusió. L'objectiu del manteniment és aconseguir la màxima fiabilitat i disponibilitat amb el mínim cost.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Una mènsula de paret està formada per una barra horitzontal fixada a la paret per l'extrem esquerre i una tornapuntes inclinada que surt de la paret, més avall, i s'uneix a l'extrem dret de la barra horitzontal. De l'extrem dret penja un pes. Totes les unions són articulades. (a) Digues quina barra treballa a tracció i quina a compressió. (b) Per què a les barres articulades les forces només actuen al llarg del seu eix? (c) Quina conseqüència pràctica té això per triar el material i la secció de cada barra?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Apartat a)

Resultat

La barra horitzontal treballa a tracció i la tornapuntes, a compressió.

Resolució

Situació. El pes penja de l'extrem dret, on s'uneixen la barra horitzontal (fixada a la paret a la mateixa alçada) i la tornapuntes (que surt de la paret més avall).
Barra horitzontal. El pes tendeix a separar-ne l'extrem de la paret, i la barra l'estira cap a dins: treballa a tracció.
Tornapuntes. És la que empeny l'extrem cap amunt per aguantar el pes: treballa a compressió.

Apartat b)

Resultat

Perquè són barres «de dues forces»: només reben força pels dos nusos articulats, que no transmeten moment, i l'equilibri obliga aquestes dues forces a estar alineades amb l'eix.

Resolució

Nusos articulats. Una barra articulada als dos extrems només rep força pels seus dos nusos, i en un nus articulat no s'hi pot transmetre cap moment.
Equilibri. Si les úniques dues forces sobre la barra s'apliquen als extrems, per tenir suma de forces zero han de ser iguals i oposades, i per tenir suma de moments zero han d'estar alineades amb la recta que uneix els extrems, o sigui amb l'eix.
Conclusió. Per això es diu que són barres «de dues forces»: només treballen a tracció o a compressió.

Apartat c)

Resultat

Es poden triar material i secció segons el treball: la barra a tracció pot ser prima (fins i tot un cable), i la tornapuntes necessita més secció o una forma rígida per no vinclar.

Resolució

Barra a tracció. Es pot fer prima, perquè només cal que el material aguanti la tensió; un cable ja serviria.
Barra a compressió. La tornapuntes pot fallar per vinclament (es doblega lateralment) molt abans d'arribar a la tensió de trencament.
Conclusió. La tornapuntes necessita més secció o una forma rígida, com un perfil tubular; la tracció i la compressió no es dimensionen igual.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una bicicleta té un plat de 48 dents, un pinyó posterior de 16 dents i rodes de 700 mm de diàmetre. El ciclista pedaleja a 80 pedalades per minut.
a) Calcula quantes voltes fa la roda en cada pedalada.
b) Calcula l'avanç de la bicicleta en cada pedalada.
c) Calcula la velocitat en km/h.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

3

voltes de la roda per pedalada.

Resolució

Dades. Plat $z_{\mathrm{plat}} = 48$ , pinyó $z_{\mathrm{pinyó}} = 16$ . El plat i el pinyó van units per la cadena.
Relació de transmissió. Per cada volta del plat passen 48 baules, que fan girar el pinyó (i la roda, solidària) $\dfrac{48}{16}$ voltes: $\dfrac{n_{\mathrm{roda}}}{n_{\mathrm{pedals}}} = \dfrac{z_{\mathrm{plat}}}{z_{\mathrm{pinyó}}} = \dfrac{48}{16} = 3$
Conclusió. La roda fa 3 voltes per cada pedalada (és un sistema multiplicador).

Apartat b)

Resultat

Avanç

\approx 6{,}60\ \text{m}

per pedalada.

Resolució

Perímetre de la roda. $\pi\cdot D = \pi\cdot 0{,}700 = 2{,}199\ \text{m}$ : és el que avança la bicicleta en una volta de roda.
Càlcul. Avanç per pedalada $= 3\cdot 2{,}199 = 6{,}60\ \text{m}$ .
Comparació. Si es canviés a un pinyó de 24 dents, l'avanç per pedalada seria $2\cdot 2{,}199 = 4{,}40\ \text{m}$ : més força a la roda i menys velocitat, que és el que convé a les pujades.

Apartat c)

Resultat

v \approx 31{,}7\ \text{km/h}

Resolució

Dades. 80 pedalades per minut i 6,60 m per pedalada.
Càlcul. $v = 80\cdot 6{,}60 = 528\ \text{m/min}$ ; $v = \dfrac{528\cdot 60}{1000} = 31{,}7\ \text{km/h}$ .
Conclusió. Amb aquest desenvolupament i cadència el ciclista va a uns 32 km/h, una velocitat raonable en pla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Dos engranatges rectes engranen amb un mòdul de 2,5 mm. El pinyó té 24 dents i la roda en té 60. Calcula els diàmetres primitius (d = m·z), la distància entre eixos, el pas circular (p = π·m) i la relació de transmissió. Si el pinyó gira a 1500 rpm, a quantes rpm gira la roda?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

d_1 = 60\ \text{mm}

d_2 = 150\ \text{mm}

;

a = 105\ \text{mm}

;

p \approx 7{,}85\ \text{mm}

;

i = 0{,}4

;

n_2 = 600\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Mòdul $m = 2{,}5\ \text{mm}$ ; pinyó $z_1 = 24$ , roda $z_2 = 60$ ; $n_1 = 1500\ \text{rpm}$ .
Diàmetres primitius. $d = m\cdot z$ : $d_1 = 2{,}5\cdot 24 = 60\ \text{mm}$ i $d_2 = 2{,}5\cdot 60 = 150\ \text{mm}$ .
Distància entre eixos. Les circumferències primitives són tangents: $a = \dfrac{d_1 + d_2}{2} = \dfrac{60 + 150}{2} = 105\ \text{mm}$ .
Pas circular. $p = \pi\cdot m = \pi\cdot 2{,}5 = 7{,}85\ \text{mm}$ . És el mateix en tots dos engranatges; si no, no podrien engranar.
Relació de transmissió i velocitat. $i = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{24}{60} = 0{,}4$ (reductora); $n_2 = i\cdot n_1 = 0{,}4\cdot 1500 = 600\ \text{rpm}$ , en sentit contrari al del pinyó.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un cargol sense fi d'una entrada mou una roda dentada de 40 dents. El motor fa girar el cargol a 1400 rpm amb un parell de 2 N·m, i el rendiment del conjunt és del 40 %.
a) Calcula la relació de transmissió i la velocitat de la roda.
b) Calcula el parell a la roda.
c) Per què un rendiment inferior al 50 % fa que el mecanisme sigui autoblocant?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

i = \dfrac{1}{40} = 0{,}025

;

n_{\mathrm{roda}} = 35\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Cargol d'una entrada, roda de $z = 40$ dents, $n_{\mathrm{cargol}} = 1400\ \text{rpm}$ .
Relació del cargol sense fi. Cada volta del cargol fa avançar una dent de la roda: $i = \dfrac{\text{entrades}}{z} = \dfrac{1}{40} = 0{,}025$ .
Càlcul. $n_{\mathrm{roda}} = \dfrac{1400}{40} = 35\ \text{rpm}$ .

Apartat b)

Resultat

M_2 = 32\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Plantejament. $P_2 = \eta\cdot P_1$ , amb $P = M\cdot\omega$ : $M_2\,\omega_2 = \eta\,M_1\,\omega_1$ , d'on $M_2 = M_1\cdot\dfrac{\omega_1}{\omega_2}\cdot\eta$ .
Càlcul. Sense pèrdues el parell es multiplicaria per 40 (80 N·m); amb rendiment 0,4: $M_2 = 2\cdot 40\cdot 0{,}4 = 32\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Comprovació. Potència d'entrada $= 2\cdot 146{,}6\ \text{rad/s} = 293\ \text{W}$ ; de sortida $= 32\cdot 3{,}665\ \text{rad/s} = 117\ \text{W}$ , que és el 40 %.

Apartat c)

Resultat

Amb

\eta < 0{,}5

la fricció és tan gran que, en sentit invers, el rendiment seria negatiu: la càrrega no pot fer girar el cargol i el mecanisme s'agafa (és irreversible).

Resolució

Funcionament invers. Si la roda intentés moure el cargol, la fricció actuaria igualment i, com que ja és molt gran, s'emportaria més energia de la que la roda pot aportar.
Rendiment invers. Amb un rendiment directe inferior al 50 %, el rendiment en sentit invers seria negatiu (una estimació habitual és $\eta' \approx 2 - 1/\eta$ , que és negativa si $\eta < 0{,}5$ ): ni tan sols sense resistència la roda aconsegueix fer girar el cargol.
Conclusió. Una càrrega penjada de la roda no el pot moure, i això s'aprofita com a seguretat en grues i ascensors.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un cabrestant eleva una càrrega de 500 kg a la velocitat constant de 0,4 m/s mitjançant un tambor de 250 mm de diàmetre (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ). El rendiment total de la transmissió és de 0,75. Calcula:
a) la potència útil;
b) la potència que ha de lliurar el motor;
c) les rpm del tambor;
d) el parell que s'ha d'aplicar al tambor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

P_{\mathrm{u}} = 1960\ \text{W}

Resolució

Dades. $m = 500\ \text{kg}$ , $v = 0{,}4\ \text{m/s}$ constant, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Força. A velocitat constant, la força del cable és igual al pes: $F = m\cdot g = 500\cdot 9{,}8 = 4900\ \text{N}$ .
Potència útil. $P_{\mathrm{u}} = F\cdot v = 4900\cdot 0{,}4 = 1960\ \text{W}$ .

Apartat b)

Resultat

P_{\mathrm{motor}} \approx 2613\ \text{W} \approx 2{,}6\ \text{kW}

Resolució

Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{\mathrm{u}}}{P_{\mathrm{motor}}}$ .
Càlcul. $P_{\mathrm{motor}} = \dfrac{P_{\mathrm{u}}}{\eta} = \dfrac{1960}{0{,}75} = 2613\ \text{W} \approx 2{,}6\ \text{kW}$ .

Apartat c)

Resultat

n \approx 30{,}6\ \text{rpm}

Resolució

Relació entre velocitat lineal i angular. El cable s'enrotlla a la perifèria del tambor: $v = \omega\cdot r$ , amb $r = 0{,}125\ \text{m}$ .
Càlcul. $\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{0{,}4}{0{,}125} = 3{,}2\ \text{rad/s}$ , és a dir, $n = 3{,}2\cdot\dfrac{60}{2\pi} = 30{,}6\ \text{rpm}$ .

Apartat d)

Resultat

M = 612{,}5\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Parell al tambor. $M = F\cdot r = 4900\cdot 0{,}125 = 612{,}5\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Comprovació. $M\cdot\omega = 612{,}5\cdot 3{,}2 = 1960\ \text{W}$ , igual que la potència útil.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un cilindre d'un motor de gasolina té un diàmetre de 80 mm i una carrera de 90 mm, i una relació de compressió de 10:1.
a) Calcula la cilindrada unitària.
b) Calcula el volum de la cambra de combustió (r = ( $V_{u}$ + $V_{c}$ )/ $V_{c}$ ).
c) Calcula el rendiment tèrmic ideal del cicle Otto, η = 1 - $\tfrac{1}{r^{\gamma -1}}$ , amb γ = 1,4, i explica per què el rendiment real és més baix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

V_u \approx 452{,}4\ \text{cm}^{3}

Resolució

Dades. $D = 8\ \text{cm}$ , $C = 9\ \text{cm}$ .
Cilindrada unitària. $V_u = \dfrac{\pi D^{2}}{4}\cdot C = \dfrac{\pi\cdot 8^{2}}{4}\cdot 9 = 452{,}4\ \text{cm}^{3}$

Apartat b)

Resultat

V_c \approx 50{,}3\ \text{cm}^{3}

Resolució

Relació de compressió. $r = \dfrac{V_u + V_c}{V_c} = 10$ , d'on $r\,V_c = V_u + V_c$ i $V_c = \dfrac{V_u}{r - 1}$ .
Càlcul. $V_c = \dfrac{452{,}4}{9} = 50{,}3\ \text{cm}^{3}$ .

Apartat c)

Resultat

\eta \approx 0{,}602 = 60{,}2\ \%

(ideal); el real és molt més baix (al voltant del 30 %) per les pèrdues del motor real.

Resolució

Rendiment del cicle Otto ideal. $\eta = 1 - \dfrac{1}{r^{\gamma-1}} = 1 - \dfrac{1}{10^{0{,}4}} = 1 - 0{,}398 = 0{,}602 = 60{,}2\ \%$
Per què el real és més baix. El rendiment real d'un motor de gasolina és molt més baix (al voltant del 30 %): la combustió no és instantània ni completa, hi ha pèrdues de calor a les parets i al refrigerant, fricció mecànica i treball de bombeig per fer entrar i sortir els gasos, i el gas real no té una $\gamma$ constant.
Conclusió. Fixa't que el rendiment ideal creix amb la relació de compressió.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un compressor té un MTBF (temps mitjà entre avaries) de 1200 h i un MTTR (temps mitjà de reparació) de 6 h. La fiabilitat segueix la llei exponencial R(t) = e^-t/MTBF.
a) Calcula la disponibilitat A = MTBF/(MTBF + MTTR).
b) Calcula la probabilitat que funcioni sense avaries durant 300 h seguides.
c) Quantes avaries i quantes hores d'aturada s'esperen en un any si funciona 6000 h?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

A \approx 0{,}9950

(disponible el 99,5 % del temps).

Resolució

Dades. $\mathrm{MTBF} = 1200\ \text{h}$ , $\mathrm{MTTR} = 6\ \text{h}$ .
Disponibilitat. $A = \dfrac{\mathrm{MTBF}}{\mathrm{MTBF} + \mathrm{MTTR}} = \dfrac{1200}{1200 + 6} = 0{,}9950$ , és a dir, està disponible el 99,5 % del temps.

Apartat b)

Resultat

R(300) \approx 0{,}779

(77,9 %).

Resolució

Llei exponencial. $R(t) = e^{-t/\mathrm{MTBF}}$ .
Càlcul. $R(300) = e^{-300/1200} = e^{-0{,}25} = 0{,}779$ : un 77,9 % de probabilitat de no tenir cap avaria en 300 h.

Apartat c)

Resultat

5 avaries l'any i 30 h d'aturada.

Resolució

Avaries esperades. $\dfrac{6000}{1200} = 5$ avaries per any.
Hores d'aturada. $5\cdot 6 = 30\ \text{h}$ de reparació.
Conclusió. Fixa't que una disponibilitat molt alta no implica una fiabilitat alta: un equip pot fallar sovint i, tot i això, estar disponible quasi sempre si es repara molt de pressa.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una biga horitzontal de 4 m de longitud descansa sobre dos suports simples, A (a l'esquerra) i B (a la dreta). Suporta una càrrega puntual vertical de 6 kN situada a 1,5 m de A (menysprea el pes de la biga). Calcula les reaccions en A i B i el moment flector màxim.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

R_A = 3{,}75\ \text{kN}

;

R_B = 2{,}25\ \text{kN}

;

M_{\mathrm{màx}} \approx 5{,}63\ \text{kN}\cdot\text{m}

(sota la càrrega).

Resolució

Dades. Biga de 4 m sobre dos suports simples; càrrega de 6 kN a 1,5 m de A (i a 2,5 m de B).
Equilibri de moments respecte d'A. $R_B\cdot 4 = 6\cdot 1{,}5$ , per tant $R_B = \dfrac{9}{4} = 2{,}25\ \text{kN}$ .
Equilibri de forces verticals. $R_A + R_B = 6$ , per tant $R_A = 3{,}75\ \text{kN}$ .
Moment flector màxim. És sota la càrrega: $M = R_A\cdot 1{,}5 = 3{,}75\cdot 1{,}5 = 5{,}625\ \text{kN}\cdot\text{m}$ . Comprovació des de la dreta: $R_B\cdot 2{,}5 = 2{,}25\cdot 2{,}5 = 5{,}625\ \text{kN}\cdot\text{m}$ .
Conclusió. Com és lògic, el suport més proper a la càrrega suporta més força (3,75 kN > 2,25 kN).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Es vol que un motor que gira a 3000 rpm mogui un eix de sortida a 250 rpm mitjançant un tren d'engranatges. a) Quina relació de transmissió total cal? b) Si es fa en dues etapes iguals, quina relació ha de tenir cada etapa? c) Proposa un parell de rodes (dents d'entrada i sortida) per a cada etapa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

i_{\mathrm{total}} = \dfrac{250}{3000} = \dfrac{1}{12} \approx 0{,}0833

Resolució

Dades. $n_{\mathrm{entrada}} = 3000\ \text{rpm}$ , $n_{\mathrm{sortida}} = 250\ \text{rpm}$ .
Relació de transmissió. $i_{\mathrm{total}} = \dfrac{n_{\mathrm{sortida}}}{n_{\mathrm{entrada}}} = \dfrac{250}{3000} = 0{,}0833 = \dfrac{1}{12}$ : cal una reducció 12:1.

Apartat b)

Resultat

i_1 = i_2 = \sqrt{1/12} \approx 0{,}289 \approx \dfrac{1}{3{,}46}

Resolució

Tren compost. En un tren de dues etapes, la relació total és el producte de les de cada etapa: $i_{\mathrm{total}} = i_1\cdot i_2$ .
Etapes iguals. Si $i_1 = i_2 = i$ , aleshores $i^{2} = \dfrac{1}{12}$ , d'on $i = \sqrt{\dfrac{1}{12}} = 0{,}289 \approx \dfrac{1}{3{,}46}$ .
Conclusió. El més important és veure que en dues etapes iguals cada relació és l'arrel quadrada de la total; en la pràctica s'arrodoneix a relacions amb dents senceres.

Apartat c)

Resultat

Per exemple, pinyó de 20 dents i roda de 69 dents a cada etapa:

i = \tfrac{20}{69} \approx 0{,}290

i_{\mathrm{total}} \approx 0{,}0840 \approx \tfrac{1}{12}

Resolució

Criteri. Cal $\dfrac{z_{\mathrm{sortida}}}{z_{\mathrm{entrada}}} \approx 3{,}46$ a cada etapa, amb dents senceres i un pinyó no gaire petit.
Proposta. Pinyó de 20 dents i roda de 69 dents: $i = \dfrac{20}{69} = 0{,}290$ , i el producte $\left(\dfrac{20}{69}\right)^{2} = 0{,}0840$ , molt a prop de $\dfrac{1}{12} = 0{,}0833$ (la sortida giraria a unes 252 rpm).
Alternatives. Amb dents «rodones», dues etapes de 20/70 ( $i = 0{,}2857$ ) donen 0,0816, també properes. Una altra bona opció és 15/52 ( $0{,}288^{2} \approx 0{,}0832$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Una màquina tèrmica funciona entre un focus calent a 350 °C i un focus fred a 30 °C. a) Calcula el rendiment màxim teòric (de Carnot). b) Si el rendiment real és del 40 %, quant s'allunya del màxim teòric? c) Explica per què el real és menor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

\eta_{\mathrm{Carnot}} \approx 0{,}514 = 51{,}4\ \%

Resolució

Dades en kelvin. $T_{\mathrm{calent}} = 350 + 273 = 623\ \text{K}$ ; $T_{\mathrm{fred}} = 30 + 273 = 303\ \text{K}$ .
Rendiment de Carnot. $\eta_{\mathrm{màx}} = 1 - \dfrac{T_{\mathrm{fred}}}{T_{\mathrm{calent}}} = 1 - \dfrac{303}{623} = 1 - 0{,}486 = 0{,}514 = 51{,}4\ \%$
El parany. Cal posar les temperatures en kelvin. Si es fes en °C ( $1 - 30/350 = 0{,}914$ ) sortiria un rendiment absurdament alt.

Apartat b)

Resultat

Queda 11,4 punts percentuals per sota del màxim (aprofita un 78 % del rendiment de Carnot).

Resolució

Diferència. $51{,}4 - 40 = 11{,}4$ punts percentuals per sota del màxim teòric.
En termes relatius. $\dfrac{0{,}40}{0{,}514} = 0{,}78$ : la màquina real assoleix el 78 % del rendiment màxim possible.

Apartat c)

Resultat

Perquè la màquina de Carnot és ideal i reversible, i la real té friccions, turbulències, pèrdues de calor i combustió imperfecta.

Resolució

Màquina de Carnot. És ideal i reversible: sense fricció ni pèrdues, amb intercanvis de calor a temperatura constant.
Màquina real. Té friccions, turbulències, pèrdues de calor pels tubs i combustió imperfecta, que són processos irreversibles.
Conclusió. Aquestes irreversibilitats rebaixen el rendiment per sota del límit de Carnot, que cap màquina real no pot superar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una biga està encastada a la paret per un extrem i sobresurt 2,5 m en voladís. A l'extrem lliure hi penja una càrrega de 800 N. (a) Quantes incògnites introdueix un encastament i per què? (b) Calcula la reacció vertical i el moment d'encastament. (c) Per què aquest tipus de suport és el que més sol·licita l'estructura?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

Tres incògnites: reacció horitzontal, reacció vertical i moment, perquè impedeix els tres moviments possibles al pla.

Resolució

Moviments al pla. Un cos rígid al pla es pot desplaçar horitzontalment, verticalment i girar.
Encastament. Impedeix els tres moviments, i cada moviment impedit correspon a una reacció: $R_x$ , $R_y$ i un moment $M$ .

Apartat b)

Resultat

R_y = 800\ \text{N}

cap amunt (

R_x = 0

);

M = 2000\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. Voladís de 2,5 m amb 800 N a l'extrem lliure.
Equilibri vertical. $\sum F_y = 0$ : $R_y - 800 = 0$ , per tant $R_y = 800\ \text{N}$ cap amunt. Com que no hi ha forces horitzontals, $R_x = 0$ .
Equilibri de moments a l'encastament. $\sum M = 0$ : $M - 800\cdot 2{,}5 = 0$ , per tant $M = 2000\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

Perquè un sol punt ha d'absorbir tota la força i tot el moment, que a més creix amb la longitud del voladís.

Resolució

Comparació. En una biga recolzada als dos extrems la càrrega es reparteix entre dos suports i cap dels dos no ha de resistir cap moment; aquí un sol punt suporta la força i el gir.
Efecte de la longitud. El moment creix proporcionalment a la distància: si el voladís fos el doble de llarg, el moment també seria el doble amb la mateixa càrrega.
Conclusió. Per això els voladissos són crítics en el disseny.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un motor de gasolina de quatre cilindres lliura 66 kW a 5500 rpm i en aquest règim consumeix 20 L/h de combustible. Dades: densitat de la gasolina, 0,74 kg/L; poder calorífic, 44 MJ/kg.
a) Calcula el parell efectiu.
b) Calcula la potència tèrmica que entra amb el combustible.
c) Calcula el rendiment global i la potència que es perd en forma de calor.
d) Calcula el consum específic en g/(kW·h).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

M \approx 114{,}6\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. $P = 66\ \text{kW}$ , $n = 5500\ \text{rpm}$ .
Velocitat angular. $\omega = 5500\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 576{,}0\ \text{rad/s}$ .
Parell. $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{66\,000}{576{,}0} = 114{,}6\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

P_{\mathrm{t}} \approx 180{,}9\ \text{kW}

Resolució

Cabal màssic. $20\ \text{L/h}\cdot 0{,}74\ \text{kg/L} = 14{,}8\ \text{kg/h} = 4{,}11\cdot10^{-3}\ \text{kg/s}$ .
Potència tèrmica. $P_{\mathrm{t}} = \dot m\cdot P_c = 4{,}11\cdot10^{-3}\cdot 44\cdot10^{6} = 180{,}9\ \text{kW}$ .

Apartat c)

Resultat

\eta \approx 0{,}365 = 36{,}5\ \%

;

P_{\mathrm{perduda}} \approx 114{,}9\ \text{kW}

Resolució

Rendiment global. $\eta = \dfrac{P_{\mathrm{útil}}}{P_{\mathrm{t}}} = \dfrac{66}{180{,}9} = 0{,}365$ , o sigui un 36,5 %.
Potència perduda. $180{,}9 - 66 = 114{,}9\ \text{kW}$ , que se'n va pels gasos d'escapament, la refrigeració i la fricció.

Apartat d)

Resultat

Consum específic

\approx 224\ \text{g/(kW}\cdot\text{h)}

Resolució

Definició. És la massa de combustible que es gasta per cada kW·h d'energia mecànica produïda.
Càlcul. $c_e = \dfrac{14\,800\ \text{g/h}}{66\ \text{kW}} = 224\ \text{g/(kW}\cdot\text{h)}$ .
Comprovació. Per cada kW·h (3,6 MJ) es gasten $0{,}224\ \text{kg}\cdot 44\ \text{MJ/kg} = 9{,}87\ \text{MJ}$ de combustible, i $3{,}6/9{,}87 = 36{,}5\ \%$ , el mateix rendiment.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Una bomba de calor aire-aigua escalfa l'aigua del sistema de calefacció d'una casa d'Osona a 35 °C amb l'aire exterior a 5 °C. L'habitatge necessita 8 kW de calefacció. El COP real de la bomba és el 45 % del COP màxim teòric (de Carnot).
a) Calcula el COP de Carnot de la bomba de calor (COP = $T_{c}$ /( $T_{c}$ - $T_{f}$ ), amb les temperatures en kelvin).
b) Calcula el COP real, la potència elèctrica que consumeix i la calor que pren de l'aire exterior.
c) Compara l'energia elèctrica i el cost en 1800 h de calefacció (0,18 €/kWh) amb els d'una resistència elèctrica que doni la mateixa calor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} \approx 10{,}3

Resolució

Dades en kelvin. $T_c = 35 + 273 = 308\ \text{K}$ i $T_f = 5 + 273 = 278\ \text{K}$ .
COP de Carnot d'una bomba de calor. $\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f} = \dfrac{308}{308 - 278} = \dfrac{308}{30} = 10{,}3$

Apartat b)

Resultat

\mathrm{COP}_{\mathrm{real}} \approx 4{,}62

;

P_{\mathrm{el}} \approx 1{,}73\ \text{kW}

;

Q_f \approx 6{,}27\ \text{kW}

Resolució

COP real. $\mathrm{COP} = 0{,}45\cdot 10{,}3 = 4{,}62$ .
Potència elèctrica. $W = \dfrac{Q_c}{\mathrm{COP}} = \dfrac{8}{4{,}62} = 1{,}73\ \text{kW}$ .
Calor presa de l'aire (primer principi). $Q_f = Q_c - W = 8 - 1{,}73 = 6{,}27\ \text{kW}$ .

Apartat c)

Resultat

Bomba de calor:

\approx 3117\ \text{kWh}

\approx 561\ \text{€}

; resistència:

14\,400\ \text{kWh}

2592\ \text{€}

(estalvi d'uns 2030 €, un 78 %).

Resolució

Bomba de calor. $E = 1{,}73\ \text{kW}\cdot 1800\ \text{h} \approx 3117\ \text{kWh}$ , que costen $3117\cdot 0{,}18 \approx 561\ \text{€}$ .
Resistència elèctrica. Té COP = 1: $E = 8\cdot 1800 = 14\,400\ \text{kWh}$ , que costen $14\,400\cdot 0{,}18 = 2592\ \text{€}$ .
Comparació. Estalvi: uns 2030 € l'any, un 78 % de l'electricitat.
Conclusió. Fixa't que com més petita és la diferència de temperatura entre l'interior i l'exterior, més alt és el COP.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una cobertura es modelitza amb un reticulat triangular articulat: dues barres iguals AC i BC, inclinades 30° respecte de l'horitzontal, s'uneixen al vèrtex superior C, i una barra horitzontal AB (tirant) uneix els extrems inferiors A i B. El punt A és un suport fix (articulació) i B, un suport mòbil (només dona reacció vertical). En C actua una càrrega vertical cap avall de 12 kN.
a) Calcula les reaccions verticals en A i B.
b) Calcula l'esforç en les barres AC i BC pel mètode dels nusos i indica si són de tracció o de compressió.
c) Calcula l'esforç en el tirant AB.
d) Calcula el diàmetre mínim del tirant, rodó, si la tensió admissible és de 150 MPa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

R_A = R_B = 6\ \text{kN}

(cap amunt).

Resolució

Dades. Reticulat simètric: AC i BC inclinades 30°, tirant AB horitzontal; càrrega de 12 kN vertical a C.
Equilibri de l'estructura sencera. Per simetria (o prenent moments respecte d'A), $R_A = R_B = \dfrac{12}{2} = 6\ \text{kN}$ . No hi ha reacció horitzontal, perquè no hi ha cap força horitzontal exterior.

Apartat b)

Resultat

N_{AC} = N_{BC} = 12\ \text{kN}

a compressió.

Resolució

Mètode dels nusos, nus A. La reacció vertical de 6 kN s'equilibra amb la component vertical de la barra AC (el tirant és horitzontal): $N_{AC}\cdot\sin 30^\circ = 6$ , per tant $N_{AC} = \dfrac{6}{0{,}5} = 12\ \text{kN}$ .
Tipus d'esforç. La barra empeny el nus, així que treballa a compressió; per simetria, BC també: 12 kN de compressió.
Comprovació al nus C. $2\cdot 12\cdot\sin 30^\circ = 12\ \text{kN}$ , que equilibra la càrrega.

Apartat c)

Resultat

N_{AB} \approx 10{,}4\ \text{kN}

a tracció.

Resolució

Equilibri horitzontal del nus A. La component horitzontal de la barra comprimida és $12\cdot\cos 30^\circ = 10{,}39\ \text{kN}$ cap a fora, i la compensa el tirant.
Conclusió. $N_{AB} = 10{,}39\ \text{kN}$ de tracció: el tirant evita que els peus de la cobertura s'obrin.

Apartat d)

Resultat

d_{\mathrm{mín}} \approx 9{,}4\ \text{mm}

(s'agafaria un rodó de 10 mm).

Resolució

Condició de resistència. $\sigma = \dfrac{N}{S} \le \sigma_{\mathrm{adm}}$ , per tant $S \ge \dfrac{N}{\sigma_{\mathrm{adm}}} = \dfrac{10\,390\ \text{N}}{150\ \text{N/mm}^{2}} = 69{,}3\ \text{mm}^{2}$ .
Diàmetre. $d = \sqrt{\dfrac{4S}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{4\cdot 69{,}3}{\pi}} = 9{,}4\ \text{mm}$ : s'agafaria un rodó de 10 mm.
Observació. Les barres comprimides AC i BC poden vinclar, i s'han de comprovar a part.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un motor de 4 kW gira a 1440 rpm i mou el tambor d'una cinta transportadora, de 400 mm de diàmetre, mitjançant una transmissió per politges (motriu de 100 mm i conduïda de 250 mm, rendiment 0,95) i un reductor d'engranatges de relació $\tfrac{1}{15}$ (rendiment 0,90).
a) Calcula la velocitat de gir del tambor.
b) Calcula la velocitat lineal de la cinta.
c) Calcula el rendiment total i la potència lliurada al tambor.
d) Calcula el parell al tambor i la força de tracció sobre la cinta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

n_{\mathrm{tambor}} = 38{,}4\ \text{rpm}

Resolució

Dades. Motor de 4 kW a 1440 rpm; politges de 100 mm i 250 mm ( $\eta = 0{,}95$ ); reductor $\tfrac{1}{15}$ ( $\eta = 0{,}90$ ); tambor de 400 mm.
Relació total. Les relacions en sèrie es multipliquen: $i = \dfrac{100}{250}\cdot\dfrac{1}{15} = \dfrac{0{,}4}{15} = 0{,}02667$ .
Càlcul. $n_{\mathrm{tambor}} = 1440\cdot 0{,}02667 = 38{,}4\ \text{rpm}$ .

Apartat b)

Resultat

v \approx 0{,}804\ \text{m/s}

Resolució

Velocitat angular. $\omega = 38{,}4\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 4{,}02\ \text{rad/s}$ .
Velocitat lineal. $v = \omega\cdot r = 4{,}02\cdot 0{,}2 = 0{,}804\ \text{m/s}$ .

Apartat c)

Resultat

\eta_{\mathrm{total}} = 0{,}855

;

P_{\mathrm{tambor}} = 3420\ \text{W}

Resolució

Rendiment total. Els rendiments es multipliquen: $\eta = 0{,}95\cdot 0{,}90 = 0{,}855$ .
Potència al tambor. $P = 4000\cdot 0{,}855 = 3420\ \text{W}$ .

Apartat d)

Resultat

M \approx 850\ \text{N}\cdot\text{m}

;

F \approx 4250\ \text{N}

Resolució

Parell. $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{3420}{4{,}02} = 850\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Força sobre la cinta. $F = \dfrac{M}{r} = \dfrac{850}{0{,}2} = 4250\ \text{N}$ .
Comprovació. $F\cdot v = 4250\cdot 0{,}804 \approx 3420\ \text{W}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un cotxe de 1200 kg té un motor que a 3000 rpm lliura un parell de 120 N·m. La caixa de canvis té aquestes relacions de reducció (rpm del motor/rpm de sortida): 1a, 3,6; 2a, 2,1; 3a, 1,4; 4a, 1,0. El diferencial aplica una reducció addicional de 4,1 i les rodes motrius tenen 0,30 m de radi. El rendiment de la transmissió és 0,90 (g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la velocitat del cotxe en km/h amb el motor a 3000 rpm en 1a i en 4a.
b) Calcula la força de tracció a les rodes en cada marxa amb el parell de 120 N·m.
c) Quines marxes permeten pujar una rampa del 20 % (tan α = 0,20) a velocitat constant, menyspreant el fregament i l'aire? Quina acceleració tindria el cotxe en 1a?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

1a:

v \approx 23{,}0\ \text{km/h}

; 4a:

v \approx 82{,}8\ \text{km/h}

Resolució

Plantejament. La reducció total és la de la marxa per la del diferencial: $n_{\mathrm{rodes}} = \dfrac{n_{\mathrm{motor}}}{i_{\mathrm{marxa}}\cdot 4{,}1}$ , i $v = \omega_{\mathrm{rodes}}\cdot r$ .
1a. $n = \dfrac{3000}{3{,}6\cdot 4{,}1} = 203{,}3\ \text{rpm} = 21{,}3\ \text{rad/s}$ ; $v = 21{,}3\cdot 0{,}30 = 6{,}39\ \text{m/s} = 23{,}0\ \text{km/h}$ .
4a. $n = \dfrac{3000}{4{,}1} = 731{,}7\ \text{rpm} = 76{,}6\ \text{rad/s}$ ; $v = 76{,}6\cdot 0{,}30 = 22{,}99\ \text{m/s} = 82{,}8\ \text{km/h}$ .

Apartat b)

Resultat

1a:

\approx 5314\ \text{N}

; 2a:

\approx 3100\ \text{N}

; 3a:

\approx 2066\ \text{N}

; 4a:

1476\ \text{N}

Resolució

Parell a les rodes. El parell es multiplica per la reducció total i pel rendiment: $M_{\mathrm{rodes}} = M_{\mathrm{motor}}\cdot i_{\mathrm{marxa}}\cdot 4{,}1\cdot\eta$ , i la força de tracció és $F = \dfrac{M_{\mathrm{rodes}}}{r}$ .
Càlcul. En 1a: $F = \dfrac{120\cdot 3{,}6\cdot 4{,}1\cdot 0{,}90}{0{,}30} = 5314\ \text{N}$ ; en 2a, 3100 N; en 3a, 2066 N; en 4a, 1476 N.
Idea clau. Les marxes curtes multipliquen la força a costa de la velocitat.

Apartat c)

Resultat

Només la 1a i la 2a (cal

F \approx 2306\ \text{N}

); en 1a,

a \approx 2{,}5\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Força necessària. A velocitat constant i sense fregament, la tracció ha d'igualar la component del pes paral·lela a la rampa: $F = m\cdot g\cdot\sin\alpha$ , amb $\tan\alpha = 0{,}20$ , $\sin\alpha = 0{,}1961$ : $F = 1200\cdot 9{,}8\cdot 0{,}1961 = 2306\ \text{N}$ .
Comparació. Només ho aconsegueixen la 1a (5314 N) i la 2a (3100 N); en 3a (2066 N) i 4a (1476 N) el cotxe no pot mantenir la velocitat.
Acceleració en 1a (segona llei de Newton). L'excés de força és $5314 - 2306 = 3008\ \text{N}$ , per tant $a = \dfrac{3008}{1200} = 2{,}5\ \text{m/s}^{2}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un sistema de refrigeració funciona només si funciona la bomba (fiabilitat 0,92) i almenys un dels dos ventiladors en paral·lel (fiabilitat 0,85 cadascun).
a) Calcula la fiabilitat del parell de ventiladors i la del sistema.
b) Raona si afegir un tercer ventilador en paral·lel permetria arribar a una fiabilitat del sistema del 95 %.
c) Proposa i calcula una millora que sí que ho aconsegueixi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

R_v = 0{,}9775

;

R_{\mathrm{sistema}} \approx 0{,}899

(89,9 %).

Resolució

Paral·lel. Els ventiladors en paral·lel només fallen si fallen tots dos: $R_v = 1 - (1 - 0{,}85)^{2} = 1 - 0{,}0225 = 0{,}9775$ .
Sèrie. La bomba està en sèrie amb aquest bloc, així que les fiabilitats es multipliquen: $R = 0{,}92\cdot 0{,}9775 = 0{,}899$ (89,9 %).

Apartat b)

Resultat

No: amb tres ventiladors

R \approx 0{,}917

, i el sistema mai no pot superar la fiabilitat de la bomba (0,92).

Resolució

Tres ventiladors. $R_v = 1 - 0{,}15^{3} = 0{,}9966$ i $R = 0{,}92\cdot 0{,}9966 = 0{,}917$ .
Límit. El sistema mai no pot superar la fiabilitat de la bomba (0,92), perquè està en sèrie i no té cap suport: encara que els ventiladors fossin perfectes, $R \le 0{,}92 < 0{,}95$ .

Apartat c)

Resultat

Duplicar la bomba (dues en paral·lel):

R_b = 0{,}9936

R \approx 0{,}971 \ge 0{,}95

Resolució

Proposta. Posar dues bombes en paral·lel: $R_b = 1 - 0{,}08^{2} = 0{,}9936$ .
Càlcul. $R = 0{,}9936\cdot 0{,}9775 = 0{,}971 \ge 0{,}95$ .
Alternativa. Millorar la bomba (amb manteniment o una de més qualitat) fins a $R_b \ge \dfrac{0{,}95}{0{,}9775} = 0{,}972$ .
Idea clau. La redundància s'ha de posar on hi ha l'element més feble de la cadena en sèrie.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Un muntacàrregues d'un magatzem eleva càrregues de fins a 400 kg. Un motor que gira a 1450 min^-1 mou un cargol sense fi d'una entrada que engrana amb una roda de 50 dents; l'eix de la roda porta un tambor de 300 mm de diàmetre on s'enrotlla el cable. Rendiment del reductor de cargol sense fi: 0,45; rendiment de la resta de la transmissió (coixinets i tambor): 0,95 (g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la velocitat de gir del tambor i la velocitat d'elevació de la càrrega.
b) Calcula la potència útil, la potència que ha de donar el motor i el parell al tambor i a l'eix del motor. Es disposa de motors normalitzats de 3 kW, 4 kW i 5,5 kW: quin cal?
c) Per a un cargol sense fi, el rendiment quan la transmissió funciona al revés (la roda intenta moure el cargol) es pot estimar amb η' ≈ 2 − $\tfrac{1}{\eta}$ . Calcula'l i interpreta el resultat: què passa si es talla el corrent amb la càrrega enlairada?
d) Raona per què, tot i això, la normativa obliga a posar un fre al motor, i per què no es fa servir un reductor d'engranatges rectes (η ≈ 0,95), que estalviaria molta energia.

Pista 1

Un cargol d'una entrada fa avançar una dent de la roda per cada volta: la relació de transmissió és $\tfrac{1}{50}$ .

Pista 2

Potència útil = pes · velocitat. La potència del motor és la útil dividida pel producte dels rendiments. El parell és P/ω.

Pista 3

Si η' surt negatiu, vol dir que ni tan sols sense resistència la càrrega aconsegueix fer girar el cargol.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

n_{\mathrm{tambor}} = 29\ \text{min}^{-1}

;

v \approx 0{,}456\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Motor a $1450\ \text{min}^{-1}$ ; cargol d'una entrada i roda de 50 dents; tambor de $D = 0{,}30\ \text{m}$ ; càrrega de 400 kg.
Relació del cargol sense fi. Cada volta del cargol fa avançar una dent de la roda: $i = \dfrac{1}{50}$ . Per tant $n_{\mathrm{tambor}} = \dfrac{1450}{50} = 29\ \text{min}^{-1}$ .
Velocitat d'elevació. El cable s'enrotlla a la perifèria del tambor: $v = \dfrac{\pi\cdot D\cdot n}{60} = \dfrac{\pi\cdot 0{,}3\cdot 29}{60} = 0{,}456\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

P_{\mathrm{u}} \approx 1788\ \text{W}

;

P_{\mathrm{motor}} \approx 4{,}18\ \text{kW}

→ cal el motor de 5,5 kW;

M_{\mathrm{tambor}} \approx 589\ \text{N}\cdot\text{m}

;

M_{\mathrm{motor}} \approx 27{,}5\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Potència útil. Pes: $400\cdot 9{,}81 = 3924\ \text{N}$ . $P_{\mathrm{u}} = F\cdot v = 3924\cdot 0{,}456 = 1788\ \text{W}$ .
Rendiment total i potència del motor. Els rendiments es multipliquen: $\eta = 0{,}45\cdot 0{,}95 = 0{,}4275$ . $P_{\mathrm{motor}} = \dfrac{1788}{0{,}4275} = 4{,}18\ \text{kW}$ → cal el motor de 5,5 kW (el de 4 kW quedaria curt: un motor sempre ha de tenir una potència igual o superior a la necessària).
Parell al tambor. $M = F\cdot r = 3924\cdot 0{,}15 = 589\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Parell del motor. $\omega = 1450\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 151{,}8\ \text{rad/s}$ ; $M = \dfrac{4181}{151{,}8} = 27{,}5\ \text{N}\cdot\text{m}$ . Comprovació: $27{,}5\cdot 50\cdot 0{,}4275 = 588\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

\eta' \approx 2 - \tfrac{1}{0{,}45} \approx -0{,}22

: la transmissió és irreversible (autoblocant); si es talla el corrent, la càrrega es queda aturada i no baixa.

Resolució

Càlcul. $\eta' \approx 2 - \dfrac{1}{\eta} = 2 - \dfrac{1}{0{,}45} = -0{,}22$ .
Interpretació. Un rendiment invers negatiu vol dir que el fregament entre el cargol i la roda és més gran que la força que la càrrega pot transmetre: ni tan sols sense resistència la càrrega aconsegueix fer girar el cargol.
Conclusió. La transmissió és irreversible (autoblocant): si es talla el corrent, la càrrega es queda aturada on és i no baixa.

Apartat d)

Resultat

El fre és obligatori perquè l'autoblocatge no és fiable (depèn del fregament) i el motor pot fallar; el reductor recte (uns 2 kW) seria reversible i, per fer 1/50, necessitaria diverses etapes i més espai.

Resolució

Per què cal un fre. L'autoblocatge depèn del fregament, que canvia amb la lubricació, el desgast i les vibracions (amb vibracions, un reductor «just» pot lliscar); a més, el motor pot tenir una avaria. Per seguretat, l'element que aguanta la càrrega ha de ser un fre que actuï quan falla el corrent, i l'autoblocatge és una segona barrera: un reductor irreversible no fa innecessari el fre.
Reductor d'engranatges rectes. Estalviaria energia: $P \approx \dfrac{1788}{0{,}95\cdot 0{,}95} \approx 2\ \text{kW}$ . Però és reversible: amb un fre seria segur igualment, però caldria fer la reducció en diverses etapes (1/50 en una sola etapa no és pràctic) i ocuparia més espai.
Conclusió. És un compromís entre rendiment, seguretat, cost i mida.

Errors típics

Agafar la relació de transmissió com 50 (multiplicar la velocitat) en lloc de 1/50.
Sumar els rendiments en lloc de multiplicar-los.
Triar el motor de 4 kW perquè «s'hi acosta»: un motor sempre ha de tenir potència igual o superior a la necessària.
Pensar que un reductor irreversible fa innecessari el fre.

Conceptes treballats: transmissions (cargol sense fi), relació de transmissió, potència, parell i rendiment, irreversibilitat, seguretat de màquines, elecció de motors.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Un altell d'un taller es recolza en una biga d'acer simplement recolzada en A (esquerra) i B (dreta), amb una llum de 5 m. La biga suporta una càrrega repartida uniforme de 8 kN/m (el forjat) i una càrrega puntual de 20 kN a 2 m del suport A (un dipòsit). L'acer té $σ_{e}$ = 275 MPa i es treballa amb un coeficient de seguretat de 1,5. Mòduls resistents de perfils IPE respecte de l'eix fort: IPE 200, 194 cm³; IPE 220, 252 cm³; IPE 240, 324 cm³; IPE 270, 429 cm³. Respecte de l'eix feble, l'IPE 240 té 47,3 cm³.
a) Calcula les reaccions als suports.
b) Determina on és el moment flector màxim i calcula'n el valor. Descriu com són els diagrames d'esforç tallant i de moment flector.
c) Tria el perfil IPE adequat (σ = $\tfrac{M}{W}$ ). Comprova que el pes propi del perfil triat (30,7 kg/m) no canvia la tria.
d) Un operari col·loca la biga girada 90° (amb l'ànima horitzontal). Què passaria? Justifica per què les bigues tenen forma de doble T.

Pista 1

Fes l'equilibri de moments respecte d'un dels suports (la càrrega repartida equival a una força de 8·5 = 40 kN aplicada al mig) i l'equilibri de forces verticals.

Pista 2

El moment màxim és on l'esforç tallant canvia de signe. Calcula el tallant just abans i just després de la càrrega puntual.

Pista 3

W ≥ $M_{\mathrm{màx}}$ / $σ_{\mathrm{adm}}$ . Compte amb les unitats: kN·m a N·mm, i cm³ a mm³.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

R_A = 32\ \text{kN}

;

R_B = 28\ \text{kN}

Resolució

Dades. Llum $L = 5\ \text{m}$ ; càrrega repartida $q = 8\ \text{kN/m}$ , equivalent a $8\cdot 5 = 40\ \text{kN}$ aplicats al mig (a 2,5 m); càrrega puntual de 20 kN a 2 m d'A.
Equilibri de moments respecte d'A. $R_B\cdot 5 = 40\cdot 2{,}5 + 20\cdot 2 = 140$ , per tant $R_B = 28\ \text{kN}$ .
Equilibri de forces verticals. $R_A = 40 + 20 - 28 = 32\ \text{kN}$ .

Apartat b)

Resultat

M_{\mathrm{màx}} = 48\ \text{kN}\cdot\text{m}

x = 2\ \text{m}

(sota la càrrega puntual).

Resolució

Esforç tallant. $V(x) = 32 - 8x$ per a $x < 2\ \text{m}$ ; just abans de la càrrega puntual val $32 - 16 = +16\ \text{kN}$ i just després, $16 - 20 = -4\ \text{kN}$ .
On és el màxim. El moment màxim és on el tallant canvia de signe, a $x = 2\ \text{m}$ : $M_{\mathrm{màx}} = 32\cdot 2 - \dfrac{8\cdot 2^{2}}{2} = 64 - 16 = 48\ \text{kN}\cdot\text{m}$
Diagrames. El tallant és una recta decreixent de pendent −8 kN/m amb un salt de −20 kN a $x = 2\ \text{m}$ (de +32 kN a A fins a −28 kN a B); el moment és parabòlic, nul als suports, amb un punt angulós i el màxim a $x = 2\ \text{m}$ . Fixa't que el màxim no és al centre de la biga.

Apartat c)

Resultat

Cal

W \ge 262\ \text{cm}^{3}

→ IPE 240; amb el pes propi,

\sigma \approx 151\ \text{MPa} \le 183\ \text{MPa}

: la tria es manté.

Resolució

Tensió admissible. $\sigma_{\mathrm{adm}} = \dfrac{275}{1{,}5} = 183{,}3\ \text{MPa}$ .
Mòdul resistent necessari. $W \ge \dfrac{M_{\mathrm{màx}}}{\sigma_{\mathrm{adm}}} = \dfrac{48\cdot10^{6}\ \text{N}\cdot\text{mm}}{183{,}3\ \text{N/mm}^{2}} = 261\,800\ \text{mm}^{3} = 262\ \text{cm}^{3}$ L'IPE 220 (252 cm³) no arriba; cal l'IPE 240 (324 cm³). Compte amb les unitats: $1\ \text{kN}\cdot\text{m} = 10^{6}\ \text{N}\cdot\text{mm}$ i $1\ \text{cm}^{3} = 1000\ \text{mm}^{3}$ .
Pes propi. $30{,}7\cdot 9{,}81 = 0{,}30\ \text{kN/m}$ , que afegeix com a màxim $\dfrac{q L^{2}}{8} = \dfrac{0{,}30\cdot 25}{8} = 0{,}94\ \text{kN}\cdot\text{m}$ . Amb $M \approx 48{,}9\ \text{kN}\cdot\text{m}$ , $\sigma = \dfrac{48{,}9\cdot10^{6}}{324\,000} = 151\ \text{MPa} \le 183\ \text{MPa}$ : la tria es manté.

Apartat d)

Resultat

Girada,

\sigma \approx 1015\ \text{MPa}

, gairebé quatre vegades el límit elàstic: la biga plastificaria i l'altell s'enfonsaria. La doble T posa el material lluny de l'eix neutre.

Resolució

Biga girada. El mòdul resistent és només 47,3 cm³: $\sigma = \dfrac{48\cdot10^{6}}{47\,300} = 1015\ \text{MPa}$ , gairebé quatre vegades el límit elàstic: la biga plastificaria i l'altell s'enfonsaria.
Tensions de flexió. En flexió, les tensions són màximes a les fibres més allunyades de l'eix neutre i nul·les al centre.
Forma de doble T. Col·loca la major part del material a les ales, lluny de l'eix neutre, on treballa més, i deixa una ànima prima que les manté separades i resisteix el tallant: s'obté molt de mòdul resistent amb poc pes. Però només funciona si es col·loca en la posició correcta.

Errors típics

Col·locar la càrrega repartida en un extrem en lloc del seu centre en fer l'equilibri de moments.
Suposar que el moment màxim és sempre al centre de la biga.
Confondre les unitats: 1 kN·m = 10⁶ N·mm i 1 cm³ = 1000 mm³.
Triar el perfil amb el mòdul resistent més proper, encara que sigui inferior al necessari.

Conceptes treballats: estructures, equilibri estàtic, esforç tallant i moment flector, tensió de flexió, mòdul resistent, perfils normalitzats, coeficient de seguretat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Una escala de tisora té dues potes de 2,0 m articulades a dalt. Està oberta sobre un terra que considerarem sense fregament, amb els peus separats 1,20 m. Una cinta horitzontal uneix les dues potes a 0,50 m d'alçada sobre el terra. Una persona de 750 N de pes puja per la pota A i s'atura a 1,5 m del peu, mesurats al llarg de la pota. Menysprea el pes de l'escala.
a) Calcula l'angle de cada pota amb la vertical, l'alçada de l'articulació i la posició horitzontal de la persona.
b) Calcula les reaccions del terra a cada peu.
c) Aïlla la pota B (la que no té la persona) i calcula la tensió de la cinta prenent moments respecte de l'articulació. Comprova el resultat aïllant la pota A.
d) Com canviaria la tensió si la cinta es posés a ran de terra o a 1,0 m d'alçada? On la col·locaries? Què passaria si la cinta es trenqués? Per què, en un terra real, l'escala aguanta una mica fins i tot sense cinta?

Escala de tisora de perfil: potes A i B de 2,0 m articulades a dalt, peus a 1,20 m, cinta a 0,50 m i una persona de 750 N a 1,5 m del peu A

Pista 1

Cada pota forma un triangle rectangle amb la vertical: sin θ = 0,60/2,0.

Pista 2

Per a les reaccions, considera l'escala sencera (la cinta i l'articulació són forces internes) i pren moments respecte d'un peu.

Pista 3

A la pota B hi actuen tres forces: la reacció del terra, la tensió de la cinta i la força de l'articulació. Prenent moments a l'articulació, aquesta última desapareix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\theta \approx 17{,}5^\circ

;

H \approx 1{,}908\ \text{m}

; la persona és a 0,45 m del peu A en horitzontal (a

x = -0{,}15\ \text{m}

del punt mig) i a 1,43 m d'alçada.

Resolució

Geometria. Cada pota forma un triangle rectangle amb la vertical: la hipotenusa és la pota (2,0 m) i el catet horitzontal, la meitat de la separació dels peus (0,60 m).
Angle i alçada. $\sin\theta = \dfrac{0{,}6}{2} = 0{,}3$ → $\theta = 17{,}5^\circ$ . Alçada de l'articulació: $H = 2\cdot\cos\theta = 1{,}908\ \text{m}$ .
Posició de la persona. Amb l'origen al punt mig entre els peus (A a $x = -0{,}6\ \text{m}$ , B a $x = +0{,}6\ \text{m}$ ): $x = -0{,}6 + 1{,}5\cdot\sin\theta = -0{,}6 + 0{,}45 = -0{,}15\ \text{m}$ , i a $1{,}5\cdot\cos\theta = 1{,}43\ \text{m}$ d'alçada.

Apartat b)

Resultat

N_A \approx 469\ \text{N}

;

N_B \approx 281\ \text{N}

(verticals).

Resolució

Escala sencera. La cinta i l'articulació són forces internes. Sense fregament, el terra només fa forces verticals.
Moments respecte del peu A. $N_B\cdot 1{,}2 = 750\cdot 0{,}45$ → $N_B = 281\ \text{N}$ .
Forces verticals. $N_A = 750 - 281 = 469\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

T \approx 120\ \text{N}

(el mateix resultat aïllant la pota A).

Resolució

Pota B aïllada. Hi actuen tres forces: la reacció del terra, la tensió de la cinta i la força de l'articulació. Prenent moments a l'articulació (a 1,908 m d'alçada sobre $x = 0$ ), aquesta última desapareix.
Moments. La reacció $N_B$ (vertical, a 0,6 m de distància horitzontal) fa un moment de $281\cdot 0{,}6 = 168{,}8\ \text{N}\cdot\text{m}$ , que tendeix a obrir la pota; la cinta (horitzontal, a una distància vertical de $1{,}908 - 0{,}5 = 1{,}408\ \text{m}$ de l'articulació) l'ha de compensar: $T\cdot 1{,}408 = 168{,}8$ → $T = 120\ \text{N}$ . Fixa't que el braç és la distància fins a l'articulació, no l'alçada de la cinta.
Comprovació amb la pota A. $-N_A\cdot 0{,}6 + 750\cdot 0{,}15 + T\cdot 1{,}408 = -281{,}3 + 112{,}5 + 1{,}408\,T = 0$ → $T = 120\ \text{N}$ . Coincideix.

Apartat d)

Resultat

T = \dfrac{168{,}8}{H - h}

: a ran de terra,

\approx 88\ \text{N}

; a 1,0 m,

\approx 186\ \text{N}

. Convé posar-la tan avall com sigui pràctic. Sense cinta, l'escala s'obre i cau; en un terra real, el fregament (uns 88 N a cada peu) pot fer la seva funció.

Resolució

Efecte de l'alçada. $T = \dfrac{N_B\cdot 0{,}6}{H - h}$ : a ran de terra ( $h = 0$ ), $T = \dfrac{168{,}8}{1{,}908} = 88\ \text{N}$ ; a 1,0 m, $T = \dfrac{168{,}8}{0{,}908} = 186\ \text{N}$ .
On col·locar-la. Com més avall, més braç de palanca i menys tensió: convé col·locar-la tan avall com sigui pràctic (pensar que la cinta treballa més com més amunt és, és al revés).
Si la cinta es trenca. Res no impediria que els peus llisquessin cap enfora: l'escala s'obriria i cauria.
Terra real. El fregament als peus actua a ran de terra i pot fer la mateixa funció que una cinta col·locada allà: cal una força de fregament d'uns 88 N a cada peu, possible si el coeficient és prou alt ( $\mu \ge 88/281 \approx 0{,}31$ al peu B, el més descarregat). En un terra mullat o polit el fregament no és fiable: per això la cinta (o el tirant) és un element de seguretat imprescindible.

Errors típics

Incloure la tensió de la cinta en l'equilibri de l'escala sencera (és una força interna).
Prendre el braç de la tensió com l'alçada de la cinta en lloc de la distància vertical fins a l'articulació.
Pensar que la cinta treballa més com més amunt és (és al revés).

Conceptes treballats: estructures articulades, equilibri del sòlid rígid (forces i moments), diagrama de sòlid lliure, forces internes i externes, tirants, seguretat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

El rendiment del cicle Otto ideal és η = 1 − $\tfrac{1}{r}$ ^γ−1 i el del cicle Diesel ideal és η = 1 − [ $\tfrac{1}{r}$ ^γ−1]·( $r_{c}$ ^γ − 1)/[γ·( $r_{c}$ − 1)], on r és la relació de compressió, $r_{c}$ la relació de combustió (o d'injecció) i γ = 1,4.
a) Calcula el rendiment ideal d'un motor de gasolina amb r = 10 i el d'un motor dièsel amb r = 18 i $r_{c}$ = 2.
b) Calcula també el rendiment d'un cicle Otto ideal amb r = 18. Compara'l amb el del dièsel i raona d'on ve, realment, l'avantatge del motor dièsel.
c) Per què no es fan motors de gasolina amb r = 18?
d) En un banc de proves, el motor dièsel lliura 90 kW a 4000 min^-1 consumint 21 kg/h de gasoil (poder calorífic 42,6 MJ/kg). Calcula el rendiment real, el parell i el consum específic (g/kWh). Explica per què el rendiment real és tan inferior a l'ideal.

Pista 1

Calcula 18^0,4 i 2^1,4 amb la calculadora i substitueix amb cura a la fórmula del dièsel.

Pista 2

Compara a igual relació de compressió: quin dels dos cicles és més eficient? Després pensa quina relació de compressió pot fer servir cadascun.

Pista 3

Potència tèrmica aportada = cabal de combustible (kg/s) · poder calorífic. El consum específic és la massa de combustible per cada kWh produït.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

Otto (

r = 10

\eta \approx 0{,}602

(60,2 %); dièsel (

r = 18

r_c = 2

\eta \approx 0{,}632

(63,2 %).

Resolució

Otto, $r = 10$ . $\eta = 1 - \dfrac{1}{10^{0{,}4}} = 1 - \dfrac{1}{2{,}512} = 0{,}602$ (60,2 %). Compte: l'exponent és $\gamma - 1 = 0{,}4$ , no $\gamma$ .
Dièsel, càlculs parcials. $\dfrac{1}{18^{0{,}4}} = \dfrac{1}{3{,}178} = 0{,}3147$ ; $\dfrac{2^{1{,}4} - 1}{1{,}4\cdot(2 - 1)} = \dfrac{2{,}639 - 1}{1{,}4} = 1{,}171$ .
Dièsel, rendiment. $\eta = 1 - 0{,}3147\cdot 1{,}171 = 0{,}632$ (63,2 %).

Apartat b)

Resultat

Otto amb

r = 18

\eta \approx 0{,}685

, més que el dièsel. L'avantatge del dièsel ve de poder treballar amb una relació de compressió molt més alta.

Resolució

Càlcul. $\eta = 1 - 0{,}3147 = 0{,}685$ .
Comparació a igual $r$ . A igual relació de compressió, el cicle Otto és més eficient que el Diesel (la combustió a pressió constant és menys favorable que la de volum constant): el cicle Diesel no és «intrínsecament» més eficient.
Conclusió. L'avantatge real del dièsel ve de poder treballar amb una relació de compressió molt més alta (18 davant de 10).

Apartat c)

Resultat

Perquè amb

r = 18

la barreja d'aire i gasolina s'encendria sola abans de la guspira (autoignició, «picat»), amb cops de pressió que danyen el motor.

Resolució

Motor de gasolina. La barreja d'aire i combustible es comprimeix junta. Amb $r = 18$ , la temperatura al final de la compressió seria tan alta que la barreja s'encendria sola abans de la guspira (autoignició, «picat»), amb cops de pressió que danyen el motor.
Motor dièsel. Comprimeix només aire i injecta el combustible al final: de fet, necessita aquesta temperatura alta perquè el gasoil s'encengui sol.

Apartat d)

Resultat

\eta_{\mathrm{real}} \approx 0{,}362

(36 %);

M \approx 215\ \text{N}\cdot\text{m}

;

c_e \approx 233\ \text{g/kWh}

Resolució

Potència aportada. Cal passar el consum a kg/s: $\dfrac{21}{3600}\cdot 42{,}6\cdot10^{6} = 248{,}5\ \text{kW}$ .
Rendiment real i parell. $\eta = \dfrac{90}{248{,}5} = 0{,}362$ (36 %). $\omega = 4000\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 418{,}9\ \text{rad/s}$ ; $M = \dfrac{90\,000}{418{,}9} = 215\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Consum específic. $c_e = \dfrac{21\,000\ \text{g/h}}{90\ \text{kW}} = 233\ \text{g/kWh}$ .
Per què el real és tan inferior. El cicle ideal suposa transformacions instantànies i sense pèrdues amb aire com a gas ideal. En el motor real hi ha pèrdues de calor per les parets i pel sistema de refrigeració, la combustió no és instantània ni completa, hi ha fregaments mecànics, pèrdues de bombeig en l'admissió i l'escapament, i el gas no es comporta com un gas ideal. El rendiment real sol ser poc més de la meitat de l'ideal (aquí, $0{,}362/0{,}632 \approx 0{,}57$ ).

Errors típics

Elevar r a γ en lloc de γ − 1.
Concloure que el cicle Diesel és «intrínsecament» més eficient que l'Otto.
Oblidar passar el consum de kg/h a kg/s abans de multiplicar pel poder calorífic (en J/kg).

Conceptes treballats: màquines tèrmiques, cicles Otto i Diesel, relació de compressió, rendiment ideal i real, potència i parell, consum específic.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Una empresa d'embotits de Vic té una cambra de conservació a 2 °C. Les entrades de calor (parets, porta, producte calent) obliguen a extreure'n 12 kW de mitjana quan funciona el compressor. La màquina frigorífica cedeix la calor a l'aire exterior, a 30 °C a l'estiu. El COP real és el 35 % del COP de Carnot (pren com a temperatures dels focus la de la cambra i la de l'aire exterior).
a) Calcula el COP de Carnot i el real, la potència elèctrica del compressor i la calor cedida a l'exterior.
b) El compressor funciona 16 h al dia. Calcula l'energia consumida diàriament i el cost, a 0,20 €/kWh.
c) El condensador s'ha instal·lat en una teulada assolellada i mal ventilada, on l'aire que el refreda és a 40 °C. Calcula el nou consum i l'increment percentual.
d) Raona per què un condensador brut o mal situat fa gastar més energia, i per què la calor cedida a l'exterior és sempre més gran que la que s'extreu de la cambra. Proposa un aprofitament d'aquesta calor.

Pista 1

Per a una màquina frigorífica, COP = Q_f/W i COP_Carnot = T_f/(T_c − T_f), amb temperatures en kelvin.

Pista 2

Pel primer principi, la calor cedida al focus calent és Q_c = Q_f + W.

Pista 3

Com més gran és la diferència de temperatures entre els focus, més petit és el COP.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} \approx 9{,}83

;

\mathrm{COP}_{\mathrm{real}} \approx 3{,}44

;

W \approx 3{,}49\ \text{kW}

;

Q_c \approx 15{,}5\ \text{kW}

Resolució

Dades en kelvin. $T_f = 275{,}15\ \text{K}$ ; $T_c = 303{,}15\ \text{K}$ ; $Q_f = 12\ \text{kW}$ .
COP d'una màquina frigorífica. $\mathrm{COP} = \dfrac{Q_f}{W}$ i $\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} = \dfrac{T_f}{T_c - T_f} = \dfrac{275{,}15}{28} = 9{,}83$ (no el confonguis amb el de la bomba de calor, $T_c/\Delta T$ ). COP real $= 0{,}35\cdot 9{,}83 = 3{,}44$ .
Potència elèctrica. $W = \dfrac{12}{3{,}44} = 3{,}49\ \text{kW}$ .
Calor cedida (primer principi). $Q_c = Q_f + W = 12 + 3{,}49 = 15{,}5\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

E \approx 55{,}8\ \text{kWh/dia}

; cost

\approx 11{,}2\ \text{€/dia}

Resolució

Energia. $E = W\cdot t = 3{,}49\cdot 16 = 55{,}8\ \text{kWh/dia}$ .
Cost. $55{,}8\cdot 0{,}20 = 11{,}2\ \text{€/dia}$ .

Apartat c)

Resultat

W \approx 4{,}74\ \text{kW}

(75,8 kWh/dia i 15,2 €/dia): +36 %.

Resolució

Nou focus calent. $T_c = 313{,}15\ \text{K}$ : $\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} = \dfrac{275{,}15}{38} = 7{,}24$ ; COP real $= 0{,}35\cdot 7{,}24 = 2{,}53$ .
Consum. $W = \dfrac{12}{2{,}53} = 4{,}74\ \text{kW}$ → 75,8 kWh/dia i 15,2 €/dia.
Increment. $\dfrac{4{,}74}{3{,}49} = 1{,}36$ : un 36 % més (exactament $38/28 - 1$ ).

Apartat d)

Resultat

Un condensador brut o mal situat augmenta el salt de temperatura i baixa el COP.

Q_c = Q_f + W

perquè el treball també acaba en calor; es pot recuperar per escalfar aigua.

Resolució

Condensador brut o mal situat. El compressor ha de «bombar» calor des de la temperatura de la cambra fins a una temperatura una mica superior a la del medi on la cedeix. Si l'aire del condensador és més calent (sol, mala ventilació) o el condensador està brut (la calor passa pitjor i el refrigerant ha d'estar més calent), el salt de temperatura augmenta i el COP baixa: per extreure la mateixa calor cal més treball.
Manteniment. Per això els condensadors s'han de col·locar a l'ombra, ben ventilats i nets (manteniment preventiu).
Calor cedida. És $Q_f + W$ perquè el treball elèctric que consumeix el compressor també acaba convertit en calor; per això sempre és més gran que la que s'extreu de la cambra.
Aprofitament. Aquesta calor (15,5 kW) es pot aprofitar per escalfar l'aigua sanitària o de neteja de l'obrador amb un recuperador de calor, de manera que la mateixa electricitat fa dues funcions.

Errors típics

Fer servir les temperatures en graus Celsius a la fórmula del COP.
Confondre el COP d'una màquina frigorífica (T_f/ΔT) amb el d'una bomba de calor (T_c/ΔT).
Pensar que la calor cedida a l'exterior és igual a la que s'extreu de la cambra.

Conceptes treballats: màquines frigorífiques, primer i segon principi de la termodinàmica, COP i COP de Carnot, consum energètic, manteniment, recuperació de calor.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una casa necessita 8 kW de calefacció quan a l'exterior hi ha 2 °C. S'hi vol instal·lar una bomba de calor aire-aigua, el COP real de la qual és el 50 % del de Carnot (agafa com a focus fred l'aire exterior i com a focus calent la temperatura de l'aigua d'impulsió). Es comparen dues instal·lacions interiors:
• Terra radiant: aigua d'impulsió a 35 °C.
• Radiadors convencionals: aigua d'impulsió a 60 °C.
a) Calcula el COP real i la potència elèctrica de la bomba de calor en cada cas, i la calor que s'extreu de l'aire.
b) Si la temporada de calefacció equival a 1500 h a aquesta potència, calcula l'energia elèctrica anual de cada opció i compara-la amb la d'una calefacció amb resistències elèctriques.
c) Raona per què les bombes de calor s'associen al terra radiant. Per què el terra radiant pot treballar amb aigua tan poc calenta?
d) Què passaria amb el COP els dies més freds (−5 °C)? Calcula'l per al cas del terra radiant i comenta'n la conseqüència per al dimensionament.

Pista 1

Per a una bomba de calor, COP_Carnot = T_c/(T_c − T_f), en kelvin.

Pista 2

Calor extreta de l'aire = calor lliurada − treball elèctric.

Pista 3

La potència que cedeix un emissor depèn de la seva superfície i de la diferència de temperatura amb l'habitació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Terra radiant:

\mathrm{COP} \approx 4{,}67

W \approx 1{,}71\ \text{kW}

Q_f \approx 6{,}29\ \text{kW}

; radiadors:

\mathrm{COP} \approx 2{,}87

W \approx 2{,}79\ \text{kW}

Q_f \approx 5{,}21\ \text{kW}

Resolució

Dades. $Q_c = 8\ \text{kW}$ ; $T_f = 2 + 273{,}15 = 275{,}15\ \text{K}$ ; COP real = 50 % del de Carnot, amb $\mathrm{COP}_{\mathrm{Carnot}} = \dfrac{T_c}{T_c - T_f}$ (bomba de calor). El focus calent és l'aigua d'impulsió, no l'habitació a 20 °C.
Terra radiant (308,15 K). $\mathrm{COP}_C = \dfrac{308{,}15}{33} = 9{,}34$ ; COP real $= 4{,}67$ ; $W = \dfrac{8}{4{,}67} = 1{,}71\ \text{kW}$ ; calor de l'aire $= 8 - 1{,}71 = 6{,}29\ \text{kW}$ .
Radiadors (333,15 K). $\mathrm{COP}_C = \dfrac{333{,}15}{58} = 5{,}74$ ; COP real $= 2{,}87$ ; $W = \dfrac{8}{2{,}87} = 2{,}79\ \text{kW}$ ; calor de l'aire $= 8 - 2{,}79 = 5{,}21\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

Terra radiant:

\approx 2570\ \text{kWh}

; radiadors:

\approx 4180\ \text{kWh}

(un 63 % més); resistències:

12\,000\ \text{kWh}

Resolució

Energia anual. $E = W\cdot 1500\ \text{h}$ . Terra radiant: $1{,}71\cdot 1500 = 2570\ \text{kWh}$ . Radiadors: $2{,}79\cdot 1500 = 4180\ \text{kWh}$ (un 63 % més).
Resistències. COP = 1: $8\cdot 1500 = 12\,000\ \text{kWh}$ .
Conclusió. Fins i tot amb radiadors, la bomba de calor gasta menys de la meitat que les resistències, perquè la major part de la calor la treu de l'aire exterior (no «crea» calor a partir d'electricitat com una resistència).

Apartat c)

Resultat

Com més baixa és la temperatura de l'aigua, menor és el salt tèrmic i més alt el COP; el terra radiant, amb una superfície enorme, cedeix la potència amb aigua poc calenta.

Resolució

Salt tèrmic. Com menor és la temperatura a què s'ha de lliurar la calor, menor és el salt tèrmic que ha de vèncer la bomba i més alt és el COP.
Superfície de l'emissor. La potència que cedeix un emissor depèn de la seva superfície i de la diferència de temperatura amb l'habitació. El terra radiant té una superfície d'intercanvi enorme (tot el terra): per cedir la mateixa potència li n'hi ha prou amb una diferència de temperatura petita respecte de l'habitació.
Conclusió. Un radiador, molt més petit, necessita aigua molt més calenta; per això les bombes de calor s'associen al terra radiant.

Apartat d)

Resultat

A −5 °C,

\mathrm{COP} \approx 3{,}85

(terra radiant): baixa justament quan la casa necessita més calor, i cal dimensionar per a la temperatura de disseny (o afegir un suport).

Resolució

Càlcul. $T_f = 268{,}15\ \text{K}$ : $\mathrm{COP}_C = \dfrac{308{,}15}{40} = 7{,}70$ ; COP real $\approx 3{,}85$ . Per donar els mateixos 8 kW caldrien $8/3{,}85 \approx 2{,}08\ \text{kW}$ elèctrics.
Conseqüència. A més, la casa perd més calor quan fa més fred: la bomba ha de donar més potència justament quan el seu COP és més baix. El COP no és constant al llarg de l'hivern.
Dimensionament. Per això es dimensiona per a la temperatura exterior de disseny de la zona (a Osona, sovint per sota de 0 °C) i, de vegades, s'hi afegeix un suport (una resistència o una caldera) per als pocs dies més freds.

Errors típics

Fer servir les temperatures de l'habitació (20 °C) en lloc de la de l'aigua d'impulsió.
Pensar que la bomba de calor «crea» calor a partir d'electricitat com una resistència.
Pensar que el COP és constant al llarg de tot l'hivern.

Conceptes treballats: bomba de calor, segon principi de la termodinàmica, COP de Carnot i real, emissors de calor, eficiència energètica, dimensionament d'instal·lacions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un ciclista amb la seva bicicleta elèctrica (95 kg en total) puja un pendent constant del 8 % a 15 km/h. El coeficient de resistència a la rodadura és 0,008 i, a aquesta velocitat, menysprearem la resistència de l'aire (g = 9,81 m/s²). El motor central lliura 250 W mecànics, amb un rendiment de transmissió fins a la roda de 0,95. Les rodes fan 0,70 m de diàmetre, el plat té 38 dents i el pinyó posterior es pot triar entre 11 i 42 dents.
a) Calcula la força necessària per pujar a velocitat constant i la potència a la roda. Quina potència ha de fer el ciclista?
b) El ciclista vol pedalar a 70 min^-1. Quin pinyó ha de triar (en dents senceres)? A quina velocitat anirà realment?
c) Calcula el parell a la roda.
d) La bateria té 500 Wh i el motor té un rendiment elèctric del 80 %. Quina fracció de la bateria es gasta en una pujada de 600 m de desnivell? Raona què passaria amb el consum si el ciclista pugés al doble de velocitat (amb el motor fent sempre el 70 % de la potència a la roda).

Pista 1

Pendent del 8 %: tan α = 0,08. La força és m·g·(sin α + μ_r·cos α).

Pista 2

Velocitat de gir de la roda: n = v/(π·D) en voltes per segon. La relació de transmissió plat-pinyó és n_roda/n_pedals = z_plat/z_pinyó.

Pista 3

L'energia depèn de la força i de la distància recorreguda. Si la força no canvia, la velocitat només canvia el temps i la potència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

F \approx 81{,}8\ \text{N}

;

P_{\mathrm{roda}} \approx 341\ \text{W}

; el ciclista ha de fer

\approx 103\ \text{W}

(el motor en dona 237,5 a la roda).

Resolució

Angle. Pendent del 8 %: $\tan\alpha = 0{,}08$ , $\alpha = 4{,}57^\circ$ ; $\sin\alpha = 0{,}0797$ ; $\cos\alpha = 0{,}9968$ . No facis servir 0,08 com si fos l'angle en graus.
Força a velocitat constant. Component del pes més rodadura: $F = m g\,(\sin\alpha + \mu_r\cos\alpha) = 95\cdot 9{,}81\cdot(0{,}0797 + 0{,}008\cdot 0{,}9968) = 81{,}8\ \text{N}$
Potència a la roda. $v = \dfrac{15}{3{,}6} = 4{,}17\ \text{m/s}$ ; $P = F\cdot v = 81{,}8\cdot 4{,}17 = 341\ \text{W}$ .
Repartiment. El motor dona a la roda $250\cdot 0{,}95 = 237{,}5\ \text{W}$ ; el ciclista ha de fer $341 - 237{,}5 \approx 103\ \text{W}$ .

Apartat b)

Resultat

Cal

z \approx 23{,}4

dents: el pinyó de 24 dents (més curt, adequat per pujar); velocitat real

\approx 14{,}6\ \text{km/h}

Resolució

Velocitat de gir de la roda. $n_{\mathrm{roda}} = \dfrac{v}{\pi D} = \dfrac{4{,}17}{\pi\cdot 0{,}70} = 1{,}895\ \text{voltes/s} = 113{,}7\ \text{min}^{-1}$ .
Relació plat-pinyó. $\dfrac{n_{\mathrm{roda}}}{n_{\mathrm{pedals}}} = \dfrac{z_{\mathrm{plat}}}{z_{\mathrm{pinyó}}}$ : cal $\dfrac{113{,}7}{70} = 1{,}624$ , d'on $z_{\mathrm{pinyó}} = \dfrac{38}{1{,}624} = 23{,}4$ dents, que no existeix.
Tria. Amb 23 dents s'aniria a 15,3 km/h i amb 24, una mica més lent; en pujada convé el de 24 dents (marxa més curta: el ciclista fa menys força als pedals). Recorda que un pinyó més gran fa la marxa més «curta».
Velocitat real. $n_{\mathrm{roda}} = 70\cdot\dfrac{38}{24} = 110{,}8\ \text{min}^{-1}$ → $v = \dfrac{110{,}8\cdot\pi\cdot 0{,}70}{60} = 4{,}06\ \text{m/s} = 14{,}6\ \text{km/h}$ .

Apartat c)

Resultat

M_{\mathrm{roda}} \approx 28{,}6\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Parell i força. La força de tracció actua al contacte amb el terra, a una distància $r = D/2 = 0{,}35\ \text{m}$ de l'eix.
Càlcul. $M = F\cdot r = 81{,}8\cdot 0{,}35 = 28{,}6\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

\approx 157\ \text{Wh}

: el 31 % de la bateria. Al doble de velocitat el consum de bateria seria pràcticament el mateix (sense aire), però amb el doble de potència i la meitat de temps.

Resolució

Distància i temps. $d = \dfrac{600}{\sin\alpha} = 7{,}52\ \text{km}$ ; $t = \dfrac{7524}{4{,}17} = 1806\ \text{s} = 0{,}50\ \text{h}$ .
Energia de la bateria. Potència elèctrica: $\dfrac{250}{0{,}8} = 312{,}5\ \text{W}$ ; energia: $312{,}5\cdot 0{,}50 = 157\ \text{Wh}$ , el 31 % de la bateria de 500 Wh.
Al doble de velocitat. Sense aire, la força és la mateixa i l'energia per pujar també: el treball és $F\cdot d$ i no depèn de la velocitat. Si el motor fa el 70 % de la potència a la roda, el consum de bateria és pràcticament el mateix (a 15 km/h el motor ja feia el 70 % de 341 W); la diferència és que la potència es duplica i la pujada dura la meitat.
A la realitat. La resistència de l'aire creix amb $v^{2}$ i el consum sí que augmentaria.

Errors típics

Fer servir el pendent (0,08) directament com si fos l'angle en graus o com a sin α sense pensar-hi (aquí la diferència és petita, però en pendents grans no).
Oblidar la resistència a la rodadura o el rendiment de la transmissió.
Invertir la relació plat/pinyó: un pinyó més gran fa la marxa més «curta».
Pensar que pujar més ràpid gasta més energia quan l'única resistència depèn de la massa i del pendent.

Conceptes treballats: dinàmica en un pla inclinat, potència i parell, transmissions per cadena, relació de transmissió, rendiment, energia i autonomia.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un cotxe de 1500 kg baixa un port de muntanya amb un pendent constant del 10 % al llarg de 4 km, a una velocitat constant de 50 km/h. La resistència a la rodadura i la de l'aire sumen 300 N (g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ ).
a) Calcula la força que han de fer els frens i la potència que dissipen.
b) Calcula l'energia que es converteix en calor als frens durant tota la baixada. Comprova-la amb un balanç d'energia potencial.
c) Els quatre discs de fre tenen una massa total de 24 kg d'acer (c = 460 J/(kg·K)). Si no es refredessin gens, quant augmentaria la seva temperatura? Interpreta el resultat.
d) Si el conductor redueix la marxa i el motor absorbeix 8 kW (fre motor), quin seria l'augment de temperatura dels discs? Explica per què a les baixades llargues s'ha de fer servir el fre motor i què és l'«esvaïment» (fading) dels frens.

Pista 1

A velocitat constant la força resultant és zero: component del pes en la direcció del pendent = resistències + força de frenada.

Pista 2

Potència = força · velocitat. Energia = potència · temps.

Pista 3

L'energia potencial perduda es reparteix entre el treball de les resistències i el dels frens.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

F_{\mathrm{frens}} \approx 1164\ \text{N}

;

P \approx 16{,}2\ \text{kW}

Resolució

Component del pes. $\tan\alpha = 0{,}10$ : $\sin\alpha = 0{,}0995$ . $m g\sin\alpha = 1500\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0995 = 1464\ \text{N}$ (no el pes sencer).
Equilibri a velocitat constant. La força resultant és zero: component del pes = resistències + frens. $F_{\mathrm{frens}} = 1464 - 300 = 1164\ \text{N}$ (les resistències també ajuden a frenar).
Potència. $v = \dfrac{50}{3{,}6} = 13{,}89\ \text{m/s}$ ; $P = F\cdot v = 1164\cdot 13{,}89 = 16{,}2\ \text{kW}$ .

Apartat b)

Resultat

E \approx 4{,}66\ \text{MJ}

, confirmat pel balanç d'energia potencial.

Resolució

Temps i energia. $t = \dfrac{4000}{13{,}89} = 288\ \text{s}$ . Energia als frens: $16\,170\cdot 288 = 4{,}66\ \text{MJ}$ .
Balanç d'energia potencial. Desnivell $h = 4000\cdot 0{,}0995 = 398\ \text{m}$ ; $E_p = 1500\cdot 9{,}81\cdot 398 = 5{,}86\ \text{MJ}$ ; resistències: $300\cdot 4000 = 1{,}20\ \text{MJ}$ .
Comprovació. A velocitat constant l'energia cinètica no canvia, i l'energia potencial perduda es reparteix entre resistències i frens: $5{,}86 - 1{,}20 = 4{,}66\ \text{MJ}$ . Coincideix.

Apartat c)

Resultat

\Delta T \approx 422\ \text{K}

: un valor enorme, que a la realitat només s'evita perquè els discs es refreden.

Resolució

Calor i capacitat calorífica. $Q = m\,c\,\Delta T$ , d'on $\Delta T = \dfrac{Q}{m c}$ .
Càlcul. $\Delta T = \dfrac{4{,}66\cdot10^{6}}{24\cdot 460} = 422\ \text{K}$ .
Interpretació. És un valor enorme: a la realitat els discs es refreden contínuament (per això són ventilats), però en una baixada llarga i frenant tota l'estona poden arribar a temperatures de diversos centenars de graus.

Apartat d)

Resultat

\Delta T \approx 213\ \text{K}

, la meitat. El fre motor evita sobreescalfar els frens i el fading (pèrdua d'eficàcia dels frens calents).

Resolució

Amb fre motor. Potència als frens: $16{,}2 - 8 = 8{,}2\ \text{kW}$ ; energia: $8170\cdot 288 = 2{,}35\ \text{MJ}$ ; $\Delta T = \dfrac{2{,}35\cdot10^{6}}{24\cdot 460} = 213\ \text{K}$ , la meitat.
Fading. A temperatures molt altes, el coeficient de fregament de les pastilles baixa (fading) i el líquid de frens es pot arribar a bullir (es formen bombolles de vapor, que són compressibles, i el pedal «s'enfonsa»): el cotxe es queda sense frens just quan més els necessita.
Conclusió. El fre motor dissipa part de l'energia sense escalfar els frens, que es reserven per a les frenades puntuals. (Els vehicles elèctrics i híbrids fan una cosa semblant amb la frenada regenerativa, que a més recupera energia a la bateria.)

Errors típics

Calcular la força de frenada amb el pes sencer en lloc de la component paral·lela al pendent.
Oblidar que les resistències també ajuden a frenar.
Pensar que la velocitat constant implica que no hi ha cap energia a dissipar.

Conceptes treballats: dinàmica en un pla inclinat, treball i potència, conservació de l'energia, calor i capacitat calorífica, sistemes de frenada, seguretat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Una premsa mecànica de tallar xapa fa 30 cops per minut. Cada cop necessita 2,5 kJ d'energia, que s'han de lliurar en 0,1 s. Per no haver de muntar un motor enorme, la premsa té un volant d'inèrcia: un disc massís d'acer (7850 $\text{kg/m}^{3}$ ) de 0,8 m de diàmetre i 0,1 m de gruix, que gira a 300 min^-1. Moment d'inèrcia d'un disc massís: I = m· $\tfrac{r^{2}}{2}$ .
a) Calcula la massa i el moment d'inèrcia del volant, i l'energia cinètica que emmagatzema.
b) Calcula la velocitat de gir del volant just després d'un cop i la caiguda de velocitat en percentatge.
c) Calcula la potència que caldria si el motor hagués de fer el cop directament, sense volant, i la potència mitjana que necessita el motor amb volant (menysprea les pèrdues). Interpreta la diferència.
d) Amb la mateixa massa d'acer, es podria fer un volant amb forma d'anell (tota la massa a la llanta, I ≈ m· $r^{2}$ ). Quina caiguda de velocitat hi hauria? Per què interessa una caiguda petita?

Pista 1

m = ρ·π· $r^{2}$ ·e. Passa les min^-1 a rad/s abans de calcular E = I· $\tfrac{\omega^{2}}{2}$ .

Pista 2

Després del cop, l'energia del volant és la inicial menys 2,5 kJ. Aïlla ω.

Pista 3

Sense volant, el motor ha de lliurar 2,5 kJ en 0,1 s. Amb volant, té tot el temps entre cops (2 s) per tornar a accelerar-lo.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

m \approx 395\ \text{kg}

;

I \approx 31{,}6\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}

;

E \approx 15{,}6\ \text{kJ}

Resolució

Massa. $m = \rho\cdot\pi r^{2}\cdot e = 7850\cdot\pi\cdot 0{,}4^{2}\cdot 0{,}1 = 395\ \text{kg}$ .
Moment d'inèrcia. $I = \dfrac{m r^{2}}{2} = \dfrac{395\cdot 0{,}4^{2}}{2} = 31{,}6\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$ .
Energia cinètica de rotació. Primer, a rad/s: $\omega = 300\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 31{,}42\ \text{rad/s}$ . $E = \dfrac{I\omega^{2}}{2} = \dfrac{31{,}6\cdot 31{,}42^{2}}{2} = 15{,}6\ \text{kJ}$ .

Apartat b)

Resultat

n' \approx 275\ \text{min}^{-1}

; caiguda

\approx 8{,}4\ \%

Resolució

Energia després del cop. $E' = 15\,578 - 2500 = 13\,078\ \text{J}$ .
Nova velocitat. $\omega' = \sqrt{\dfrac{2E'}{I}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 13\,078}{31{,}57}} = 28{,}79\ \text{rad/s} = 275\ \text{min}^{-1}$ .
Caiguda. $\dfrac{300 - 275}{300} = 8{,}4\ \%$ . Fixa't que l'energia baixa un 16 % però la velocitat només un 8,4 %: l'energia va amb $\omega^{2}$ .

Apartat c)

Resultat

Sense volant:

25\ \text{kW}

; amb volant:

1{,}25\ \text{kW}

de mitjana (20 vegades menys).

Resolució

Sense volant. El motor ha de lliurar 2,5 kJ en 0,1 s: $P = \dfrac{2500}{0{,}1} = 25\ \text{kW}$ .
Amb volant. A 30 cops/min hi ha un cop cada 2 s, i en aquest temps s'han de reposar 2,5 kJ: $P_{\mathrm{mitjana}} = \dfrac{2500}{2} = 1{,}25\ \text{kW}$ (a la pràctica, una mica més per les pèrdues).
Interpretació. El volant fa d'«acumulador mecànic»: emmagatzema lentament l'energia del motor i la lliura de cop (no «dona» energia, només la redistribueix en el temps). Això permet un motor 20 vegades més petit, més barat, i evita pics de corrent a la xarxa elèctrica.

Apartat d)

Resultat

Anell:

I \approx 63{,}1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}

n' \approx 288\ \text{min}^{-1}

: caiguda del 4,1 %. Una caiguda petita dona cops regulars i fa treballar el motor prop del seu punt nominal.

Resolució

Moment d'inèrcia de l'anell. $I = m r^{2} = 395\cdot 0{,}4^{2} = 63{,}1\ \text{kg}\cdot\text{m}^{2}$ : posar la massa lluny de l'eix duplica el moment d'inèrcia (per això els volants reals tenen llanta gruixuda i radis o disc prim).
Nova velocitat. $\omega' = \sqrt{31{,}42^{2} - \dfrac{2\cdot 2500}{63{,}1}} = 30{,}13\ \text{rad/s} = 288\ \text{min}^{-1}$ : caiguda del 4,1 %.
Per què interessa. Una caiguda petita vol dir que la premsa treballa a una velocitat quasi constant (cops més regulars) i que el motor treballa a prop del seu punt nominal, amb millor rendiment i menys escalfament.

Errors típics

Fer servir la velocitat en min^-1 a l'expressió de l'energia cinètica.
Calcular la caiguda de velocitat com si fos proporcional a la caiguda d'energia (l'energia va amb ω²).
Pensar que el volant «dona» energia: només la redistribueix en el temps.

Conceptes treballats: volant d'inèrcia, energia cinètica de rotació, moment d'inèrcia, potència mitjana i potència de pic, emmagatzematge d'energia, disseny de màquines.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un agitador d'un dipòsit de pinso és accionat per un motor de 30 kW a 1450 min^-1 a través d'un reductor que fa girar l'eix de l'agitador a 250 min^-1 (menysprea les pèrdues del reductor). L'acer de l'eix té una tensió tangencial admissible $τ_{\mathrm{adm}}$ = 40 MPa (ja inclou el coeficient de seguretat) i una densitat de 7850 $\text{kg/m}^{3}$ .
Tensió tangencial màxima a torsió: eix massís, τ = 16· $\tfrac{M}{(\pi \cdot d^{3})}$ ; eix buit (diàmetre exterior D, interior $d_{i}$ ), τ = 16·M·D/[π·( $D^{4}$ − $d_{i}$ ⁴)].
a) Calcula el parell que transmet l'eix de l'agitador.
b) Calcula el diàmetre mínim d'un eix massís i tria'n un de normalitzat entre 50, 55 i 60 mm.
c) Es proposa un eix buit de 56 mm de diàmetre exterior i 34 mm d'interior. Comprova que és vàlid i compara la massa per metre de les dues opcions.
d) Raona per què l'eix buit aprofita millor el material. Per què l'eix d'entrada del reductor (a 1450 min^-1) pot ser molt més prim que el de sortida? Calcula el diàmetre massís mínim que tindria.

Pista 1

M = $\tfrac{P}{\omega}$ , amb ω en rad/s.

Pista 2

Aïlla d de $τ_{\mathrm{adm}}$ = 16· $\tfrac{M}{(\pi \cdot d^{3})}$ . Massa per metre = ρ·secció.

Pista 3

A torsió, la tensió és nul·la al centre i màxima a la superfície. Quin material treballa poc en un eix massís?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

M \approx 1146\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. $P = 30\ \text{kW}$ (sense pèrdues al reductor), eix de l'agitador a $250\ \text{min}^{-1}$ .
Parell. $\omega = 250\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 26{,}18\ \text{rad/s}$ ; $M = \dfrac{P}{\omega} = \dfrac{30\,000}{26{,}18} = 1146\ \text{N}\cdot\text{m}$ . Compte: s'ha de fer servir la velocitat de l'eix de l'agitador, no la del motor.

Apartat b)

Resultat

d_{\mathrm{mín}} \approx 52{,}6\ \text{mm}

→ eix normalitzat de 55 mm (

\tau \approx 35{,}1\ \text{MPa}

Resolució

Condició de resistència a torsió. $\tau = \dfrac{16 M}{\pi d^{3}} \le \tau_{\mathrm{adm}}$ , d'on $d \ge \left(\dfrac{16 M}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}\right)^{1/3}$ .
Càlcul. $d \ge \left(\dfrac{16\cdot 1146}{\pi\cdot 40\cdot10^{6}}\right)^{1/3} = 0{,}0526\ \text{m} = 52{,}6\ \text{mm}$
Tria. El diàmetre no es pot arrodonir a la baixa: s'agafa 55 mm, amb $\tau = 35{,}1\ \text{MPa}$ .

Apartat c)

Resultat

\tau \approx 38{,}5\ \text{MPa} \le 40\ \text{MPa}

: vàlid. Massís:

\approx 18{,}7\ \text{kg/m}

; buit:

\approx 12{,}2\ \text{kg/m}

(un 35 % menys).

Resolució

Tensió a l'eix buit. $\tau = \dfrac{16\cdot 1146\cdot 0{,}056}{\pi\cdot(0{,}056^{4} - 0{,}034^{4})} = 38{,}5\ \text{MPa} \le 40\ \text{MPa}$ És vàlid.
Massa per metre. Massa per metre = $\rho\cdot S$ . Massís: $S = \dfrac{\pi}{4}\cdot 55^{2} = 2376\ \text{mm}^{2}$ → 18,7 kg/m. Buit: $S = \dfrac{\pi}{4}\cdot(56^{2} - 34^{2}) = 1555\ \text{mm}^{2}$ → 12,2 kg/m.
Conclusió. L'eix buit pesa un 35 % menys amb només 1 mm més de diàmetre exterior: un eix buit no és necessàriament més feble si es compara a igual massa.

Apartat d)

Resultat

L'eix buit elimina el material del centre, que a torsió gairebé no treballa. L'eix d'entrada té un parell 5,8 vegades menor (

\approx 198\ \text{N}\cdot\text{m}

) i n'hi ha prou amb

d \approx 29{,}3\ \text{mm}

Resolució

Distribució de tensions. A torsió, la tensió creix linealment des de zero al centre fins al màxim a la superfície. El material del centre d'un eix massís gairebé no treballa, però pesa i costa; l'eix buit elimina precisament aquest material poc útil. (No es pot fer la paret indefinidament prima, perquè aleshores es podria vinclar o abonyegar.)
Eix d'entrada. La potència és la mateixa a l'entrada i a la sortida, però a $1450\ \text{min}^{-1}$ el parell és 5,8 vegades menor: $M = \dfrac{30\,000}{1450\cdot 2\pi/60} = 198\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Diàmetre mínim. $d \ge \left(\dfrac{16\cdot 198}{\pi\cdot 40\cdot10^{6}}\right)^{1/3} = 0{,}0293\ \text{m} = 29{,}3\ \text{mm}$
Conclusió. Per transmetre una potència, és més fàcil fer-ho a alta velocitat i baix parell; per això les reduccions es col·loquen tan a prop com es pot de la màquina accionada.

Errors típics

Fer servir la velocitat del motor en lloc de la de l'eix de l'agitador per calcular el parell.
Arrodonir el diàmetre a la baixa.
Pensar que un eix buit sempre és més feble que un de massís del mateix diàmetre exterior, sense comparar la massa.

Conceptes treballats: esforç de torsió, potència i parell, dimensionament d'eixos, perfils buits, reductors de velocitat, aprofitament del material.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per a què serveix una roda boja?

Per canviar el sentit de gir de la roda de sortida sense modificar la relació de transmissió.

Quin és el rendiment màxim d'una màquina tèrmica?

El de Carnot: 1 menys la temperatura del focus fred dividida per la del calent, totes dues en kelvin. Cap màquina real no hi arriba.

Tornar a Tecnologia i Enginyeria