Exercicis de sistemes de control — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Digues un avantatge i un inconvenient del control en llaç tancat respecte del llaç obert.

Digues què distingeix un sistema estable d'un d'inestable.

Digues dos avantatges dels autòmats programables (PLC) respecte dels automatismes fets amb lògica de relés cablejats.

Classifica aquests sistemes com a llaç obert o llaç tancat i justifica-ho en una frase:
a) una rentadora que fa cada fase del programa durant un temps fixat, sense mesurar com de neta és la roba;
b) un sistema de calefacció amb un termòstat que mesura la temperatura de la sala i connecta o desconnecta la caldera;
c) un semàfor que canvia de color segons un temporitzador fix;
d) el pilot automàtic d'un vaixell, que mesura el rumb amb una brúixola i corregeix el timó.

Un dipòsit d'aigua s'ha de mantenir a un nivell de 2 m. Un flotador mesura el nivell, un controlador el compara amb els 2 m i governa una bomba que omple el dipòsit, mentre que el consum d'aigua el fa baixar. Identifica la variable controlada, la consigna, el sensor, el comparador, el controlador, l'actuador i la pertorbació.

Un sistema està format per un bloc de guany $G_{1}$ = 2 connectat en sèrie amb dos blocs en paral·lel, $G_{2}$ = 3 i $G_{3}$ = 5, de manera que les sortides d'aquests dos últims se sumen. Calcula el guany total del sistema i la sortida quan l'entrada val 0,5.

Un sistema en llaç tancat amb realimentació negativa unitària (H = 1) té un guany de la cadena directa G = 19. Calcula la funció de transferència en llaç tancat M, la sortida per a una consigna de 40 i l'error entre la consigna i la sortida.

Un sensor de temperatura lineal dona 0,5 V a 20 °C i 2,5 V a 100 °C. Calcula'n la sensibilitat en mV/°C, la tensió que dona a 60 °C i la temperatura que mesura quan la tensió és d'1,0 V.

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) «Un sistema de control en llaç obert no necessita cap sensor.»
b) «El senyal d'error és la diferència entre la consigna i el valor mesurat de la sortida.»
c) «Un PLC executa el programa una sola vegada quan s'engega.»
d) «El sensor és l'element que fa actuar el sistema sobre el procés.»

Un alumne vol calcular la funció de transferència en llaç tancat d'un sistema amb realimentació negativa, amb G = 10 i H = 0,2, i escriu: «M = G/(1 - G·H) = 10/(1 - 2) = -10». Explica per què el resultat no té sentit, corregeix la fórmula i calcula el valor correcte.

Explica la diferència entre un sistema de control en llaç obert i un en llaç tancat, indicant el paper de la realimentació. Posa un exemple quotidià de cadascun.

En el sistema de control de velocitat (control de creuer) d'un cotxe, identifica: la consigna, el sensor, el comparador, el controlador i l'actuador. Explica què passa quan el cotxe puja una costa.

Explica què vol dir que un sistema de control és inestable i per què un guany massa elevat pot provocar inestabilitat.

Descriu què és un PLC i explica el cicle de funcionament amb les seves tres etapes (entrades, programa i sortides). Posa un exemple de dispositiu connectat a cada etapa.

Un termòstat tot-o-res amb histèresi connecta un escalfador quan la temperatura baixa de 19 °C i el desconnecta quan arriba a 21 °C. Amb l'escalfador connectat, la temperatura de la sala puja 0,8 °C per minut; desconnectat, baixa 0,4 °C per minut. Calcula la durada d'un cicle complet, el percentatge de temps que l'escalfador està connectat i la temperatura mitjana aproximada de la sala.

Un sensor de temperatura dona 10 mV per cada °C (0 V a 0 °C). Es connecta a l'entrada d'un convertidor analògic-digital de 10 bits amb un marge d'entrada de 0 a 5 V. Calcula la resolució del convertidor en mV i en °C, el nombre digital que s'obté a 25 °C (arrodonit a l'enter) i la temperatura màxima que es pot mesurar.

Un controlador PID calcula la seva sortida com u(t) = $K_{p}$·e(t) + $K_{i}$·∫e(t)dt + $K_{d}$·de(t)/dt, amb $K_{p}$ = 3, $K_{i}$ = 0,5 $\text{s}^{-1}$ i $K_{d}$ = 2 s.
a) L'error val e = 2 °C, constant durant els primers 10 s. Calcula la contribució de cada acció i la sortida total als 10 s.
b) Si en comptes d'això l'error creix linealment, e(t) = 0,5·t (en °C, amb t en s), calcula cada contribució i la sortida total a t = 4 s.

Un PLC governa una cinta transportadora amb un temporitzador a la connexió (TON) de 3 s. El temporitzador compta mentre la seva entrada I val 1 (un sensor de presència) i es reinicia a zero en el moment que I passa a 0; la sortida Q (la cinta) s'activa quan el compte arriba als 3 s. L'entrada I val 1 entre t = 1 s i t = 3 s, i de nou entre t = 5 s i t = 9 s, i la resta del temps val 0. Digues el valor de Q als instants t = 2, 4, 6, 7, 8,5 i 10 s i en quin instant s'activa i es desactiva Q.

Un forn té un guany estàtic $G_{0}$ = 4 °C per cada unitat del senyal de control. Es regula amb un controlador proporcional de guany K i realimentació unitària negativa (H = 1). Es vol que l'error permanent no superi el 5 % de la consigna. Calcula el guany mínim K, la sortida i l'error per a una consigna de 200 °C amb aquest guany, i digues quin inconvenient té augmentar molt K.

Un amplificador de guany G = 5 es realimenta positivament amb un factor H, i la seva funció de transferència és M = $\tfrac{G}{(1 - G\cdot H)}$. Calcula M per a H = 0,15 i comenta què passa quan H = 0,2 i quan H = 0,25. Compara-ho amb el que passaria amb realimentació negativa i H = 0,15.

Redacta en 5–6 línies una explicació de què aporta cada acció (proporcional, integral i derivativa) en un regulador PID, indicant quin problema soluciona cada una i quin inconvenient té si n'hi ha massa.

Un sistema de control en llaç tancat té una cadena directa formada per un controlador de guany 2 i una planta de guany 10 en sèrie, i una realimentació de guany H = 0,5. Calcula: a) el guany de la cadena directa G; b) la funció de transferència global M.

Un llaç tancat té cadena directa G = 50 i realimentació H = 0,2. a) Calcula la funció de transferència global. b) Si es vol que la sortida global sigui exactament la meitat de l'entrada (M = 0,5) mantenint G = 50, quin valor de H cal?

Un motor governat per un PLC ha d'engegar-se quan es prem el polsador de MARXA (M) i, alhora, NO estigui premut el polsador d'ATURADA d'emergència (E). a) Escriu la funció lògica de la sortida S. b) Construeix la taula de veritat (M i E poden valer 0 o 1). c) En quantes combinacions s'engega el motor?

Un sistema de control té una cadena directa formada per un bloc $G_{1}$ = 10 en sèrie amb un subsistema que és, al seu torn, un llaç tancat amb realimentació negativa: un bloc $G_{2}$ = 5 a la cadena directa i $H_{2}$ = 0,2 a la realimentació. Tot el conjunt té una realimentació negativa exterior $H_{1}$ = 0,1.
a) Calcula la funció de transferència del llaç interior.
b) Calcula la funció de transferència total del sistema.
c) Calcula la sortida per a una entrada de 14.

Un forn s'escalfa amb un controlador proporcional de guany K = 10 seguit d'un bloc de procés de guany $G_{2}$ = 2, amb realimentació unitària negativa. A l'entrada del bloc de procés s'hi suma una pertorbació d (per exemple, l'obertura de la porta), de manera que la sortida és y = $G_{2}$·(K·e + d), amb e = r - y.
a) Troba y en funció de r i de d.
b) Calcula y per a r = 100 amb d = 0 i amb d = -10.
c) Compara-ho amb el mateix procés en llaç obert, sense realimentació i amb l'entrada escalada perquè la sortida nominal també sigui de 100: quant baixa la sortida davant la mateixa pertorbació d = -10?

La velocitat d'un motor es regula amb un amplificador de guany 20 (V/V) que alimenta un motor que gira 3 rad/s per cada volt aplicat. Una dinamo tacomètrica mesura la velocitat i dona 0,04 V per cada rad/s, i aquesta tensió es resta de la tensió de consigna (realimentació negativa).
a) Calcula el guany de la cadena directa, el producte G·H i la funció de transferència total M, en (rad/s)/V.
b) Calcula la velocitat per a una consigna de 5 V i expressa-la en rpm.
c) Si la càrrega fa que el guany del motor baixi un 10 % (de 3 a 2,7 rad/s per volt), calcula la nova velocitat per a la mateixa consigna i compara la caiguda relativa amb la d'un sistema en llaç obert.

Un dipòsit té dos sensors de nivell: $N_{b}$ (val 1 si l'aigua cobreix el sensor baix) i $N_{a}$ (val 1 si cobreix l'alt). Una bomba B ha d'engegar-se quan el nivell baixi per sota del sensor baix ($N_{b}$ = 0) i continuar funcionant fins que l'aigua arribi al sensor alt ($N_{a}$ = 1), moment en què s'atura.
a) Raona per què B no pot dependre només dels valors actuals de $N_{b}$ i $N_{a}$ i escriu-ne l'equació amb automanteniment.
b) Calcula B en la successió d'estats ($N_{b}$, $N_{a}$) següent, començant amb B = 0: (1, 1), (1, 0), (0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 0).

Un transmissor de pressió dona un senyal de 4 mA a 0 bar i de 20 mA a 10 bar (relació lineal). L'entrada analògica d'un PLC converteix 0–20 mA en un nombre de 0 a 4095 (12 bits).
a) Quin nombre llegeix el PLC a 0 bar i a 10 bar?
b) Quina pressió hi ha quan el PLC llegeix 2048?
c) Quina és la resolució en bar?
d) Per què el zero de la magnitud correspon a 4 mA i no a 0 mA?

Un procés discret evoluciona segons y[k+1] = y[k] + 0,8·u[k], on l'acció del controlador proporcional és u[k] = K·(r - y[k]). La consigna és r = 10 i s'hi parteix de y[0] = 0.
a) Calcula y[1], y[2], y[3] i y[4] per a K = 1, K = 2 i K = 3.
b) Classifica cada cas: arriba a la consigna sense passar-se, oscil·la amb amplitud decreixent o és inestable.
c) Troba per a quins valors de K el sistema és estable.

Un forn elèctric de ceràmica es modelitza, respecte de la temperatura ambient (20 °C), com un sistema de primer ordre: ΔT(s)/u(s) = 4/(200·s + 1), amb u la potència del calefactor en % (de 0 a 100 %), ΔT en °C i s en s⁻¹. Un controlador proporcional dona u = K·e, on e és la consigna menys la temperatura mesurada (realimentació unitària negativa), amb K = 5 %/°C. La consigna és de 300 °C (és a dir, +280 °C sobre l'ambient).
a) Obté la funció de transferència de llaç tancat, el seu guany estàtic i la seva constant de temps. Calcula l'error en règim estacionari i la potència que dona el controlador en règim estacionari.
b) Si l'actuador no tingués límit, quant trigaria el forn a arribar al 95 % del valor final? Calcula la potència que demanaria el controlador en el primer instant i raona per què el resultat anterior no és realista.
c) Tingues en compte que u no pot passar del 100 %. Mentre l'actuador està saturat, el forn escalfa com un primer ordre cap a 400 °C sobre l'ambient (4·100). A partir de quin valor de ΔT surt de la saturació el controlador? Calcula el temps real per arribar al 95 % del valor estacionari i compara'l amb l'apartat b).
d) Es vol que l'error estacionari sigui inferior a 5 °C només modificant K. Calcula la K mínima i la banda proporcional (100/K, en °C). Quin inconvenient té fer K molt gran i quina acció de control elimina l'error sense haver de fer-ho?

Un posicionador electropneumàtic d'una vàlvula es comporta com un sistema de segon ordre sense zeros: y(s)/U(s) = K·$ω_{n}$²/($s^{2}$ + 2·ζ·$ω_{n}$·s + $ω_{n}$²). Per identificar-lo, s'aplica un esglaó de 10 V a l'entrada i es registra el desplaçament de l'obturador: el valor màxim és de 30 mm, assolit a t = 0,80 s, i el sistema s'estabilitza en 25 mm.
a) Calcula el guany estàtic K, el sobrepuig relatiu $M_{p}$ i el coeficient d'amortiment ζ.
b) Calcula la freqüència amortida $ω_{d}$, la freqüència natural $ω_{n}$ i el temps d'establiment al 2 % ($t_{s}$ ≈ $\tfrac{4}{\zeta \cdot \omega_{n}}$).
c) Prediu el valor i l'instant del primer mínim de la resposta (després del màxim).
d) El fabricant exigeix un sobrepuig inferior al 10 %. Quin valor mínim de ζ cal? Si es pogués actuar sobre l'amortiment sense canviar $ω_{n}$, quin $t_{p}$ i quin $t_{s}$ s'obtindrien? Quina és la penalització?

El servo de posició d'una cinta transportadora té una funció de transferència de llaç obert G(s) = $\tfrac{K}{s\cdot (s + 2)\cdot (s + 5)}$ (un integrador per a la posició i dos retards: motor i filtre), amb realimentació unitària negativa i guany K ajustable.
a) Escriu l'equació característica del llaç tancat i aplica el criteri de Routh-Hurwitz per trobar el rang de K per al qual és estable.
b) Per al valor crític de K, calcula la freqüència (rad/s) i el període de l'oscil·lació sostinguda.
c) Calcula els pols del llaç tancat per a K = 20 i per a K = 100 i compara'ls. Valora si K = 20 és un bon ajust.
d) El mètode de Ziegler-Nichols en llaç tancat fixa un regulador PID amb $K_{p}$ = 0,6·$K_{u}$, $T_{i}$ = $\tfrac{T_{u}}{2}$ i $T_{d}$ = $\tfrac{T_{u}}{8}$, on $K_{u}$ és el guany crític i $T_{u}$ el període de l'apartat b). Calcula'ls i explica per què aquest procediment es pot fer sense conèixer el model.

Un seguidor solar orienta un panell perquè segueixi el moviment aparent del sol, que és d'uns 15° per hora. El llaç de posició té realimentació unitària negativa i una funció de transferència de llaç obert G(s) = K/[s·(20·s + 1)] (motor i reductor; K en s⁻¹).
a) Expressa la consigna en °/s. De quin tipus és el sistema? Calcula la constant d'error de velocitat K_v i l'error estacionari de seguiment en funció de K.
b) Es vol un error de seguiment d'1/10 de grau com a màxim. Calcula la K necessària i, amb ella, ζ, ω_n, el sobrepuig M_p i el temps d'establiment t_s ≈ 4/(ζ·ω_n) a un esglaó.
c) Es demana ara 1/100 de grau. Calcula la nova K i el nou sobrepuig. Valora el resultat.
d) Quin valor de K donaria ζ = 0,707 i quin error de seguiment s'obtindria? Proposa una solució perquè el seguiment sigui precís i alhora ben amortit.

Un regulador PI digital actua sobre un bany tèrmic el comportament del qual, amb el període de mostreig Δt = 1 s, és y[k+1] = y[k] + 0,1·(−y[k] + 2·u[k]), amb y la temperatura sobre l'ambient (°C) i u la potència del calefactor (en unitats arbitràries). El regulador calcula: e[k] = r − y[k]; $u_{c}$[k] = $K_{p}$·e[k] + I[k]; I[k+1] = I[k] + $K_{i}$·Δt·e[k], amb $K_{p}$ = 1,5, $K_{i}$ = 0,4 $\text{s}^{-1}$, r = 10 i I[0] = 0. La potència aplicada és u[k] = $u_{c}$[k].
a) Calcula y[1], y[2], y[3] i y[4].
b) Quins valors de u, I i y tindrà el sistema en règim estacionari? Justifica'ls sense simular.
c) El calefactor només pot donar entre 0 i 6 (u = màxim(0, mínim($u_{c}$, 6))). Repeteix y[1], y[2], y[3] i calcula la sortida del regulador $u_{c}$[k] i la integral I[k] durant aquests tres passos. Què passa amb la integral?
d) Una simulació de 100 s del cas c) dona una temperatura màxima d'11,9 °C a k = 49, i la mateixa simulació amb la integral congelada mentre l'actuador és saturat i l'error empeny cap a més saturació en dona 10,2 °C a k = 22. Explica el fenomen (windup) i per què la segona estratègia l'evita.