Exercicis d'anàlisi de circuits — Tecnologia i Enginyeria 2n Batxillerat

Q: Què vol dir que un corrent surti negatiu en resoldre un circuit amb Kirchhoff?

Que el sentit real del corrent és el contrari del que havies suposat. El valor és correcte; només cal girar-ne el sentit.

Q: Què diu el teorema de Thévenin?

Que qualsevol circuit lineal, vist des de dos borns, equival a una font de tensió en sèrie amb una resistència, cosa que simplifica molt el càlcul.

Aquests exercicis porten l'anàlisi de circuits de corrent continu al nivell de 2n de Batxillerat. Resols circuits amb les lleis de Kirchhoff i interpretes què vol dir que un corrent surti negatiu després d'haver-ne suposat el sentit. Després apliques el teorema de Thévenin per simplificar un circuit vist des dels borns d'una càrrega i calcules la potència que hi arriba. A la part de mesura expliques com mesurar una resistència amb el polímetre i per què és perillós connectar un amperímetre en paral·lel. Les solucions plantegen les equacions de malla. Errors típics: equivocar els signes a les equacions de Kirchhoff i connectar l'amperímetre en paral·lel o el voltímetre en sèrie.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

En resoldre un circuit amb Kirchhoff, has suposat que el corrent d'una branca anava cap a la dreta i, en resoldre el sistema, t'ha sortit I = -0,8 A. Què significa aquest signe negatiu? Quin és el valor real del corrent?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

El signe negatiu vol dir que el corrent va en sentit contrari al suposat (cap a l'esquerra); el valor real és

I = 0{,}8\ \text{A}

Resolució

Dades. Has suposat el corrent cap a la dreta i el sistema de Kirchhoff t'ha donat $I = -0{,}8\ \text{A}$ .
Sentits arbitraris. En aplicar les lleis de Kirchhoff, el sentit de cada corrent s'escull a l'atzar. Les equacions són lineals, així que el mètode funciona igual encara que la suposició sigui equivocada: el signe del resultat t'avisa i te la corregeix.
Interpretació. Un resultat negatiu indica que el sentit real és el contrari del que havies dibuixat: el corrent va cap a l'esquerra, no cap a la dreta.
Conclusió. El valor real del corrent és el mòdul, 0,8 A, circulant en sentit contrari al suposat. No cal tornar a resoldre res: només canvies la fletxa del dibuix.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Descriu els dos càlculs que cal fer per obtenir l'equivalent de Thévenin d'un circuit vist des de dos borns.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

V_{\mathrm{th}}

= tensió entre els borns en circuit obert;

R_{\mathrm{th}}

= resistència vista des dels borns amb les fonts anul·lades.

Resolució

Objectiu. Volem substituir tot el circuit, vist des de dos borns, per una font ideal $V_{\mathrm{th}}$ en sèrie amb una resistència $R_{\mathrm{th}}$ .
Primer càlcul: tensió de Thévenin. Desconnectes la càrrega (circuit obert) i calcules, o mesures, la tensió entre els dos borns. Aquesta tensió en buit és $V_{\mathrm{th}}$ .
Segon càlcul: resistència de Thévenin. Anul·les les fonts independents: les de tensió se substitueixen per un curtcircuit (i les de corrent, si n'hi ha, per un circuit obert). Llavors calcules la resistència equivalent que es veu entre els borns: és $R_{\mathrm{th}}$ .
Conclusió. Amb aquests dos valors tens l'equivalent: una font $V_{\mathrm{th}}$ en sèrie amb $R_{\mathrm{th}}$ , que es comporta igual que el circuit original per a qualsevol càrrega que hi connectis.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Per què és perillós connectar un amperímetre en paral·lel amb un element d'un circuit, en lloc de connectar-lo en sèrie?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Perquè l'amperímetre té una resistència gairebé nul·la: en paral·lel fa pràcticament un curtcircuit, hi passa un corrent molt gran i pot fer malbé l'aparell o el circuit.

Resolució

Com és un amperímetre. Està pensat per anar en sèrie i no alterar el corrent, així que idealment té una resistència interna molt petita, gairebé zero.
Què passa en paral·lel. Connectat en paral·lel amb un element, l'amperímetre ofereix al corrent un camí de resistència pràcticament nul·la al costat d'aquell element.
Conseqüència. Per la llei d'Ohm, $I = \dfrac{V}{R}$ amb $R \approx 0$ : el corrent que hi circularia seria molt gran. És gairebé un curtcircuit.
Conclusió. Aquest corrent tan gran pot cremar el fusible o l'aparell i fer malbé el circuit o la font. Per això l'amperímetre sempre es connecta en sèrie.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una font ideal de 24 V alimenta una resistència $R_{1}$ = 5 Ω connectada en sèrie amb dues resistències en paral·lel, $R_{2}$ = 12 Ω i $R_{3}$ = 4 Ω. Calcula la resistència equivalent del conjunt i el corrent que dona la font.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

R_{\mathrm{eq}} = 8\ \Omega

;

I = 3\ \text{A}

Resolució

Dades. Font de 24 V; $R_{1} = 5\ \Omega$ en sèrie amb el paral·lel de $R_{2} = 12\ \Omega$ i $R_{3} = 4\ \Omega$ .
Paral·lel. Primer resolem el paral·lel: $R_{23} = \dfrac{R_{2}\cdot R_{3}}{R_{2}+R_{3}} = \dfrac{12\cdot 4}{12+4} = \dfrac{48}{16} = 3\ \Omega$
Sèrie. Aquest equivalent queda en sèrie amb $R_{1}$ : $R_{\mathrm{eq}} = 5 + 3 = 8\ \Omega$ .
Llei d'Ohm. Corrent de la font: $I = \dfrac{V}{R_{\mathrm{eq}}} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{A}$ .
Comprovació. A $R_{1}$ hi cauen $3\cdot 5 = 15\ \text{V}$ i al paral·lel $3\cdot 3 = 9\ \text{V}$ , que sumen 24 V. Pels dos braços del paral·lel passen $\tfrac{9}{12} = 0{,}75\ \text{A}$ i $\tfrac{9}{4} = 2{,}25\ \text{A}$ , que sumen els 3 A.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un divisor de tensió està format per dues resistències en sèrie, $R_{1}$ (la de dalt) i $R_{2}$ = 10 kΩ (la de baix), i s'alimenta amb 12 V. La tensió de sortida es pren entre els extrems de $R_{2}$ i ha de valdre 4 V. Calcula el valor de $R_{1}$ i el corrent que travessa el divisor quan no hi ha cap càrrega connectada a la sortida.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

R_{1} = 20\ \text{k}\Omega

;

I = 0{,}4\ \text{mA}

Resolució

Dades. $V = 12\ \text{V}$ , $R_{2} = 10\ \text{k}\Omega$ i la sortida, als extrems de $R_{2}$ , ha de ser $V_{s} = 4\ \text{V}$ (sense càrrega).
Divisor de tensió. $V_{s} = V\cdot\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} \;\Rightarrow\; 4 = 12\cdot\dfrac{10}{R_{1}+10}\quad(\text{resistències en k}\Omega)$
Càlcul de R₁. Aïllem: $R_{1} + 10 = \dfrac{12\cdot 10}{4} = 30\ \text{k}\Omega$ , per tant $R_{1} = 20\ \text{k}\Omega$ .
Corrent. $I = \dfrac{V}{R_{1}+R_{2}} = \dfrac{12}{30\,000} = 4\cdot10^{-4}\ \text{A} = 0{,}4\ \text{mA}$ .
Comprovació. $V_{1} = 0{,}4\ \text{mA}\cdot 20\ \text{k}\Omega = 8\ \text{V}$ i $V_{2} = 0{,}4\ \text{mA}\cdot 10\ \text{k}\Omega = 4\ \text{V}$ , que sumen 12 V. Compte: si connectes una càrrega a la sortida, queda en paral·lel amb $R_{2}$ i el divisor ja no dona 4 V.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un corrent total de 5 A arriba a un node del qual surten dues branques en paral·lel, una amb una resistència de 20 Ω i l'altra amb una de 30 Ω. Calcula el corrent que passa per cada resistència i la tensió comuna entre els seus extrems.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

I_{20} = 3\ \text{A}

;

I_{30} = 2\ \text{A}

;

V = 60\ \text{V}

Resolució

Dades. Arriben $I = 5\ \text{A}$ a un node i es reparteixen entre dues branques en paral·lel de 20 Ω i 30 Ω.
Divisor de corrent. El corrent d'una branca és el total multiplicat per la resistència de l'altra branca i dividit per la suma de les dues: $I_{20} = 5\cdot\dfrac{30}{20+30} = 3\ \text{A},\qquad I_{30} = 5\cdot\dfrac{20}{20+30} = 2\ \text{A}$
Tensió comuna. $V = 20\cdot 3 = 60\ \text{V}$ , i també $30\cdot 2 = 60\ \text{V}$ , com ha de ser en un paral·lel. (Equivalentment, $R_{p} = \tfrac{20\cdot 30}{50} = 12\ \Omega$ i $V = 5\cdot 12 = 60\ \text{V}$ .)
Comprovació. $3 + 2 = 5\ \text{A}$ (llei de nusos). Fixa't que per la resistència més petita hi passa el corrent més gran.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Per trobar la resistència equivalent de tres resistències de 10 Ω, 15 Ω i 30 Ω connectades en paral·lel, un alumne escriu: «1/R = 1/10 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5, per tant R = 1/5 = 0,2 Ω». Troba l'error, corregeix-lo i comprova el resultat amb un argument independent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

L'alumne s'oblida d'invertir:

\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{5}\ \Omega^{-1}\Rightarrow R = 5\ \Omega

(no 0,2 Ω).

Resolució

On és l'error. La suma $\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{15}+\tfrac{1}{30} = \tfrac{3}{30}+\tfrac{2}{30}+\tfrac{1}{30} = \tfrac{6}{30} = \tfrac{1}{5}$ és correcta, però és el valor de $\tfrac{1}{R}$ , no de $R$ .
Correcció. Si $\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{5}\ \Omega^{-1}$ , llavors $R = 5\ \Omega$ .
Comprovació independent. Connecta l'associació a 30 V: pels tres braços passen $\tfrac{30}{10} = 3\ \text{A}$ , $\tfrac{30}{15} = 2\ \text{A}$ i $\tfrac{30}{30} = 1\ \text{A}$ , en total 6 A. Per tant $R = \tfrac{30}{6} = 5\ \Omega$ .
Control ràpid. L'equivalent d'un paral·lel ha de ser menor que la resistència més petita (10 Ω), però no pot baixar de $\tfrac{10}{3} \approx 3{,}3\ \Omega$ , que és el que donarien tres resistències de 10 Ω. Per tant, 0,2 Ω era impossible.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Un allargador elèctric té dos fils de coure de 2,5 mm² de secció i 25 m de llargada cada un. S'hi connecta una màquina que consumeix 10 A, i la tensió a l'origen de l'allargador és de 230 V. Calcula la resistència total dels fils, la caiguda de tensió, la tensió que arriba a la màquina i la potència que es perd en forma de calor al cable. (Resistivitat del coure: 1,7· $10^{-8}$ Ω·m. Tracta el circuit com si fos de corrent continu.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

R = 0{,}34\ \Omega

;

\Delta V = 3{,}4\ \text{V}

;

V_{\text{màquina}} = 226{,}6\ \text{V}

;

P_{\text{perduda}} = 34\ \text{W}

Resolució

Dades. Dos fils de coure de $L = 25\ \text{m}$ i $S = 2{,}5\ \text{mm}^{2} = 2{,}5\cdot10^{-6}\ \text{m}^{2}$ ; $\rho = 1{,}7\cdot10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m}$ ; $I = 10\ \text{A}$ ; 230 V a l'origen.
Resistència d'un conductor. $R_{\text{fil}} = \rho\cdot\dfrac{L}{S} = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{25}{2{,}5\cdot10^{-6}} = 0{,}17\ \Omega$ Com que el corrent hi va i en torna, la resistència total és $R = 2\cdot 0{,}17 = 0{,}34\ \Omega$ .
Caiguda de tensió. $\Delta V = I\cdot R = 10\cdot 0{,}34 = 3{,}4\ \text{V}$ (un 1,5 % dels 230 V).
Tensió a la màquina. $V = 230 - 3{,}4 = 226{,}6\ \text{V}$ .
Potència perduda (efecte Joule). $P = I^{2}\cdot R = 10^{2}\cdot 0{,}34 = 34\ \text{W}$ , o també $\Delta V\cdot I = 3{,}4\cdot 10 = 34\ \text{W}$ . Compte a passar la secció a m² (1 mm² = 10⁻⁶ m²) i a comptar els dos fils.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Raona si són certes o falses aquestes afirmacions:
a) «En un circuit en sèrie, el corrent és el mateix en totes les resistències.»
b) «Si afegim una resistència en paral·lel a un circuit, la resistència equivalent augmenta.»
c) «En un node, la suma dels corrents que hi entren és igual a la suma dels que en surten.»
d) «Una font ideal de tensió manté sempre el mateix corrent, sigui quina sigui la càrrega.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Certa.

Resolució

Circuit en sèrie. En sèrie només hi ha un camí per al corrent.
Conclusió. Tot el corrent passa per tots els elements; el que es reparteix entre ells és la tensió.

Apartat b)

Resultat

Falsa: la resistència equivalent disminueix.

Resolució

Paral·lel. Cada branca nova ofereix un camí més al corrent: $\dfrac{1}{R_{\mathrm{eq}}}$ augmenta en $\dfrac{1}{R}$ .
Conclusió. La resistència equivalent disminueix i sempre queda per sota de la més petita de les branques.

Apartat c)

Resultat

Certa: és la llei de Kirchhoff dels corrents.

Resolució

Llei de nusos. $\sum I_{\text{entren}} = \sum I_{\text{surten}}$ .
Conclusió. Expressa la conservació de la càrrega: en un node no s'hi acumula càrrega.

Apartat d)

Resultat

Falsa: una font ideal de tensió manté constant la tensió, no el corrent.

Resolució

Font ideal de tensió. Manté constant la tensió entre els seus borns; el corrent el decideix la càrrega ( $I = \tfrac{V}{R}$ ).
Conclusió. La que manté el corrent constant, sigui quina sigui la càrrega, és una font ideal de corrent.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una pila de 9 V i resistència interna 1 Ω alimenta una resistència de càrrega de 17 Ω. Calcula el corrent del circuit, la tensió als borns de la pila i el corrent que circularia si els borns es posessin en curtcircuit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

I = 0{,}5\ \text{A}

;

V_{\text{borns}} = 8{,}5\ \text{V}

;

I_{\text{cc}} = 9\ \text{A}

Resolució

Dades. $\varepsilon = 9\ \text{V}$ , $r = 1\ \Omega$ , $R = 17\ \Omega$ .
Llei d'Ohm generalitzada. La resistència interna i la de càrrega estan en sèrie: $I = \dfrac{\varepsilon}{r+R} = \dfrac{9}{1+17} = 0{,}5\ \text{A}$ .
Tensió als borns. $V = \varepsilon - I\cdot r = 9 - 0{,}5\cdot 1 = 8{,}5\ \text{V}$ , que coincideix amb $I\cdot R = 0{,}5\cdot 17 = 8{,}5\ \text{V}$ .
Curtcircuit. Amb $R = 0$ : $I_{\text{cc}} = \dfrac{\varepsilon}{r} = \dfrac{9}{1} = 9\ \text{A}$ , 18 vegades el corrent normal. Només el limita la resistència interna, i per això la pila s'escalfa molt.
Conclusió. Recorda que la tensió als borns és menor que la força electromotriu quan la pila lliura corrent.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

En un nus d'un circuit conflueixen quatre branques. Hi entren corrents de 5 A i 1,5 A; en surten un de 3 A i el corrent $I_{x}$ de la quarta branca. Calcula $I_{x}$ i indica si entra o surt del nus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

I_{x} = 3{,}5\ \text{A}

, i surt del nus.

Resolució

Dades. Entren 5 A i 1,5 A; surten 3 A i $I_{x}$ (el plantegem com a corrent que surt).
Llei de nusos (Kirchhoff). $\sum I_{\text{entren}} = \sum I_{\text{surten}}$ .
Càlcul. Entren $5 + 1{,}5 = 6{,}5\ \text{A}$ ; surten $3 + I_{x}$ . Igualem: $6{,}5 = 3 + I_{x}\Rightarrow I_{x} = 3{,}5\ \text{A}$ .
Conclusió. Com que l'hem plantejat com a corrent que surt i ha donat positiu, $I_{x} = 3{,}5\ \text{A}$ surt del nus.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una font de 12 V en sèrie amb una resistència de 4 Ω alimenta una resistència de 12 Ω, i els borns A i B són als extrems d'aquesta última. Calcula l'equivalent de Thévenin entre A i B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

V_{\mathrm{th}} = 9\ \text{V}

en sèrie amb

R_{\mathrm{th}} = 3\ \Omega

Resolució

Dades. Font de 12 V en sèrie amb 4 Ω; els borns A i B són als extrems de la resistència de 12 Ω.
Tensió de Thévenin (en buit). És la tensió de la de 12 Ω en el divisor: $V_{\mathrm{th}} = 12\cdot\dfrac{12}{4+12} = 9\ \text{V}$
Resistència de Thévenin. Amb la font en curtcircuit, la de 4 Ω queda en paral·lel amb la de 12 Ω: $R_{\mathrm{th}} = \dfrac{4\cdot 12}{4+12} = 3\ \Omega$
Conclusió. L'equivalent és una font de 9 V en sèrie amb 3 Ω.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Indica com i on connectaries un voltímetre i un amperímetre per mesurar, respectivament, la tensió d'una resistència i el corrent que hi circula. Justifica la resistència interna ideal de cadascun.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Voltímetre en paral·lel amb la resistència (resistència interna ideal infinita); amperímetre en sèrie a la seva branca (resistència interna ideal zero).

Resolució

Voltímetre. Es connecta en paral·lel amb la resistència, un born a cada extrem, perquè mesura la diferència de potencial entre aquests dos punts.
Resistència ideal del voltímetre. Molt gran (infinita), perquè gairebé no hi derivi corrent i no alteri la tensió que vol mesurar.
Amperímetre. Es connecta en sèrie, intercalat a la branca de la resistència (cal obrir el circuit), perquè tot el corrent que vol mesurar hi passi.
Resistència ideal de l'amperímetre. Molt petita (zero), perquè no introdueixi cap caiguda de tensió que falsegi el circuit.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Amb un polímetre vols mesurar el valor d'una resistència que forma part d'un circuit alimentat. Quins passos i precaucions has de seguir?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Treu l'alimentació, aïlla la resistència (desconnecta'n almenys un extrem), tria la funció Ω amb un rang adequat i mesura entre els seus extrems.

Resolució

Desconnecta l'alimentació. Les resistències es mesuren sempre sense tensió: l'ohmímetre injecta el seu propi corrent i, si el circuit està alimentat, la mesura és errònia i pot danyar l'aparell.
Aïlla la resistència. Idealment desolda o desconnecta almenys un dels seus extrems: si està en paral·lel amb altres components, la lectura seria la del conjunt, no la de la resistència sola.
Prepara el polímetre. Selecciona la funció d'ohms (Ω) i un rang adequat: comença per un rang alt i ves baixant fins a tenir una lectura precisa. Un bon costum és comprovar abans que les puntes en curt marquen prop de 0 Ω.
Mesura. Posa les puntes de prova als dos extrems de la resistència i llegeix el valor.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Dues bombetes de filament, una de 230 V / 60 W i una altra de 230 V / 100 W, es connecten en sèrie a una xarxa de 230 V. Suposant que les seves resistències són constants, calcula el corrent que hi circula, la tensió i la potència real de cada bombeta, i raona quina de les dues il·lumina més.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

I \approx 0{,}163\ \text{A}

;

V_{60} \approx 144\ \text{V}

P_{60} \approx 23{,}4\ \text{W}

;

V_{100} \approx 86\ \text{V}

P_{100} \approx 14{,}1\ \text{W}

; il·lumina més la de 60 W.

Resolució

Resistències. De $P = \tfrac{V^{2}}{R}$ : $R_{60} = \dfrac{230^{2}}{60} = 881{,}7\ \Omega$ i $R_{100} = \dfrac{230^{2}}{100} = 529\ \Omega$ .
Corrent en sèrie. $I = \dfrac{230}{881{,}7 + 529} = \dfrac{230}{1410{,}7} = 0{,}163\ \text{A}$ .
Tensions. $V_{60} = 0{,}163\cdot 881{,}7 \approx 144\ \text{V}$ i $V_{100} = 0{,}163\cdot 529 \approx 86\ \text{V}$ , que sumen 230 V.
Potències reals. $P_{60} = I^{2}\cdot R_{60} = 23{,}4\ \text{W}$ i $P_{100} = I^{2}\cdot R_{100} = 14{,}1\ \text{W}$ . Comprovació: $23{,}4 + 14{,}1 = 37{,}5\ \text{W} = \tfrac{230^{2}}{1410{,}7}$ .
Conclusió. Il·lumina més la de 60 W: en sèrie hi passa el mateix corrent i $P = I^{2}\cdot R$ és més gran a la bombeta de més resistència. Cap de les dues arriba a la seva potència nominal.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

En un circuit d'una sola malla hi ha, en sèrie i en aquest ordre: la font $E_{1}$ = 20 V (pol negatiu a massa, punt O, i pol positiu al punt A), una resistència $R_{1}$ = 2 Ω entre A i B, una resistència $R_{2}$ = 4 Ω entre B i C, la font $E_{2}$ = 8 V (pol positiu a C i pol negatiu a D) i una resistència $R_{3}$ = 6 Ω entre D i massa. Aplica la llei de Kirchhoff de les malles per calcular el corrent, els potencials de A, B, C i D respecte de la massa i la tensió $V_{BD}$ , i indica quina font lliura energia i quina en rep.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

I = 1\ \text{A}

(sentit O → A → B → C → D → O);

V_{A} = 20\ \text{V}

V_{B} = 18\ \text{V}

V_{C} = 14\ \text{V}

V_{D} = 6\ \text{V}

;

V_{BD} = 12\ \text{V}

;

E_{1}

lliura energia i

E_{2}

en rep.

Resolució

Plantejament. Les dues fonts s'oposen: $E_{1}$ empeny el corrent en el sentit O → A → B → C → D → O, i $E_{2}$ , amb el positiu cap a C, empeny en el sentit contrari.
Llei de Kirchhoff de les malles. $E_{1} - E_{2} = I\cdot(R_{1}+R_{2}+R_{3}) \;\Rightarrow\; 20 - 8 = 12\,I \;\Rightarrow\; I = 1\ \text{A}$ en el sentit O → A → B → C → D → O.
Potencials. $V_{A} = 20\ \text{V}$ ; $V_{B} = 20 - 1\cdot 2 = 18\ \text{V}$ ; $V_{C} = 18 - 1\cdot 4 = 14\ \text{V}$ ; $V_{D} = 14 - 8 = 6\ \text{V}$ (en anar del pol positiu al negatiu de $E_{2}$ el potencial baixa 8 V). Comprovació: de D a massa cauen $1\cdot 6 = 6\ \text{V}$ i s'arriba a 0 V.
Tensió V_BD. $V_{BD} = 18 - 6 = 12\ \text{V}$ , que són els 4 V de $R_{2}$ més els 8 V de $E_{2}$ .
Balanç d'energia. $E_{1}$ lliura $20\cdot 1 = 20\ \text{W}$ ; $E_{2}$ en rep $8\cdot 1 = 8\ \text{W}$ , perquè el corrent hi entra pel pol positiu (es carrega); les resistències dissipen $1^{2}\cdot 12 = 12\ \text{W}$ . I es compleix $20 = 8 + 12$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un pont de Wheatstone s'alimenta amb 10 V i té dues branques en paral·lel entre els borns de la font. A la primera hi ha, en sèrie, $R_{1}$ = 100 Ω (la de dalt) i $R_{2}$ = 300 Ω (la de baix); a la segona, $R_{3}$ = 200 Ω (la de dalt) i un sensor de temperatura de resistència $R_{x}$ (el de baix). Un voltímetre ideal mesura la tensió entre els punts intermedis de les dues branques.
a) Calcula la resistència $R_{x}$ per a la qual el voltímetre marca 0 V.
b) Si el sensor passa a valdre 800 Ω, què marca el voltímetre i quin dels dos punts intermedis té el potencial més alt?

Pont de Wheatstone alimentat amb 10 V: branca R1 = 100 Ω i R2 = 300 Ω, branca R3 = 200 Ω i sensor Rx, amb un voltímetre entre els punts intermedis de les branques

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

R_{x} = 600\ \Omega

Resolució

Condició d'equilibri. El voltímetre marca 0 V quan els dos punts intermedis tenen el mateix potencial: $\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} = \dfrac{R_{x}}{R_{3}+R_{x}} \;\Leftrightarrow\; R_{1}\cdot R_{x} = R_{2}\cdot R_{3}$
Càlcul. $R_{x} = \dfrac{R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}} = \dfrac{300\cdot 200}{100} = 600\ \Omega$ .
Comprovació. Amb $R_{x} = 600\ \Omega$ : $V_{2} = 10\cdot\tfrac{600}{800} = 7{,}5\ \text{V}$ , igual que a la primera branca ( $10\cdot\tfrac{300}{400} = 7{,}5\ \text{V}$ ), i la lectura és 0 V.

Apartat b)

Resultat

El voltímetre marca

0{,}5\ \text{V}

; el potencial més alt és el del punt intermedi de la branca del sensor.

Resolució

Divisor de tensió a cada branca. Potencials respecte del pol negatiu: $V_{1} = 10\cdot\dfrac{300}{100+300} = 7{,}5\ \text{V},\qquad V_{2} = 10\cdot\dfrac{800}{200+800} = 8\ \text{V}$
Lectura. El voltímetre ideal no altera les branques i marca $V_{2} - V_{1} = 8 - 7{,}5 = 0{,}5\ \text{V}$ .
Conclusió. El potencial més alt és el del punt intermedi de la segona branca (la del sensor): en augmentar $R_{x}$ , aquest punt s'acosta al pol positiu.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Una font real de 12 V i resistència interna 3 Ω alimenta una càrrega variable $R_{L}$ .
a) Calcula la potència que rep la càrrega per a $R_{L}$ = 1 Ω, 3 Ω, 6 Ω i 12 Ω.
b) Per a quin valor de $R_{L}$ la potència és màxima? Quant val i quin rendiment té la font en aquest cas?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

R_{L} = 1\ \Omega

: 9 W;

R_{L} = 3\ \Omega

: 12 W;

R_{L} = 6\ \Omega

: 10,7 W;

R_{L} = 12\ \Omega

: 7,68 W.

Resolució

Plantejament. Corrent $I = \dfrac{\varepsilon}{r+R_{L}} = \dfrac{12}{3+R_{L}}$ i potència a la càrrega $P = I^{2}\cdot R_{L}$ .
Càlcul. $R_{L} = 1\ \Omega$ : $I = 3\ \text{A}$ , $P = 9\ \text{W}$ . $R_{L} = 3\ \Omega$ : $I = 2\ \text{A}$ , $P = 12\ \text{W}$ . $R_{L} = 6\ \Omega$ : $I = 1{,}33\ \text{A}$ , $P = 10{,}7\ \text{W}$ . $R_{L} = 12\ \Omega$ : $I = 0{,}8\ \text{A}$ , $P = 7{,}68\ \text{W}$ .
Observació. La potència puja, arriba a un màxim i després baixa: amb poca $R_{L}$ hi ha molt corrent però poca tensió, i amb molta $R_{L}$ , al revés.

Apartat b)

Resultat

R_{L} = 3\ \Omega

(igual a la resistència interna);

P_{\text{màx}} = 12\ \text{W}

; rendiment

\eta = 50\ \%

Resolució

Teorema de la màxima transferència de potència. La potència és màxima quan la càrrega és igual a la resistència interna: $R_{L} = r = 3\ \Omega$ .
Potència màxima. $P_{\text{màx}} = \dfrac{\varepsilon^{2}}{4r} = \dfrac{144}{12} = 12\ \text{W}$ , com mostra la taula de l'apartat a).
Rendiment. $\eta = \dfrac{P_{\text{càrrega}}}{P_{\text{font}}} = \dfrac{R_{L}}{R_{L}+r} = \dfrac{3}{6} = 50\ \%$ : la meitat de l'energia es dissipa dins la font.
Conclusió. No confonguis la màxima potència ( $R_{L} = r$ , amb $\eta = 50\ \%$ ) amb el màxim rendiment ( $R_{L}$ molt més gran que $r$ , però amb poca potència).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un galvanòmetre té una resistència interna de 90 Ω i arriba a fons d'escala amb un corrent d'1 mA.
a) Quina resistència s'ha de connectar en paral·lel (shunt) perquè funcioni com un amperímetre de 0 a 10 mA?
b) Quina s'ha de connectar en sèrie perquè funcioni com un voltímetre de 0 a 5 V?
c) Quina resistència interna té cada instrument resultant?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

R_{s} = 10\ \Omega

en paral·lel.

Resolució

Dades. $R_{g} = 90\ \Omega$ , fons d'escala $I_{g} = 1\ \text{mA}$ . Tensió màxima al galvanòmetre: $V_{g} = 0{,}001\cdot 90 = 0{,}09\ \text{V}$ .
Divisor de corrent. Amb 10 mA a fons d'escala, 1 mA passa pel galvanòmetre i els 9 mA restants pel shunt, amb la mateixa tensió de 0,09 V.
Càlcul. $R_{s} = \dfrac{0{,}09}{0{,}009} = 10\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

R_{m} = 4910\ \Omega

en sèrie.

Resolució

Plantejament. Amb 5 V a fons d'escala, pel galvanòmetre ha de passar 1 mA.
Llei d'Ohm. Resistència total: $\dfrac{5}{0{,}001} = 5000\ \Omega$ .
Càlcul. Cal afegir en sèrie $R_{m} = 5000 - 90 = 4910\ \Omega$ .

Apartat c)

Resultat

Amperímetre:

9\ \Omega

; voltímetre:

5000\ \Omega

Resolució

Amperímetre. 90 Ω en paral·lel amb 10 Ω: $\dfrac{90\cdot 10}{100} = 9\ \Omega$ (també $\tfrac{0{,}09\ \text{V}}{10\ \text{mA}} = 9\ \Omega$ ).
Voltímetre. $90 + 4910 = 5000\ \Omega$ .
Conclusió. L'amperímetre té poca resistència interna (no altera el circuit quan es connecta en sèrie) i el voltímetre en té molta (hi deriva molt poc corrent quan es connecta en paral·lel).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un divisor de tensió està format per dues resistències iguals de 100 kΩ en sèrie i s'alimenta amb 10 V. Es vol mesurar la tensió d'una de les dues resistències amb un voltímetre de resistència interna $R_{V}$ . Calcula la lectura i l'error relatiu respecte del valor ideal si a) $R_{V}$ = 100 kΩ i b) $R_{V}$ = 10 MΩ. Què en conclous?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

Lectura

\approx 3{,}33\ \text{V}

; error relatiu

\approx -33\ \%

Resolució

Valor ideal. Amb un voltímetre ideal, cada resistència tindria $\tfrac{10}{2} = 5\ \text{V}$ .
Efecte de càrrega. El voltímetre queda en paral·lel amb una de les resistències: $100\ \text{k}\Omega \parallel 100\ \text{k}\Omega = 50\ \text{k}\Omega$ .
Divisor de tensió. $V = 10\cdot\dfrac{50}{100+50} = 3{,}33\ \text{V}$ .
Error relatiu. $\dfrac{3{,}33 - 5}{5} = -0{,}33$ , és a dir, $-33\ \%$ .

Apartat b)

Resultat

Lectura

\approx 4{,}975\ \text{V} \approx 4{,}98\ \text{V}

; error relatiu

\approx -0{,}5\ \%

. Conclusió: el voltímetre «carrega» el circuit; l'error només és petit si

R_{V}

és molt més gran que la resistència mesurada.

Resolució

Paral·lel. $100\ \text{k}\Omega \parallel 10\ \text{M}\Omega = \dfrac{100\cdot 10\,000}{10\,100} = 99{,}0\ \text{k}\Omega$ .
Divisor de tensió. $V = 10\cdot\dfrac{99{,}0}{100+99{,}0} = 4{,}975\ \text{V} \approx 4{,}98\ \text{V}$ .
Error relatiu. $\dfrac{4{,}975 - 5}{5} = -0{,}005$ , és a dir, $-0{,}5\ \%$ .
Conclusió. El voltímetre real «carrega» el circuit i en rebaixa la tensió. L'error només és petit si $R_{V}$ és molt més gran que la resistència on es mesura (aquí, 100 vegades més gran).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un generador es modela com una font de corrent de 4 A en paral·lel amb una resistència de 5 Ω (equivalent de Norton).
a) Calcula'n l'equivalent de Thévenin.
b) Hi connectem una càrrega de 15 Ω: calcula el corrent i la tensió a la càrrega amb cada un dels dos models.
c) Calcula la potència dissipada a la resistència de 5 Ω en cada model i comenta el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

V_{\mathrm{th}} = 20\ \text{V}

en sèrie amb

R_{\mathrm{th}} = 5\ \Omega

Resolució

Dades. Norton: $I_{N} = 4\ \text{A}$ en paral·lel amb $R_{N} = 5\ \Omega$ .
Equivalència Norton–Thévenin. $V_{\mathrm{th}} = I_{N}\cdot R_{N} = 4\cdot 5 = 20\ \text{V}$ i $R_{\mathrm{th}} = R_{N} = 5\ \Omega$ , ara en sèrie.

Apartat b)

Resultat

Amb tots dos models:

I = 1\ \text{A}

V = 15\ \text{V}

Resolució

Thévenin. $I = \dfrac{20}{5+15} = 1\ \text{A}$ i $V = 1\cdot 15 = 15\ \text{V}$ .
Norton (divisor de corrent). Els 4 A es reparteixen entre els 5 Ω i els 15 Ω: per la càrrega passa $I = 4\cdot\dfrac{5}{5+15} = 1\ \text{A}$ i $V = 15\ \text{V}$ .
Conclusió. Els dos models donen el mateix a la càrrega.

Apartat c)

Resultat

Thévenin:

5\ \text{W}

; Norton:

45\ \text{W}

. Els models només són equivalents des de fora.

Resolució

Thévenin. Els 5 Ω són en sèrie i hi passa 1 A: $P = 1^{2}\cdot 5 = 5\ \text{W}$ .
Norton. Els 5 Ω són en paral·lel amb la càrrega i tenen 15 V: $P = \dfrac{15^{2}}{5} = 45\ \text{W}$ (hi passen 3 A).
Comentari. Els dos models són equivalents només des de fora (per a la càrrega): la potència que es perd dins del generador és diferent. Per això un equivalent no serveix per calcular el rendiment de la font real.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un circuit té dues malles. La branca central conté una resistència de 10 Ω. La malla esquerra té una font de 20 V i una resistència de 5 Ω; la malla dreta, una font de 12 V i una resistència de 4 Ω. Les dues fonts impulsen corrent cap a la branca central. (Observa el circuit de la figura.) Planteja les equacions de Kirchhoff i calcula el corrent per la resistència de 10 Ω.

Circuit de dues malles: font de 20 V amb 5 Ω a l'esquerra, font de 12 V amb 4 Ω a la dreta i branca central de 10 Ω, amb les dues fonts amb el pol positiu a dalt

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

I_{3} = \dfrac{14}{11}\ \text{A} \approx 1{,}27\ \text{A}

per la resistència de 10 Ω (de dalt a baix).

Resolució

Plantejament. Anomenem $I_{1}$ el corrent de la malla esquerra, $I_{2}$ el de la dreta i $I_{3}$ el de la branca central (10 Ω). Suposem que $I_{1}$ i $I_{2}$ entren al nus superior i que $I_{3}$ en surt cap avall.
Lleis de Kirchhoff. Nus: $I_{3} = I_{1} + I_{2}$ . Malla esquerra: $20 = 5\,I_{1} + 10\,I_{3}$ . Malla dreta: $12 = 4\,I_{2} + 10\,I_{3}$ .
Reducció. Substituïm $I_{1} = I_{3} - I_{2}$ a la primera malla: $20 = 15\,I_{3} - 5\,I_{2}$ . De la malla dreta, $I_{2} = \dfrac{12 - 10\,I_{3}}{4} = 3 - 2{,}5\,I_{3}$ .
Càlcul. $20 = 15\,I_{3} - 5(3 - 2{,}5\,I_{3}) = 27{,}5\,I_{3} - 15$ , d'on $I_{3} = \dfrac{35}{27{,}5} = 1{,}27\ \text{A}$ .
Comprovació i interpretació. La tensió de la branca central és $10\cdot 1{,}27 = 12{,}7\ \text{V}$ ; llavors $I_{1} = \tfrac{20 - 12{,}7}{5} = 1{,}45\ \text{A}$ i $I_{2} = \tfrac{12 - 12{,}7}{4} = -0{,}18\ \text{A}$ . El signe negatiu indica que, de fet, el corrent entra a la font de 12 V pel pol positiu: la font de 20 V la carrega. I $1{,}45 - 0{,}18 = 1{,}27\ \text{A}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un circuit lineal, vist des dels borns d'una càrrega, dona una tensió en circuit obert de 24 V i una resistència equivalent de 6 Ω. a) Escriu l'equivalent de Thévenin. b) Calcula el corrent i la tensió a la càrrega si $R_{L}$ = 6 Ω. c) Repeteix per a $R_{L}$ = 18 Ω i comenta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

Font

V_{\mathrm{th}} = 24\ \text{V}

en sèrie amb

R_{\mathrm{th}} = 6\ \Omega

Resolució

Definició. La tensió de Thévenin és la tensió en circuit obert i la resistència de Thévenin, la resistència equivalent vista des dels borns.
Conclusió. L'equivalent és una font $V_{\mathrm{th}} = 24\ \text{V}$ en sèrie amb $R_{\mathrm{th}} = 6\ \Omega$ .

Apartat b)

Resultat

I = 2\ \text{A}

;

V_{L} = 12\ \text{V}

Resolució

Llei d'Ohm a la malla. $I = \dfrac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}} + R_{L}} = \dfrac{24}{6+6} = 2\ \text{A}$ .
Tensió a la càrrega. $V_{L} = I\cdot R_{L} = 2\cdot 6 = 12\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

I = 1\ \text{A}

;

V_{L} = 18\ \text{V}

. En augmentar

R_{L}

, el corrent baixa i la tensió a la càrrega puja.

Resolució

Càlcul. $I = \dfrac{24}{6+18} = \dfrac{24}{24} = 1\ \text{A}$ i $V_{L} = 1\cdot 18 = 18\ \text{V}$ .
Comentari. En augmentar la càrrega, el corrent baixa (de 2 A a 1 A) però la tensió a la càrrega puja (de 12 V a 18 V), i s'acosta als 24 V en buit.
Avantatge de Thévenin. Hem calculat els dos casos sense refer el circuit original: només canvia $R_{L}$ en una malla senzilla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Una font de 24 V alimenta dues resistències en sèrie de 8 Ω i 4 Ω. Calcula l'equivalent de Thévenin vist des dels extrems de la de 4 Ω, i el corrent per una càrrega de 10 Ω connectada en aquells borns.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

V_{\mathrm{th}} = 8\ \text{V}

R_{\mathrm{th}} \approx 2{,}67\ \Omega

;

I \approx 0{,}632\ \text{A}

per la càrrega de 10 Ω.

Resolució

Dades. 24 V alimenten 8 Ω i 4 Ω en sèrie; els borns són els extrems de la de 4 Ω.
Tensió de Thévenin (divisor de tensió). $V_{\mathrm{th}} = 24\cdot\dfrac{4}{8+4} = 8\ \text{V}$ .
Resistència de Thévenin. Amb la font en curtcircuit, 8 Ω i 4 Ω queden en paral·lel: $R_{\mathrm{th}} = \dfrac{8\cdot 4}{8+4} = 2{,}67\ \Omega$ .
Corrent per la càrrega. $I = \dfrac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}} + R_{L}} = \dfrac{8}{2{,}67 + 10} = 0{,}632\ \text{A}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un pont de Wheatstone s'alimenta amb 10 V. La primera branca està formada per $R_{1}$ = 100 Ω (la de dalt) i $R_{2}$ = 150 Ω (la de baix) en sèrie, i la segona per $R_{3}$ = 50 Ω (la de dalt) i $R_{4}$ = 200 Ω (la de baix) en sèrie. Entre els punts intermedis de les dues branques es connecta un galvanòmetre de resistència 100 Ω.
a) Comprova que el pont no està equilibrat.
b) Calcula l'equivalent de Thévenin que veu el galvanòmetre (font ideal).
c) Calcula el corrent pel galvanòmetre i digues en quin sentit circula.

Pont de Wheatstone alimentat amb 10 V amb R1 = 100 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 50 Ω i R4 = 200 Ω i un galvanòmetre de 100 Ω entre els punts intermedis de les branques

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

R_{1}R_{4} = 20\,000 \neq R_{2}R_{3} = 7500

: el pont no està equilibrat.

Resolució

Condició d'equilibri. El pont està equilibrat si $R_{1}\cdot R_{4} = R_{2}\cdot R_{3}$ .
Càlcul. $R_{1}\cdot R_{4} = 100\cdot 200 = 20\,000$ i $R_{2}\cdot R_{3} = 150\cdot 50 = 7500$ . No són iguals.
Conclusió. El pont no està equilibrat: els punts intermedis tenen potencials diferents (6 V i 8 V, com es veu a l'apartat b).

Apartat b)

Resultat

V_{\mathrm{th}} = 2\ \text{V}

;

R_{\mathrm{th}} = 100\ \Omega

Resolució

Tensió en buit. Sense el galvanòmetre: $V_{1} = 10\cdot\tfrac{150}{250} = 6\ \text{V}$ (punt de la primera branca) i $V_{2} = 10\cdot\tfrac{200}{250} = 8\ \text{V}$ (punt de la segona). $V_{\mathrm{th}} = V_{2} - V_{1} = 2\ \text{V}$ .
Resistència de Thévenin. Amb la font en curtcircuit, les dues parelles queden en paral·lel i després en sèrie: $R_{\mathrm{th}} = (R_{1}\parallel R_{2}) + (R_{3}\parallel R_{4}) = \dfrac{100\cdot 150}{250} + \dfrac{50\cdot 200}{250} = 60 + 40 = 100\ \Omega$

Apartat c)

Resultat

I_{g} = 10\ \text{mA}

, del punt intermedi de la segona branca (8 V) cap al de la primera (6 V).

Resolució

Llei d'Ohm amb l'equivalent. $I_{g} = \dfrac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}} + R_{g}} = \dfrac{2}{100+100} = 0{,}01\ \text{A} = 10\ \text{mA}$ .
Sentit. Circula del punt de la segona branca (el de potencial més alt) cap al de la primera.
Comprovació. La tensió entre els extrems del galvanòmetre és $10\ \text{mA}\cdot 100\ \Omega = 1\ \text{V}$ , la meitat dels 2 V en buit, tal com cal quan $R_{g} = R_{\mathrm{th}}$ (divisor de tensió). Una anàlisi nodal completa del pont dona el mateix corrent.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Entre els nodes A i B d'un circuit hi ha tres branques en paral·lel: una font de tensió de 18 V en sèrie amb una resistència de 6 Ω (amb el pol positiu cap a A), una resistència de 3 Ω, i una font de corrent de 2 A que injecta el corrent cap al node A.
a) Calcula l'equivalent de Thévenin entre A i B.
b) Calcula el corrent i la tensió d'una càrrega de 3 Ω connectada entre A i B.
c) Fes el mateix per a una càrrega de 8 Ω.

Tres branques en paral·lel entre els nodes A i B: font de 18 V amb 6 Ω, resistència de 3 Ω i font de corrent de 2 A cap a A, amb borns oberts per a la càrrega

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

V_{\mathrm{th}} = 10\ \text{V}

;

R_{\mathrm{th}} = 2\ \Omega

Resolució

Tensió en circuit obert. Kirchhoff al node A amb la càrrega desconnectada: $\dfrac{18 - V_{A}}{6} + 2 = \dfrac{V_{A}}{3} \;\Rightarrow\; 5 = \dfrac{V_{A}}{2} \;\Rightarrow\; V_{\mathrm{th}} = 10\ \text{V}$
Resistència de Thévenin. Es desactiven les fonts: la de tensió se substitueix per un curtcircuit i la de corrent per un circuit obert. Queden 6 Ω i 3 Ω en paral·lel: $R_{\mathrm{th}} = \dfrac{6\cdot 3}{9} = 2\ \Omega$ .
Altra via (transformació de fonts). La font de 18 V amb 6 Ω equival a una font de corrent de 3 A amb 6 Ω en paral·lel; sumada als 2 A, dona 5 A amb 2 Ω en paral·lel, és a dir, $5\cdot 2 = 10\ \text{V}$ en sèrie amb 2 Ω.

Apartat b)

Resultat

I = 2\ \text{A}

;

V = 6\ \text{V}

Resolució

Càlcul amb l'equivalent. $I = \dfrac{10}{2+3} = 2\ \text{A}$ i $V = 2\cdot 3 = 6\ \text{V}$ .
Comprovació pel mètode dels nodes. $V_{A} = \dfrac{\tfrac{18}{6} + 2}{\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{3}} = \dfrac{5}{5/6} = 6\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

I = 1\ \text{A}

;

V = 8\ \text{V}

Resolució

Càlcul amb l'equivalent. $I = \dfrac{10}{2+8} = 1\ \text{A}$ i $V = 1\cdot 8 = 8\ \text{V}$ .
Conclusió. Amb l'equivalent de Thévenin, canviar la càrrega només demana resoldre una malla senzilla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un condensador de 470 µF, inicialment descarregat, es carrega a través d'una resistència de 10 kΩ connectada a una font de 12 V. Durant la càrrega, la seva tensió és $v_{C}$ (t) = V·(1 - e^-t/τ), amb τ = R·C.
a) Calcula la constant de temps τ.
b) Calcula la tensió del condensador als 4,7 s i als 15 s.
c) Calcula en quin instant la tensió arriba a 9 V.
d) Calcula l'energia emmagatzemada quan el condensador ja està totalment carregat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

\tau = 4{,}7\ \text{s}

Resolució

Constant de temps. $\tau = R\cdot C = 10\,000\cdot 470\cdot10^{-6} = 4{,}7\ \text{s}$ .
Comprovació. El corrent inicial és $\tfrac{12}{10\,000} = 1{,}2\ \text{mA}$ i va disminuint fins a 0; en $5\tau = 23{,}5\ \text{s}$ el condensador ja té més del 99 % de la tensió final.

Apartat b)

Resultat

v_{C}(4{,}7\ \text{s}) \approx 7{,}59\ \text{V}

;

v_{C}(15\ \text{s}) \approx 11{,}5\ \text{V}

Resolució

Llei de càrrega. $v_{C}(t) = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ amb $V = 12\ \text{V}$ .
A t = 4,7 s = τ. $v_{C} = 12\left(1 - e^{-1}\right) = 12\cdot 0{,}6321 = 7{,}59\ \text{V}$ (el 63 % de la tensió final).
A t = 15 s. $\tfrac{t}{\tau} = 3{,}19$ i $v_{C} = 12\left(1 - e^{-3{,}19}\right) = 12\,(1 - 0{,}041) = 11{,}5\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

t \approx 6{,}5\ \text{s}

Resolució

Plantejament. $9 = 12\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \Rightarrow e^{-t/\tau} = 0{,}25$ .
Logaritmes. $t = \tau\cdot\ln 4 = 4{,}7\cdot 1{,}386 = 6{,}5\ \text{s}$ .

Apartat d)

Resultat

E \approx 0{,}0338\ \text{J} = 33{,}8\ \text{mJ}

Resolució

Energia d'un condensador. Totalment carregat, $v_{C} = 12\ \text{V}$ i $E = \tfrac{1}{2}\,C\,V^{2}$ .
Càlcul. $E = 0{,}5\cdot 470\cdot10^{-6}\cdot 12^{2} = 0{,}0338\ \text{J} = 33{,}8\ \text{mJ}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una font ideal de 36 V alimenta una xarxa en escala. El pol negatiu de la font és la massa (0 V). Del pol positiu surt una resistència $R_{1}$ = 2 Ω fins al node A. Entre A i massa hi ha $R_{2}$ = 12 Ω. D'A surt $R_{3}$ = 3 Ω fins al node B. Entre B i massa hi ha $R_{4}$ = 6 Ω. I de B surten, en sèrie fins a massa, $R_{5}$ = 2 Ω i $R_{6}$ = 4 Ω.
a) Calcula la resistència equivalent que veu la font i el corrent que lliura.
b) Calcula les tensions dels nodes A i B.
c) Calcula el corrent que passa per cada resistència.
d) Comprova el balanç de potències.

Xarxa en escala alimentada per una font de 36 V amb el pol negatiu a massa: R1 = 2 Ω, R2 = 12 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 6 Ω i R5 = 2 Ω i R6 = 4 Ω en sèrie, amb nodes A i B

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

R_{\mathrm{eq}} = 6\ \Omega

;

I = 6\ \text{A}

Resolució

Estratègia. En una xarxa en escala es redueix des de l'extrem més allunyat de la font.
Reducció. $R_{5} + R_{6} = 6\ \Omega$ ; en paral·lel amb $R_{4} = 6\ \Omega$ donen 3 Ω. Més $R_{3}$ : $3 + 3 = 6\ \Omega$ ; en paral·lel amb $R_{2} = 12\ \Omega$ : $\tfrac{6\cdot 12}{18} = 4\ \Omega$ . Més $R_{1}$ : $R_{\mathrm{eq}} = 2 + 4 = 6\ \Omega$ .
Llei d'Ohm. $I = \dfrac{36}{6} = 6\ \text{A}$ .

Apartat b)

Resultat

V_{A} = 24\ \text{V}

;

V_{B} = 12\ \text{V}

Resolució

Node A. $V_{A} = 36 - 6\cdot 2 = 24\ \text{V}$ .
Node B. Pel node A, $I_{3} = I - \tfrac{V_{A}}{R_{2}} = 6 - \tfrac{24}{12} = 4\ \text{A}$ , així que $V_{B} = 24 - 4\cdot 3 = 12\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

I_{1} = 6\ \text{A}

;

I_{2} = 2\ \text{A}

;

I_{3} = 4\ \text{A}

;

I_{4} = 2\ \text{A}

;

I_{5} = I_{6} = 2\ \text{A}

Resolució

Llei d'Ohm a cada branca. $I_{1} = 6\ \text{A}$ ; $I_{2} = \tfrac{24}{12} = 2\ \text{A}$ ; $I_{3} = 4\ \text{A}$ ; $I_{4} = \tfrac{12}{6} = 2\ \text{A}$ ; $I_{5} = I_{6} = \tfrac{12}{2+4} = 2\ \text{A}$ .
Comprovació (llei de nusos). Node A: $6 = 2 + 4$ . Node B: $4 = 2 + 2$ .

Apartat d)

Resultat

Potència lliurada

= 216\ \text{W}

= potència dissipada

= 216\ \text{W}

Resolució

Potències dissipades ( $P = I^{2}R$ ). $R_{1}$ : $6^{2}\cdot 2 = 72\ \text{W}$ ; $R_{2}$ : $2^{2}\cdot 12 = 48\ \text{W}$ ; $R_{3}$ : $4^{2}\cdot 3 = 48\ \text{W}$ ; $R_{4}$ : $2^{2}\cdot 6 = 24\ \text{W}$ ; $R_{5}$ : $2^{2}\cdot 2 = 8\ \text{W}$ ; $R_{6}$ : $2^{2}\cdot 4 = 16\ \text{W}$ . Total: 216 W.
Potència de la font. $P = 36\cdot 6 = 216\ \text{W}$ .
Conclusió. Coincideixen: el balanç de potències quadra.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Una línia de coure té una resistència total de 0,5 Ω (anada i tornada) i ha de lliurar 2 kW a una càrrega resistiva. Tracta el circuit com si fos de corrent continu. Calcula el corrent, la potència perduda a la línia i el rendiment del transport (potència a la càrrega dividida per la que lliura el generador) si la tensió a la càrrega és de a) 24 V, b) 230 V i c) 2300 V. Explica per què l'energia elèctrica es transporta a tensió molt alta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

I \approx 83{,}3\ \text{A}

;

P_{\text{perd}} \approx 3472\ \text{W}

;

\eta \approx 36{,}5\ \%

Resolució

Plantejament. A la càrrega, $P = V\cdot I$ , per tant $I = \tfrac{P}{V}$ ; pèrdues a la línia $P_{\text{perd}} = I^{2}\cdot R$ ; rendiment $\eta = \dfrac{P}{P + P_{\text{perd}}}$ .
Càlcul a 24 V. $I = \tfrac{2000}{24} = 83{,}3\ \text{A}$ ; $P_{\text{perd}} = 83{,}3^{2}\cdot 0{,}5 = 3472\ \text{W}$ (la línia consumeix més que la càrrega!); $\eta = \tfrac{2000}{5472} = 36{,}5\ \%$ .

Apartat b)

Resultat

I \approx 8{,}70\ \text{A}

;

P_{\text{perd}} \approx 37{,}8\ \text{W}

;

\eta \approx 98{,}1\ \%

Resolució

Corrent. $I = \tfrac{2000}{230} = 8{,}70\ \text{A}$ .
Pèrdues i rendiment. $P_{\text{perd}} = 8{,}70^{2}\cdot 0{,}5 = 37{,}8\ \text{W}$ ; $\eta = \tfrac{2000}{2037{,}8} = 98{,}1\ \%$ .

Apartat c)

Resultat

I \approx 0{,}870\ \text{A}

;

P_{\text{perd}} \approx 0{,}378\ \text{W}

;

\eta \approx 99{,}98\ \%

. Es transporta a alta tensió perquè, per a la mateixa potència, el corrent és menor i les pèrdues (

\propto I^{2}

) són molt més petites.

Resolució

Càlcul a 2300 V. $I = \tfrac{2000}{2300} = 0{,}870\ \text{A}$ ; $P_{\text{perd}} = 0{,}870^{2}\cdot 0{,}5 = 0{,}378\ \text{W}$ ; $\eta = 99{,}98\ \%$ .
Comparació. Si la tensió es multiplica per 10, el corrent es divideix per 10 i les pèrdues, que depenen d' $I^{2}$ , es divideixen per 100.
Conclusió. Per això es transporta a alta tensió (i s'abaixa al final amb transformadors): per a la mateixa potència, més tensió vol dir menys corrent, menys calor al cable i menys coure.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Un sensor de temperatura resistiu té una resistència R(T) = 100·(1 + 0,004·T) Ω, amb T en °C. Es connecta en sèrie amb una resistència fixa de 100 Ω i el conjunt s'alimenta amb 6 V; la tensió de sortida es mesura entre els extrems del sensor.
a) Calcula la tensió de sortida a 0 °C i a 100 °C, i la sensibilitat mitjana en mV/°C.
b) Calcula-la a 50 °C i compara-la amb la que donaria una resposta perfectament lineal entre els dos extrems.
c) Calcula la potència que dissipa el sensor a 100 °C i digues per què convé que sigui petita.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

V_{s}(0\ ^{\circ}\text{C}) = 3{,}00\ \text{V}

;

V_{s}(100\ ^{\circ}\text{C}) = 3{,}50\ \text{V}

; sensibilitat mitjana

5\ \text{mV}/^{\circ}\text{C}

Resolució

Divisor de tensió. $V_{s} = 6\cdot\dfrac{R(T)}{R(T) + 100}$ .
A 0 °C. $R = 100\ \Omega$ i $V_{s} = 6\cdot\tfrac{100}{200} = 3{,}00\ \text{V}$ .
A 100 °C. $R = 100\,(1 + 0{,}4) = 140\ \Omega$ i $V_{s} = 6\cdot\tfrac{140}{240} = 3{,}50\ \text{V}$ .
Sensibilitat mitjana. $S = \dfrac{3{,}50 - 3{,}00}{100} = 0{,}005\ \text{V}/^{\circ}\text{C} = 5\ \text{mV}/^{\circ}\text{C}$ .

Apartat b)

Resultat

V_{s}(50\ ^{\circ}\text{C}) \approx 3{,}273\ \text{V}

, contra 3,250 V d'una resposta lineal: 23 mV de diferència (≈ 4,5 °C).

Resolució

A 50 °C. $R = 120\ \Omega$ i $V_{s} = 6\cdot\tfrac{120}{220} = 3{,}273\ \text{V}$ .
Resposta lineal. $3{,}00 + 50\cdot 0{,}005 = 3{,}250\ \text{V}$ . Diferència: 23 mV, que equival a $\tfrac{23}{5} \approx 4{,}5\ ^{\circ}\text{C}$ d'error si convertíssim la tensió en temperatura amb la recta.
Interpretació. El divisor no és lineal perquè la resistència del sensor també apareix al denominador.

Apartat c)

Resultat

P = 87{,}5\ \text{mW}

; convé que sigui petita per evitar l'autoescalfament del sensor.

Resolució

Corrent a 100 °C. $I = \tfrac{6}{240} = 0{,}025\ \text{A} = 25\ \text{mA}$ .
Potència. $P = I^{2}\cdot R = 0{,}025^{2}\cdot 140 = 0{,}0875\ \text{W} = 87{,}5\ \text{mW}$ .
Conclusió. Aquesta calor escalfa el mateix sensor (autoescalfament) i fa que mesuri una mica més que la temperatura real; per això convé que el corrent sigui petit.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

En una caseta de vigilància aïllada, un panell solar, una bateria i un llum estan connectats en paral·lel entre dos borns comuns (+ i −). Amb sol, el panell es modelitza com una font de 18 V amb una resistència interna d'1,5 Ω; la bateria, com una font de 12,6 V amb una resistència interna de 0,1 Ω; i el llum, com una resistència de 6 Ω.
a) Planteja l'equació de nus i calcula la tensió entre els borns comuns.
b) Calcula el corrent del panell, el de la bateria i el del llum. La bateria es carrega o es descarrega? Justifica-ho a partir del signe del corrent que havies suposat.
c) Fes el balanç de potències: potència generada pel panell, potència que rep la bateria, potència del llum i pèrdues a les resistències internes.
d) De nit, el panell no genera (f.e.m. nul·la) però continua connectat i es comporta com una resistència d'1,5 Ω. Calcula què passaria i explica per què aquestes instal·lacions porten un díode de bloqueig (o un regulador) entre el panell i la bateria.

Pista 1

Anomena V la tensió entre els borns. El corrent que surt de cada font és (E − V)/r, i el del llum, V/R.

Pista 2

Suposa, per exemple, que el corrent de la bateria entra pel seu born positiu (càrrega). Si en resoldre surt positiu, la suposició era correcta.

Pista 3

De nit, el panell és una resistència més connectada a la bateria: la bateria alimentarà el llum i el panell.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

V \approx 12{,}74\ \text{V}

Resolució

Plantejament. Anomenem $V$ la tensió entre els borns comuns. Suposem que el corrent de la bateria hi entra pel born positiu (càrrega). El corrent que surt del panell és $\tfrac{18 - V}{1{,}5}$ , el que entra a la bateria $\tfrac{V - 12{,}6}{0{,}1}$ i el del llum $\tfrac{V}{6}$ .
Llei de nusos. Corrent del panell = corrent de la bateria + corrent del llum: $\dfrac{18 - V}{1{,}5} = \dfrac{V - 12{,}6}{0{,}1} + \dfrac{V}{6}$
Càlcul. $V\left(\tfrac{1}{1{,}5} + \tfrac{1}{0{,}1} + \tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{18}{1{,}5} + \tfrac{12{,}6}{0{,}1}\Rightarrow 10{,}833\,V = 138 \Rightarrow V = 12{,}74\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

I_{\text{panell}} \approx 3{,}51\ \text{A}

;

I_{\text{bateria}} \approx 1{,}38\ \text{A}

(entra pel born +: es carrega);

I_{\text{llum}} \approx 2{,}12\ \text{A}

Resolució

Panell. $I_{\text{panell}} = \dfrac{18 - 12{,}74}{1{,}5} = 3{,}51\ \text{A}$ .
Bateria. $I_{\text{bateria}} = \dfrac{12{,}74 - 12{,}6}{0{,}1} = 1{,}38\ \text{A}$ . Ha sortit positiu en el sentit suposat (entrant pel born +): la suposició era correcta i la bateria es carrega.
Llum. $I_{\text{llum}} = \dfrac{12{,}74}{6} = 2{,}12\ \text{A}$ .
Comprovació. $1{,}38 + 2{,}12 = 3{,}5\ \text{A}$ , el corrent del panell.

Apartat c)

Resultat

Panell:

63{,}1\ \text{W}

generats = bateria

17{,}4\ \text{W}

+ pèrdues de la bateria

0{,}19\ \text{W}

+ llum

27{,}0\ \text{W}

+ pèrdues del panell

18{,}5\ \text{W}

Resolució

Generada pel panell. $P = \varepsilon\cdot I = 18\cdot 3{,}51 = 63{,}1\ \text{W}$ .
Rebuda per la bateria. Emmagatzemada: $12{,}6\cdot 1{,}38 = 17{,}4\ \text{W}$ ; pèrdues internes: $0{,}1\cdot 1{,}38^{2} = 0{,}19\ \text{W}$ .
Llum i pèrdues del panell. Llum: $12{,}74\cdot 2{,}12 = 27{,}0\ \text{W}$ . Panell: $1{,}5\cdot 3{,}51^{2} = 18{,}5\ \text{W}$ .
Balanç. $17{,}4 + 0{,}2 + 27{,}0 + 18{,}5 = 63{,}1\ \text{W}$ : quadra.

Apartat d)

Resultat

V \approx 11{,}63\ \text{V}

: la bateria es descarrega amb

\approx 9{,}7\ \text{A}

, dels quals

\approx 7{,}75\ \text{A}

escalfen el panell. Cal un díode de bloqueig (o un regulador) perquè el corrent només pugui anar del panell a la bateria.

Resolució

Plantejament. De nit, el panell és una resistència d'1,5 Ω més connectada a la bateria: la bateria alimentarà el llum i el panell.
Càlcul. $V\left(\tfrac{1}{1{,}5} + \tfrac{1}{0{,}1} + \tfrac{1}{6}\right) = \tfrac{12{,}6}{0{,}1} = 126 \Rightarrow V = 11{,}63\ \text{V}$ .
Corrents. La bateria es descarrega amb $\tfrac{12{,}6 - 11{,}63}{0{,}1} = 9{,}7\ \text{A}$ : $\tfrac{11{,}63}{6} = 1{,}94\ \text{A}$ van al llum i $\tfrac{11{,}63}{1{,}5} = 7{,}75\ \text{A}$ es perden escalfant el panell. En una nit la bateria es buidaria per res.
Conclusió. El díode de bloqueig deixa passar el corrent del panell cap a la bateria però no al revés; els reguladors de càrrega, a més, eviten sobrecarregar la bateria quan és plena. De nit el panell no «deixa de fer res»: es converteix en una càrrega.

Errors típics

Fixar el sentit del corrent de la bateria per intuïció i no interpretar el signe del resultat.
Oblidar les resistències internes en el balanç de potències.
Pensar que de nit el panell simplement «no fa res».

Conceptes treballats: lleis de Kirchhoff, generadors reals (f.e.m. i resistència interna), càrrega i descàrrega d'una bateria, balanç de potències, díodes de bloqueig, instal·lacions fotovoltaiques aïllades.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

La bateria d'un cotxe té una f.e.m. de 12,6 V i una resistència interna de 0,010 Ω. Els cables que van fins al motor d'arrencada sumen 0,004 Ω. Durant l'arrencada, el motor d'arrencada es comporta com una resistència de 0,040 Ω. Els fars (2 × 55 W a 12 V) estan connectats directament als borns de la bateria; com que consumeixen molt poc comparat amb el motor, en menysprearem l'efecte sobre el corrent total.
a) Calcula el corrent d'arrencada, la tensió als borns de la bateria, la tensió al motor i la potència que rep el motor.
b) Calcula la potència dels fars durant l'arrencada (suposa'ls resistències constants) i explica per què perden llum.
c) Un matí d'hivern, la bateria freda té una f.e.m. de 12,3 V i una resistència interna de 0,020 Ω. Repeteix l'apartat a) i interpreta el resultat.
d) Raona per què un born de bateria oxidat (que afegeix, per exemple, 0,02 Ω de resistència) pot impedir que el cotxe arrenqui, encara que la bateria estigui carregada i el polímetre hi marqui 12,6 V en buit.

Pista 1

És un circuit d'una sola malla: I = E/(r + $R_{\mathrm{cables}}$ + $R_{\mathrm{motor}}$ ).

Pista 2

Tensió als borns = E − r·I. Els fars reben aquesta tensió, i la seva potència va amb el quadrat de la tensió.

Pista 3

Un polímetre en buit gairebé no fa circular corrent: què marca, doncs?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

I \approx 233\ \text{A}

;

V_{\text{borns}} \approx 10{,}27\ \text{V}

;

V_{\text{motor}} \approx 9{,}33\ \text{V}

;

P_{\text{motor}} \approx 2{,}18\ \text{kW}

Resolució

Malla única. Bateria, cables i motor en sèrie: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R_{\text{cables}} + R_{\text{motor}}} = \dfrac{12{,}6}{0{,}010 + 0{,}004 + 0{,}040} = \dfrac{12{,}6}{0{,}054} = 233\ \text{A}$ .
Tensió als borns. $V = \varepsilon - r\,I = 12{,}6 - 0{,}010\cdot 233 = 10{,}27\ \text{V}$ .
Motor. $V_{\text{motor}} = 0{,}040\cdot 233 = 9{,}33\ \text{V}$ i $P = 0{,}040\cdot 233^{2} = 2{,}18\ \text{kW}$ . No pots prendre 12,6 V per al motor: les resistències en sèrie se'n queden una part.

Apartat b)

Resultat

Els fars donen

\approx 81\ \text{W}

en total en lloc de 110 W (≈ 27 % menys), perquè la tensió als borns baixa a 10,27 V.

Resolució

Resistència dels fars. Tots dos junts: $R = \tfrac{12^{2}}{110} = 1{,}31\ \Omega$ (cada un, 2,62 Ω), que suposem constant.
Potència a 10,27 V. La potència va amb el quadrat de la tensió: $P = 110\cdot\left(\tfrac{10{,}27}{12}\right)^{2} = 81\ \text{W}$ en lloc de 110 W (un 27 % menys): s'aprecia que la llum baixa.
Causa. La caiguda de tensió a la resistència interna de la bateria ( $r\cdot I$ amb 233 A) és comuna als fars i al motor.

Apartat c)

Resultat

I \approx 192\ \text{A}

;

V_{\text{borns}} \approx 8{,}46\ \text{V}

;

V_{\text{motor}} \approx 7{,}69\ \text{V}

;

P_{\text{motor}} \approx 1{,}48\ \text{kW}

(≈ 32 % menys).

Resolució

Corrent. $I = \dfrac{12{,}3}{0{,}020 + 0{,}004 + 0{,}040} = \dfrac{12{,}3}{0{,}064} = 192\ \text{A}$ .
Tensions i potència. Borns: $12{,}3 - 0{,}020\cdot 192 = 8{,}46\ \text{V}$ ; motor: $0{,}040\cdot 192 = 7{,}69\ \text{V}$ ; potència: $0{,}040\cdot 192^{2} = 1{,}48\ \text{kW}$ , un 32 % menys.
Interpretació. Precisament quan el motor necessita més força (l'oli fred és més viscós), la bateria freda en dona menys: per això costa tant arrencar a l'hivern.

Apartat d)

Resultat

En buit

I \approx 0

i el polímetre marca la f.e.m.; en arrencar, els 0,02 Ω del born fan baixar el corrent a ≈ 170 A i la potència del motor a ≈ 1,16 kW, gairebé la meitat.

Resolució

Mesura en buit. El polímetre gairebé no fa circular corrent: $V = \varepsilon - r\cdot 0 = 12{,}6\ \text{V}$ , sigui quina sigui la resistència interna o la del born.
En arrencar. Amb 0,02 Ω més: $I = \dfrac{12{,}6}{0{,}074} = 170\ \text{A}$ i $P_{\text{motor}} = 0{,}040\cdot 170^{2} = 1{,}16\ \text{kW}$ , gairebé la meitat dels 2,18 kW.
Escalfament del born. $0{,}02\cdot 170^{2} \approx 580\ \text{W}$ concentrats en un punt.
Conclusió. Per diagnosticar una bateria cal mesurar la tensió amb càrrega, no en buit: la tensió en buit no indica si pot donar corrent.

Errors típics

Calcular la tensió del motor com a 12,6 V, oblidant les resistències en sèrie.
Pensar que la tensió en buit indica si una bateria pot donar corrent.
Considerar que la potència d'una resistència és proporcional a la tensió (és proporcional al quadrat).

Conceptes treballats: generadors reals, resistència interna, llei d'Ohm en una malla, caiguda de tensió, potència elèctrica, efecte de la temperatura, diagnosi amb polímetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Es dissenya una tira de LED blancs per a una autocaravana, alimentada a 12 V. Cada LED necessita 20 mA i, a aquest corrent, té una tensió de 3,0 V. Els LED s'agrupen en branques en paral·lel; cada branca té n LED en sèrie i una resistència limitadora.
a) Calcula la resistència i la potència que s'hi dissipa en una branca de 3 LED i en una de 2 LED. Calcula també el rendiment (potència en els LED / potència total) de cada opció.
b) Quan el motor està en marxa, l'alternador puja la tensió de la bateria a 12,6 V. Calcula el corrent de cada tipus de branca i el percentatge d'augment.
c) Quan els LED s'escalfen, la seva tensió baixa a 2,9 V. Calcula el corrent de cada tipus de branca a 12 V.
d) Interpreta els resultats: quina opció és més eficient i quina més estable? Per què una font de corrent constant (driver) és la millor solució per alimentar LED?

Pista 1

Malla d'una branca: 12 = n· $V_{\mathrm{LED}}$ + R·I. Aïlla R.

Pista 2

Amb la mateixa R, el corrent és (U − n· $V_{\mathrm{LED}}$ )/R. Fixa't en quina tensió queda a la resistència.

Pista 3

Com més petita és la tensió que queda a la resistència, més sensible és el corrent a petites variacions.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

3 LED:

R = 150\ \Omega

P_{R} = 60\ \text{mW}

, rendiment 75 %. 2 LED:

R = 300\ \Omega

P_{R} = 120\ \text{mW}

, rendiment 50 %.

Resolució

Malla d'una branca. $12 = n\cdot V_{\mathrm{LED}} + R\cdot I\Rightarrow R = \dfrac{12 - n\cdot V_{\mathrm{LED}}}{I}$ amb $I = 0{,}020\ \text{A}$ . No oblidis restar la tensió dels LED.
3 LED. $R = \tfrac{12 - 9}{0{,}02} = 150\ \Omega$ ; $P_{R} = 0{,}02^{2}\cdot 150 = 60\ \text{mW}$ ; rendiment $= \tfrac{9\cdot 0{,}02}{12\cdot 0{,}02} = \tfrac{9}{12} = 75\ \%$ .
2 LED. $R = \tfrac{12 - 6}{0{,}02} = 300\ \Omega$ ; $P_{R} = 0{,}02^{2}\cdot 300 = 120\ \text{mW}$ ; rendiment $= \tfrac{6}{12} = 50\ \%$ .

Apartat b)

Resultat

3 LED:

I = 24\ \text{mA}

(+20 %). 2 LED:

I = 22\ \text{mA}

(+10 %).

Resolució

Mateixa R, nova tensió. $I = \dfrac{U - n\cdot V_{\mathrm{LED}}}{R}$ amb $U = 12{,}6\ \text{V}$ .
3 LED. $I = \tfrac{12{,}6 - 9}{150} = 24\ \text{mA}$ (+20 %).
2 LED. $I = \tfrac{12{,}6 - 6}{300} = 22\ \text{mA}$ (+10 %).

Apartat c)

Resultat

3 LED:

I = 22\ \text{mA}

(+10 %). 2 LED:

I \approx 20{,}7\ \text{mA}

(+3,3 %).

Resolució

Tensió dels LED calents. $V_{\mathrm{LED}} = 2{,}9\ \text{V}$ i $U = 12\ \text{V}$ .
3 LED. $I = \tfrac{12 - 8{,}7}{150} = 22\ \text{mA}$ (+10 %).
2 LED. $I = \tfrac{12 - 5{,}8}{300} = 20{,}7\ \text{mA}$ (+3,3 %).

Apartat d)

Resultat

La branca de 3 LED és més eficient (75 %) i la de 2 LED, més estable. Un driver de corrent constant fixa directament els 20 mA amb poques pèrdues: eficiència i estabilitat alhora.

Resolució

Eficiència. La branca de 3 LED aprofita el 75 % de l'energia, contra el 50 % de la de 2 LED.
Estabilitat. A la branca de 3 LED només queden 3 V a la resistència: qualsevol variació de la tensió d'alimentació o dels LED es tradueix en una variació relativa gran del corrent. Com més petita és la tensió de la resistència, més sensible és el corrent.
Embalament tèrmic. En escalfar-se el LED, la tensió baixa, el corrent puja i el LED s'escalfa encara més (vida més curta). La resistència és un compromís entre eficiència i estabilitat, i no «gasta» energia sense cap funció: és la que fixa el corrent.
Driver de corrent constant. Regula el corrent directament (20 mA sigui quina sigui la tensió) i, si és commutat, ho fa amb pèrdues petites: aconsegueix alhora alta eficiència i corrent estable.

Errors típics

Calcular la resistència amb 12 V, oblidant la tensió dels LED.
Posar els LED en paral·lel sense una resistència per branca (el corrent es repartiria de manera desigual).
Pensar que la resistència només «gasta» energia sense cap funció.

Conceptes treballats: circuits sèrie i paral·lel, llei d'Ohm i Kirchhoff, díodes LED, potència i rendiment, sensibilitat a les variacions, fonts de corrent constant.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Un rellotge intern d'un equip té com a reserva un supercondensador d'1 F carregat a 5 V. El circuit funciona fins que la tensió baixa a 2 V.
a) Si el circuit es comporta com una resistència de 47 kΩ, la tensió segueix u(t) = 5·e^−t/(RC). Calcula la constant de temps i quant de temps funciona el rellotge.
b) Amb un regulador, el circuit passa a consumir un corrent constant de 50 µA. Calcula ara el temps de funcionament (Q = C·U).
c) Calcula l'energia emmagatzemada a 5 V i la que es pot aprofitar fins a 2 V. Quin percentatge representa?
d) Raona per què, amb un consum de corrent constant, la reserva dura més, tot i que a 5 V la resistència de 47 kΩ consumeix 106 µA i a 2 V només 43 µA. Què passaria si el condensador es pogués descarregar fins a 0 V en el cas a)?

Pista 1

Aïlla t de 2 = 5·e^−t/τ amb τ = R·C.

Pista 2

Amb corrent constant, la tensió baixa linealment: ΔU = I·t/C.

Pista 3

E = C· $\tfrac{U^{2}}{2}$ . Compara el corrent mitjà que consumeix la resistència entre 5 i 2 V amb 50 µA.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

\tau = 47\,000\ \text{s}

(≈ 13,1 h); el rellotge funciona

t \approx 43\,070\ \text{s} \approx 12{,}0\ \text{h}

Resolució

Constant de temps. $\tau = R\cdot C = 47\,000\cdot 1 = 47\,000\ \text{s}$ (13,1 h).
Descàrrega RC. El rellotge s'atura a 2 V: $2 = 5\cdot e^{-t/\tau}$ .
Logaritme natural. $t = \tau\cdot\ln\tfrac{5}{2} = 47\,000\cdot 0{,}916 = 43\,070\ \text{s} \approx 12{,}0\ \text{h}$ . (Compte: logaritme natural, no decimal.)

Apartat b)

Resultat

t = 60\,000\ \text{s} \approx 16{,}7\ \text{h}

Resolució

Corrent constant. La tensió baixa linealment: $\Delta U = \dfrac{I\cdot t}{C}$ (de $Q = C\cdot U$ ).
Càlcul. $t = \dfrac{C\cdot\Delta U}{I} = \dfrac{1\cdot(5 - 2)}{50\cdot10^{-6}} = 60\,000\ \text{s} \approx 16{,}7\ \text{h}$ .

Apartat c)

Resultat

E_{5\,\text{V}} = 12{,}5\ \text{J}

; aprofitable fins a 2 V:

10{,}5\ \text{J}

, el 84 %.

Resolució

Energia del condensador. $E = \tfrac{1}{2}\,C\,U^{2}$ : $E_{5\,\text{V}} = \tfrac{1\cdot 5^{2}}{2} = 12{,}5\ \text{J}$ .
Aprofitable. $\tfrac{1}{2}\,C\,(5^{2} - 2^{2}) = \tfrac{21}{2} = 10{,}5\ \text{J}$ (no pas $(5-2)^{2}$ ).
Percentatge. $\tfrac{10{,}5}{12{,}5} = 84\ \%$ .

Apartat d)

Resultat

Amb la resistència, el corrent mitjà és ≈ 70 µA (> 50 µA): es malgasta corrent quan la tensió és alta. Fins a 0 V, el temps tendiria a infinit.

Resolució

Corrent mitjà amb la resistència. La càrrega perduda dividida pel temps: $\dfrac{3\ \text{C}}{43\,070\ \text{s}} \approx 70\ \mu\text{A}$ , més que els 50 µA del regulador.
Interpretació. La resistència «malgasta» corrent quan la tensió és alta (106 µA a 5 V, quan el rellotge en tindria prou amb menys). El regulador consumeix només el que cal a qualsevol tensió, i per això la reserva dura més.
Descàrrega fins a 0 V. La descàrrega exponencial no arriba mai matemàticament a 0 V: el temps tendiria a infinit. Però el rellotge deixa de funcionar molt abans, a 2 V; per això no té sentit parlar del «temps fins a descàrrega total» d'un circuit RC, i la constant de temps no és el temps de descàrrega completa.

Errors típics

Fer servir el logaritme decimal en lloc del natural.
Calcular l'energia aprofitable amb $(5 - 2)^{2}$ en lloc de $5^{2}$ − $2^{2}$ .
Pensar que la constant de temps és el temps fins a la descàrrega completa.

Conceptes treballats: condensadors, càrrega i energia emmagatzemada, descàrrega RC i constant de temps, descàrrega a corrent constant, consum de circuits electrònics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Una font d'alimentació de 24 V amb una resistència interna de 2 Ω alimenta el nus A. Del nus A surt una resistència de càrrega de 12 Ω cap a massa i una resistència de 4 Ω (un cable llarg) fins al nus B. Al nus B hi ha connectada una bateria de 12 V amb una resistència interna d'1 Ω (pol negatiu a massa) i una altra càrrega R₅ cap a massa.
a) Amb R₅ = 12 Ω, planteja les equacions de nus per a A i B i calcula'n les tensions.
b) Calcula el corrent de cada branca i digues si la bateria es carrega o es descarrega.
c) Fes el balanç de potències del circuit i comprova que quadra.
d) La càrrega R₅ passa a ser de 6 Ω. Calcula les noves tensions i el corrent de la bateria. Interpreta el canvi: de què depèn que un element amb f.e.m. actuï com a generador o com a receptor?

Circuit de dos nusos: font de 24 V amb resistència interna de 2 Ω, càrrega de 12 Ω, cable de 4 Ω fins al nus B, càrrega R5 i bateria de 12 V amb resistència interna d'1 Ω

Pista 1

Nus A: (24 − V_A)/2 = V_A/12 + (V_A − V_B)/4. Escriu l'equació del nus B de la mateixa manera.

Pista 2

El corrent de la bateria és (V_B − 12)/1: si V_B > 12 V, entra pel pol positiu.

Pista 3

Potència de la font de 24 V: 24·I₁; potència de la bateria: 12·I_bat (rebuda si es carrega); potències a les resistències: R·I².

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

V_{A} \approx 18{,}12\ \text{V}

;

V_{B} \approx 12{,}40\ \text{V}

Resolució

Equacions de nus. Prenem la massa com a referència i igualem corrents que entren i surten: $\text{A: }\ \dfrac{24 - V_{A}}{2} = \dfrac{V_{A}}{12} + \dfrac{V_{A} - V_{B}}{4}\qquad \text{B: }\ \dfrac{V_{A} - V_{B}}{4} = \dfrac{V_{B} - 12}{1} + \dfrac{V_{B}}{12}$
Sistema ordenat. $0{,}8333\,V_{A} - 0{,}25\,V_{B} = 12$ ; $-0{,}25\,V_{A} + 1{,}3333\,V_{B} = 12$ .
Solució. $V_{A} = 18{,}12\ \text{V}$ i $V_{B} = 12{,}40\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

I_{\text{font}} \approx 2{,}94\ \text{A}

;

I_{12} \approx 1{,}51\ \text{A}

;

I_{\text{cable}} \approx 1{,}43\ \text{A}

;

I_{\text{bat}} \approx 0{,}40\ \text{A}

(entra pel +: es carrega);

I_{R_5} \approx 1{,}03\ \text{A}

Resolució

Font i càrrega d'A. $I_{1} = \tfrac{24 - 18{,}12}{2} = 2{,}94\ \text{A}$ ; $I_{12} = \tfrac{18{,}12}{12} = 1{,}51\ \text{A}$ .
Cable. $I_{4} = \tfrac{18{,}12 - 12{,}40}{4} = 1{,}43\ \text{A}$ , d'A cap a B.
Bateria i R₅. $I_{\text{bat}} = \tfrac{12{,}40 - 12}{1} = 0{,}40\ \text{A}$ : com que $V_{B} > 12\ \text{V}$ , entra pel pol positiu i la bateria es carrega. $I_{5} = \tfrac{12{,}40}{12} = 1{,}03\ \text{A}$ .
Comprovació. Nus A: $2{,}94 = 1{,}51 + 1{,}43$ . Nus B: $1{,}43 = 0{,}40 + 1{,}03$ .

Apartat c)

Resultat

Generada:

\approx 70{,}6\ \text{W}

= bateria (f.e.m.) 4,8 W + resistències 65,8 W.

Resolució

Potència generada. Font de 24 V: $24\cdot 2{,}94 = 70{,}6\ \text{W}$ .
Potència absorbida per la f.e.m. de la bateria. $12\cdot 0{,}40 = 4{,}8\ \text{W}$ (no l'oblidis en el balanç).
Resistències ( $R\cdot I^{2}$ ). $2\cdot 2{,}94^{2} + 12\cdot 1{,}51^{2} + 4\cdot 1{,}43^{2} + 1\cdot 0{,}40^{2} + 12\cdot 1{,}03^{2} = 17{,}3 + 27{,}4 + 8{,}2 + 0{,}2 + 12{,}8 = 65{,}8\ \text{W}$ .
Balanç. $4{,}8 + 65{,}8 = 70{,}6\ \text{W}$ : quadra.

Apartat d)

Resultat

Amb

R_{5} = 6\ \Omega

V_{A} \approx 17{,}89\ \text{V}

V_{B} \approx 11{,}63\ \text{V}

I_{\text{bat}} \approx -0{,}37\ \text{A}

: ara la bateria es descarrega. Un element amb f.e.m. és receptor si el circuit li imposa una tensió més alta que la seva f.e.m., i generador si és més baixa.

Resolució

Nou sistema. Canviant $\tfrac{V_{B}}{12}$ per $\tfrac{V_{B}}{6}$ a l'equació del nus B, s'obté $V_{A} = 17{,}89\ \text{V}$ i $V_{B} = 11{,}63\ \text{V}$ .
Bateria. $I_{\text{bat}} = \tfrac{11{,}63 - 12}{1} = -0{,}37\ \text{A}$ : ara el corrent surt pel pol positiu i la bateria es descarrega (dona $12\cdot 0{,}37 \approx 4{,}5\ \text{W}$ ).
Interpretació. Un element amb f.e.m. és generador o receptor segons la tensió del circuit on està connectat: si el circuit li imposa una tensió més alta que la seva f.e.m., el corrent hi entra i es carrega; si és més baixa, en surt. En disminuir $R_{5}$ (més consum), la tensió de B baixa i la bateria passa a ajudar la font. Una bateria no sempre dona energia.

Errors típics

Escriure les equacions de nus amb signes incoherents (corrents que entren i surten barrejats).
Suposar que una bateria sempre dona energia.
Oblidar la potència absorbida per la f.e.m. de la bateria en el balanç.

Conceptes treballats: anàlisi de circuits per nusos, lleis de Kirchhoff, sistemes d'equacions, generadors i receptors, balanç de potències.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

La bateria d'un patinet elèctric es fa amb cel·les de liti de 3,6 V, 3,0 Ah i 0,03 Ω de resistència interna, en una configuració «10s4p»: 4 grups en paral·lel connectats 10 vegades en sèrie (40 cel·les).
a) Calcula la tensió nominal, la capacitat (Ah), l'energia (Wh) i la resistència interna de la bateria.
b) El motor demana 500 W. Calcula aproximadament el corrent de la bateria, el corrent per cel·la, la tensió als borns i les pèrdues a la resistència interna (pren el corrent amb la tensió nominal).
c) Si el patinet consumeix de mitjana 15 Wh/km, quina autonomia té? Per què l'autonomia real a l'hivern o pujant pendents és menor?
d) Raona per què les cel·les es connecten en sèrie i en paral·lel, i què passa si una cel·la d'un grup en paral·lel es danya i queda tallada (circuit obert). I si es posa en curtcircuit?

Pista 1

En sèrie se sumen tensions i resistències; en paral·lel se sumen capacitats (Ah) i les resistències fan paral·lel.

Pista 2

I = $\tfrac{P}{U}$ . El corrent de cada cel·la és el de la bateria dividit pel nombre de cel·les en paral·lel.

Pista 3

Pensa què passa amb les altres tres cel·les del grup quan una deixa de donar corrent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

U = 36\ \text{V}

;

12\ \text{Ah}

;

432\ \text{Wh}

;

r = 0{,}075\ \Omega

Resolució

Associació de cel·les. En sèrie se sumen tensions i resistències; en paral·lel se sumen capacitats (Ah) i les resistències fan paral·lel. «10s4p»: 10 grups en sèrie de 4 cel·les en paral·lel.
Tensió i capacitat. $U = 10\cdot 3{,}6 = 36\ \text{V}$ ; $C = 4\cdot 3{,}0 = 12\ \text{Ah}$ (les capacitats en sèrie no se sumen).
Energia. $E = 36\cdot 12 = 432\ \text{Wh}$ (no confonguis Ah amb Wh).
Resistència interna. Cada grup en paral·lel: $\tfrac{0{,}03}{4} = 0{,}0075\ \Omega$ ; 10 grups en sèrie: $0{,}075\ \Omega$ (no pas $40\cdot 0{,}03$ ).

Apartat b)

Resultat

I \approx 13{,}9\ \text{A}

;

\approx 3{,}5\ \text{A}

per cel·la;

V_{\text{borns}} \approx 35{,}0\ \text{V}

; pèrdues

\approx 14{,}5\ \text{W}

Resolució

Corrent de la bateria. $I = \tfrac{P}{U} = \tfrac{500}{36} = 13{,}9\ \text{A}$ .
Corrent per cel·la. $\tfrac{13{,}9}{4} = 3{,}5\ \text{A}$ , 1,16 vegades la capacitat en Ah: una descàrrega d'aproximadament 1C.
Tensió als borns. $V = 36 - 0{,}075\cdot 13{,}9 = 35{,}0\ \text{V}$ .
Pèrdues (efecte Joule). $P = 0{,}075\cdot 13{,}9^{2} = 14{,}5\ \text{W}$ , un 3 %, que escalfen la bateria.

Apartat c)

Resultat

Autonomia

\approx 28{,}8\ \text{km}

; a l'hivern o en pujada és menor perquè augmenten la resistència interna, el consum i les pèrdues.

Resolució

Autonomia. $\tfrac{432\ \text{Wh}}{15\ \text{Wh/km}} = 28{,}8\ \text{km}$ .
Hivern. La resistència interna de les cel·les augmenta i la capacitat disponible disminueix.
Pendents. El consum per km es dispara (s'ha de guanyar energia potencial) i, amb corrents més grans, augmenten les pèrdues, que van amb $I^{2}$ . A més, el sistema de control talla abans de buidar del tot les cel·les per protegir-les.

Apartat d)

Resultat

Sèrie: tensió; paral·lel: capacitat i corrent. Una cel·la oberta sobrecarrega les altres tres del grup; una en curtcircuit fa que les altres tres s'hi descarreguin (risc d'incendi).

Resolució

Per què sèrie i paral·lel. En sèrie s'obté la tensió que necessita el motor (amb més tensió, menys corrent per a la mateixa potència i menys pèrdues); en paral·lel, la capacitat i el corrent màxim.
Cel·la oberta. Les altres tres del grup han de donar tot el corrent ( $\tfrac{13{,}9}{3} \approx 4{,}6\ \text{A}$ cada una en lloc de 3,5 A): s'escalfen més, es descarreguen abans i aquest grup limita tota la bateria.
Cel·la en curtcircuit. Les altres tres del grup s'hi descarreguen a través seu amb un corrent enorme: escalfament i risc d'incendi.
Conclusió. Per això cada cel·la porta proteccions i la bateria té un sistema de gestió (BMS) que vigila cada grup.

Errors típics

Sumar les capacitats de les cel·les en sèrie.
Calcular la resistència interna total com 40·0,03 Ω.
Confondre la capacitat (Ah) amb l'energia (Wh).

Conceptes treballats: associació de generadors en sèrie i en paral·lel, capacitat i energia d'una bateria, resistència interna, potència i pèrdues per efecte Joule, seguretat de les bateries de liti.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una làmpada halògena de 12 V i 50 W il·lumina una vitrina d'exposició i s'alimenta amb un transformador de 12 V, la resistència interna del qual es pot menysprear. Amb l'òhmmetre, el filament fred (a 25 °C) mesura 0,30 Ω. En règim, la seva resistència es pot considerar constant.
a) Calcula la resistència del filament en règim, el corrent nominal i el corrent màxim en el moment d'encendre la làmpada. Quantes vegades és més gran que el nominal?
b) Per allargar la vida de la làmpada, es col·loca en sèrie un limitador d'encesa: un termistor NTC amb $R_{25}$ = 1,0 Ω a 25 °C. Calcula el corrent màxim d'encesa amb el limitador, comprova que no supera 3 vegades el nominal i troba el valor mínim de $R_{25}$ que ho garantiria.
c) Un cop la làmpada és en règim, el corrent escalfa el NTC i la seva resistència baixa a 0,12 Ω. Calcula la tensió i la potència a la làmpada (en % de la nominal) i la potència que dissipa el NTC. Compara-ho amb posar-hi una resistència fixa d'1,0 Ω en lloc del NTC.
d) El NTC segueix el model R(T) = $R_{25}$ ·exp[B·( $\tfrac{1}{T}$ − $\tfrac{1}{T_{25}}$ )], amb T en kelvin, $T_{25}$ = 298 K i B = 3000 K. Calcula'n la temperatura de treball. Què passa si es torna a encendre la làmpada un segon després d'haver-la apagat? Raona-ho.

Pista 1

La potència i la tensió nominals només donen la resistència del filament en règim, no la del primer instant: en fred, fes servir la dada mesurada amb l'òhmmetre.

Pista 2

El limitador i el filament estan en sèrie: les resistències se sumen i el corrent és el mateix. La potència que arriba a la làmpada és R del filament per $I^{2}$ , no la tensió de la font per I.

Pista 3

A l'apartat d), pren logaritmes neperians a banda i banda de l'expressió del NTC per aïllar $\tfrac{1}{T}$ , i recorda que la temperatura ha d'anar en kelvin.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

R_{\text{règim}} = 2{,}88\ \Omega

;

I_{n} \approx 4{,}17\ \text{A}

;

I_{\text{encesa}} = 40\ \text{A}

, 9,6 vegades el nominal.

Resolució

Règim. $R = \tfrac{U^{2}}{P} = \tfrac{12^{2}}{50} = 2{,}88\ \Omega$ i $I_{n} = \tfrac{P}{U} = \tfrac{50}{12} = 4{,}17\ \text{A}$ .
En fred. $\tfrac{U^{2}}{P}$ només dona la resistència en règim; en el primer instant cal la mesura de l'òhmmetre: $I_{\text{encesa}} = \tfrac{12}{0{,}30} = 40\ \text{A}$ .
Comparació. $\tfrac{40}{4{,}17} = 9{,}6$ vegades el nominal.

Apartat b)

Resultat

I_{\text{encesa}} \approx 9{,}23\ \text{A}

(≈ 2,2 vegades el nominal < 3: es compleix); cal

R_{25} \geq 0{,}66\ \Omega

Resolució

Sèrie. El limitador i el filament estan en sèrie: $R_{\text{total}} = 0{,}30 + 1{,}0 = 1{,}30\ \Omega$ i $I_{\text{encesa}} = \tfrac{12}{1{,}30} = 9{,}23\ \text{A}$ , unes 2,2 vegades el nominal.
Límit. $3\cdot 4{,}17 = 12{,}5\ \text{A}$ : com que 9,23 A < 12,5 A, es compleix.
Valor mínim. La resistència total ha de ser com a mínim $\tfrac{12}{12{,}5} = 0{,}96\ \Omega$ , i per tant $R_{25} \geq 0{,}96 - 0{,}30 = 0{,}66\ \Omega$ .

Apartat c)

Resultat

Amb el NTC:

I = 4{,}00\ \text{A}

V_{\text{làmpada}} = 11{,}52\ \text{V}

P_{\text{làmpada}} \approx 46{,}1\ \text{W}

(92 %),

P_{\text{NTC}} = 1{,}92\ \text{W}

. Amb 1,0 Ω fix:

P_{\text{làmpada}} \approx 27{,}5\ \text{W}

(55 %) i 9,6 W perduts.

Resolució

Règim amb el NTC. $R_{\text{total}} = 2{,}88 + 0{,}12 = 3{,}00\ \Omega$ i $I = \tfrac{12}{3{,}00} = 4{,}00\ \text{A}$ .
Làmpada i NTC. $V = 4{,}00\cdot 2{,}88 = 11{,}52\ \text{V}$ ; $P = 4{,}00^{2}\cdot 2{,}88 = 46{,}1\ \text{W}$ , un 92 % de la nominal (és $R\cdot I^{2}$ del filament, no $U\cdot I$ de la font). NTC: $4{,}00^{2}\cdot 0{,}12 = 1{,}92\ \text{W}$ ; li «roba» 0,48 V.
Resistència fixa d'1,0 Ω. $I = \tfrac{12}{3{,}88} = 3{,}09\ \text{A}$ ; làmpada: $3{,}09^{2}\cdot 2{,}88 = 27{,}5\ \text{W}$ (només un 55 %); resistència: $3{,}09^{2}\cdot 1{,}0 = 9{,}6\ \text{W}$ .
Comparació. Amb la resistència fixa la làmpada il·luminaria molt menys i es malbaratarien 9,6 W. El NTC és millor perquè la seva resistència és gran només en fred, quan fa falta.

Apartat d)

Resultat

T \approx 377{,}5\ \text{K} \approx 104\ ^{\circ}\text{C}

. Si es reencén al cap d'un segon, el NTC encara és calent (≈ 0,12 Ω) i el corrent d'encesa és ≈ 28,6 A (6,9 vegades el nominal): gairebé no protegeix.

Resolució

Model del NTC. Prenem logaritmes neperians: $\ln\tfrac{0{,}12}{1{,}0} = 3000\left(\tfrac{1}{T} - \tfrac{1}{298}\right)$ , amb T en kelvin (no en °C).
Càlcul. $\dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{298} + \dfrac{\ln 0{,}12}{3000} = 3{,}356\cdot10^{-3} - 0{,}707\cdot10^{-3} = 2{,}649\cdot10^{-3}\ \text{K}^{-1}$ d'on $T = 377{,}5\ \text{K} \approx 104\ ^{\circ}\text{C}$ . És la temperatura a què l'escalfa el seu propi corrent de 4 A.
Reencesa. Un segon després d'apagar, el NTC encara és calent (necessita desenes de segons per refredar-se) i la seva resistència continua propera a 0,12 Ω: $I = \tfrac{12}{0{,}30 + 0{,}12} = 28{,}6\ \text{A}$ , 6,9 vegades el nominal.
Conclusió. El limitador només protegeix quan és fred; per això convé deixar passar un temps abans de reencendre. Fixa't que és un NTC (la resistència baixa en escalfar-se), no un PTC.

Errors típics

Calcular la resistència en fred amb U²/P: aquesta fórmula només dona la resistència en règim.
Oblidar que el NTC queda en sèrie també en règim i que hi dissipa potència (i que la làmpada rep menys de 12 V).
Confondre un NTC amb un PTC: en un NTC la resistència baixa quan s'escalfa, i per això serveix per limitar l'encesa.
Introduir la temperatura en graus Celsius a l'exponencial del model: ha d'anar en kelvin.

Conceptes treballats: resistència equivalent en sèrie, llei d'Ohm, potència i efecte Joule, dependència de la resistència amb la temperatura, termistors NTC, corrent d'encesa, disseny de proteccions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Al llarg d'un túnel de 100 m hi ha una línia de 48 V en corrent continu que alimenta dos equips de ventilació: un consumeix 10 A i és a 40 m de l'inici (extrem A); l'altre consumeix 15 A i és a 70 m d'A. La línia té una resistència de 0,01 Ω per metre de recorregut (ja inclou l'anada i la tornada). Suposa que els equips consumeixen un corrent constant.
a) Si la línia només s'alimenta per A, calcula la tensió a cada equip i les pèrdues a la línia. Els equips necessiten com a mínim 42 V: funcionen?
b) S'instal·la una segona font de 48 V a l'altre extrem (B, a 100 m). Planteja les lleis de Kirchhoff i calcula el corrent que dona cada font.
c) Calcula les noves tensions als equips i les pèrdues. Compara-les amb l'apartat a).
d) Raona per què l'alimentació per tots dos extrems (o en anell) millora tant la instal·lació. Quin altre avantatge té respecte de la fiabilitat?

Línia de 48 V de 100 m en un túnel amb dos equips de ventilació que consumeixen 10 A a 40 m i 15 A a 70 m de l'extrem A, i una segona font de 48 V a l'extrem B

Pista 1

Trams: A–equip 1, 0,4 Ω; equip 1–equip 2, 0,3 Ω; equip 2–B, 0,3 Ω.

Pista 2

Si $I_{A}$ és el corrent que surt d'A, pel tram central passa $I_{A}$ − 10 i per l'últim, $I_{A}$ − 25. Recorrent la línia d'A a B, la suma de caigudes ha de ser zero (les dues fonts tenen la mateixa tensió).

Pista 3

Les pèrdues són la suma de R· $I^{2}$ de cada tram.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

U_{1} = 38\ \text{V}

;

U_{2} = 33{,}5\ \text{V}

; pèrdues

317{,}5\ \text{W}

. No funcionen (tots dos reben menys de 42 V).

Resolució

Trams. A–equip 1: $40\cdot 0{,}01 = 0{,}4\ \Omega$ ; equip 1–equip 2: $0{,}3\ \Omega$ ; la resistència per metre ja inclou anada i tornada.
Caigudes de tensió. Pel primer tram passen els dos corrents: $25\cdot 0{,}4 = 10\ \text{V}\Rightarrow U_{1} = 38\ \text{V}$ . Pel segon, 15 A: $15\cdot 0{,}3 = 4{,}5\ \text{V}\Rightarrow U_{2} = 33{,}5\ \text{V}$ .
Pèrdues. $25^{2}\cdot 0{,}4 + 15^{2}\cdot 0{,}3 = 250 + 67{,}5 = 317{,}5\ \text{W}$ .
Conclusió. Tots dos equips reben menys de 42 V: no funcionen.

Apartat b)

Resultat

I_{A} = 10{,}5\ \text{A}

;

I_{B} = 14{,}5\ \text{A}

Resolució

Plantejament. Si $I_{A}$ surt d'A, pel tram central passa $I_{A} - 10$ i per l'últim, $I_{A} - 25$ (és a dir, $25 - I_{A}$ surt de B).
Llei de Kirchhoff de les malles. Recorrent la línia d'A a B, la suma de caigudes ha de ser zero (les dues fonts tenen la mateixa tensió): $0{,}4\,I_{A} + 0{,}3\,(I_{A} - 10) + 0{,}3\,(I_{A} - 25) = 0 \;\Rightarrow\; I_{A} = 10{,}5\ \text{A}$
Font B. $I_{B} = 25 - 10{,}5 = 14{,}5\ \text{A}$ . Pel tram central passen 0,5 A d'A cap a l'equip 2.

Apartat c)

Resultat

U_{1} = 43{,}8\ \text{V}

;

U_{2} = 43{,}65\ \text{V}

(tots dos funcionen); pèrdues

\approx 107\ \text{W}

, un terç de les d'abans.

Resolució

Tensions. $U_{1} = 48 - 0{,}4\cdot 10{,}5 = 43{,}8\ \text{V}$ ; $U_{2} = 43{,}8 - 0{,}3\cdot 0{,}5 = 43{,}65\ \text{V}$ . Comprovació des de B: $48 - 0{,}3\cdot 14{,}5 = 43{,}65\ \text{V}$ .
Pèrdues. $10{,}5^{2}\cdot 0{,}4 + 0{,}5^{2}\cdot 0{,}3 + 14{,}5^{2}\cdot 0{,}3 = 44{,}1 + 0{,}1 + 63{,}1 = 107\ \text{W}$ .
Comparació. Ara tots dos equips superen els 42 V i les pèrdues són un terç de les de l'apartat a).

Apartat d)

Resultat

Cada equip s'alimenta de la font més propera: corrents més petits per trams més curts i pèrdues (∝ I²) molt menors. A més, hi ha redundància: si falla una font o un tram, l'altre extrem continua alimentant.

Resolució

Caigudes i pèrdues. Cada equip rep el corrent principalment de la font més propera: els corrents recorren trams més curts i són més petits, i com que les pèrdues van amb el quadrat del corrent, baixen molt. No és que cada font alimenti exactament un equip.
Fiabilitat. Si una font o un tram de cable falla, els equips encara es poden alimentar des de l'altre extrem (amb més caiguda, però sense quedar-se sense servei).
Conclusió. La redundància és clau en instal·lacions de seguretat com la ventilació d'un túnel.

Errors típics

Calcular les caigudes de tensió de cada tram amb el corrent d'un sol equip.
Pensar que amb dues fonts cada una alimenta exactament un equip.
Oblidar que la resistència per metre ja inclou anada i tornada (comptar-la dues vegades).

Conceptes treballats: lleis de Kirchhoff, caiguda de tensió en línies, pèrdues per efecte Joule, alimentació radial i en anell, fiabilitat d'instal·lacions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Un bullidor d'aigua de 230 V té dues resistències iguals de 1000 W cadascuna (a 230 V). Un commutador permet tres posicions: una sola resistència, les dues en sèrie o les dues en paral·lel.
a) Calcula la resistència de cada element i la potència i el corrent de cada posició. Ordena-les de menys a més potència.
b) Es volen escalfar 1,5 L d'aigua de 15 °C a 95 °C (c = 4180 J/(kg·K)). Si el rendiment és del 90 %, calcula el temps en cada posició.
c) El cable i l'endoll del bullidor estan dimensionats per a 10 A. Comprova si és suficient.
d) En la posició de paral·lel, una de les resistències es trenca (queda oberta). Què passa amb la potència i el temps d'escalfament? I si es trenca en la posició de sèrie? Raona per què en un mateix aparell el sistema es comporta de manera tan diferent.

Pista 1

R = $\tfrac{U^{2}}{P}$ . En sèrie, la resistència total és 2R; en paral·lel, $\tfrac{R}{2}$ .

Pista 2

Energia necessària: Q = m·c·ΔT. Temps = Q/(η·P).

Pista 3

En paral·lel cada resistència té la seva pròpia tensió; en sèrie comparteixen el corrent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

R = 52{,}9\ \Omega

. Sèrie: 500 W, 2,17 A; una sola: 1000 W, 4,35 A; paral·lel: 2000 W, 8,70 A (ordre de menys a més potència).

Resolució

Resistència de cada element. $R = \tfrac{U^{2}}{P} = \tfrac{230^{2}}{1000} = 52{,}9\ \Omega$ .
Sèrie (2R = 105,8 Ω). $P = \tfrac{230^{2}}{105{,}8} = 500\ \text{W}$ ; $I = \tfrac{230}{105{,}8} = 2{,}17\ \text{A}$ .
Una sola (52,9 Ω). $P = 1000\ \text{W}$ ; $I = 4{,}35\ \text{A}$ .
Paral·lel (R/2 = 26,45 Ω). $P = 2000\ \text{W}$ ; $I = 8{,}70\ \text{A}$ . Compte: en sèrie la potència no és la suma, sinó la meitat d'una sola.

Apartat b)

Resultat

Sèrie: ≈ 1115 s (18,6 min); una: ≈ 557 s (9,3 min); paral·lel: ≈ 279 s (4,6 min).

Resolució

Calor necessària. $Q = m\,c\,\Delta T = 1{,}5\cdot 4180\cdot 80 = 501\,600\ \text{J}$ (1,5 L d'aigua són 1,5 kg).
Rendiment. $t = \dfrac{Q}{\eta\cdot P}$ amb $\eta = 0{,}9$ .
Temps. Sèrie: $\tfrac{501\,600}{0{,}9\cdot 500} = 1115\ \text{s}$ (18,6 min); una: 557 s (9,3 min); paral·lel: 279 s (4,6 min).

Apartat c)

Resultat

El corrent màxim és 8,70 A < 10 A: és suficient, amb poc marge.

Resolució

Cas més exigent. La posició de paral·lel: $I = 8{,}70\ \text{A}$ .
Conclusió. 8,70 A < 10 A: és suficient, amb poc marge (per això els aparells de més de 2,3 kW no es poden connectar a endolls de 10 A).

Apartat d)

Resultat

En paral·lel, si se'n trenca una, passa a 1000 W i tarda el doble (≈ 9,3 min); en sèrie, el circuit queda obert i no escalfa gens.

Resolució

Paral·lel. Si una resistència s'obre, l'altra continua rebent 230 V: el bullidor passa a 1000 W i tarda el doble (9,3 min), però funciona.
Sèrie. Si una s'obre, el circuit queda interromput: no circula corrent i no escalfa gens.
Interpretació. En paral·lel els elements són independents (cadascun té la seva pròpia tensió); en sèrie depenen l'un de l'altre perquè comparteixen el mateix corrent. És el mateix motiu pel qual les instal·lacions dels habitatges es fan en paral·lel.

Errors típics

Pensar que en sèrie la potència és la suma (2000 W) i en paral·lel la meitat.
Fer servir l'energia útil sense dividir pel rendiment.
Oblidar que la massa d'1,5 L d'aigua és 1,5 kg.

Conceptes treballats: associació de resistències en sèrie i en paral·lel, potència elèctrica, efecte Joule i calor, rendiment, dimensionament de cables i endolls.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un condensador de 100 µF, inicialment descarregat, es carrega connectant-lo a una font de 100 V a través d'una resistència R.
a) Calcula l'energia emmagatzemada al condensador quan està carregat i l'energia que ha lliurat la font (la font lliura una càrrega Q a tensió constant: W = Q·E).
b) On ha anat la diferència? Demostra que aquesta energia no depèn del valor de R. (Pots comprovar-ho amb el corrent i(t) = (E/R)·e^−t/RC i l'energia dissipada ∫R· $i^{2}$ ·dt, o raonant que el resultat de l'apartat a) no conté R.)
c) Ara es carrega en dos esglaons: primer amb una font de 50 V fins a carregar-lo, i després amb la de 100 V. Calcula l'energia perduda en cada esglaó i la total. Generalitza per a N esglaons iguals.
d) Interpreta el resultat: per què una resistència més petita no redueix les pèrdues? Quina idea fan servir els convertidors electrònics per carregar condensadors i bateries amb poques pèrdues?

Pista 1

Energia del condensador: C· $\tfrac{E^{2}}{2}$ . Càrrega final: Q = C·E.

Pista 2

La resistència només decideix la rapidesa: si és petita, el corrent és més gran però dura menys temps.

Pista 3

En cada esglaó, la font lliura una càrrega C·ΔU a la seva tensió, i la diferència d'energia entre la font i el condensador es perd.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

E_{C} = 0{,}5\ \text{J}

;

W_{\text{font}} = 1\ \text{J}

Resolució

Energia del condensador. $E_{C} = \tfrac{1}{2}\,C\,E^{2} = 100\cdot10^{-6}\cdot\tfrac{100^{2}}{2} = 0{,}5\ \text{J}$ .
Energia de la font. Càrrega final $Q = C\,E = 100\cdot10^{-6}\cdot 100 = 0{,}01\ \text{C}$ , lliurada a tensió constant: $W = Q\,E = 0{,}01\cdot 100 = 1\ \text{J}$ .

Apartat b)

Resultat

La diferència,

0{,}5\ \text{J}

, es dissipa en forma de calor a la resistència, i val

\tfrac{1}{2}\,C\,E^{2}

sigui quina sigui R.

Resolució

Conservació de l'energia. $1 - 0{,}5 = 0{,}5\ \text{J}$ s'han dissipat per efecte Joule a la resistència.
Càlcul amb el corrent. Amb $i(t) = \tfrac{E}{R}\,e^{-t/RC}$ : $\int_{0}^{\infty} R\left(\dfrac{E}{R}\right)^{2} e^{-2t/RC}\,dt = \dfrac{E^{2}}{R}\cdot\dfrac{RC}{2} = \dfrac{C\,E^{2}}{2} = 0{,}5\ \text{J}$
Conclusió. La R s'ha simplificat: sigui quina sigui la resistència, es perd exactament la meitat de l'energia que dona la font. (També es veu perquè el resultat de l'apartat a) no conté R.)

Apartat c)

Resultat

Cada esglaó perd

0{,}125\ \text{J}

; total

0{,}25\ \text{J}

(la meitat). Amb N esglaons:

E_{\text{perduda}} = \dfrac{C\,E^{2}}{2N}

(per a N = 10, 0,05 J).

Resolució

1r esglaó (0 → 50 V, font de 50 V). La font lliura $C\cdot 50\cdot 50 = 0{,}25\ \text{J}$ i el condensador guarda $\tfrac{1}{2}C\cdot 50^{2} = 0{,}125\ \text{J}$ : pèrdua $0{,}125\ \text{J}$ .
2n esglaó (50 → 100 V, font de 100 V). La font lliura $C\cdot 50\cdot 100 = 0{,}5\ \text{J}$ ; l'energia del condensador passa de 0,125 a 0,5 J (+0,375 J): pèrdua $0{,}125\ \text{J}$ .
Total. $0{,}25\ \text{J}$ , la meitat que en un sol esglaó.
Generalització. En cada esglaó la font lliura $C\,\Delta U$ a la seva tensió i es perd $\tfrac{1}{2}C\,(\Delta U)^{2}$ , amb $\Delta U = \tfrac{E}{N}$ . Amb N esglaons: $N\cdot\tfrac{1}{2}C\left(\tfrac{E}{N}\right)^{2} = \dfrac{C\,E^{2}}{2N}$ ; per a N = 10, 0,05 J.

Apartat d)

Resultat

Una R petita fa el corrent més gran però més breu: les pèrdues no canvien. El que compta és la diferència de tensió font–condensador; els convertidors commutats transfereixen l'energia de mica en mica i perden molt poc.

Resolució

Paper de R. Una R petita fa el corrent més gran però més breu: les pèrdues $R\cdot I^{2}\cdot t$ queden iguals. La resistència només decideix la rapidesa.
Què determina la pèrdua. La diferència de tensió entre la font i el condensador mentre circula el corrent. Si es carrega amb una tensió que puja a poc a poc, sempre lleugerament per sobre de la del condensador, les pèrdues tendeixen a zero ( $N\to\infty$ ).
Convertidors electrònics. És el que fan els convertidors commutats i els carregadors de bateries: en lloc de «connectar de cop» una font a un condensador, transfereixen l'energia de mica en mica amb bobines i interruptors electrònics, amb rendiments superiors al 90 %.

Errors típics

Pensar que tota l'energia de la font queda al condensador.
Creure que amb una resistència més petita (o zero) les pèrdues desapareixen.
Calcular l'energia del condensador com C· $E^{2}$ (sense el $\tfrac{1}{2}$ ) o com Q·E.

Conceptes treballats: condensadors, càrrega RC, energia emmagatzemada, conservació de l'energia, efecte Joule, convertidors electrònics de potència.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què vol dir que un corrent surti negatiu en resoldre un circuit amb Kirchhoff?

Que el sentit real del corrent és el contrari del que havies suposat. El valor és correcte; només cal girar-ne el sentit.

Què diu el teorema de Thévenin?

Que qualsevol circuit lineal, vist des de dos borns, equival a una font de tensió en sèrie amb una resistència, cosa que simplifica molt el càlcul.

Tornar a Tecnologia i Enginyeria