Exercicis del projecte científic — Biologia, Geologia i Ciències Ambientals 1r Batxillerat

Q: Una teoria científica és només una suposició?

No. En ciència, una teoria és una explicació àmplia i molt contrastada amb proves, com la teoria cel·lular o l'evolució. No és una simple opinió.

Q: Per què l'error relatiu no té unitats?

Perquè és un quocient entre dues magnituds amb les mateixes unitats, l'error absolut i el valor mesurat, i les unitats s'anul·len.

Aquest tema t'ensenya a pensar i treballar com un científic. Els exercicis et fan formular preguntes investigables i hipòtesis ben escrites, dissenyar un experiment amb les variables i el grup de control, i tractar mesures: incertesa, error absolut i relatiu i xifres significatives, com quan es pesa diverses vegades una mostra de sòl. També interpretes dades, distingint correlació de causalitat en observacions de camp, i reflexiones sobre què és una teoria científica i sobre el plagi. Les solucions expliquen el criteri de cada resposta. Errors típics: escriure la hipòtesi com una pregunta o un desig i dir que un experiment ha demostrat una hipòtesi.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Digues què és, en ciència, una teoria, i per què no vol dir el mateix que en llenguatge corrent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

En ciència, una teoria és una explicació àmplia i contrastada moltes vegades que lliga molts fets observats; en llenguatge corrent «teoria» vol dir una sospita sense comprovar, que en ciència seria una hipòtesi.

Resolució

Què és una teoria científica. És una explicació general, posada a prova moltes vegades, que relaciona i explica un gran nombre de fets observats. En són exemples la teoria cel·lular o la tectònica de plaques.
Què vol dir en llenguatge corrent. Al carrer, «teoria» s'usa com a sinònim de sospita o d'idea sense comprovar. En ciència, una idea provisional pendent de comprovar és una hipòtesi, no una teoria.
Conclusió. Per tant, dir «només és una teoria» per restar valor a una explicació científica és fer servir la paraula al revés: en ciència, arribar a ser teoria és el grau més alt de suport que pot tenir una explicació.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Digues què és un placebo i per què s'utilitza.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Un placebo és un tractament fals, idèntic per fora al de veritat però sense principi actiu; s'usa al grup control perquè l'única diferència entre els grups sigui el principi actiu.

Resolució

Què és. És un tractament fals (una pastilla, una injecció…) idèntic per fora al de veritat però sense el principi actiu, que rep el grup de control.
Per què cal. El simple fet de rebre un tractament ja pot produir una millora (efecte placebo), per expectatives o per l'atenció rebuda.
Conclusió. Amb placebo, els dos grups viuen la mateixa experiència, i l'única diferència que queda entre ells és el principi actiu. Així, si el grup tractat millora més, es pot atribuir al principi actiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Per què l'error relatiu no té unitats i l'absolut sí?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

L'error absolut és una diferència de mesures de la mateixa magnitud i en conserva les unitats; l'error relatiu és un quocient de dues quantitats amb les mateixes unitats, que es cancel·len i deixen un nombre pur (sovint en %).

Resolució

Error absolut. És la diferència entre dues mesures (o entre la mesura i el valor de referència) de la mateixa magnitud; per tant conserva les seves unitats (g, mL, m…).
Error relatiu. És el quocient entre l'error absolut i el valor mitjà: $E_r = \dfrac{\Delta x}{\bar{x}}$ Numerador i denominador tenen les mateixes unitats.
Conclusió. En dividir-los, les unitats es cancel·len i queda un nombre pur, que sol expressar-se en tant per cent. Per això l'error relatiu permet comparar la qualitat de mesures de magnituds diferents.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Un grup d'alumnes vol saber si la salinitat de l'aigua afecta la germinació de llavors d'enciam. Preparen cinc safates amb 20 llavors cadascuna i les reguen amb aigua que conté 0, 2, 4, 6 i 8 g de sal per litre; al cap de set dies compten les llavors germinades. Identifica la variable independent, la variable dependent, dues variables que cal mantenir constants i quina safata actua com a control.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Variable independent: la concentració de sal (0–8 g/L); dependent: el nombre (o percentatge) de llavors germinades als 7 dies; constants: p. ex. el nombre i la varietat de llavors i el volum d'aigua (també temperatura, llum, substrat, temps); control: la safata de 0 g/L.

Resolució

Variable independent. És la que l'experimentador canvia a propòsit: la concentració de sal de l'aigua de reg (0, 2, 4, 6 i 8 g/L).
Variable dependent. És la que es mesura per veure l'efecte: el nombre de llavors germinades al cap de set dies (o el percentatge de germinació). Fixa't que la variable és «el nombre de llavors germinades», no un resultat concret com «12 llavors»: confondre-les és un error típic.
Variables controlades. Han de ser iguals a totes les safates: el nombre i la varietat de llavors, el volum d'aigua de reg, la temperatura, la llum, el tipus de substrat i el temps. N'hi ha prou d'esmentar-ne dues.
Control. La safata regada amb 0 g/L (aigua sense sal) és el control: serveix de referència per comparar l'efecte de la sal a les altres safates.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Classifica cadascuna d'aquestes frases d'un quadern de laboratori com a observació, hipòtesi, predicció o conclusió:
1. «El pa que hem deixat a la cuina ha pujat més que el que hem deixat a la nevera.»
2. «Potser els llevats produeixen més CO₂ quan la temperatura és més alta.»
3. «Si és així, una massa a 30 °C pujarà més que una a 5 °C en el mateix temps.»
4. «Les dades mostren que entre 5 i 30 °C la producció de gas augmenta amb la temperatura, tal com havíem suposat.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

1: observació; 2: hipòtesi; 3: predicció; 4: conclusió.

Resolució

Frase 1 → observació. És un fet constatat directament (el pa de la cuina ha pujat més), sense cap explicació.
Frase 2 → hipòtesi. És una explicació provisional i comprovable del fet observat («potser els llevats produeixen més CO₂ a més temperatura»).
Frase 3 → predicció. És la conseqüència concreta i mesurable que ha de passar si la hipòtesi és certa; té la forma «si… aleshores…».
Frase 4 → conclusió. És la interpretació de les dades obtingudes, que en aquest cas confirmen la hipòtesi dins del rang de temperatures estudiat (5–30 °C).
Recorda. Una hipòtesi no és una endevinalla: ha de poder-se posar a prova amb un experiment.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Per calibrar dues balances es pesa tres vegades una massa patró de 10,50 g. La balança A dona 10,02 g, 10,01 g i 10,02 g; la balança B dona 10,4 g, 10,6 g i 10,5 g. Raona quina balança és més precisa, quina és més exacta i quin tipus d'error afecta cadascuna.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

La balança A és més precisa però té un error sistemàtic (mitjana 10,02 g, 0,48 g per sota); la B és més exacta (mitjana 10,5 g) i només té error aleatori.

Resolució

Dades. Valor real: 10,50 g. A: 10,02; 10,01; 10,02 g. B: 10,4; 10,6; 10,5 g. La precisió és com d'agrupades estan les mesures; l'exactitud, com de prop queda la mitjana del valor real.
Precisió. Les mesures d'A es diferencien només en 0,01 g, mentre que les de B es dispersen 0,2 g: A és més precisa.
Exactitud. $\bar{m}_A = \dfrac{10{,}02 + 10{,}01 + 10{,}02}{3} = 10{,}02\ \text{g},\qquad \bar{m}_B = \dfrac{10{,}4 + 10{,}6 + 10{,}5}{3} = 10{,}5\ \text{g}$ La mitjana d'A queda 0,48 g per sota del valor real; la de B coincideix amb el patró: B és més exacta.
Tipus d'error. A té un error sistemàtic: sempre es desvia en el mateix sentit, probablement per un mal calibratge. B només mostra error aleatori: les mesures oscil·len al voltant del valor real.
Conclusió. Un error típic és creure que una balança que sempre dona el mateix valor és «bona»: ser precís no vol dir ser exacte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Indica quantes xifres significatives té cada mesura: 0,0520 g; 3,00 m; 4,5· $10^{3}$ cèl·lules/mL; 0,007 L; 100,0 mL. Després arrodoneix 2,34567 g a tres xifres significatives i 0,04051 m a dues.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

0,0520 g: 3; 3,00 m: 3; 4,5·10³ cèl·lules/mL: 2; 0,007 L: 1; 100,0 mL: 4. Arrodoniments: 2,35 g i 0,041 m.

Resolució

Regles. Els zeros de l'esquerra només situen la coma i no compten; els zeros finals després de la coma sí que compten, perquè indiquen la precisió; en notació científica, compten totes les xifres del coeficient.
Recompte. 0,0520 g → 3 xifres (5, 2 i el zero final). 3,00 m → 3 xifres. 4,5·10³ cèl·lules/mL → 2 xifres. 0,007 L → 1 xifra. 100,0 mL → 4 xifres.
Arrodoniment de 2,34567 g. Ens quedem amb 2,34 i mirem la xifra següent, que és 5 (seguida de 67): s'arrodoneix cap amunt i queda 2,35 g.
Arrodoniment de 0,04051 m. Les dues primeres xifres significatives són 4 i 0; la següent és 5, de manera que s'arrodoneix cap amunt: 0,041 m.
Compte. Un error típic és escriure 2,350 g: aquest zero suggereix una precisió de quatre xifres que no tenim.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Una hipòtesi científica ha de ser falsable, és a dir, ha d'existir alguna observació o experiment que la podria desmentir. Raona quines d'aquestes afirmacions són hipòtesis científiques i quines no: a) «Les plantes regades amb aigua de pluja creixen més que les regades amb aigua de l'aixeta»; b) «Hi ha éssers invisibles que no es poden detectar de cap manera i que fan créixer les plantes»; c) «Les roses són més boniques que les margarides»; d) «El pH del sòl influeix en el color de les flors de les hortènsies».

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

És una hipòtesi científica: es pot posar a prova i podria resultar falsa.

Resolució

Criteri. Una hipòtesi és científica si existeix algun experiment o observació que la podria desmentir (falsabilitat).
Aplicació. Es pot comprovar comparant el creixement de dos grups de plantes regades amb els dos tipus d'aigua; el resultat podria contradir-la. Per tant, és falsable.

Apartat b)

Resultat

No és científica: cap observació no la pot contradir.

Resolució

Aplicació. Si els éssers no es poden detectar de cap manera, no hi ha cap observació possible que contradigui l'afirmació.
Conclusió. No és falsable i, per tant, no és una hipòtesi científica.

Apartat c)

Resultat

No és científica: és un judici de valor subjectiu.

Resolució

Aplicació. «Bonic» no és una propietat mesurable, sinó una valoració personal.
Conclusió. No es pot posar a prova amb un experiment: no és una qüestió científica.

Apartat d)

Resultat

És una hipòtesi científica: es pot comprovar experimentalment.

Resolució

Aplicació. Es poden cultivar hortènsies en sòls de pH diferent i comparar el color de les flors; la predicció es pot complir o no.
Idea clau. Ser científica no vol dir ser certa, sinó poder-se posar a prova.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Per a un treball sobre la contaminació per nitrats de les aigües subterrànies disposes d'aquestes fonts: un article en una revista científica amb revisió per parells; un llibre de text de batxillerat; un vídeo d'un creador de contingut sense formació científica; un informe amb dades de l'agència de l'aigua d'una administració pública; un article d'enciclopèdia en línia editable; una entrada de blog d'una empresa que ven filtres d'aigua. Classifica-les en fonts primàries i secundàries, ordena-les de més a menys fiables i justifica la posició de la primera i de l'última.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

Primàries: l'article revisat per parells i l'informe de l'agència de l'aigua; la resta són secundàries. Ordre: article > informe de l'administració > llibre de text > enciclopèdia editable > blog de l'empresa > vídeo.

Resolució

Fonts primàries. Presenten dades originals: l'article científic revisat per parells i l'informe amb dades de l'agència de l'aigua.
Fonts secundàries. Resumeixen o interpreten informació d'altres: el llibre de text, l'enciclopèdia en línia, el blog de l'empresa i el vídeo.
Ordre de fiabilitat. Aproximadament: article revisat per parells > informe de l'administració > llibre de text > enciclopèdia editable > blog de l'empresa > vídeo d'un creador sense formació científica.
Per què l'article és el primer. Altres experts n'han revisat el mètode i les dades abans de publicar-lo, i s'hi pot comprovar com s'han obtingut.
Per què el vídeo és l'últim. No cita fonts ni té cap revisió. El blog, a més, té un conflicte d'interessos (vol vendre filtres): això no vol dir que menteixi, però obliga a contrastar-lo.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Mesures el volum d'una dissolució amb una proveta graduada de 2 en 2 mL i el nivell del líquid queda entre les marques de 46 i 48 mL, més a prop de la de 46. Digues quina és la sensibilitat de la proveta, com has d'expressar el resultat amb la seva incertesa i raona si seria correcte anotar «47,35 mL».

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Sensibilitat: 2 mL; resultat: V = (46 ± 1) mL. «47,35 mL» és incorrecte: dona centèsimes quan la proveta només permet distingir unitats.

Resolució

Sensibilitat. És la divisió més petita de l'escala: 2 mL.
Incertesa. La incertesa d'una lectura es pren com la meitat de la divisió més petita: ±1 mL.
Resultat. El nivell és entre 46 i 48 mL, més a prop de 46: s'anota V = (46 ± 1) mL. El que no té sentit és afegir-hi decimals.
Per què «47,35 mL» és incorrecte. Dona centèsimes de mil·lilitre quan l'instrument només permet distingir unitats: les xifres de més són inventades.
Conclusió. Si cal més precisió, s'ha de canviar d'instrument (una pipeta o una bureta graduada en 0,1 mL), no pas afegir decimals.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

En un aflorament, una capa de roca amb fòssils marins apareix a 800 m d'altitud. Escriu una hipòtesi que ho expliqui i la predicció que se'n deriva.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Hipòtesi: la capa es va formar al fons del mar i després va ser elevada pels moviments de l'escorça. Predicció: si és així, la roca serà sedimentària marina (calcària, marga) i les capes properes també tindran fòssils marins.

Resolució

Observació. Hi ha fòssils d'organismes marins en una roca que avui és a 800 m d'altitud, lluny del mar.
Hipòtesi. Aquesta capa es va formar al fons del mar, on es van enterrar els organismes, i posteriorment va ser elevada pels moviments de l'escorça.
Predicció. Si això és cert, llavors la roca de la capa serà de tipus sedimentari marí (calcària, marga) i les capes properes contindran també fòssils d'organismes marins, no continentals.
Criteri. Es considera correcta qualsevol hipòtesi alternativa que sigui contrastable i descartable i que porti una predicció que es pugui comprovar mirant la roca o els fòssils. El que no val és una explicació que encaixi amb qualsevol observació.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Es pesa quatre vegades una mostra de sòl amb una balança de sensibilitat 0,01 g i s'obté 25,42 g, 25,44 g, 25,41 g i 25,45 g. Calcula el valor mitjà, dona el resultat amb la seva incertesa i digues l'error relatiu en tant per cent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\bar{m} = 25{,}43\ \text{g}

;

m = (25{,}43 \pm 0{,}02)\ \text{g}

;

E_r \approx 0{,}08\ \%

Resolució

Dades. Quatre mesures: 25,42; 25,44; 25,41 i 25,45 g, amb una balança de sensibilitat 0,01 g.
Valor mitjà. $\bar{m} = \dfrac{25{,}42 + 25{,}44 + 25{,}41 + 25{,}45}{4} = \dfrac{101{,}72}{4} = 25{,}43\ \text{g}$
Incertesa. Errors absoluts de cada mesura respecte de la mitjana: 0,01; 0,01; 0,02 i 0,02 g. El més gran, 0,02 g, és més gran que la sensibilitat i es pren com a incertesa.
Resultat. $m = (25{,}43 \pm 0{,}02)\ \text{g}$ . El valor i la incertesa estan arrodonits al mateix lloc decimal, i les centèsimes són coherents amb la sensibilitat de la balança.
Error relatiu. $E_r = \dfrac{0{,}02}{25{,}43} = 0{,}00079 \;\Rightarrow\; 0{,}079\ \% \approx 0{,}08\ \%$

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En un núvol de punts d'altitud contra nombre d'espècies, amb dades preses entre 200 m i 1.800 m, la recta de regressió baixa de manera constant. Un company l'allarga fins als 3.000 m i conclou que allà no hi haurà cap espècie. Digues per què no és vàlid.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

No és vàlid perquè és una extrapolació: la recta només resumeix la tendència dins del rang mesurat (200–1800 m), i fora d'aquest rang la relació pot canviar de forma.

Resolució

Què ha fet el company. Ha allargat la recta fins als 3000 m, on no s'ha mesurat res. Això és extrapolar.
Per què no val. Que la relació sigui aproximadament recta entre 200 i 1800 m no obliga a res fora d'aquest tram: pot ser més suau, més brusca o canviar de forma.
Raó biològica. A alta muntanya hi ha comunitats vegetals i animals adaptades, i el nombre d'espècies no arriba a zero pel simple fet que la recta hi arribi.
Conclusió. La conclusió correcta és només que, dins del rang mesurat, el nombre d'espècies disminueix en augmentar l'altitud.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

S'observa que els boscos amb més densitat de sotabosc són els que pateixen incendis més grans. Dona les tres explicacions possibles d'aquesta correlació i digues què caldria per triar-ne una.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Pot ser que el sotabosc causi incendis més grans, que els incendis grans causin sotabosc dens, o que una tercera variable (abandonament forestal, clima) causi totes dues coses; per triar cal un estudi comparatiu controlat, no només observar la correlació.

Resolució

Primera explicació (A → B). El sotabosc dens és combustible i fa que el foc s'estengui més: la densitat causa la mida de l'incendi.
Segona explicació (B → A). El sentit invers: els incendis grans deixen condicions on rebrota un sotabosc dens, de manera que la mida de l'incendi causa la densitat.
Tercera explicació (C → A i B). Una variable amagada que mou totes dues, com l'abandonament de la gestió forestal o el clima de la zona, que fa créixer el sotabosc i alhora afavoreix els incendis.
Com triar-ne una. Caldria comparar zones equivalents en què s'hagi actuat sobre el sotabosc (desbrossant-lo) i zones on no, assignades de la manera més aleatòria possible, i seguir-les durant el mateix període.
Conclusió. Les dades d'observació soles no distingeixen les tres explicacions: correlació no vol dir causalitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Per estudiar l'efecte de la temperatura sobre l'activitat dels llevats, es prepara una suspensió de llevat amb sucre i es compten les bombolles de CO₂ que surten per minut, amb tres rèpliques a cada temperatura:
10 °C: 2, 3 i 1; 20 °C: 6, 5 i 7; 30 °C: 12, 11 i 13; 40 °C: 15, 14 i 16; 50 °C: 5, 4 i 6; 60 °C: 0, 0 i 0.
Calcula la mitjana de cada temperatura, descriu la tendència, explica-la i indica quin tipus de gràfic faries i què posaries a cada eix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Mitjanes (bombolles/min): 10 °C → 2; 20 °C → 6; 30 °C → 12; 40 °C → 15; 50 °C → 5; 60 °C → 0. L'activitat augmenta fins a un màxim cap als 40 °C i després cau perquè els enzims es desnaturalitzen; gràfic de línies amb T a l'eix X i bombolles/min a l'eix Y.

Resolució

Mitjanes. Per a cada temperatura, $\bar{x} = \tfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ : 10 °C → (2 + 3 + 1)/3 = 2; 20 °C → 6; 30 °C → 12; 40 °C → 15; 50 °C → 5; 60 °C → 0 bombolles/min.
Tendència. L'activitat augmenta amb la temperatura fins a un màxim al voltant de 40 °C, i després cau bruscament fins a desaparèixer a 60 °C.
Explicació. La fermentació la fan enzims. En escalfar, les molècules es mouen més de pressa i la reacció s'accelera; però per sobre de l'òptim els enzims es desnaturalitzen (perden la forma) i l'activitat s'atura.
Gràfic. Un gràfic de línies (o de punts units) amb la temperatura (variable independent, en °C) a l'eix horitzontal i la mitjana de bombolles per minut (variable dependent) a l'eix vertical, amb les unitats i, si pot ser, el rang de cada rèplica.
Limitació. Recorda que comptar bombolles és una mesura aproximada, perquè no totes tenen la mateixa mida; seria millor mesurar el volum de gas recollit.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Per estimar quantes plantes d'orquídia hi ha en un prat de 2 ha, un grup col·loca a l'atzar 10 quadrats d'1 $\text{m}^{2}$ i compta les plantes de cadascun: 3, 5, 2, 4, 6, 3, 4, 5, 2 i 6. Calcula la densitat mitjana i estima el nombre total de plantes del prat, explica per què els quadrats s'han de situar a l'atzar i comenta quina limitació té l'estimació.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

Densitat mitjana: 4 plantes/m²; estimació: unes 80 000 plantes al prat. Els quadrats van a l'atzar perquè la mostra sigui representativa; la mostra és petita i molt variable.

Resolució

Densitat mitjana. $\bar{d} = \dfrac{3 + 5 + 2 + 4 + 6 + 3 + 4 + 5 + 2 + 6}{10} = \dfrac{40}{10} = 4\ \text{plantes/m}^{2}$
Estimació total. Superfície: $2\ \text{ha} = 2\cdot10\,000\ \text{m}^{2} = 20\,000\ \text{m}^{2}$ . $N \approx 4\ \text{plantes/m}^{2}\cdot 20\,000\ \text{m}^{2} = 80\,000\ \text{plantes}$
Per què a l'atzar. Els quadrats s'han de col·locar a l'atzar (per exemple amb coordenades generades aleatòriament) perquè la mostra sigui representativa; si es triessin a ull, es tendiria a posar-los on hi ha més plantes i l'estimació quedaria esbiaixada.
Limitació. La mostra és petita (10 m² de 20 000) i els recomptes varien molt (de 2 a 6 plantes); si les plantes es distribueixen en clapes, el resultat pot allunyar-se força del valor real. Augmentar el nombre de quadrats reduiria la incertesa.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Vols comprovar si un adob líquid augmenta el creixement de plantes de mongetera. Dissenya l'experiment indicant la hipòtesi, els grups que formaries, el nombre de plantes de cada grup, com mesuraries el creixement, quines variables mantindries constants i quin resultat confirmaria la hipòtesi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Hipòtesi: les mongeteres amb adob creixen més; grup experimental (aigua + adob) i grup control (només aigua), almenys 10 plantes cadascun; es mesura alçada, fulles i biomassa seca amb totes les altres condicions iguals. Es confirma si el grup amb adob creix clarament més que el control.

Resolució

Hipòtesi. Les plantes de mongetera regades amb adob líquid creixen més que les regades només amb aigua.
Grups. Un grup experimental (aigua amb la dosi d'adob recomanada) i un grup control (la mateixa quantitat d'aigua sense adob). Si es vol afinar, es poden afegir grups amb dosis diferents.
Rèpliques. Almenys 10 plantes per grup, totes de la mateixa varietat i edat, perquè una planta que creixi malament per atzar no distorsioni el resultat.
Mesura. Alçada de la tija (en cm) i nombre de fulles cada tres dies durant un mes, i al final la biomassa seca; es calcula la mitjana de cada grup.
Variables controlades. Tipus i volum de substrat, volum d'aigua, llum, temperatura, mida del test i moment de la mesura.
Resultat que confirmaria la hipòtesi. Que la mitjana d'alçada i de biomassa del grup amb adob sigui clarament superior a la del control, amb una diferència més gran que la variació entre plantes del mateix grup.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un alumne mesura l'alçada d'un arbre amb un clinòmetre i obté 15,0 m amb un error absolut de 0,3 m; una companya mesura la longitud d'una fulla amb un regle i obté 6,0 cm amb un error absolut de 0,3 cm. Calcula l'error relatiu de cada mesura i raona quina de les dues és de més qualitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

Arbre:

E_r = 2\ \%

; fulla:

E_r = 5\ \%

. La mesura de l'arbre és de més qualitat.

Resolució

Definició. L'error relatiu és l'error absolut dividit pel valor mesurat: $E_r = \tfrac{\Delta x}{x}$ .
Arbre. $E_r = \dfrac{0{,}3\ \text{m}}{15{,}0\ \text{m}} = 0{,}02 \;\Rightarrow\; 2\ \%$
Fulla. $E_r = \dfrac{0{,}3\ \text{cm}}{6{,}0\ \text{cm}} = 0{,}05 \;\Rightarrow\; 5\ \%$
Comparació. La mesura de l'arbre és de més qualitat: tot i que el seu error absolut és 100 vegades més gran (30 cm davant de 3 mm), representa una part més petita del valor mesurat.
Conclusió. Per comparar mesures de magnituds diferents cal mirar l'error relatiu, no l'absolut.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Una alumna ha representat els resultats d'un experiment sobre l'efecte de la concentració d'enzim en la velocitat d'una reacció. A l'eix horitzontal hi ha posat la velocitat de reacció i a l'eix vertical la concentració d'enzim, sense unitats en cap eix; les marques de l'eix vertical són 0, 1, 2, 5 i 10 separades per la mateixa distància, i ha unit els punts amb una línia que arriba fins a l'origen encara que no hi té cap mesura. Detecta els errors i explica com s'hauria de fer el gràfic.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

Errors: eixos intercanviats, sense magnituds ni unitats, escala no uniforme i línia extrapolada fins a l'origen. Cal posar la concentració d'enzim a l'eix X i la velocitat a l'eix Y, amb unitats, escala proporcional i la línia només dins del rang mesurat.

Resolució

Error 1: eixos intercanviats. La variable independent (concentració d'enzim) va a l'eix horitzontal i la dependent (velocitat de reacció) al vertical.
Error 2: sense magnituds ni unitats. Cada eix ha de dir què representa i en quines unitats (per exemple, concentració en mg/mL i velocitat en mL de producte per minut).
Error 3: escala no uniforme. Posar 0, 1, 2, 5 i 10 a distàncies iguals deforma la forma de la corba; les divisions han de ser proporcionals als valors.
Error 4: extrapolació a l'origen. Prolongar la línia fins a l'origen sense cap dada és una extrapolació no justificada; la línia només ha de cobrir el rang mesurat.
Com s'hauria de fer. A més de corregir tot això, cal posar un títol i, si hi ha rèpliques, representar la mitjana de cada concentració.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Indica si cada tret és propi del coneixement científic o de la pseudociència i justifica-ho breument: a) les afirmacions es formulen de manera que cap resultat no les pugui desmentir; b) els resultats es publiquen amb el mètode detallat perquè altres els puguin repetir; c) es basa en testimonis personals i casos aïllats; d) les idees es modifiquen o s'abandonen quan apareixen noves evidències; e) recorre a l'autoritat de qui ho diu més que a les proves; f) usa vocabulari que sona científic sense definir-lo.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

Pseudociència: una afirmació que cap resultat no pot desmentir no és falsable.

Resolució

Criteri. La ciència exigeix que les afirmacions es puguin posar a prova i, si cal, refutar.
Conclusió. Si cap resultat no les pot desmentir, no són falsables i, per tant, no són científiques.

Apartat b)

Resultat

Ciència: publicar el mètode detallat permet repetir i comprovar els resultats.

Resolució

Criteri. La reproductibilitat i la transparència del mètode són la base del control mutu entre investigadors.
Conclusió. Si altres poden repetir l'experiment, els errors i els fraus es poden detectar: és un tret del coneixement científic.

Apartat c)

Resultat

Pseudociència: els testimonis i casos aïllats no controlen ni les altres variables ni l'atzar.

Resolució

Criteri. Una anècdota no permet saber si l'efecte es deu a la causa proposada, a una altra variable o a la casualitat.
Conclusió. Calen mostres grans i grups de comparació; basar-se en testimonis és propi de la pseudociència.

Apartat d)

Resultat

Ciència: el coneixement científic és provisional i es corregeix amb les evidències.

Resolució

Criteri. En ciència, les idees se sotmeten contínuament a prova.
Conclusió. Modificar-les o abandonar-les davant de noves evidències és el funcionament normal de la ciència.

Apartat e)

Resultat

Pseudociència: en ciència el pes el tenen les proves, no el prestigi de qui parla.

Resolució

Criteri. Una afirmació científica s'accepta per les evidències que la sostenen.
Conclusió. Recórrer a l'autoritat en lloc de les proves (fal·làcia d'autoritat) és un tret pseudocientífic.

Apartat f)

Resultat

Pseudociència: el vocabulari d'aparença científica sense definir dona credibilitat sense contingut comprovable.

Resolució

Criteri. En ciència els termes es defineixen amb precisió perquè les afirmacions es puguin comprovar.
Conclusió. Expressions com «energia quàntica» o «freqüències vibracionals» usades sense definir serveixen per semblar científic sense ser-ho.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un informe científic té aquestes seccions: resum, introducció, material i mètodes, resultats, discussió, conclusions i bibliografia. Assigna cada fragment a la secció on hauria d'anar:
1. «Les llavors es van posar en plaques de Petri amb paper de filtre humit a 22 °C durant 7 dies.»
2. «El percentatge de germinació va ser del 85 % en el control i del 40 % amb 8 g/L de sal (taula 1).»
3. «La salinitat redueix la germinació de l'enciam en les condicions assajades.»
4. «La reducció observada coincideix amb estudis anteriors i podria explicar-se per la dificultat de la llavor per absorbir aigua quan el medi és salat.»
5. «La salinització dels sòls de regadiu és un problema creixent; en aquest treball ens plantegem si…»
6. «García, M. (2019). Efecte de la salinitat en la germinació. Revista de Biologia Vegetal, 12, 45-52.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

1: material i mètodes; 2: resultats; 3: conclusions; 4: discussió; 5: introducció; 6: bibliografia.

Resolució

Fragment 1 → material i mètodes. Descriu com s'ha fet l'experiment (plaques, temperatura, durada) amb prou detall perquè es pugui repetir.
Fragment 2 → resultats. Presenta les dades obtingudes, sense interpretar-les, sovint amb taules i gràfics.
Fragment 3 → conclusions. És la resposta breu a la pregunta inicial, limitada a les condicions estudiades.
Fragment 4 → discussió. Interpreta els resultats, els compara amb altres estudis i en proposa explicacions.
Fragment 5 → introducció. Planteja el context, el problema i l'objectiu o la hipòtesi.
Fragment 6 → bibliografia. És la referència completa d'una font consultada. Compte amb un error típic: barrejar resultats i discussió, és a dir, explicar per què passa una cosa abans d'haver mostrat les dades.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Quina diferència hi ha entre augmentar el nombre de rèpliques i augmentar el nombre de variables controlades? Contra quin problema protegeix cadascuna?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

Augmentar les rèpliques protegeix contra l'atzar (error aleatori); augmentar les variables controlades protegeix contra el biaix (que una altra causa expliqui la diferència). Una cosa no substitueix l'altra.

Resolució

Rèpliques. Repetir les mesures o tenir més individus per grup fa que un resultat rar pesi menys: el valor que se n'obté és més fiable i menys afectat per l'atzar.
Variables controlades. Mantenir iguals les altres condicions evita que una altra cosa, diferent de la variable estudiada, expliqui la diferència entre grups: protegeix contra el biaix (variables de confusió).
No es cobreixen l'una a l'altra. Un experiment amb 500 individus però amb una variable confosa dona un resultat molt precís i igualment inservible.
I a l'inrevés. Un experiment ben controlat amb un sol individu dona un resultat net però que pot ser casualitat. Per tant, cal tenir les dues coses.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Un treball copia dos paràgrafs d'una pàgina web, en canvia algunes paraules i no cita la font, però afegeix la pàgina a la bibliografia final. Explica si això és plagi i per què.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

Sí que és plagi: canviar algunes paraules no fa propi un text aliè, i la bibliografia final no indica quina part concreta ve de la font; cal citar-la en aquell punt del text.

Resolució

Canviar paraules no n'hi ha prou. Canviar algunes paraules no converteix un text d'altri en text propi: el que s'està fent servir és la redacció i les idees d'una altra persona.
La bibliografia no ho resol. La bibliografia diu què s'ha consultat, no quina frase concreta ve d'on.
Com fer-ho bé. O bé es cita textualment, marcant el text com a citació (entre cometes) i indicant-ne la procedència exacta; o bé s'escriu la idea amb paraules pròpies i s'atribueix igualment a la font en aquell punt del text.
Prova pràctica. Qui llegeixi el treball ha de poder saber quina part és teva i quina no. Si no ho pot saber, hi ha plagi.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Dues fonts diuen coses contràries sobre l'estat d'un aqüífer: un article revisat per parells de fa vuit anys i una notícia d'aquest mes que no diu d'on treu les dades. Explica com decidiries i què faries si no en tinguessis prou.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Es decideix pel que es pot comprovar, no per la data: es fa servir l'article revisat, es busca la font primària de la notícia i, si no n'hi ha prou, es reconeix el límit per escrit.

Resolució

Criteri. No es decideix per la data sinó pel que es pot comprovar. L'article revisat diu qui, quan, què i on, i permet anar a mirar el mètode i les dades; la notícia sense font no permet comprovar res, i per tant no es pot fer servir com a dada.
La notícia no és necessàriament falsa. Pot estar informant d'un estudi recent. El pas que toca és buscar-ne la font primària i, si es troba, avaluar-la pel seu compte.
Si no es troba. Cal reconèixer el límit i escriure-ho: es fa servir el que hi ha comprovat, es diu que té vuit anys i que un aqüífer pot haver canviat, i es deixa dit que caldrien dades més recents.
Conclusió. Assenyalar què no se sap forma part de fer-ho bé.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un grup vol comprovar si la llum afavoreix la germinació de llenties. Posa 5 llavors en un pot sobre cotó humit a la finestra (llum, 24 °C) i 5 llavors en un altre pot dins d'un armari (fosc, 18 °C). Al cap de cinc dies han germinat 4 llavors del primer pot i 2 del segon, i conclouen que la llum afavoreix la germinació.
a) Identifica dos errors de disseny que fan que la conclusió no sigui vàlida.
b) Proposa com corregir-los.
c) Indica quin resultat permetria acceptar la hipòtesi en l'experiment corregit.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

1) Canvien alhora la llum i la temperatura (variable confosa); 2) la mostra és massa petita (5 llavors per grup) i la diferència pot ser atzar.

Resolució

Primer error: variable confosa. Entre els dos pots canvien dues variables alhora, la llum i la temperatura (24 °C i 18 °C), de manera que no es pot saber quina de les dues explica la diferència.
Segon error: mostra petita. Amb 5 llavors per grup, una diferència de 4 a 2 pot ser deguda a l'atzar: una sola llavor canvia el resultat del 80 % al 60 %.
Conclusió. Per tant, la conclusió «la llum afavoreix la germinació» no està justificada.

Apartat b)

Resultat

Mantenir la mateixa temperatura (i humitat, aigua i varietat) als dos grups, canviant només la llum; usar almenys 30 llavors per grup i repetir l'experiment.

Resolució

Una sola variable. Mantenir la temperatura igual als dos grups: tots dos pots a la mateixa habitació, un tapat amb una caixa opaca i l'altre no.
Altres variables controlades. Igualar també la humitat del cotó, el volum d'aigua i la varietat de llavors.
Mida de la mostra. Usar almenys 30 llavors per grup i repetir l'experiment (rèpliques).

Apartat c)

Resultat

S'acceptaria si el percentatge de germinació amb llum fos clarament i repetidament superior al del grup a les fosques, amb una diferència més gran que la variació entre rèpliques.

Resolució

Criteri. La diferència entre grups ha de ser més gran que la variació entre rèpliques del mateix grup i repetir-se en diverses rèpliques.
Comentari. De fet, moltes llavors germinen igual de bé a les fosques: amb un bon disseny probablement no s'observaria cap efecte de la llum sobre la germinació, sinó sobre el creixement posterior (la plàntula de l'armari seria groguenca i allargada).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Per estudiar com influeix la intensitat de la llum en la fotosíntesi, es col·loca un brot d'una planta aquàtica dins d'un vas amb aigua i bicarbonat i es compten les bombolles d'oxigen que desprèn per minut quan un llum es troba a diferents distàncies, amb tres rèpliques:
10 cm: 40, 42 i 38; 20 cm: 11, 9 i 10; 30 cm: 5, 4 i 4; 40 cm: 3, 2 i 3.
a) Calcula la mitjana de cada distància i descriu quantitativament com varia la taxa quan la distància es duplica.
b) Explica per què s'hi afegeix bicarbonat i quina variable pot alterar el llum sense que ho vulguem; proposa com controlar-la.
c) Comenta una limitació de comptar bombolles i com millorar la mesura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

Mitjanes: 10 cm → 40; 20 cm → 10; 30 cm → 4,3; 40 cm → 2,7 bombolles/min. En duplicar la distància, la taxa es redueix aproximadament a la quarta part.

Resolució

Mitjanes. 10 cm: (40 + 42 + 38)/3 = 40; 20 cm: (11 + 9 + 10)/3 = 10; 30 cm: (5 + 4 + 4)/3 ≈ 4,3; 40 cm: (3 + 2 + 3)/3 ≈ 2,7 bombolles/min.
Quan es duplica la distància. De 10 a 20 cm: $\tfrac{40}{10} = 4$ . De 20 a 40 cm: $\tfrac{10}{2{,}7} \approx 3{,}8$ . En tots dos casos la taxa es redueix aproximadament a la quarta part.
Interpretació. La intensitat de la llum, i amb ella la fotosíntesi, disminueix amb el quadrat de la distància: la taxa és aproximadament inversament proporcional a $d^{2}$ .

Apartat b)

Resultat

El bicarbonat aporta CO₂ en excés perquè el carboni no limiti la fotosíntesi; el llum pot escalfar l'aigua (temperatura), que cal mesurar i mantenir constant amb un filtre tèrmic d'aigua o un llum LED.

Resolució

Bicarbonat. Aporta CO₂ dissolt en excés perquè el carboni no sigui el factor que limita la reacció i només variï la llum.
Variable no desitjada. El llum escalfa l'aigua quan és a prop, i la temperatura també afecta la fotosíntesi.
Control. Cal mesurar la temperatura i mantenir-la constant, per exemple interposant un recipient d'aigua entre el llum i la planta com a filtre tèrmic o usant un llum LED que escalfi poc.

Apartat c)

Resultat

Les bombolles no són totes iguals i part del gas es dissol; és millor recollir el gas en un tub graduat i mesurar-ne el volum per unitat de temps, o usar un sensor d'oxigen.

Resolució

Limitació. Les bombolles no tenen totes la mateixa mida i una part del gas es dissol en l'aigua, de manera que el recompte és només una aproximació.
Millora. És millor recollir el gas en un tub graduat i mesurar-ne el volum per unitat de temps, o usar un sensor d'oxigen dissolt.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

El pH de l'aigua d'un estany es va mesurar l'any 2018 i va donar 7,8 ± 0,2; l'any 2024, amb un aparell diferent, s'ha obtingut 8,1 ± 0,2. Un informe afirma que «el pH de l'estany ha augmentat». Raona si les dades permeten aquesta afirmació, què cal tenir en compte en comparar mesures fetes amb mètodes diferents i quines mesures caldria fer per poder-ho concloure amb seguretat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

No ho permeten: els intervals (7,6–8,0 i 7,9–8,3) se solapen, i a més s'han fet amb aparells diferents. Caldria calibrar igual, mesurar en les mateixes condicions i fer sèries de mesures repetides.

Resolució

Intervals. 2018: 7,8 ± 0,2 → de 7,6 a 8,0. 2024: 8,1 ± 0,2 → de 7,9 a 8,3.
Comparació. Els dos intervals se solapen (entre 7,9 i 8,0), de manera que el valor real podria ser el mateix els dos anys: les dades no permeten afirmar que el pH hagi augmentat. Una diferència només és rellevant quan és clarament més gran que la incertesa de les mesures.
Mètodes diferents. En canviar d'aparell cal assegurar que tots dos estan calibrats amb les mateixes solucions patró i que la mesura es fa en les mateixes condicions (fondària, hora, estació de l'any, temperatura), perquè el pH d'un estany varia al llarg del dia i de l'any per la fotosíntesi i la respiració dels organismes.
Què caldria fer. Una sèrie de mesures repetides cada any (per calcular mitjana i dispersió), fetes en el mateix punt i època i, si és possible, amb un instrument de menys incertesa (±0,05).

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un investigador mesura la concentració de nitrats en 12 mostres d'un pou. Dues de les mostres donen valors molt més alts que la resta i no encaixen amb la seva hipòtesi; les elimina sense explicar-ho i publica la mitjana de les 10 restants, que queda per sota del límit legal.
a) Raona si aquesta actuació és acceptable i en quin cas sí que es pot descartar una dada.
b) Explica la diferència entre fabricar dades, falsificar-les i cometre un error honest.
c) Explica quin paper tenen la reproductibilitat i la revisió per parells per detectar aquests problemes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

No és acceptable: eliminar dades perquè no encaixen amb la hipòtesi és manipular el resultat. Només es pot descartar una dada amb una raó documentada i independent del resultat, i dient-ho a l'informe.

Resolució

Per què no. Eliminar dades perquè no encaixen amb la hipòtesi, i sense explicar-ho, és una manipulació del resultat: la mitjana publicada (per sota del límit legal) no representa el pou.
Quan sí. Una dada només es pot descartar si hi ha una raó documentada independent del resultat (un error de procediment anotat al quadern, una mostra contaminada, un aparell fora de calibratge), i sempre cal dir-ho a l'informe.
Què caldria fer. Si no hi ha aquesta raó, els valors alts s'han de publicar i investigar-ne la causa (potser el pou es contamina de manera intermitent).

Apartat b)

Resultat

Fabricar és inventar dades; falsificar és alterar o seleccionar dades reals perquè diguin el que es vol (com aquí); l'error honest és una equivocació involuntària que es corregeix. Els dos primers són frau.

Resolució

Fabricar. Inventar dades que no s'han obtingut.
Falsificar. Alterar o seleccionar dades reals perquè diguin el que es vol, com en aquest cas.
Error honest. Una equivocació involuntària que es corregeix quan es detecta. Fabricar i falsificar són frau científic; l'error honest no.

Apartat c)

Resultat

La reproductibilitat permet que altres grups repeteixin les mesures i detectin discrepàncies; la revisió per parells comprova, abans de publicar, que les dades i les conclusions són coherents.

Resolució

Reproductibilitat. Si el mètode es descriu amb detall, altres grups poden repetir les mesures; si obtenen valors diferents, això fa sospitar.
Revisió per parells. Examina, abans de publicar, si el nombre de mostres, el tractament de les dades i les conclusions són coherents.
A més. Avui moltes revistes exigeixen publicar totes les dades brutes, cosa que fa molt més difícil amagar-ne una part.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

El 1912 Alfred Wegener va proposar que els continents s'havien desplaçat, basant-se en l'encaix de les costes d'Àfrica i Amèrica del Sud, en fòssils iguals a banda i banda de l'Atlàntic i en la continuïtat de serralades i glaciacions antigues. La majoria de geòlegs van rebutjar la idea fins als anys seixanta, quan es va formular la tectònica de plaques.
a) Raona per què una hipòtesi amb tantes evidències va ser rebutjada durant dècades.
b) Explica quines noves evidències van canviar la situació.
c) Què ens ensenya aquest cas sobre el caràcter del coneixement científic?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

Perquè Wegener no tenia un mecanisme físic plausible que expliqués el moviment dels continents; a més, hi va influir un biaix d'autoritat (era meteoròleg).

Resolució

Falta de mecanisme. Wegener proposava que els continents «solcaven» el fons oceànic, cosa que la física de l'època considerava impossible.
Altres interpretacions. Sense un mecanisme plausible, les evidències es van interpretar amb altres hipòtesis, com els ponts de terra enfonsats.
Factor social. També hi va influir que ell era meteoròleg i no geòleg: un biaix d'autoritat.

Apartat b)

Resultat

La cartografia del fons oceànic: dorsals amb vulcanisme, bandes magnètiques simètriques, edat creixent de les roques en allunyar-se de la dorsal i distribució dels terratrèmols en franges, que van donar el mecanisme (expansió del fons oceànic).

Resolució

Noves dades. Després de la Segona Guerra Mundial es va cartografiar el fons oceànic: dorsals amb vulcanisme, bandes simètriques de magnetisme a banda i banda de les dorsals, edat creixent de les roques en allunyar-se'n i distribució dels terratrèmols en franges.
Conseqüència. Tot això encaixava amb l'expansió del fons oceànic i va donar el mecanisme que faltava; d'aquí va sorgir la tectònica de plaques.

Apartat c)

Resultat

El coneixement científic és provisional: una idea s'accepta quan l'aguanten evidències i un mecanisme coherent, i el procés té components científics i també socials.

Resolució

Provisionalitat. Una idea s'accepta quan les evidències i un mecanisme coherent la sostenen, i pot trigar a imposar-se per raons científiques (falta de proves) però també socials.
Lliçó. Rebutjar una hipòtesi sense mecanisme no va ser irracional; el que va fallar va ser no mantenir-la oberta com a possibilitat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Vols investigar si una depuradora d'aigües residuals d'un poble d'Osona afecta la qualitat de l'aigua del riu, fent servir els macroinvertebrats aquàtics com a bioindicadors (alguns grups, com les larves d'efímeres i de plecòpters, només viuen en aigües netes).
a) Formula la pregunta de recerca i una hipòtesi comprovable.
b) Descriu el disseny: punts de mostreig, nombre de rèpliques, variables que mesuraràs i variables que hauries de controlar o registrar.
c) Indica com presentaries els resultats i una limitació del teu disseny.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Pregunta: l'abocament de la depuradora modifica la comunitat de macroinvertebrats del riu? Hipòtesi: aigües avall hi haurà menys grups sensibles (efímeres, plecòpters) i més de tolerants que aigües amunt.

Resolució

Pregunta de recerca. L'abocament de la depuradora modifica la comunitat de macroinvertebrats del riu?
Hipòtesi comprovable. Aigües avall del punt d'abocament hi haurà menys grups sensibles (efímeres, plecòpters) i més grups tolerants (cucs, larves de quironòmids) que aigües amunt.

Apartat b)

Resultat

Almenys un punt aigües amunt (control) i un aigües avall (millor un tercer més avall), amb 5 rèpliques per punt el mateix dia; es mesuren grups i abundàncies (índex biòtic) i es registren temperatura, oxigen, pH, conductivitat, cabal, hora i data.

Resolució

Punts de mostreig. Dos com a mínim: un aigües amunt (control) i un aigües avall de l'abocament, amb característiques semblants (fondària, corrent, substrat); si pot ser, un tercer punt més avall per veure la recuperació.
Rèpliques. A cada punt, 5 mostres amb la mateixa xarxa i el mateix temps de mostreig, fetes el mateix dia.
Variables mesurades. Nombre de grups presents i abundància de cadascun, i a partir d'aquí un índex biòtic.
Variables a controlar o registrar. Temperatura, oxigen dissolt, pH, conductivitat, cabal, hora i data; i mostrejar en una època sense pluges fortes.

Apartat c)

Resultat

Taula d'abundàncies i gràfic de barres de grups sensibles i tolerants a cada punt (mitjana i dispersió). Limitació: amb un sol riu i una sola data no es pot separar l'efecte de la depuradora d'altres fonts de contaminació.

Resolució

Presentació. Taula amb l'abundància de cada grup a cada punt i gràfic de barres comparant els grups sensibles i tolerants aigües amunt i avall, amb la mitjana de les rèpliques i la seva dispersió.
Limitació. Amb un sol riu i una sola data no es pot separar l'efecte de la depuradora d'altres fonts (camps, granges, un altre poble).
Millora. Caldria repetir el mostreig en diverses èpoques i, si fos possible, en més d'un riu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 31

Per identificar una roca se'n mesura la massa amb una balança de sensibilitat 0,1 g (m = 152,4 g) i el volum per desplaçament d'aigua en una proveta de 250 mL: el nivell passa de 100,0 mL a 158,0 mL, i cada lectura té una incertesa de ±0,5 mL.
a) Calcula la densitat i el seu error relatiu.
b) Expressa el resultat com a ρ ± Δρ. Són compatibles amb aquest valor el quars (2,65 g/cm³) i la calcita (2,71 g/cm³)?
c) Quina de les dues mesures limita la precisió? Quin error relatiu s'obtindria amb una proveta que permetés llegir ±0,1 mL?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\rho = 2{,}63\ \text{g/cm}^{3}

; error relatiu

\approx 1{,}8\ \%

Resolució

Volum. És una diferència de lectures: $V = 158{,}0 - 100{,}0 = 58{,}0\ \text{mL} = 58{,}0\ \text{cm}^{3}$ . En una diferència les incerteses se sumen: $\Delta V = 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0\ \text{mL}$ .
Densitat. $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{152{,}4\ \text{g}}{58{,}0\ \text{cm}^{3}} = 2{,}63\ \text{g/cm}^{3}$
Error relatiu. En un quocient se sumen els errors relatius: $\dfrac{\Delta\rho}{\rho} = \dfrac{0{,}1}{152{,}4} + \dfrac{1{,}0}{58{,}0} = 0{,}07\ \% + 1{,}72\ \% \approx 1{,}8\ \%$

Apartat b)

Resultat

\rho = (2{,}63 \pm 0{,}05)\ \text{g/cm}^{3}

(de 2,58 a 2,68): el quars (2,65) és compatible i la calcita (2,71) no.

Resolució

Error absolut. $\Delta\rho = 2{,}628\cdot 0{,}0179 = 0{,}047 \approx 0{,}05\ \text{g/cm}^{3}$ , per tant $\rho = (2{,}63 \pm 0{,}05)\ \text{g/cm}^{3}$ , és a dir, entre 2,58 i 2,68.
Comparació. El quars (2,65) hi cau dins; la calcita (2,71) en queda fora. La roca és compatible amb el quars i no amb la calcita.
Compte. Altres minerals també poden caure en aquest interval, de manera que cal confirmar-ho amb altres propietats (duresa, ratlla).

Apartat c)

Resultat

Limita la mesura del volum (1,72 % de l'1,79 %); amb lectures de ±0,1 mL l'error relatiu seria

\approx 0{,}41\ \%

Resolució

Contribucions. La massa aporta un 0,07 % i el volum un 1,72 % de l'1,79 % total: més del 95 % de l'error ve del volum.
Proveta millor. Amb lectures de ±0,1 mL, $\Delta V = 0{,}2\ \text{mL}$ : $\dfrac{\Delta\rho}{\rho} = 0{,}07\ \% + \dfrac{0{,}2}{58{,}0} = 0{,}07\ \% + 0{,}34\ \% = 0{,}41\ \%$
Idea clau. L'error final el domina la mesura menys precisa; millorar la balança no serviria de res.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Un laboratori vol provar si un suplement de vitamina D redueix els refredats a l'hivern. Recluta voluntaris: els qui volen el suplement formen el grup tractat i la resta, el grup control, que no pren res. Les infermeres saben qui pren què i són les qui pregunten cada setmana «has estat refredat?». Al final el grup tractat té menys refredats i es publica que el suplement funciona.
a) Assenyala tres defectes del disseny i explica quin biaix produeix cadascun.
b) Descriu el disseny corregit.
c) Per què convé fixar abans de començar quin resultat es mesurarà i com s'analitzarà?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

1) Autoselecció dels grups → biaix de selecció (variable de confusió); 2) sense placebo → efecte placebo i expectatives; 3) sense cec, amb infermeres que saben el grup i un resultat subjectiu → biaix de l'observador.

Resolució

Autoselecció. Els voluntaris que trien el suplement potser es cuiden més (dormen millor, mengen millor): els grups no són comparables i hi ha una variable de confusió (biaix de selecció).
Sense placebo. El grup tractat sap què pren i pot canviar hàbits o informar diferent (efecte placebo i expectatives).
Sense cec. Les infermeres saben qui és qui i poden preguntar o interpretar les respostes de manera esbiaixada (biaix de l'observador); a més, el resultat «estar refredat» és subjectiu.

Apartat b)

Resultat

Assignació aleatòria als grups, placebo idèntic per al control, doble cec, un resultat objectiu definit abans i grups prou grans.

Resolució

Aleatorització. Els participants s'assignen als grups a l'atzar, no per elecció pròpia.
Placebo i doble cec. El control rep un placebo idèntic en aspecte, i ni els participants ni qui avalua saben a quin grup pertany cadascú.
Mesura i mida. Un resultat objectiu i definit abans (per exemple, diagnòstic mèdic o prova de laboratori) i grups prou grans.

Apartat c)

Resultat

Perquè, si el criteri es tria després de veure les dades, es poden provar moltes variables i quedar-se amb la que «surt», cosa que fabrica falsos positius; fixar-ho abans (preregistre) ho evita.

Resolució

Problema. Si es tria el criteri després de veure les dades, es poden provar moltes variables i maneres d'analitzar-les i quedar-se amb la que «surt»: això fabrica falsos positius.
Solució. Fixar-ho abans (preregistre) obliga a provar només la hipòtesi plantejada.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

S'estudia l'efecte del nitrat sobre el creixement de la llentia d'aigua (una planta flotant). Per a cada concentració de nitrat s'han fet 4 rèpliques i s'ha anotat l'augment mitjà del nombre de fronds en 7 dies.
Concentració (mg/L): 0, 5, 10, 20, 40, 80, 160.
Augment de fronds: 8, 22, 41, 63, 64, 51, 30.
a) Descriu el patró de la resposta en tres trams.
b) Proposa una explicació plausible per a cada tram.
c) Un alumne conclou que la concentració òptima és 40 mg/L. Per què no és una conclusió prou fonamentada i quin experiment afegiries?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

De 0 a 20 mg/L el creixement augmenta ràpidament (de 8 a 63); entre 20 i 40 mg/L s'estabilitza (63 i 64); per sobre de 40 mg/L disminueix (51 i 30).

Resolució

Primer tram (0–20 mg/L). L'augment de fronds passa de 8 a 63: creixement ràpid, d'uns 2–4 fronds més per cada mg/L afegit.
Segon tram (20–40 mg/L). 63 i 64: la resposta s'aplana i pràcticament no hi ha diferència.
Tercer tram (> 40 mg/L). Baixa: 51 a 80 mg/L i 30 a 160 mg/L.

Apartat b)

Resultat

1r tram: el nitrat és el factor limitant; 2n: saturació, limita un altre factor; 3r: les concentracions altes poden perjudicar (estrès osmòtic o toxicitat), hipòtesi a comprovar.

Resolució

Primer tram. El nitrat és el factor limitant, i cada addició permet més creixement.
Segon tram. La resposta se satura perquè ja no limita el nitrat, sinó un altre factor (llum, fòsfor, temperatura, espai).
Tercer tram. Les concentracions altes poden perjudicar (estrès osmòtic o toxicitat). És una hipòtesi que cal posar a prova, no un fet.

Apartat c)

Resultat

Perquè entre 20 i 80 mg/L només hi ha la dada de 40 i la diferència 63–64 és menor que la variació esperable entre rèpliques: l'òptim podria estar entre uns 20 i 60 mg/L. Caldria provar concentracions intermèdies amb més rèpliques.

Resolució

Poques dades. Només hi ha una mesura entre 20 i 80 mg/L, i entre 20 i 40 la diferència (63 contra 64) és molt menor que la variació esperable entre rèpliques.
Conseqüència. L'òptim podria ser qualsevol valor aproximadament entre 20 i 60 mg/L.
Experiment afegit. Repetir amb concentracions intermèdies (per exemple 20, 30, 40, 50, 60 i 80 mg/L), amb més rèpliques, i mirar la dispersió entre rèpliques abans de parlar d'un màxim.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Per estimar quants peixos hi ha en una bassa es capturen 60 peixos, es marquen amb una marca inofensiva i es tornen a deixar anar. Una setmana després se'n capturen 50, dels quals 12 porten marca.
a) Estima la població total N suposant que la proporció de marcats a la segona captura és igual a la proporció de marcats a tota la bassa.
b) Escriu tres suposicions necessàries perquè el mètode funcioni.
c) Si el 20 % de les marques s'haguessin perdut durant la setmana, quin valor calcularia l'investigador i en quin sentit s'equivocaria?
d) Si els peixos marcats aprenen a entrar a la trampa i es recapturen amb més facilitat, l'estimació és massa alta o massa baixa? Raona-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

N = 250

peixos.

Resolució

Plantejament. Proporció de marcats a la mostra: $\tfrac{12}{50}$ . Proporció de marcats a la bassa: $\tfrac{60}{N}$ .
Càlcul (mètode de Lincoln-Petersen). $\dfrac{60}{N} = \dfrac{12}{50} \;\Rightarrow\; N = \dfrac{60\cdot 50}{12} = 250\ \text{peixos}$

Apartat b)

Resultat

Població tancada; les marques no es perden ni afecten la supervivència; els marcats es barregen a l'atzar i tots els peixos tenen la mateixa probabilitat de ser capturats.

Resolució

Població tancada. Sense naixements, morts ni migracions importants durant la setmana.
Marques fiables. Les marques no es perden ni afecten la supervivència ni el comportament.
Barreja i captura a l'atzar. Els peixos marcats es barregen a l'atzar amb la resta i tots tenen la mateixa probabilitat de ser capturats.

Apartat c)

Resultat

Veuria uns 9,6 marcats en lloc de 12 i calcularia

N \approx 312

: sobreestimaria la població (uns 25 %).

Resolució

Marcats visibles. Dels 12 marcats que s'esperarien a la recaptura, només se'n veurien $12\cdot 0{,}8 = 9{,}6$ (uns 10).
Estimació. $N = \dfrac{60\cdot 50}{9{,}6} \approx 312\ \text{peixos}$
Sentit de l'error. Sobreestima uns 25 %, perquè semblen menys marcats dels que hi ha realment.

Apartat d)

Resultat

Massa baixa: a la recaptura hi haurà proporcionalment més marcats que a la bassa i N sortirà subestimada.

Resolució

Efecte. Si els marcats es recapturen més fàcilment, a la mostra n'hi ha proporcionalment més que a la bassa; la fracció marcada sembla més gran.
Conseqüència. Com que $N = \tfrac{60\cdot 50}{\text{marcats recapturats}}$ , un denominador més gran dona una N massa baixa (subestimació).
Idea clau. Un error en una suposició es tradueix en un biaix en una direcció previsible.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

En un riu es mesura l'oxigen dissolt a cinc temperatures. T (°C): 5, 10, 15, 20, 25. Oxigen (mg/L): 12,8; 11,3; 10,1; 9,1; 8,3.
a) Amb la calculadora, troba la recta de regressió (pendent i ordenada a l'origen) i el coeficient de correlació r.
b) Interpreta el pendent amb les seves unitats.
c) Calcula els residus (valor mesurat - valor de la recta) a cada temperatura. Tot i que |r| > 0,99, què indica el signe dels residus sobre el model lineal?
d) Prediu l'oxigen a 30 °C i justifica que és una extrapolació poc fiable.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

Pendent

\approx -0{,}224\ \text{mg/(L}\cdot\text{°C)}

; ordenada a l'origen

\approx 13{,}68\ \text{mg/L}

;

r \approx -0{,}993

(

r^{2} \approx 0{,}986

Resolució

Dades. T (°C): 5, 10, 15, 20, 25; O₂ (mg/L): 12,8; 11,3; 10,1; 9,1; 8,3. Es calcula la recta de mínims quadrats amb la calculadora (mode estadístic de regressió lineal).
Resultat. $[\mathrm{O_2}] = 13{,}68 - 0{,}224\,T\qquad r = -0{,}993\ \ (r^{2} = 0{,}986)$

Apartat b)

Resultat

Per cada grau que puja la temperatura, l'oxigen dissolt baixa de mitjana uns 0,22 mg/L.

Resolució

Interpretació. El pendent, $-0{,}224\ \text{mg/(L}\cdot\text{°C)}$ , és la variació d'oxigen dissolt per cada grau d'augment de temperatura.
Explicació. Els gasos són menys solubles en aigua calenta, i per això l'oxigen baixa en escalfar-se el riu.

Apartat c)

Resultat

Residus: +0,24; −0,14; −0,22; −0,10; +0,22. Són positius als extrems i negatius al mig: les dades dibuixen una corba (convexa), no una recta, encara que r sigui alt.

Resolució

Valors de la recta. 12,56; 11,44; 10,32; 9,20; 8,08 mg/L.
Residus (mesurat − recta). +0,24; −0,14; −0,22; −0,10; +0,22.
Interpretació. Els residus no s'escampen a l'atzar: són positius als extrems i negatius al mig. Això indica que les dades dibuixen una corba (convexa) i no una recta; un r alt no demostra que la relació sigui lineal.

Apartat d)

Resultat

La recta dona

\approx 6{,}96\ \text{mg/L}

a 30 °C, però és una extrapolació fora del rang 5–25 °C, i com que la corba s'aplana el valor real probablement seria més alt.

Resolució

Predicció. $[\mathrm{O_2}](30) = 13{,}68 - 0{,}224\cdot 30 = 6{,}96\ \text{mg/L}$
Per què és poc fiable. 30 °C és fora de l'interval mesurat (5–25 °C), i com que la corba es va aplanant (residus positius als extrems), el valor real probablement seria més alt que el de la recta.
Idea clau. Cal mirar els residus, no només r, i no extrapolar fora del rang.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Un article finançat per una associació de productors de begudes ensucrades conclou que prendre una beguda ensucrada cada dia «no augmenta el pes». L'estudi va comparar 12 persones durant 3 dies, i el finançament només apareix en una nota final.
a) Què és un conflicte d'interessos i per què no invalida automàticament un estudi?
b) Indica dos defectes metodològics que fan feble l'evidència, independentment de qui el financi.
c) Quines tres comprovacions faries abans de fiar-te'n?
d) Per què una revisió sistemàtica de molts estudis és, en general, més fiable que un sol article?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Hi ha conflicte d'interessos quan qui investiga o finança pot guanyar o perdre segons el resultat; no invalida l'estudi per si sol, però obliga a revisar-lo amb més cura i a declarar-lo visiblement.

Resolució

Definició. Hi ha un conflicte d'interessos quan qui investiga o finança pot guanyar o perdre segons el resultat.
Per què no invalida automàticament. El que compta és si el mètode i les dades resisteixen la revisió; el finançament no fa que les dades siguin falses.
Però… obliga a mirar-lo amb més cura i a declarar-lo de manera visible, no amagat en una nota final.

Apartat b)

Resultat

Mostra molt petita (12 persones) i durada massa curta (3 dies) per detectar canvis de pes.

Resolució

Mostra petita. Amb 12 persones hi ha molt poca potència per detectar un efecte.
Durada curta. El pes canvia lentament: en 3 dies no es pot veure res.
Altres. Tampoc no hi consta un grup control clar ni mesures objectives previstes.

Apartat c)

Resultat

Comprovar si el protocol i el resultat principal es van fixar abans; si les dades són accessibles; i si grups independents han replicat el resultat.

Resolució

Preregistre. Comprovar si el protocol i els resultats principals es van fixar abans de començar.
Dades. Mirar si les dades són accessibles per poder-les revisar.
Replicació. Veure si altres grups independents han obtingut el mateix resultat.

Apartat d)

Resultat

Perquè reuneix tots els estudis amb criteris fixats d'avançada: un resultat aïllat o esbiaixat pesa poc i es pot veure si l'efecte és consistent.

Resolució

Criteris previs. La revisió sistemàtica reuneix tots els estudis sobre la qüestió amb criteris fixats d'avançada, de manera que un resultat aïllat o esbiaixat pesa poc.
Més dades. Combina mostres grans i permet veure si l'efecte és consistent i fins i tot si el finançament s'associa al resultat.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Al segle XVII un naturalista va plantar un esqueix de salze de 2,3 kg en un test amb 90,7 kg de terra seca, només el va regar amb aigua de pluja i va protegir el test de la pols. Al cap de cinc anys el salze pesava 76,7 kg i la terra, un cop seca, havia perdut 57 g (xifres arrodonides, inspirades en l'experiment original).
a) Calcula l'augment de massa de l'arbre i el percentatge que representa la pèrdua de terra respecte d'aquest augment.
b) Quina idea refuta aquest experiment i quina conclusió en va treure el naturalista? Quin factor no va poder considerar?
c) Dissenya un experiment que posi a prova la hipòtesi que l'aire contribueix a la massa de la planta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Augment de l'arbre:

74{,}4\ \text{kg}

; la pèrdua de terra n'és només el

0{,}077\ \%

(unes 1300 vegades menys).

Resolució

Augment de massa. $\Delta m = 76{,}7 - 2{,}3 = 74{,}4\ \text{kg}$ .
Percentatge. La terra perd 57 g = 0,057 kg: $\dfrac{0{,}057}{74{,}4}\cdot 100 = 0{,}077\ \%$ És unes 1300 vegades menys que l'augment de l'arbre.

Apartat b)

Resultat

Refuta que la planta es faci a partir de la terra; el naturalista (Van Helmont) va concloure que la massa venia de l'aigua. No va considerar el CO₂ de l'aire.

Resolució

Idea refutada. Que la planta es fa a partir de la terra: la terra gairebé no ha perdut massa.
Conclusió del naturalista. Va concloure que la massa venia de l'aigua, l'única cosa que hi havia afegit.
Factor no considerat. El CO₂ de l'aire: la major part de la matèria seca d'una planta prové del carboni fixat per fotosíntesi. A més, com que va pesar l'arbre fresc, part de la massa era l'aigua que conté.

Apartat c)

Resultat

Plàntules idèntiques en cambres tancades i transparents amb la mateixa llum, temperatura i reg, unes amb aire normal (control) i altres sense CO₂ (calç sodada); es compara la massa seca final, amb rèpliques. Predicció: sense CO₂, molt menys guany de massa seca.

Resolució

Hipòtesi. Sense CO₂ de l'aire la planta no guanya massa seca.
Disseny. Plàntules idèntiques en cambres tancades i transparents amb la mateixa llum, temperatura i reg: unes amb aire normal (control) i unes altres amb aire al qual s'ha retirat el CO₂ (per exemple, amb calç sodada). Diverses rèpliques per condició.
Mesura. Al final se'n mesura la massa seca (assecant-les), per no comptar l'aigua.
Predicció. Les plantes sense CO₂ guanyen molt menys massa seca.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Es mesura el pH del sòl en 6 punts de dues parcel·les. Parcel·la A (pineda): 6,1; 6,4; 6,0; 6,3; 6,2; 6,6. Parcel·la B (roureda): 6,5; 6,9; 6,6; 7,0; 6,7; 6,9.
a) Calcula la mitjana, la desviació estàndard mostral s (dividint per n - 1) i l'error estàndard SE = s/ $\sqrt{n}$ de cada parcel·la.
b) Calcula la diferència de mitjanes i el seu error estàndard, SE_dif = √(SE_A² + SE_B²). Si la diferència supera unes 2 vegades SE_dif, es considera difícil que sigui només atzar: és el cas?
c) Pots concloure que l'espècie d'arbre causa la diferència de pH? Justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\bar{x} = 6{,}27

s = 0{,}22

SE = 0{,}09

. B:

\bar{x} = 6{,}77

s = 0{,}20

SE = 0{,}08

Resolució

Mitjanes. $\bar{x}_A = \tfrac{37{,}6}{6} = 6{,}27$ ; $\bar{x}_B = \tfrac{40{,}6}{6} = 6{,}77$ .
Desviació estàndard mostral. $s = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^{2}}{n - 1}}\;\Rightarrow\; s_A = 0{,}22,\quad s_B = 0{,}20$
Error estàndard. $SE_A = \tfrac{0{,}22}{\sqrt{6}} = 0{,}09$ ; $SE_B = \tfrac{0{,}20}{\sqrt{6}} = 0{,}08$ .

Apartat b)

Resultat

Diferència

= 0{,}50

;

SE_{\text{dif}} \approx 0{,}12

. La diferència és unes 4 vegades

SE_{\text{dif}}

: és difícil que sigui només atzar.

Resolució

Diferència. $6{,}77 - 6{,}27 = 0{,}50$ .
Error de la diferència. $SE_{\text{dif}} = \sqrt{0{,}09^{2} + 0{,}08^{2}} = 0{,}12$
Criteri. $\tfrac{0{,}50}{0{,}12} \approx 4$ , molt més de 2: és molt improbable que la diferència s'expliqui només per l'atzar del mostreig.

Apartat c)

Resultat

No: la diferència és real entre les dues parcel·les, però no se'n sap la causa (roca mare, orientació, humitat, història d'ús…), i l'espècie no s'ha assignat a l'atzar.

Resolució

Què diu l'estadística. Que la diferència de pH entre les dues parcel·les és real, no per què.
Altres causes possibles. Les parcel·les poden diferir en roca mare, orientació, humitat o història d'ús. A més, no s'ha assignat l'espècie a l'atzar.
Què caldria. Per defensar una causa caldria un disseny amb moltes parcel·les aparellades o un disseny experimental.
Idea clau. Diferència estadísticament clara no vol dir causa demostrada.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 39

Per comptar llevats s'usa una cambra de recompte: cada quadrat gran té 0,2 mm × 0,2 mm de superfície i la cambra té 0,1 mm de fondària. El cultiu es dilueix 1:10 abans de carregar-lo. En 5 quadrats s'hi compten 87 cèl·lules en total.
a) Calcula el volum comptat en mL (1 mm³ = $10^{-3}$ mL).
b) Calcula la concentració del cultiu original en cèl·lules/mL.
c) Un recompte d'un nombre N de cèl·lules té una incertesa aleatòria d'aproximadament $\sqrt{N}$ (distribució de Poisson). Calcula l'error relatiu d'aquest recompte.
d) Quantes cèl·lules s'haurien de comptar perquè l'error relatiu fos inferior al 5 %? A quants quadrats d'aquesta densitat equival?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

V = 2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{mL}

(0,02 mm³).

Resolució

Un quadrat. $V = 0{,}2\ \text{mm}\cdot 0{,}2\ \text{mm}\cdot 0{,}1\ \text{mm} = 0{,}004\ \text{mm}^{3}$ .
Cinc quadrats. $5\cdot 0{,}004 = 0{,}02\ \text{mm}^{3} = 0{,}02\cdot10^{-3}\ \text{mL} = 2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{mL}$ .

Apartat b)

Resultat

c \approx 4{,}35\cdot10^{7}

cèl·lules/mL al cultiu original.

Resolució

Cultiu diluït. $c_{\text{dil}} = \dfrac{87}{2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{mL}} = 4{,}35\cdot10^{6}\ \text{cèl}{\cdot}\text{lules/mL}$
Desfer la dilució 1:10. $c = 4{,}35\cdot10^{6}\cdot 10 = 4{,}35\cdot10^{7}$ cèl·lules/mL.

Apartat c)

Resultat

E_r \approx 10{,}7\ \%

;

c = (4{,}4 \pm 0{,}5)\cdot10^{7}

cèl·lules/mL.

Resolució

Incertesa del recompte. $\sqrt{87} = 9{,}3$ cèl·lules.
Error relatiu. $E_r = \dfrac{\sqrt{N}}{N} = \dfrac{9{,}3}{87} = 0{,}107 = 10{,}7\ \%$ Per tant, $c = (4{,}4 \pm 0{,}5)\cdot10^{7}$ cèl·lules/mL.

Apartat d)

Resultat

Cal comptar més de 400 cèl·lules, que equivalen a uns 23 quadrats.

Resolució

Condició. $E_r = \dfrac{1}{\sqrt{N}} \lt 0{,}05 \;\Rightarrow\; \sqrt{N} \gt 20 \;\Rightarrow\; N \gt 400\ \text{cèl}{\cdot}\text{lules}$
Quadrats. Hi ha $\tfrac{87}{5} = 17{,}4$ cèl·lules per quadrat: $\tfrac{400}{17{,}4} \approx 23$ quadrats (o repetir la càrrega de la cambra, amb rèpliques independents).
Idea clau. Quadruplicar el recompte només divideix per dos l'error relatiu.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Mendel va creuar pèsols de llavor groga i llisa amb altres de verda i rugosa, i a la segona generació va comptar 556 llavors: 315 llises i grogues, 101 rugoses i grogues, 108 llises i verdes i 32 rugoses i verdes. La hipòtesi nul·la prediu la proporció 9:3:3:1. Per contrastar-la s'usa $χ^{2}$ = Σ $(O - E)^{2}$ /E, amb 3 graus de llibertat; el valor crític al 5 % és 7,81.
a) Calcula els valors esperats.
b) Calcula $χ^{2}$ i decideix si es rebutja la hipòtesi nul·la.
c) Si s'hagués obtingut $χ^{2}$ = 15,2, què concluiries?
d) Explica per què un resultat no significatiu no demostra que la proporció sigui exactament 9:3:3:1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

E = 312,75; 104,25; 104,25 i 34,75 llavors.

Resolució

Proporcions esperades. 9:3:3:1 vol dir $\tfrac{9}{16}, \tfrac{3}{16}, \tfrac{3}{16}, \tfrac{1}{16}$ del total, 556 llavors.
Càlcul. $E = 556\cdot\tfrac{9}{16} = 312{,}75;\quad 556\cdot\tfrac{3}{16} = 104{,}25;\quad 104{,}25;\quad 556\cdot\tfrac{1}{16} = 34{,}75$

Apartat b)

Resultat

\chi^{2} \approx 0{,}47 \lt 7{,}81

: no es rebutja la hipòtesi nul·la; les dades són compatibles amb 9:3:3:1.

Resolució

Termes. $\dfrac{(315 - 312{,}75)^{2}}{312{,}75} = 0{,}016;\quad \dfrac{(101 - 104{,}25)^{2}}{104{,}25} = 0{,}101;\quad \dfrac{(108 - 104{,}25)^{2}}{104{,}25} = 0{,}135;\quad \dfrac{(32 - 34{,}75)^{2}}{34{,}75} = 0{,}218$
Suma. $\chi^{2} = 0{,}016 + 0{,}101 + 0{,}135 + 0{,}218 = 0{,}47$ .
Decisió. Com que $0{,}47 \lt 7{,}81$ , no es rebutja la hipòtesi nul·la: la desviació és la que s'esperaria per atzar.

Apartat c)

Resultat

Com que

15{,}2 \gt 7{,}81

, es rebutjaria la hipòtesi nul·la: la diferència seria massa gran per ser atzar.

Resolució

Comparació. $15{,}2 \gt 7{,}81$ : es rebutja la hipòtesi nul·la al 5 %.
Interpretació. La diferència seria massa gran per atribuir-la a l'atzar, i caldria buscar una altra explicació (per exemple, gens lligats o una proporció diferent).

Apartat d)

Resultat

Perquè el contrast només diu que les dades no contradiuen el model, no que sigui cert: altres proporcions properes també serien compatibles amb 556 llavors.

Resolució

Què diu el contrast. No rebutjar la hipòtesi nul·la vol dir que les dades no la contradiuen, no que quedi demostrada.
Per què. Altres proporcions properes a 9:3:3:1 també serien compatibles amb 556 llavors. Una mostra més gran detectaria diferències més petites.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 41

Una prova diagnòstica té una sensibilitat del 95 % (detecta el 95 % dels malalts) i una especificitat del 90 % (dona negatiu al 90 % dels sans). S'aplica a 1000 persones d'una població en què la prevalença de la malaltia és del 2 %.
a) Quantes persones són malaltes, quantes donen positiu entre els malalts (veritables positius) i quantes entre els sans (falsos positius)?
b) Si una persona dona positiu, quina és la probabilitat que estigui realment malalta (valor predictiu positiu)?
c) Repeteix el càlcul si la prevalença fos del 20 %.
d) Què mostra això sobre la interpretació d'un resultat positiu i sobre una hipòtesi inicialment poc probable?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 41

Apartat a)

Resultat

Malalts: 20; veritables positius: 19; falsos positius: 98.

Resolució

Dades. 1000 persones, prevalença 2 %, sensibilitat 95 %, especificitat 90 % (per tant, un 10 % dels sans dona positiu).
Malalts i veritables positius. $1000\cdot 0{,}02 = 20$ malalts; $20\cdot 0{,}95 = 19$ veritables positius.
Sans i falsos positius. $1000 - 20 = 980$ sans; $980\cdot (1 - 0{,}90) = 98$ falsos positius.

Apartat b)

Resultat

\text{VPP} = \tfrac{19}{117} \approx 0{,}16

: només un 16 % dels positius està realment malalt (1 de cada 6).

Resolució

Total de positius. 19 + 98 = 117.
Valor predictiu positiu. $\text{VPP} = \dfrac{\text{VP}}{\text{VP} + \text{FP}} = \dfrac{19}{117} = 0{,}162 \approx 16\ \%$
Interpretació. Només 1 de cada 6 positius és realment malalt.

Apartat c)

Resultat

Amb prevalença del 20 %: 200 malalts, 190 VP, 80 FP i

\text{VPP} = \tfrac{190}{270} \approx 70\ \%

Resolució

Recompte. Malalts: $1000\cdot 0{,}20 = 200$ ; VP: $200\cdot 0{,}95 = 190$ . Sans: 800; FP: $800\cdot 0{,}10 = 80$ .
VPP. $\text{VPP} = \dfrac{190}{190 + 80} = \dfrac{190}{270} = 0{,}70 = 70\ \%$

Apartat d)

Resultat

Un positiu no vol dir «tinc la malaltia»: el seu valor depèn de com de freqüent és la malaltia. De la mateixa manera, un resultat «significatiu» sobre una hipòtesi poc probable té moltes opcions de ser un fals positiu.

Resolució

Depèn de la prevalença. Quan la malaltia és rara, els falsos positius (encara que siguin una minoria dels sans) superen els veritables positius; per això el VPP passa del 16 % al 70 % en augmentar la prevalença.
Paral·lelisme amb les hipòtesis. El mateix passa en ciència: una troballa «significativa» sobre una hipòtesi molt improbable és més probable que sigui un fals positiu.
Conclusió. Per això es demanen proves de confirmació, tant en medicina com en ciència.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 42

Es cultiven plantes d'enciam amb dos nivells de llum (baixa i alta) i dos de nitrogen (baix i alt), amb prou rèpliques. La biomassa seca mitjana (mg per planta) és: llum baixa i N baix, 10; llum baixa i N alt, 12; llum alta i N baix, 20; llum alta i N alt, 40.
a) Calcula l'efecte d'afegir nitrogen a llum baixa i a llum alta.
b) Si els dos factors fossin additius, quina biomassa s'esperaria amb llum alta i N alt? Compara-la amb l'observada.
c) Hi ha interacció? Dona una explicació biològica.
d) Si només s'hagués fet l'experiment amb llum baixa, quina conclusió errònia s'hauria obtingut?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 42

Apartat a)

Resultat

A llum baixa, el nitrogen afegeix +2 mg; a llum alta, +20 mg.

Resolució

Llum baixa. 12 − 10 = +2 mg per planta.
Llum alta. 40 − 20 = +20 mg per planta.

Apartat b)

Resultat

Si fossin additius s'esperarien 22 mg; s'observen 40 mg, 18 mg més.

Resolució

Efectes per separat. Partint de 10 mg (llum baixa, N baix), la llum alta suma +10 mg (20 − 10) i el N alt suma +2 mg (12 − 10).
Model additiu. $10 + 10 + 2 = 22\ \text{mg}$ .
Comparació. S'observen 40 mg: 18 mg més del previst pel model additiu.

Apartat c)

Resultat

Sí, hi ha interacció: l'efecte del nitrogen depèn del nivell de llum. Amb poca llum limita la fotosíntesi; amb molta llum passa a limitar el nitrogen.

Resolució

Definició. Hi ha interacció quan l'efecte d'un factor depèn del nivell de l'altre: aquí, +2 mg contra +20 mg.
Llum baixa. La fotosíntesi és el factor limitant i la planta no pot aprofitar més nitrogen.
Llum alta. El nitrogen (necessari, per exemple, per fer proteïnes i clorofil·la) passa a ser limitant, i afegir-ne multiplica el creixement.

Apartat d)

Resultat

S'hauria conclòs que el nitrogen gairebé no afecta el creixement (+2 mg), cosa falsa amb llum alta.

Resolució

Conclusió errònia. Amb només llum baixa l'efecte seria +2 mg, gairebé res, i es conclouria que el nitrogen no afecta el creixement.
Idea clau. Variar un factor cada cop pot amagar interaccions; el disseny factorial permet detectar-les.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 43

Vols comparar l'alçada de plàntules amb dos tractaments, A i B. Disposes de 2 safates per tractament amb 15 plàntules cadascuna (30 per tractament); cada safata té el seu reg i la seva il·luminació. Un ajudant diu que té n = 30 per grup. La desviació estàndard entre plàntules és de 8 mm (suposa que és la mateixa entre unitats independents).
a) Per què la n real és molt inferior a 30?
b) Calcula l'error estàndard de la mitjana si les 30 plàntules fossin independents i si només ho són les 2 safates.
c) Quantes unitats independents calen per tenir un error estàndard de com a màxim 1 mm?
d) Proposa com repartir les 60 plàntules per millorar el disseny.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 43

Apartat a)

Resultat

Perquè les plàntules d'una mateixa safata no són independents: la unitat experimental és la safata, i només n'hi ha 2 per tractament (pseudoreplicació).

Resolució

Dependència. Les plàntules d'una mateixa safata comparteixen reg, llum i altres condicions: no són independents entre si.
Confusió. L'efecte del tractament queda barrejat amb l'efecte de la safata.
Conclusió. Comptar-les com a 30 és pseudoreplicació: la unitat experimental és la safata, i n'hi ha 2 per tractament.

Apartat b)

Resultat

Amb 30 independents:

SE \approx 1{,}5\ \text{mm}

; amb 2 safates:

SE \approx 5{,}7\ \text{mm}

Resolució

Fórmula. $SE = \tfrac{s}{\sqrt{n}}$ , amb $s = 8\ \text{mm}$ .
Càlcul. $n = 30:\ SE = \dfrac{8}{\sqrt{30}} = 1{,}5\ \text{mm};\qquad n = 2:\ SE = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 5{,}7\ \text{mm}$
Interpretació. L'error real és gairebé quatre vegades més gran del que sembla.

Apartat c)

Resultat

Calen almenys 64 unitats independents per grup.

Resolució

Condició. $\dfrac{8}{\sqrt{n}} \le 1 \;\Rightarrow\; \sqrt{n} \ge 8 \;\Rightarrow\; n \ge 64$
Conclusió. 64 unitats independents per grup.

Apartat d)

Resultat

Més unitats independents: p. ex. 15 testos individuals per tractament amb 2 plàntules cadascun, assignats a l'atzar i amb posicions alternades, analitzant la mitjana de cada test.

Resolució

Principi. Convé augmentar el nombre d'unitats independents: més safates o testos individuals per tractament, amb poques plàntules cadascun.
Aleatorització. Assignar els tractaments a l'atzar i alternar-ne les posicions per distribuir les diferències de llum.
Exemple. Amb 60 plàntules, 15 testos per tractament amb 2 plàntules cadascun (i analitzant la mitjana de cada test).
Idea clau. El que compta és el nombre d'unitats independents, no de mesures.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 44

Es fa un recompte de bacteris en un cultiu en medi líquid. Temps (h): 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12. Cèl·lules/mL: 1,0· $10^{4}$ ; 4,1· $10^{4}$ ; 1,6· $10^{5}$ ; 6,5· $10^{5}$ ; 2,6· $10^{6}$ ; 8,0· $10^{6}$ ; 8,2· $10^{6}$ .
a) Quantes vegades es multiplica la població cada 2 h entre 0 i 8 h? Calcula el temps de duplicació.
b) Quin gràfic (escala lineal o logarítmica en l'eix vertical) mostraria millor el creixement exponencial i com es veuria?
c) Quin valor prediria el model exponencial a 10 h i a 12 h? Compara'l amb les dades i interpreta la discrepància.
d) Un recompte constant entre 10 i 12 h vol dir que les cèl·lules han deixat de dividir-se? Raona-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 44

Apartat a)

Resultat

Es multiplica aproximadament per 4 cada 2 h; temps de duplicació

\approx 1{,}0\ \text{h}

Resolució

Quocients cada 2 h. 4,1·10⁴/1,0·10⁴ = 4,1; 1,6·10⁵/4,1·10⁴ = 3,9; 6,5·10⁵/1,6·10⁵ = 4,1; 2,6·10⁶/6,5·10⁵ = 4,0. És a dir, ≈ ×4 cada 2 h.
Temps de duplicació. Com que $4 = 2^{2}$ , en 2 h hi ha dues duplicacions: $t_d = \tfrac{2\ \text{h}}{2} = 1{,}0\ \text{h}$ .

Apartat b)

Resultat

L'escala logarítmica a l'eix vertical: el creixement exponencial s'hi veu com una recta.

Resolució

Model. Si $N = N_0\cdot 2^{t/t_d}$ , aleshores $\log N = \log N_0 + \dfrac{t}{t_d}\log 2$ que és una recta en funció de t.
Gràfic semilogarítmic. En escala logarítmica els punts de 0 a 8 h queden alineats; en un gràfic lineal es veuria una corba que s'enlaira i amagaria els valors baixos.

Apartat c)

Resultat

El model prediu

\approx 1{,}0\cdot10^{7}

cèl·lules/mL a 10 h i

\approx 4{,}1\cdot10^{7}

a 12 h; les dades (8,0·10⁶ i 8,2·10⁶) queden per sota: el cultiu entra en fase estacionària.

Resolució

Predicció. $N(10) = 1{,}0\cdot10^{4}\cdot 2^{10} \approx 1{,}0\cdot10^{7};\qquad N(12) = 1{,}0\cdot10^{4}\cdot 2^{12} \approx 4{,}1\cdot10^{7}$
Comparació. Observat: 8,0·10⁶ a 10 h (una mica per sota) i 8,2·10⁶ a 12 h, cinc vegades menys del previst.
Interpretació. El creixement deixa de ser exponencial: el medi s'exhaureix (nutrients) o s'hi acumulen residus, i el cultiu entra en fase estacionària.

Apartat d)

Resultat

No necessàriament: pot ser que les divisions i les morts s'equilibrin; un recompte total no distingeix vives de mortes.

Resolució

Equilibri dinàmic. Una població constant pot ser el resultat que la divisió i la mort s'equilibrin.
Limitació del recompte. Un recompte total no distingeix cèl·lules vives de mortes; caldria un recompte de viables.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 45

Estima l'ordre de magnitud del nombre de cèl·lules del cos d'un adult de 70 kg. Suposa que el cos té una densitat d'1 g/cm³ i que una cèl·lula típica és una esfera de 20 µm de diàmetre (1 µm = $10^{-4}$ cm).
a) Calcula el volum d'una cèl·lula en cm³ i el volum del cos.
b) Calcula el nombre de cèl·lules.
c) Les estimacions publicades són de l'ordre de desenes de bilions ( $10^{13}$ ). Es compleix? Dona dos motius pels quals el teu valor no ha de coincidir exactament.
d) Com canviaria el resultat si el diàmetre mitjà fos de 10 µm?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 45

Apartat a)

Resultat

V_{\text{cèl}} \approx 4{,}2\cdot10^{-9}\ \text{cm}^{3}

;

V_{\text{cos}} = 7{,}0\cdot10^{4}\ \text{cm}^{3}

Resolució

Radi. $r = 10\ \mu\text{m} = 10\cdot10^{-4}\ \text{cm} = 10^{-3}\ \text{cm}$ .
Volum d'una cèl·lula. $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi\,(10^{-3})^{3} = 4{,}2\cdot10^{-9}\ \text{cm}^{3}$
Volum del cos. $V = \tfrac{m}{\rho} = \tfrac{70\,000\ \text{g}}{1\ \text{g/cm}^{3}} = 7{,}0\cdot10^{4}\ \text{cm}^{3}$ .

Apartat b)

Resultat

N \approx 1{,}7\cdot10^{13}

cèl·lules, de l'ordre de

10^{13}

Resolució

Càlcul. $N = \dfrac{7{,}0\cdot10^{4}}{4{,}2\cdot10^{-9}} = 1{,}7\cdot10^{13}$
Ordre de magnitud. Unes 1,7·10¹³ cèl·lules, és a dir, de l'ordre de 10¹³.

Apartat c)

Resultat

Sí, l'ordre de magnitud coincideix. No ha de ser exacte perquè les cèl·lules no són totes iguals (n'hi ha moltes de molt petites, com els glòbuls vermells) i part del cos no és cel·lular.

Resolució

Comparació. 1,7·10¹³ és de l'ordre de les desenes de bilions publicades: es compleix.
Motiu 1. Les cèl·lules no són totes iguals: n'hi ha de molt més petites i molt abundants, com els glòbuls vermells.
Motiu 2. Part del volum del cos no és cel·lular (matriu extracel·lular, ossos, aigua entre cèl·lules).
Idea clau. Una estimació de Fermi dona un ordre de magnitud; saber-la fer ràpid serveix per validar resultats més precisos.

Apartat d)

Resultat

El volum de cada cèl·lula es dividiria per 8 i el nombre es multiplicaria per 8:

N \approx 1{,}3\cdot10^{14}

Resolució

Dependència amb el diàmetre. El volum depèn del cub del diàmetre: si el diàmetre es divideix per 2, el volum es divideix per $2^{3} = 8$ .
Resultat. El nombre de cèl·lules es multiplica per 8: $N \approx 8\cdot 1{,}67\cdot10^{13} \approx 1{,}3\cdot10^{14}$ .

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 46

Un titular diu: «El nou fàrmac redueix el risc d'infart a la meitat». L'assaig va incloure 10 000 persones tractades i 10 000 de control, seguides durant 5 anys. Hi va haver 200 infarts al grup control i 100 al grup tractat.
a) Calcula el risc absolut de cada grup.
b) Calcula la reducció relativa del risc (RRR) i la reducció absoluta (RAR).
c) Calcula el nombre de persones que cal tractar (NNT) per evitar un infart.
d) El fàrmac causa un efecte advers greu en 1 de cada 200 persones tractades. Per cada 10 000 persones tractades, compara els infarts evitats i els efectes adversos, i explica de què depèn la decisió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 46

Apartat a)

Resultat

Risc absolut: control 2,0 %; tractats 1,0 %.

Resolució

Definició. Risc absolut = nombre de casos / nombre de persones del grup.
Càlcul. Control: $\tfrac{200}{10\,000} = 0{,}020 = 2{,}0\ \%$ . Tractats: $\tfrac{100}{10\,000} = 0{,}010 = 1{,}0\ \%$ .

Apartat b)

Resultat

RRR = 50 %; RAR = 1,0 punt percentual (0,01).

Resolució

Reducció relativa. $\text{RRR} = \dfrac{2{,}0 - 1{,}0}{2{,}0} = 0{,}50 = 50\ \%$ És el que diu el titular.
Reducció absoluta. $\text{RAR} = 2{,}0\ \% - 1{,}0\ \% = 1{,}0$ punt percentual $= 0{,}01$ .

Apartat c)

Resultat

NNT = 100 persones tractades durant 5 anys per evitar un infart.

Resolució

Càlcul. $\text{NNT} = \dfrac{1}{\text{RAR}} = \dfrac{1}{0{,}01} = 100$
Interpretació. Cal tractar 100 persones durant 5 anys per evitar un infart.

Apartat d)

Resultat

Per cada 10 000 tractats s'eviten 100 infarts i hi ha 50 efectes adversos greus; la decisió depèn de la gravetat de cada esdeveniment, del risc basal del pacient i dels costos.

Resolució

Infarts evitats. 200 − 100 = 100 per cada 10 000 tractats.
Efectes adversos. 10 000/200 = 50 efectes adversos greus.
De què depèn. De la gravetat relativa dels dos esdeveniments (un infart pot ser mortal; l'efecte advers pot ser reversible o no), del risc basal de cada pacient (en persones amb risc més alt, la RAR és més gran i el NNT més petit) i dels costos.
Idea clau. El risc relatiu sol sonar espectacular; el risc absolut i el NNT donen la mida real de l'efecte.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 47

Dades inspirades en un cas clàssic de la literatura mèdica. Dos tractaments, A i B, per a càlculs renals. Èxits/pacients: A global $\tfrac{273}{350}$ ; B global $\tfrac{289}{350}$ . Per mida del càlcul: petits, A $\tfrac{81}{87}$ i B $\tfrac{234}{270}$ ; grans, A $\tfrac{192}{263}$ i B $\tfrac{55}{80}$ .
a) Calcula el percentatge d'èxit global de cada tractament.
b) Calcula el percentatge d'èxit de cada tractament dins de cada mida.
c) Quin tractament sembla millor en el global i en cada grup? Per què es contradiuen?
d) Quina és la variable de confusió i quin tractament recomanaries? Quin disseny evitaria el problema?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 47

Apartat a)

Resultat

Èxit global: A 78,0 %; B 82,6 %.

Resolució

Càlcul. $A = \tfrac{273}{350} = 78{,}0\ \%$ ; $B = \tfrac{289}{350} = 82{,}6\ \%$ .
Lectura. Globalment sembla millor B.

Apartat b)

Resultat

Càlculs petits: A 93,1 %, B 86,7 %. Càlculs grans: A 73,0 %, B 68,8 %.

Resolució

Petits. $A = \tfrac{81}{87} = 93{,}1\ \%$ ; $B = \tfrac{234}{270} = 86{,}7\ \%$ .
Grans. $A = \tfrac{192}{263} = 73{,}0\ \%$ ; $B = \tfrac{55}{80} = 68{,}8\ \%$ .
Lectura. A és millor en tots dos grups.

Apartat c)

Resultat

Globalment sembla millor B, però dins de cada mida és millor A: és la paradoxa de Simpson, perquè A es va aplicar sobretot als càlculs grans, més difícils.

Resolució

Contradicció. La comparació global i les de cada subgrup donen sentit contrari: és la paradoxa de Simpson.
Causa. Els grups no són comparables: A es va aplicar sobretot a casos grans, que són més difícils ( $\tfrac{263}{350} = 75\ \%$ dels casos d'A, contra $\tfrac{80}{350} = 23\ \%$ dels de B).
Conseqüència. L'èxit global d'A queda arrossegat cap avall pels casos difícils, no pel tractament.

Apartat d)

Resultat

La variable de confusió és la mida del càlcul (gravetat); recomanaria A. Una assignació aleatòria dels tractaments evitaria el problema.

Resolució

Variable de confusió. La mida del càlcul influeix alhora en el tractament triat i en l'èxit.
Recomanació. Cal comparar dins de cada mida, i recomanaria A, millor en tots dos grups.
Disseny. Una assignació aleatòria dels tractaments repartiria els casos greus i lleus de manera equilibrada.
Idea clau. Abans d'agregar dades, cal comprovar si hi ha una variable que condiciona totes dues coses.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 48

Per mesurar nitrat en aigua amb un espectrofotòmetre es preparen patrons i s'obté l'absorbància A. Concentració (mg/L): 0, 2, 4, 6, 8, 10. Absorbància: 0,002; 0,101; 0,205; 0,298; 0,404; 0,497.
a) Calcula la recta de calibratge A = a · C + b amb la calculadora.
b) Una mostra d'aigua d'un riu, sense diluir, dona A = 0,622. Per què no es pot fer servir directament la recta? Què indica que la mostra diluïda 1:5 (1 volum + 4 d'aigua) doni A = 0,231?
c) Calcula la concentració de nitrat de la mostra original.
d) Si s'hagués usat la recta per a A = 0,622, quina concentració s'hauria obtingut i què significa la diferència amb el resultat correcte?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 48

Apartat a)

Resultat

A = 0{,}0497\,C + 0{,}0028

(C en mg/L), amb

r^{2} \approx 0{,}9997

Resolució

Dades. C (mg/L): 0, 2, 4, 6, 8, 10; A: 0,002; 0,101; 0,205; 0,298; 0,404; 0,497.
Regressió lineal. Per mínims quadrats: $a = 0{,}0497\ \text{L/mg}$ , $b = 0{,}0028$ , $r^{2} = 0{,}9997$ : $A = 0{,}0497\,C + 0{,}0028$

Apartat b)

Resultat

0,622 és més gran que l'absorbància del patró més concentrat (0,497): és fora del rang calibrat. La mostra diluïda (0,231) sí que hi cau dins i es pot interpolar.

Resolució

Fora de rang. L'absorbància 0,622 supera la del patró més concentrat (0,497): la recta només és fiable dins del rang calibrat, i fora es pot perdre la linealitat.
Dilució. Per això es dilueix la mostra fins que A cau dins del rang; 0,231 hi cau, de manera que la mesura diluïda és vàlida.

Apartat c)

Resultat

C \approx 23\ \text{mg/L}

a la mostra original (4,6 mg/L a la diluïda).

Resolució

Mostra diluïda. $C = \dfrac{0{,}231 - 0{,}0028}{0{,}0497} = 4{,}6\ \text{mg/L}$
Desfer la dilució 1:5. $C_0 = 4{,}6\cdot 5 = 23\ \text{mg/L}$ .

Apartat d)

Resultat

S'obtindria

\approx 12{,}5\ \text{mg/L}

, la meitat del valor correcte: a absorbàncies altes el detector perd linealitat i extrapolar la recta subestima el nitrat.

Resolució

Ús directe de la recta. $C = \dfrac{0{,}622 - 0{,}0028}{0{,}0497} = 12{,}5\ \text{mg/L}$
Comparació. Si la concentració real és 23 mg/L, la recta preveuria $A \approx 0{,}0497\cdot 23 + 0{,}0028 \approx 1{,}15$ ; l'aparell només dona 0,622: a absorbàncies altes el detector perd linealitat.
Conclusió. Extrapolar la recta hauria subestimat molt el nitrat. Un calibratge només val dins del seu rang.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 49

Una alumna avalua l'efecte d'un adob sobre 20 variables diferents de les plantes (alçada, nombre de fulles, longitud de l'arrel, etc.), i considera «significatiu» un resultat si p < 0,05. Si l'adob no té cap efecte real, cada prova té un 5 % de probabilitat de donar un fals positiu. Troba una variable amb p = 0,03 i escriu: «l'adob funciona».
a) Quants falsos positius s'esperen de mitjana en 20 proves independents?
b) Calcula la probabilitat d'obtenir almenys un fals positiu.
c) Amb la correcció de Bonferroni (dividir 0,05 pel nombre de proves), quin llindar s'hauria d'usar? Seria significatiu p = 0,03?
d) Què hauria d'haver fet abans de començar i què faries ara?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 49

Apartat a)

Resultat

S'espera 1 fals positiu de mitjana.

Resolució

Plantejament. Si l'adob no té cap efecte, cada una de les 20 proves té una probabilitat de 0,05 de donar un fals positiu.
Valor esperat. El nombre esperat és $n\cdot p = 20\cdot 0{,}05 = 1$ fals positiu, encara que l'adob no faci res.

Apartat b)

Resultat

P(\text{almenys un}) = 1 - 0{,}95^{20} \approx 0{,}64

(64 %).

Resolució

Cap fals positiu. Les proves són independents: $P(\text{cap}) = 0{,}95^{20} = 0{,}358$ .
Esdeveniment contrari. $P(\text{almenys un}) = 1 - 0{,}358 = 0{,}64$ , és a dir, un 64 %.
Interpretació. Trobar una variable amb p < 0,05 és, doncs, el més probable fins i tot sense efecte real.

Apartat c)

Resultat

Llindar de Bonferroni:

\tfrac{0{,}05}{20} = 0{,}0025

; p = 0,03 no seria significatiu.

Resolució

Llindar. $\tfrac{0{,}05}{20} = 0{,}0025$ . Amb aquest llindar, la probabilitat global d'un fals positiu torna a ser d'uns 5 %.
Decisió. Com que $0{,}03 \gt 0{,}0025$ , el resultat no és significatiu.

Apartat d)

Resultat

Abans, triar una variable principal i la hipòtesi (preregistre) i informar de totes les proves; ara, prendre el resultat com una pista i confirmar-lo amb un nou experiment.

Resolució

Abans de començar. Hauria d'haver triat una variable principal i la hipòtesi (preregistre), i haver informat de totes les proves fetes.
Ara. El resultat és com a molt una pista: caldria un segon experiment, amb la variable i la hipòtesi fixades d'entrada, per confirmar-ho.
Idea clau. Provar moltes coses i donar només la que «surt» és una manera de produir falsos positius.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 50

El $Q_{10}$ indica quantes vegades augmenta la velocitat d'un procés quan la temperatura puja 10 °C: $Q_{10}$ = ( $\tfrac{R_{2}}{R_{1}}$ )^{$\tfrac{10}{(T_{2} - T_{1})}$}. Un insecte consumeix 12 µL d' $\mathrm{O}_{2}$ /(h·g) a 15 °C i 30 µL d' $\mathrm{O}_{2}$ /(h·g) a 25 °C; cada velocitat té una incertesa relativa del 8 %.
a) Calcula el $Q_{10}$ .
b) Calcula'n la incertesa (suma dels errors relatius) i expressa el resultat.
c) Suposant el $Q_{10}$ constant, estima el consum a 20 °C.
d) Els $Q_{10}$ de reaccions enzimàtiques solen estar entre 2 i 3, i els de processos físics com la difusió, prop d'1,1-1,2. Què suggereix el teu resultat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 50

Apartat a)

Resultat

Q_{10} = 2{,}5

Resolució

Dades. $R_1 = 12$ a 15 °C i $R_2 = 30$ a 25 °C (µL d'O₂/(h·g)); $T_2 - T_1 = 10$ °C, de manera que l'exponent val 1.
Càlcul. $Q_{10} = \left(\dfrac{30}{12}\right)^{10/10} = 2{,}5$

Apartat b)

Resultat

Q_{10} = 2{,}5 \pm 0{,}4

(error relatiu del 16 %).

Resolució

Error relatiu. En un quocient se sumen els errors relatius: $8\ \% + 8\ \% = 16\ \%$ .
Error absolut. $\Delta Q_{10} = 2{,}5\cdot 0{,}16 = 0{,}4$ , per tant $Q_{10} = 2{,}5 \pm 0{,}4$ .

Apartat c)

Resultat

Consum a 20 °C ≈ 19 µL d'O₂/(h·g).

Resolució

Factor per a 5 °C. $Q_{10}^{5/10} = 2{,}5^{0{,}5} = 1{,}58$ .
Càlcul. $R_{20} = 12\cdot 1{,}58 = 19$ µL d'O₂/(h·g).
Comprovació. $12\cdot 1{,}58\cdot 1{,}58 = 30$ µL d'O₂/(h·g), el valor a 25 °C.

Apartat d)

Resultat

Un Q₁₀ de 2,5 ± 0,4 és dins de l'interval típic de les reaccions enzimàtiques (2–3) i lluny del dels processos físics (1,1–1,2): el consum d'oxigen està controlat pel metabolisme enzimàtic.

Resolució

Comparació. 2,5 ± 0,4 (de 2,1 a 2,9) cau dins de l'interval 2–3 i lluny d'1,1–1,2.
Interpretació. El consum d'oxigen de l'insecte està controlat pel metabolisme cel·lular (reaccions enzimàtiques) i no per un procés purament físic com la difusió.
Prudència. El resultat no demostra quin enzim limita, només que és coherent amb un control enzimàtic.

Nivell Batxillerat: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Una teoria científica és només una suposició?

No. En ciència, una teoria és una explicació àmplia i molt contrastada amb proves, com la teoria cel·lular o l'evolució. No és una simple opinió.

Per què l'error relatiu no té unitats?

Perquè és un quocient entre dues magnituds amb les mateixes unitats, l'error absolut i el valor mesurat, i les unitats s'anul·len.

Tornar a Biologia, Geologia i Ciències Ambientals