Flashcards: Probabilitat condicionada i teorema de Bayes

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una taula de contingència?

   Una taula que creua dues característiques d'una població: a dins hi ha les freqüències i als marges, els totals de cada fila i columna.

2. 2. Amb una taula de contingència, com calcules $P(A \cap B)$?

   Divideixes la casella creuada de $A$ i $B$ pel total general.

3. 3. Amb una taula de contingència, com calcules una probabilitat condicionada?

   Mires només la fila o la columna del succés que ja saps i divideixes la casella pel total d'aquella fila o columna, no pel total general.

4. 4. Quan convé organitzar les dades en una taula i quan en un arbre?

   Taula, si l'enunciat dona quantitats absolutes. Arbre, si dona percentatges o l'experiment té etapes.

5. 5. Diagrama d'arbre: què fas al llarg d'un camí i què fas entre camins diferents?

   Al llarg d'un camí es multiplica. Els camins diferents que porten al mateix resultat se sumen.

6. 6. Quina comprovació fas a cada ramificació d'un arbre?

   Que les probabilitats de les branques que surten d'un mateix punt sumin 1.

7. 7. Truc: l'enunciat dona percentatges però no dona cap total. Com ho passes a taula?

   Suposa 1000 individus: els comptes surten amb nombres enters i les condicionades es llegeixen directament a la taula.

8. 8. Primer pas abans de calcular qualsevol apartat de probabilitat?

   Escriure amb notació què es demana: $P(A)$, $P(A \cap B)$ o $P(B|A)$. Així decideixes què va al denominador.

9. 9. Definició de probabilitat condicionada $P(B|A)$?

   $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$, amb $P(A) > 0$. Saber $A$ redueix l'espai mostral als casos de $A$.

10. 10. Enuncia la regla del producte.

    $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. És el que fas en multiplicar les branques d'un camí de l'arbre.

11. 11. Valen el mateix $P(B|A)$ i $P(A|B)$?

    No: tenen el mateix numerador, $P(A \cap B)$, però denominadors diferents. Confondre-les és el parany clàssic dels problemes de diagnòstic.

12. 12. Quines paraules de l'enunciat indiquen una condicionada? Quin succés va al denominador?

    «Sabent que», «entre els que», «dels que». El succés que ve just després és el que condiciona i va al denominador.

13. 13. Una probabilitat condicionada $P(B|A)$ pot ser més petita que $P(A \cap B)$?

    No: dividir $P(A \cap B)$ per $P(A) \leq 1$ mai no la fa més petita. Si et passa, revisa el plantejament.

14. 14. Quan són independents dos successos $A$ i $B$?

    Quan saber-ne un no canvia la probabilitat de l'altre: $P(B|A) = P(B)$.

15. 15. Com comproves amb una taula si dos successos són independents?

    Compares $P(A) \cdot P(B)$ amb $P(A \cap B)$: si coincideixen, són independents; si no, són dependents.

16. 16. Error típic: calcular $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ sempre. Què és correcte?

    Aquest producte només val si són independents. Si no ho són, com en extraccions sense reposició, cal $P(A) \cdot P(B|A)$.

17. 17. Què són dos successos incompatibles?

    Successos que no poden passar alhora: $A \cap B = \varnothing$, o sigui $P(A \cap B) = 0$.

18. 18. Dos successos incompatibles amb probabilitat no nul·la poden ser independents?

    No: saber que ha passat l'un descarta l'altre del tot, i això és la màxima dependència possible.

19. 19. Fórmula de la probabilitat total? Quina condició han de complir les causes?

    $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + \cdots$, si les causes $A_i$ reparteixen tota la població. A l'arbre, és sumar els camins que acaben en $B$.

20. 20. Fórmula del teorema de Bayes?

    $P(A_i|B) = \dfrac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$, on $P(B)$ és la probabilitat total de $B$.

21. 21. Teorema de Bayes dit amb l'arbre?

    El camí que passa per la causa $A_i$ dividit per la suma de tots els camins que porten a l'efecte $B$.

22. 22. Com reconeixes a l'enunciat un apartat de Bayes?

    Et donen l'efecte sabent la causa («el 3 % de les peces d'A surten defectuoses») i et pregunten la causa sabent l'efecte («si és defectuosa, que vingui d'A»).

23. 23. Quin ordre solen tenir els apartats d'aquest tema a la PAU?

    Una probabilitat total, una condicionada directa i una condicionada inversa, que és la de Bayes.

24. 24. Error típic: al denominador de Bayes hi poses només un camí. Què és correcte?

    El denominador és la probabilitat total de l'efecte, amb totes les causes possibles. Amb un sol camí el resultat surt massa gran.

25. 25. Per què en una prova d'una malaltia rara molts positius poden ser persones sanes?

    Perquè les sanes són moltíssimes més: encara que la prova falli poc, els falsos positius poden superar els malalts positius. $P(M|+)$ surt molt més baixa del que diu la intuïció.