Flashcards: Integrals

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una primitiva d'una funció $f$?

   Una funció $F$ que, en derivar-la, dona $f$: $F'(x) = f(x)$. Buscar-la és desfer la derivada.

2. 2. Per què la integral indefinida porta el terme $+\,C$?

   Perquè la derivada d'una constant és zero: totes les primitives d'una mateixa funció es diferencien en una constant, i $C$ les recull totes.

3. 3. Integral immediata d'una potència $x^n$? Quan es pot fer servir?

   $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$, sempre que $n \neq -1$.

4. 4. Integral d'una constant $k$?

   $\int k\,dx = kx + C$.

5. 5. Com s'integra una suma? I una funció multiplicada per una constant?

   La suma s'integra terme a terme. La constant que multiplica es manté fora de la integral.

6. 6. Integral de $e^x$?

   $\int e^x\,dx = e^x + C$: l'exponencial és la seva pròpia primitiva.

7. 7. Integral de $\dfrac{1}{x}$? Per què no surt amb la regla de la potència?

   $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. La regla de la potència no val per a $n = -1$: el denominador $n + 1$ s'anul·laria.

8. 8. Com comproves que una integral indefinida està ben feta?

   Derivant el resultat: si recuperes la funció de partida, el càlcul és correcte.

9. 9. Càlcul mental: $\int 6x^2\,dx$?

   $2x^3 + C$. Comprovació: la derivada de $2x^3$ és $6x^2$.

10. 10. Si integres el cost marginal, què representa la constant d'integració?

    Els costos fixos. Integrar el cost marginal dona el cost total llevat de la part fixa, i la constant es determina amb el cost amb zero unitats.

11. 11. Què dona una integral definida: una funció o un nombre?

    Un nombre: el total acumulat de la magnitud entre els dos extrems de l'interval.

12. 12. Enuncia la regla de Barrow.

    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, on $F$ és qualsevol primitiva de $f$.

13. 13. Per què no cal escriure $+\,C$ a la integral definida?

    Perquè en fer la resta $F(b) - F(a)$ la constant se simplifica.

14. 14. Què passa si intercanvies els límits d'integració?

    La integral canvia de signe. Per això l'ordre de Barrow és sempre $F(b) - F(a)$: primer l'extrem superior.

15. 15. Quant val $\int_a^a f(x)\,dx$?

    Zero: un interval sense amplada no acumula res.

16. 16. Es pot partir l'interval d'una integral definida? Quan va bé?

    Sí: $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$. Va bé quan la funció està definida a trossos o canvia de signe.

17. 17. Quan coincideix la integral definida amb l'àrea sota la corba?

    Quan la funció és positiva a tot l'interval: llavors és l'àrea limitada per la corba, l'eix horitzontal i les rectes verticals dels extrems.

18. 18. Què surt si la funció és negativa a tot l'interval? Com ho llegeixes?

    La integral surt negativa. Com a àrea prens el valor absolut; com a magnitud acumulada, el signe vol dir que la magnitud disminueix.

19. 19. Com calcules l'àrea si la funció canvia de signe dins de l'interval?

    Busques on val zero, parteixes l'interval per aquests punts i sumes els valors absoluts de la integral de cada tros.

20. 20. Error típic: integrar de cop un interval on la funció canvia de signe. Què obtens?

    El balanç net, no l'àrea: els trossos positius i negatius es compensen. Són dues preguntes diferents; mira quina et demanen.

21. 21. Què representa la integral d'un ritme entre dos instants?

    El total acumulat en aquell període. Integrar les vendes per mes entre dos mesos dona les unitats venudes en aquell temps.

22. 22. Quines unitats té el resultat d'una integral d'acumulació?

    El producte de les unitats dels dos eixos: euros per mes multiplicat per mesos dona euros. Comprovar-ho detecta plantejaments equivocats.

23. 23. Què és el valor mitjà d'un ritme en un interval $[a, b]$?

    El total acumulat dividit per l'amplada: $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$. És el ritme constant que hauria donat el mateix total.

24. 24. Error típic: confondre un ritme amb un total. Com ho eviten les unitats?

    Un ritme de 500 € per mes no és 500 € en total: cal integrar-lo al llarg del període. Si les unitats porten «per mes», és un ritme.