Flashcards: Límits i asímptotes

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Primer pas per calcular el límit d'una funció racional en un punt?

   Substituir. Si surt un nombre, aquell és el límit i ja has acabat. Amb una racional passa sempre que el denominador no s'anul·li.

2. 2. Què t'indica que en substituir et surti $\dfrac{0}{0}$?

   Que és una indeterminació, no un resultat: numerador i denominador s'anul·len al mateix valor i, per tant, tenen un factor comú.

3. 3. Procediment per resoldre una indeterminació $\dfrac{0}{0}$ en una funció racional.

   Factoritzar el numerador i el denominador, simplificar el factor comú i tornar a substituir a l'expressió simplificada.

4. 4. Com factoritzes un polinomi de segon grau $ax^2 + bx + c$?

   Resols l'equació igualada a zero i, si té arrels reals $p$ i $q$, l'escrius com $a(x - p)(x - q)$.

5. 5. En substituir et surt un nombre diferent de zero partit per zero. És una indeterminació?

   No. El límit és infinit (el quocient es dispara) i en aquell punt hi ha una asímptota vertical.

6. 6. Per què convé mirar els límits laterals quan un límit en un punt és infinit?

   Per saber si la funció tendeix a $+\infty$ o a $-\infty$ per cada costat, és a dir, cap on s'enfila la gràfica a banda i banda de l'asímptota.

7. 7. Regla dels graus: límit a l'infinit d'una funció racional en els tres casos.

   Grau de dalt més gran: infinit (el signe el donen els coeficients principals). Grau de dalt més petit: zero. Graus iguals: el quocient dels coeficients principals.

8. 8. Quin mètode justifica per escrit qualsevol límit a l'infinit d'una racional?

   Dividir numerador i denominador per la potència més alta de $x$ que hi aparegui: els termes amb $x$ al denominador tendeixen a zero i el que sobreviu és el resultat.

9. 9. Com veus de seguida el límit a l'infinit d'un cost mitjà $\dfrac{a + bx}{x}$?

   Separant-lo en $\dfrac{a}{x} + b$: la part fixa repartida tendeix a zero i el límit és $b$, el cost variable per unitat.

10. 10. Què vol dir en un model econòmic que el límit a l'infinit sigui infinit, finit o zero?

    Infinit: el model es dispara i sol deixar de ser realista. Finit: la magnitud s'estabilitza en aquell valor. Zero: la magnitud es dilueix fins a desaparèixer.

11. 11. Què és una asímptota vertical d'una funció racional?

    Una recta $x = a$ on s'anul·la el denominador però no el numerador. A prop d'aquest valor, la funció es dispara.

12. 12. Has igualat el denominador a zero. Quin pas no et pots saltar abans de dir que hi ha una asímptota vertical?

    Comprovar el numerador en cada valor. Si també s'hi anul·la, simplifica el factor comú i torna a calcular el límit: si surt finit, és un forat, no una asímptota.

13. 13. Què és un forat d'una funció racional i en què es diferencia d'una asímptota vertical?

    Un punt on la funció no està definida però el límit és finit: passa quan, en simplificar el factor comú, el denominador ja no s'hi anul·la. En una asímptota vertical, el límit és infinit.

14. 14. Quantes asímptotes verticals pot tenir una funció racional?

    Tantes com valors anul·lin el denominador sense anul·lar el numerador. Un denominador de segon grau en pot donar dues: estudia cada arrel per separat.

15. 15. Què significa una asímptota vertical en un model econòmic?

    Un valor que el model no pot descriure, com una capacitat que no s'assoleix. Si cau fora del domini real, com en un temps negatiu, ho dius i expliques que no afecta el problema.

16. 16. Què és una asímptota horitzontal i com es troba?

    La recta $y = L$ a la qual s'acosta la gràfica quan $x$ es fa molt gran, on $L = \lim_{x \to \infty} f(x)$.

17. 17. Una racional té el grau del numerador més gran que el del denominador. Quina asímptota horitzontal té?

    Cap: el límit a l'infinit és $+\infty$ o $-\infty$, no un nombre. Dir que no n'hi ha és la resposta correcta i completa.

18. 18. Una gràfica pot tallar la seva asímptota horitzontal?

    Sí: la condició és sobre el comportament a la llarga, no sobre cada punt. La que no es creua mai és l'asímptota vertical.

19. 19. Quantes asímptotes horitzontals pot tenir una funció?

    Com a molt una per cada extrem (cap a $+\infty$ i cap a $-\infty$). Verticals, en canvi, en pot tenir diverses.

20. 20. Què representa l'asímptota horitzontal d'un model econòmic?

    El valor d'estabilització a llarg termini: el sostre d'usuaris d'un mercat, la quota cap a la qual convergeix una empresa o el cost mínim al qual tendeix un cost mitjà.

21. 21. Quines tres peces té una resposta completa sobre una asímptota horitzontal a la PAU?

    El càlcul del límit, l'equació de la recta i una frase que digui què significa amb les unitats de l'enunciat.