Flashcards: Optimització

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què vol dir optimitzar una magnitud?

   Trobar el valor de la variable que la fa màxima o mínima: quin preu posar, quantes unitats produir, quines dimensions donar a un envàs…

2. 2. Què és la funció objectiu d'un problema d'optimització?

   La funció que expressa la magnitud que vols fer màxima o mínima. L'enunciat la diu amb paraules: «més recaptació», «menys material», «més barat per unitat».

3. 3. Passos d'un problema d'optimització.

   Anomenar la variable, escriure la funció objectiu, reduir-la a una variable, derivar, igualar a zero, descartar el que no té sentit, comprovar el tipus d'extrem i interpretar amb unitats.

4. 4. Com s'escriuen l'ingrés i el benefici d'una empresa?

   Ingrés: preu per quantitat, $I(x) = p \cdot x$. Benefici: ingrés menys cost, $B(x) = I(x) - C(x)$.

5. 5. Què és el cost mitjà?

   El cost total dividit per les unitats produïdes: $CM(x) = \dfrac{C(x)}{x}$.

6. 6. Per cada euro que puja el preu $p$ es venen $k$ unitats menys de les $q$ inicials. Com plantejes l'ingrés?

   Amb $x$ = euros de pujada: $I(x) = (p + x)(q - kx)$. Ja és una funció d'una sola variable, una paràbola.

7. 7. Per què has de començar amb «$x$ = …» i les unitats?

   Perquè si $x$ és la pujada de preu i no el preu, tot el plantejament canvia. Anota-hi també el tram on té sentit (positiva, entera…): et servirà per descartar solucions.

8. 8. Comprovació ràpida del plantejament abans de derivar?

   Substituir $x = 0$ i mirar que surti la situació de partida de l'enunciat. Si no, hi ha un error de plantejament.

9. 9. Què és la condició de lligam?

   La relació que l'enunciat dona entre les dues variables (suma fixa, perímetre, pressupost, volum…). Permet aïllar-ne una i deixar la funció objectiu amb una sola variable.

10. 10. En un problema, com distingeixes el lligam de l'objectiu?

    El lligam és una igualtat que et donen fixa (un volum, un perímetre); l'objectiu és la magnitud que has de fer màxima o mínima (una superfície, un cost).

11. 11. Error típic: derivar la funció objectiu amb dues variables a dins. Què falta?

    Reduir-la abans a una sola variable amb la condició de lligam. Si hi queden dues lletres, aquest pas no s'ha fet.

12. 12. Què és el domini del problema i d'on surt?

    L'interval on té sentit la variable segons el context i la condició de lligam. Si dues quantitats positives sumen 60, la variable va de 0 a 60.

13. 13. D'on surten els candidats a òptim?

    De resoldre $f'(x) = 0$ un cop la funció objectiu depèn d'una sola variable. Són només candidats: després cal comprovar-los.

14. 14. Com comproves que un punt crític és el màxim buscat?

    Amb el signe de la derivada a banda i banda: si passa de positiva a negativa és màxim; si passa de negativa a positiva, mínim. Justificar-ho sol tenir puntuació pròpia.

15. 15. Criteri de la segona derivada per a un punt amb $f'(a) = 0$.

    Si $f''(a) < 0$, hi ha un màxim; si $f''(a) > 0$, un mínim.

16. 16. Quan el domini del problema és un interval tancat, on pot ser l'òptim?

    També en un extrem de l'interval, encara que la derivada no s'hi anul·li. Compara el valor de la funció als dos extrems i al punt crític.

17. 17. Com has de descartar una solució negativa o impossible?

    Dient per què: perquè cau fora del tram que vas fixar en anomenar la variable (una longitud negativa, un preu negatiu…). No la descartis en silenci.

18. 18. La solució ha de ser entera i la derivada te'n dona una de fraccionària. Què fas?

    No arrodoneixis a ull: calcula la funció objectiu als dos enters del costat i tria el que dona el millor valor.

19. 19. Què ha de dir la resposta final d'un problema d'optimització?

    El valor òptim de la variable (unitats, preu, dimensions) i el valor de la magnitud optimitzada (benefici, cost…), tots dos amb unitats.

20. 20. Què és l'ingrés marginal?

    La derivada de la funció d'ingrés: aproximadament, el que s'ingressa venent una unitat més a partir del nivell de vendes actual.

21. 21. Condició marginal del benefici màxim.

    $B'(x) = I'(x) - C'(x) = 0$, és a dir, l'ingrés marginal iguala el cost marginal: $I'(x) = C'(x)$.

22. 22. L'ingrés màxim i el benefici màxim s'obtenen amb la mateixa producció?

    No. L'ingrés màxim és on $I'(x) = 0$; el benefici màxim, on $I'(x) = C'(x)$. Amb un cost marginal positiu, el benefici màxim correspon a una producció més petita.

23. 23. Què passa amb el cost mitjà i el cost marginal al punt de cost mitjà mínim?

    Coincideixen. Ho pots fer servir per comprovar el resultat: calcula el cost marginal al mínim i ha de donar el mateix que el cost mitjà.

24. 24. Error típic: donar per bo l'òptim matemàtic sense mirar el context. Què has de revisar?

    Si la producció òptima supera la capacitat, el preu no és viable o el benefici màxim continua essent negatiu, digues-ho: és la conclusió que respon l'enunciat.