Flashcards: Funcions, models i funcions a trossos

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Domini d'una funció polinòmica?

   Tots els nombres reals. La de primer grau és una recta i la de segon grau, una paràbola.

2. 2. Quina situació modelitza una funció de primer grau $f(x) = mx + n$?

   Una variació constant: cada unitat de $x$ afegeix sempre la mateixa quantitat. Per exemple, un cost amb una part fixa $n$ i una part variable $m$ per unitat.

3. 3. Quan té un màxim i quan un mínim la paràbola $f(x) = ax^2 + bx + c$?

   Té un màxim si $a < 0$ (s'obre cap avall) i un mínim si $a > 0$ (s'obre cap amunt).

4. 4. A quina abscissa és el vèrtex de la paràbola $f(x) = ax^2 + bx + c$?

   A $x = -\dfrac{b}{2a}$. Allà la paràbola canvia de creixent a decreixent, o a l'inrevés.

5. 5. Què s'exclou del domini d'una funció racional?

   Els valors que anul·len el denominador. Són el model dels costos mitjans i dels rendiments per unitat.

6. 6. Domini i creixement de l'exponencial $f(x) = k \cdot a^x$ (amb $k > 0$).

   Domini: tots els reals. Creix si $a > 1$ i decreix si $0 < a < 1$. No talla mai l'eix horitzontal.

7. 7. Quina condició imposa el logaritme sobre el domini d'una funció?

   L'argument del logaritme ha de ser estrictament positiu.

8. 8. Quina mena de magnitud descriu bé una funció logarítmica?

   Una que se satura: creix molt de pressa al principi i cada cop més a poc a poc.

9. 9. Error típic: confondre «puja un 4 % cada any» amb «puja 400 unitats cada any». Quin model és cada un?

   Un percentatge constant sobre el valor anterior és exponencial; una quantitat constant afegida és lineal.

10. 10. Índex de creixement d'una magnitud que augmenta un 2,5 % per període.

    $1 + \dfrac{2{,}5}{100} = 1{,}025$. El model és $P(x) = P_0 \cdot 1{,}025^x$, amb $x$ el nombre de períodes.

11. 11. Quan una funció té diverses condicions de domini (una arrel, un denominador…), com en trobes el domini?

    Fent la intersecció de totes les condicions: només valen els valors que les compleixen totes alhora.

12. 12. Què vol dir retallar el domini amb el context?

    Després del domini matemàtic, treure'n els valors sense sentit: si $x$ són unitats, mesos o persones, res de negatius ni de valors fora dels límits de l'enunciat. Escriu tots dos dominis.

13. 13. Com trobes el tall amb l'eix vertical i què significa en un model econòmic?

    Calcules $f(0)$. És el valor de partida: els costos fixos, la població inicial o el capital invertit.

14. 14. Què és el llindar de rendibilitat d'una funció de benefici?

    El valor de $x$ on el benefici val zero, és a dir, un tall amb l'eix horitzontal: resols $B(x) = 0$. D'un costat hi ha pèrdues i de l'altre, guanys.

15. 15. Com saps en quins trams una funció de benefici és positiva?

    Els talls amb l'eix horitzontal parteixen el domini en trams i a cada tram la funció manté el signe: n'avalues un punt de cada tram.

16. 16. Com es comporten a llarg termini una exponencial creixent, una racional i una logarítmica?

    L'exponencial creixent es dispara, la racional sol estabilitzar-se cap a un valor i la logarítmica creix cada cop més a poc a poc.

17. 17. Com comproves si una funció és parella i què implica?

    Si $f(-x) = f(x)$, és parella: simètrica respecte de l'eix vertical. Amb la meitat dreta de la gràfica ja la tens sencera.

18. 18. Error típic: «la funció té un màxim a $x = 30$ amb valor 400». Què hi falta?

    Traduir-ho a l'enunciat: el benefici màxim és de 400 € i s'aconsegueix venent 30 unitats.

19. 19. Què és una funció definida a trossos i on apareix a Ciències Socials?

    Una funció amb una expressió diferent segons l'interval de la variable. Apareix en tarifes per trams, trams d'impostos, comissions i descomptes per volum.

20. 20. Primer pas per avaluar una funció a trossos en un valor?

    Mirar a quin tram cau el valor. Després substitueixes només a l'expressió d'aquell tram.

21. 21. Quin és el domini d'una funció definida a trossos?

    La unió dels intervals de definició. Comprova que no hi hagi forats ni trams solapats amb definicions contradictòries.

22. 22. En representar una funció a trossos, què indiquen un punt ple i un punt buit a l'extrem d'un tram?

    El punt ple indica que el valor de l'extrem pertany a aquell tram; el buit, que no hi pertany. En una tarifa, decideix què paga qui és just al límit.

23. 23. Error típic en un impost per trams: aplicar el tipus alt a tota la base. Com es fa?

    El tipus més alt només s'aplica a la part que excedeix el llindar: el segon tram porta una quantitat fixa més el percentatge multiplicant la diferència.

24. 24. On cal estudiar la continuïtat d'una funció a trossos formada per polinomis?

    Només als punts de canvi: dins de cada tram, les expressions polinòmiques ja són contínues.

25. 25. Quines tres condicions ha de complir una funció per ser contínua a $x = a$?

    Que $f(a)$ existeixi, que els dos límits laterals coincideixin i que aquest valor comú sigui igual a $f(a)$.

26. 26. Si els límits laterals al punt de canvi no coincideixen, com es mesura el salt?

    La mida del salt és la diferència entre els dos límits laterals.

27. 27. Com trobes el paràmetre $k$ que fa contínua una funció a trossos?

    Avalues cada tram al punt de canvi, iguales els dos límits laterals i aïlles $k$.

28. 28. Què significa, en una tarifa, un salt al punt de canvi?

    Que superar el llindar encareix la factura de cop en l'import del salt: dos consums gairebé iguals paguen imports molt diferents. Aquesta lectura forma part de la resposta.