Flashcards: Derivades i estudi local d'una funció

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què mesura la derivada d'una funció?

   El ritme al qual canvia la magnitud. En un punt, és el pendent de la recta tangent a la gràfica.

2. 2. Derivada d'una constant i derivada de $x^n$.

   La d'una constant és 0. La de $x^n$ és $n \cdot x^{n-1}$.

3. 3. Com es deriva una suma de funcions i una constant per una funció?

   La suma, terme a terme: la derivada és la suma de les derivades. La constant que multiplica es manté: $(k \cdot f)' = k \cdot f'$.

4. 4. Regla de derivació d'un producte $f \cdot g$.

   $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.

5. 5. Regla de derivació d'un quocient $\dfrac{f}{g}$.

   $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$. És la que necessites per derivar costos mitjans i magnituds per unitat.

6. 6. Error típic: derivar un quocient dividint les derivades. Què has de fer?

   Aplicar la regla del quocient, o simplificar abans: per exemple, $\dfrac{1200 + 15x}{x} = 1200x^{-1} + 15$ es deriva amb la regla de la potència.

7. 7. Derivada de $e^x$ i derivada de $\ln x$.

   La derivada de $e^x$ és $e^x$. La de $\ln x$ és $\dfrac{1}{x}$.

8. 8. Regla de la cadena: derivada de $e^{u}$ i de $\ln u$, on $u$ és una funció de $x$.

   $(e^{u})' = e^{u} \cdot u'$ i $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$. Per exemple, la derivada de $e^{3x}$ és $3e^{3x}$.

9. 9. Error típic en derivar $(3x^2 - 1)^4$. Quin és el pas que s'oblida?

   Multiplicar per la derivada de dins: $4(3x^2 - 1)^3 \cdot 6x$. Oblidar el $6x$ és l'error de la regla de la cadena.

10. 10. Què és el cost marginal?

    La derivada de la funció de cost: aproximadament, el que costa produir una unitat més a partir del nivell de producció actual. Va en euros per unitat.

11. 11. Error típic: «el benefici marginal a 50 unitats és 16». Què hi falta?

    Unitats i interpretació: cada unitat de més aporta uns 16 € de benefici, o sigui que encara convé produir.

12. 12. Equació de la recta tangent a $f$ al punt d'abscissa $a$.

    $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. El punt de tangència és $(a, f(a))$ i el pendent és $f'(a)$.

13. 13. Error típic en la recta tangent: barrejar $f(a)$ i $f'(a)$. Què diu cada un?

    $f(a)$ diu on és el punt de tangència; $f'(a)$ diu com d'inclinada va la recta. Calcula'ls per separat: sense $f(a)$, la recta queda indeterminada.

14. 14. Què vol dir en context el pendent de la tangent a una funció de cost en un punt?

    És el cost marginal en aquell punt: el ritme de canvi del cost en aquell instant. La tangent estima el cost a prop si el ritme es mantingués.

15. 15. Com és la tangent en un punt amb $f'(a) = 0$ i per què interessa?

    És horitzontal. Aquests punts són els candidats a màxim o a mínim relatiu.

16. 16. Dins de cada tram d'una funció a trossos, cal comprovar la continuïtat?

    No: rectes, paràboles i exponencials són contínues a tot arreu, i les racionals, mentre el denominador no s'anul·li. Només cal mirar el punt de canvi.

17. 17. Condicions perquè una funció a trossos sigui derivable al punt de canvi.

    Que hi sigui contínua i que les derivades laterals coincideixin: la derivada del tram de l'esquerra i la del tram de la dreta avaluades al punt.

18. 18. Si una funció no és contínua en un punt, hi pot ser derivable?

    No. Per això l'ordre és primer la continuïtat i després les derivades laterals. Al revés sí: derivable implica contínua.

19. 19. Què és un punt angulós?

    Un punt on la funció és contínua però no derivable: la gràfica no salta però canvia de pendent de cop. Exemple: $y = |x|$ a $x = 0$.

20. 20. Què significa en una tarifa que sigui contínua però no derivable al punt de canvi?

    Que no hi ha cap salt d'import en superar el llindar, però a partir d'allà cada unitat es cobra a un preu diferent.

21. 21. Una funció a trossos té dos paràmetres i ha de ser contínua i derivable. Com els trobes?

    Iguales els límits laterals (primera equació) i les derivades laterals (segona equació), i resols el sistema.

22. 22. Què indica el signe de la derivada en un interval?

    Si $f'(x) > 0$, la funció creix en aquell interval; si $f'(x) < 0$, hi decreix.

23. 23. Com classifiques un punt on $f'(a) = 0$?

    Pel canvi de signe de la derivada al voltant: de positiva a negativa és màxim relatiu, de negativa a positiva és mínim, i sense canvi de signe no és cap extrem.

24. 24. Procediment per estudiar el creixement i els extrems d'una funció.

    Derivar, resoldre $f'(x) = 0$, partir la recta amb les solucions, mirar el signe de $f'$ a cada tram amb un valor de prova, escriure els intervals i classificar els extrems.

25. 25. En una funció racional, quins altres punts has de posar a la taula de signes de la derivada?

    Els que anul·len el denominador: no són del domini i tallen els intervals encara que no siguin extrems. A la resposta van amb parèntesi, mai amb claudàtor.

26. 26. Error típic: donar només el valor de $x$ d'un extrem. Què falta?

    Substituir-lo a la funció original per saber quant val. La resposta és el punt i el valor, tots dos amb unitats.