Flashcards: Matrius i sistemes d'equacions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què indica la dimensió $m \times n$ d'una matriu?

   Que té $m$ files i $n$ columnes: sempre primer les files i després les columnes. La dimensió decideix quines operacions pots fer amb la matriu.

2. 2. Quan es poden sumar dues matrius i com es fa?

   Només si tenen la mateixa dimensió. Se sumen element a element: per exemple, les vendes de gener més les de febrer donen les del bimestre.

3. 3. Com es multiplica una matriu per un nombre i per a què serveix?

   Es multiplica cada element pel nombre. Serveix per aplicar un augment uniforme (un 10 % més és multiplicar per 1,1) o per fer un canvi d'unitats.

4. 4. Quina condició han de complir les dimensions per poder calcular $A \cdot B$?

   Les columnes de $A$ han de coincidir amb les files de $B$: $(m \times n) \cdot (n \times p)$. Els dos valors del mig han de ser iguals.

5. 5. Quina dimensió té el producte d'una matriu $m \times n$ per una $n \times p$?

   $m \times p$: les files de la primera i les columnes de la segona.

6. 6. Com es calcula l'element de la fila $i$ i la columna $j$ de $A \cdot B$?

   Multiplicant la fila $i$ de $A$ per la columna $j$ de $B$ terme a terme i sumant tots els productes.

7. 7. El producte de matrius és commutatiu?

   No. $A \cdot B$ i $B \cdot A$ poden donar resultats diferents, i sovint un dels dos ni tan sols es pot calcular.

8. 8. Si $A$ és $2 \times 2$ i $B$ és $2 \times 3$, quin dels productes $A \cdot B$ o $B \cdot A$ existeix?

   Només $A \cdot B$, que dona una matriu $2 \times 3$. $B \cdot A$ no es pot fer: $B$ té 3 columnes i $A$ només 2 files.

9. 9. Multipliques unitats venudes (files: botigues) per preus unitaris (columna). Què representa cada element del resultat?

   La facturació d'una botiga. A la PAU, dir què significa cada element del producte, amb unitats, forma part de la resposta.

10. 10. Què és la matriu identitat $I$?

    La matriu quadrada amb uns a la diagonal i zeros a la resta. Fa el paper de l'1: $A \cdot I = A$.

11. 11. Què compleix la matriu inversa $A^{-1}$?

    $A \cdot A^{-1} = I$. És el que fas servir per aïllar una matriu incògnita, perquè entre matrius no hi ha divisió.

12. 12. Determinant d'una matriu $2 \times 2$ i per a què serveix?

    Per a $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, val $ad - bc$. Si és zero, la matriu no té inversa.

13. 13. Fórmula de la inversa d'una matriu $2 \times 2$.

    $A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$: intercanvies la diagonal, canvies el signe dels altres dos i divideixes pel determinant.

14. 14. Com aïlles $X$ a $A \cdot X = B$ i a $X \cdot A = B$?

    A la primera, multiplicant per $A^{-1}$ per l'esquerra: $X = A^{-1} \cdot B$. A la segona, per la dreta: $X = B \cdot A^{-1}$. El costat importa perquè el producte no és commutatiu.

15. 15. Primer pas per resoldre $A \cdot X + C = B$?

    Passar $C$ restant als dos membres: $A \cdot X = B - C$. Després multiplica per $A^{-1}$ per l'esquerra: $X = A^{-1}(B - C)$.

16. 16. Error típic: «divideixo els dos membres per la matriu $A$». Què has de fer?

    Entre matrius no hi ha divisió: multiplica per la inversa $A^{-1}$, pel mateix costat als dos membres, i només si el determinant no és zero.

17. 17. En què consisteix el mètode de Gauss?

    Transformes el sistema en un d'equivalent escalonat, fent zeros per sota de la diagonal, de manera que cada equació tingui una incògnita menys. Després resols cap enrere substituint.

18. 18. Quines operacions pots fer amb les equacions en el mètode de Gauss sense canviar les solucions?

    Intercanviar equacions, multiplicar-ne una per un nombre diferent de zero i sumar a una equació un múltiple d'una altra.

19. 19. En escalonar un sistema et surt una igualtat com $0 = 5$. Com el classifiques?

    Incompatible: no té cap solució.

20. 20. Quan és compatible determinat un sistema escalonat?

    Quan no hi ha cap igualtat impossible i queden tantes equacions independents com incògnites: té una sola solució. Una fila $0 = 0$ no ho impedeix si les que queden encara són tantes com incògnites.

21. 21. Què és un sistema compatible indeterminat i com se n'escriu la solució?

    Té infinites solucions: queden menys equacions independents que incògnites. Anomenes $t$ una incògnita (paràmetre) i escrius les altres en funció de $t$.

22. 22. On has de substituir la solució per comprovar un sistema resolt per Gauss?

    A les equacions originals. Les transformades porten a dins qualsevol error d'operació i la comprovació hi sortiria bé igualment.

23. 23. Passos per modelitzar un problema amb un sistema d'equacions.

    Anomenar les incògnites amb unitats, escriure una equació per cada informació, resoldre (normalment per Gauss), comprovar a l'enunciat i interpretar cada nombre.

24. 24. Quins tipus de frase de l'enunciat donen una equació en un problema de sistemes?

    Un total dona una suma; un import dona una suma de preu per quantitat; una relació («el doble de…») dona una igualtat entre incògnites.

25. 25. Què vol dir que la solució d'un problema té sentit econòmic?

    Que, a més de complir el sistema, encaixa amb l'enunciat: res de quantitats negatives, res de fraccions d'unitats indivisibles i dins dels límits del problema.

26. 26. Error típic: et surten 112,5 unitats venudes i arrodoneixes a 112. Què has de fer?

    Dir-ho: un resultat no enter o negatiu avisa d'un error de plantejament o de dades inconsistents. No arrodoneixis en silenci.